II L II L’OPTIMUM DE PARETO ET LA OPTIMUM DE PARETO ET LA ...marc.isabelle.free.fr/Ressources/Enseignements/... · la fonction individuelle d’utilité doit être l’élément

Université Paris IX DauphineDEUG Gestion & Économie Appliquée

2ème année - Microéconomie

II L’OPTIMUM DE PARETO ET LA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL

L’optimum de Pareto p. 1La théorie du bien-être social p. 18Annexe 1 : OP et utilité collective p. 32Annexe 2 : Introduction au surplus p. 41

Marc IsabelleIMRI, bur. A702

Université Paris IX Dauphinepl. du Mal de Lattre de Tassigny75775 PARIS cedex 16, France<[email protected]>

Université Paris IX DauphineDEUG Gestion & Économie Appliquée

2ème année - Microéconomie

II LII L’’OPTIMUMOPTIMUM DE PARETO ET LA DE PARETO ET LA THTHÉÉORIE DU BIENORIE DU BIEN--ÊÊTRE SOCIALTRE SOCIAL

L’optimum de Pareto p. 1La théorie du bien-être social p. 18Annexe 1 : OP et utilité collective p. 32Annexe 2 : Introduction au surplus p. 41

Marc IsabelleIMRI, bur. A702

Université Paris IX Dauphinepl. du Mal de Lattre de Tassigny75775 PARIS cedex 16, France<[email protected]>

L’OPTIMUM DE PARETO ET LA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIALL’OPTIMUM DE PARETO ET LA L’OPTIMUM DE PARETO ET LA

THÉORIE DU BIENTHÉORIE DU BIEN--ÊTRE SOCIALÊTRE SOCIAL

A PROBLÉMATIQUEL’OPTIMUM DE PARETO

• Des préoccupations délaissées par la théorie de l’équilibre général :

L’équilibre général de marché est d’essence décentralisée :– ce sont les comportements individuels des agents rationnels qui conduisent l’économie vers l’équilibre,– il produit de l’information à travers le système de prix d’équilibre,– cette information suffit aux agents pour formuler leurs décisions individuelle-ment optimales

Mais quel jugement porter sur cet équilibre de marché du point de vue de l’économie dans son ensemble ?!

Chaque fois qu’on se donne des ressources primaires dans l’économie, on parvient à déterminer l’équilibre général correspondantMais à chaque vecteur de dotations initiales correspond un équilibre général ; est-il possible de dire qu’il en existe un meilleur que les autres ?

© Marc ISABELLE 2002 1




• Importance de l’aspect normatif :

Ce point de vue normatif ( = intérêt général ) non traité par la théorie de l’équilibre général est important pour plusieurs raisons :

Au niveau théoriquela théorie de l’équilibre général a pour objet d’étude une économie d’échanges décentralisés sur des marchés ; on souhaite pouvoir disposer d’un moyen d’évaluer l’efficacité globale d’une telle économie et du «laisser-faire» sous-jacent

Au niveau pratiquesi l’intervention de l’État s’avère nécessaire, il paraît indispensable de disposer d’uninstrument de choix des politiques économiques





• Les exigences méthodologiques :

Elles limitent sérieusement l’éventail de choix d’un critère mesurant l’intérêt général

Individualisme méthodologiquela fonction individuelle d’utilité doit être l’élément de base de la théorie normativemais alors

– notion ordinale et pas cardinale,– pas de comparaison interpersonnelle d’utilité

Il n’est par exemple pas possible de faire la somme des utilités individuelles pour mesurer le bien-être de la société sans jugement de valeur quant au poids de chaque individu dans cette société (fonction d’utilité collective)




B LE CRITÈRE DE PARETOL’OPTIMUM DE PARETO

• Définition et portées :

Un état réalisable de l’économie F est Pareto-préférable à un autre E si, en passant de E à F, l’utilité d’au moins un agent augmente sans que celle d’aucun autre ne diminue!

Ce critère :– respecte les exigences méthodologiques : il se sert uniquement des fonctions individuelles d’utilité des agents, et ne nécessite aucun recours aux comparaisons interpersonnelles d’utilité,– permet de comparer, d’un point de vue collectif / social, différents états de l’économie entre eux,– permet sur cette base de définir une forme d’optimalité du point de vue de l’ensemble de l’économie (état Pareto-optimal)





• Limites :

1) Etant basé sur les fonctions individuelles d’utilité, le critère de Pareto n’est qu’ordinal!

2) Pour la même raison, c’est un critère faible, qui ne définit qu’un préordre partielsur l’ensemble des états réalisables de l’économie :

– il ne permet pas de comparer tous les états réalisables entre eux ; si en passant d’un état E à un état F, l’utilité d’un agent augmente et celle d’un autre diminue (redistribution), alors E et F ne sont pas Pareto-comparables,– il admet des ex-aequos

3) Il ne définit qu’une forme particulière d’optimalité, et d’autres critères peuvent être proposées qui ne conduisent pas forcément aux mêmes résultats ; en référence au critère d’ordre utilisé, on parle ainsi d’état Pareto-préférable ou Pareto-optimal





• Illustration graphique :

On considère une économie de consommation pure avec 2 consommateurs et 2 biens

UB0

UA0

OB

OA

bien

2

bien 1

E0

xA1

xA2 xB

2

xB1

x

6

Etant données des dotations initiales en E0, tout état réalisable est représenté par un point dans la boîte d’Edgeworth et réciproquement ⇒ la boîte est parfaitement spécifiée pour illustrer le critère de Pareto

Pour chaque consommateur, la dotation initiale correspond à un niveau d’utilité donné ; la courbe d’indifférence correspondante détermine la frontière entre :

– améliorer la situation de l’individu,– détériorer la situation de l’individu

© Marc ISABELLE 2002




• Illustration graphique : (suite)

On en déduit le lieu des états réalisables de l’économie qui sont Pareto-préférables à E0

UB0

UA0

OB

OA

bien

2

bien 1

E0

xA1

xA2 xB

2

xB1

x

UB1

UA1

xE1

7

En effet, dans un tel état, A voit son utilité augmenter (ou rester inchangée) et B aussi ; on se situe donc à l’intersection des deux ensembles décrit précédemment

En E1, A a vu son utilité augmenter et B aussi La transformation de l’économie qui permet de passer de E0 à E1 est dite Pareto-améliorante ⇒ E1 est Pareto-préférable à E0

!

Mais il existe encore des états Pareto-préférables à E1 ; quand cela s’arrête-t-il ?





• Illustration graphique : (suite et fin)

Il est possible de répéter l’opération jusqu’à ce que l’ensemble des états Pareto-préférables à l’état considéré soit vide

Il n’est alors plus possible d’augmenter l’utilité d’un agent sans diminuer celle de l’autre ⇒ on a atteint un optimum de Pareto F

Ceci se produit quand les courbes d’indifférence des agents sont tangentes

UB0

UA0

OB

OA

bien

2

bien 1

E0

xA1

xA2 xB

2

xB1

x

x F

UAF

UBF

8

!




C DÉVELOPPEMENTSL’OPTIMUM DE PARETO

• La courbe des contrats :

L’optimum de Pareto F ainsi trouvé n’est pas unique

C

UB0

UA0

OB

OA

bien

2

bien 1

E0

xA1

xA2 xB

2

xB1

x

xF x

H

G x

xI

9

En partant de E0, on peut en fait construire une infinité d’états de l’économie qui sont Pareto-optimaux (entre G et H)

En fait, on peut s’affranchir de la donnée d’un état initial pour trouver un optimum de Pareto ; il suffit de trouver un point où les courbes d’indifférences soient tangentes (point I)

Dans une économie de consommation, la courbe des contrats C représente l’ensemble des états Pareto-optimaux dans le système d’axes (bien 1, bien 2)

!





• C.N.S d’obtention d’un optimum de Pareto :

Un état réalisable de l’économie est un optimum de Pareto quand il n’existe aucun état qui lui soit Pareto-préférable ; graphiquement, les courbes d’indifférences des consommateurs sont tangentes, et leurs TMS sont donc égaux

Étant données des dotations initiales en biens dans une économie de consommation pure, deux conditions sont ensembles nécessaires et suffisantes à l’obtention d’un optimum de Pareto :

– l’état doit être réalisable,– les TMS entre les deux biens des deux consommateurs doivent être égaux entre eux

!

Ces conditions permettent de déterminer, dans un problème, l’équation de la courbe des contrats





• C.N.S : démonstration formalisée

Le problème posé est de maximiser l’utilité d’un consommateur lorsqu’on se fixe celle de l’autre, l’état recherché devant être en outre réalisable

( )[ ]

( )

=

+=+

+=+

021

2222

1111

21,,,

,..

,2121

UqqUxxqqxxqq

cs

qqUMax

BBB

BABA

BABA

AAAqqqq BBAA( ) [ ]

[ ]( )[ ]0

21

2222

111121

,

,

UqqUxxqqxxqqqqU

BBB

BABA

BABAAAA

−⋅+

−−+⋅+

−−+⋅+

ηµλ=L ( )

( )

( )

( )

=⋅+

=⋅+

=+

=+

40

30

20

10

2

1

2

1

B

B

B

B

A

A

A

A

qUqU

qUqU

∂∂ηµ

∂∂ηλ

µ∂∂

λ∂∂

µλ== BA TMSTMS 1212

les CPO donnent :

les rapports (1)/(2) et (3)/(4) donnent :

de plus, les dotations initiales doivent être respectées

Mise en équation du problème :le Lagrangien associé s’écrit :Le programme s’écrit :





• Remarques conclusives :

L’utilisation du critère de Pareto permet donc de prescrire un ensemble d’états optimaux du point de vue collectif ⇒ il faut s’efforcer d’atteindre l’un d’eux

Remarques :– a priori, peu importe le moyen utilisé pour atteindre un tel état (marché, dictateur éco),– la donnée d’un état initial limite l’éventail des optima de Pareto que l’on peut atteindre par transformations Pareto-améliorantes,– l’état initial étant choisi, l’optimum atteint dépend des modalités de l’échange,– un autre optimum peut être atteint avec un autre état initial, un autre mode d’échange

!On est confronté à l’indétermination Paretienne classique :– il existe une infinité d’optima de Pareto dans l’économie,– ces optima diffèrent du point de vue de l’utilité qu’ils procurent à chaque agent,– mais ils ne sont pas Pareto-comparables entre eux (redistribution)⇒ avec le critère de Pareto, on est incapable de prescrire un seul état à atteindre





• Cas d’une économie de production pure :

La cadre développé précédemment se transpose à une économie de production pure avec deux producteurs produisant un bien à l’aide de deux facteurs de production

Un état réalisable de l’économie F est Pareto-préférable à un autre E si, en passant de E à F, la situation (ici la quantité produite, pas le profit) d’au moins un producteur s’améliore sans que celle de l’autre ne se détériore

Un optimum de Pareto d’une économie de production pure est un état dans lequel il n’est pas possible d’augmenter la quantité produite par un producteur sans diminuer celle produite par l’autre (il n’admet aucun état qui lui soit Pareto-préférable)

Étant données des dotations initiales en facteurs dans une économie de production pure, deux conditions sont ensembles nécessaires et suffisantes à l’obtention d’un optimum de Pareto :

– l’état doit être réalisable,– les TMST entre les deux facteurs des deux producteurs doivent être égaux

!





• Cas d’une économie de production pure : développements

Dans une économie de production, la courbe des contrats représente l’ensemble des états Pareto-optimaux dans le système d’axes (facteur 1, facteur 2)!

Dans le cas où chaque producteur est spécialisé dans un bien, un déplacement le long de la courbe des contrats :

– maintient l’économie des producteurs dans une situation Pareto-optimale du point de vue de l’utilisation des facteurs (égalité de leurs TMST),– revient en outre à produire plus d’un bien aux dépens de l’autre (redistribution des facteurs)

Il existe donc une relation qui indique la façon dont un bien est remplacé par un autre lorsqu’on réalloue les facteurs productifs de manière Pareto-optimale entre deux producteurs spécialisés dans leur produit





• Courbe et taux de transformation des produits :

Cette relation permet de construire la courbe de transformation des produits T

TLa courbe de transformation des produitsreprésente l’ensemble des optima de Pareto d’une économie de production dans le système d’axes (bien 1, bien 2)

Le taux de transformation des produits dans un état Pareto-optimal donné indique le nombre d’unités de bien 2 par lesquelles il faut remplacer, à la marge, une unité de bien 1 pour rester à un optimum de Pareto ; c’est la valeur absolue de la pente de la tangente à T O

bien

2

bien 1

xE0

Gx

Fx

Hx

TTP2/1

15

!

!





• Cas d’une économie complète :

Dans une économie complète, quatre conditions sont ensemble nécessaires et suffisantes pour obtenir un optimum de Pareto :!

1) l’offre doit être égale à la demande pour toutes les marchandises, et les dotations initiales en ressources primaires doivent être respectées

2) dans la sphère des consommateurs, le TMS entre deux biens doit être le même pour tous les consommateurs, et ce pour toute paire de biens

3) dans la sphère des producteurs, le TMST entre deux facteurs de production doit être le même pour tous les producteurs, et ce pour toute paire de facteurs

4) en outre, pour que la sphère des consommateurs soit à l’optimum de Pareto, il faut que le TMS entre deux biens soit égal au TTP de la sphère productive entre ces deux mêmes biens, et ce pour toute paire de biens





• Démonstration logique de la quatrième condition :

Par l’absurde :supposons que la sphère des consommateurs soit à un optimum de Pareto ; pour tous les consommateurs, le TMS entre les biens 1 et 2 vaut α ; chaque consommateur voit son utilité inchangée s’il échange à la marge α unités de bien 2 contre une unité de 1

supposons que la sphère des producteurs soit à un optimum de Pareto ; dans cet état, le TTP entre les biens 1 et 2 vaut β ; la sphère productive reste à un optimum de Pareto si elle substitue à la marge β unités de bien 2 contre une unité de bien 1

si α < β, les producteurs produisent une unité de bien 1 en moins et β unités de 2 en plus, et restent ainsi à un optimum de Pareto ; les consommateurs se voient retirer une unité de 1 mais reçoivent plus d’unités de 2 qu’il n’en faut pour les compenser ⇒ leur utilité augmente ; absurde puisqu’on était à un optimum de Pareto des consommateurs

Donc TMS = TTP pour un optimum de Pareto des consommateurs ds une éco complète© Marc ISABELLE 2002 17

• Théorie de l’équilibre général et préoccupations normatives :

On a souhaité introduire un aspect normatif : quel jugement porter sur l’équilibre général du point de vue collectif / social (i.e. l’économie dans son ensemble) ?

L’équilibre général de marché est une allocation des ressources qui est optimale du point de vue individuel ; l’impulsion dans une économie de marché provient de chaque agent qui maximise sa situation individuelle

Il a d’abord fallu se doter d’un outil de comparaison des différents états de l’économie d’un point de vue collectif

LA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL



A RAPPELS




A RAPPELSLA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL

• La portée étendue du critère de Pareto :

La critère de Pareto constitue cet outil ; il n’est en rien spécifique à la théorie de l’équilibre général

En effet, seuls deux outils économiques sont nécessaires à sa définition :– le concept de fonction individuelle d’utilité,– la notion d’état réalisable

Il n’impose ainsi aucune contrainte :– à la structure de l’économie (par exemple, la C.P.P n’est pas nécessaire),– à son mode de fonctionnement (marché ou planification, mode d’échange, …)

C’est à l’aune de ce critère que l’on se propose à présent de juger l’équilibre général de marché d’un point de vue collectif ⇒ théorie du bien-être social




B LES THÉORÈMES DE CORRESPONDANCELA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL

• Le premier théorème de correspondance :

Question : un équilibre général est-il Pareto-optimal ?

Réponse : (premier théorème de correspondance) Tout équilibre général est un optimum de Pareto!





• Illustration graphique dans une économie d’échange pur :

*2Bq

*1Bq

UB*

2Ax

1AxOA

x

1Bx OB

2Bx

0AU

0BU

bien 1

bien

2

2

1

pp

−

*2Aq x

*1Aq

UA*

E.G

1) L’équilibre général est représenté par un point dans la boîte d’Edgeworth ; c’est donc un état réalisable

2) Les courbes d’indifférence des consomma-teurs sont tangentes entre elles à l’équi-libre général ; leurs TMS sont donc égaux

⇒ l’équilibre général est un optimum de Pareto





• Illustration logique dans une économie d’échange pur :

1) L’équilibre général est par essence un état réalisable de l’économie (objectif du tâtonnement du commissaire-priseur)

2) L’équilibre général est compatible, c’est-à-dire que chaque agent y maximise son utilité ; donc à l’E.G., chaque agent égalise son TMS au rapport des prix annoncés par le commissaire-priseur ; ainsi, les TMS des agents sont égaux entre eux

⇒ l’équilibre général est un optimum de Pareto





• Démonstration formelle dans une économie d’échange pur :

Par l’absurde :• Soit Y = l’équilibre général d’une économie d’échange pur,

(p1, p2) les prix associés( )y y y yA A B B

1 2 1 2, , ,

• Supposons que Y ne soit pas un optimum de Pareto de l’économie décrite ; alors état réalisable tel que Z soit Pareto-préférable à Y( )∃ =Z z z z zA A B B

1 2 1 2, , ,

Nous avons donc :• Y et Z réalisables :

y y x z z

y y x z zA B A B

A B A B

1 11

1 1

2 22

2 2

+ = = +

+ = = +

• Z Pareto-préférable à Y : ( ) ( )( ) ( )

U z z U y y

U z z U y y

A A A A A A

B B B B B B

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,

, ,

≥

≥

Pour éviter le cas trivial Z Pareto-égal à Y, on suppose que ( ) ( )U z z U y yB B B B B B1 2 1 2, ,>





• Démonstration formelle dans une économie d’échange pur :

Y est un équilibre général donc il est compatible ; B y maximise son utilité sous sa contrainte budgétaire étant donné le vecteur de prix (p1, p2) ; sialors en Z,

( ) ( )U z z U y yB B B B B B1 2 1 2, ,>

p z p z p y p yB B B B11

22

11

22⋅ + ⋅ > ⋅ + ⋅

le budget de B est forcément plus élevé quand on considère les mêmes prix:

On a donc la même inégalité est vraie au sens large pour A :p z p z p y p yA A A A1

12

21

12

2⋅ + ⋅ ≥ ⋅ + ⋅( ) ( )U z z U y yA A A A A A

1 2 1 2, ,≥

La somme membre à membre de ces inégalités donne :( ) ( ) ( ) ( )p z z p z z p y y p y yA B A B A B A B1

1 12

2 21

1 12

2 2⋅ + + ⋅ + > ⋅ + + ⋅ +soit ce qui est absurdep x p x p x p x1 1 2 2 1 1 2 2⋅ + ⋅ > ⋅ + ⋅

⇒ Y est donc un optimum de Pareto de l’économie décrite© Marc ISABELLE 2002 24




• Portées et limites du premier théorème de correspondance :

La théorie de l’équilibre général a montré que le mécanisme de marché assurait la cohérence collective des décisions décentralisées (individuellement optimales) des agents économiques ; le premier théorème de correspondance de la théorie du bien-être social montre en plus qu’il assure leur optimalité collective

!

mais :– la répartition des richesses à l’équilibre général dépend des dotations initiales qui sont exogènes, – l’E.G. est un optimum Paretien parmi d’autres (la courbe des contrats),– le critère de Pareto est un critère de pure efficacité économique ; l’utilisation d’un autre critère ou d’un critère complémentaire (justice sociale) peut invalider ses conclusions normatives ; la société peut préférer un autre fonctionnement de l’économie que le marché décrit dans l’équilibre général





• Le deuxième théorème de correspondance :

Question : (c’est la contraposée de celle qui a amené le premier théorème de correspondance)

Un état Pareto-optimal (un point de la courbe de contrats) peut-il être atteint par une économie de marché décentralisée fonctionnant sur le modèle de l’équilibre général ?

Réponse : (deuxième théorème de correspondance)Si les courbes d’indifférence des consommateurs sont convexes et si la répartition initiale des richesses est appropriée, alors on peut associer un système de prix d’équilibre général à tout optimum de Pareto

!





• Illustration graphique dans une économie d’échange pur :

BU

AU

TMS2/1

OA

OB

bien 1

bien

2

C

2Aq x

1Aq

2Bq

1Bq

E

d−α

2Ax

1Ax

x

1Bx

2BxE0

27

1) On prend un point E de la courbe des contrats ; c’est un opt. de Pareto donc en E, les TMS des agents sont égaux, et valent α

2) On trace la droite d passant par E, de pente −α

3) On prend un point E0 quelconque sur d ; si on place l’économie dans les conditions initiales représentées par E0 et qu’on la fait fonctionner sur le modèle de l’équilibre général, alors elle conduira à l’E.G. en E, avec un rapport des prix d’équilibre égal à α





• Équilibre général, dotations initiales et redistribution :

E ne peut pas être atteint par les seules forces du marché (équilibre général) avec E1 comme répartition initiale des richesses (exogène)

OA

OB

bien 1

bien

2

C

x E1

TMS2/1 xE

Fx

xE0

28

Si E est un objectif de politique publique, il existe deux possibilités pour l’atteindre en partant de E1:1) on laisse le marché conduire à l’E.G. en F ;

on effectue ensuite la transformation redistri-butrice (hors marché) F⌫ E

2) on commence par la transformation redistri-butrice E1⌫E0, puis on laisse le marché agir jusqu’en E

En politique publique, ce n’est pas en agissant sur les prix qu’on atteint un objectif, mais en se plaçant dans les conditions initiales appropriées





• Portées et limites du deuxième théorème de correspondance :

Le mécanisme de marché décrit dans la théorie de l’équilibre général permet d’atteindre n’importe quel état de l’économie collectivement optimal au sens de Pareto

mais :– la répartition initiale des richesses ne permet généralement pas, sans redistribution préalable, d’atteindre l’optimum souhaité,– d’un point de vue théorique, tout autre mécanisme d’allocation des ressources que l’équilibre général de marché qui permettrait d’atteindre un optimum de Pareto désiré doit être considéré comme efficace (par exemple, planificateur central imposant les prix d’optimum)




C CONCLUSIONLA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL

• La théorie de l’équilibre général, référence normative :

La cohérence rigoureusement scientifique du critère de Pareto a largement contribué à son succès en sciences économiques

Les théorèmes de correspondance confèrent à la théorie de l’équilibre général le carac-tère normatif que revendiquent les néo-classiques au plan économique : une économie décentralisée de marchés de concurrence pure et parfaite …

1) fonctionne (TEG)2) et ce de manière collectivement optimale (TBES)

Dès le début du XXe siècle, les institutions économiques ont pris acte de ce résultat ; les gouvernements et autorités concurrentielles sont intervenus dans l’économie pour restaurer les conditions de la concurrence pure et parfaite dès qu’elle s’en éloignait trop



THÉORIE DU BIENTHÉORIE DU BIEN--ÊTRE SOCIAL

C CONCLUSION

Dans le monde réel, dès que l’on s’écarte un peu du cadre de la concurrence pure et parfaite, les théorèmes de correspondance sont invalidés (cf. monopole, oligopole, effets externes, biens collectifs purs...) ; il convient d’étendre la problématique paretienne à tous ces cas

Mais la concurrence pure et parfaite, sur lesquelles sont fondées la TEG et la TBES, propose une représentation très pauvre des institutions économiques et sociales ; ces deux théories se privent ainsi de la dimension d’outil d’intervention politique qu’elles revendiquent parfois, et conservent leur intérêt essentiellement en tant que cadre de référence (théorie des prix)

• La théorie de l’équilibre général, référence normative :

ÊTRE SOCIALLA THÉORIE DU BIEN-ÊTRE SOCIAL

!


ANNEXE 1 : OPTIMUM DE PARETO ET UTILITÉ COLLECTIVE

ANNEXE 1 : OPTIMUM DE PARETO ANNEXE 1 : OPTIMUM DE PARETO ET UTILITÉ COLLECTIVEET UTILITÉ COLLECTIVE

PRÉSENTATIONA RAPPELS

• Le critère de Pareto :

Il satisfait les exigences méthodologiques de la micro-économie :l’outil analytique élémentaire est la fonction individuelle d’utilité, qui est une notion ordinale et qui n’autorise pas les comparaisons interpersonnelles

En contrepartie :– c’est un critère faible ; il ne définit qu’un préordre (il admet les ex-aequo) partiel (il ne permet pas de comparer tous les états entre eux),– il conduit à l’indétermination Paretienne classique ; il existe une infinité d’états optimaux, non comparables entre eux

Question :Est-il possible de définir d’autres critères de bien-être social, qui soient plus forts éventuellement au prix d’hypothèses plus restrictives ?




B LA FONCTION D’UTILITÉ COLLECTIVEPRÉSENTATION

• Des hypothèses plus restrictives :

La fonction d’utilité collective est définie dans tout état réalisable de l’économie ; c’est une fonction croissante et convexe des utilités individuelles des agents :

( )kUUfFUC ,,1 L=

1) Elle est construite à l’aide de fonctions individuelles d’utilité cardinales :Uk indique la satisfaction absolue, et non plus seulement relative, de l’individu k dans un état donné de l’économie

2) Elle nécessite un jugement subjectif sur le poids relatif des individus dans l’économie :

KK

dUUfdU

UfdFUC ⋅++⋅=

∂∂

∂∂ L1

1

poids relatif de l’individu 1




B LA FONCTION D’UTILITÉ COLLECTIVEPRÉSENTATION

• Le TMS entre les utilités de deux consommateurs :

TMSl / k indique de combien l’utilité du consommateur l doit varier pour compenser (i.e. FUC = constante) à la marge la variation d’une unité de l’utilité du consommateur k

cteFUCk

l

l

kkl dU

dU

Uf

Uf

TMS=

==

∂∂∂∂




DÉVELOPPEMENTSA L’OPTIMUM SOCIAL Max(FUC)

• Approche formalisée dans une économie de consommation pure :

On cherche l’état réalisable qui maximise la FUC ; le programme à résoudre est le suivant (N biens, K consommateurs) : ( ) ( )( )[ ]

{ }

∈∀=

=

∑ Niqqcs

qqUqqUfFUCMaxii

k

NKKK

N

,,1..

,,,,,,K

1=k

11

111

L

LLL

Le Lagrangien associé s’écrit :( ) ( )( )

−⋅−−

−⋅−= ∑∑

==

K

k

NNkN

K

kk

NKKK

N qqqqqqUqqUf11

111

11

111 ,,,,,, λλ LLLLL

Les conditions de premier ordre de maximisation de L donnent :{ } { }

0

,,1,,,1

=−⋅=

∈∀∈∀

iik

k

kik q

UUf

q

KkNi

λ∂∂

∂∂

∂∂L

LL { } { }

ik

k

ki q

UUf

KkNi

∂∂

∂∂λ ⋅=

∈∀∈∀ ,,1,,,1 LL

soit




A L’OPTIMUM SOCIAL Max(FUC)DÉVELOPPEMENTS

• Lien avec le critère de Pareto :

! L’état de l’économie correspondant à la FUC maximale est un optimum de Pareto

Démonstration par l’absurde :Supposons que Max(FUC) ne soit pas un optimum de Pareto ; il existe alors un état quilui est Pareto-préférable ; dans cet état, l’utilité d’au moins un agent augmente sans que celle d’aucun autre ne diminue ; la fonction FUC étant croissante en chaque Ui, elle augmente elle aussi dans cet état ; ceci est absurde car l’état initial est Max(FUC)

– pour k fixé dans , et : soit avec l’égalité précédente : indépendant de kpour toute paire de biens, il existe donc un TMS unique pour tous les agents

{ }K,,1L ( ) { }2,,1, Nji L∈∀ jk

kik

kkij q

UqUTMS

∂∂

∂∂

=

jik

ijTMS λλ=

– Max(FUC) est réalisable par construction


Démonstration à l’aide des CNS :

36




• Illustration graphique :

Le recours à la FUC permet de sélectionner un opt. de Pareto parmi l’∞ de possibles

C

UA0

UB0

OB

OA

bien

2

bien 1 xA1

xA2 xB

2

xB1

E0

x

xG

UBG

xH

UAH

UBF

UAF

xF


TUA

UB

O

xE0

0AU

0BU xH

HAU

UBG x

G

FUC augmente

xMax(FUC)=FUBF

UAF

TMSB/A

( )GB

GA UUFUC ,

iso-FUC

x

37




• Variation autour de l’optimum social Max(FUC) :

donc KK

dUUfdU

UfdFUC ⋅++⋅=

∂∂

∂∂ L1

1( )KUUfFUC ,,1 L=

⋅++⋅⋅++

⋅++⋅⋅= N

KNK

KK

K

K

K

NN dq

qUdq

qU

Ufdq

qUdq

qU

UfdFUC

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ LLL 1

111

1111

1

1

1ou encore

Écrivons la différentielle totale de la FUC :

A l’optimum Max(FUC), les conditions marginales permettent de réécrire dFUC ;{ } { } i

k

k

ki q

UUfKkNi

∂∂

∂∂λ ⋅=∈∀∈∀ ,,,1,,,1 LLon a en effet

( ) ( )dFUC dq dq dq dqN N= ⋅ + + + + ⋅ + +λ λ1 1L L Ld’où

de plus, donc les λi constituent un vecteur de prix d’E.G.jiijTMS λλ=N K

K N K1 1 1

en notant pi = λi le prix du bien i, on obtient finalement : ∑ ∑= =

⋅=i k

iki dqpdFUC

1 1





• Variation autour de l’optimum social Max(FUC) : (suite)

On obtient ainsi le résultat suivant :A la marge autour de l’optimum Max(FUC), la variation de la fonction d’utilité collective est égale à la valeur globale de la variation de consommation, valorisée aux prix d’équilibre

!

Ce résultat d’économie appliquée permet de comparer simplement différentes variantes d’un projet économique, en termes de valeur de la fonction d’utilité collective




CONCLUSION

• Portées et limites de la FUC :

Passer de la problématique Parétienne à la problématique FUC nécessite de transgresser deux interdits en théorie économique :

– considérer l’utilité comme une mesure cardinale,– porter un jugement quand à l’importance de chaque individu au regard de la société

La FUC constitue néanmoins un outil d’économie appliquée intéressant car opérationnel dans la mesure où elle permet de lever l’indétermination Paretienne classique :elle prescrit un optimum de Pareto et un seul

!


ANNEXE 2 : INTRODUCTION À LA NOTION DE SURPLUS

ANNEXE 2 : INTRODUCTION À ANNEXE 2 : INTRODUCTION À LA NOTION DE SURPLUSLA NOTION DE SURPLUS

A RAPPELSPRÉSENTATION

• Le critère de Pareto :

Il satisfait les exigences méthodologiques de la micro-économie :l’outil analytique élémentaire est la fonction individuelle d’utilité, qui est une notion ordinale et qui n’autorise pas les comparaisons interpersonnelles

En contrepartie :– c’est un critère faible ; il ne définit qu’un préordre (il admet les ex-aequo) partiel (il ne permet pas de comparer tous les états entre eux),– il conduit à l’indétermination Paretienne classique ; il existe une infinité d’états optimaux, non comparables entre eux

Question :Est-il possible de définir d’autres critères de bien-être social, qui soient plus forts éventuellement au prix d’hypothèses plus restrictives ?




B DÉFINITIONPRÉSENTATION

• L’idée de base :U(q

1 ,q2 )

TMS2/1(E)

L’idée à l’origine de la notion de surplus peut être illustrée simplement à l’aide des concepts déjà connus : soit une économie à deux biens 1 et 2, où 2 est la monnaie

TMS2/1(E) exprime quelle quantité de monnaie le consommateur doit céder, à la marge, pour acquérir une unité supplémentaire de bien 1 en restant à niveau d’utilité inchangé

Rigoureusement, cette valeur exprime le prix maximal pR(q1) que l’agent est prêt à payer pour acquérir la q1-ème unité de bien 1, quand la quantité de monnaie dont il dispose est q2

O

bien

2

bien 1

Ex

q1

q2

xq2’x

42

C’est la mesure monétaire de l’utilité que l’agent attache à l’acquisition de la q1-ème unité!




B DÉFINITIONPRÉSENTATION

; à niveau d’utilité constant, dU = 0 et doncdU Uq

dq Uq

dq= ⋅ + ⋅∂∂

∂∂1

12

2∂∂

∂∂

Uq

dq Uq

dq1

12

2⋅ = − ⋅

Formellement :

• Le problème et son contournement :

Le problème vient de ce que la monnaie est un bien comme un autre dans la mesure où son utilité marginale est décroissante ; ainsi, en toute rigueur, pR(q1) est croissant de q2

En supposant que l’utilité marginale de la monnaie est constante et normalisée à 1

, on obtient :

= 1

2qU

∂∂

211

dqdqqU −=⋅

∂∂

Alors la variation d’utilité liée à l’acquisition d’une unité d’un bien est exactement égale, à la marge, à la quantité maximale de monnaie cédée en échange de cette unité ; c’est le surplus brut qu’elle procure au consommateur, son prix de réservation pR(q1)

!© Marc ISABELLE 2002 43


DÉVELOPPEMENTS


A LE SURPLUS DU CONSOMMATEUR• Les deux interprétations de la fonction de demande :

Les analyses en termes de surplus doivent donc être conduites dans le système d’axes (prix, quantités) ; chez les consommateurs, elles conduisent à la fonction de demande

Celle-ci peut être interprétée de deux façons :– elle traduit le prix maximum qu’un consomma-teur est prêt à payer pour chaque unité d’un bien– elle représente une population d’individus ayant des demandes unitaires, classés selon leurs prix de réservation décroissants

On définit d’abord deux surplus différentiels :pr

ix

quantitéO

D(p)– surplus diff. brut = prix que le consommateur est prêt à payer pour la q-ème unité du bien (pR)– surplus diff. net = surplus diff. brut – prix effectivement payé pour cette unité (pR – p)

pR

q

p

44© Marc ISABELLE 2002



A LE SURPLUS DU CONSOMMATEURDÉVELOPPEMENTS

• Définition des surplus :

On définit alors les surplus brut et net des consommateurs de façon intégrale

ΣC

SC

Surplus net : ( )[ ] ****

0qpdqpqpS C

q

C ⋅−Σ=⋅−= ∫

Surplus brut : ( )∫ ⋅=Σ*

0

q

C dqqp

prix

quantitéO

D(p)

q*

p*

45

Dans un état où le consommateur achète q* unités du bien au même prix p* :

!

!




B LE SURPLUS DU PRODUCTEURDÉVELOPPEMENTS

• La fonction d’offre :

Recette

Profit

Elle représente l’offre du producteur dans le système d’axes (coûts, quantités) ; c’est donc sa courbe de coût marginal

• Surplus diff. brut = prix p* auquel la q-èmeunité est vendue• Surplus diff. net = Surplus diff. brut - coût de cette q-ème unité, soit p* – Cm(q)

• Surplus brut = recette = p* x q*

! ( )[ ] CFdqqCpSq

mCTP +⋅−= ∫

*

0*

( )[ ] ( )***

0qdqqCpS

q

mLTP Π=⋅−= ∫

• Surplus net :CT

LT

coût

s

quantitéO

Cm

q

p*

Cm(q)

q*46© Marc ISABELLE 2002



C LE SURPLUS GLOBALDÉVELOPPEMENTS

• Définition :

Il est représenté par l’aire hachurée comprise entre la courbe de demande et la courbe d’offreAutre appellation :Bénéfice Social Net abrégé BSN

Au point (q*,p*), le surplus net global vaut :

( ) ( ) ( )[ ]S q p q C q dqG m

q*

*= − ⋅∫

0

Le surplus global est la somme des surplus de chaque catégorie d’agent de l’économie

D(p)

Cm

q

p*

p(q)

Cm(q)

sG(q) = ( p(q) – p* ) + (p* – Cm(q) ) = p(q) – Cm(q)

SG

*

coût

s

quantitéO

prix

Le surplus différentiel net global associé à la production de la q-ème unité vaut :!





• Équilibre concurrentiel offre / demande :

Offre et demande sont confrontées ; où s’établit l’équilibre concurrentiel (= agents preneurs de prix) ? On fait une analyse marginale en termes de surplus

L’équilibre peut-il s’établir en M = (q, p) ?

On a p(q)>Cm(q) donc tout prix d’échange com-pris entre ces deux valeurs satisfait le produc-teur et le consommateur ; chaque partie peut faire des gains en M, qui n’est donc pas un équilibre

Le seul couple (q,p) qui constitue un équilibre est l’intersection des fonctos d’offre et de demande C

!

q

p M

– la production d’une unité supplémentaire en Mcoûte Cm(q) au producteur– elle rapporte un surplus p(q) au consommateur

Cm(q)

p(q)

p*

q*

C

D(p)

Cmcoût

s

quantitéO

prix





• Équilibre concurrentiel et surplus global :

p(q)

Cm(q)

On montre, à l’aide d’une analyse à la marge, que l’équilibre concurrentiel d’un marché conduit au surplus global maximum ; en (q*,p*) :

L’équilibre concurrentiel (q*,p*) est donc le maxi-mum de surplus global q-dq q+dq

Cm(q)

p(q)

– si on produit une unité en moins à la marge, on a pour cette unité p(q)>Cm(q) ; on perd donc le surplus positif p(q)–Cm(q), et le surplus global diminue– si on produit une unité en plus à la marge, on a pour cette unité p(q)<Cm(q) ; on engendre donc le surplus négatif p(q) – Cm(q), et le surplus global diminue

D(p)

Cmcoût

s

quantitéO

prix

q*

p*


!




• Équilibre concurrentiel et optimum de Pareto :

On montre aussi, toujours à l’aide d’une analyse à la marge, que l’équilibre concurrentiel d’un marché est un optimum de Pareto ; en (q*, p*) :

q-dq

p(q)

Cm(q)

q+dq

Cm(q)

p(q)

– si on produit une unité en moins à la marge (p(q) > Cm(q)) alors l’échange au prix p* avec Cm(q) < p* < p(q) permet à chaque partie d’amé-liorer son surplus ; revenir en (q*,p*) est donc Pareto-améliorant

D(p)

Cmcoût

s

quantitéO

prix

q*

p*

– si on produit une unité en plus à la marge (p(q) < Cm(q)) alors l’échange au prix p* fait perdre du surplus au producteur (Cm(q)>p*) et au consommateur (p* > p(q)) ; cette transforma-tion est donc Pareto-détériorante

L’équilibre concurrentiel (q*, p*) est donc un opti-mum de Pareto


!




• Corollaire :

Sur un marché, l’équilibre concurrentiel (offre = demande avec agents preneurs de prix) est un optimum de Pareto et le surplus global y est maximum!

Le partage du surplus global entre producteurs et consommateurs est réalisé à travers le prix d’équilibre concurrentiel p*



CONCLUSION


• Portées et limites de la notion de surplus :

Au niveau purement théorique, la notion de surplus est critiquable ; elle repose entièrement sur l’hypothèse héroïque d’utilité marginale de la monnaie constante

La notion de surplus est néanmoins intéressante pour l’économie appliquée :– elle définit une autre mesure du bien-être social,– à l’instar de la F.U.C., elle prescrit un optimum et un seul (l’équilibre concurrentiel),– au niveau opérationnel, elle permet d’estimer facilement les richesses générées sur un marché ou par un projet public


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