Inéquations du premier degré à deux variables

Inéquation du premier degré à deux variables

Dans un magasin, on vend des téléphones cellulaires de type A à 55,00 $ et d’autres de type B à 85,00 $. Si le montant mensuel des ventes pour ces deux types d’appareil est d’au plus 3 540,00 $, combien de téléphones de chaque type pourrait-on vendre?

Exemple :

1. Les variables sont :

- le nombre de téléphones de types A : x

- le nombre de téléphones de types B : y

2. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3 540,00 $.

Une solution d’une inéquation du premier degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation.

L’ensemble des couples qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables est appelé l’ensemble-solution.

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540,00

1 630,00 ≤ 3 540,00.

55,00 X 8 + 85,00 X 14 ≤ 3540,00 soit

En substituant 8 à x et 14 à y, on obtient :

8 téléphones à 55,00 $ et 14 téléphones à 85,00 $.

On pourrait vendre, par exemple :

Le couple ( 8 , 14 ) est donc une solution de cette inéquation,

car il rend l’inéquation vraie.

Vrai

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540

Remarque :

Il y a d’autres combinaisons possibles

Il y a donc beaucoup de solutions possibles, mais il faudra toujours obtenir un montant total inférieur à 3 540 $.

Exemple : 10 téléphones à 55,00 $ et 20 téléphones à 85,00 $.

(d’autres solutions possibles);

55,00 X 10 + 85,00 X 20 ≤ 3 540,00

soit 2 250,00 ≤ 3 540,00 Vrai

Il y a donc beaucoup de solutions possibles.

3. L’inéquation est : 55x + 85y ≤ 3540

Remarque :

Certains couples ne sont pas des solutions de l’inéquation.

Ce qui est faux car 3 775,00 ≥ 3 540,00.

Exemple : 30 téléphones à 55,00 $ et 25 téléphones à 85,00 $.

55,00 X 30 + 85,00 X 25 = 3 775,00

3 775,00 ≤ 3 540,00.

Le couple (30 , 25) n’est donc pas solution de l’inéquation.

Demi-plan

Tous les points dont les coordonnées vérifient l’inéquation sont situés dumême côté de la droite correspondant à l’équation formée à partir de cetteinéquation.

Comme l’ensemble-solution d’une inéquation peut comporter une grande quantité de couples, il est préférable de représenter graphiquement l’ensemble-solution d’une inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien.

L’ensemble de ces couples forme un demi-plan qui représente l’ensemble-solution de cette inéquation.

Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan.

Demi-plan

La droite frontière d’un demi-plan correspond à un trait plein lorsque l’équation fait partie de l’inéquation ( ≤ ou ≥ ).

La droite frontière d’un demi-plan correspond à un trait en pointillé lorsque l’équation en est exclue ( < ou > ).

2

1

4 6-2-4-6

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-8 8

y ≥ 2x – 3

Exemple 1

Soit l’inéquation suivante :

Il faut tout d’abord tracer la droite frontière dans le plan cartésien.

y = 2x – 3

On procède comme si c’était une équation.

On calcule 2 couples de coordonnées en utilisant l’équation.

y = 2x – 3

Pour x = -2

donc (-2 , -7)

Pour x = 4

y = 2 X -2 – 3 = -7

y = 2 X 4 – 3 = 5

donc (4 , 5)

y ≥ 2x – 3

Exemple 1

Soit l’inéquation suivante :

2

1

4 6-2-4-6

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-8 8On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient l’inéquation.

Ex : P1 ( 0 , 0 )

y ≥ 2x – 3

0 ≥ 2(0) – 3

0 ≥ -3

L’inégalité est vraiedonc le P1 ( 0 , 0 ) fait partie de l’ensemble-solution.

P1

P2

Ex : P2 ( 6 , 4 )

y ≥ 2x – 3

4 ≥ 2(6) – 3

0 ≥ 9

L’inégalité est faussedonc le P2 ( 6, 4 ) ne fait pas partie de l’ensemble-solution.

Ex : P3 ( -8 , -5 )

y ≥ 2x – 3

-5 ≥ 2(-8) – 3

-5 ≥ -19

L’inégalité est vraiedonc le P3 ( -8, -5 ) fait partie de l’ensemble-solution.

P3

On hachure alors le demi-plan contenant lescouples-solutions qui vérifient l’inéquation.C’est l’ensemble-solution.

Vrai Faux Vrai

On trace un trait plein, car l’équation fait partie de l’inéquation.

Ex : P4 ( -2 , -7 )

y ≥ 2x – 3

-7 ≥ 2(-2) – 3

-7 ≥ -7 L’inégalité est vraiedonc le P4 ( -2, -7 ) fait partie de l’ensemble-solution.

P4

Vrai

On remplace alors x et y dans l’inéquation pour vérifier si l’inégalité est vraie.

y > -3x + 4

Exemple 2

Soit l’inéquation suivante :

Il faut tout d’abord tracer la droite dans un plan cartésien.

y = -3x + 4 2

1

4 6-2-4-6

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-8 8

Ex : P1 ( 0 , 0 )

y > -3x + 4

0 > -3(0) + 4

0 > 4

P1

P2

Ex : P2 ( 6 , 4 )

y > -3x + 4

4 > -3(6) +4

0 > -14

Ex : P3 ( 2 , 3 )

y > -3x + 4

3 > -3(2) + 4

3 > -2

P3

Faux Vrai Vrai

On trace un trait pointillé, car l’équation ne fait pas partie de l’inéquation.

Ex : P4 ( 3 , -5 )

y > -3x + 4

-5 > -3(3) +4

-5 > -5

P4

Faux

On hachure alors le demi-plan contenant lescouples-solutions qui vérifient l’inéquation.C’est l’ensemble-solution.

On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient l’inéquation.

Problème

Les ingénieures et ingénieurs forestiers classifient parfois les forêts selon leur densité. On qualifie une forêt de « dense » lorsqu’on y dénombre plus de 1 000 arbres par hectare ( 10 000 m2 ). On s’intéresse au nombre de conifères et de feuillus par hectare qui composent une forêt du nord de l’Abitibi dans le but de classifier cette forêt.

Représente graphiquement cette situation.

1) Les variables sont : x : le nombre de conifères

y : le nombre de feuillus

2) L’inéquation est : x + y > 1 000

3) Construire le graphique.

4) Tracer la droite à partir de l’inéquation :

x + y > 1 000

donc y = -x + 1000

5) Déterminer la zone à hachurer en utilisant un couple quelconque.

Exemple : ( 0 , 0 )

0 + 0 > 1 000 Faux

Le couple ( 0 , 0 ) ne fait pas partie de la région-solution (l’ensemble-solution) car il rend l’inéquation fausse.

Donc, il faut hachurer le demi-plan ne contenant pas ce couple.

Remarque : Lorsque le couple ( 0 , 0 ) n’est pas sur la droite frontière, on peut l’utiliser, car il facilite les calculs.

500 1 000 1 500

500

1 000

1 500

Nombre de conifères par hectare

Nombre de feuillus par hectare

x

y

0

Essences forestières