II. Suites arithmétiqueshautmathelin.fr/math/premiere/1_Cours_Chap_01_Suites.pdf · Savoir définir des suites à pa ti d’un motif a) ( ) la suite qui donne le nombre de ronds

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Chapitre 1 : Les suites

Ce cours permet une lecture à plusieurs niveaux :

Force 1 Le kit de survie pour les élèves en difficultés. Ce niveau permet d’assurer l’essentiel des questions.

C’est le niveau préconisé par le programme.

Force 3 des compléments pour les élèves qui souhaitent aller un peu plus loin.

I. Modes de génération d’une suite

Définition Une suite est une fonction définie sur ℕ

On rappelle que ℕ est l’ensemble des entiers naturels {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … }

Génération d’une suite par formule Soit 𝑢 la suite définie par 𝑢(𝑛) = 𝑛2 − 3𝑛. Calculer 𝑢(0), 𝑢(2), u(100)

Réponses : 𝑢(0) = 02 − 3 × 0 = 0 𝑢(2) = 22 − 3 × 2 = −2 𝑢(100) = 1002 − 3 × 100 = 9700

On a pu calculer 𝑢(100) sans avoir à calculer tous les termes précédents.

Génération d’une suite par récurrence

Soit 𝑣 la suite définie par {𝑣(0) = 5

𝑣(𝑛 + 1) = 2𝑛 + (−1)𝑛+1𝑣(𝑛) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ. Calculer 𝑣(4)

Réponse : 𝑣(𝒏 + 1) = 2𝒏 − (−1)𝒏+𝟏 𝑣(𝒏)

peut s’interpréter par 𝑣(⋯+ 1) = 2⋯− (−1)⋯ + 1 𝑣(⋯ ) où ⋯ peut être remplacé par l’entier

naturel que l’on veut.

𝑣(0) = 5 (par définition de la suite)

Pour 𝒏 = 𝟎 𝑣(1) = 𝑣(𝟎 + 1) = 2 × 𝟎 + (−1)𝟎+𝟏 × 𝑣(𝟎) = 0 + (−1) × 5 = −5

Pour 𝒏 = 𝟏 𝑣(2) = 𝑣(𝟏 + 1) = 2 × 𝟏 + (−1)𝟏+𝟏 × 𝑣(𝟏) = 2 + 1 × (−5) = −3

Pour 𝒏 = 𝟐 𝑣(3) = 𝑣(𝟐 + 1) = 2 × 𝟐 + (−1)𝟐+𝟏 × 𝑣(𝟐) = 4 + 1 × (−1) × (−3) = 7

Pour 𝒏 = 𝟑 𝑣(4) = 𝑣(𝟑 + 1) = 2 × 𝟑 + (−1)𝟑+𝟏 × 𝑣(𝟑) = 6 + 1 × 7 = 13

Pour 𝒏 = 𝟒 𝑣(5) = 𝑣(𝟒 + 1) = 2 × 𝟒 + (−1)𝟒+𝟏 × 𝑣(𝟒) = 8 + (−1) × 13 = −5

Pour 𝒏 = 𝟓 𝑣(6) = 𝑣(𝟓 + 1) = 2 × 𝟓 + (−1)𝟓+𝟏 × 𝑣(𝟓) = 10 + 1 × (−5) = 5

Ainsi : 𝑣(6) = 5

Avec définition par récurrence, on doit calculer 𝑣(0) 𝑣(1) 𝑣(2) 𝑣(3) 𝑣(4) 𝑣(5) pour

pouvoir enfin calculer 𝑣(6).

Génération par une phrase en français

On appelle nombre premier un entier naturel qui a exactement 2 diviseurs positifs.

Exemples : 0 n’est pas premier (divisible par 1, 2, 3, 4, …)

1 n’est pas premier (son seul diviseur positif est lui-même)

2 est premier a pour seul diviseurs positifs 1 et 2

6 n’est pas premier car divisible par 1 ; 2 ; 3 ; 6

1

2

3

1

1

1

3


Soit 𝑝 la suite des nombres premiers.

a) Donner les 6 premiers termes

b) Quel est le terme de rang 8 ? Le terme d’indice 10 ?

Réponses :

a) 𝑝(0) = 2 𝑝(1) = 3 𝑝(2) = 5 𝑝(3) = 7 𝑝(4) = 11 𝑝(5) = 13

b) 𝑝(8) = 23 𝑝(10) = 37

Remarques :

On ne connait pas de formule efficace (même avec de puissants ordinateurs) pour calculer 𝑝(𝑛) pour n’importe quelle grande

valeur de 𝑛

On ne connait pas non plus de formule efficace pour passer de 𝑝(𝑛) à 𝑝(𝑛 + 1) pour n’importe quelle grande valeur de 𝑛.

1) Soit 𝑣 la suite qui à chaque étape donne le nombre de points sur la ligne du bas

a) Donner 𝑣(6)

b) Ecrire 𝑣(𝑛) en fonction de 𝑛

c) Définir la suite 𝑣 par récurrence

2) Soit 𝑢 la suite qui à chaque étape donne le nombre de points.

a) Donner 𝑢(6)

b) Définir la suite 𝑢 par récurrence

c) Ecrire 𝑢(𝑛) en fonction de 𝑛

Réponses : 1) a) 𝑣(6) = 7 b) 𝑣(𝑛) = 𝑛 + 1 𝑐) {𝑣(0) = 1 𝑣(𝑛 + 1) = 𝑣(𝑛) + 1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

2) a) 𝑢(6) = 21 𝑏) {𝑢(0) = 1 𝑢(𝑛 + 1) = 𝑢(𝑛) + 𝑛 + 2

𝑐) 𝑢(𝑛) = 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 + (𝑛 + 1)

Remarque : 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 + (𝑛 + 1) = ∑ 𝑘𝑛+1𝑘=1 =

(𝑛+1)(𝑛+2)

2

Preuve 2c : 𝑢(𝑛) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛 + (𝑛 + 1)

𝑢(𝑛) = (𝑛 + 1) + 𝑛 + (𝑛 − 1) + (𝑛 − 2) +⋯+ 4 + 3 + 2 + 1

en ajoutant membre à membre

2 𝑢(𝑛) = (𝑛 + 2) + (𝑛 + 2) + (𝑛 + 2) +⋯+ (𝑛 + 2) + (𝑛 + 2) + (𝑛 + 2)

2 𝑢(𝑛) = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) car il y a 𝑛 + 1 termes dans la somme ci-dessus

𝑢(𝑛) =(𝑛+1)(𝑛+2)

2

2

1

1


Génération par graphique

Soit 𝑎 la suite dont voici la représentation graphique des termes 𝑎(𝑛)pour 0 ≤ 𝑛 ≤ 18

a) Lire graphiquement 𝑎(10)

b) Lire graphiquement les 5 premiers termes

Réponses : a) 𝑎(10) = 2 𝑏) 𝑎(0) = 1 𝑎(1) = 2 𝑎(2) = 4 𝑎(3) = −4 𝑎(4) = −3

Représentation graphique d’une suite

Dans un repère, une suite 𝑢 est représentée par un nuage de points isolés de coordonnées (𝑛 ; 𝑢(𝑛)) où 𝑛 ∈ ℕ

Génération par une fonction définie sur un intervalle

Voici la représentation graphique d’une fonction 𝑓définie sur ℝ.

𝑓 n’est pas une suite car la fonction 𝑓 est définie sur ℝ et non seulement sur ℕ.

Par contre, à partir de 𝑓, on peut définir une suite 𝑢 en posant 𝑢(𝑛) = 𝑓(𝑛) pour 𝑛 ∈ ℕ

a) Lire graphiquement 𝑢(2) ; 𝑢(13) ; 𝑢 (3

2)

b) Sur le même graphique représenter graphiquement la suite 𝑢

Réponses : a) 𝑢(2) ≈ 1,17 𝑢(13) ≈ −1

𝑢 (3

2) n’existe pas car

3

2∉ ℕ par contre 𝑓 (

3

2) existe et vaut environ 0,55

1

1

1


Une nouvelle notation

Une suite 𝑢 sera notée (𝑢𝑛). (𝑢𝑛) est la liste infinie des termes.

Son terme général 𝑢(𝑛) sera noté 𝑢𝑛. 𝑢𝑛 est un nombre réel.

Savoir-faire :

Soit (𝑢𝑛) la suite de terme général 𝑢𝑛 = 3𝑛 − 5

1. Ecrire 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑛.

2. Ecrire 𝑢𝑛 + 1 en fonction de 𝑛

Soit (𝑣𝑛) la suite définie par {𝑣0 = 7 𝑣𝑛+1 = 3𝑣𝑛 − 5 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

3. Ecrire 𝑣𝑛+2 en fonction de 𝑣𝑛

Réponse :

1. 𝑢𝑛 = 3𝑛 − 5 se lit 𝑣⋯ = 3 ×⋯− 5. En remplaçant ⋯ par (𝒏 + 𝟏)

𝑢𝒏+𝟏 = 3(𝒏 + 𝟏) − 5 = 3𝑛 + 3 − 5 = 3𝑛 − 2

2. 𝑢𝑛 + 1 = 3𝑛 − 5 + 1 = 3𝑛 − 4

3. 𝑣𝒏+1 = 3𝑣𝒏 − 5 se lit 𝑣⋯+1 = 3𝑣⋯ − 5

𝑣𝑛+2 = 𝑣𝒏+𝟏+1 = 3𝑣𝒏+𝟏 − 5 = 3(3𝑣𝑛 − 5) − 5 = 9𝑣𝑛 − 15 − 5 = 9𝑣𝑛 − 20

Définir des suites à partir d’un algorithme Chaque algorithme renvoie le terme de rang 𝑛 d’une suite. Définir ces suites.

Réponses

{𝑎 = 5

𝑎𝑛+1 = 3 × 𝑎𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 0

𝑎𝑛 = 1 + 3 + 32 +⋯+ 3𝑛

𝑎𝑛 = (1 + 𝑛)2

𝑎𝑛 = 2𝑛2 + 3𝑛

1

2

2


II. Suites arithmétiques

Définition 𝑢0 𝑢1 𝑢2 𝑢3 … 𝑢𝑛 𝑢𝑛+1

+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟

Dire qu’une suite (𝑢𝑛) est arithmétique signifie qu’il existe un réel 𝑟 tel que :

pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟 𝑟 est appelé la raison de la suite (𝑢𝑛)

Théorème Si (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑟, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟

Réciproque Si pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟 alors (𝑢𝑛) est une suite arithmétique de raison 𝑟

Comme le théorème et sa réciproque sont tous les vrais, on peut les énoncer en une seule proposition à l’aide d’une

équivalence :

(𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑟 si et seulement si pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟

Preuve : Hypothèse (ce que je me donne) : (𝑢𝑛) est arithmétique de raison 𝑟

Conclusion (ce que je veux montrer) : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟

Pour tout 𝑘 ≥ 0, on a : 𝑢𝑘+1 = 𝑢𝑘 + 𝑟 donc

Réciproquement:

Hypothèse : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟

Conclusion: (𝑢𝑛) est arithmétique

𝑢0 = 𝑢0

𝑢1 = 𝑢0 + 𝑟

𝑢2 = 𝑢1 + 𝑟

𝑢3 = 𝑢2 + 𝑟

…

𝑢𝑛−1 = 𝑢𝑛−2 + 𝑟

𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑟

En additionnant membre à membre et

les égalités ci-contre puis en

simplifiant les termes égaux de

chaque côté : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 𝑟

Cette preuve est au programme.

D’après l’hypothèse

𝑢𝑘+1 = 𝑢0 + (𝑘 + 1)𝑟

= 𝑢0 + 𝑘𝑟 + 𝑟

= 𝑢𝑘 + 𝑟

Donc 𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘 = 𝑟

Ce qui est la définition prise pour

une suite arithmétique !

Propriété Pour tous entiers naturels 𝑛 et 𝑝 : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑟

Remarque : 𝑛 − 𝑝 est le nombre de sauts pour passer de 𝑢𝑝 à 𝑢𝑛 (comptés négativement si 𝑝 < 𝑛)

Preuve : On a déjà démontré que 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 donc on a aussi 𝑢𝑝 = 𝑢0 + 𝑝𝑟

𝑢𝑛 − 𝑢𝑝 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 − (𝑢0 + 𝑝𝑟) = 𝑢0 + 𝑛𝑟 − 𝑢0 − 𝑝𝑟 = (𝑛 − 𝑝)𝑟 donc 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑟

Savoir montrer qu’une suite n’est pas arithmétique : (𝑣𝑛) telle que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣𝑛 = 2𝑛2 + 1

𝑣0 = 1 𝑣1 = 3 𝑣2 = 9 +2 +6

Comme l’évolution n’est pas constante, la suite n’est pas arithmétique.

Pour prouver qu’une généralité est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple.

Savoir montrer qu’une suite est arithmétique : (𝑤𝑛) telle que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑤𝑛 = 4𝑛2 − (2𝑛 − 3)2

Pour prouver une généralité, des exemples ne suffisent pas.

𝑤𝑛 = 4𝑛2 − (2𝑛 + 3)2 = 4𝑛2 − (4𝑛2 + 12𝑛 + 9) = 4𝑛2 − 4𝑛2 − 12𝑛 − 9 = −12𝑛 − 9

On reconnait la forme 𝑢0 + 𝑛𝑟 avec 𝑢0 = −9 et 𝑟 = −12 Donc (𝑤𝑛) est une suite arithmétique.

1

1

2

3

1

3

1

1


Représentation graphique : La représentation graphique d’une suite arithmétique (𝑢𝑛) de premier terme 𝑢0 et de

raison 𝑟 est constituée de points isolés situés sur la droite d’équation 𝑦 = 𝑟 𝑥 + 𝑢0

On parle de croissance linéaire (l’évolution est constante).

Somme de termes consécutifs (𝑢) est une suite arithmétique de raison 𝑟. 𝑛 et 𝑝 des entiers naturels avec 𝑝 < 𝑛

𝑆 = 𝑢𝑝 + 𝑢𝑝+1 +⋯+ 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒+𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒

2= (𝑛 − 𝑝 + 1) ×

𝑢𝑝+𝑢𝑛

2

Cas particuliers : pour tout entier naturel 𝑛, 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =𝑛(𝑛+1)

2

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 +⋯+ 𝑢𝑛 = (𝑛 + 1)(𝑢0+𝑢𝑛)

2

Preuves

1) Cette première démonstration est au programme (ci-contre, un argument graphique)

𝑆 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + (𝑛 − 3) + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 1) + 𝑛

𝑆 = 𝑛 + (𝑛 − 1) + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 3) +⋯ + 4 + 3 + 2 + 1

2𝑆 = (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1)+ . . … … … … … … … … … … … ……. + (𝑛 + 1) + (𝑛 + 1)

Il y a 𝑛 termes valant (𝑛 + 1) donc 2𝑆 = 𝑛(𝑛 + 1) donc 𝑆 =𝑛(𝑛+1)

2

2) Démonstration

𝑢𝑝 = 𝑢𝑝

𝑢𝑝+1 = 𝑢𝑝 + 𝑟

𝑢𝑝+2 = 𝑢𝑝 + 2𝑟

𝑢𝑝+3 = 𝑢𝑝 + 3𝑟

…

𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + 𝑛𝑟

En ajoutant membre à membre

𝑆 = 𝑢𝑝 + 𝑢𝑝+1 + 𝑢𝑝+2 +⋯+ 𝑢𝑛 = (𝑛 − 𝑝 + 1) × 𝑢𝑝 + 𝑟 × (1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 − 𝑝)

𝑆 = (𝑛 − 𝑝 + 1) × 𝑢𝑝 + 𝑟𝑛(𝑛−𝑝+1)

2 car 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =

𝑛(𝑛+1)

2

𝑆 = (𝑛 − 𝑝 + 1) × (𝑢𝑝 +𝑛𝑟

2) = (𝑛 − 𝑝 + 1) × (

2𝑢𝑝

2+𝑛𝑟

2) = (𝑛 − 𝑝 + 1) × (

𝑢𝑝 + 𝑢𝑝+𝑛𝑟

2)

𝑆 = (𝑛 − 𝑝 + 1) × (𝑢𝑝 + 𝑢𝑛

2)

Calculer 𝑆 = 3 + 8 + 13 + 18 +⋯+ 208 + 213 + 218 + 223 Tous les termes sont sur le même principe.

On remarque que les termes vont de 5 en 5. On définit la suite (𝑢𝑛) par {𝑢0 = 3

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 5 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 0

(𝑢𝑛) est une suite arithmétique donc 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 = 3 + 5𝑛

Cherchons l’indice de 223: 𝑢𝑘 = 233 ⇔ 3 + 5𝑛 = 223 ⇔ 5𝑛 = 220 ⇔ 𝑛 =220

5= 44 donc 𝑢44 = 223

𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 +⋯+ 𝑢44 = (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠) ×𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒+𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒

2= 45 ×

3+223

2= 5 085

Savoir déterminer une suite arithmétique Déterminer la suite arithmétique (𝑢𝑛) telle que : 𝑢10 = −10 et 𝑢15 = −20

Comme 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑟 donc 𝑢15 = 𝑢10 + (15 − 10)𝑟 donc −20 = −10 + 5𝑟 donc 𝑟 = −2

De plus, 𝑢10 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 donc −10 = 𝑢0 + 10 × (−2) donc 𝑢0 = 10

(𝑢𝑛) est la suite arithmétique de premier terme 10 et de raison −2

2

1

3

1

1

1


Savoir définir des suites à partir d’un motif

…

a) (𝑢𝑛) la suite qui donne le nombre de ronds dans chaque figure (numérotée 1, 2, 3, …) {𝑢1 = 1

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 3 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1

(𝑢𝑛) est la suite arithmétique, définie pour 𝑛 ≥ 1, de premier terme 1 et de raison 3.

Pour 𝑛 ≥ 1, on a aussi 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 + (𝑛 − 𝑝)𝑟 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑟 = 1 + 3(𝑛 − 1) = 3𝑛 − 2

b) (𝑣𝑛) la suite qui donne le nombre de ronds pour construire toutes les figures de l’étape 1 à l’étape 𝑛

𝑣𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 = (𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠) ×𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒+𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒

2= 𝑛 ×

1+(3𝑛−2)

2=𝑛(3𝑛−1)

2

Savoir modéliser avec une suite arithmétique

a) La suite des entiers naturels pairs

Définition par récurrence : {𝑢0 = 0

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

Comme (𝑢𝑛) est une la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2, 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟

Donc une définition en donnant 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 2𝑛 pour 𝑛 ≥ 0

b) La suite des entiers impairs

Définition par récurrence : {𝑢0 = 1

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

Une définition en donnant 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 1 pour 𝑛 ≥ 0

c) On place un capital de 1000 € à 3% d’intérêts annuels simples.

Soit 𝑛 le nombre d’années écoulées depuis le placement. On note 𝑆𝑛 le capital en euros au bout de 𝑛 années.

(𝑆𝑛) est la suite arithmétique de premier terme 1000 et de raison 30 (les intérêts annuels représentent 3

100 𝑑𝑒 1000)

III. Suites géométriques

Définition 𝑢0 𝑢1 𝑢2 𝑢3 … 𝑢𝑛 𝑢𝑛+1

× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞

Dire qu’une suite (𝑢𝑛) est géométrique signifie qu’il existe un réel 𝑟 tel que :

pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 𝑞 est appelé la raison de la suite (𝑢𝑛)

Théorème Si (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛

Réciproque Si pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛 alors (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞

Comme le théorème et sa réciproque sont tous les vrais, on peut les énoncer en une seule proposition à l’aide d’une

équivalence : (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞 si et seulement si pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛

1

1

1

1

1

2


Justification :

Cette preuve est au programme

Hypothèse : (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞

Conclusion : 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛

𝑢1 = 𝑞 𝑢0

𝑢2 = 𝑞 𝑢1 = 𝑞 × 𝑞𝑢0 = 𝑞2 𝑢0

𝑢3 = 𝑞𝑢2 = 𝑞 × 𝑞2𝑢0 = 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑢0 = 𝑞

3𝑢0

𝑢4 = 𝑞 × 𝑞3𝑢0 = 𝑞

4 𝑢0

…

Et de proche en proche (cette généralisation s’appuie sur

une propriété vue en terminale)

𝑢𝑛 = 𝑞𝑛 𝑢0

Réciproquement:

Hypothèse : 𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛

Conclusion: (𝑢𝑛) est géométrique

Remarquons que d’après l’hypothèse

𝑢𝑛 = 𝑢0 𝑞𝑛 mais aussi 𝑢𝑛+1 = 𝑢0 × 𝑞

𝑛+1

Etablissons un lien entre les deux

𝑢𝑛+1 = 𝑢0 × 𝑞𝑛+1 = 𝑢0 × 𝑞

𝑛 × 𝑞 = 𝑢𝑛 × 𝑞

On reconnait la relation de récurrence qui sert à définir une

suite géométrique.

Savoir calculer des termes soit (𝑔𝑛) la suite telle que 𝑔𝑛 = 3 × 2−𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ. Donner les 4 premiers termes.

𝑔0 = 3 × 20 = 3 × 1 = 3 𝑔1 = 3 × 2

−1 = 3 ×1

21=3

2 𝑔2 = 3 × 2

−2 = 3 ×1

22=3

4 𝑔3 = 3 ×

1

23=3

8

Par cœur : Soit 𝑎 un réel non nul 𝑎0 = 1 pour 𝑛 entier naturel non nul, 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎⏞ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

et 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

Propriété Pour tous entiers naturels 𝑛 et 𝑝 : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 × 𝑞𝑛−𝑝

Remarque : 𝑛 − 𝑝 est le nombre de sauts pour passer de 𝑢𝑝 à 𝑢𝑛 (négatif si 𝑝 < 𝑛)

Preuve Pour 𝑛 et 𝑝 entiers naturels 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛 (voir théorème précédent)

𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛−𝑝+𝑝 = 𝑢0 × 𝑞

𝑝 × 𝑞𝑛−𝑝 = 𝑢𝑝 × 𝑞𝑛−𝑝

Par cœur Pour 𝑎 non nul et 𝑛 et 𝑝 entiers relatifs

𝑎𝑝 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+𝑝 𝑎𝑛

𝑎𝑝= 𝑎𝑛−𝑝

(𝑎𝑝)𝑛 = 𝑎𝑛×𝑝 𝑎𝑛 × 𝑏𝑛 = (𝑎𝑏)𝑛

Attention, pas de formule pour 𝑎𝑛 × 𝑏𝑝 et pas de formules « simples » pour (𝑎 + 𝑏)𝑛 et (𝑎 − 𝑏)𝑛

Représenter graphiquement

la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 𝑒 = 2,7183

La suite est représentée par les points isolés. On parle de croissance exponentielle.

Entre chaque terme, le taux d'évolution est constant : ici, il est de 171,83 %

Modéliser avec une suite géométrique:

a) La suite des puissances (exposant positif) de 10

{𝑢0 = 1

𝑢𝑛+1 = 10 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 0

(𝑢𝑛) est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 10

donc 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛. Une autre définition possible est: 𝑢𝑛 = 10

𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

b) On place un capital de 1000 € à 3% d’intérêts annuels composés.

Soit 𝑛 le nombre d’années écoulées depuis le placement. On note 𝐶𝑛 le capital en euros au bout de 𝑛 années.

Chaque année, le capital augmente de 3% donc il est multipié par 1,03

(𝐶𝑛) est la suite géométrique de premier terme 1000 et de raison 1,03

2 3

1

1

1

1

1

1

1

3


Savoir montrer qu’une suite est géométrique Soit (𝑡𝑛) la suite définie par 𝑡𝑛 = 3 × 2

𝑛+3

𝑡𝑛 = 3 × 2𝑛+3

= 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × …× 2⏞ 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

= 24 × 2𝑛

On reconnait la forme 𝑢0 × 𝑞𝑛 avec 𝑢0 = 24 et

𝑞 = 2 donc (𝑡𝑛) est une suite géométrique.

Savoir montrer qu’une suite n’est pas géométrique

Soit (𝑝𝑛) la suite définie par {𝑝0 = 3

𝑝𝑛+1 = 0,1𝑝𝑛 + 0.7

𝑝1 = 0,1𝑝0 + 0,7 = 1 et 𝑝2 = 0,1𝑝1 + 0,7 = 0,1 × 1 + 0,7 = 0,8

𝑝1 =1

3𝑝0 mais 𝑝2 = 0,8 𝑝1 donc on ne passe pas toujours d’un

terme à son suivant en multipliant par le même nombre donc (𝑝𝑛)

n’est pas géométrique.

Somme de termes consécutifs

(𝑢) est une suite géométrique de raison 𝑞 avec 𝒒 ≠ 𝟏.

𝑛 et 𝑝 étant des entiers naturels avec 𝑝 < 𝑛,

𝑆 = 𝑢𝑝 + 𝑢𝑝+1 +⋯+ 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛 = (𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×1−𝑞𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1−𝑞

Cas particuliers importants : pour tout entier naturel 𝑛, 1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛 =1−𝑞𝑛+1

1−𝑞

Preuves

1) Cette première démonstration est au programme (ci-contre, un argument graphique)

𝑆 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛

𝑞𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛 + 𝑞𝑛+1

En soustrayant membre à membre et en simplifiant : 𝑆 − 𝑞𝑆 = 1 − 𝑞𝑛+1 donc (1 − 𝑞)𝑆 = 1 − 𝑞𝑛+1

La division par 1 − 𝑞 est possible puisque 𝑞 ≠ 1 (sinon on divise par 0) donc 𝑆 =1−𝑞𝑛+1

1−𝑞

2) La démonstration ci-dessus se généralise facilement.

𝑆 = 𝑢𝑝 + 𝑢𝑝 𝑞 + 𝑢𝑝 𝑞2 + 𝑢𝑝 𝑞

3 +⋯+ 𝑢𝑝 𝑞𝑛

𝑞𝑆 = 𝑢𝑝 𝑞 + 𝑢𝑝 𝑞2 + 𝑢𝑝 𝑞

3 +⋯+ 𝑢𝑝 𝑞𝑛 + 𝑢𝑝 𝑞

𝑛+1

En soustrayant membre à membre et en simplifiant : 𝑆 − 𝑞𝑆 = 𝑢𝑝 − 𝑢𝑝𝑞𝑛+1 donc 𝑆 = 𝑢𝑝

1−𝑞𝑛+1

1−𝑞

Savoir calculer une somme

1) Combien vaut 1+2 + 22 +⋯+ 215 le plus grand entier possible codé sur 16 bits ?

1+2 + 22 +⋯+ 215 =1−216

1−2= 65 535

Le plus grand entier codé sur 16 bits est 65 535.

2) (𝑣𝑛) est la suite géométrique de premier terme 7 et de raison 2. Calculer 𝑣5 + 𝑣6 + 𝑣7 +⋯+ 𝑣16

𝑣5 + 𝑣6 + 𝑣7 +⋯+ 𝑣16 = (𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×1−𝑞𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1−𝑞= 7 × 25 ×

1−216−5+1

1−2= 28 448

Modéliser avec des suites à partir

de motifs géométriques

1

1

1

2

3

1

1

2


Une suite qui donne le nombre 𝑢𝑝 de triangles noirs à l’étape 𝑛 : {𝑢1 = 1

𝑢𝑛+1 = 3 × 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1

(𝑢𝑛) est la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3 donc 𝑢𝑛 = 𝑢𝑝 𝑞𝑛−𝑝

Donc 𝑢𝑛 = 3𝑛−1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1

Une suite qui donne le nombre 𝑏𝑛 de triangles blancs à l’étape 𝑛

D’une étape à l’autre, on retrouve les triangles blancs précédents auquel s’ajoute un triangle blanc à

l’intérieur de chaque triangle noir que l’on avait {𝑏1 = 0

𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 + 𝑢𝑛 = 𝑏𝑛 + 3𝑛−1 𝑝𝑜𝑢𝑟 n ≥ 1

Une suite qui donne le nombre 𝑡𝑛 de triangles à l’étape 𝑛 :

A l’étape 𝑛, 𝑡𝑛 = 𝑢𝑛 + 𝑏𝑛 = 3𝑛−1 + 𝑏𝑛

A l’étape 𝑛 + 1, 𝑡𝑛+1 = 𝑢𝑛+1 + 𝑏𝑛+1 = 3𝑛 + 𝑏𝑛 + 3

𝑛−1 = 3𝑛 + 𝑡𝑛

On définit la suite (𝑡𝑛) par : {𝑡1 = 1

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + 3𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 1

IV. Des suites « historiques »

1) Zénon d’Elée : le paradoxe de la tortue

(𝑢𝑛) est la suite géométrique de premier terme 1

2 et de raison

1

2.

Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 +⋯+ 𝑢𝑛 < 1

Preuve 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 +⋯+ 𝑢𝑛 = (𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×1−𝑞𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1−𝑞=1

2×1−(

1

2)𝑛+1

1−1

2

=1

2×1−

1

2𝑛+1

1

2

𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 +⋯+ 𝑢𝑛 =1

2×2𝑛+1−1

2𝑛+1×2

1=

2𝑛+1−1

2𝑛+1=2𝑛+1

2+1𝑛−

1

2𝑛+1= 1 −

1

2𝑛+1

Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 1

2𝑛+1> 0 en multipliant chaque membre par −1 qui est négatif,

−1

2𝑛+1< 0 en ajoutant 1 à chaque membre

1 −1

2𝑛+1< 1 Donc 𝑆 < 1

Histoire des maths : voir Paradoxe de la tortue (Zénon) (piste rouge)

2) Zénon d’Elée : le paradoxe d’Achille

On pose, pour tout 𝑛 entier naturel non nul, 𝑡𝑛 =1

10𝑛−2

a) Montrer que (𝑡𝑛) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b) Calculer 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 +⋯+ 𝑡𝑛 en fonction de 𝑛

c) Conjecturer la limite de cette somme quand « 𝑛 tend vers l’infini »

Correction

a) Notation : on note ℕ∗ l’ensemble des entiers naturel privé de 𝟎

𝑡1 =1

101−2=

1

10−1= 101 = 10

3

2

2

https://www.ted.com/talks/colm_kelleher_what_is_zeno_s_dichotomy_paradox?language=fr


Pour 𝑛 ≥ 1, 𝑡𝑛+1 =1

10𝑛+1−2=

1

𝑡𝑛−1=

1

10×10𝑛−2=

1

10×

1

10𝑛−2= 0,1 × 𝑡𝑛

On reconnait la définition de la suite géométrique de premier terme 10 et de raison 0,1

b) 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 +⋯+ 𝑡𝑛 = (𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒) ×1−𝑞𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠

1−𝑞= 10 ×

1−0,1𝑛

1−0,1=

10

0,9× (1 − 0,1𝑛)

c) 0,1𝑛 = 0, 000…01⏞

𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑓𝑓𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑔𝑢𝑙𝑒

Donc quand « 𝑛 tend vers +∞ », 0,1𝑛 devrait tendre vers 0

Donc 10

0,9× (1 − 0,1𝑛) devrait tendre vers

10

0,9≈ 11,111111…

Histoire des maths : Voir le paradoxe d’Achille

3) Compléments uniquement pour le plaisir (sinon passer son chemin) :

Lire Achille ne rattrapera jamais la tortue (source : APMEP)

Voir «Le paradoxe de Zénon et autres curiosités mathématiques » par Sébastien LEURENT

4) La preuve que 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗… = 𝟏 et ne cherchez pas l’erreur !

Voir la vidéo par Yvan Monka (surtout à partir de 8 minutes 9 secondes)

5) La suite de Fibonacci

On considère la suite définie par {

𝐹0 = 1𝐹1 = 1

𝐹𝑛+2 = 𝐹𝑛+1 + 𝐹𝑛 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ≥ 0

Donner les 8 premiers termes de la suite.

Réponse :

𝐹0 = 1 𝐹2 = 2 𝐹3 = 𝐹1 + 𝐹2 = 1 + 2 = 3

𝐹4 = 𝐹2 + 𝐹3 = 2 + 3 = 5 𝐹5 = 𝐹3 + 𝐹4 = 3 + 5 = 8 𝐹6 = 𝐹5 + 𝐹6 = 5 + 8 = 13

Histoire des maths : Descendance d’un couple de lapin (problème posé par Fibonacci vers 1200)

6) √𝟐 dans la nuit des temps (entre -1900 et -1600 à Babylone)

« L’homme qui a imprimé au stylet les signes de cette tablette d’argile parlait une langue qui ne contenait pas de mot signifiant

‘’mathématiques’’. Ce n’était ni un scientifique ni un chercheur au sens actuel du terme, plutôt, sans doute, un calculateur qui avait à sa

disposition un catalogue de méthodes diverses pour résoudre des problèmes. Pour nous, il n’en est pas moins l’un des rares témoins d’un

temps qui vit l’éclosion d’une entité au fabuleux destin. Il y a près de quatre mille ans, sur une tablette d’argile, naquit la racine de 2.

3

3

2

3

3

3

https://www.youtube.com/watch?v=roWTVxNzFM8

https://www.apmep.fr/Achille-ne-rattrapera-jamais-la

http://paf.ac-dijon.fr/spip.php?article196

https://www.youtube.com/watch?v=eEYdM_jz88Q

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/FiboLapi.htm


Si des tablettes babyloniennes plus anciennes donnent certes déjà des évaluations de √2, la tablette YBC 7289 se distingue par sa remarquable

précision. »1. Des questions se posent alors :

quelle était la motivation des Babyloniens pour une telle précision qui ne devait pas avoir d’utilité pratique ?

comment s’y sont-ils pris ?

avaient-ils conscience de ne pas avoir trouvé une valeur « définitive » ?

Nous ne connaissons pas les réponses, au plus quelques supputations éclairées par les traces de mathématiques dans différentes civilisations

et à différentes époques.

Voici un algorithme, présentée dans un ouvrage de Héron (1er siècle après J.C.) mais connue bien avant. On le

nomme parfois aujourd’hui « l’algorithme de Babylone » ou « l’algorithme de Héron ».

On part d’un rectangle d’aire 2 (longueur 2 et largeur 1 par exemple).

D’étape en étape, on le déforme en gardant l’aire constante égale à 2, pour « tendre » à obtenir le carré d’aire 2.

Comme un carré d’aire 2 a pour longueur √2, les longueurs des rectangles devraient « tendre vers » √2.

Initialisation :

On part d’un rectangle d’aire 2

Longueur : 𝐿0 = 2 donc la largeur est 𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐿0=

2

2= 1

Longueur 2 Largeur 1

Etape 1 : On prend pour nouvelle longueur la moyenne des dimensions précédentes :

𝐿1 =1

2(𝐿0 +

2

𝐿0) =

1

2(2 +

2

2) =

3

2

La largeur est calculée pour que l’aire reste 2 : 𝑙1 =𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐿1=

23

2

Longueur 1,5 Largeur ≈ 1,33

Etape 2 : On prend pour nouvelle longueur la moyenne des dimensions précédentes :

𝐿2 =1

2(𝐿1 +

2

𝐿1) =

1

2(3

2+

23

2

) =17

12

La largeur est calculée pour que l’aire reste 2 : 𝑙2 =𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐿2=

217

12

Longueur ≈ 1,41667 Largeur ≈ 1,41176

a) Exécuter l’étape 3

b) Définir la suite (𝐿𝑛) des longueurs successives

c) Ecrire une fonction Python qui renvoie une valeur approchée de 𝐿𝑛

1 Benoit RITTAUD, Le fabuleux destin de √2, éditions Le Pommier, 2006


Correction :

a) Etape 3 𝐿3 =1

2(𝐿2 +

2

𝐿2) =

1

2(17

12+

217

12

) =577

408 La largeur est calculée pour que l’aire reste 2 : 𝑙3 =

𝑎𝑖𝑟𝑒

𝐿3=

2577

408

Ainsi : 816

577< √2 <

577

408 donc 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 𝟐𝟏1 438 < √2 < 𝟏, 𝟒𝟏𝟒 𝟐𝟏5 687

b) {𝐿0 = 2

𝐿𝑛+1 =1

2(𝐿𝑛 +

2

𝐿𝑛) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

c)

7) Résolution d’une équation par la méthode de Newton

Introduction

Isaac Newton (1642-1727) a inventé une méthode pour trouver des valeurs

approchées d’une équation de la forme 𝑓(𝑥) = 0.

Un exemple qu’il a traité présenté est : 𝑥3 − 2𝑥 − 5 = 0 dont la seule solution réelle

est proche de 2. Notons 𝑎 cette solution, on a donc : 𝑎3 − 2𝑎 − 5 = 0

Initialisation de l’algorithme : On pose : 𝑎0 = 2

Graphiquement, on voit que 𝑎0 est une approximation pas très précise de 𝑎

mais nous allons l’améliorer étape par étape.

Etape 1 : En remplaçant la valeur exacte 𝑎 par 𝑎0 = 2 on commet une erreur : 𝑒0 = 𝑎 − 𝑎0 = 𝑎 − 2

Et donc 𝑎 = 2 + 𝑒0 or 𝑎3 − 2𝑎 − 5 = 0, donc (2 + 𝑒0)3 − 2(2 + 𝑒0) − 5 = 0

En développant et réduisant, 𝑒03 + 6𝑒0

2 + 10𝑒0 − 1 = 0

Comme 𝑒0 est proche de 0, 6𝑒02 et 𝑒0

3 sont encore plus proches : on va les négliger.

10𝑒0 − 1 ≈ 0 donc 𝑒0 ≈1

10 Ainsi : 𝑎 = 2 + 𝑒0 ≈ 2 +

1

10≈ 2,1

On a alors une approximation 𝑎1 =11

10 un peu plus précise de 𝑎.

Etape 2 : En remplaçant la valeur exacte 𝑎 par 𝑎1 =11

10 on commet une erreur : 𝑒1 = 𝑎 − 𝑎1 = 𝑎 − 2,1

Et donc 𝑎 = 2,1 + 𝑒1 or 𝑎3 − 2𝑎 − 5 = 0, donc (2,1 + 𝑒1)3 − 2(2,1 + 𝑒1) − 5 = 0

En développant et réduisant, 𝑒13 + 6,3𝑒1

2 + 11,23𝑒1 + 0,061 = 0

Comme 𝑒1 est proche de 0, 6,3𝑒12 et 𝑒1

3 sont encore plus proches : on va les négliger.

11,23𝑒1 + 0,061 = 0 donc 𝑒1 ≈ −0,061

11,23 Ainsi : 𝑎 = 2,1 + 𝑒1 ≈ 2,1 −

0,061

11,23≈ 2,0946

On a alors une approximation 𝑎2 = 2,0946 un peu plus précise de 𝑎.

… et ainsi de suite …

3


Etape 𝒏 :

Supposons que 𝑎𝑛 soit une approximation du nombre positif 𝑎 telle que : 𝑎3 − 2𝑎 − 5 = 0.

Calculons en une meilleure.

En remplaçant 𝑎 par 𝑎𝑛 on commet une erreur : 𝑒𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑛 donc 𝑎 = 𝑎𝑛 + 𝑒𝑛

Comme 𝑎3 − 2𝑎 − 5 = 0, (𝑎𝑛 + 𝑒𝑛)3 − 2(𝑎𝑛 + 𝑒𝑛) − 5 = 0

En développant et réduisant selon les puissances de 𝑒𝑛, 𝑒𝑛3 + 3𝑎𝑛𝑒𝑛

2 + (3𝑎𝑛2 − 2)𝑒𝑛 + 𝑎𝑛

3 − 2𝑎𝑛 − 5 = 0

Comme 𝑒𝑛 est proche de 0, 𝑒𝑛3 et 3𝑎𝑛𝑒𝑛

2 sont encore plus proches : on va les négliger. On obtient :

(3𝑎𝑛2 − 2)𝑒𝑛 + 𝑎𝑛

3 − 2𝑎𝑛 − 5 = 0 donc 𝑒𝑛 = −𝑎𝑛−3 2𝑎𝑛−5

3𝑎𝑛2−2

donc 𝑎 = 𝑎𝑛 + 𝑒𝑛 ≈ 𝑎𝑛 −𝑎𝑛−3 2𝑎𝑛−5

3𝑎𝑛2−2

On pose 𝑎𝑛+1 =2𝑎𝑛

3−2𝑎𝑛+5

3𝑎𝑛2−2

On admet que 𝑎𝑛+1 est une approximation encore meilleure de 𝑎

Interprétation graphique

On pose 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 − 5. On remarque que : 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −𝑓(𝑎𝑛)

𝑓′(𝑎𝑛). Etonnant ? Pas vraiment !

Soit 𝑇𝑛 la tangente à 𝐶𝑓 en 𝐴(𝑎𝑛 ; 𝑓(𝑎𝑛))

Au voisinage de 𝑎𝑛, 𝐶𝑓 et 𝑇𝑛 sont presque

confondues : 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓′(𝑎𝑛)(𝑥 − 𝑎𝑛) + 𝑓(𝑎𝑛)

Au lieu de résoudre, 𝑓(𝑥) = 0, on va résoudre :

𝑓′(𝑎𝑛)(𝑥 − 𝑎𝑛) + 𝑓(𝑎𝑛) = 0

Donc 𝑓′(𝑎𝑛)𝑥 = 𝑓′(𝑎𝑛) 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎𝑛)

Donc 𝑥 =𝑓′(𝑎𝑛) 𝑎𝑛−𝑓(𝑎𝑛)

𝑓′(𝑎𝑛)= 𝑎𝑛 −

𝑓(𝑎𝑛)

𝑓′(𝑎𝑛)

Remarque : 𝑓′(𝑎𝑛)𝑥 + 𝑓′(𝑎𝑛) 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎𝑛) est de la forme 𝑚𝑥 + 𝑝

avec 𝑚 = 𝑓′(𝑎) et 𝑝 = 𝑓′(𝑎𝑛) 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎𝑛)

On dit 𝑓′(𝑎𝑛)𝑥 + 𝑓′(𝑎𝑛) 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎𝑛) est une approximation affine de 𝑓(𝑥) au voisinage de 𝑎𝑛

Nous n’avons pas :

prouvé que la suite (𝑎𝑛) va se rapprocher, aussi près que l’on veut, de 𝑎 (ni même que 𝑎 existe)

établit des conditions sur 𝑓 garantissant que le procédé fonctionne

Il y aurait du travail pour écrire un théorème (proposition mathématique que l’on sait démontrer) … mais il existe !

Questions

1) Taper l’équation 𝑥3 − 2𝑥 − 5 = 0 dans WolframAlpha.com quelle approximation de la solution obtient-on ?

2) Ecrire une fonction Python qui renvoie la valeur de 𝑎𝑛

3) Comme 𝑥2 = 2 ⇔ 𝑥2 − 2 = 0 et que √2 est une solution de l’équation 𝑥2 − 2 = 0, la méthode de

Newton appliquée à la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 devrait permettre d’obtenir des valeurs approchées de √2.

Si on applique le procédé (voir interprétation graphique) avec 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 et 𝑎0 = 2, que retrouve-t-on ?


4) Proposer une fonction 𝑔 pour trouver une valeur approchée de √85 à l’aide de la méthode de Newton.

Donner la définition d’une suite qui (𝑎𝑛) qui devrait converger vers √85 :

Corrigé

1) 𝑥 ≈ 2,094 551 481 542 33 nous avions trouvé 𝑎2 ≈ 2,0946 efficace non ?

2) La définition par récurrence de (𝑎𝑛) : {𝑎0 = 2

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −2𝑎𝑛

3−2𝑎𝑛+5

3𝑎𝑛2−2

En algorithmie, l’affectation se fait en deux étapes : on calcule d’abord ce qui est à droite puis on le range

dans la variable de gauche. Donc on utilise la même variable pour 𝑎𝑛+1 et 𝑎𝑛. Appelons là 𝑡.

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 donc 𝑓′(𝑥) = 2𝑥

La relation de récurrence de la suite (𝑎𝑛) sera :

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −𝑓(𝑎𝑛)

𝑓′(𝑎𝑛)= 𝑎𝑛 −

(𝑎𝑛2−2)

2 𝑎𝑛= 𝑎𝑛 −

𝑎𝑛2

2𝑎𝑛+

2

2𝑎𝑛= 𝑎𝑛 −

𝑎𝑛

2+

2

2𝑎𝑛=𝑎𝑛

2+

2

2𝑎𝑛=1

2(𝑎𝑛 +

2

𝑎𝑛)

La suite (𝑎𝑛) est définie par {𝑎0 = 2

𝑎𝑛+1 =1

2(𝑎𝑛 +

2

𝑎𝑛) 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 ∈ ℕ

La méthode de Newton redonne, avec cette fonction 𝑓, l’algorithme Babylonien.

4) On trouve une fonction pour laquelle 𝑔(√85) vaut 0. Posons : 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 85

Remarque :

Comme 81 < 85 < 100

et que la fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ; +∞[ (elle conserve l’ordre en passant aux images)

on a : √81 < √85 < √100 donc 9 < √85 < 10

𝑎0 = 9 ou 𝑎0 = 10 sont de bons choix (mais on peut prendre bien d’autres valeurs !)

Une suite (𝑎𝑛) qui devrait converger (il faudrait le prouver) vers √85 :

{𝑎0 = 9

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −𝑔(𝑎𝑛)

𝑔′(𝑎𝑛)= 𝑎𝑛 −

𝑎𝑛2−85

2𝑎𝑛=1

2(𝑎𝑛 +

85

𝑎𝑛)

Documents

II. Suites arithmétiqueshautmathelin.fr/math/premiere/1_Cours_Chap_01_Suites.pdf · Savoir définir des suites à pa ti d’un motif a) ( ) la suite qui donne le nombre de ronds