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Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
1 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
2 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Traduire un système d’équations Dans une situation où l’on compare deux fonctions, les règles de ces fonctions forment un
système d’équations.
Nous utiliserons uniquement les équations sous les formes : ____________________ ____________________ Ex. 1 Stéphane répare les appareils ménagers des habitants de Normétal. Il charge à leurs clients 30 $ pour le déplacement et 13 $ pour chaque heure de travail. Pierre Legros, son rival, demande à ses clients un montant de 15 $ de l’heure et 20 $ pour son déplacement. Traduis cette situation par un système de relations linéaires. Identification des variables : x : ___________________________________ y : ___________________________________ Comme Stéphane et son compétiteur Legros n’ont pas le même salaire, nous allons identifier cette 2e variable de 2 façons différentes. y1 : _________________________________ y2 : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
3 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Solution :
Ex.2 Stéphane et Marie-Mai décident de faire des économies pour un éventuel voyage en Europe. Ils ont déjà dans leur compte en banque respectif des montants de 500 $ et 620 $. Stéphane dépose 20 $ par semaine dans son compte tandis que Marie-Mai choisit de déposer 16.25 $ par semaine. Identification des variables : x : ___________________________________ y1 : _________________________________ y2 : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________ Solution :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
4 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Ex.3 Monsieur Gretzky et monsieur Roy, deux vieux amis, ont chacun une piscine. Celle de monsieur Gretzky contient 30 000 litres d’eau et celle de monsieur Roy 35 000 litres. Ils décident de vider leur piscine avec des pompes différentes. Monsieur Roy utilise une pompe plus puissante qui vide la piscine à un rythme de 50 litres par minute tandis que monsieur Gretzky utilise une pompe d’une capacité de 42 litres par minute. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________
Solution :
Ex.4 Lucie a le choix d’emprunter ses livres à la bibliothèque de l’école ou à la bibliothèque de la ville. À la bibliothèque de l’école, Lucie doit payer une amende de 25 ¢ par jour de retard tandis qu’à la bibliothèque de la ville, un montant de 1 $ plus 5 ¢ par jour de retard. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________
Le système de relations linéaires est : _____________________________
_____________________________
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
5 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Solution :
Ex.5 À une marina, il est possible de louer des pédalos et des canots. Le prix de location des pédalos est 3 $ l’heure plus une prime de 15 $ d’assurance pour la période de location. La prime d’Assurance pour les canots coûte 5 $ de moins que celle des pédalos. Par contre, le tarif horaire est de 4 $. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________ Solution :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
6 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Ex.6 Pet et Répète font une expérience dans leur classe de chimie. Pet a devant lui un bécher de 100 ml d’un certain liquide. À chaque minute, il doit ajouter 30 ml à cette dernière quantité. De son côté, le bécher de Répète contient déjà 160 ml. Répète doit ajouter 25 ml à toutes les minutes. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________
Solution :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
7 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Résolution d’un système de relations linéaires
Valeurs que doivent prendre les variables pour vérifier les deux équations du système.
Trouver la solution, c’est résoudre le système d’équation.
La solution est : ______________________________
1) Résoudre un système à l’aide de la méthode graphique
Représenter les équations d’un système dans le plan cartésien permet de les comparer.
Il faut :
1- ______________________________________________________
2- ______________________________________________________
Ex.1
y1 = x – 2 y2 = 2x – 12
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
8 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Exemple 2 : Cet après-midi, Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture
du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane reprend sa lecture à la page 12 et lit 4 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 8 et lit 6 pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même nombre de pages ?
1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________
___ : _________________________________ ___ : __________________________________
2- Construire les deux équations : _____________________________
_____________________________
3- Construire les tables de valeurs :
4- Tracer les droites
5- Vérifier la solution
6- Répondre à la question :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
9 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Ex.3 Les Denis Drolet viennent de s’inscrire à un nouveau programme d’amaigrissement PFK. Ils pèsent respectivement 300 (dents) et 280 (barbu) livres. Le programme de Denis les dents lui permet de perdre 10 livres par mois tandis que celui de Denis le barbu lui fait perdre 8 livres par mois. Après combien de mois auront-ils le même poids? 1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________
___ : _________________________________ ___ : __________________________________
2- Construire les deux équations : _____________________________
_____________________________
3- Construire les tables de valeurs :
4- Tracer les droites
5- Vérifier la solution
6- Répondre à la question :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
10 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Exercices 1. Quelle est la solution de chacun des systèmes d’équations suivants ?
a) c)
b) d)
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
11 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
2. Représente graphiquement chacun des systèmes d’équations suivants, puis trouve la solution de chaque système.
a) b)
c) d)
y = 3x – 11 y = –2x – 1
y = –x + 1 y = –2x – 2
y = 8 – x
y = 3x
y = –4x + 10 y = 8x – 2
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
12 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
3. La cafétéria de l’école offre une carte de repas au coût de 24 $. Avec cette carte, le menu du jour coûte 3,50 $ au lieu de 6,50 $. Après combien de repas cette carte devient-elle rentable ?
1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________
___ : _________________________________ ___ : __________________________________
2- Construire les deux équations : _____________________________
_____________________________
3- Construire les tables de valeurs :
4- Tracer les droites
5- Vérifier la solution
6- Répondre à la question :
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
13 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
4. Il y a 10 ans que Lucille habite son appartement et Anton, son loft. Au départ, Lucille
payait 450 $ par mois et Anton, 325 $ par mois. Toutefois, le loyer de Lucille a augmenté de 5 $ par année alors que celui d’Anton a augmenté de 10 $ par année.
a) Définis les variables. b) Traduis algébriquement cette situation par un système d’équations.
c) Représente graphiquement cette situation.
d) Au cours des 10 dernières années, est-ce que le coût du loyer d’Anton a dépassé
celui du loyer de Lucille ? Si oui, quand ? Sinon, dans combien d’années cela arrivera-t-il ?
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14 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
5. Luka a des problèmes avec sa plomberie. Il appelle une première entreprise, Plomberie 5 étoiles, qui facture 25 $ pour le déplacement du plombier et 70 $ pour chaque heure travaillée. La deuxième entreprise, Plomberie Verse-Eau, demande 35 $ pour le déplacement du plombier et 50 $ pour chaque heure travaillée. Luka se demande avec laquelle des deux entreprises il devrait faire affaire. Aide-le à faire un choix éclairé en répondant aux questions suivantes.
a) Traduis algébriquement cette situation par un système d’équations.
b) Représente graphiquement cette situation.
c) Combien de temps doivent durer les travaux pour que le choix de l’entreprise
importe peu ?
d) Qui Luka devrait-il appeler si les travaux durent deux heures ?
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
15 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
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Réponds aux questions suivantes.
a) Quelles sont les équations de ce système ?
b) Pourquoi ce système d’équations n’a-t-il pas de solution ?
Le nombre de solutions d’un système d’équations Dans le tableau ci-dessous, on présente le nombre de solutions
d’un système d’équations selon la position relative des droites : y1 = a1x + b1
y2 = a2x + b2
Position relative des deux droites Équations Nombre de
solutions Paramètres Exemples
Droites
sécantes
a1 a2 y = x + 10
y = 2x + 6
Une
solution (le point de
rencontre)
Droites
parallèles
distinctes
a1 = a2
b1 b2
y = -3x + 10
y = -3x + 15
Aucune
solution (aucun
point de
rencontre)
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
16 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Droites
confondues
a1 = a2
b1 = b2
y = x + 8
y = 8 + x
Infinité de
solutions (tous les
points
appartenant
à la droite)
Exercices
1. Combien de solutions possède chacun des systèmes d’équations suivants ? Justifie ta
réponse.
a) d)
b) e)
y = 21 (10x – 12)
y = 5x – 6
y = –x + 8 y = –2x + 5
y = 8 – 2x y = 4 (2 – 0,5x)
y = 2x – 2 y = 2x – 4
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
17 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
c) f)
2. Soit les équations et les tables de valeurs suivantes.
y = 3x + 9 y = –2x + 5 y =
2x + 8
x y
0 –2
1 0
2 2
3 4
x y
0 9
1 12
2 15
3 18
x y
0 10
1 8
2 6
3 4
Associe chaque équation à une table de valeurs de façon :
a) qu’il n’y ait aucune solution.
b) qu’il y ait une infinité de solutions.
c) qu’il y ait une seule solution.
1 2 3
4 5 6
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
18 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
2) Résoudre un système à l’aide de la méthode de comparaison
(algébriquement)
Résoudre algébriquement consiste à trouver le couple solution en _____________
___________________________________________________________________
Il suffit de suivre les étapes suivantes : Soit le système d’équation : y = 4x + 2
y = x – 4
1- Poser une égalité entre les deux membres de droite et résoudre.
2- On remplace la valeur trouvée dans une des deux équations pour trouver la
valeur du « y ».
3- On vérifie à l’aide de l’autre équation que notre couple-solution est valide.
Dans un problème, on doit ajouter deux étapes au début soit :
1) ______________________________________
2) ______________________________________
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
19 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Exercices
1. Détermine algébriquement le couple-solution de chacun des systèmes d’équations suivants.
a) y = 10x + 5
y = –5x – 10
f) y = 520x + 1104
y = 3 029 + 345x
b) y = 65x – 1
y = 23 + 6x
g) y = 32x + 7
y = 3x – 2
c) y = x – 1
y = 9 – x
h) y = 4x – 17
y = –5x + 2
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
20 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
2. Cet après-midi, Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture
du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane reprend sa lecture à la page 12
et lit 4 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 8 et lit 6 pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même nombre de pages ?
Étapes exemple
Identifier les inconnus.
Construire les équations.
Poser une égalité entre les deux membres
de droite.
Résoudre algébriquement
Trouver la valeur du « y »
Vérifier la solution avec l’autre équation
Interpréter la solution
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
21 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
3. Marco et Ève-Lyne reviennent de la bibliothèque. Marco a emprunté un roman de 438 pages. Il lit en moyenne 20 pages par heure. Ève-Lyne a emprunté un roman de 492 pages. Elle lit en moyenne 24 pages par heure. Après combien d’heures de lecture leur restera-t-il le même nombre de pages à lire ?
Étapes exemple
Identifier les inconnus.
Construire les équations.
Poser une égalité entre les deux membres
de droite.
Résoudre algébriquement
Trouver la valeur du « y »
Vérifier la solution avec l’autre équation
Interpréter la solution
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
22 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
Le nombre de solutions d’un système d’équations
La résolution algébrique
Lors de la résolution algébrique d’un système d’équations, l’observation de l’équation réduite permet de déterminer le nombre de solutions du système d’équations.
Exemple :
Solution unique Aucune solution Infinité de solutions
561 xy
2722 xy
27256 xx
324 x
8x
841 xy
242 xy
2484 xx
60 x
1061 xy
)53(22 xy
)53(2106 xx
106106 xx
00 x Seule la valeur 8 rend l’égalité vraie.
Aucun nombre réel ne rend l’égalité vraie.
Tous les nombres réels rendent l’égalité vraie.
Exercices 1) Au Festival des montgolfières de Saint-Jean-sur-Richelieu, il y a deux options pour les
tours de manèges.
L’achat d’un bracelet de 28 $ qui donne un accès illimité aux manèges ;
L’achat de billets de 1 $ chacun ; chaque tour de manège coûte en moyenne 3
billets.
Détermine le nombre de tours de manèges à partir duquel il est plus avantageux d’acheter le bracelet.
1
2
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
23 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
2) Annie-Claude doit faire effectuer des travaux d’électricité dans sa maison. Elle appelle deux entreprises différentes et note leur tarif.
Électricité 101 Plessisville Électrique
Frais de déplacement : 40 $
Tarif : 40 $/h
Frais de déplacement : 20 $
Tarif : 50 $/h
a) Représente chaque facture par une équation.
b) Détermine la durée des travaux à partir de laquelle il devient plus avantageux de
faire appel à Plessisville Électrique plutôt qu’à Électricité 101. 3. Au club vidéo Au coin du film, on demande 5 $ pour chaque location de DVD. À La
maison du DVD, il y a des frais d’abonnement de 21 $. Par la suite, on demande 2 $ par location.
a) Combien de locations doit-on effectuer pour qu’il en coûte la même chose aux deux endroits ?
b) Si tu loues beaucoup de DVD dans une année, à quel club devrais-tu t’abonner ? Justifie ta réponse.
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
24 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
4. Une entreprise fabrique et vend des pagaies. Le tableau suivant indique le coût et le
montant des ventes selon le nombre de pagaies fabriquées.
Nombre de pagaies Coût ($) Montant des ventes ($)
0 500 0
25 750 450
50 1 000 900
75 1 250 1 350
100 1 500 1 800
Equations : a) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour que le coût et le montant
des ventes soient égaux ?
b) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice ?
c) À combien s’élèvent le montant des ventes et les coûts quand ils sont égaux ?
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
25 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
6. Éliane compte travailler dans un verger cet automne. Elle décide de comparer les
modes de rémunération des trois vergers suivants :
Verger Tremblay : 20 $ pour la journée 25 ¢ par pomme cueillie
Verger Desmarais : 25 $ pour la journée 15 ¢ par pomme cueillie
Verger Charbonneau : 30 ¢ par pomme cueillie
a) Entre le Verger Charbonneau et le Verger Tremblay, combien de pommes faut-il cueillir pour faire le même salaire ?
b) Quel est ce salaire ?
c) Entre le Verger Tremblay et le Verger Desmarais, combien de pommes faut-il cueillir pour faire le même salaire ?
Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations
26 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine
ESBJ – Année scolaire 2014-2015
d) Quel est ce salaire ?
e) Si Éliane prévoit cueillir 250 pommes par jour en moyenne, dans quel verger doit-
elle aller travailler ? Justifie ta réponse.