1

III METODOS DE INTEGRACION

III.1.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.- Los métodos de integración son formas que se utilizan para integrar diferenciales en las que no se pueden aplicar las fórmulas hasta ahora vistas. Este primer método se denomina de sustitución trigonométrica porque las integraciones de diferenciales algebraicas se sustituyen por funciones trigonométricas que permiten hacer la integración.

En este tipo de problemas siempre tendremos una suma o una diferencia de dos términos elevados a cualquier exponente, con la característica de que los dos términos siempre son una constante y una variable, la variable siempre está elevada al cuadrado. Puede existir otra potencia de la misma variable multiplicando o dividiendo pero lo fundamental para el trabajo del método son la suma o diferencia de dos términos.

Este es el método del triángulo.

Para el uso del método, se recomiendan los pasos siguientes:

1. Dibujar un triángulo rectángulo y elegir un ángulo agudo interno2. Sobre los lados de este triángulo colocar:

a. La raíz cuadrada de los dos términos en la hipotenusa si se están sumando. La raíz cuadrada de la variable en un cateto y la raíz cuadrada de la constante en el otro. (Aunque no es forzoso, generalmente se coloca la variable en el cateto opuesto)

b. Colocar la raíz cuadrada de los dos términos en uno de los catetos si es diferencia, la raíz cuadrada del minuendo en la hipotenusa y la del sutraendo en el otro cateto

3. Calcular las funciones trigonométricas cuya razón tenga en el denominador la constante

4. A partir de estas dos funciones, calcular los términos que componen la diferencial que se ha de integrar y sustituirlos en la misma

5. Resolver la nueva integral6. Sustituir en el resultado encontrado las funciones trigonométricas por sus

equivalentes algebraicas. (Es necesario auxiliarse del triángulo dibujado)7. Simplificar

NOTA: Hay que recordar la propiedad de los logaritmos ln = ln a - ln b

Ejemplo: a ln + c = a ln x – a ln b + c ; y como: a ln b = constante, entonces:

a ln = a ln x + c

EJEMPLOS

2

1)

1. y 2. ............................

Del triángulo de la figura:

3.

4.

obtenido al diferenciar y sustituyendo resulta

y al simplificar queda

5.

6. Del triángulo, se tiene que

7.

2)

3

1. y 2. ..................................

3.

4.x = sec

5.

6.

7.

Cuando el resultado es sólo el ángulo, se acostumbra escribir el arco de la función cuya razón sea la variable sobre la constante.

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS XVII

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

4

sen 2 a = 2 sen a cos a; cos 2 a = 2 cos2 a - 1; tan 2 a =

III.2.- INTEGRACION POR PARTES.- Este método se aplica a las diferenciales en las que se encuentre un producto de dos funciones y que a continuación se señalan:

a) Variable por función trigonométrica de la variableb) Variable por exponenciales de la variablec) Exponenciales por funciones trigonométricasd) Logaritmos y arcos de funciones trigonométricase) Producto de seno y/o coseno de diferentes ángulos

La fórmula que se ha de utilizar es la siguiente:

Para la aplicación de este método, no se pueden proporcionar pasos concretos a seguir; sólo se sugieren las recomendaciones siguientes:

1. Si la diferencial del problema es un logaritmo o un arco de función trigonométrica, el logaritmo o la función se iguala a “u” y el otro factor será “dv”

2. “u” se iguala al factor fácilmente diferenciable y “dv” al factor fácilmente integrable

3. Después de haber derivado “u” para encontrar “du” e integrado “dv” para encontrar “v”, sustitúyanse los valores obtenidos en la fórmula

4. Resolver la integración resultante, si aparece una nueva integral por partes, se procede como se indica en los incisos anteriores

5. Si la integral resultante es igual o casi igual a la del miembro de la izquierda, hay que despejar y simplificar para terminar con el problema

6. Generalmente al integrar “dv” no debe aumentar el valor del exponente7. Si se tienen exponenciales, se toma el exponencial junto con el diferencial de

la variable como “dv”EJEMPLOS

1)

2.

3.

4.

5

2) 2.

3.

4.

Resuelve los siguientes:

EJERCICIOS XVIII

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

III.3.- INTEGRACION POR DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES.- Un polinomio en x es una función de la forma a 0xn + a1xn-1 +...+ an-1 x + an en donde los coeficientes (a) son constantes, a0 0 y n un número entero y positivo cualquiera incluido el cero.

Si dos polinomios del mismo grado toman iguales valores numéricos para todos los valores de la variable, los coeficientes de los términos de igual grado de ésta, en ambos polinomios, son iguales.

6

Todo polinomio de coeficientes reales se puede expresar (al menos teóricamente) como producto de factores reales lineales de la forma ax + b, y de factores cuadráticos reales irreducibles de la forma ax2 + bx + c.

Una función F(x) = en la que f(x) y g(x) son polinomios, recibe el nombre

de fracción racional.

Si el grado de f(x) es menor que el de g(x), F(x) recibe el nombre de función propia, en caso contrario se llama impropia.

Toda fracción racional impropia se puede expresar como suma de un polinomio y una fracción propia.

Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores son de la forma ( a x + b )n y ( a x2 + b x + c )n, siendo n un número entero y positivo. Aprovechando las propiedades antes mencionadas, éstas son utilizadas en la solución de integrales. Aunque son varios casos, únicamente se tratarán los dos siguientes:

I). Para cada factor lineal a x + b que aparezca sólo una vez, habrá un término de

la forma . A es constante a determinar.

EJEMPLOS

1)

1. Descomponiendo el denominador en factores:x3 + x2 - 2x = x ( x – 1 ) ( x + 2 )

2. Por lo tanto

3. 3x2 + 6 = A ( x – 1 ) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x – 1 )

4. Se sustituyen los valores de x que hacen cero los denominadores de 2) en 3) para calcular los valores de A, B y C. Es decir; x = 0, x = 1, y x = -2

3 ( 0 )2 + 6 = A ( 0 – 1 ) ( 0 + 2 ) + B( 0 ) ( 0 + 2 )+ C ( 0 )( 0 – 1 )6 = A ( -1 ) ( 2 )

6 = - 2A; A = - 33 ( 1 )2 + 6 = A ( 1 – 1 ) ( 1 + 2 ) + B ( 1 ) ( 1 + 2 ) + C ( 1 ) ( 1 – 1 )

9 = B ( 3 ); B = 33 ( - 2 )2 + 6 = A ( - 2 – 1 )( - 2 + 2 ) + B ( - 2 )( - 2 + 2 )+ C ( - 2 ) ( - 2 – 1 )

18 = C ( 6 ); C = 3

7

5. Sustituyendo en 2)

y la integral del problema se puede transformar a:

El cálculo de las constantes A, B y C, también se puede realizar formando ecuaciones simultaneas con los coeficientes de términos del mismo grado en el paso 3):

3 + 6 = A ( x – 1 ) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x –1 )3 + 6 = ( A + B + C ) + ( A + 2B – C ) x - 2A

a) 3 = A + B + Cb) 0 = A + 2B - Cc) 6 = - 2A; A = - 3

Sumando a) y b) y sustituyendo el valor de A3 = 2A + 3B3 = 2 ( - 3 ) + 3B3 = - 6 + 3B

9 = 3B; B = 3Sustituyendo en b) los valores de A y BO = ( - 3 ) + 2 ( 3 ) - CC = - 3 + 6; C = 3Que son los mismos valores encontrados

2)

1. Descomponiendo el denominador en factores: + 7x + 6 = ( x + 1 ) ( x + 6 )

2. Por lo tanto:

3. 1 = A ( x + 6 ) + B ( x + 1 )

4. Se sustituyen los valores de x que se hacen cero los denominadores de 2) en 3) para calcular los valores de A y B. Estos son x = - 1 y x = - 6.

1 = A ( - 1 + 6 ) + B ( - 1 + 1 )

1 = A ( 5 ); A =

8

1 = A (-6+6) + B (-6+1)

1 = B (-5); B = -

5. Sustituyendo en 2)

y la integral del problema se puede transformar a:

Para los valores de A y B:1 = A ( x + 6 ) + B ( x + 1 )1 = ( A + B )x + 6A + B

a) 0 = A + Bb) 1 = 6A + B

Multiplicando a) por –1 y sumando con b)

1 = 5A; A =

Sustituyendo el valor de A en a)

0 = ( 1/5 ) + B; B = -

valores iguales a los calculados.

II) A cada factor lineal ax + b, que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma:

siendo A, B, C,.... constantes a determinar.

EJEMPLOS:

1)

1. Expresado en la forma general:

2. Por lo tanto3 + 5x = A ( x + 1 ) 2 + B ( x – 1 ) + C ( x – 1 ) ( x + 1 )

3. Haciendo lo del paso 4) en el caso I)3 ( - 1 ) 2 + 5 ( - 1 ) = A ( - 1 + 1 ) 2 + B ( - 1 – 1 ) + C ( - 1 – 1 ) (-1+1)- 2 = - 2B; B = 13 ( 1 ) 2 + 5 ( 1 ) = A ( 1 + 1 ) 2 + B ( 1 – 1 ) + C ( 1 – 1 ) ( 1 + 1 )

9

8 = 4A; A = 2Para el cálculo de C, se usa cualquier valor para x:3 ( 2 ) 2 + 5 ( 2 ) = A ( 2 + 1 ) 2 + B ( 2 – 1 ) + C ( 2 – 1 ) ( 2 + 1 )22 = 2 ( 9 ) + 1 ( 1 ) + C ( 3 ), sustituyendo los valores de A y B.22 – 19 = 3C3 = 3 C; C = 1

4. Sustituyendo en 1)

y la integral queda:

EJERCICIOS XIX

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)