Influence des actions variables sur l’ état permanent … OFROU... · II Influence des actions variables sur l’ état permanent des ponts en béton précontraint Nous remercions

Office fédéral des routes

Mandat de recherche 88/94 effectué à la demande du groupe de travailRecherches en matière de ponts

Influence des actions variablessur l’état permanent des pontsen béton précontraint

Einfluss der variablen Einwirkungenauf den Dauerzustand von vorgespannten Betonbrücken

Ecole Polytechnique Fédérale de LausanneEPFL – IBAP Institut de statique et structures – Béton Armé et Précontraint

Dr Pierre LaurencetDr Jean-Daniel RotilioDr Jean-Paul JaccoudProfesseur Renaud Favre

Mai 1999

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP I

PRÉFACE

A l’origine, le mandat de recherche 88/94 avait pour titre « Armature minimale dans les ponts

en béton précontraint en fonction de la contrainte du béton sous charges permanentes ». Un

subside de recherche de l’Office fédéral des routes (OFROU) avait été attribué à

l’EPFL-IBAP en décembre 1994 à cet égard, qui a permis entre autre de financer le travail de

thèse de Pierre Laurencet.

Pour profiter de l’effet de synergie produit par le travail de thèse de Jean-Daniel Rotilio,

financé par le Fonds National Suisse pour la Recherche Scientifique et par la Fondation pour

la recherche de l’industrie suisse du ciment (CEM Suisse), la commission accompagnante C

de l’OFROU a souhaité que le sujet soit élargi. Ainsi avons-nous effectué pour ce rapport une

synthèse plus globale pour le choix des dimensions et la vérification des ponts en béton basée

sur des considérations d’aptitude au service. La détermination des contraintes variables

apparaissant dans un pont routier à l’état de service telle que présentée au chapitre 3, découle

des études faites par J.-D. Rotilio dans sa thèse. Le chapitre 5 intitulé déformations constitue

également une synthèse des autres résultats importants de cette dernière. Il y est en particulier

proposé d’étendre l’actuelle loi moment-courbure du Code Modèle CEB-FIP 1990 par une

branche descendante permettant de tenir compte de l’augmentation des déformations due aux

actions variables. Le chapitre 4 intitulé fissuration correspond au mandat de recherche 88/94

initialement confié par l’OFROU, et comprend un résumé du travail de thèse de P. Laurencet

ainsi que ses principales conséquences pratiques. Des méthodes, l’une générale et l’autre

simplifiée, ainsi que des abaques afin de faciliter le travail y sont proposés, pour choisir

l’armature minimale en fonction de la précontrainte, du niveau d’exigences requis (ouverture

des fissures) et de l’intensité des contraintes variables sous l’effet des charges de trafic et de

gradients de température. Ce chapitre constitue la pièce maîtresse du présent rapport.

Toutes ces études ont été réalisées à l’Institut de Statique et Structures, Béton Armé et

Précontraint (ISS - IBAP) de l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL), sous la

direction des deux soussignés.

Nous tenons à remercier en premier lieu l’Office Fédéral des Routes (OFROU), pour son aide

financière, et plus spécialement sa commission d’accompagnement C (MM. P. Matt,

président, M. Donzel, R. Favre, H. Figi, H. Fleischer et P. Wüst).

II Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

Nous remercions également le Fonds National Suisse pour la Recherche Scientifique, la

Fondation pour la recherche de l’industrie suisse du ciment (CEM Suisse) et les entreprises

Elément SA et AVT Précontrainte à Tavel (FR) de leur soutient financier.

Nous avons beaucoup apprécié les conseils avisés de MM. les Professeurs P. Gambarova

(Politecnico di Milano), J. Mazars (ENS - Cachan, Paris) et E. Brühwiler (EPFL - MCS), tous

trois membres d’une commission consultative chargée du suivi de ce travail de recherche.

Nous remercions de plus MM. les Docteurs H. Charif et P. Mivelaz (ESM - Sarrasin

Ingénieurs SA) ainsi que le Dr S. Bailey (EPFL-ICOM) pour la qualité de leurs conseils.

Enfin, nos remerciements s’adressent à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne pour

l’importance et la qualité des équipements mis à notre disposition, et à tous nos collègues de

l’IBAP ayant contribué plus ou moins directement à cette recherche, en particulier M.

S. Rossier (doctorant) pour son aide scientifique précieuse et sa disponibilité, Mlle S. Ferreira

et M. B. Gardel pour l’aide et le soin apportés à l’élaboration de ce document, ainsi que MM.

M. Pascual et G. Oreiller pour la réalisation des essais en laboratoire.

Lausanne, le 30 avril 1999 Professeur Renaud Favre

Dr Jean-Paul Jaccoud

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP III

RÉSUMÉ

Ce rapport présente la synthèse de recherches théoriques et expérimentales en vue de mieux

cerner le comportement réel des ponts en béton précontraint à l’état de service. En se

concentrant intentionnellement sur l’état permanent, ces recherches incluent néanmoins les

effets d’endommagement produits sur la fissuration et les déformations par les actions

variables. Celles-ci proviennent essentiellement des charges de trafic et des gradients de

température. Suivant la quantité de précontrainte mise en place, un pont va se fissurer plus ou

moins sous l’effet combiné et répété de ces actions variables. En ce qui concerne la

fissuration, seules ont été considérées les fissures traversantes perpendiculaires à l’axe du

pont. Ce sont en effet elles qui représentent le plus grand danger pour l’aptitude au service et

la durabilité puisqu’elles permettent à l’eau et à l’air de les traverser, ce qui engendre un

grand danger de corrosion. Étant donné que la dalle de roulement d’un pont ainsi que la dalle

inférieure d’un caisson présentent des états de contraintes longitudinales s’apparentant à ceux

d’un tirant, cette fissuration traversante est étudiée à partir d’un tirant. Connaissant la

contrainte à l’état permanent σperm due aux charges permanentes et à la précontrainte, les

ouvertures résiduelles des fissures wres après l’apparition de cycles de contraintes ?s (actions

variables) peuvent être déterminées. Comme elles dépendent du taux d’armature ?, il s’en suit

une armature minimale nécessaire pour limiter l’ouverture des fissures résiduelles à l’état

permanent.

En ce qui concerne les déformations, une branche descendante a été ajoutée à la loi moment-

courbure du Code Modèle CEB-FIP 1990 afin de permettre de tenir compte de l’augmentation

des courbures à l’état permanent. Cette augmentation provient des traces laissées par les

actions variables.

Comme dans notre rapport concernant le mandat de recherche 83/90 publié en 1995, la

quantité de précontrainte peut être caractérisée par le degré de compensation des flèches ß

qui est défini par le rapport entre les flèches élastiques à mi-travée dues à la précontrainte et

aux charges permanentes. Ce degré ß est d’une grande utilité lors de la conception et du

prédimensionnement d’un ouvrage précontraint. Des valeurs numériques en fonction de

divers paramètres ont ainsi été développées.

IV Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

ZUSAMMENFASSUNG

Das Ziel dieses Berichtes ist eine zusammenfassende Darstellung von theoretischen und

experimentellen Forschungsarbeiten an unserem Institut auf dem Gebiet des

Gebrauchszustandes von vorgespannten Brücken. Obwohl sich absichtlich auf den

Dauerzustand beschränkend, beinhalten diese Arbeiten den Einfluss der Beschädigungen

betreffend Risse und Verformungen, die von den variablen Einwirkungen herrühren. Diese

werden vor allem durch die Nutzlasten und die Temperaturgradienten erzeugt. Je nach

Intensität der Vorspannung werden mehr oder weniger breite Risse nach dem zyklischen

Auftreten der variablen Einwirkungen zurückbleiben. Behandelt werden nur die Trennrisse,

die senkrecht zur Brückenlängsachse verlaufen. Für die Gebrauchstauglichkeit und

Dauerhaftigkeit sind ja bekanntlich die Trennrisse, die primär zu beschränken sind, da Luft

und Wasser sie durchfliessen können, was zu Korrosionsschäden führen kann. Da in einem

aufgelösten Brückenquerschnitt (Hohlkasten, etc.) Spannungszustände im Längssinn

auftreten, die jenen eines Zugbandes ähnlich sind, wurden die Trennrisse an Hand von

Zugbändern untersucht. Wenn die Dauerspannung σperm aus Dauerlasten und Vorspannung

bekannt ist, kann die verbleibende Rissweite wres bestimmt werden, welche nach dem

Auftreten der zyklischen Spannungen ∆σ zurückbleibt. Da wres vom Armierungsgehalt ρabhängt, kann daraus die erforderliche Minimalarmierung abgeleitet werden.

Was die Verformungen anbelangt, wurde ein absteigender Ast (bei Entlastung) der

Momenten-Krümmungsbeziehung der Mustervorschrift CEB-FIP 90 zugefügt. Damit kann

die zusätzliche, auf die zyklischen Einwirkungen ∆M zurückzuführende Krümmung für den

Dauerzustand ermittelt werden.

Wie in unserem 1995 publizierten Bericht über den Forschungsauftag 83/90 haben wir die

Intensität der Vorspannung mit dem Grad des Verformungsausgleichs β definiert. Dieser

bildet das Verhältnis zwischen elastischer Durchbiegung in Feldmitte aus Vorspannung und

aus Dauerlasten und ist von grossem Nutzen für den Entwurf und die Vordimensionierung

eines vorgespannten Bauwerkes. Deshalb wurden numerische Werte für β in Abhängigkeit

verschiedener Parameter entwickelt.

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP V

RIASSUNTO

Questo rapporto contiene la sintesi di ricerche teoriche e sperimentali con lo scopo di meglio

inquadrare il comportamento reale dei ponti in calcestruzzo precompresso a livello di

efficienza funzionale. Indirizzate principalmente sugli effetti delle azioni permanenti, queste

ricerche includono anche i risultati dei danni prodotti sulla fessurazione e sulle deformazioni

dalle azioni variabili. Queste ultime provengono essenzialmente dai carichi di circolazione

stradale e dalle variazioni di temperatura. A seconda della quantità di precompressione

utilizzata, il manufatto avrà più o meno tendenza a fessurarsi sotto l’effetto combinato e

ripetuto di queste azioni variabili. Per ciò che concerne la fessurazione, sono state considerate

unicamente le fessure che attraversano interamente il ponte perpendicolarmente al suo asse. In

effetti, sono queste ultime che rappresentano il pericolo maggiore per l’efficienza funzionale e

la durabilità in quanto permettono all’acqua e all’aria di attraversarle, generando un forte

pericolo di corrosione. Dato che la piattabanda di un ponte come pure la soletta inferiore di un

cassone presentano degli stati di tensione longitudinali molto simili a quelli di un tirante,

questo tipo di fessurazione è stato studiato utilizzando dei tiranti appunto. Conoscendo la

tensione σperm causata dalle azioni permanenti e dalla precompressione, si può determinare

l’apertura residua delle fessure wres dopo l’applicazione di cicli di tenzione ∆σ (azioni

variabli). Considerando che essa dipende dalla percentuale geometrica d’armatura ρ, ne

consegue un’armatura minima necessaria per limitare l’apertura delle fessure residue allo

stadio permanente.

Per ciò che concerne le deformazioni, è stato possibile aggiungere un ramo discendente alla

legge momento – curvatura del « Code Modèle CEB-FIP 1990 » per poter valutare l’aumento

delle deformazioni allo stadio permanente. Quest’incremento è dovuto alle tracce lasciate

dalle azioni variabili.

Come esposto nel nostro rapporto inerente il mandato di ricerca 83/90 pubblicato nel 1995, la

quantità di precompressione può essere caracterizzata con il fattore di compensazione delle

deformazioni β che è definito come il rapporto delle frecce elastiche dovute alla

precompressione et alle azioni permanenti calcolate a metà compata. Questo coefficiente β si

dimostra di grande utilità nelle fasi di concezione e predimensionamento di manufatti in

calcestruzzo precompresso. Dei valore numerici sono così stati sviluppati in funzione dei

diversi parametri.

VI Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

SUMMARY

This report presents the findings of theoretical and experimental research conducted to better

understand the actual serviceability behavior of prestressed concrete bridges. The

investigation focuses on the permanent loads state, but also includes the damaging effects of

variable loads on cracking and deflections. The variable loads include primarily traffic and

temperature gradients. The level of cracking induced in a bridge by the combined and

repeated action of these variable loads depends on the amount of prestressing. Regarding

cracking, only through cracks perpendicular to the bridge axis were considered. Such cracks

are the most critical in terms of serviceability behavior and durability because of the

probability of corrosion linked to the circulation of water and air through the cracks. The

cracking behavior are investigated on a tension member because the stress state of the top and

buttom slabs of a box girder is close to a tension member. Starting from the permanent state

stress σperm due to dead loads and prestressing, the residual opening wres after application of

cyclic stress increments ∆σ (due to variable loads) can be determinated. Since this residual

crack opening depends on the reinforcement ratio ρ, a required minimal reinforcement ratio

can be linked to a specified permanent state crack opening.

The moment-curvature law “Code Modèle CEB-FIP 1990” was extended to include a

descending branch and account for the increased permanent state curvature. This increase

results from irreversible effects of the variable loads.

As in our 1995 report of research grant 83/90, the amount of prestressing is described by the

degree of balancement β which is defined as the ratio between the mid-span elastic

deflections due to the prestressing and to the permanent loads. This ratio is very useful for the

preliminary design of prestressed concrete structures, and recommendations for numerical

values of β have been developed.

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP VII

TABLE DES MATIERES

Préface ............................................................................................................................ I

Résumé .........................................................................................................................III

Zusammenfassung .........................................................................................................IV

Riassunto........................................................................................................................V

Summary.......................................................................................................................VI

Table des matières ....................................................................................................... VII

1. Introduction _______________________________________________________1

1.1. But de la recherche............................................................................................. 11.2. Rôle de l’état permanent................................................................................................2

1.3. Intensité des sollicitations dues aux actions variables ....................................................3

2. État permanent _____________________________________________________5

2.1. Précontrainte .................................................................................................................52.1.1. Degré de compensation des déformations (ß) .........................................................52.1.2. Types de précontrainte (avec ou sans adhérence)...................................................7

2.2 Contraintes à l’état permanent ........................................................................................82.2.1 Effet longitudinal ....................................................................................................82.2.2 Effet transversal....................................................................................................15

3. Actions variables___________________________________________________ 25

3.1 Principes ......................................................................................................................25

3.2 Contraintes de traction dues aux différentes actions variables .......................................273.2.1 Trafic courant.......................................................................................................283.2.2 Transports spéciaux ou exceptionnels...................................................................333.2.3 Gradients de température .....................................................................................35

3.3 Valeurs indicatives des contraintes de traction sous le cumul des actions variables .......39

4. Fissuration________________________________________________________ 41

4.1 Problématique du contrôle de la fissuration ..................................................................414.1.1 Principes ..............................................................................................................414.1.2 Motifs pour limiter la fissuration et valeurs indicatives.........................................444.1.3 Armature minimale ...............................................................................................53

VIII Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

4.1.4 Effets géométriques sur le schéma de fissuration du tablier...................................56

4.2 Recherche expérimentale..............................................................................................594.2.1 Objectifs ...............................................................................................................594.2.2 Caractéristiques des essais sur tirants ..................................................................604.2.3 Paramètres ...........................................................................................................634.2.4 Principaux résultats..............................................................................................65

4.3 Modélisation de l’ouverture et de la refermeture des fissures ........................................724.3.1 Objectifs ...............................................................................................................724.3.2 Lois fondamentales retenues .................................................................................724.3.3 Discrétisation .......................................................................................................774.3.4 Validation du modèle............................................................................................804.3.5 Domaine de validité..............................................................................................87

4.4 Etude paramétrique ......................................................................................................894.4.1 Introduction..........................................................................................................894.4.2 Fissuration sous contraintes de traction ∆σ résultant d’actions variables............894.4.3 Fissuration sous déformations imposées, en phase de formation des fissures ........994.4.4 Résumé des principaux résultats .........................................................................104

4.5 Recommandations pour l’armature minimale en fonction de la précontrainte..............1074.5.1 Limitation de la contrainte dans les aciers d’armature........................................1074.5.2 Méthode générale pour le choix de la précontrainte et de l’armature minimale.1084.5.3 Méthode simplifiée pour le choix de la précontrainte et de l’armature minimale.1174.5.4 Distribution de l’armature minimale dans le tablier d’un pont............................121

5. Déformations_____________________________________________________ 125

5.1. Introduction : déformations à long terme des ponts....................................................125

5.2. Loi moment-courbure CEB-FIP ................................................................................126

5.3. Recherche expérimentale...........................................................................................1305.3.1. Objectifs ............................................................................................................1305.3.2. Descriptions des essais ......................................................................................1305.3.3. Paramètres ........................................................................................................1335.3.4. Principaux résultats...........................................................................................135

5.4. Etude paramétrique ...................................................................................................1375.4.1. Modèle numérique .............................................................................................1375.4.2. Etude paramétrique ...........................................................................................137

5.5. Proposition d’une branche descendante pour la loi moment-courbure........................142

5.6. Recommandations concernant le degré de compensation des déformations (ß) ..........142

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP IX

6. Exemple d’application _____________________________________________ 145

6.1 Données .....................................................................................................................145

6.2 Fissuration..................................................................................................................1466.2.1 Etats permanents considérés...............................................................................1466.2.2 Sollicitations variables........................................................................................1466.2.3 Choix des exigences vis-à-vis de la fissuration....................................................147

6.3 Choix de la précontrainte et de l’armature minimale nécessaires.................................147

6.4 Calcul des flèches.......................................................................................................1516.4.1 Rappel des données.............................................................................................1516.4.2 Hypothèses de calcul ..........................................................................................1516.4.3 Résultats : augmentation de la flèche sous charges variables..............................153

7. Synthèse et conclusions ____________________________________________ 155

Références bibliographiques.................................................................................. 163

X Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP Chapitre 1 : Introduction 1

1. INTRODUCTION

1.1 But de la recherche

Les concepteurs, réalisateurs et gestionnaires de ponts en béton précontraint ne disposent pas

de moyens de vérification simples et efficaces pour juger de l’aptitude au service. En Suisse,

en ayant attribué la majorité des ponts à la classe d’exigences dites « accrues » au lieu de

« sévères », les exigences (par ailleurs dépassées) données dans la figure 20 de la norme

SIA 162 ne sont plus à respecter. Quant aux exigences concernant les flèches admissibles

telles qu’indiquées dans la norme SIA 160, elles sont pratiquement toujours satisfaites dans le

sens longitudinal, uniquement par un choix usuel de l’élancement. L’exigence par exemple

d’une limitation de la flèche sous trafic w4 ≤ L/600 ne contribue en rien à éviter un

endommagement graduel dû à la fissuration puisque les valeurs effectives de w4 d’un pont

courant en béton sont de l’ordre de L/1'500 à L/3'000.

La seule vérification concrète à effectuer de nos jours selon la norme SIA 162 concerne

l’armature minimale indiquée au § 3.33.4. Cette vérification a rendu de grands services car

elle a obligé les constructeurs de ponts de placer des taux d’armatures conséquents dans leurs

ouvrages, ce qui est favorable pour reprendre des sollicitations imprévues, en particulier

pendant l’exécution, et pour assurer une ductilité et capacité de redistribution suffisante.

Néanmoins, il est apparu que l’application de ce § 3.33.4 était ambiguë. L’armature minimale

y figurant ayant été déduite d’une sollicitation croissante ou permanente mais non répétitive,

le phénomène de l’endommagement graduel dû à des cycles de sollicitations (trafic et

température) n’y est pas inclus. En outre, il n’est pas logique de définir un ρmin constant sur la

largeur de la dalle de roulement et constant sur la longueur d’une travée.

Par ailleurs, l’effet favorable d’une précontrainte n’y est pas considéré. Si le béton est

comprimé à l’état permanent, des fissures apparaissant momentanément se refermeront

davantage que s’il ne l’est pas.

Ces ambiguïtés existent également dans les normes étrangères, en particulier dans les

Eurocodes, et le but de ce travail est naturellement aussi orienté vers une contribution

constructive au niveau international.

2 Influence des actions variables sur l’état permanent des ponts en béton précontraint

Un mandat de recherche pour mieux cerner cette armature minimale nous a donc été attribué

par l’OFROU en décembre 94. Ce mandat a permis de financer le travail de thèse de Pierre

Laurencet. En plus pour traiter les phénomènes d’irréversibilité plus globalement en ce qui

concerne les déformations, nous avons bénéficié d’une bourse de trois années du Fond

National Suisse pour la Recherche Scientifique qui nous a permis de financer le travail de

thèse de Jean-Daniel Rotilio dont les résultats majeurs sont inclus dans ce rapport.

1.2 Rôle de l’état permanent

S’il s’agit de mettre à disposition de l’ingénieur pour concevoir ou renforcer un ouvrage un

outil plus performant que la seule application du § 3.33.4 de la SIA 162 concernant l’armature

minimale, il faut éviter de tomber dans l’excès contraire. Il faudra s’en tenir au comportement

dans une situation déterminante pour l’aptitude au service. Or cette situation est donnée par

l’état permanent. En effet, le comportement instantané sous charges de trafic et sous un

gradient de température n’est généralement pas déterminant et ceci pour deux raisons :

a) La fissuration instantanée n’a guère de conséquences sur la durabilité et l’esthétique pour

autant qu’il n’y ait pas d’écoulement de l’acier.

b) Les flèches instantanées étant généralement faibles dans une poutre continue d’un pont

route à caisson ou même à section ouverte, elles ne nécessitent pas qu’on s’y attarde

autrement que par un calcul élastique en stade I.

Le comportement à l’état permanent doit par contre être vérifié pour les raisons suivantes :

a) La fissuration permanente, lorsqu’elle traverse un élément de structure en béton

(Trennriss, through crack), permet à l’eau de s’écouler au travers. La structure n’est plus

étanche.

Malgré la présence d’une étanchéité sur les ponts, cette perte d’imperméabilité du béton

lui-même nuit grandement à l’aptitude au service et à la durabilité de l’ouvrage. Si de

l’eau s’infiltre à travers la dalle de roulement, elle pourra ruisseler le long des âmes,

s’accumuler sur la dalle inférieure du caisson et engendrer les processus de corrosion bien

connus. Il s’agit donc de se concentrer sur une limitation de l’ouverture des fissures

traversantes à l’état permanent. On pourra par contre omettre de vérifier les fissures

flexionnelles qui comportent toujours une zone comprimée empêchant l’eau et l’air de les

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP Chapitre 1 : Introduction 3

traverser. Leur influence sur la durabilité est donc d’un tout autre ordre de grandeur et

sera négligée ici. Cette manière de voir est tout à fait corroborée par le grand nombre

d’études concernant la fissuration de pièces fléchies où il s’est avéré que la corrosion

n’était guère influencée par des fissures même importantes.

b) Il se peut que les flèches à long terme dépassent sensiblement les valeurs attendues. C’est

surtout le cas lorsque les forces de précontrainte effectivement présentes dans l’ouvrage

sont inférieures à celles prévues par les calculs. Ainsi, bien des ponts en encorbellement

ont souffert d’une augmentation de leur flèches encore après des dizaines d’années en

service. Une des explications peut être donnée par l’endommagement au fil des ans dû

aux actions variables (trafic et température). Celles-ci créent, en cas de sections fissurées,

des déformations partiellement irréversibles qui viennent s’ajouter à celles provenant des

actions permanentes (charges permanentes et précontrainte).

Ainsi c’est l’état permanent incluant les effets irréversibles produits par les actions variables

qui va permettre d’établir des critères de dimensionnement à l’état de service. Pour la

fissuration, il s’agira de mettre en corrélation les quantités de précontrainte et d’armature

passive pour limiter l’ouverture traversante permanente des fissures. Quant aux flèches, un

accroissement en plus du fluage va se traduire par une branche descendante non élastique de

la relation moment-courbure. Un tel accroissement supplémentaire des flèches est toutefois

rare car des fissures apparaissant localement n’auront que peu d’influence sur le

comportement global d’une travée.

1.3 Intensité des sollicitations dues aux actions variables

Puisque la fissuration et les flèches peuvent subir, à l’état permanent, des augmentations dues

aux actions variables il était extrêmement important d’en connaître les valeurs réelles. Il

s’agissait d’effectuer des calculs probabilistes de cumul d’actions dues au trafic (camions de

28 et 40 t, convois exceptionnels etc.) et dues à des gradients de température. Les auteurs ont

pu profiter d’un appui substantiel du Dr Simon Bailey de l’EPFL-ICOM, spécialiste dans les

charges de trafic réelles sur les ponts.

Grâce à des considérations probabilistes concernant la superposition des effets dus au trafic et

à la température, on constate que les variations de contrainte ?s dans la dalle de roulement

respectivement dans la dalle inférieure d’un caisson varient très peu d’un pont à l’autre et


peuvent être admises à 2.6 respectivement 5.0 MPa. Il s’agit de contraintes moyennes sur

l’épaisseur des dalles permettant de les considérer comme des tirants.

Ainsi, comme montré en fin de ce rapport, il est possible de projeter un nouveau pont ou un

renforcement, en choisissant une précontrainte et une armature minimale telles que les

fissures traversantes des dalles soient acceptables.

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP Chapitre 2 : État permanent 5

2. ÉTAT PERMANENT

2.1. Précontrainte

2.1.1. Degré de compensation des déformations (ß)

Le degré de compensation des déformations ß est défini comme étant le rapport entre les

déformations (flèches ou rotations) dues au système de précontrainte et celles provoquées par

les charges permanentes.

( )( )β = −

w P

w gc m

c

(2.1)

wc flèche élastique à mi-travée

Pm précontrainte moyenne (voir ci-dessous)

g charges permanentes et éventuellement quasi-permanentes

Tout en étant voisin du degré de balancement (le rapport entre les forces de déviation

verticales de la précontrainte et les charges à long terme), ce concept offre l’avantage d’être

plus général et plus facilement applicable à toutes les configurations de câblage. En effet pour

les tracés des câbles qui sont essentiellement rectilignes ou dès que des câbles chapeaux sont

présents, l’application du degré de balancement devient mal aisée. D’un autre côté le degré de

compensation des déformations fait intervenir dans chaque section la résultante de la

compression, ce qui n’est pas le cas du degré de balancement (figure 2.2).

L'avantage de cette approche, surtout lors de la conception de l'ouvrage et des études de

variantes, est qu'elle donne la liberté à l'ingénieur de se concentrer sur des raisonnements

globaux lors du choix de la précontrainte, plutôt que de devoir dépendre d'un grand nombre de

calculs pour comparer deux ou plusieurs options. Parce qu'elle est simple dans sa définition,

cette valeur peut faire l'objet de discussions constructives entre le maître de l'ouvrage et

l'auteur du projet, lors de la définition des exigences de qualité et de comportement à l'état de

service [34].


ƒ

l1 l2 l3

1 2 3

P = const

ƒ ƒ

Figure 2.1: Application aisée du degré de balancement

l1 l2 l3

l1 l2 l3

a) Pont en encorbellement avec précontrainte de continuité

b) pont avec recouvrement des câbles ou câbles-chapeaux

Figure 2.2: Application délicate du degré de balancement

Ci-dessous à la figure 2.3 la signification de deux valeurs caractéristiques de ß (ß = 0 et ß = 1)

est illustrée en montrant les contraintes en stade I sous charges permanentes. Le degré ß = 0

correspond au béton armé. Par ailleurs, il est important de remarquer que ß = 1 correspond à

un état de compression pure sous charges permanentes, toutes les flèches ayant été

compensées par la précontrainte. Cela revient à mettre plus de précontrainte que dans le cas

d’une section totalement précontrainte (fully prestressed) qui, rappelons le, annule la traction

à la fibre extrême sans compenser totalement les flèches.

Contraintes stade I sous charges permanentes

β=0

β=1

Aucune compensationdes déformations

(Béton armé)

Compensation totaledes déformations

M

+

+

-

N=0

N

M=0

Figure 2.3: Illustration du degré de compensation des déformations ß


Le degré de compensation des déformations se calcule conventionnellement en prenant la

valeur de la précontrainte moyenne Pm (moyenne dans le temps) définie comme suit :

2∞+= P'P

P om (2.2)

avec les définitions suivantes :

• La force de précontrainte initiale à l'ancrage Po , qui est la force initiale exercée par le

câble sur l'ancrage immédiatement après sa mise en tension. En Suisse, cette valeur estlimitée au maximum à 0 7. ftk , le Code Modèle [15] quant à lui autorise tkf75.0 .

• La force de précontrainte initiale 'Po , qui est la force initiale moyenne pour un tronçon

de câble (par exemple une travée), après déduction des pertes par frottement.

• La force de précontrainte finale P∞ , qui est la force moyenne pour un tronçon de câble

après déduction de toutes les pertes différées (fluage et retrait du béton et relaxation de

l'acier).

2.1.2. Types de précontrainte (avec ou sans adhérence)

Dans le cadre de cette étude les déformations sont traitées au moyen de la loi moment-

courbure du Code Modèle [15]. Cette dernière peut s’appliquer tant aux sections en béton

armé, qu’aux sections en béton précontraint moyennant la prise en compte d’un effort normal

(voir chapitre 5.2). Cependant la précontrainte ne se limite pas à introduire un effort normal et

à balancer les charges verticales. En effet si les câbles de précontrainte sont à l’intérieur de la

section et sont injectés, ils participent également dans une certaine mesure à la rigidité de la

section par l’adhérence entre le câble, le coulis d’injection, la gaine et le béton avoisinant.

Pour en tenir compte dans la loi moment-courbure, il suffit de considérer l’armature de

précontrainte comme une armature passive équivalente.

Dans le cas d’une adhérence idéale, l’armature de précontrainte pourrait être prise comme une

armature passive. Cependant les conditions réelles d’adhérence peuvent être très variables

dues notamment à la qualité de l’injection ou au type de gaine. A cela vient s’ajouter le fait

que le coulis, même s’il a été parfaitement injecté, subit également les actions variables et

peut se fissurer, réduisant ainsi les propriétés d’adhérence de l’ensemble « câble-coulis-

gaine ».


En l’absence de résultats théoriques et expérimentaux, une hypothèse raisonnable est

d’admettre qu’en présence d’une précontrainte interne injectée la moitié de l’aire des câbles

de précontrainte peut être considérée comme armature passive. Cette armature passive

équivalente est à prendre à l’emplacement des câbles dans la section. Une précontrainte sans

adhérence ne contribue pas à l’aire d’armature passive.

2.2 Contraintes à l’état permanent

2.2.1 Effet longitudinal

Afin d’étudier et de quantifier l’effet des actions variables sur le comportement à l’état de

service d’un pont en béton, il est indispensable de savoir si l’ouvrage ou certaines de ses

parties risquent de se fissurer sous certaines combinaisons d’actions défavorables (voir § 3.1).

Pour ce faire, il est utile en premier lieu de connaître l’état de contraintes sous les

sollicitations permanentes. Ces dernières comprennent les effets du poids propre de l’ouvrage,

ceux dus aux charges permanentes telles que l’étanchéité et le revêtement de chaussée, les

bordures et parapets, ainsi que les effets de la précontrainte. A ces effets peuvent encore

s’ajouter des états de contraintes autoéquilibrés résultant d’une exécution en plusieurs étapes

(voir § 2.2.2).

En ce qui concerne les effets en général favorables dus à la précontrainte, il est raisonnable de

les évaluer à partir de la valeur moyenne Pm de la force de précontrainte telle que définie au

§ 2.1.1 pour calculer les déformations. Quant au calcul des contraintes, il est d’usage de les

évaluer au temps t = 8 , donc à partir de P8 . Afin de simplifier et d’uniformiser les

raisonnements, on a admis ici la valeur de Pm également pour le calcul des contraintes.

L’ingénieur pourra par ailleurs se poser la question s’il ne serait pas préférable de calculer les

déformations et contraintes de manière plus prudente avec des forces de précontrainte

modifiées comme suit, conformément aux indications de l’Eurocode 2 [27] :

γP . Pm (2.3)

où

Pm = ½ ( 'Po + P∞) est une valeur conventionnelle de la force de précontrainte tenant compte

des pertes, que l’on admet généralement comme étant égales à la moyennedans le temps entre les valeurs instantanées et finales ;


γP = 0.9 à 1.1 est un facteur partiel de charge relatif à la précontrainte tenant compte destolérances et incertitudes liées à l’exécution ; par mesure de prudence, ilest recommandé d’adopter à l’état de service pour γP les valeurs :

1.1 lorsque la précontrainte a un effet défavorable ;

0.9 lorsque la précontrainte a un effet favorable, ce qui est le cas icipour estimer les contraintes ou la réserve de compression à l’étatpermanent.

En l’absence de calculs plus poussés lors de la conception d’un pont ou lors de vérifications

ultérieures, il est possible d’estimer l’ordre de grandeur des contraintes à l’état permanent

grâce aux indications données ci-dessous. Ces valeurs indicatives sont tirées d’une étude

paramétrique effectuée par Rotilio [66]. Elles résultent de calculs linéaires élastiques effectués

pour des ponts en béton supposés non fissurés, dont le système statique est une poutre

continue comprenant 3 à 5 travées, de section transversale constante sur toute la longueur, en

caisson ou ouverte avec deux âmes selon les indications de la figure 2.4. La portée des travées

de rive est supposée égale à 0.7 fois la portée des travées centrales. Pour la précontrainte, il a

été admis un câblage continu sur toute la longueur à tracé parabolique dans chacune des

travées.

Figure 2.4: Sections transversales types de l’étude paramétrique.


La distribution et l’intensité des contraintes à l’état permanent dans un tablier de pont, dans le

sens longitudinal, dépendent en premier lieu du degré de précontrainte ou autrement dit de la

valeur du facteur ß de compensation des déformations défini au § 2.1.1 (figure 2.5).

Figure 2.5: Allure de la distribution des contraintes à l’état permanent sur la fibre extrême de lasection sur appui intermédiaire d’un pont, en fonction du degré de compensation ß de laprécontrainte (L = 60 m et L/H = 20).

Le tableau 2.1 donne des valeurs indicatives de ces contraintes permanentes calculées sur la

fibre extrême du côté de la section risquant de se fissurer sous l’effet des actions variables.

Elles ont été calculées pour un pont à section constante en caisson avec des portées

intermédiaires Lo = 60 m et d’élancement Lo/Ho = 20 (avec l’hypothèse γP = 1.0 pour estimer

ß). L’étude paramétrique a montré que ces contraintes sont identiques selon qu’il s’agit de la

dalle supérieure pour une section sur appui intermédiaire, ou de la dalle inférieure pour une

section à mi-portée.

Tableau 2.1: Valeurs indicatives des contraintes permanentes dans les sections caractéristiques d’unpont en béton, à section en caisson, de portée Lo = 60 m et d’élancement Lo/Ho = 20.

ß 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

s o,perm [MPa] + 2.2 + 1.1 ~ 0 - 1.1 - 2.2 - 3.3 - 4.4

Le facteur ß de compensation des déformations est par convention défini pour la valeur

moyenne dans le temps de la précontrainte Pm définie plus haut, voir équation (2.2). Ceci, par

souci de simplification. En réalité le problème est beaucoup plus complexe, puisque la force

de précontrainte diminue au cours du temps de la valeur initiale Po à la valeur finale P∞ en

passant par la valeur moyenne Pm. Ainsi, en supposant que l’on ait 20 % de pertes lentes

(retrait, fluage et relaxation) et que la précontrainte soit dimensionnée pour un balancement

total (ß = 1), les contraintes permanentes sur la hauteur de la section transversale sur appui

varient au cours du temps comme indiqué à la figure 2.6.


Figure 2.6: Variation des contraintes à l’état permanent au cours du temps, dans le cas d’unbalancement total (ß = 1) : (a) lors de la mise en précontrainte, temps to; (b) à l’âgeconventionnel correspondant à Pm; (c) au temps t = ∞ correspondant à P∞ = 0,8 Po.

L’étude paramétrique a d’autre part montré que, pour une même valeur de ß, ces contraintes

permanentes varient de manière quasi-proportionelle avec la portée L et avec l’élancement

L/H (voir figures 2.7 à 2.9).

-15

-10

-5

0

5

10

15

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

β

Con

trai

ntes

"pe

rman

ente

s" [M

Pa]

L = 30 m

L = 60 m

L = 90 m

Contraintes inférieuresContraintes inférieuresContraintes supérieures

Contraintes inférieuresContraintes inférieuresContraintes inférieuresCom

pres

sion

Trac

tion

section sur appui / poutre à 3 travées

0.7L 0.7LLL/H=20

Figure 2.7: Contraintes à l’état permanent dans la section sur appui d’un pont-poutre continue àsection en caisson [66].


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

β

Con

trai

ntes

"pe

rman

ente

s" [M

Pa]

L = 30 m

L = 60 m

L = 90 m

section en travée / poutre à 3 travées

0.7L 0.7LL

Com

pres

sion

Trac

tion

Contraintes inférieuresContraintes inférieuresContraintes inférieures

Contraintes inférieuresContraintes inférieuresContraintes supérieures

L/H=20

Figure 2.8: Contraintes à l’état permanent dans la section en travée d’un pont-poutre continue àsection en caisson [66].

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

β

Con

trai

ntes

"pe

rman

ente

s" [M

Pa]

L = 60 msection en travée / poutre à 3 travées

0.7L 0.7LL

Com

pres

sion

Trac

tion

Contraintes inférieuresContraintes inférieuresContraintes inférieures

L/H=15L/H=20L/H=25L/H=30

Figure 2.9: Contraintes à l’état permanent dans la section en travée d’un pont poutre continue àsection en caisson pour divers élancements [66].

Pour n’importe quelles valeurs de L et de L/H, il est donc possible d’estimer les contraintes

permanentes à partir des indications du tableau 2.1 en les corrigeant comme suit :

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��eWDW�SHUPDQHQW 13

m6020

/

/

/,,

/+///

+/+/

SHUPR

RRR

SHUPRSHUP⋅⋅=⋅⋅≈ σσσ (2.4)

avec40

6044

144

��

��R

R

SHUP�R

−⋅−=−−⋅−=

pour R

admis égal à 0.6, correspondant à�SHUP

� �R�SHUP

� �0, comme trouvé dans cette étude

paramétrique.

En résolvant les équations précédentes par rapport à , on peut déduire la relation suivante,

qui définit la valeur minimale du degré de compensation des déformations nécessaire pour

assurer une contrainte ou réserve de compression SHUP

, fixée dans le béton à l’état

permanent�:

//

+�/+�/

�RRRR

SHUPR⋅⋅−⋅−=

44

1(2.5)

soit, pourR

= 0.6 , /R

= 60 m et /R

/+R

= 20 :

210960

6020

44

4060

/+

�/+�/�

��

SHUPSHUP⋅⋅−=⋅⋅⋅−= (2.6)

où dans ces relations :

SHUP

[MPa] est la contrainte à l’état permanent, de signe négatif en cas de compression ;

+ et / [m] sont la hauteur et la portée du tablier.

Des valeurs de calculées au moyen de cette dernière relation sont indiquées dans le

tableau 2.2 à titre d’exemple, pour une contrainte permanente dans le béton SHUP

= -2 MPa.

Pour les ponts à section constante en caisson ayant fait l’objet de l’étude paramétrique,

rappelons que cette contrainte est de valeur identique dans la dalle inférieure à mi-portée et

dans la dalle supérieure sur appui intermédiaire.

14 ,QIOXHQFH�GHV�DFWLRQV�YDULDEOHV�VXU�O¶pWDW�SHUPDQHQW�GHV�SRQWV�HQ�EpWRQ�SUpFRQWUDLQW

Tableau 2.2: Valeurs indicatives du facteur de compensation β nécessaire pour assurer une contrainte

de compression dans le béton σSHUP = -2 MPa.

Portée intermédiaire /Élancement /�+

30 m 60 m 90 m

15

20

25

30

(1.08)

0.96

0.89

0.84

0.84

0.78

0.75

0.72

0.76

0.72

0.70

0.68

Cette étude paramétrique fait ressortir les résultats suivants :

• La contrainte ou réserve de compression dans le béton à l’état permanent SHUP

est

principalement fonction du facteur de compensation des déformations dû à la

précontrainte. Ceci du moins, pour un câblage à tracé parabolique. La contrainte de

compression SHUP

est d’autant plus grande en valeur absolue que �est élevé� La valeur

maximale est associée à un balancement total (� �1) ; SHUP

diminue fortement lorsque

diminue, s’annule pour �≈ 0.6 et change de signe pour < 0.6, ce qui signifie que l’on

peut avoir des contraintes de traction dans le béton à l’état permanent, d’autant plus

élevées que est faible.

• Le facteur de compensation de la précontrainte doit être d’autant plus grand et proche de

1.0 que les portées sont faibles et le pont rigide. Lorsque les portées et/ou l’élancement

d’un pont en béton diminuent, le facteur doit être augmenté pour maintenir une même

contrainte de compression dans le béton à l’état permanent. Pour un pont de

portée / = 30 m, valeur plutôt faible mais très fréquente, la compression maximale

introduite dans l’ouvrage par un système de précontrainte à tracé parabolique ne pourra

pas dépasser 2 à 2.5 MPa en valeur absolue, même dans le cas d’un balancement total des

déformations.

• La contrainte de compression dans le béton à l’état permanent SHUP

est très sensible à

toute variation du facteur de compensation des déformations , donc à tout écart des

forces effectives de précontrainte par rapport à celles calculées. Si, par suite d’erreurs et

de contrôles insuffisants lors de la mise en tension ou de pertes plus importantes que

celles estimées, l’intensité réelle de la précontrainte est par exemple 10 % inférieure à

celle prévue (3P

→ 0.9 3P

), la contrainte permanente peut s’en trouver diminuée de 25 à


100 % selon la valeur de , ce qui correspond à une réduction de la réserve de

compression comprise entre 1 et 0.5 MPa pour un pont avec des portées de l’ordre de 50 à

60 m. Ces contraintes peuvent même s’inverser pour devenir des contraintes de traction

susceptibles d’augmenter dans les mêmes proportions, lorsque �≤ 0.6.

• Les valeurs indicatives qui précédent ont été établies pour des ponts en béton à section

transversale en caisson, dont le système statique est une poutre continue de hauteur et

d’inertie constantes, quel que soit le nombre de travées (≥ 3) et dont le système de

précontrainte a un tracé parabolique. Ces valeurs peuvent également être utilisées pour les

ponts poutres à section ouverte, mais seulement pour la dalle supérieure d’une section sur

appui intermédiaire. En ce qui concerne les sections en travée, les contraintes permanentes

de compression à la fibre inférieure sont beaucoup plus faibles dans les ponts à section

ouverte que dans les ponts en caisson, pour des valeurs de < 1.

• Ces indications ne s’appliquent par contre pas sans certaines modifications à d’autres

types de ponts et de précontrainte (ponts en encorbellement, ponts poussés).

��(IIHW�WUDQVYHUVDO

En phase élastique, les contraintes dans une section de poutre non fissurée sollicitée par un

effort de flexion (0) composé par un effort normal (3, induit par la précontrainte) se calculent

en général comme suit :

:

0

$

3 ±−= (2.7)

où, dans cette relation,

$ est l’aire de la section idéalisée (souvent remplacée par l’aire de la section) [mm2];

: est le moment de résistance élastique de la section idéalisée (souvent remplacé par le

moment de résistance de la section) [mm3].

Dans ce qui suit, nous voulons montrer que le FRPSRUWHPHQW�YLHLOOLVVDQW du béton ainsi que

des problèmes liés à OD� JpRPpWULH�de la section (diffusion des efforts dans les porte-à-faux

correspondant à la notion de largeur efficace) peuvent nuire à la véracité et à l’exactitude de

l’équation (2.7), voire la rendre carrément inexacte dans certains cas.


��/DUJHXU�HIILFDFH

Dans le cas de ponts en caisson, la dalle supérieure a souvent une largeur (E) importante par

rapport à la portée du pont (/). Il en découle, à l’état de service, des contraintes non uniformes

sur la largeur de la section qui dépendent :

• du type de chargement ;

• du système statique (poutre simple, poutre continue, cadre,…) ;

• de la géométrie de la section.

Afin de prendre en compte cet effet, il est nécessaire d’introduire le concept de largeur de

tablier efficace (EHII

) définie comme la largeur fictive sur laquelle s’exerce une contrainte

constante correspondant à la contrainte réelle maximale, et dont la résultante est identique à

celle de la répartition réelle.

Il existe plusieurs façons de calculer la largeur efficace d’une section de pont (SIA 162 [72],

Eurocode 2 [27], Hassan [38]). Cependant il est unanimement reconnu, en vertu du principe

de diffusion des efforts (Saint-Venant), qu’à mi-travée la largeur efficace est égale à la largeur

totale de la section, la distance entre points de moment nul étant importante. Dès lors, il est

recommandé de réduire la largeur du tablier (E Ð EHII

) seulement dans la zone sur appuis

délimitée par les points de moment nul, soit sur environ 15 % de la travée / de part et d’autre

d’un appui intermédiaire.

Regardons, à l’état permanent, c’est-à-dire sous poids propre, surcharges permanentes et

précontrainte, qu’elle est l’allure réelle de la répartition des contraintes dans une section

transversale sur appuis suffisamment éloignée des ancrages des câbles de précontrainte (voir

figure 2.10, pour un élancement /�+ = 20 et une portée / = 60 m). Pour ce faire, nous avons

utilisé un logiciel de la chaîne MAPS coque non linéaire (voir Rossier [64]). Les résultats sont

éloquents, et montrent une forte dépendance de la quantité de précontrainte sur la répartition

des contraintes dans la section ([

) .

Ainsi, pour un élément non ou très faiblement précontraint ( = 0 ÷ 0.5), la contrainte de

traction maximale obtenue dans la dalle supérieure se trouve au droit de la jonction de cette

dernière avec les âmes, et diminue lorsqu’on se rapproche de l’extrémité des porte-à-faux.

Pour un élément faiblement précontraint ( § 0.6), la contrainte à l’état permanent est quasi-

nulle dans la dalle supérieure. Pour un élément avec un taux de précontrainte suffisant pour


comprimer la dalle supérieure sur appuis (ß > 0.6) la contrainte de compression est plus faible

au droit de l’âme, et augmente lorsqu’on se rapproche de l’extrémité des porte-à-faux ou du

milieu de la dalle. Enfin, pour un degré de compensation des déformations élevé (ß = 0.9 ÷ 1)

l’état de contraintes en section est quasiment uniforme.

σ x

com

pres

sion

trac

tion

(+)

(-)

com

pres

sion

trac

tion

(+)

(-)

β = 0.0 β = 0.3 β = 0.6 β = 0.8

β = 0.9 β = 1.0

σm = + 6.6 MPa

σm = + 3.3 MPa

σm ≈ 0 MPa

σm = - 2.2 MPa

σm = -3.3 MPa σm = -4.4 MPa

σ x

σ x

σ x ≈ 0 MPa

σ x ≈ constant

σ x

Figure 2.10: Répartition transverale des contraintes (s x) et de la contrainte moyenne (s m, voir § 2.2.1,pour L = 60 m et L/H = 20) à l’état permanent, à mi-épaisseur de la dalle supérieure dutablier sur appuis, en fonction de la quantité de précontrainte (ß).

Dans son travail de diplôme, Held [39] a admis que le concept de largeur efficace reste

valable même lorsque la contrainte de compression à l’état permanent n’est pas maximale au

droit de l’âme, c’est-à-dire typiquement lorsque ß > 0.6 (voir figure 2.10). Il a montré quelle

est l’influence de ß sur le rapport beff/b. Ce rapport vaut environ 90 % pour ß = 1, 80 % pour

ß = 0.8, et 65 ÷75% pour des valeurs de ß < 0.6.


2.2.2.2 Effets dans le temps

La prédiction du comportement en service d’une structure en béton, en tenant compte des

effets différés, est probablement le sujet le plus difficile parmi ceux qui concernent le

dimensionnement des structures en béton.

Les formes souvent complexes des sections en béton (épaisseurs variables entre les

composants d’une section), leur mode de fabrication (section construite par phases

successives è retrait thermique différentiel) ainsi que les grandes différences d’exposition à

l’air entre éléments de même section (selon que la surface libre se trouve dans le caisson ou à

l’extérieur è séchage différentiel) font qu’à l’état permanent, les contraintes sont

susceptibles de varier d’une part transversalement (fluage et retrait différentiels selon

l’exposition et l’épaisseur des éléments), et d’autre part dans le temps.

• Réalisation d’une section de pont

La réalisation d’une section de pont en plusieurs étapes entraîne forcément la naissance

d’auto-contraintes provenant du retrait thermique des éléments fraîchement bétonnés et de

l’entrave au raccourcissement que constituent les éléments ayant déjà fait prise. Ces auto-

contraintes font craindre une fissuration précoce de l’ouvrage (voir figure 2.11). Aussi, faut-il

impérativement prendre toutes les mesures nécessaires à la limitation de ces auto-contraintes,

sans quoi le pont risque d’être fissuré avant même sa mise en service.

Figure 2.11: Risque de fissuration suite au retrait thermique entravé d’un élément [42]


Dès lors, une planification judicieuse des étapes de construction et des phases successives de

bétonnage revêt un rôle capital, et permet de réduire sensiblement l’intensité des auto-

contraintes dans la section.

Figure 2.12: Appréciation du risque de fissuration du tablier d’un pont, en fonction du choix desétapes de réalisation de sa section transversale [31].

La meilleure solution réside en la réalisation de la section en une seule étape. Cependant, de

nombreux désavantages d’ordre constructif (quantité de béton très importante, problèmes liés

aux coffrages lorsque la section varie,… ) font que cette solution, dans la majeure partie des

cas, n’est pas retenue, et que l’on préfère bétonner la section en deux phases distinctes :

souvent le « U », qui comprend la dalle inférieure et les âmes, dans un premier temps, et la

dalle supérieure dans un second temps.

De façon générale, afin de se prémunir contre un risque de fissuration précoce provenant de

la prise du béton, il faut limiter les différences de température entre les éléments bétonnés

successivement. Technologiquement, cela est possible pour la réalisation d’une section en

plusieurs phases soit en limitant la montée en chaleur du béton frais, soit en chauffant la

partie déjà bétonnée qui entrave la déformation, de telle manière que sa température suive au

mieux l’échauffement et, surtout, le refroidissement de la partie fraîchement bétonnée. La

limitation de la montée en chaleur est possible soit en agissant directement sur le béton, par

exemple en choisissant un ciment à mouture grossière, et donc moins exothermique lors de

son hydratation, soit en agissant de façon externe, à l’aide par exemple d’un système de

refroidissement véhiculant un liquide froid (souvent de l’eau), permettant de refroidir le

béton faisant prise. Un tel système peut être soit noyé dans la masse du béton (façon de

procéder la plus efficace) soit disposé en périphérie, sur les coffrages de l’élément. D’autres

procédés, de plus en plus employés, consistent à refroidir la masse de béton, que ce soit à

l’aide d’azote liquide ou de glace (concrete precooling). Il est vivement recommandé de


porter une grande attention à la réalisation de l’ouvrage, et de prendre toutes les mesures

permettant de limiter les auto-contraintes induites par le retrait thermique différentiel.

Soyons néanmoins conscients que s’il est possible de grandement les limiter, il est utopique

de penser pouvoir les annuler complètement dans une section bétonnée en plusieurs étapes.

σ cs, thermique

Auto-contraintes ∫ =⋅cA

cs dAs 0

+

t1

t2

ti : âges des différentes étapes, avec t1 >> t2

Ac

Figure 2.13: Auto-contraintes dans la dalle supérieure d’une section suite au retrait thermiquede la dalle bétonnée après que le « U » ait fait prise

A cet égard, pour une section dont le « U » est bétonné avant la dalle supérieure, malgré des

mesures ponctuelles bien adaptées, le gousset de la dalle supérieure situé directement sur les

âmes peut être le siège de contraintes de traction relativement importantes (~ 1 MPa,

voir [33]). En bout des porte-à-faux, elles seront plus faibles, du fait de la moins grande

entrave au raccourcissement (voir figure 2.13).

• Comportement à long terme

Le fluage et le retrait de dessiccation du béton, sont deux phénomènes de longue durée,

agissant simultanément et de façon interdépendante. En conséquence, le principe de

superposition n’est pas en toute rigueur applicable (voir Baron et al. [6] et Neville [59]). Afin

de montrer qualitativement leurs effets sur l’allure des contraintes permanentes dans la section

d’un pont précontraint, nous allons néanmoins dissocier les deux phénomènes.

− Retrait de dessiccation différentiel

Regardons l’état d’auto-contraintes faisant suite au retrait différentiel dans une dalle

supérieure de pont telle que celle définie en figure 2.14.


σFV��GHVVLFFDWLRQ

εFV

+ ++_ _

Auto-contraintes ∫ =⋅F

$FV G$ 0

Ac

Figure 2.14: Auto-contraintes en section naissant sous l’effet du retrait de dessiccation différentiel

des différentes parties de la section.

Un élément de structure sèche d’autant plus vite qu’il est de faible épaisseur, exposé au soleil

et bien ventilé. Dès lors, dans le cas d’une dalle supérieure de pont, se sont les porte-à-faux

qui sécheront le plus rapidement, suivis du centre de la dalle et des zones de plus grande

épaisseur situées au voisinage des âmes. En conséquence, le retrait de dessiccation est non-

uniforme sur la largeur de la dalle. Les sections restant planes, il va s’en suivre un état d’auto-

contraintes, avec des contraintes de traction dans les parties séchant rapidement et des

contraintes de compression dans les parties séchant moins rapidement.

Cet état de contraintes auto-équilibrées

=⋅∫

F$

FV G$ 0 sur la section totale du pont ($F)

se superpose aux contraintes calculées selon l’équation (2.7).

− Fluage différentiel

Le fluage est également fortement dépendant du séchage et des changements d’humidité des

éléments de section considérés.

Prenons encore le cas de la dalle supérieure d’une section de pont précontraint. Il en résulte

des contraintes à l’état permanent SHUP, que l’on peut approcher par l’équation (2.7). Les

éléments de faible épaisseur (porte-à-faux, centre de la dalle), dont le séchage est plus rapide,

ont tendance à fluer beaucoup plus rapidement (ϕ1, figure 2.15) que les éléments de forte

épaisseur (goussets au droit des âmes) et dont les conditions extérieures de séchage sont

moins bonnes (ϕ2, figure 2.15). Dès lors, à moyen terme, une partie des efforts calculés à

l’aide de l’équation (2.7) va se reporter des éléments dont le fluage à moyen terme est plus

important (ϕ1) sur ceux dont le fluage est plus faible (ϕ2).


Avec le temps, le séchage des pièces les plus épaisses se faisant également à long terme, la

différence de coefficients de fluage va se stabiliser.

ϕ

ϕ (tA)

Bétonnage de la section

t

tA

ϕ1

ϕ1

ϕ2

ϕ2

Figure 2.15: Coefficients de fluage variables sur la dalle supérieure d’une section de pont,

du fait d’épaisseurs et de conditions de séchage différentes.

1RWH�� )LQDOHPHQW��LO�IDXW�UDSSHOHU�TXH�JUkFH�j�OD�UHOD[DWLRQ�GHV�FRQWUDLQWHV�GDQV�OH�EpWRQ

DYHF�OH�WHPSV��FHV�DXWR�FRQWUDLQWHV��YRLU�HQ�SDUWLFXOLHU�ILJXUH��YRQW�VH�UpGXLUH

DX�ERXW�GH�TXHOTXHV�DQQpHV�j�GHV�YDOHXUV�QH�GpSDVVDQW�SDV� OHV��j��GHV

YDOHXUV�LQLWLDOHV�

��&RQFOXVLRQV

La détermination de la contrainte en tout point et en tout instant d’une section transversale de

pont en caisson est extrêmement ardue, et dépend de nombreux et divers facteurs, que sont la

géométrie de la section, les mesures prises lors de l’exécution et l’évolution dans le temps des

caractéristiques mécaniques du béton.

Nous avons voulu montrer de façon simplifiée que l’état de contrainte peut fortement varier

de celui qui résulte d’un calcul classique, selon l’équation (2.7).


De manière générale, on va pratiquement négliger, pour le calcul de l’ouverture résiduelle des

fissures ZUHV, toutes ces contraintes auto-équilibrées et variables sur la largeur du tablier de

pont, pour autant qu’elles n’engendrent pas des fissures d’ouvertures supérieures à celles

provoquées par les actions variables (). En l’absence de calculs plus précis, on calculera

donc les contraintes à l’aide de l’équation (2.7), tout en adoptant une valeur prudente de la

précontrainte (voir § 2.2.1).


Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP Chapitre 3 : Actions variables 25

3. ACTIONS VARIABLES

3.1 Principes

Pour évaluer le risque de fissuration d’un pont en béton et, cas échéant, afin de pouvoir limiter

les ouvertures de fissures susceptibles d’apparaître, il est nécessaire de quantifier les

sollicitations sous le cumul des actions permanentes et variables. Pour un pont routier, ces

actions variables comprennent essentiellement le trafic courant, les transports exceptionnels et

les gradients de température. Les contraintes, en particulier celles de traction qui nous

intéressent ici, peuvent être calculées élastiquement en supposant les sections homogènes à

partir des indications contenues dans les normes relatives aux actions (SIA 160 [71],

Eurocode 1 [24], [25] et [26]). Un calcul élastique est bien représentatif du comportement réel

et peut être jugé suffisant car un pont en béton précontraint n’est en général que peu ou pas

fissuré sous sollicitations de service. S’il est fissuré, il s’agit de fissures isolées et limitées qui

n’affectent que très localement l’ouvrage, mais ne modifient guère son comportement global

et n’entraînent que des redistributions peu importantes des sollicitations à l’échelle de la

structure.

Figure 3.1: Valeur représentative de la contrainte de traction au niveau de la résultante, afin deramener le problème réel à celui d’un tirant avec ?s = constant.

Afin de ramener le problème de fissuration de la dalle supérieure ou inférieure d’un tablier de

pont au cas théorique d’un tirant, les contraintes de traction sous les actions variables sont à

calculer non pas au droit des fibres extrêmes tendues mais plutôt au niveau de la résultante de

l’effort de traction sollicitant chaque dalle. Par soucis de simplification on admet que celui-ci

est situé à 100 mm de la fibre extrême tendue vers l’intérieur de chaque dalle (voir figure 3.1).


L’intensité ou, autrement dit, la période de retour des actions variables à considérer est une

question délicate non encore définitivement réglée dans les normes actuelles ni même dans le

projet d’Eurocode 1, surtout en ce qui concerne les vérifications d’aptitude au service. Il en

est de même en ce qui concerne les combinaisons d’actions variables susceptibles d’agir

simultanément sur l’ouvrage, en particulier s’il s’agit de superposer l’effet de charges

imposées (trafic) à celui de déformations imposées (gradient de température), qui sont peu

connus et méritent de faire encore l’objet d’études approfondies.

L’Eurocode 1 introduit notamment différents niveaux ou intensités d’actions

variables [24] [26] :

• les valeurs caractéristiques correspondant à une période moyenne de retour de 50, 100

jusqu’à 1'000 ans selon les cas, à prendre en compte pour les vérifications de la sécurité

structurale (ULS) ;

• des valeurs pouvant être graduées de la manière suivante pour les vérifications de

l’aptitude au service (SLS) :

- valeurs non-fréquentes, associées à une période moyenne de retour de 1 an ;

- valeurs fréquentes, associées à une période moyenne de retour de 1 à 2 semaines ;

- valeurs quasi-permanentes.

Pour notre part, compte tenu des observations faites dans le cas de cette recherche, nous

estimons plus approprié d’effectuer les vérifications d’aptitude au service d’un pont routier en

béton sous des valeurs non fréquentes des actions variables (trafic et/ou gradients de

température) correspondant à une période moyenne de retour de 10 ans. Ceci est d’ailleurs en

accord avec les indications publiées dans d’autres travaux de recherche [11] ou données dans

la norme SIA 160 concernant les charges de vent [71].

Si un calcul explicite des contraintes à l’état de service est effectué, nous recommandons de le

faire sous une combinaison d’actions susceptibles d’être déterminantes de la manière

suivante, en conformité avec les principes de l’Eurocode 1 [24] [26] et avec ce qui a été dit

précédemment :

TkkmPj

kj QQPG ∆ψψγ 11'1

1+++∑

≥

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��$FWLRQV�YDULDEOHV 27

dans laquelle

∑≥ 1M

NM* est la somme des actions dues au poids propre et aux charges permanentes,

calculées avec les valeurs nominales des dimensions et des masses volumiques.

γ3 3P est une valeur moyenne prudente des effets à long terme de la précontrainte, pour

laquelle on pourra hésiter entre les valeurs γ3 = 1.0 ou 0.9 conformément aux

indications du § 2.2.1

4N� est l’action prépondérante du trafic, avec les valeurs suivantes du coefficient ’1ψ

pour une période de retour de 10 ans :

Trafic courant 801 � =

Transports exceptionnels 011 � =

4N∆7 est l’action concomitante d’un gradient de température, avec les valeurs suivantes

du coefficient ψ� variables en fonction de la fréquence d’apparition considérée

selon le type de trafic ou de transport exceptionnel (cf § 3.2.2) :

Gradient de températureNature du trafic

Fréquence d’apparition ψ�

Trafic courant valeur non-fréquente 0.8

Transports exceptionnels :

SIA type I (4800 kN)

SIA type II (2400 kN)

SIA type III (900 kN)

valeur quasi-permanente

valeur peu fréquente

valeur rare

0.5

0.7

1.0

En l’absence de tels calculs explicites des contraintes, en particulier de celles de traction, il est

néanmoins possible d’estimer leurs valeurs maximales possibles sous le cumul des actions

variables grâce aux indications du § 3.3 ci-après.

��&RQWUDLQWHV�GH�WUDFWLRQ�GXHV�DX[�GLIIpUHQWHV�DFWLRQV�YDULDEOHV

L’objectif de cette section est en premier lieu de fournir des indications sur les ordres de

grandeur des sollicitations longitudinales, en particulier des contraintes de traction, dans un


tablier de pont en béton pour les différentes actions variables. Parmi celles-ci on distingue

celles dues au trafic courant, aux transports exceptionnels et aux gradients de température. On

tente en outre de mettre en évidence les principaux paramètres et de quantifier leur influence,

ceci, principalement grâce aux études paramétriques effectuées par Rotilio [66]. Précisons que

ces études ont été effectuées pour des ponts-routes en béton, dont le système statique est une

poutre continue de hauteur constante (voir § 2.2.1, en particulier figure 2.4). Les contraintes

de traction mentionnées ici et résultant de ces études ont été calculées sur la fibre extrême.

Les valeurs représentatives dans la dalle inférieure ou supérieure d’un tablier de pont en

caisson sont en général 10 à 15 % inférieures aux contraintes sur les fibres extrêmes (voir

figure 3.1). Cela, du moins sous les effets du trafic induisant un diagramme des contraintes

qui varie linéairement sur la hauteur d’une section. Dans le cas d’un gradient de température,

il s’agit de tenir compte de la distribution fortement non linéaire des contraintes engendrées

(voir figures 3.7 à 3.9). Il en sera dûment tenu compte pour l’établissement des valeurs

indiquées au § 3.3 suivant. Dans ce paragraphe toutefois, on s’est volontairement contenté des

contraintes de traction calculées sur les fibres extrêmes, par soucis de simplification et afin de

pouvoir effectuer des comparaisons avec les valeurs généralement indiquées dans la

littérature.

Précisons que ces actions variables sont par définition très variables, qu’elles résultent

d’activités humaines plus ou moins réglementées et respectées comme le trafic ou d’actions

naturelles comme les gradients de température. Elles varient au cours du temps de manière

cyclique selon des cycles plus ou moins réguliers (quotidiens, hebdomadaires ou saisonniers).

Les valeurs représentatives de ces différentes actions variables que l’on trouve dans les

normes [71] [24] et [26] résultent de l’interprétation statistique à partir de campagnes de

mesures sur certains tronçons routiers représentatifs (comptages) et, plus rarement, de

l’instrumentation de ponts.

��7UDILF�FRXUDQW

Les conditions du trafic actuel en Suisse ont fait l’objet de campagnes de mesures en 1995

[60] [7]. Sous le trafic le plus agressif observé sur l’autoroute du Gotthard à Goeschenen,

abstraction faite de certaines zones frontalières, les études paramétriques effectuées par

Rotilio [66] indiquent que les contraintes de traction dans un tablier de pont en béton valent

au maximum :


�≈ + 2.5 MPa dans une section en travée

(à la fibre inférieure)

� ≈ + 1.5 MPa dans une section sur appui intermédiaire

(à la fibre supérieure)

pour une période de retour de 100 ans (trafic lourd, proportion élevée de camions à l’arrêt,

situation de bouchon). Ce niveau de charge « réel » sous conditions de service correspond à

environ 60 % des charges totales de trafic imposées par la norme SIA 160.

Figure 3.2: Histogrammes du poids total des camions pour les trafics représentatifs actuels

européen (a) et suisse (b) [37].


Les campagnes successives de comptage, tant en Suisse qu’à l’étranger, font apparaître une

augmentation inéluctable du volume de trafic et de son agressivité (proportion des camions).

Les caractéristiques du trafic sur les principaux axes routiers suisses tendront à se rapprocher

de celles du trafic européen. C’est d’ailleurs déjà presque le cas dans les zones frontalières.

Les histogrammes représentés à la figure 3.2 caractérisent les trafics représentatifs actuels

suisses (exceptés les zones frontalières) et européens [37]. On constate que les camions

européens sont globalement plus lourds que les camions suisses, ce qui n’est pas étonnant

compte tenu des limites légales différentes de poids total. Il est toutefois important de

constater que si ces histogrammes différent beaucoup, les valeurs extrêmes mesurées sont

néanmoins du même ordre de grandeur en Europe et en Suisse. Ceci provient du fait que ces

valeurs extrêmes et peu fréquentes dépassent nettement les limites légales et résultent de

véhicules et transports spéciaux circulant dans le cadre d’autorisations permanentes ou

exceptionnelles (voir § 3.2.2), soit illégalement.

Le trafic représentatif européen retenu est celui résultant des mesures effectuées en 1986 sur

l’autoroute A6 près d’Auxerre. Il est à la base des charges de trafic telles que définies dans

l’Eurocode 1 [24]. A cet égard, il convient de réaliser que le niveau de ces charges est défini

pour une période moyenne de retour conventionnellement fixée à 1'000 ans, ce qui peut

sembler très élevé au premier abord. Il faut toutefois savoir que, sur la base de raisonnements

statistiques, une telle période de retour correspond en fait à une durée de référence de 50 ans

avec une probabilité de dépassement de 5 % [13].

L’augmentation des charges de trafic dépend bien évidemment de nombreux facteurs locaux,

économiques ou politiques. Pour la Suisse en particulier, cette évolution est conditionnée par

l’élévation du tonnage légal maximum des poids lourds autorisés à circuler sur notre réseau

routier de 28 à 40 t. Si une telle élévation ne pose guère de problèmes en ce qui concerne la

sécurité structurale des ponts ou le comportement des chaussées, au premier abord cela ne

semble pas être le cas en ce qui concerne l’aptitude au service des ponts. En effet, les

sollicitations et contraintes sous les seules charges de trafic courant augmenteront d’environ

40 à 60 % dans les ponts en béton, comme l’on démontré diverses études récentes [37] [66].

Un tel accroissement devrait avoir des répercussions défavorables sur le comportement à

l’état de service et la qualité des ponts existants. Il semblerait donc judicieux de tenir compte

d’ores et déjà d’un tel accroissement, c’est à dire de concevoir et dimensionner les nouveaux


ponts ainsi que ceux faisant l’objet de travaux d’assainissement sous les charges de trafic

européen. Il s’ensuivrait des contraintes de traction dans le tablier d’un pont en béton

majorées d’environ 50 % par rapport à celles indiquées plus haut sous les charges de trafic

courant :

�≈ + 3.8 MPa dans une section en travée




De telles contraintes correspondent à environ 80 % de celles calculées par Froli et al. pour un

pont en Italie, sous conditions de trafic européen [35]. Nous montrerons toutefois au § 3.3 que

les charges de trafic et leur augmentation quasi-inéluctable dans le temps, notamment en

raison de l’ouverture prochaine des routes suisses au trafic européen (40 t), n’interviennent

pas seules. La prise en compte des autres actions variables a pour conséquence d’atténuer

sensiblement cette augmentation (de 10 à 20 % au lieu des 50 % mentionnés plus haut sous

les charges de trafic seules).

Les figures 3.3 à 3.5 tirées des études paramétriques de Rotilio [66] montrent l’influence de

divers paramètres sur l’intensité des contraintes de traction ∆σ sous les charges de trafic

suisse actuel (Goeschenen). Il en résulte que les contraintes de traction dans le béton :

• sont fortement influencées par l’intensité et le type de trafic (augmentation d’env. 33 %

entre situations de trafic fluide et congestionné, c’est-à-dire de bouchon) ;

• dépendent bien évidemment de la période moyenne de retour considérée entre 1, 10 et

100, voire 1'000 ans (augmentation d’env. 11 % à chaque multiplication du temps de

retour par un facteur 10) ;

• dépendent relativement peu du type de pont (à section ouverte ou en caisson) et de sa

portée (pour 30 ≤ / ≤ 90 m) ;

• à cela, on peut ajouter que les contraintes dues au trafic dépendent également de

l’élancement /�+ du pont ; en première approximation on peut admettre qu’elles sont

proportionnelles à /�+, c’est à dire qu’elles augmentent lorsque l’élancement augmente

et, qu’en conséquence, le bras de levier des forces internes dans les sections diminue.


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&RQJHVWLRQQp

%RXFKRQ

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Figure 3.3: Contraintes de traction sous charges de trafic suisse actuel dans la section en travée d’un

pont en caisson de 60 m de portée, en fonction du type de trafic et de la période

moyenne de retour.

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WLRQ�VWDGH�,��ILEUH�LQ

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*RHVFKHQHQ

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7\SH�GH�WUDILF��)OXLGH��

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Figure 3.4: Contraintes de traction sous charges de trafic suisse actuel dans la section en travée, en

fonction de la portée et du type de pont.


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Figure 3.5: Contraintes de traction sous charges de trafic suisse actuel dans la section sur appui

intermédiaire, en fonction de la portée et du type de pont.

��7UDQVSRUWV�VSpFLDX[�RX�H[FHSWLRQQHOV

Il s’agit d’une catégorie de transports caractérisés par un dépassement de la géométrie et du

poids autorisés par les légalisations routières en vigueur. Ils comprennent d’une part les

véhicules spéciaux au bénéfice d’une autorisation permanente de circuler. Une douzaine de

camions-grues, chacun d’un poids total de 840 à 960 kN, bénéficient actuellement en Suisse

d’une telle autorisation.

Ils comprennent d’autre part les transports exceptionnels d’un poids total jusqu’à 3'600 à

4'800 kN, qui font l’objet d’autorisations particulières et de dispositions réglementaires à

respecter [71] [24].

La situation en Suisse en matière de trafic routier est actuellement la suivante, sur la base

d’une enquête de Rotilio auprès de l’office fédéral des routes, des services cantonaux

valaisans et vaudois compétents et de l’entreprise Friderici en Suisse romande [66] :


Tableau 3.1: Fréquence moyenne d’apparition du trafic lourd en Suisse romande actuellement,

en fonction du poids total du convoi

Poids total du convoi [kN] Fréquence d’apparition

250 à 850 une à plusieurs fois par jour

1'000 à 1'200 une fois par mois

2'000 à 2'500 3 à 4 fois par an

4'500 à 4'800 rare

L’étude paramétrique réalisée par Rotilio sur les ponts types en béton décrits précédemment

(voir § 2.2.1, en particulier fig. 2.4), indique que les contraintes de traction engendrées

peuvent atteindre des valeurs importantes pour les types ou catégories de transport les plus

lourds (figure 3.6).

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Figure 3.6: Contraintes de traction sous charges de transports exceptionnels dans les

sections en travée et sur appui intermédiaire, en fonction de la portée et du type de pont et en

fonction du poids total du convoi (# 1 = 1'000 kN, # 2 = 2'500 kN, # 3 = 4'000 kN).

Sous la catégorie la plus lourde étudiée par Rotilio (# 3 correspondant à un poids total du

convoi de 4'000 kN), il en résulte les valeurs maximales suivantes des contraintes de traction :


� ≈ + 3.7 ÷ 4.7 MPa dans une section en travée




On constate que globalement l’intensité de ces contraintes de traction :

• dépend essentiellement du type ou de la catégorie de transport exceptionnel, c’est-à-dire

du niveau de sollicitation ;

• dépend relativement peu du type d’ouvrage (à section ouverte ou en caisson) et de la

portée (30 ≤ / ≤ 90 m) ;

• à cela, on peut ajouter que les contraintes dues à des transports spéciaux ou exceptionnels

varient en première approximation de manière proportionnelle avec l’élancement /�+ du

pont.

��*UDGLHQWV�GH�WHPSpUDWXUH

Les variations de température sur les ouvrages en service sont principalement dues aux

conditions climatiques, en particulier aux variations quotidiennes et saisonnières de l’intensité

du rayonnement solaire. Pour estimer l’effet de ces variations sur le comportement des ponts,

il est d’usage de décomposer la distribution effective non-linéaire du profil de température

dans les sections en une température moyenne uniforme, un gradient linéaire (principal

responsable des courbures imposées) et un état de contraintes auto-équilibrées. Les effets sur

l’ouvrage sont alors analysés séparément et plus facilement pour chacune de ces trois parts.

Ces variations de température sont influencées par de nombreux paramètres comme indiqué

dans l’abondante littérature traitant de ce sujet, en particulier [41] [61].

Dans la présente étude, nous décomposons le profil effectif de température en deux parties

seulement, comme indiqué schématiquement à la figure 3.7 :

• une température moyenne uniforme, dénommée 7EDVH ;

• un profil de températures différentielles caractérisé par la plus grande différence de

température 7 sur la hauteur de la section (7 ≠ 7VXS – 7LQI).


Figure 3.7: Allure du profil de température sur la hauteur du tablier d’un pont en béton

et définition de la différence de température 7, dans le cas d’un gradient positif.

Remarquons que l’on emploie souvent à tort le vocable « gradient de température » en lieu et

place de « profil ou différence de température », ce qui en toute rigueur n’a pas la même

signification puisque ce dernier est en général non linéaire alors qu’un gradient est par

définition linéaire. Ceci constitue un abus de langage que nous nous permettons également de

faire ici.

Il est utile de faire la distinction entre deux profils ou gradients de température [41] :

• Les gradients positifs, lorsque la température à la surface du tablier est plus élevée que

celle en profondeur ou à l’intérieur. De tels gradients apparaissent généralement en début

d’après-midi ; les plus importants d’entre eux (+max7 ≈ + 20 °C) apparaissent environ 3 à

6 fois par an durant les mois d’été.

• Les gradients négatifs, lorsque la température à la surface est au contraire plus faible que

celle à l’intérieur. De tels gradients apparaissent de nuit ou tôt le matin ; les plus

importants d’entre eux (−max7 ≈ - ½ +

max7 ≈ - 10 °C) apparaissent environ 3 à 5 fois par an

durant les mois d’hiver.

En l’état actuel des connaissances, il paraît raisonnable de retenir les valeurs ci-dessus comme

valeurs de référence pour les différences de température 7 sur la hauteur du tablier de ponts en

béton (de hauteur ≥ 1.00 m et muni d’une couche de revêtement d’environ 50 mm

d’épaisseur). Dans le cas de tabliers de plus faible hauteur et d’épaisseur de revêtement

différente, ainsi qu’en cas d’absence de revêtement, on trouvera des indications fort utiles par

exemple dans l’Eurocode 1 [26].


Les études paramétriques effectuées par Rotilio avec ces différences de température

appliquées aux ponts types en béton décrits précédemment (§ 2.2.1, en particulier fig. 2.4) ont

montré qu’il en résultait les valeurs maximales suivantes des contraintes de traction [66] :

≈ + 2 à 3 MPa dans les sections en travée

sous un gradient positif 7 = + 20 °C(± constante sur toute la hauteur de la zone tendue)

�≈ + 2 MPa dans la section sur appui intermédiaire

sous un gradient négatif 7 = - 10 °C(à la fibre supérieure)

L’ordre de grandeur de ces contraintes maximales de traction dans le béton par suite de

gradients est confirmé par de nombreuses autres études [35] [36] [41] [61].

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Figure 3.8: Distribution des contraintes thermiques dues à un gradient positif 7 = + 20 °C

sur la hauteur de la section en travée, en fonction de la portée et du type

de pont en béton.


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Figure 3.9: Distribution des contraintes thermiques dues à un gradient négatif 7 = - 10 °C

sur la hauteur de la section sur appui intermédiaire, en fonction de la portée

et du type de pont en béton.

Les résultats de l’étude paramétrique de Rotilio ont montré que (voir figures 3.8 et 3.9) :

• les contraintes de traction dans le béton d’origine thermique sont proportionnelles à

l’intensité de la différence de température ou du gradient 7 ;

• ces contraintes ne sont guère influencées par le type de tablier (à section ouverte ou en

caisson), ainsi que par la portée / du pont dans le cas d’un gradient négatif ;

• en cas de gradient positif, la contrainte de traction dépend quelque peu de la portée et elle

a tendance à diminuer lorsque la portée augmente ;

• à cela, on peut ajouter que les contraintes thermiques dépendent fortement de

l’élancement /�+ du pont ; en première approximation on peut admettre qu’elles sont

inversement proportionnelles à /�+, c’est-à-dire qu’elles augmentent lorsque

l’élancement diminue.

Des gradients thermiques plus importants peuvent apparaître durant l’exécution [26] [35]

[41]. Bien que peu de mesures aient été réalisées, en l’état actuel des connaissances il semble

que l’on puisse admettre que les contraintes thermiques engendrées (notamment lors de la


pose à chaud d’une étanchéité ou d’un revêtement hydrocarbonés) ne soient pas plus élevées

que celles dues aux variations climatiques. Quoi qu’il en soit, il n’est en général pas

nécessaire de combiner ces contraintes thermiques durant l’exécution avec d’autres charges

variables (trafic).

��9DOHXUV�LQGLFDWLYHV�GHV�FRQWUDLQWHV�GH�WUDFWLRQ�VRXV�OH�FXPXO�GHV�DFWLRQVYDULDEOHV

Grâce aux études paramétriques effectuées par Rotilio [66] et dont certains résultats ont été

résumés ci-dessus au § 3.2, il est possible d’estimer les valeurs des contraintes de traction

avec une précision généralement suffisante sous les combinaisons déterminantes d’actions

variables (voir tableau 3.2).

Tableau 3.2: Valeurs indicatives des contraintes de traction dans un pont-route en béton, sous les

combinaisons déterminantes d’actions variables à l’état de service; (*) ces valeurs sont

identiques quel que soit le type de convoi exceptionnel (SIA type I, II ou III).

Contraintes représentatives de traction (figure 3.1)

�[MPa]Combinaisons d’actions déterminantes

Dalle sup. sur appui Dalle inf. en travée

�� 7UDILF�QRUPDO

��JUDGLHQW�∆7�FRQFRPLWDQW

(1a) trafic suisse actuel

(1b) trafic européen ( 40 t)

+ 2.2

+ 2.6

+ 4.0

+ 5.0

�� 7UDQVSRUWV�H[FHSWLRQQHOV

��JUDGLHQW�∆7�FRQFRPLWDQW�(*)

(2a) section en caisson

(2b) section ouverte

+ 2.2

+ 2.4

+ 4.2

+ 5.4

Ces valeurs indicatives sont valables pour les ponts-routes en béton, dont le système statique

est une poutre continue de hauteur constante (voir § 2.2.1, en particulier figure 2.4). Elles ont

été établies conformément aux principes énoncés au § 3.1 et sont représentatives de la valeur

moyenne des contraintes de traction dans les dalles, supposée exister à 100 mm de la fibre

extrême tendue. Elles ont été établies pour des ponts de portée / = 50 à 60 m et présentant un

élancement /�+ = 20. Les études paramétriques ont toutefois montré que ces valeurs


indicatives des contraintes de traction sont peu sensibles aux variations de / et de /�+ ainsi

que du type de section transversale. En première approximation, elles sont donc valables pour

des ponts poutres à section transversale ouverte ou en caisson, quel que soit l’élancement /�+

et la portée 30 ≤ / ≤ 90 m. Ceci du moins sous les combinaisons d’actions variables

comprenant des charges de trafic et un gradient de température. Les effets de variations de la

portée et/ou de l’élancement agissent en effet en sens contraire pour chacune de ces actions et

s’annihilent donc partiellement lorsqu’on les superpose.

Il peut paraître surprenant au premier abord que l’intensité des contraintes indiquées dans le

tableau 3.2 sous les combinaisons (2) ne dépende pas du type de transport exceptionnel. Ceci

est dû au fait que plus de tels convois sont lourds, plus ils sont rares et doivent par conséquent

être combinés avec une valeur de plus en plus faible et fréquente du gradient de température

(voir § 3.1 et 3.2.2). Ces deux effets se compensent à peu près, en sorte que les contraintes

totales résultantes sont pratiquement identiques dans tous les cas de figures (à ± 10 % près).

En guise de conclusion à ce chapitre, il convient de remarquer que les valeurs déterminantes

(c’est-à-dire maximales) des contraintes de traction dans le béton sous le cumul des actions

variables ne semblent guère modifiées par le fait d’ouvrir les routes suisses au trafic européen

(40 t). Quoi qu’il en soit, les contraintes maximales de traction , déterminantes pour

l’aptitude au service des ponts en béton (déformations et fissuration à long terme), seront du

même ordre de grandeur que celles dont ont devrait déjà tenir compte actuellement et qui sont

conditionnées par la combinaison relativement fréquente de transports spéciaux (jusqu’à

environ 1'000 kN) avec un gradient de température. Ainsi, au contraire de ce qui semblait

ressortir au § 3.2.1 sous le seul trafic courant, l’aptitude au service des ponts routiers en béton

sera globalement peu modifiée par l’élévation du poids total des convois de 28 à 40 t.

L’augmentation consécutive sur les valeurs maximales de �n’est que de 10 à 20% pour les

ponts en béton à section en caisson. En outre, les valeurs maximales de demeurent

pratiquement inchangées pour les ponts en béton à section ouverte. Cela du moins, pour la

majorité des ponts semblables aux ponts-poutres ayant fait l’objet de nos études. Cette

conclusion n’est pas forcément généralisable à d’autres types d’ouvrages (ponts mixtes ou

métalliques, ponts de très grande portée, ponts haubanés ou suspendus).

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP Chapitre 4 : Fissuration 41

4. FISSURATION

4.1 Problématique du contrôle de la fissuration

4.1.1 Principes

La fissuration dont nous voulons parler dans ce chapitre et que nous allons tenter de maîtriser

par le choix d’armatures de précontrainte et passives appropriées est la fissuration résultant de

sollicitations mécaniques. Ces sollicitations mécaniques peuvent résulter des charges (poids

propre, charges permanentes, charges variables comme celles dues au trafic) et/ou de

l’entrave aux déformations imposées (retrait thermique ou hydrique, variations et gradients de

température, tassements différentiels des fondations). A côté de cela, il existe d’autres causes

d’apparition de fissures comme celles risquant d’apparaître sur le béton frais avant la prise ou

celles liées à des processus d’endommagement physico-chimiques (gel, réactions alcalis-

granulats). Notons que la mise en œ uvre d’armatures n’est d’aucune utilité pour maîtriser ces

types de fissuration.

Des fissures visibles vont apparaître en certains endroits d’une structure en béton dès que les

contraintes de traction, calculées en stade homogène sous les sollicitations d’origine

mécanique, atteignent ou dépassent la résistance « effective » à la traction du béton fct,ef.

σmax = σperm + ∆σ = fct,ef è FISSURATION (4.1)

La valeur « effective » de la résistance à la traction du béton dans l’ouvrage fct,ef dépend

d’une part de la valeur moyenne de la résistance à la traction fctm définie conventionnellement

sur petites éprouvettes cylindriques en fonction de la classe de résistance à la compression du

béton (tableau 4.1). Elle est d’autre part influencée par des gradients hydriques et thermiques

qui se manifestent dans les ouvrages réels et qui génèrent des états de contraintes auto-

équilibrés (§ 2.2.2.2). Avant l’application de toute charge ou surcharge, il en résulte une

microfissuration interne au béton ou des amorces de fissures qui diminuent la rigidité de

l’élément considéré ou, autrement dit, sa résistance apparente ou « effective » à la traction. La

résistance effective à la traction du béton dans un ouvrage peut être définie par la relation

suivante, en fonction de l’épaisseur t de l’élément considéré (effet de taille) [27] [15] [31] :

fct,ef = κ (t) . fctm (4.2)


dans laquelle :

fctm est la valeur moyenne de la résistance à la traction pure du béton, mesurée suréprouvettes cylindriques 150 x 300 mm à n’importe quel âge ;

κ (t) est un coefficient de minoration fonction principalement de l’épaisseur t del’élément d’ouvrage considéré :κ = 0.8 pour t ≤ 0.3 m ;κ = 0.5 pour t ≥ 0.8 m ;κ = 0.98 – 0.6 · t pour 0.3 < t < 0.8 m.

De récentes études statistiques [19] [31] ont montré que la valeur moyenne de la résistance à

la traction pure du béton pouvait être donnée par la relation suivante, valable à l’âge

conventionnel de 28 jours (voir aussi tableau 4.1) :

603150 .cmctm f.f = (4.3)

dans laquelle

fcm = fck + 8 MPa est la valeur moyenne de la résistance à la compression du béton surcylindre ;

fck est la valeur caractéristique (fractile de 5%) de la résistance à lacompression du béton sur éprouvettes cylindriques 150 x 300 mm,conformément aux normes européennes [27] [15].

Tableau 4.1: Résistance conventionnelle à la traction du béton à l’âge de 28 jours, en fonction de laclasse de résistance à la compression indiquée selon différents codes [31].

Classes de béton [MPa]

CEB C20 C25 C30 C50 C80 C100

EC2 C20/25 C25/30 C30/37 C50/60 C80/90 C100/110

SIA 162 B35/25 B40/30 B45/35 B70/60 B105/95 B125/115

fck [MPa] 20 25 30 50 80 100

fctm [MPa] 2,3 2.6 2.8 3.6 4.7 5.3

S’il ressort des vérifications de l’état de contraintes dans l’ouvrage au moyen de l’équation

(4.1) que l’ouvrage va très probablement être fissuré, du moins en certains endroits, les

normes suisses ou internationales récentes [15] [27] [28] [72] exigent de prendre des mesures

et d’effectuer certaines vérifications afin de garantir que cette fissuration soit acceptable vis à

vis des exigences de durabilité et des exigences fonctionnelles ou esthétiques. A cet égard, la

fissuration qu’il s’agit de contrôler n’est pas celle sous un niveau maximal de sollicitations à


l’état de service (correspondant à des combinaisons d’actions peu fréquentes) mais la

fissuration correspondant à l’état permanent, sous des combinaisons quasi-permanentes voire

fréquentes de sollicitations. Il n’est généralement pas exigé de calculer explicitement les

ouvertures de fissures afin de s’assurer qu’elles n’excèdent pas des valeurs limites spécifiées

(voir § 4.1.2). Pour atteindre cet objectif, les normes contiennent une série de mesures

permettant d’assurer un contrôle indirect ou implicite de la fissuration. Ces mesures

comprennent généralement les trois volets suivants :

• Des mesures d’ordre constructif et technologique destinées à réduire, voire supprimer,

le risque de fissuration quelle qu’en soit la cause. Comme exemples de telles mesures

citons la composition et une cure appropriées du béton, la réalisation de joints afin de

supprimer l’entrave aux déformations imposées telles le retrait, la mise en œ uvre d’une

précontrainte adéquate, etc.

• La mise en place d’une armature minimale dans toutes parties de structures en béton

armé ou précontraint susceptibles de se fissurer sous l’effet des charges et/ou de l’entrave

aux déformations imposées. L’apparition de fissures est en général préjudiciable au bon

comportement de l’ouvrage en service et à sa durabilité (voir § 4.1.3).

• La limitation des contraintes dans l’acier d’armature, calculées en stade fissuré sous le

cumul des sollicitations déterminantes, ainsi qu’une répartition appropriée des barres

d’armature (limitation de leur espacement et/ou de leur diamètre). En effet, l’ouverture

des fissures est en première approximation proportionnelle aux contraintes dans l’acier

calculées en stade II, immédiatement après l’apparition des fissures.

Ces mesures, en particulier celles concernant l’armature minimale et la limitation des

contraintes dans l’acier d’armature, peuvent être graduées en fonction du niveau de qualité

convenu avec le client, du type d’ouvrage et des performances spécifiées (voir § 4.1.2 et

4.1.3).


4.1.2 Motifs pour limiter la fissuration et valeurs indicatives

4.1.2.1 Généralités

En premier lieu, il convient de remarquer que les textes réglementaires modernes [15] [27][72] sont imprégnés d’un esprit relativement libéral en ce qui concerne la vérification des

états-limites de service et en particulier celle de la fissuration. Ces normes permettent de

moduler dans une certaine mesure les exigences et les performances requises en matière

d’aptitude au service, compte tenu des conditions particulières à chaque ouvrage et

moyennant accord entre les parties (maître de l’ouvrage, architecte, ingénieur civil,

entrepreneur). A cet égard, il est utile – voire indispensable – qu’une réflexion ait lieu entre

tous les intervenants sur les objectifs de qualité et le choix des moyens permettant d’atteindre

ces objectifs. Il s’agit de convenir de valeurs limites raisonnables, c’est-à-dire correspondant

au meilleur équilibre possible dans chaque cas particulier entre les exigences souvent

contradictoires d’économie (à court terme), de qualité (niveau de performance) et de

durabilité. A défaut d’une telle réflexion et d’accord entre les intervenants (sous forme de

contrat, de cahier des charges ou de plan d’utilisation), les exigences mentionnées

généralement à titre indicatif dans les normes deviennent obligatoires et peuvent servir de

référence, notamment en cas de problème ou de litige ultérieur.

Rappelons que dans sa démarche, l’ingénieur doit d’abord répondre à la question suivante :

l’ouvrage ou l’élément d’ouvrage considéré risque-t-il de se fissurer lors des différentes

phases de sa réalisation ou sous les sollicitations normales ou accidentelles en service ? Si oui,

il convient de prévoir une armature passive suffisante et/ou de prendre d’autres mesures

appropriées de manière à limiter l’ouverture des fissures à des valeurs acceptables. A cet

égard, les exigences peuvent être graduées dans une large mesure en fonction des divers

motifs justifiant le contrôle de la fissuration, comme indiqué dans ce qui suit.

Il convient en outre de distinguer deux niveaux de contrôle :

• Sous les combinaisons rares d’actions, c’est-à-dire sous le niveau maximum de

sollicitations à l’état de service, il est généralement requis de limiter les contraintes dans

les aciers σs,max à des valeurs inférieures ou égales à leur limite d’écoulement fyk. Si cette

condition n’est pas remplie et que l’ouverture des fissures n’est pas contrôlée par des


conditions géométriques (voir § 4.1.4), on doit alors s’attendre à l’apparition de fissures

isolées d’ouverture supérieure ou égale à 0.5 mm.

Lorsque ces contraintes résultent essentiellement de déformations imposées ou du cumul

de toutes les charges y compris les déformations imposées, les normes [15] [27] [72]limitent leur valeur maximale comme suit :

σs,max ≤ fyk (4.4)

Lorsque ces contraintes résultent d’une combinaison rare de toutes les charges, mais sans

tenir compte de déformations imposées éventuelles, leur valeur maximale est limitée à

des valeurs inférieures définies comme suit :

- en Suisse [72]

σs,max ≤ 0.95 fy – 100 MPa (4.5 a)

- selon les codes européens [15] [27]

σs,max ≤ 0.8 fyk (4.5 b)

• Sous les actions quasi-permanentes, il est en général nécessaire de limiter les ouvertures

de fissures à des valeurs plus faibles que ci-dessus afin de satisfaire aux exigences

requises ou normalement attendues en matière d’aptitude au service et de durabilité.

Celles-ci peuvent être subdivisées en trois catégories que nous allons examiner tout

d’abord séparément bien qu’elles soient étroitement interdépendantes (figure 4.1).

FONCTIONETANCHEITE

DURABILITE ESTHETIQUE

Figure 4.1: Interdépendance entre les 3 principaux motifs pour limiter la fissuration à l’étatpermanent.

Pour la fixation de valeurs limites des ouvertures de fissures tolérables, il faut savoir qu’il ne

peut s’agir que de valeurs conventionnelles en principe définies sur les parements du béton.

En réalité les ouvertures mesurables varient énormément et de manière aléatoire, d’une fissure


à l’autre et le long d’une même fissure. En outre, l’ouverture d’une fissure peut varier en

fonction de la profondeur à laquelle on la mesure ; elle est normalement plus faible au droit

des barres d’armature qu’en surface ou qu’au cœ ur de l’élément. Pour tenir compte de cette

variabilité, les normes [15] [27] indiquent généralement des valeurs limites correspondant à

des valeurs maximales ou caractéristiques wk associées à un fractile de 95% et définies

comme suit par rapport aux valeurs moyennes wm observables en surface :

wk ≈ 1.5 w m (4.6)

4.1.2.2 Esthétique

La fixation des valeurs limites de l’ouverture des fissures pour des motifs esthétiques est une

question éminemment subjective. Elle dépend des exigences et de la sensibilité du client, de

l’utilisateur ou de l’observateur de l’ouvrage. Elle est en outre fonction de la distance

d’observation, de l’état des parements (lisse ou rugueux), de leurs conditions d’éclairage, de

leur exposition aux intempéries, et enfin de la possibilité ou non d’infiltrations d’eau au

travers des fissures. Compte-tenu de tout cela, il est possible de graduer les exigences comme

indiqué au tableau 4.2.

Tableau 4.2: Valeurs indicatives des ouvertures de fissures acceptables à l’état permanent vis à vis del’esthétique.

Conditions parement

(non exhaustives)Présence d’eau Exigences wk [mm]

- caché ou éloigné

- surface brute

- peu ou pas éclairé

aucune faibles 0.3 à 0.5

- distance moyenne

- surface brute

- peu ou pas éclairé

aucune normales 0.2 à 0.3

- faible distance

- surface lisse

- exposé aux intempéries

- bien éclairé

aucune élevées 0.1 à 0.2

- visible occasionnelle très élevées ≤ 0.05


4.1.2.3 Étanchéité

Parmi les performances fonctionnelles à satisfaire par un ouvrage en béton, l’étanchéité à

l’eau intervient très fréquemment. Il convient de réaliser que la notion même d’étanchéité est

toute relative et qu’elle peut dépendre dans une large mesure du type d’ouvrage, de ses

conditions d’exploitation et des attentes du client. Une étanchéité absolue n’existe

pratiquement jamais. Les exigences en matière d’étanchéité sont au fond toujours associées

(sous une forme plus ou moins explicite) à des perméabilités ou à des débits d’infiltrations

admissibles. Ces exigences ne sont pas les mêmes selon qu’il s’agit, à titre d’exemples, d’un

réservoir d’eau, d’un tunnel, d’une dalle de parking ou d’un tablier de pont. Dans ce dernier

cas, ce qui est déterminant, ce n’est pas tellement le débit d’infiltration en terme de volume,

mais la possibilité occasionnelle mais répétée d’infiltrations d’eau souvent chargée de sels

portant préjudice à l’esthétique et surtout à la durabilité et à l’exploitation de l’ouvrage.

La fixation de valeurs limites de l’ouverture des fissures pour la réalisation d’ouvrages en

béton (relativement) étanches à l’eau est fonction de nombreux paramètres comme [23] [52][57] [58] :

• La présence ou non d’un revêtement étanche et assurant le pontage des fissures

éventuelles de manière fiable.

• La présence d’eau ou d’humidité sur l’une des faces, occasionnellement ou en

permanence ; dans ce dernier cas, le gonflement du béton sur les lèvres des fissures

permet leur refermeture après quelques jours ou semaines si leur ouverture n’excède pas

0.2 mm.

• Des processus d’autocolmatage mécanique (matières fines entraînées par l’eau) et/ou

chimique (grains de ciment ou constituants pouvant s’hydrater ultérieurement), possibles

tant que l’ouverture des fissures ne varie guère (∆w ≤ 0.5 wperm) et que leur valeur

maximale n’excède pas environ 0.2 mm.

• L’amplitude des variations des ouvertures de fissures ∆w par rapport aux valeurs

permanentes wperm qui, si elle est trop importante (∆w > 0.5 wperm) peut empêcher tout

processus d’autocolmatage ; c’est en particulier le cas des tabliers de ponts et des dalles de

parking.


• Le gradient de pression ∆S et l’épaisseur W de l’élément considéré (figure 4.3). A cet égard,

il est important de réaliser que le débit d’infiltration T au travers d’une fissure est

proportionnel à ∆S et inversement proportionnel à W, mais surtout qu’il est proportionnel

au cube de l’ouverture de fissure Z. La grandeur de cette ouverture constitue donc le

facteur prépondérant pour l’étanchéité d’une structure en béton si un revêtement étanche

est absent ou défectueux.

TOLVVH débit par m’ (plans lisses)[kg/sec/m’] ;

masse volumique du liquide [kg/m3](pour de l’eau, § 1'000 kg/m3) ;

S gradient de pression [Pa] ;

viscosité dynamique [PaÂVHF@(pour de l’eau, § 1.0Â��-3 PaÂVHF� ;

W épaisseur de l’élément [m] ;

Z ouverture de fissure [m] ;

TILVVXUH débit par m’ de fissure [kg/sec/m’] ;

coefficient de débit [-].Figure 4.2: Débit d’infiltration à travers une fissure

a) fissure idéale, délimitée par 2 plans parallèles et lisses (loi de Poiseuille)

b) fissure réelle

t12pw

q3res

maxfissure ⋅⋅⋅=

wmax = 0.40 mm

wres = 0.10 mm

w [mm]

ξ

� � � � ��Q

�� Q

cycles

cycles

ξmax

tpet0.3avec max ⋅==

[ ]mseckg100.25q 3res

9fissure ′⋅⋅≅ Z

Figure 4.3: Débits d’eau maximum et résiduel au travers d’une fissure en supposant ZPD[ = 0.40 mmet ZUHV = 0.10 mm [32] [57].

Le facteur de réduction ξ = TILVVXUH/TOLVVH est en fait un coefficient de débit (figure 4.2). La

valeur de ξ est fonction des cycles d’ouverture et de refermeture des fissures. Sa valeur

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��)LVVXUDWLRQ 49

est comprise entre ξ = 0 pour ZPD[ ��PP�HW��ξ ��SRXU�ZPD[ ��PP�>57].

Pour les applications pratiques, on pourra souvent admettre la valeur prudente ξPD[ = 0.3.

Le débit TILVVXUH s’entend par seconde et par m' de fissure. Pour de l’eau stagnante sur une

dalle de béton armé fissurée, la pression équivaut au poids de la colonne d’eau dont la

hauteur vaut l’épaisseur W de la dalle. Ainsi, S = γ�Â W (avec γ � ÂJ�: poids volumique de

l’eau) et en introduisant ξ = 0.3 on obtient le débit suivant :

TILVVXUH § 0.25Â��9Â 3UHV

Z [kg/sec/m'] (avec ZUHV en [m])

soit, pour ZUHV = 0.2 mm = 0.2Â��-3 m :

Ð TILVVXUH § 0.0020 kg/sec/m' = 0.12 litres/min/m' ;

soit, pour ZUHV = 0.05 mm = 0.05Â��-3 m :

Ð TILVVXUH § 0.00003 kg/s/m' = 0.002 litres/min/m'.

Compte tenu de ce qui précède, on peut tenter de graduer les ouvertures de fissures tolérables

vis à vis de l’étanchéité à l’eau de la manière indiquée au tableau 4.3.

Tableau 4.3: Valeurs indicatives des ouvertures de fissures acceptables à l’état permanent vis à vis de

l’étanchéité à l’eau.

Présence d’eau ou

d’humidité

Autocolmatage des

fissures([LJHQFHV ZN�[mm]

si étanchéité assurée par revêtement étanche

avec très grande capacité de pontage des fissuresFaibles 0.3 à 0.5

si revêtement étanche

avec bonne capacité de pontage des fissuresNormales 0.2 à 0.3

en permanence possible Elevées 0.05 à 0.2

occasionnellement pas possible très élevées ≤ 0.05

�� 'XUDELOLWp

De nombreuses recherches et observations effectuées tant en laboratoire que sur ouvrages

anciens ont montré que les problèmes de durabilité et en particulier le risque de corrosion des

barres d’armature passive n’étaient pas influencés de manière significative par la valeur de

l’ouverture des fissures, tant que celle-ci demeure comprise entre 0.05 mm et 0.3 à 0.5 mm [3]

[16] [45] [46] [69] et cela, non seulement dans un environnement sec à l’intérieur des


bâtiments mais également pour les éléments d’ouvrage exposés aux intempéries ou à un

environnement agressif (gel et sels de déverglaçage). Le processus de corrosion dépend en

premier lieu de l’épaisseur et de la qualité du béton d’enrobage. En second lieu, il dépend bien

évidemment du fait que la structure soit fissurée ou non. Si elle est fissurée, ce qui est

déterminant c’est de savoir si les fissures sont traversantes et si l’eau peut y circuler ou non,

plutôt que la taille des fissures (voir § 4.1.2.3). L’ouverture des fissures n’influence que la

longueur de la phase d’initiation, c’est-à-dire la durée à partir de laquelle le processus de

corrosion démarre. Mais étant donné que la durée de cette phase n’est que de 2 à 6 années,

elle ne joue pratiquement aucun rôle en ce qui concerne la durabilité eu égard à la durée de

vie de l’ordre de 30 à 80 ans normalement attendue d’un ouvrage.

Une conséquence pratique très importante de ces observations est donc qu’une limitation très

sévère des ouvertures de fissures – réalisable en particulier au moyen d’une augmentation des

quantités d’armature – ne s’avère pas un moyen efficace pour accroître la durabilité des

structures en béton armé ; et cela, même en cas d’environnement particulièrement agressif. En

cas d’exigences très élevées concernant la durabilité, ce sont d’autres mesures auxquelles on

devra recourir. Ces mesures sont précisées dans les normes ainsi que dans certaines

recommandations [16] [27] [31] [72] et comprennent les dispositions suivantes :

• la réalisation d’un enrobage suffisant ;

• la confection d’un béton particulièrement dense, peu perméable ainsi que résistant aux

éventuelles attaques chimiques, grâce à un type de ciment approprié, à un dosage en liant

suffisant, à un rapport eau sur liant aussi faible que possible, à une quantité minimale de

fines, à l’ajout éventuel de fumée de silice (bétons à hautes performances), etc. ;

• une cure soignée et de durée suffisante ;

• et au besoin, en cas d’agression par des substances chimiques très agressives, le mise en

œ uvre d’une couche étanche à la surface du béton et/ou l’utilisation de barres d’armature

revêtues d’une couche de résine époxy.

C’est en effet l’épaisseur et la qualité du béton d’enrobage protégeant la cage d’armature qui

constituent les facteurs déterminants pour la durabilité.

Concernant la durabilité des structures en béton précontraint et le risque de corrosion des

aciers de précontrainte, les normes contiennent en général des mesures renforcées et limitent


plus sévèrement les ouvertures de fissures sous les combinaisons d’actions quasi-permanentes

ou fréquentes : wk ≤ 0.2 mm ou vérifier la limite de décompression. Ceci, de manière graduée

selon le type de précontrainte (par post- ou pré-tension) et l’agressivité du milieu environnant.

Il est à relever toutefois que les résultats de la présente recherche et en particulier ceux des

essais (voir § 4.2, en particulier figure 4.21) indiquent que ces deux exigences sont

pratiquement équivalentes. La limite de décompression correspond en effet à des ouvertures

de fissures résiduelles non nulles de l’ordre de 0.1 à 0.2 mm.

Une vaste campagne de mesures et d’observations in situ sur des tabliers d’anciens ponts en

béton en Suisse [45] [46], a montré que l’intensité de la corrosion des barres d’armatures

passives ne dépend que fort peu de l’ouverture des fissures (tant que celle-ci n’excède pas 0.5

mm environ) mais qu’elle dépend surtout et de manière considérable du fait que les fissures

soient traversantes ou non et que l’eau et des agents agressifs puissent s’y infiltrer ou non.

Pour les ouvrages courants situés en conditions environnementales faiblement à

moyennement agressives (y compris les attaques gel/dégel/sel), on propose de graduer les

ouvertures de fissures tolérables vis à vis de la durabilité des structures en béton de la manière

indiquée au tableau 4.4. Des mesures renforcées particulières seront à définir pour les

ouvrages situés en milieu extrêmement agressif (eau de mer + gel, attaque par des produits

chimiques). Pour ce faire, on pourra se référer aux normes et à la littérature spécialisée déjà

citées.

Tableau 4.4: Valeurs indicatives des ouvertures de fissures tolérables à l’état permanent vis à vis dela durabilité (GDS = exposition aux attaques gel/dégel/sel).

Armatures Conditions Agressivité Exigences wk [mm]

passivesuniquement

intérieur sec faible faibles 0.3 à 0.5

passivesuniquement

extérieurhumidité variable

moyenneGDS

normales 0.2 à 0.3

avec aciers deprécontrainte

int. ou ext.humidité variable

moyenneGDS

élevées

0.1 à 0.2

≈ limite

décompression

avec ou sans aciersde précontrainte

int. ou ext.infiltrations d’eaupossible au travers

des fissures

moyenneGDS

très élevées ≤ 0.05


�� 6\QWKqVH�GHV�H[LJHQFHV�SRXU�OHV�SRQWV�HQ�EpWRQ�SUpFRQWUDLQW

En résumé, nous proposons de graduer les exigences en matière d’ouvertures résiduelles de

fissures (= à l’état permanent) dans les ponts en béton précontraint de la manière indiquée au

tableau 4.5. Les indications de ce tableau tiennent compte de l’ensemble des exigences

relatives à l’esthétique, l’étanchéité et la durabilité.

Tableau 4.5: Valeurs indicatives des ouvertures de fissures acceptables à l’état permanent

dans les ponts en béton précontraint (GDS = exposition aux attaques gel/dégel/sel).

([LJHQFHV ZN�UHV��

[mm] Situation / Conséquences

pOHYpHV ��

- environnement sec ou humide,

éventuellement agressif (GDS)

- autocolmatage des fissures guère possible

- infiltrations d’eau au travers des fissures,

occasionnellement possible

WUqV�pOHYpHV ��

- environnement extérieur et agressif (GDS)

- autocolmatage des fissures en principe assuré

- structure quasi-étanche

�� 3URSRVLWLRQ�G¶H[LJHQFHV�PRLQV�VpYqUHV�SRXU�OHV�VWUXFWXUHV�HQ�EpWRQ�DUPp

Dans le cas des structures en béton armé et d’éléments de structures ne contenant que des

aciers d’armature passive, ces exigences peuvent être considérablement réduites, compte tenu

des considérations précédentes (voir en particulier § 4.1.2.4). Ceci, à un niveau inférieur que

celui parfois trop sévère requis dans les projets de codes européens [27] [15]. Les valeurs

limites suivantes paraissent raisonnables sous les sollicitations permanentes, dans le cas de

structures en béton armé situées aussi bien à l’intérieur qu’à l’extérieur et exposées aux

intempéries (y compris GDS) :

• H[LJHQFHV�QRUPDOHV ZN�UHV�

≤��PP ;

• H[LJHQFHV�IDLEOHV ZN�UHV�

≤��PP, sous réserve que cela soit acceptabledu point de vue de l’aspect.

Concernant des exigences plus sévères vis à vis de l’étanchéité à l’eau, on se référera cas

échéant aux indications du § 4.1.2.3.


�� $UPDWXUH�PLQLPDOH

Une quantité minimale d’armature est en général requise afin d’assurer une fissuration

contrôlée dans toute partie d’une structure ou de l’un de ses éléments soumise à des

contraintes de traction dépassant la résistance à la traction du béton. Ces contraintes peuvent

résulter de toutes combinaisons possibles de charges et de déformations imposées ou

empêchées. A défaut de méthodes plus rigoureuses, la section d’armature minimale requise

dans les zones tendues peut être estimée au moyen de la relation simplifiée suivante selon les

normes européennes [15] [27] [28] :

2V

FWHI�FWFPLQ�V

$I$

⋅⋅⋅= (4.7)

relation dans laquelle :

IFW�HI

est la résistance à la traction du béton effective au moment où les fissures sont

supposées se produire ; à moins que les fissures n’apparaissent à un âge très jeune, ilest raisonnable d’adopter pour I

FW�HI

la valeur moyenne IFWP

telle que définie au § 4.1.1

(tableau 4.1) ;

σV�

est la contrainte maximale admissible dans l’acier d’armature, calculée en stade II

immédiatement après l’apparition des fissures ; cette contrainte, ainsi que l’armatureminimale qui en découle, peut être graduée comme suit :

σV�

= I\N

où I\N

est la valeur caractéristique (fractile de 5%) de la limite

d’écoulement de l’acier d’armature, s’il s’agit d’éviter l’apparition delarges fissures isolées (voir figure 4.4),

σV�

< I\N

selon les valeurs indiquées sur la figure 4.5, s’il s’agit de limiter

l’ouverture des fissures à des valeurs spécifiées comme celles indiquéesau § 4.1.2;

$FW

est l’aire de la partie tendue de la section de béton, calculée en stade homogène juste

avant l’apparition des fissures ;

κF

est un facteur de réduction tenant compte de la forme de la distribution des contraintes,

dont la valeur est généralement comprise entre 0.4 et 1.0 en fonction de la nature dessollicitations et de la forme de la section;

• dans le cas de sections rectangulaires :κF

= 1.0 pour la traction pure,κF

= 0.4 pour la flexion simple ;

• dans le cas de sections en caisson :κF

= 0.9 pour les dalles / la membrure tendue,κF

= 0.45 pour les âmes;


κ est un facteur de réduction permettant de tenir compte de l’effet favorable sur l’effortde fissuration, dû à la présence d’états de contraintes auto-équilibrées (voir § 4.1.1); savaleur dépend principalement de l’épaisseur t de l’élément de structure considéré :• κ = 0.8 pour t = 0.3 m;• κ = 0.5 pour t = 0.8 m;• κ = 0.98 – 0.6·t pour 0.3 < t < 0.8 m.

Figure 4.4: Pourcentages d’armature minimale requise pour éviter l’écoulement de l’acieren fonction de l’épaisseur (t) ou de la hauteur (h) de l’élément, de la résistanceà la traction du béton (fctm) et du type de sollicitation.

Figure 4.5: Valeurs maximales des contraintes dans l’acier d’armature σs2 pour des bétonscourants (de classe de résistance ≤ C30), en fonction du diamètre des barreset de l’ouverture admissible wk maximale des fissures à l’état permanent.


Sur la figure 4.5 on a entre autre représenté les courbes correspondants aux valeurs limites

wk = 0.3 mm et wk = 0.2 mm admises actuellement dans les projets de normes européennes,

respectivement dans le cas du béton armé et du béton précontraint. Étant donné que les

quantités d’armature à mettre en œ uvre sont inversement proportionnelles aux contraintes

auxquelles elles sont autorisées à travailler, on peut réaliser l'intérêt économique qu’il y aurait

à relâcher ces exigences dans tous les cas où cela est compatible avec le niveau de qualité

effectivement nécessaire (voir § 4.1.2.6).

Notes :

• L’Eurocode 2 et le Code Modèle CEB – FIP 1990 définissent de multiples valeurs

pour κc et κ en fonction des diverses situations possibles, de manière bien plus

nuancée qu’indiqué ici. De telles distinctions nous paraissent toutefois superflues et

difficiles à opérer dans la plupart des applications pratiques.

• L’armature minimale définie par la relation (4.7) résulte de nombreuses recherches

réalisées essentiellement sur des éléments de structures en béton armé. Dans le cas du

béton précontraint, cette relation admet implicitement que le béton est sollicité en

traction malgré la présence de la précontrainte. Il semble logique que la prise en

compte de l’effet favorable de la précontrainte puisse permettre une certaine

réduction de l’armature minimale nécessaire. Cette possibilité est mentionnée dans les

développements récents des codes européens, toutefois selon des procédures

numériques complexes et d’utilisation peu pratique [15] [28].

• Bien que sous une forme légèrement différente et plus simple, la norme SIA 162 [72]

contient des clauses similaires relatives à l’armature minimale.

• De plus, tous ces codes permettent de renoncer à placer une armature minimale,

notamment dans les cas suivants :

− si l’on peut être certain que le béton n’aura jamais à supporter des contraintes de

traction atteignant sa résistance effective à la traction ;

− si l’ouverture des fissures éventuelles est contrôlée par des conditions

géométriques telles que faible longueur des éléments tendus [55] [56] et

proximité d’une zone comprimée ou de l’âme d’une poutre fléchie (voir § 4.1.4) ;

− si l’apparition de larges fissures isolées n’est pas préjudiciable.


4.1.4 Effets géométriques sur le schéma de fissuration du tablier

4.1.4.1 Introduction

Les dalles supérieure et inférieure d’un pont en caisson peuvent être assimilées à des plaques

horizontales, qui, sous l’effet d’un moment, généralement composé d’un effort normal, sont

obligées de se déformer. Il en résulte des ε+ de traction, que l’on admettra pour la suite

calculés au feuillet moyen des plaques horizontales, susceptibles de les fissurer.

Figure 4.6: Déformation des plaques horizontales (dalles supérieure et inférieure) d'un caisson depont sollicité par de la flexion composée.

Regardons le réseau de fissures qui en découle, indépendamment de la présence d’armature

adhérente.

4.1.4.2 Parallèle avec un mur voulant se raccourcir sur une fondation indéformable

Bien que l’état de sollicitation soit sensiblement différent, ramenons notre problème à celui

d’un mur non armé, bétonné sur une fondation infiniment rigide, voulant se raccourcir sous

l’effet d’une déformation imposée ε0 instantanée et uniforme (voir figure 4.7).

Figure 4.7: Passage du porte-à-faux au mur entravé dans un raccourcissement uniforme instantanésur une fondation infiniment rigide


Le schéma de fissuration d’un mur entravé non armé dans son raccourcissement par une

fondation rigide a fait l’objet de nombreuses études [1] [12] [22]. Il en ressort un schéma de

fissuration stable qui peut être compris en admettant une diffusion de la traction à 45 degrés

dans le mur (voir figure 4.8).

Figure 4.8: Schéma de fissuration d'un mur non armé subissant un raccourcissement uniforme etinstantané situé sur une fondation infiniment rigide (tiré de Braam [12] et de [22])

La fondation est à l’origine de la fissuration de la paroi. En outre, elle a une action sur la

répartition de la fissuration du mur auquel elle est assemblée. Ces deux actions (fissuration et

répartition) sont les plus grandes à proximité du radier et diminuent quasi linéairement

lorsqu’on s’en éloigne.

La mise en place d’une armature adhérente dans le mur à proximité de la fondation n’a pour

ainsi dire aucune influence sur l’espacement et, par conséquent, sur l’ouverture des fissures

qui y prennent naissance. On a tout intérêt à disposer cette armature dans les zones les plus

éloignées de la fondation, là ou les fissures sont plus rares, et donc plus ouvertes.

Compréhension du phénomène sur la base de la théorie d’élasticité

Comme illustré en figure 4.9, sur la base d’un raisonnement purement élastique, la contrainte

de traction dans le mur non armé est d’autant plus faible que le rapport longueur sur hauteur

(l/h) (ou le rapport espacement de fissures sur hauteur (s/h)) est faible. Il en ressort que, pour

un certain rapport (l/h) (ou (s/h)), fonction de la sollicitation, la contrainte de traction au

sommet du mur demeure inférieure à la résistance à la traction du béton, et que les fissures,

naissant au pied du mur, ne peuvent se propager jusqu’à son sommet.


Figure 4.9: Distributions de contraintes (σc) sous raccourcissement imposé instantané (ε0) dans unmur sur une fondation infiniment rigide (tiré de [22] et de [31]): ε0 ⇒ σc0 = ε0 Ec

4.1.4.3 Application au cas d’un tablier de pont

Le schéma de fissuration des plaques horizontales que sont les dalles supérieure et inférieure

d’un pont en béton précontraint, en admettant qu’aucune armature passive y soit disposée, a la

même allure que celui du mur de fondation, à la différence près que la diffusion de l’effort à

45 degrés doit préalablement se faire dans les âmes (voir figures 4.7 et 4.10, et Beeby [10],

Braam [12], Favre et al. [30], Rostasy et al. [65]). Il en ressort, comme indiqué en figure 4.10,

que l’espacement des fissures, en bout des porte-à-faux et au milieu des dalles inférieure et

supérieure est directement fonction de la portée transversale de ces derniers (a1, a2, b), alors

que l’espacement des fissures aux jonctions de ces éléments avec les âmes est directement

fonction de la hauteur de la zone tendue (ht sur appuis et à mi-travée).

Alors que dans le cas du mur à proximité de la fondation, c’est cette dernière qui exerce une

action sur la répartition de la fissuration, dans le cas du tablier de pont, c’est le voisinage de

l’axe neutre qui joue ce rôle. Plus on s’éloigne de l’axe neutre, moins cette action se fait

ressentir sur la répartition de la fissuration. Il en résulte des fissures plus espacées,

d’ouvertures supérieures. Dans ces zones, typiquement les bouts de porte-à-faux et le milieu

des dalles supérieure et inférieure, la mise en place d’une armature est indispensable si l’on

souhaite y limiter les ouvertures des fissures. Lorsque l’on se rapproche des âmes, la présence

de l’axe neutre se fait de plus en plus sentir. En conséquence, proche des âmes, il est possible

de réduire les quantités d’armature passive.

h


45°

ht

ht

ht

45°

Sur appuisÀ mi-travée

h t

ht

45° h t

b

s =

1 ÷

2 (h

t + b

)

s =

1 ÷

2 h t

s =

1 ÷

2 (h

t + m

ax (a

1; a 2

))

s =

1 ÷

2 h t

a2a1

Figure 4.10: Schéma de fissuration d'un tablier de pont en admettant qu'aucune armature adhérenten’y est disposée.

Il est fréquent aujourd’hui que l’armature de fissuration soit répartie au prorata de l’épaisseur

de l’élément considéré. Or, les éléments horizontaux d’un tablier de pont vont généralement

en s’épaississant lorsqu’ils se rapprochent de l’âme (goussets). Ceci conduit à des quantités

d’armature plus importantes dans ces zones épaisses, alors que en bouts des porte-à-faux et au

milieu des dalles, généralement moins épais, sont disposées des quantités d’armature plus

faibles. Ceci est en contradiction avec la réalité qui veut que ce soit dans ces zones éloignées

des âmes que soit mise en œ uvre la plus grande quantité d’armature passive, du fait du risque

de fissuration plus important (voir figure 4.52).

4.2 Recherche expérimentale

4.2.1 Objectifs

L’ouverture des fissures a déjà été largement étudiée sous sollicitations de traction ou de

flexion croissant de manière monotone. En revanche on dispose de relativement peu

d’informations sur ce qui se passe en cas de décharge, voire d’inversion des contraintes

(éléments précontraints) sous l’effet d’actions cycliques. Dans le cadre de cette recherche,

nous nous sommes attachés à résoudre le cas fondamental du tirant en béton armé et

précontraint. Il s’agit en fait de déterminer quelle est l’aptitude de la précontrainte à refermer


les fissures, ainsi que de juger de l’effet de chargements répétés sur un élément sollicité en

traction pure.

4.2.2 Caractéristiques des essais sur tirants

Une dizaine d’essais ont été réalisés dans les laboratoires du département de génie civil de

l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne sur des tirants en béton armé et précontraint.

Figure 4.11: Vue du stand d’essais

Les éléments testés font 4.50 m de long et la zone de mesure est limitée aux 2.6 m centraux.

La section transversale des tirants fait 0.80 m de haut et 0.25 m de large.


Les éléments sont disposés horizontalement dans un bâti de charge qui permet de les solliciter

axialement (voir figures 4.11 et 4.13). Lorsque la résistance à la traction est atteinte ou

dépassée, il en découle l’apparition de fissures situées dans un plan vertical perpendiculaire à

l’axe de l’élément. La sollicitation, croissant de manière monotone ou cyclique, est imposée

au moyen d’un vérin linéaire d’une capacité de 2'500 kN, contrôlé en force ou en

déformation.

Chaque essai consiste à imposer une déformation axiale à l'élément, variant de manière

cyclique comme indiquée sur la figure 4.12.

Chacun des éléments a été préfissuré lors d’une première montée en charge par paliers

successifs jusqu’au niveau ε = 0.4 ‰ (#1). Cette préfissuration est représentative d’un

événement antérieur ayant fortement sollicité l’ouvrage durant sa construction (par exemple

pont poussé) ou durant son exploitation (transport exceptionnel).

ε [‰ ]

0.4

0.6

0.2

sperm

(ε = 0.0 )#1 #2 #3 #4

temps ounbre de cycles

Figure 4.12: Historique des essais sur tirants précontraints

Chacun des éléments est ensuite sollicité par 9'000 cycles entre ε = 0.2 ‰ et σperm,

représentant la contrainte à l’état permanent. Une telle sollicitation est par exemple

représentative de gradients de température de 20 °C se répétant pendant une période d’environ

25 ans dans un pont réel (#2).


Selon les éléments, on a ensuite poursuivi les essais par quelques milliers de cycles

supplémentaires entre 0.2 ÷ 0.4 ‰ (#3) et entre 0.4 ÷ 0.6 ‰ (#4).

Figure 4.13: Plan du stand d'essais


Figure 4.14: Face d'un élément instrumentée durant l'un des essais

�� 3DUDPqWUHV

Les paramètres que l’on fait varier sont la force de précontrainte (ou autrement dit l’état de

compression à l’état permanent σSHUP) et l’armature passive mise en place (voir tableau 4.6).

Tableau 4.6: Paramètres et désignation des tirants d'essai

ARMATURE PASSIVE LONGITUDINALE�ρ

��

�� S 01 S 02

�� P 12 P 14

�� P 21 P 22 P 23

PRE

CO

NT

RA

INT

E

σ SHUP�[M

Pa]

�� P 32 P 33 P 34

Les caractéristiques du béton choisi sont en principe identiques pour tous les éléments. Nous

avons souhaité de plus que ce béton soit un béton standard, couramment utilisé dans la

pratique pour la fabrication de grandes structures, et plus particulièrement de ponts. Ainsi, le

béton utilisé est un béton voisin de la classe C 30/37 selon l’Eurocode 2 [27].


Figure 4.15: Plan d'armature de l'élément P34 ( = 0.20 %, SHUP = -3.5 MPa, voir tableau 4.6)

L’armature passive est constituée de barres à haute adhérence en acier S 500. Le taux

d’armature passive le long de l’élément est rapporté à la totalité de la section transversale,

abstraction faite de toutes considérations relatives à l’aire effective ou l’enrobage, ce qui

revient à peu près au même pour des sections minces d’épaisseur inférieure à 0.30 m.

La précontrainte est exercée de manière centrée au moyen de monotorons AVT de 150 mm2

en acier de classe de relaxation 2 mis en place dans des gaines de polyéthylène non-injectées

(IWN = 1'770 N/mm2). Un plan d’armature est présenté en figure 4.15.


�� 3ULQFLSDX[�UpVXOWDWV

�� ,QWURGXFWLRQ

Les résultats complets et détaillés sont disponibles dans un rapport des essais [49]. Nous nous

contentons ici, de façon très succincte, d’exposer quelques-uns des résultats majeurs de la

campagne.

Les ouvertures des fissures ont été mesurées en fonction de la contrainte de compression dans

le béton à l’état permanent, du pourcentage d’armature passive et du nombre de cycles, sous

les principaux niveaux de sollicitation suivants :

• L’état permanent (σSHUP), c’est-à-dire sous le seul effet de la précontrainte ⇒ ZUHV ;

• Sous la valeur maximale d’une sollicitation variable de manière cyclique ⇒ ZPD[ ;

• Sous l’état de décompression défini par σF = 0 ⇒ ZUHV�GpF��

Sous les niveaux de sollicitations examinés on a observé l’apparition de 1 à 4 fissures

traversantes par élément.

�� 2XYHUWXUHV�UpVLGXHOOH�GHV�ILVVXUHV��ZUHV��j�O¶pWDW�SHUPDQHQW

• ,QIOXHQFH�GH�ρ��HW� SHUP�VXU�ZUHV

Comme illustré en figure 4.16, compte tenu de la dispersion des résultats, l’ouverture

résiduelle ne semble guère dépendre du pourcentage d’armature passive. Cette constatation

semble d’autant plus vraie que la contrainte de compression à l’état permanent (σSHUP) est

élevée en valeur absolue, sous réserve que le taux d’armature soit supérieur au pourcentage

minimal correspondant à l’écoulement de l’acier sous la valeur maximale des sollicitations

(voir figure 4.19). Par contre, l’ouverture résiduelle des fissures est fortement dépendante du

taux de précontrainte à l’état permanent (σSHUP), et elle est d’autant plus faible que cette

contrainte est élevée en valeur absolue.


Première décharge Cycles #2, cycle N° 9000

0

50

100

150

200

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

w res [µm]

ρ = 0.20 %ρ = 0.31 %ρ = 0.45 %ρ = 0.62 %

P34P33P32

P21P22P23

S02

S01

P14

P12

0

50

100

150

200

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

w res [µm]

ρ = 0.20 %ρ = 0.31 %ρ = 0.45 %ρ = 0.62 %

P34P33P32

P21P22P23

S02

S01

P14

P12

Figure 4.16: Valeurs moyennes des ouvertures résiduelles des fissures mesurées en fonction de lacontrainte permanente et du taux d’armature après la première décharge et après 9'000cycles entre σperm et ε = 0.2 ‰ (cycles #2).

• Influence des cycles et de l’histoire de chargement sur wres

Sous sollicitations cycliques, l’ouverture résiduelle des fissures correspondant à l’état

permanent n’évolue pratiquement pas en fonction du nombre de cycles exercés

(voir figure 4.17, pour un pourcentage d’armature maintenu constant ρ = 0.45 %)

Avec le nombre de cycles, l’ouverture des fissures wres a tendance à diminuer légèrement.

Ceci s’explique par le fait que la poussière dégagée lors de l’apparition d’une fissure met du

temps à s’en aller, et qu’ainsi, les cycles « nettoient » la fissure et rendent plus aisé sa

refermeture.


wres [µm]N

° de

l’es

sai

Aprè

s 1èr

e

déch

arge

Aprè

s 9'

000

cycl

es #

2

∆wre

s [%

]

S01 106 100 -6

S02 96 95 0

P12 81 72 -12

P14 213 195 -9

P21 41 33 -20

P22 42 39 -7

P23 32 29 -9

P32 8 6 -25

P33 14 11 -21

P34 18 16 -11

0

50

100

150

200

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

w res [µm]

Première décharge

Cycle N° 9000

P32

P22

S02

P12

ρ = 0.45 %

Figure 4.17: Variation de wres entre la première décharge et après 9'000 cycles #2.

L’ouverture résiduelle des fissures wres sous actions cycliques ne progresse de manière

significative que dans la mesure où la sollicitation maximale durant un cycle se rapproche,

atteint et surtout dépasse le niveau extrême observé lors d’un cycle précédent. Ainsi, une

succession de très nombreux cycles de faible amplitude n’accroîtront pas (ou extrêmement

peu) l’ouverture de fissure mesurée après le précédent chargement d’amplitude supérieure

(voir figure 4.18). Il ressort de nos essais, lors d’application de cycles d’amplitude supérieure

(cycles #3 et #4) une augmentation de l’ouverture des fissures sous chargement minimal ne

dépassant pas 20 %, et ayant lieu durant les premiers cycles (∼ 100 premiers cycles). Cette

observation est en accord avec des résultats émanants d’essais sur des éléments fléchis

(voir Rotilio [67]).

Le mécanisme de propagation de l’ouverture résiduelle décrit ci-dessus est également

applicable à l’ouverture des fissures sous chargement maximal (wmax) et à son évolution avec

le nombre de cycles.


) 3

)

&\FOHV

Z

U

H

V

�VRX

V�3

∆wres ≈ 0

∆wres

wres ()PD[��

)

)PD[��

wres ()PD[��

)

)PD[��

)PD[��

)33)

Figure 4.18: Mécanisme de propagation de l’endommagement sous sollicitations cycliques

aléatoires.

�� 2XYHUWXUHV�GH�ILVVXUHV�VRXV�VROOLFLWDWLRQV�PD[LPDOHV��ZPD[�

• ,QIOXHQFH�GH�ρ�HW�σSHUP�VXU�ZPD[

Sous sollicitations maximales ε = 0.20 ‰ et ε = 0.40 ‰, nous observons également une

certaine diminution de l’ouverture maximale des fissures ZPD[ lorsque σSHUP augmente

(voir figure 4.19), sous réserve que les aciers d’armature passive ne soient pas plastifiés ce qui

est le cas des essais P14 et P34.

Notons également que (ZPD[) semble plus grand pour des éléments faiblement précontraints

(par exemple P12, pour lequel σV� sous 0.4 ‰ est élevé), que pour des éléments de béton armé

(S02), toutes choses par ailleurs égales. Ceci n’est qu’apparent, et s’explique de par le fait

que, pour l’élément P12, la montée en charge jusqu'à 0.4 ‰ a pris fin juste avant l’apparition

d’une nouvelle fissure, ce qui n’est pas le cas des éléments simplement armés.

Dans le cas du béton armé il est admis et vérifié que cette ouverture est à peu près

inversement proportionnelle à la quantité d’armature mise en œuvre (voir Farra [29] et Favre

et al. [31]). Les résultats de nos essais d’éléments précontraints avec σSHUP = -2.0 et -3.5 MPa

pour lesquels on a fait varier le taux d’armature passive n’indiquent toutefois aucune tendance

nette.


Cycles #2, cycle N° 1 Cycles #2, cycle N° 9000

0

50

100

150

200

250

300

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

wmax [µm]

ρ = 0.20 %ρ = 0.31 %ρ = 0.45 %ρ = 0.62 %

P33P32

P22

P23P21

S02

S01

P12

P34

0

50

100

150

200

250

300

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

wmax [µm]

ρ = 0.20 %ρ = 0.31 %ρ = 0.45 %ρ = 0.62 %

P33P32

P22

P23P21

S02

S01

P12 P34

Figure 4.19: Ouvertures moyennes des fissures sous sollicitation maximale en fonction de la

contrainte permanente et du taux d’armature pendant le premier cycle et pendant le9'000ème cycle entre σSHUP et ε = 0.2 ‰ (cylces #2).

• ,QIOXHQFH�GHV�F\FOHV�VXU�ZPD[

ZPD[�>µP@

1��GH�O¶HVVDL

$SUqV�OH��

HU

F\FOH��

$SUqV��

F\FOH��

∆�Z

P

D

[

�>�@

S01 139 139 0

S02 144 158 9

P12 244 261 7

P14 477 486 2

P21 152 162 7

P22 207 210 1

P23 161 175 9

P32 145 176 21

P33 140 158 13

P34 281 263 -6

0

50

100

150

200

250

300

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

wmax [µm]

Cycle N° 1

Cycle N° 9000

P32

P22

S02

P12ρ = 0.45 %

Figure 4.20: Variation de ZPD[ entre le premier cycle et le cycle N° 9'000 (cycles #2).


L’ouverture des fissures semble augmenter très légèrement lorsque le nombre de cycles

augmente (voir figure 4.20), si l’on excepte l’essai P34 pour lequel on a au contraire constaté

une faible diminution. Il faut noter que cette légère progression se fait durant les premières

centaines de cycles.

�� (WDW�GH�GpFRPSUHVVLRQ�� F� ��

Sous l’état de décompression σF = 0, on

observe une certaine ouverture résiduelle

des fissures ZUHV�GpF� qui, en première

approximation, semble faiblement

dépendre de l’état de contrainte à l’état

permanent et du pourcentage d’armature

(voir figure 4.21). Cette ouverture

résiduelle des fissures sous état de

décompression est comprise entre

0.1 et 0.2 mm.

0

100

200

300

400

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

wres (déc)

[µm]

ρ = 0.20% ρ = 0.31%

ρ = 0.45% ρ = 0.62%

P23P22P21

S02(bis)S01S02

P12

P14

wres(déc) [µm]

P34P32P33

Figure 4.21: Ouverture résiduelle des fissuressous l’état de décompression(σF = 0).

�� eYROXWLRQ�GH�O¶LQGLFH�G¶HQGRPPDJHPHQW

0

100

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5

σc, perm [MPa]

Id [%

]

Montée / 0.2 ‰

Montée / 0.4 ‰

Fin des cycles #3 / 0.4 ‰

Fin des cycles #4 / 0.6 ‰

ε�[‰]

0.4

0.6

0.2

σperm(ε = 0.0�

#1 #2 #3 #4

temps

E F G

D

[ : Pesure

D

E

G

F

Id [%]

perm [MPa]

Figure 4.22: Evolution de l’indice d’endommagement (,G) avec l’historique de l’essai, en fonction de

la précontrainte


La valeur ,G, appelée indice d’endommagement est un indicateur très simplifié permettant

d’estimer l’endommagement des éléments. Il représente le rapport entre la déformation

absorbée par la zone endommagée '¶ (fissure et zone de transmission) et la déformation

totale imposée '. Ce rapport tend vers 1, c’est-à-dire 100 % lorsque la fissuration, et par

conséquent l’endommagement sont très avancés. Quand il est inférieur à 1, la différence de ce

rapport avec l’unité représente la part de la déformation totale incombant au béton tendu entre

les fissures (≈ tension stiffening).

Suite à un premier chargement, l’endommagement des éléments fortement précontraints est

nettement plus faible que l’endommagement des éléments faiblement précontraints ou

simplement armés (voir figure 4.22). A cet instant de l’historique de chargement, la quasi

totalité du potentiel d’endommagement des éléments faiblement précontraints ou simplement

armés à été utilisée, de telle sorte que le potentiel d’endommagement restant pour des

chargements futurs (cycles) est faible. Dans le cas des éléments fortement précontraints, une

faible partie du potentiel d’endommagement initial a été absorbée. Il en résulte dès lors un

accroissement de cet endommagement lors de l’application de charges répétées. En fin

d’essai, l’endommagement de tous les éléments est comparable, quelle que soit l’intensité de

la précontrainte.

�� 3ULVH�HQ�FRPSWH�GH�O¶DGKpUHQFH�GHV�DFLHUV�GH�SUpFRQWUDLQWH

Les observations effectuées et les conclusions tirées de cette étude expérimentale quant à

l’effet favorable de la précontrainte ne prennent pas en compte l’effet bénéfique de

l’adhérence de la précontrainte sur la répartition de la fissuration, du fait que les aciers de

précontrainte étaient non injectés dans nos essais.

Rappelons qu’au sens de l’Eurocode 2 (partie 2 [28], § 4.4.2.2.3, armature minimale), il est

possible de tenir compte d’une précontrainte adhérente pour le contrôle de la fissuration pour

autant qu’elle soit disposée à moins de 300 mm de l’armature passive de la zone tendue. En

première approximation, la précontrainte adhérente ne joue plus aucun rôle sur la répartition

de la fissuration d’un élément de structure dès qu’elle s’en trouve éloignée de plus de deux

fois son épaisseur. Or, c’est le cas des éléments les plus vulnérables à la fissuration, que sont

les porte-à-faux et le centre des dalles supérieure et inférieure (voir § 4.1.4).


De plus, pour autant que l’on soit proche des câbles de précontrainte (sur appuis, dalle

supérieure au droit des âmes ; à mi-travée, dalle inférieure au droit des âmes) nos essais sont

représentatifs de ce qui peut au pire se produire dans l’hypothèse où l’adhérence des aciers de

précontrainte est tellement faible ou endommagée (par suite de défauts d’injection, du faible

profilage des aciers, de l’endommagement par suite des cycles) qu’elle peut être négligée.

��0RGpOLVDWLRQ�GH�O¶RXYHUWXUH�HW�GH�OD�UHIHUPHWXUH�GHV�ILVVXUHV

�� 2EMHFWLIV

Dans le but de clairement définir le rôle vis-à-vis de la fissuration des divers composants d’un

élément de structure en béton précontraint sollicité par un effort de traction variant de manière

cyclique, il est indispensable de mettre au point un modèle physique. Ce dernier doit être

capable de prédire la refermeture des fissures sous un effort de compression donné

(précontrainte), en fonction des sollicitations maximales rencontrées auparavant, des

caractéristiques géométriques et mécaniques de la section et des divers matériaux la

constituant, ainsi que de leur liaison (adhérence).

�� /RLV�IRQGDPHQWDOHV�UHWHQXHV

Le béton, l’acier d’armature et l’adhérence entre l’acier d’armature et le béton sont décrits par

un ensemble de lois constitutives permettant de tenir compte du comportement iso-

adoucissant du béton au voisinage des fissures (tension softening), et de l’évolution de la

liaison acier-béton, aussi bien pendant la première montée en charge que lors de la décharge

et de chargements cycliques ultérieurs.

�� $FLHU

L’acier d’armature est caractérisé par un comportement élasto-plastique. Dans ce qui suit, la

plastification des barres d’armature constitue une limite supérieure au-delà de laquelle notre

modèle n’est plus applicable. Cette restriction ne pose aucun problème étant donné que dans

les normes et les applications pratiques on ne tolère généralement pas l’écoulement des aciers

d’armature, sous sollicitations de service.


�� &kEOHV�GH�SUpFRQWUDLQWH

Dans cette étude nous négligeons l’adhérence entre les câbles de précontrainte et le béton,

pour les deux raisons suivantes :

• Premièrement, il est connu que lors de chargements cycliques, le coulis d’injection dans

les gaines de précontrainte s’endommage très rapidement. En conséquence, l’adhérence

des câbles de précontrainte devient quasiment nulle après l’application d’un très petit

nombre de cycles ;

• Deuxièmement, la précontrainte est généralement concentrée dans les âmes d’une section

de pont (sauf pour les ponts en encorbellement), et son adhérence avec le béton ne joue

aucun rôle sur la limitation de la fissuration des zones éloignées des âmes et les plus

sensibles que sont les porte-à-faux ainsi que le centre des dalles supérieure et inférieure

(voir § 4.2.4.6).

�� %pWRQ

Afin de clairement définir le comportement du béton tendu, il s’agit de faire la distinction

entre le béton homogène (c’est-à-dire non fissuré) admis ici élastique linéaire et le béton au

voisinage d’une fissure admis iso-adoucissant (tension softening).

Le modèle de Hordijk [40] (voir figure 4.23) permet de reproduire de façon satisfaisante le

comportement du béton fissuré lors de la montée en charge et lors de la décharge.

&RPPHQWDLUHV�

D� /D�SULVH�HQ�FRPSWH�GX�FRPSRUWHPHQW� LVR�DGRXFLVVDQW�GX�EpWRQ� ORUV�GH� OD�PRQWpH�HQ

FKDUJH�HVW�SULPRUGLDOH�ORUVTX¶LO�V¶DJLW�GH�SUREOqPH�GH�IOH[LRQ��F¶HVW�j�GLUH�ORUVTXH

O¶RXYHUWXUH�GHV�ILVVXUHV�YDULH�HQWUH�OD�YDOHXU�QXOOH�HW�OD�YDOHXU�PD[LPDOH�PHVXUpH�j

OD� ILEUH� H[WUrPH�� 6RXV� VROOLFLWDWLRQV� PD[LPDOHV� GH� VHUYLFH�� HQ� WUDFWLRQ� SXUH�

O¶RXYHUWXUH� GHV� ILVVXUHV� HVW� VRXYHQW� YRLVLQH� GH� ZF�� HW� OD� FRQWULEXWLRQ� LVR�

DGRXFLVVDQWH�GX�EpWRQ�HVW� WUqV� IDLEOH� �YRLUH�QpJOLJHDEOH��(OOH�QH� O¶HVW� SDU� FRQWUH

SOXV�ORUVTXH�OD�VROOLFLWDWLRQ�GH�WUDFWLRQ�GLPLQXH��V¶DQQXOH��YRLUH�FKDQJH�GH�VLJQH�

E�� /D� SOXSDUW� GHV� H[SUHVVLRQV� SRXU�PRGpOLVHU� OD� UHIHUPHWXUH� GHV� ILVVXUHV� GX� EpWRQ

VHXO��YRLU�>��@�HW�>��@��VHPEOHQW�DYRLU�pWp�GpYHORSSpHV�GDQV�OH�FDV�R��O¶RXYHUWXUH

PD[LPDOH� �ZPD[�� UHQFRQWUpH� MXVWH�DYDQW� OD�GpFKDUJH� HVW� LQIpULHXUH�RX�pJDOH�j�ZF


�ZPD[��ZF��(Q�UqJOH�JpQpUDOH��DXFXQ�FRPPHQWDLUH�Q¶HVW�DSSRUWp�FRQFHUQDQW�OHXU

YDOLGLWp�SRXU�XQH�RXYHUWXUH�GH�ILVVXUH�VXSpULHXUH�j�ZF��ZPD[�!�ZF��

σcf,max

w

σcf

σcf,perm

Zmax

Zres

( ) ( )231

cc2

3

c1

t

cf cexpc1w

w

w

wcexp

w

wc1

f−⋅+⋅−

⋅−⋅

⋅+=

( )

−⋅−

⋅⋅

+

+=max

5

maxcmaxt

maxcf,

t

cf

w

w10.57

w

wln0.014

0.4ww3

1

ff

ft

Zc

�

�

�

�

avec :FI

: contrainte dans le béton fissuré au droit de la fissure [MPa] ;

Z : ouverture de la fissure [mm] ;

ZF

: ouverture à partir de laquelle FI

= 0 dans le béton, avec ZF

= WII*� ⋅145

[mm], où *I

représente l’énergie de rupture ;

F�

, F�

: paramètres adimensionnels, avec : F�

= 3 et F�

= 6.93 ;

FI�PD[

: contrainte dans le béton fissuré avant décharge [MPa] ;

ZPD[

: ouverture de la fissure avant décharge [mm] ;

FI�SHUP

: contrainte permanente dans le béton fissuré [MPa] ;

ZUHV

: ouverture résiduelle de la fissure [mm] ;

Figure 4.23: Modèle de Hordijk [40] caractérisant le comportement du béton fissuré seul sous

chargement cyclique.


�� $GKpUHQFH�DFLHU�EpWRQ

Lorsqu’il s’agit d’un élément de structure sollicité en traction pure, l’adhérence entre l’acier et

le béton est le facteur principal influençant la valeur des ouvertures des fissures, lors de la

montée en charge et de la décharge, ainsi que leur évolution sous un chargement cyclique

(voir figure 4.24).

Isocourbepour n>1 :

( )b11nacm1 ssfa 2

=⋅⋅=τ

τ

sK

τI�Q!�

τI�Q �

τPD[�Q �

τPD[�Q!�

VPD[�≈��÷��PP

1 ≥τα=τ nmax,f

1er chargement :

( )n1=n1>n k+1s=s

( ) 1-1 1070.n nk +=

décharge :

Figure 4.24: Loi d’adhérence sous sollicitations variables, pour la montée en charge d’après le

CEB [15] et [19,] et pour la décharge d’après Laurencet [47].

La partie ascendante de la loi d’adhérence, lors de la montée en charge, sous sollicitations de

service, conformément à une extension du Code Modèle CEB – FIP 1990 [19], peut être

définie au moyen de la relation suivante, pour autant que le glissement maximal ne dépasse

VPD[

§ 0.6 ÷ 1.0 mm :

( )1112 E

QDFP VVID =⋅⋅= (4.8)


est la contrainte moyenne d’adhérence [MPa] ;

V est le glissement acier-béton [mm] ;

D�,�D

��et�E sont des coefficients numériques qui valent 0.22, 1 et 0.21 dans le cas d’un

béton confiné [19] ;

V�

est le glissement correspondant à la contrainte d’adhérence ultime (EX

), au-delàduquel l’équation (4.8) n’est plus applicable. Sa valeur est généralementadmise comme égale à 1 mm dans le cas d’un béton confiné ;

Q est le nombre de cycles.


&RPPHQWDLUH�

/D�ORL�GH�FRPSRUWHPHQW�TXH�QRXV�SURSRVRQV�QpJOLJH�OD�FRQWULEXWLRQ�GHV�]RQHV�VDQV

GLVFRQWLQXLWp�GDQV� OHVTXHOOHV� O¶DGKpUHQFH�Q¶D�SDV�pWp�URPSXH� �YRLU� ILJXUH��D��

O¶DOOXUH�GHV� �DX�GHOj�GH�OD�]RQH�GH�WUDQVPLVVLRQ��lU��RX�OH�VWDGH�,�HVW�UHWURXYp��'H

SOXV�� QRXV� Q¶DYRQV� SDV� LQFRUSRUp� GH� PRGLILFDWLRQ� GH� OD� ORL� SHUPHWWDQW� GH� WHQLU

FRPSWH�G¶XQH�GLPLQXWLRQ�SURJUHVVLYH�GHV�FRQWUDLQWHV�G¶DGKpUHQFH�� DX�YRLVLQDJH

LPPpGLDW�G¶XQH�ILVVXUH��YRLU�j�OD�ILJXUH��D��GX��VXLYDQW�OD�GLVWULEXWLRQ�GHV� �OH

ORQJ�GH�OD�]RQH�GH�WUDQVPLVVLRQ��

Plusieurs modèles, souvent extrêmement complexes et parfois partiellement contradictoires

existent dans la littérature pour reproduire la loi d’adhérence entre l’acier et le béton lors

d’une décharge [14] [17] [18]. En tenant compte au mieux des principales observations faites

ces dernières décennies, nous proposons de décomposer, de façon simplifiée, la décharge en

deux phases. Une première droite de décharge très raide, de pente ., et un palier horizontal à

contrainte d’adhérence constante appelée contrainte d’adhérence de friction I .

La pente de décharge (.) est indépendante du glissement maximal (VPD[

) et varie, selon les

auteurs [14] [17] [18], entre 200 et 500 MPa/mm voire l’infini (décharge verticale). La

contrainte d’adhérence de friction (I) est par contre fortement dépendante de la contrainte

d’adhérence obtenue juste avant décharge (PD[

), et vaut un certain pourcentage () de PD[

,

appelé coefficient de friction. Les valeurs les plus souvent rencontrées oscillent entre

= 15 % et = 25 %. En conclusion, nous proposons, pour la décharge, la relation suivante

(Laurencet [47]) :

�V�V�.� PD[PD[ ⋅= , avec I = -

PD[ (4.9)


. est la pente de la décharge élastique, admise à 400 [MPa/mm] ;

est le coefficient de friction, admis à 0.25 [-] ;

PD[� est la contrainte d’adhérence maximale juste avant décharge [MPa] ;

VPD[

est le glissement maximal juste avant décharge, correspondant à PD[

[mm].

&RPPHQWDLUH�

,O� HVW� SULPRUGLDO� GH� UHOHYHU� LFL� TXH� OH� GRPDLQH� GHV� JOLVVHPHQWV� QpJDWLIV� QH� QRXV

LQWpUHVVH� SDV�� (Q� HIIHW�� FRQIRUPpPHQW� j� QRV� HVVDLV� �/DXUHQFHW� HW� DO�>��@�� HW� HQ


DFFRUG� DYHF� OD� ORL� GH� GpFKDUJH� UHWHQXH� SRXU� OH� EpWRQ� ILVVXUp� �+RUGMLN� >��@�� OHV

ILVVXUHV�QH�VH�UHIHUPHQW� MDPDLV�FRPSOqWHPHQW��HW��HQ�FRQVpTXHQFH�� OHV�JOLVVHPHQWV

QH�FKDQJHQW�SDV�GH�VLJQH�

Il est tenu compte de l’endommagement de la liaison acier-béton résultant d’une succession

de cycles dans le domaine de l’aptitude au service au moyen d’un facteur (NQ), fonction du

nombre de cycles (Q). Cette approche, reprise par le Code Modèle CEB – FIP 1990 [15]

provient de travaux réalisés par Rehm et al. [62]. Le glissement sous sollicitations cycliques

(VQ!�

) s’exprime de la façon suivante :

( )( ) 11

11070

11

−+=

+= =>�

Q

QQQ

QN

NVV(4.10)

&RPPHQWDLUH�

&HWWH� IDoRQ�GH�SURFpGHU�Q¶HVW� VWULFWHPHQW�DSSOLFDEOH�TX¶DX�FDV�R�� OD�VROOLFLWDWLRQ

F\FOLTXH�HVW�G¶DPSOLWXGH�FRQVWDQWH�HW�QRQ�SDV�DOpDWRLUH��$X�FDV�R��O¶DPSOLWXGH�GHV

F\FOHV� GLPLQXH�� O¶HQGRPPDJHPHQW� GH� OD� OLDLVRQ� DFLHU�EpWRQ� HVW� EHDXFRXS� SOXV

FRPSOH[H�j�PRGpOLVHU� �YRLU�%DOj]V� HW�DO�� >�@�HW� >�@�� HW�� VXUWRXW�� EHDXFRXS�PRLQV

LPSRUWDQW��FH�TXL�HVW�HQ�DFFRUG�DYHF�OHV�UpVXOWDWV�G¶HVVDLV�GH�WUDFWLRQ��/DXUHQFHW�HW

DO��>��@��YRLU��HW�GH�IOH[LRQ��5RWLOLR�HW�DO��>��@��YRLU��SUpVHQWpV�GDQV�FH

UDSSRUW��YRLU�DXVVL�ILJXUH��

�� 'LVFUpWLVDWLRQ

Pour mettre en évidence l’effet des propriétés du béton et des propriétés de l’adhérence acier-

béton sur l’ouverture des fissures, il est indispensable de calculer celles-ci par une méthode

adéquate permettant d’appréhender le comportement de l’élément entre la zone fissurée et la

zone fonctionnant en stade homogène (stade I). La zone transitoire entre la fissure et le stade I

est appelée zone ou longueur de transmission (lU). C’est dans cette zone que l’armature

transmet les efforts au béton (voir figure 4.25).

L’établissement de l’équation fondamentale d’adhérence et sa résolution se font à partir de

considérations d’équilibre et de comptabilité des déplacements sur la longueur de

transmission (lU).

L’équilibre d’un élément de longueur infinitésimale d[ se trouvant dans la zone de

transmission nous donne (figure 4.25):


dV([)·$

V = ·�· ([)·d[ = d

F([)·$

F (4.11)


$V et $

F sont respectivement les aires d’acier et de béton [mm2] ;

V et

F� sont les contraintes dans l’acier et le béton [MPa] ;

�� est le diamètre des barres d’armature [mm].

En admettant que les sections planes restent planes, le glissement (V) entre la barre d’armature

et le béton dans une section donnée est défini comme l’intégrale le long de [ de la différence

entre les déformations relatives de l’armature et du béton, et s’exprime par :

( )∫ −=x

0

d )()( [[[�[�V FV (4.12)

ou V et

F sont les déformations relatives de l’acier et du béton [‰] .

D� E�Figure 4.25: Comportement de la zone de transmission (l

U) entre la fissure et le stade homogène,

pour un tirant en phase de formation des fissures :

a) lors de la montée en charge

b) lors de la décharge


En admettant que l’acier et le béton respectent la loi de Hooke, les deux équations précédentes

(4.11) et (4.12) nous permettent d’écrire l’équation différentielle fondamentale d’adhérence :

�[�(�(�G[

�[�G

FV

V ⋅

⋅⋅+

⋅= 44

2

2

(4.13)

où (V et (

F� sont les modules d’élasticité de l’acier et du béton [MPa] .

L’intégration analytique de l’équation est relativement aisée pour la montée en charge. Elle

est par contre beaucoup plus ardue pour la décharge, compte tenu des lois complexes

permettant de reproduire le comportement des divers composants (béton fissuré et loi

d’adhérence acier-béton).

Aussi, avons-nous discrétisé la zone de transmission en petit tronçons de longueur ∆[ (voir

aussi les travaux de Tassios et al. [73]).

De la sorte, les équations (4.11) et (4.12) deviennent, pour le tronçon (L) situé à la distance [L

de la fissure:

Equilibre (4.11) Ð)( 1−=

⋅=⋅⋅⋅=⋅

LL

FFLLVVLVI�

$�[$

Compatibilité des déformations (4.12) ÐFLVLFLVLL

L�LLXX[[V

VVV

−=−=+= −

Figure 4.26: Equilibre d’un tronçon de longueur élémentaire ∆[ situé à la distance [ de la fissure, le

long de la zone de transmission lU


Au droit de la fissure le glissement V([ = lU) égale la moitié de l’ouverture de fissure Z [mm] :

V([ = lU) = Z/2

Compte tenu des conditions de bord à l’endroit de la fissure, il est possible de déterminer en

chaque point (L) de la barre le glissement (VL), la contrainte d’adhérence (τ

L), la contrainte

normale dans les aciers (σVL) et dans le béton (σ

FL).

Lors de la montée en charge, ces conditions de bord sont, pour une force extérieure )

s’appliquant sur la section:

FI= f(Z) (Hordijk [40], figure 4.23);

V = ()-

FI $

F)/$

V�;

V = Z/2 ;

En procédant par dichotomie, il est aisé de déterminer le couple (), Z) qui satisfait aux

conditions d’équilibre et de compatibilité des déformations le long de la zone de transmission

(lU), et aux conditions de bord au droit de la fissure.

Lors de la décharge, la procédure est la même, au choix des conditions de bord près. Celles-ci

sont, toujours au droit de la fissure :

FI= f(Z) (Hordijk [40], figure 4.23);

V= ()-

FI $

F)/$

V;

V = Z/2.

�� 9DOLGDWLRQ�GX�PRGqOH

�� 3UHPLHU�F\FOH�FKDUJH��GpFKDUJH

Les tests réalisés à l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (voir § 4.2 et [47]) ont permis

de valider le modèle. La figure 4.27 représente une comparaison directe entre les résultats

mesurés et ceux calculés au moyen du modèle, pour l’essai N° P22 ( = 0.45 %, SHUP

= -

2 MPa, voir § 4.2). En abscisse, nous représentons l’ouverture de fissure (Z) et en ordonnée la

force extérieure ()). On remarque que la courbe obtenue par le modèle reproduit bien les

observations expérimentales lors du premier chargement et en particulier lors de la décharge.


Nous nous sommes limités à ne représenter que le premier cycle charge – décharge afin de ne

pas encombrer la figure.

-450

-300

-150

0

150

300

450

0 150 300 450

w [µm = 10-3 mm]

F [kN]

modèle numérique 1ère fissure 2ème fissure

F F

1

2

Sollicitation max. = 325 kN= +1.6 [MPa]·Ac

Sollicitation perm. = -400 kN= σperm·Ac = -2.0 [MPa]·Ac

F 1 2

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

σc [M

Pa]

Valeurs mesurées lors de l ’essai N° P22( = 0.45 %, perm = -2.0 MPa)

Figure 4.27: Comparaison entre un essai (P22, = 0.45 %, SHUP

= -2 MPa) et le modèle numérique

proposé.

Le modèle reproduit également de façon satisfaisante les valeurs des ouvertures résiduelles

des fissures mesurées pour l’ensemble des essais. Ceci est visible sur le graphique de la

figure 4.28, qui indique pour chaque essai, la valeur moyenne de l’ouverture résiduelle (ZP�UHV

)

correspondant à la contrainte de compression permanente (σSHUP

) mesurée et calculée après la

décharge faisant suite au premier chargement.


0

50

100

150

-4.00-3.00-2.00-1.000.00

σperm [MPa]

valeurs mesurées

modèle numérique

wm,res [µm = 10-3 mm]

Sollicitation max. = perm + ∆σ

Sollicitation perm. = σperm

∆σ

6��ρ = 0.45 %

6��ρ = 0.62 %

3��ρ = 0.45 %

3��ρ = 0.62 %

3��ρ = 0.31 %

3��ρ = 0.45 %

3��ρ = 0.45 %3��

ρ = 0.31 %

mesure (essais) etcalcul (modèle) de wm,res

Figure 4.28: Valeurs moyennes des ouvertures résiduelles des fissures (ZP�UHV

) suite au premier cycle

de charge - décharge: Valeurs mesurées lors de la campagne expérimentale et calculées

à l’aide du modèle numérique.

�� &\FOHV�G¶DPSOLWXGH�FRQVWDQWH

L’endommagement sous actions cycliques ne progresse de manière significative que dans la

mesure où la sollicitation maximale durant un cycle se rapproche, atteint et surtout dépasse le

niveau extrême observé lors d’un cycle précédent (voir § 4.2 et figure 4.18). Or, lors de nos

essais [49], le niveau maximal des cycles était inférieur au niveau de chargement imposé lors

de la première montée en charge (voir figures 4.12, cycles #2, et 4.29), ce qui explique que

l’augmentation des ouvertures des fissures observée sous chargement cyclique soit demeurée

très faible (voir figures 4.17 et 4.20). A cet égard, nos essais confirment certains résultats

connus d’études antérieures (voir Balàzs et Koch [5], avec des essais effectuées sur de petits

éléments (pull-out-tests)).

Afin de valider le modèle numérique sous sollicitations cycliques G¶DPSOLWXGH�FRQVWDQWH, nous

le comparons avec des résultats d’essais sur éléments sollicités par des cycles d’amplitude

constante (voir figure 4.29).


1RWH�� 1RXV� HQWHQGRQV� SDU� F\FOHV� G¶DPSOLWXGH� FRQVWDQWH� GHV� F\FOHV� GRQW� OD� ERUQH

VXSpULHXUH�Q¶D�MDPDLV�pWp�GpSDVVpH�ORUV�GH�OD�YLH�GH� O¶RXYUDJH��HQ�RSSRVLWLRQ�DX[

F\FOHV�DSSOLTXpV�ORUV�GH�QRV�HVVDLV�YRLU�ILJXUH��

temps temps

Cycles du typeessais

LAURENCET

Cycles d ’amplitude constante

Rehm et EligehausenLovegrove et Dinn

Rotilio

...

Figure 4.29: Cycles du type essais « Laurencet [49] », dont le niveau de chargement maximal a été

dépassé lors de l’histoire de l’élément et cycles « d’amplitude constante », dont le

niveau de chargement maximal n’a jamais été dépassé lors de l’histoire de l’élément.

Rehm et Eligehausen [63] ont sollicité des éléments différemment armés à la flexion de façon

cyclique (amplitude constante) entre un niveau maximal (0PD[

) correspondant à une

contrainte dans les aciers de 270 MPa et un niveau minimal (0PLQ

) correspondant à 33 ÷ 50 %

de 0PD[

.

Figure 4.30: Augmentation de la valeur moyenne de l’ouverture des fissures sous sollicitations

maximales en fonction du nombre de cycles de chargement (entre 0PD[

et 0PLQ

); Rehm

et Eligehausen [63].


La figure 4.30 montre l’augmentation avec le nombre de cycles de l’ouverture des fissures

sous sollicitations maximales (0PD[

Ð ZPD[

). Cette augmentation semble être d’autant plus

importante que le taux d’armature passive () est faible. Pour un taux d’armature de l’ordre de

= 0.5 %, l’ouverture maximale des fissures augmente de moins de 30 % après 10'000 cycles,

alors que pour = 1.5 %, elle augmente d’environ 15 %. Après 1'000'000 de cycles, ces

augmentations passent à 42 % pour = 0.5 % et à 25 % pour = 1.5 %.

Sur la base d’ essais du même type, Lovegrove et Din [53] proposent la relation empirique

suivante pour estimer l’augmentation de l’ouverture des fissures sous sollicitations

maximales, suite à un grand nombre de cycles (105 � Q � 108) :

(0.382 – 0.0227ÂORJ Q)ÂORJ Q � ZPD[�Q

�/ ZPD[

� (0.315 – 0.0227ÂORJ Q)ÂORJ Q

Cette formulation est indépendante du taux d’armature, et donne :

• pour Q = 100'000 cycles 1.34 � ZPD[�Q

/ZPD[

� 1.01 ;

• pour Q = 1'000'000 cycles 1.47 � ZPD[�Q

/ZPD[

� 1.07

Figure 4.31: Augmentation de l’ouverture moyenne des fissures sous sollicitations maximales en

fonction du nombre de cycles de chargement (entre 0PD[

et 0PLQ

); Rotilio [67].

Enfin, les essais de Rotilio [67] (voir § 5.2) montrent que l’augmentation de l’ouverture des

fissures sous sollicitations maximales après 7'000 cycles est voisine de 10 % pour la poutre

G00 en béton armé, avec = 0.76 % et �= 0, et qu’elle est de l’ordre de 20 % pour la poutre


G03 en béton précontraint, avec = 0.41 % et �= 0.3 (figure 4.31). Les éléments G06 et G10,

avec = 0.6 et 1.0 respectivement, ne permettent de tirer aucune conclusion (grande variation

du nombre de fissures pour G06, aucune fissure pour G10).

L’augmentation de l’ouverture des fissures sous sollicitations maximales dépend d’un grand

nombre de facteurs (, qualité de l’adhérence, niveaux de chargement maximal et minimal,

nombre de cycles Q, …).

La figure 4.32 montre que notre modèle reproduit de façon fidèle la cinétique de

l’augmentation des ouvertures maximales des fissures (ZP�PD[

) sous sollicitations cycliques

d’amplitude constante. Relevons cependant que nous n’avons pas trouvé dans la littérature

des mesures d’augmentation des ouvertures résiduelles des fissures (ZP�UHV

) sous sollicitations

cycliques d’amplitude constante.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 250000 500000 750000 1000000

n cycles

wm [mm]

wm,max

wm,res

ρ [%]

0.4

0.8

1.20.40.81.2

ρ [%]

Charge max = 4 [MPa]

Charge perm. = -2 [MPa]

n cycles temps

Figure 4.32: Modèle numérique: augmentation de la valeur moyenne des ouvertures des fissures sous

sollicitations maximales (ZP�PD[

) et résiduelles (ZP�Ues) en fonction du nombre de cycles

(Q), pour divers taux d'armature passive () ; ∆σ = 6 MPa et σSHUP

= -2 MPa.

Il ressort du modèle numérique qu’une succession de cycles de�même amplitude conduit à une

augmentation de l’ouverture des fissures sous sollicitations maximales (ZP�PD[

) et, dans une

moindre mesure, une augmentation de l’ouverture résiduelle (ZP�UHV

), c’est-à-dire sous


sollicitations permanentes ou minimales (voir figures 4.32 et 4.33). Ainsi, après 10'000 cycles

(ordre de grandeur vraisemblable à retenir pour les valeurs maximales des actions variables

déterminantes sur le comportement en service d’un pont routier), l’augmentation de

l’ouverture maximale des fissures est de l’ordre de 20 % tandis que l’augmentation de

l’ouverture résiduelle des fissures est de l’ordre de 15 %. Après 1'000’000 de cycles ces

augmentations passent à environ 30 % et 20 % respectivement.

L’influence du taux d’armature () est extrêmement faible, et, en première approximation,

négligeable. En réalité, on observe une très légère tendance vers une diminution de

l’accroissement de ZP�PD[

lorsque le taux d’armature augmente. Concernant l’accroissement

de ZP�UHV

, la tendance est inversée, et il semble augmenter très légèrement lorsque augmente.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

1 100 10000 1000000n cycles

wm,res [mm]

17%

19%

20%

∆ wres [%]ρ [%]

0.8

1.2

0.4

Charge max = 4 [MPa]


n cycles temps

Figure 4.33: Modèle numérique: accroissement de l'ouverture résiduelle des fissures (ZP�UHV

) avec lenombre de cycles (Q), pour différents taux d'armature () ; ∆σ = 6 MPa et

σSHUP

= -2 MPa.

Notons enfin que, conformément aux résultats des campagnes expérimentales présentés ci-

dessus (voir figures 4.30 et 4.31), la majeure partie de l’augmentation de l’ouverture des

fissures a lieu lors des premières centaines, voire seulement lors des premières dizaines de

cycles (voir figure 4.32). Notons au demeurant que, comme illustré en figure 4.30 pour les


essais de Rehm et Eligehausen [63] et en figure 4.33 pour le modèle numérique, en reportant

le nombre de cycles sur une échelle logarithmique, l’augmentation de l’ouverture des fissures

ne semble pas tendre asymptotiquement vers une borne supérieure.

1RWH��&H�PRGqOH� QH� SHXW� SDV� WHQLU� FRPSWH� GX� ©�QHWWR\DJH�ª� GH� OD� ILVVXUH� DX� FRXUV� GHV

F\FOHV��TXL� HQJHQGUH�XQH� UpGXFWLRQ�GH� O¶RXYHUWXUH� UpVLGXHOOH�TXDQG� OH�QRPEUH�GH

F\FOHV� DXJPHQWH� �YRLU� �� &H� SKpQRPqQH� HVW� VXUWRXW� YLVLEOH� ORUVTXH� OHV

ILVVXUHV�VH�VLWXHQW�GDQV�GHV�SODQV�YHUWLFDX[��FH�TXL�HVW�JpQpUDOHPHQW�OH�FDV�GDQV�OHV

WDEOLHUV�GH�SRQW�ILVVXUpV�

En conclusion, l’augmentation des ouvertures résiduelles des fissures (ZP�UHV

) avec des cycles

d’amplitude constante est relativement faible. En tous les cas, elle demeure inférieure à 15 %

après 10'000 cycles, et, dans la majeure partie des cas rencontrés dans la pratique, il y a tout

lieu de penser qu’une succession de cycles ne va pas contribuer grandement à l’augmentation

de l’ouverture résiduelle des fissures sous chargement permanent. Compte-tenu de tous les

autres facteurs affectant la grande variabilité de l’ouverture des fissures, nous nous

permettrons donc dans cette étude de négliger cette influence du nombre de cycles et de ne

considérer que l’endommagement correspondant au 1er cycle, qui est de loin le plus important.

Quant à l’augmentation, inférieure à 15 %, découlant de la répétition des cycles, il en sera

tenu compte par une évaluation prudente des sollicitations maximales (valeurs ) pendant la

durée d’utilisation possible de l’ouvrage.

��'RPDLQH�GH�YDOLGLWp

Le modèle présenté ci-dessus admet que de part et d’autre de la fissure il existe, au-delà de la

longueur de transmission (lU), au minimum une section travaillant en stade homogène

(stade I), c’est-à-dire où la déformation du béton égale la déformation des aciers (V�

= F�

).

C’est dans cette section qu’est calculée la contrainte de référence dans le béton, en fonction de

l’état de sollicitation qui nous intéresse : Par exemple à l’état permanent, F�

= SHUP

, à l’état

de décompression, F�

= GpF

= 0, sous sollicitations variables F�

= SHUP

+ (où est calculé

en admettant un comportement élastique linéaire du béton, voir chap. 3), ou sous déformation

imposée F�

= IFW�HI

, où IFW�HI

est la résistance effective du béton à la traction (§ 4.1.1).

Cette façon de procéder sous-entend que l’espacement des fissures (VU) est au minimum égal à

2 fois la longueur de transmission (VU��2�l

U), ce qui est strictement vrai en phase de IRUPDWLRQ


GHV� ILVVXUHV�uniquement, phase dans laquelle il est généralement admis que l’on se trouve

sous une sollicitation usuelle de GpIRUPDWLRQ� LPSRVpH (retrait empêché et/ou variation de

température).

Montrons dans ce qui suit que notre modèle demeure applicable sous charges imposées, et,

qu’en ce cas, il nous fournit des valeurs prudentes des ouvertures des fissures.

Il est usuellement admis que, VRXV� FKDUJHV� LPSRVpHV, un élément de béton armé fissuré se

trouve en phase de ILVVXUDWLRQ�VWDELOLVpH, état pour lequel à mi-distance entre les fissures la

section ne se trouve pas en stade I (V �

F), du fait que l’espacement entre fissures voisines

(VU) est compris entre une et deux fois la longueur de transmission (l

U) :

lU ≤ V

U ≤ 2 l

U (4.14)

A niveau de chargement équivalent, plus l’espacement des fissures (VU) est faible (dans les

limites de l’équation 4.14), plus les fissures seront nombreuses et de faibles ouvertures. Si

l’espacement des fissures augmente, le nombre de fissures diminue et leurs ouvertures

augmentent. En général, il est admis un espacement moyen entre les fissures valant :

VUP�= 1.33�l

U(4.15)

Dès lors, en admettant VU�=�2�l

U, comme le fait notre modèle, la valeur de l’ouverture des

fissures obtenue correspond théoriquement à la valeur la plus importante que l’on puisse

obtenir sous charges imposées, en phase de fissuration stabilisée. La valeur la plus faible de

l’ouverture des fissures est obtenue pour VU�=�l

U, alors que pour V

UP�= 1.33�l

U on obtient une

ouverture moyenne des fissures.

En conclusion, bien qu’il ne soit strictement applicable qu’à la phase de IRUPDWLRQ� GHV

ILVVXUHV�(VRXV�GpIRUPDWLRQV�LPSRVpHV), le modèle présenté ici est néanmoins apte à fournir une

YDOHXU�SUXGHQWH�de l’ouverture des fissures en phase de ILVVXUDWLRQ� VWDELOLVpH (VRXV�FKDUJHV

LPSRVpHV).


��eWXGH�SDUDPpWULTXH

�� ,QWURGXFWLRQ

Afin de pouvoir juger de l’influence des divers paramètres intervenant dans le contrôle de la

fissuration d’un élément de structure en béton armé précontraint sollicité par des actions

variables, nous avons procédé à une analyse paramétrique à l’aide du modèle présenté ci-

dessus (§ 4.3).

Dans cette section, nous montrons de façon succincte quels sont les facteurs influençant

l’ouverture résiduelle des fissures à l’état permanent, ainsi que l’ouverture maximale sous le

cumul des actions variables à l’état de service. On examinera successivement deux cas. Dans

le premier, on considère l’effet des variations de contraintes de traction ∆σ résultant des

actions variables (en général une combinaison de charge de trafic avec un gradient de

température concomitant). Dans le second cas, on examine l’effet de déformations imposées

seules, ce dernier cas de figure peut en effet se révéler déterminant lorsque ces déformations

sont élevées et totalement empêchées (parapet de pont bétonné ultérieurement, par exemple).

�� )LVVXUDWLRQ�VRXV�FRQWUDLQWHV�GH�WUDFWLRQ�∆σ��UpVXOWDQW�G¶DFWLRQV�YDULDEOHV

Comme indiqué au chapitre 3, les valeurs maximales des contraintes de traction ∆σ dans un

tablier de pont-poutre en béton sont généralement de l’ordre de 2 à 5 MPa,

exceptionnellement jusqu’à 6 MPa. Rappelons que ces valeurs de contrainte de traction ∆σ

ont été estimées sous des combinaisons d’actions variables comprenant les charges de trafic et

des gradients de température. Elles sont en principe applicables à l’effet d’actions résultant de

charges et/ou de déformations imposées, que la structure se trouve en phase de formation des

fissures (VUP

≥ 2 lU) ou en phase de fissuration stabilisée (l

U < V

UP < 2 l

U). Rappelons que dans

ce dernier cas, plutôt exceptionnel pour un ouvrage sous conditions usuelles de service, le

modèle à la base de cette étude paramétrique fournit des résultats légèrement plus

conservateurs (voir § 4.3.5).

Par ailleurs, il se peut que les contraintes de traction ∆σ� calculées élastiquement et en

supposant le béton homogène sous l’effet de déformations imposées seules, dépassent

exceptionnellement les valeurs indiquées ci-dessus. C’est notamment le cas d’éléments de


structure en béton précontraint de grande longueur dont le raccourcissement par suite du

retrait est totalement empêché. Dans un tel cas, on peut :

• utiliser les indications du présent paragraphe (si nécessaire en les extrapolant quelque peu)

en estimant la contrainte de traction ∆σ comme suit :

∆σ = -σSHUP

+ IFW�HI

• soit se rapporter aux indications du § 4.4.3 ci-après, qui aboutissent en principe à des

résultats équivalents à ceux présentés dans le présent paragraphe pour des valeurs de ∆σ

identiques.

L’étude paramétrique dont les résultats sont présentés ici n’est strictement valable que pour

des parois minces, c’est-à-dire que pour les parties d’un tablier de pont dont l’épaisseur est

inférieure ou égale à 0.30 m ; ceci, est notamment le cas de la dalle de roulement. Ces

résultats sont néanmoins applicables dans le cas d’éléments plus épais moyennant la

modification suivante.

En cas d’éléments d’ouvrage dont l’épaisseur est supérieure à 0.30 m, les résultats présentés

sur tous les graphiques dans ce paragraphe demeurent valables, à la condition de remplacer le

pourcentage d’armature ρ (rapporté à l’aire totale de la zone tendue de béton $F) par le

pourcentage « effectif » d’armature ρHI (rapporté à l’aire de la zone « effective » de béton

tendu $F�HI

, telle que définie au § 4.5.2.2, figure 4.50). Concernant la résistance effective à la

traction du béton IFW�HI dans de tels éléments, on l’évaluera si nécessaire en tenant compte des

indications données au § 4.1.1.

�� 3DUDPqWUHV�LQIOXHQoDQW�IDLEOHPHQW�O¶RXYHUWXUH�UpVLGXHOOH�GHV�ILVVXUHV

• 4XDOLWp�GX�EpWRQ

Il ressort de la figure 4.34 que les ouvertures maximales des fissures (ZP�PD[

) sont influencées

de façon importante par la qualité du béton, et, sous un même niveau de sollicitations, sont

d’autant plus importantes que la qualité du béton est médiocre.


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

20 30 40 50fck [MPa]

wm [mm] ∆σ = 5.0 MPaρ = 1.0 %

Ø = 14 mm

-0.5-1.0-2.0-3.0

σperm [MPa]

+4.5

+2.0

σperm + ∆σ [MPa]

wm,max

wm,res

+3.0

+4.0

Figure 4.34: Influence de la résistance du béton sur les valeurs moyennes des ouvertures des fissures

(IFN

= valeur caractéristique à la compression sur cyclindre telle que définie dans

l’Eurocode 2 [27])

En revanche, les ouvertures résiduelles des fissures (ZP�UHV

) ne sont que faiblement tributaires

de la qualité du béton. Ceci est d’autant plus vrai que la contrainte de compression à l’état

permanent �σSHUP

) est grande en valeur absolue.

• 5pSDUWLWLRQ�GH�O¶DUPDWXUH�SDVVLYH

La figure 4.35 montre que la répartition des barres d’armature (ou le diamètre �, à taux

d’armature contant) joue un rôle majeur pour le contrôle des ouvertures des fissures sous

sollicitations maximales (ZP�PD[

). Elles sont d’autant plus faibles que le diamètre est faible

pour un même taux d’armature () [31]. Cependant, les ouvertures résiduelles des fissures

(ZP�UHV

) ne sont que faiblement dépendantes de la répartition des barres d’armature. Ceci est

d’autant plus vrai que la contrainte de compression à l’état permanent (σSHUP

) est grande en

valeur absolue.

Sur la figure 4.35 on a également indiqué la courbe correspondant à la résistance à la traction

du béton admise égale à IFWP

= 2.8 MPa pour un béton de classe C 30/37 selon l’Eurocode 2

(≈ B 45/35 selon la norme SIA 162 [72]). Cette valeur correspondant au seuil théorique de

fissuration est à considérer avec prudence. La résistance effective du béton à la traction dans

les ouvrages étant dans de nombreux cas inférieure à la valeur conventionnelle IFWP

, mesurée


sur petites éprouvettes, en raison des auto-contraintes dues à l’exécution et aux effets différés

(voir § 2.2.2). C’est la raison pour laquelle il sera renoncé à indiquer cette limite du seuil de

fissuration dans la plupart des graphiques qui suivent.

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

10 12 14 16 18 20

wm [mm]

Ø [mm]

-0.5-1.0-2.0-3.0

σperm [MPa]

+4.5

+2.0

σperm + ∆σ [MPa]

wm,max

wm,res

+4.0

+3.0

∆σ = 5.0 MPaρ = 1.0 %C 30/37

Figure 4.35: Influence de la répartition des barres d'armature (ou du choix de �) sur les valeurs

moyennes des ouvertures des fissures sous sollicitations maximales (ZP�PD[

) et

permanentes (ZP�UHV

).

Ainsi, si la qualité du béton et la répartition des barres sont des paramètres importants

lorsqu’il s’agit des ouvertures des fissures sous sollicitations maximales, elles jouent un faible

rôle lorsqu’il s’agit des ouvertures résiduelles des fissures, à l’état permanent. Pour une

contrainte de compression à l’état permanent (due à la précontrainte) dépassant en valeur

absolue 2 MPa leur rôle est pratiquement insignifiant.

�� 3DUDPqWUHV�LQIOXHQoDQW�IRUWHPHQW�O¶RXYHUWXUH�UpVLGXHOOH�GHV�ILVVXUHV

• 7DX[�G¶DUPDWXUH�SDVVLYH

L’influence du taux d’armature passive (ρ) sur l’ouverture des fissures sous sollicitations

maximales (Z�P�PD[

), en particulier lorsqu’il s’agit de structures en béton armé, a fait l’objet de

nombreuses études, et son importance n’est plus à démontrer (voir Farra [29] et Favre et


al. [31]). En première approximation, l’ouverture des fissures sous sollicitations maximales

est inversement proportionnelle au taux d’armature disposé dans l’élément.

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30% 0.45% 0.60% 0.75% 0.90% 1.05% 1.20%

ρ [%]

wm,res [mm]

σperm [MPa]∆σ = 4.0 MPa

Ø 14 mmC 30/37

0.0

-0.5

-1.0

-2.0

-3.00.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

wk,res [mm]

Figure 4.36: Influence du taux d’armature passive ( ) sur la valeur moyenne des ouvertures

résiduelles des fissures (ZP�UHV

) pour diverses contraintes de compression à l'état

permanent (SHUP

).

Le rôle de l’armature passive sur l’ouverture résiduelle des fissures est différent. La

figure 4.36 montre que le taux d’armature joue un rôle d’autant plus faible sur l’ouverture

résiduelle des fissures que la contrainte de compression à l’état permanent est élevée. Dès que

l’on atteint des contraintes de compression à l’état permanent (SHUP

) élevées, de l’ordre de

2 MPa en valeur absolue, l’ouverture résiduelle des fissures diminue, en première

approximation, linéairement quand le taux d’armature passive augmente.

• &RPSUHVVLRQ�j�O¶pWDW�SHUPDQHQW

Les figures 4.37 et 4.38 montrent que la contrainte de compression à l’état permanent revêt un

rôle capital dans la valeur des ouvertures des fissures.


0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.00

σperm [MPa]

wm [mm]

∆σ = 4.0 MPaØ 14 mmC 30/37

0.4

0.8

1.20.40.81.2

ρ [%]

wm,max

wm,res

ρ [%]

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

wk [mm]

Figure 4.37: Influence de la contrainte de compression à l'état permanent (SHUP

) sur les valeurs

moyennes des ouvertures des fissures (ZP) sous sollicitations maximales (Z

P�max) et

permanentes (ZP�res), pour différents taux d'armature ().

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.00

σperm [MPa]

wm,res [mm]

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

wk,res [mm]

ρ [%]∆σ = 4.0 MPa

Ø 14 mmC 30/37

0.3

0.4

0.6

0.81.01.2

Figure 4.38: Influence de la contrainte de compression à l'état permanent (SHUP

) sur la valeur

moyenne des ouvertures résiduelles des fissures (ZP�UHV

), pour différents taux ().


En première approximation, l’ouverture des fissures sous sollicitations maximales décroît

linéairement lorsque la compression à l’état permanent augmente. Ceci est logique compte

tenu que l’ouverture moyenne des fissures sous sollicitations maximales (ZP�PD[

) dépend

directement de la contrainte dans les aciers.

La contrainte de compression (SHUP

) est le paramètre déterminant en ce qui concerne

l’ouverture résiduelle des fissures. Son influence est d’autant mieux marquée que le taux

d’armature est faible. En première approximation, l’ouverture résiduelle est inversement

proportionnelle à la contrainte de compression à l’état permanent SHUP

.

• ,QWHQVLWp�GHV�FRQWUDLQWHV�GH�WUDFWLRQ�� UpVXOWDQW�GHV�DFWLRQV�YDULDEOHV

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

2 3 4 5 6

∆σ [MPa]

wm,res [mm]

σperm = -0.50 MPaC 30/37

Ø = 14 mm

0.81.0

0.2

0.4

�>�@

0.6

Figure 4.39: Influence de l’intensité des sollicitations () sur les ouvertures résiduelles des fissures

(ZP�UHV

) en fonction du taux d'armature (), pour une faible contrainte à l’état permanent

valant SHUP�= -0.5 MPa.

Les figures 4.39 et 4.40 indiquent l’influence du chargement maximal atteint sur l’ouverture

des fissures résiduelle (ZP�UHV

) pour deux états permanents différents : SHUP

= - 0.5 MPa et

- 3.0 MPa.

En première approximation, l’ouverture résiduelle augmente linéairement avec la sollicitation

maximale. La pente de la droite est d’autant plus importante que la taux d’armature passive

est faible.


0.00

0.05

0.10

0.15

4 4.5 5 5.5 6

∆σ [MPa]

wm,res [mm]

σperm = -3.00 MPaC 30/37

Ø = 14 mm

0.40.60.81.0

0.2

ρ [%]

Figure 4.40: Influence de l’intensité des sollicitations () sur les ouvertures résiduelles des fissures

(ZP�UHV

) en fonction du taux d'armature (), pour une contrainte élevée à l’état permanent

valant SHUP�= -3.0 MPa.

La valeur des ouvertures résiduelles des fissures sous sollicitations permanentes sont

principalement dépendantes de la contrainte de compression induite par la précontrainte.

L’armature passive joue également un rôle important. Cependant, ce rôle s’amenuise lorsque

la contrainte de compression devient importante, à savoir supérieure à 2 ÷ 3 MPa en valeur

absolue.

La grandeur de la sollicitation variable () influence également fortement la valeur des

ouvertures résiduelles des fissures. Toutefois, cette influence diminue quelque peu lorsque la

contrainte à l’état permanent (SHUP

) et/ou lorsque le taux d’armature passive () augmentent

(voir figures 4.39 et 4.40).

Les figures 4.41 et 4.42 montrent quelle est la relation entre la sollicitation variable (∆σ),

la contrainte à l’état permanent due à la précontrainte (σSHUP

) et le taux d’armature ()

pour deux valeurs caractéristiques de l’ouverture résiduelle des fissures admises égales à

(ZN�UHV

= 1.5 ZP�UHV

) :

• ZN�UHV� = 0.20 mm (figure 4.41)

• ZN�UHV� = 0.05 mm (figure 4.42)


D�

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

∆σ [MPa]

σperm [MPa]

σs, max [MPa]

400

500

800

ρ [%]

��

��

��

��

��

��

��

��

��

σ perm

+ ∆

σ = 0

wk,res = 0.20 mmØ 14

béton C30/37

E�

-2.00

-1.75

-1.50

-1.25

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

0.000.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

∆σ [MPa]

σperm [MPa]

σs,max [MPa]

400

500

800

ρ [%]

��

��

��

��

��

��

��

��

σ perm

+ ∆

σ =

0


béton C30/37

Figure 4.41: Relation entre sollicitations variables ( ), contrainte à l’état permanent (SHUP

)

et taux d'armature () pour une ouverture résiduelle caractéristique souhaitée

valant ZN�UHV

= 0.20 mm (ZN�UHV

= 1.5 ZP�UHV

).

a) état permanent de traction ou de compression

b) détail de la zone correspondant à un état permanent de compression

Pour une ouverture résiduelle des fissures et un taux d’armature donnés, la relation reliant ∆σ

à σSHUP

est quasi linéaire dans le cas d’éléments comprimés à l’état permanent (figures 4.41 b

et 4.42). La pente de cette relation dépend de la valeur admise pour l’ouverture résiduelle


souhaitée des fissures et du taux d’armature. En cas de sollicitations de traction à l’état

permanent, la figure 4.41 a) montre qu’il n’est possible de satisfaire à des exigences élevées

en matière de limitation des ouvertures résiduelles des fissures qu’à la condition de placer une

armature importante, correspondant aux pourcentages usuellement requis pour les structures

en béton armé. De telles situations peuvent notamment être rencontrées dans des ponts-

poutres en béton avec une faible précontrainte ( ��GDQV�GHV�VWUXFWXUHV�HQ�EpWRQ�GRQW�OH

retrait est fortement empêché ou encore dans la dalle en béton de ponts-mixtes (acier/béton)

sur appuis intermédiaires.

-4.50

-4.00

-3.50

-3.00

-2.50

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

∆σ [MPa]

σperm [MPa]

ρ [%]

��

��

��

��

��

��

��

σ perm

+ ∆

σ = 0


béton C30/37

Figure 4.42: Relation entre sollicitations variables ( ), contrainte de compression à l’état permanent

(SHUP

) et taux d'armature () pour une ouverture résiduelle caractéristique souhaitée

valant ZN�UHV

= 0.05 mm (ZN�UHV

= 1.5 ZP�UHV

).

Toutes les courbes tracées sur ces graphiques sont en principe valables sous réserve que les

aciers d’armature ne s’écoulent pas sous un niveau maximal de sollicitations à l’état de

service (voir § 4.1). Cette condition se manifeste concrètement sur ces graphiques par les

courbes limites indiquées en traitillés pour différentes valeurs de V�PD[

(voir figure 4.41).

Rappelons toutefois qu’une telle limitation n’est pas forcément nécessaire dans tous les cas :

en particulier si la fissuration est contrôlée et, par conséquent, si l’écoulement des aciers est

empêché par des conditions géométriques (voir § 4.1.3 et 4.1.4)


Toutes les figures de ce paragraphe ont été établies pour une seule classe de béton (C 30/37

selon l’Eurocode 2 [27], correspondant à B 45/35 selon la norme SIA 162 [72]) et pour un

seul diamètre de barres d’armature (� = 14 mm). La validité de ces figures et les conclusions

qui en découlent sont néanmoins très générales et s’appliquent à des valeurs différentes de la

classe de résistance du béton ou du diamètre des barres d’armature, étant donné la faible

influence de ces deux paramètres (voir § 4.4.2.1).

�� )LVVXUDWLRQ�VRXV�GpIRUPDWLRQV�LPSRVpHV��HQ�SKDVH�GH�IRUPDWLRQ�GHV�ILVVXUHV

Bien qu’en principe ce type de sollicitation soit également couvert par les indications données

au paragraphe précédent, il est néanmoins utile de présenter certains résultats des études

paramétriques sous une forme différente et parfois plus appropriée. Ceci d’une part afin de

montrer l’influence des divers paramètres, et, d’autre part, afin de mieux mettre en évidence

les conséquences sur le dimensionnement au cas où ce type de sollicitation est prépondérant et

de grande intensité. Une telle situation peut par exemple se présenter lorsque le

raccourcissement par suite du retrait d’éléments de structures en béton de grande longueur est

fortement ou totalement empêché (bordures ou parapets de ponts, bétonnés ultérieurement).

Les ouvertures moyennes des fissures, dans ce qui suit, sont calculées sur la base de la

résistance effective à la traction du béton, IFW�HI

, qui permet, basée sur la résistance moyenne du

béton, IFWP

, de tenir compte de l’épaisseur et de l’âge de l’élément de structure fissuré

(voir § 4.1.1).

Il est bien connu que, sous déformation imposée, l’ouverture maximale des fissures (ZP�PDx)

augmente légèrement lorsque la résistance du béton augmente (figure 4.43). En première

approximation, il est généralement admis que cette augmentation est négligeable [29] [31].

Comme représenté à la figure 4.44, cette constatation s’applique également à l’ouverture

résiduelle des fissures, que la contrainte à l’état permanent soit une compression (SHUP

< 0) ou

une traction (SHUP

> 0). Rappelons que des contraintes de traction à l’état permanent peuvent

notamment être rencontrées dans des ponts-poutres en béton avec une faible précontrainte

( �� 0.6), dans des structures en béton dont le retrait est fortement empêché ou encore dans la

dalle en béton de ponts-mixtes (acier/béton) sur appuis intermédiaires.


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

20 30 40 50

fck [MPa]

wm [mm]

W��P

perm = -3 MPa� ��

Ø 14 mm

wm,max

wm,res

Charge max = fct,ef


Figure 4.43: Influence de la résistance du béton sur les valeurs moyennes des ouvertures des fissures

maximales (ZP�PD[

) et résiduelles (ZP�UHV

) sous une déformation imposée provoquant la

fissuration.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

20 30 40 50fck [MPa]

wm,res [mm] W��P

perm = -3 MPa� ��

Ø 14 mm

perm [MPa]

+1.0

+0.5

0

-0.5-1.0-2.0-3.0-4.0

Charge max = fct,ef

Charge perm. = σperm

Figure 4.44: Influence de la qualité du béton sur l’ouverture résiduelle des fissures (ZP�UHV

) en cas de

déformations imposées.


La figure 4.44 montre clairement l’influence prépondérante de la contrainte de compression à

l’état permanent (SHUP

) sur la valeur de l’ouverture résiduelle des fissures. Cette tendance est

également visible sur les figures 4.45, 4.46 et 4.47, pour trois contraintes de compression à

l’état permanent différentes, soit SHUP

= 0 / -0.5 / -3.0 MPa.

Pour l’état de décompression (figure 4.45), la qualité du béton ne joue plus aucun rôle sur la

valeur de l’ouverture résiduelle des fissures. Le taux d’armature passive () a par contre une

forte influence sur l’ouverture résiduelle des fissures. Cette dernière est d’autant plus faible

que le taux d’armature passive () est important. Toutefois, l’influence du taux d’armature

diminue lorsque la contrainte de compression à l’état permanent augmente en valeur absolue

(figures 4.46 et 4.47). On notera également que la qualité du béton a une influence mineure

sur l’ouverture résiduelle des fissures et que, en première approximation, on peut la négliger.

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.40% 0.60% 0.80% 1.00% 1.20%ρ [%]

wm,res [mm]

fck [MPa]

50403020

20...50

Charge max = fct,ef = 0.8 fct ,m

Charge perm. = 0 [MPa]

t ≤ 0.3 m

perm = 0 MPa

(décompression)

Ø 14 mm

fck [MPa]

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

wk,res [mm]

Figure 4.45: Influence de la qualité du béton sur l’ouverture résiduelle des fissures sous déformations

imposées pour un état permanent correspondant à la décompression (SHUP�

= 0 MPa).


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.30% 0.60% 0.90% 1.20%σperm [MPa]

wm,res [mm]


Charge perm. = -0.5 [MPa]

fck [MPa]

50403020

t ≤ 0.3 m

perm = -0.5 MPa

Ø 14 mm

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

wk,res [mm]

Figure 4.46: Influence de la qualité du béton sur l’ouverture résiduelle des fissures sous déformations

imposées pour une faible contrainte de compression à l’état permanent

(SHUP�= -0.5 MPa).

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.30% 0.60% 0.90% 1.20%ρ [%]

wm,res [mm]


Charge perm. = -3.0 [MPa]

fck [MPa]

50403020

t ≤ 0.3 m

perm = -3.0 MPa

Ø 14 mm

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

wk,res [mm]

Figure 4.47: Influence de la qualité du béton sur l’ouverture résiduelle des fisures sous déformations

imposées pour un état de compression à l’état permanent (SHUP�= -3.0 MPa).


Au cas où ce sont les déformations imposées qui sont déterminantes, examinons quelles sont

les quantités d’armature à mettre en œuvre pour satisfaire aux exigences en matière

d’ouverture résiduelle des fissures (W � 0.3 m) :

• pour de faibles valeurs de la contrainte de compression à l’état permanent

(SHUP

≈ -0.5 MPa, figure 4.46) :

# exigences élevées (ZN�UHV

� 0.20 mm) ÐQpF

≈ 0.4 %

# exigences très élevées (ZN�UHV

� 0.05 mm) ÐQpF

� 1.5 %

• pour de fortes valeurs de la contrainte de compression à l’état permanent

(SHUP

≈ -3.0 MPa, figure 4.47) :

# exigences élevées (ZN�UHV

� 0.20 mm) ÐQpF

� 0.3 %

# exigences très élevées (ZN�UHV

� 0.05 mm) ÐQpF

≈ 0.6 %

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.30% 0.60% 0.90% 1.20% [%]

wm,res [mm]

C 30/37

perm = -3.0 MPa

Ø 14 mm

κ (t)

1

0.8

0.5

fct,ef = κ (t)·fctm

t ≤ 0.3 m ➨ κ (t) = 0.8t ≥ 0.8 m ➨ κ (t) = 0.5

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

wk,res [mm]

Figure 4.48: Influence de l’épaisseur de l’élément W (ou de la résistance à la traction effective du

béton IFW,HI) sur la valeur de l’ouverture résiduelle des fissures sous déformations

imposées.


La figure 4.48 montre l’influence qu’a l’épaisseur (W) de l’élément considéré sur la valeur de

l’ouverture résiduelle des fissures. Il est usuellement admis que la résistance effective à la

traction d’un élément de béton (IFW�HI

) vaut la résistance moyenne à la traction du béton

mesurée sur éprouvettes (IFWP

) minorée par un facteur κ (W) tenant compte de l’épaisseur de

l’élément (voir § 4.1.1) :

• κ (W) = 0.8 si W � 0.30 m ;

• κ (W) = 0.5 si W � 0.80 m.

Il apparaît très clairement que la résistance effective à la traction revêt un rôle capital sur

l’ouverture résiduelle des fissures. Cette dernière est d’autant plus faible que la résistance à la

traction effective de l’élément est faible. En première approximation, l’ouverture résiduelle

des fissures est proportionnelle à IFW,HI, et donc à κ (W).

��5pVXPp�GHV�SULQFLSDX[�UpVXOWDWV

L’influence des divers facteurs dans le processus de fissuration de structures en béton armé

(résistance du béton, armature, sollicitation variable en force ou en déformation imposée) sur

l’ouverture maximale des fissures (ZPD[

) a fait l’objet de nombreuses recherches, et est

relativement bien connue (voir par exemple [29] et [31]). L’objet de ce chapitre était de

déterminer l’influence de ces mêmes facteurs sur la refermeture des fissures (ZUHV

) sous l’effet

d’une contrainte de compression induite par une précontrainte à l’état permanent (SHUP

).

Il ressort de l’étude paramétrique conduite avec le modèle décrit dans le § 4.3 les

enseignements suivants :

• (IIHW�GHV�F\FOHV

Une VXFFHVVLRQ�GH� F\FOHV engendre une augmentation de l’ouverture résiduelle des fissures

comprise entre 0 et 15 % (pour Q = 10'000 cycles) pour autant que le niveau maximum d’une

sollicitation cyclique soit voisin du chargement maximal rencontré préalablement lors de

l’histoire de la structure. Si le niveau de sollicitation demeure nettement inférieur, la

répétition de cycles de chargement ne joue pour ainsi dire aucun rôle.

• )LVVXUDWLRQ�VRXV�FRQWUDLQWHV�GH�WUDFWLRQ� �UpVXOWDQW�G¶DFWLRQV�YDULDEOHV

− La résistance du béton (IFN

, IFW�HI

) et la répartition de l’armature passive (�) ne jouent

pratiquement aucun rôle sur l’ouverture résiduelle des fissures (ZP�UHV

). Ceci est d’autant


plus vrai que la contrainte de compression à l’état permanent (SHUP

) est élevée en valeur

absolue ;

− L’augmentation du taux d’armature passive () joue un rôle bénéfique sur la valeur de

l’ouverture résiduelle des fissures (ZP�UHV

). Cependant, ce rôle diminue lorsque la

contrainte de compression (SHUP

) augmente en valeur absolue ;

− La contrainte de compression à l’état permanent (SHUP

) est le IDFWHXU� SUpSRQGpUDQW en

matière d’ouverture résiduelle des fissures (ZP�UHV

). En première approximation,

l’ouverture résiduelle des fissures est inversement proportionnelle à SHUP

. Plus SHUP est

élevé en valeur absolue, moins l’influence des autres paramètres se fait ressentir ;

− Le niveau de la contrainte de traction sous actions variables () joue un rôle important

sur l’ouverture résiduelle (ZP�UHV

). Son influence diminue également lorsque la contrainte

de compression à l’état permanent (SHUP

) augmente en valeur absolue ;

− Dans tous ce qui précède, il est admis que la sollicitation de traction dans les aciers

d’armature n’entraîne pas leur écoulement sous chargement maximal :

V�max = (SHUP

+ ) / � �I\N

• )LVVXUDWLRQ�VRXV�GpIRUPDWLRQV�LPSRVpHV

− A toutes autres choses égales, sous déformations imposées, la classe de résistance du

béton joue un faible rôle sur la refermeture des fissures (ZP�UHV

). En première

approximation, ce rôle peut être négligé ;

− Le taux d’armature passive () a par contre une forte influence sur l’ouverture résiduelle

des fissures, qui diminue lorsque ce dernier augmente. Ce rôle à toutefois tendance à

s’amenuiser lorsque la contrainte de compression à l’état permanent augmente en valeur

absolue ;

− La contrainte de compression à l’état permanent (SHUP

) est le facteur prépondérant en

matière d’ouverture résiduelle des fissures sous déformations imposées ;

− La résistance à la traction effective de l’élément considéré, qui diminue lorsque son

épaisseur (W) augmente, joue également un rôle très important. En première approximation,

l’ouverture résiduelle des fissures est proportionnelle à IFW,HI, et donc inversement

proportionnelle à l’épaisseur de l’élément considéré.


En résumé, plus le degré de compression à l’état permanent (SHUP

) est élevé, moins

l’influence des autres paramètres se fait ressentir, que la sollicitation soit une charge ou une

déformation. L’armature passive () joue également un rôle important et doit être suffisante,

afin d’éviter l’écoulement des barres d’armature (σV�PD[

� I\) sous le cumul des sollicitations

à l’état permanent et des sollicitations variables, que ces dernières soient dues à des charges

(∆σ) ou à des déformations imposées (ε correspondant à IFW�HI

). En cas de déformations

imposées, la résistance à la traction effective joue également un rôle majeur sur l’ouverture

résiduelle des fissures.

Enfin, en cas de contraintes de traction à l’état permanent (SHUP

> 0), il n’est pas possible de

satisfaire à des exigences très élevées en matière d’ouverture résiduelle des fissures

(ZN�UHV

� 0.05 mm). Il apparaît cependant possible, moyennant une forte armature () ou une

faible sollicitation ( ), de satisfaire à des exigences élevées en matière d’ouverture résiduelle

des fissures (ZN�UHV

� 0.20 mm).


��5HFRPPDQGDWLRQV�SRXU�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH�HQ�IRQFWLRQ�GH�OD�SUpFRQWUDLQWH

Cette section constitue une proposition d’extension aux structures précontraintes des règles de

dimensionnement de l’armature minimale valables essentiellement pour les structures en

béton armé et figurant dans les normes récentes (voir § 4.1.3). Les résultats de cette recherche

ont en effet principalement établi qu’il est justifié, à ouverture de fissure équivalente, de

réduire les quantités d’armature passive à mettre en œuvre dans les structures en béton

précontraint. Sous réserve des conditions de non-écoulement des aciers sous sollicitations

maximales, il a été démontré que cette réduction de l’armature minimale nécessaire est

d’autant plus importante que la contrainte de compression à l’état permanent est grande en

valeur absolue.

��/LPLWDWLRQ�GH�OD�FRQWUDLQWH�GDQV�OHV�DFLHUV�G¶DUPDWXUH�VRXV�VROOLFLWDWLRQV�PD[LPDOHV

Il n’est généralement pas toléré que les aciers d’armature dépassent leur limite d’écoulement

(I\N

) sous sollicitations exceptionnelles de service (voir § 4.1).

En tous les cas, au niveau national (norme SIA 162 [72]) ou international (Eurocode 2 [27]), il

est demandé de limiter les contraintes de traction dans les aciers d’armature (V�PD[

), calculées

en stade II sous sollicitations maximales de service. L’Eurocode 2 prescrit comme valeurs

limites de la contrainte dans les aciers (voir § 4.1.2.1) :

• sous les combinaisons rares d’actions correspondant à SHUP

+ (trafic + température):

(SHUP

�� (trafic + température)) � HI� ≈

V,PD[ � 0.8 I

\N(4.16)

• ou, lorsque ces contraintes résultent essentiellement de l’entrave à des déformations

imposées susceptibles d’engendrer des contraintes de traction atteignant la résistance

effective du béton à la traction IFW�HI

:

IFW,HI �� HI

� ≈ V,PD[

� I\N

(4.17)

où, dans ces relations,

I\N

est la limite d’écoulement des barres d’acier d’armature [MPa] ;

HI est le taux effectif d’armature tendue [%] (voir figure 4.50) ;

est le taux total d’armature tendue [%] ;


IFW�HI

est la résistance effective à la traction du béton [MPa] (voir § 4.1.1) .

Le respect des conditions (4.16) ou (4.17) sous sollicitations maximales devrait permettre

d’éviter l’apparition de fissures isolées et largement ouvertes.

Les abaques généraux (§ 4.5.2) pour le choix de la précontrainte (SHUP

) et de l’armature

minimale (ρ) tiennent compte de ces conditions de limitation de la contrainte dans les aciers

d’armature sous sollicitations maximales.

5HPDUTXH��

6L� OH� FRPSRUWHPHQW� G¶XQH�SDUWLH� G¶RXYUDJH� V¶DSSDUHQWH� j� FHOXL� G¶XQ� WLUDQW�� FHWWH

OLPLWDWLRQ� GH� OD� FRQWUDLQWH� GDQV� OHV� DFLHUV� �V�PD[

�� HVW� SOHLQHPHQW� MXVWLILpH

�H[WUpPLWpV� GHV� SRUWH�j�IDX[�� SDUWLH� PpGLDQH� GHV� GDOOHV� VXSpULHXUH� HW� LQIpULHXUH��

(OOH�SHXW�QH�SOXV�O¶rWUH�ORUVTXH�O¶HVSDFHPHQW�GHV� ILVVXUHV�HVW�SULQFLSDOHPHQW�GLFWp

SDU� GHV� FULWqUHV� JpRPpWULTXHV� �YRLU� �� F¶HVW�j�GLUH� ORUVTX¶RQ� V¶pORLJQH� GX

PRGqOH� GX� WLUDQW�� 'DQV� FH� FDV� �GDOOHV� VXSpULHXUH� HW� LQIpULHXUH� DX� YRLVLQDJH� GHV

kPHV��OHV�RXYHUWXUHV�GH�ILVVXUHV�VRXV�VROOLFLWDWLRQV�PD[LPDOHV�VRQW�LQGpSHQGDQWHV

GH�OD�FRQWUDLQWH�GDQV�OHV�DFLHUV��V�PD[

��

��0pWKRGH�JpQpUDOH�SRXU�OH�FKRL[�GH�OD�SUpFRQWUDLQWH��σSHUP

�HW�GH�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH��ρ�

��3DUDPqWUHV�G¶HQWUpH�RX�H[LJHQFHV

Afin d’effectuer le choix de la précontrainte et de l’armature minimale nécessaires et afin

d’entrer dans les abaques de dimensionnement, il est tout d’abord nécessaire de fixer des

valeurs pour les différences de contraintes ∆σ dues aux actions variables et pour l’ouverture

résiduelle des fissures ZN�UHV

à l’état permanent. Ces valeurs peuvent être imposées par le

maître de l’ouvrage au moyen de directives ou d’un cahier des charges. Si tel n’est pas le cas,

il appartient à l’auteur d’un projet de pont de les fixer, d’entente avec le maître de l’ouvrage,

et de mentionner dans le plan d’utilisation les valeurs convenues.

• &RQWUDLQWHV�YDULDEOHV��∆σ�

Des indications générales afin de calculer ces contraintes ∆σ dues aux actions variables

pour n’importe quel type de pont sont données au § 3.1. Des valeurs indicatives sur


l’intensité de ces contraintes sous les différentes actions variables (trafic normal,

transport exceptionnel, gradient de température) sont par ailleurs données au § 3.2.

Dans le cas de ponts routiers, dont le système statique est une poutre continue à section

constante, il a été montré au § 3.3 que l’on peut admettre les valeurs approximatives

suivantes pour ces contraintes, estimées à 100 mm de la fibre extrême tendue :

∆σ��≈ 2.6 MPa dans la dalle supérieure, sur appui intermédiaire ;

∆σ��≈ 5 MPa dans la dalle inférieure d’un pont à section en caisson ou dans la partieinférieure des poutres d’un pont à section ouverte.

Ces dernières valeurs de ∆σ sont, en première approximation, valables pour toute

combinaison plausible d’actions variables (trafic normal ou transport exceptionnel +

gradient de température concomitant). Quoi qu’il en soit, les abaques donnés au § 4.5.2.3

permettent d’effectuer un dimensionnement pour différentes valeurs de ∆σ� �comprises

entre 2 et 6 MPa.

Dans certains cas particuliers, notamment lorsque les sollicitations variables résultent

principalement de déformations fortement entravées, ces valeurs de ∆σ�peuvent s’avérer

insuffisantes. On se référera alors aux indications du § 4.4.3.

• 2XYHUWXUH�UpVLGXHOOH�GHV�ILVVXUHV��ZN�UHV

�

Par ouvertures résiduelles des fissures (ZN�UHV

) on entend les valeurs maximales ou

caractéristiques des ouvertures de fissures à l’état permanent. Selon les indications du

§ 4.1.2.5, il paraît raisonnable de graduer les exigences concernant ces ouvertures

résiduelles de la manière suivante pour les ponts en béton précontraint :

ZN�UHV

≤ 0.20 mm en cas d’exigences « élevées », ce qui correspond aux exigencesnormalement requises des structures précontraintes pour des motifs dedurabilité et ce qui correspond dans les cas usuels environ à l’état-limitede décompression ;

ZN�UHV�≤ 0.05 mm en cas d’exigences « très élevées » vivement recommandées pour la

dalle supérieure (de roulement) si une durabilité et, par conséquent, uneétanchéité élevées sont recherchées, en cas d’absence, de défaut ou dedégradation d’un revêtement étanche.

Les valeurs recommandées de ces deux exigences (∆σ et ZN�UHV

) pour un tablier de pont

routier en béton précontraint à section constante sont synthétisées sur la figure 4.49.


([LJHQFHVWUqV�pOHYpHV: wk,res ≤ 0.05 mm

pOHYpHV: wk,res ≤ 0.20 mm

([LJHQFHV�pOHYpHV: wk,res ≤ 0.20 mm

≈ 2.6 MPa

≈ 5.0 MPa

Figure 4.49: Niveaux d’exigences recommandés pour la conception et le dimensionnement de

tabliers de ponts routiers en béton précontraint (à section constante).

• 5pVLVWDQFH�GX�EpWRQ�j�OD�WUDFWLRQ

La résistance effective à la traction du béton IFW�HI

n’intervient pas comme paramètre dans

les abaques. Dans la plupart des cas il est en effet plus prudent de ne pas en tenir compte.

Cette résistance effective dans un ouvrage ou certaines de ses parties est souvent aléatoire

et peut se révéler extrêmement faible, voire nulle, en raison des états de contraintes auto-

équilibrées résultant de l’histoire de la construction (étapes) et de retraits différentiels

(voir § 2.2.2). En cas d’importantes déformations entravées, il est toutefois nécessaire

d’en tenir compte et l’on se référera aux indications du § 4.4.3.

��3DUDPqWUHV�GH�VRUWLH�RX�UpVXOWDWV

Les abaques donnés au paragraphe suivant permettent de choisir des couples de valeurs pour

la précontrainte (σSHUP

) et pour l’armature minimale (ρ) à placer dans un tablier de pont de

manière à satisfaire aux exigences fixées.

A partir de la valeur découlant de ces abaques pour la contrainte dans le béton à l’état

permanent σSHUP

(qui est négative en cas de compression), il est possible de déterminer la

force moyenne de précontrainte 3P

qui lui correspond (voir chapitre 2). De cas en cas,

l’ingénieur pourra se poser la question s’il ne serait pas judicieux de majorer d’environ 10 %

la valeur de la force de précontrainte ainsi trouvée pour le choix des câbles, compte tenu des

indications données au § 2.2.1 (voir équation (2.3), tirée de l’Eurocode 2).

Les abaques ont été établis pour des parties de section de faible épaisseur (W ≤ 0.30 m). Les

pourcentages d’armature minimale ρ qui en résultent sont des pourcentages totaux, rapportés

à l’aire totale de la zone de béton tendu $FW

. Ceci est en particulier valable pour la dalle


supérieure ou inférieure d'un tablier de pont. Pour les parties de ces dalles s’épaississant à

l’approche des âmes on appliquera les indications du § 4.5.4.3 (voir figure 4.52). Dans le cas

de dalles ou de parties de ponts d’épaisseur supérieure à 0.30 m, on pourra néanmoins

appliquer ces abaques. Les pourcentages d’armature minimale qui en découlent dans ce cas

sont à interpréter comme des pourcentages effectifs ρHI rapportés à l’aire de la zone effective

de béton tendu $F�HI

telle que définie à la figure 4.50.

Figure 4.50: Définition de la zone effective de béton tendu conformément au Code Modèle 90 [15],dans le cas : (a) d’une poutre fléchie; (b) d’une dalle fléchie; (c) d’une paroi, d’une âme

de pont ou d’une dalle, sollicitée à la traction centrée ou excentrée.

�� $EDTXHV�JpQpUDX[�GH�GLPHQVLRQQHPHQW

Dans ce paragraphe nous présentons deux familles d’abaques de dimensionnement ( – SHUP

).

Ces deux familles d’abaques (# A et # B) sont d’un usage très général ; elles s’appliquent à

tout type de ponts en béton précontraint (ponts poutres sur cintres, ponts poussés, ponts en

encorbellement, aux ponts en béton simplement armé ainsi qu’aux dalles de ponts mixtes).

La première famille (# A), est constituée de 5 abaques se référant chacun à un niveau de

sollicitation ( ). Ils mettent en évidence l’influence sur le dimensionnement de la valeur

limite adoptée pour l’ouverture résiduelle des fissures (ZN�UHV

).


Sur ces abaques (# A) on a également fait figurer les limites (droites en traitillé) correpondant

à différentes valeurs de la contrainte V�PD[

dans les aciers d’armature sous sollicitation

maximale (SHUP

�� ). Le choix d’une valeur appropriée pour V�PD[

sera effectué au moyen

des équations (4.16) ou (4.17) en fonction du type d’acier utilisé pour l’armature passive. Les

droites en traitillé, correspondant aux différentes valeurs indiquées pour V�PD[

, délimitent les

taux d’armature minimale (ρ) en dessous desquels il ne faut pas descendre si l’on veut éviter

l’écoulement des aciers sous sollicitation maximale de service.

Abaques généraux pour le choix de la précontrainte (SHUP

) et de l’armature minimale ( ou HI)

en fonction des sollicitations variables () et des exigences concernant l’ouverture des fissures (ZN�UHV

)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-1.50-1.00-0.500.000.501.001.50

σperm [MPa]

ρ [%]

800

400

500

σs,max [MPa]

0.050.100.20wk,res [mm]

��$�� 03D





)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.00

σperm [MPa]

ρ [%]

800

400

500

σs,max [MPa]

0.050.100.20wk,res [mm]

��$�� 03D

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.000.50

σperm [MPa]

ρ [%]

800

400

500

σs,max [MPa]

0.050.100.20wk,res [mm]

��$�� 03D





)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-4.00-3.50-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.000.50

σperm [MPa]

ρ [%]

800

400

500

σs,max [MPa]

0.050.100.20wk,res [mm]

��$�� 03D

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-5.00-4.50-4.00-3.50-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.00

σperm [MPa]

ρ [%]

8000.050.100.20

wk,res [mm]

400

σs,max [MPa]

500

��$�� 03D


La deuxième famille (# B) est constituée de 2 abaques se référant chacun à un niveau

d’exigence en matière d’ouverture résiduelle des fissures (ZN�UHV

). Ils mettent en évidence

l’influence sur le dimensionnement de l’intensité des sollicitations variables (). Dans cette

seconde famille, nous avons en outre introduit comme contrainte limite dans les aciers

V�PD[ = 400 MPa (# B.2 (400)) et

V�PD[ = 800 MPa (# B.2 (800)). La valeur

V�PD[ � 400 MPa

correspond à 80 % de la limite d’écoulement des aciers du type S 500, couramment utilisés

dans la pratique (voir équation (4.16)). La valeur V�PD[

� 800 MPa, correspond par contre à

des aciers d’armature de très haute résistance utilisés dans certaines recherches

expérimentales et dont l’emploi pratique pourrait se révéler intéressant à l’avenir pour

certaines constructions. Ces conditions relatives à V�PD[

correspondent à la partie linéaire des

courbes tracées sur les abaques de la série # B, sous des contraintes de compression à l’état

permanent (SHUP

< 0).




)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-5.00-4.50-4.00-3.50-3.00-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.00

σperm [MPa]

ρ [%]

6.05.04.0 ∆σ [MPa]2.0 3.0

��%�� ([LJHQFHV�WUqV�pOHYpHV��ZN�UHV��PP�





)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.001.50

σperm [MPa]

ρ [%]

5.04.0 ∆σ [MPa]2.0 3.0 6.0

��%�� ([LJHQFHV�pOHYpHV��ZN�UHV��PP�� V�PD[��03D

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.001.50

σperm [MPa]

ρ [%]

4.0 5.0 ∆σ [MPa]2.0 3.0 6.0

��%�� ([LJHQFHV�pOHYpHV��ZN�UHV��PP�� V�PD[��03D


5HPDUTXH��

&RQFHUQDQW�OD�YDOHXU�OLPLWH�GH�OD�FRQWUDLQWH�GDQV�OHV�DFLHUV��V�PD[

��LO�HVW�LQWpUHVVDQW

GH� UHPDUTXHU� TXH�� SRXU� OHV� H[LJHQFHV� WUqV� pOHYpHV� �ZN�UHV��PP�� HW� SRXU� DXWDQW

TXH�O¶RQ�DGRSWH�OD�YDOHXU�V�PD[

��03D��FHV�OLPLWHV�QH�VRQW�SDV�GpWHUPLQDQWHV��$X

FRQWUDLUH��SRXU� OHV� H[LJHQFHV� pOHYpHV� �ZN�UHV��PP�� FHV� OLPLWHV� SHXYHQW� V¶DYpUHU

GpWHUPLQDQWHV�

��0pWKRGH�VLPSOLILpH�SRXU�OH�FKRL[�GH�OD�SUpFRQWUDLQWH�� HW�GH�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH��ρ�

Dans le cas fréquent en Suisse de ponts routiers dont le système statique est une poutre

continue de hauteur constante (voir figure 2.4), il peut être commode de caractériser

l’intensité de la précontrainte au moyen du degré de compensation des déformations

(§ 2.1.1). Pour ce type de ponts et si la précontrainte est constante (aux pertes près) sur la

longueur de l’ouvrage et suit dans chaque travée un tracé parabolique, il est possible de

déterminer en fonction de σSHUP

, de la portée / et de la hauteur du caisson + au moyen de

l’équation (2.6) (voir § 2.2.1). Ceci permet d’établir une nouvelle série d’abaques simplifiés

(# C) pour le choix de l’armature minimale en fonction de la précontrainte (ρ - ).

Hormis les restrictions susmentionnées quant au type de pont et de précontrainte, les

indications données aux § 4.5.2.1 et § 4.5.2.2 sont également valables pour utiliser les

abaques de cette troisième série (# C).


Abaques simplifiés pour le choix de la précontrainte () et de l’armature minimale ( ou HI)

en fonction de la portée (/) et des exigences concernant l’ouverture des fissures (ZN�UHV

)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

β

ρ [%]

L [m] 3090 60 45

L [m]30 ... 90

��&��'DOOH�LQIpULHXUH� � ��03D�

([LJHQFHV�pOHYpHV�ZN�UHV��PP�

V�PD[��03D/�+�§��

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

β

ρ [%]

30

90

60

45

L [ m]

��&��'DOOH�LQIpULHXUH� � ��03D�

([LJHQFHV�WUqV�pOHYpHV�ZN�UHV��PP�

V�PD[��03D/�+�§��


Abaques simplifiés pour le choix de la précontrainte () et de l’armature minimale ( ou HI)

en fonction de la portée (/) et des exigences concernant l’ouverture des fissures (ZN�UHV

)

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

β

ρ [%]

L [m]3090 60 45

L [m]

30 45 60 90

��&��'DOOH�VXSpULHXUH� � ��03D�

([LJHQFHV�pOHYpHV�ZN�UHV��PP�

V�PD[��03D/�+�§��

0.30%

0.50%

0.70%

0.90%

1.10%

1.30%

1.50%

0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

β

ρ [%]

L [ m]3090 60 45

��&��'DOOH�VXSpULHXUH� � ��03D�

([LJHQFHV�WUqV�pOHYpHV�ZN�UHV��PP�

V�PD[��03D/�+�§��


Tous ces abaques, généraux (# A et # B) ou simplifiés (# C), mettent en évidence l’importante

marge de manœuvre à disposition de l’ingénieur concepteur d’un ouvrage pour choisir la

précontrainte et l’armature minimale satisfaisant aux mêmes conditions ( et ZN�UHV

).

L’ingénieur peut en effet opter pour une précontrainte modérée ( = 0.65 ÷ 0.75) et des

pourcentages relativement élevés d’armature minimale (� �0.8 ÷ 1.0 %) ; ou au contraire, il

peut opter pour une précontrainte plus importante ( = 0.8 ÷ 1.0) et de faibles pourcentages

d’armature minimale (� �0.4 ÷ 0.6 %) ; toutes les solutions intermédiaires sont évidemment

également possibles comme cela sera encore montré dans un exemple au chapitre 6. Pour des

ponts de portée courante (/ �� m), une précontrainte importante (0.8 � � 1.0) est vivement

recommandée, quelle que soit l’armature minimale disposée.

Les abaques ont été volontairement limités à des valeurs de l’armature minimale comprises

entre 0.3 % et 1.5 %. Des pourcentages d’armature plus élevés que 1.0 ÷ 1.5 % ne nous

semblent en effet pas présenter d’intérêts pratique et économique pour une structure en béton.

Quant à la limite inférieure, elle est certainement arbitraire et discutable. Pour des raisons

constructives et de ductilité suffisante à l’approche de la ruine, il ne paraît en effet pas

raisonnable de disposer une armature passive plus faible que = 0.4 %.


��'LVWULEXWLRQ�GH�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH�GDQV�OH�WDEOLHU�G¶XQ�SRQW

Sur appuis

À mi-travée

①

④

②

③

bc

bc ’

pile

appu

isin

term

.m

i-tra

vée

§ bc’ partout PLQ① 0.6 %

Sur appuis ① PLQ① 0.4 %

Dal

le s

up.

A mi-travée ② PLQ② 0.4 %

A mi-travée ③ PLQ③ 0.4 %

Dal

lein

f.

Sur appuis ④ PLQ④ 0.4 %

L/5

L/5

L3/5L

Dallesupérieure

3

1

1

2

4

4

Dalle inférieure

Figure 4.51: Répartition de l’armature minimale PLQ

longitudinale recommandée dans

les dalles supérieure et inférieure d’un tablier de pont en caisson, où

PLQ = (

SHUP, , Z

N�UHV) �0.4 ou 0.6 %.

La figure 4.51 montre comment répartir au mieux l’armature minimale de fissuration dans un

tablier de pont.

��'DOOH�VXSpULHXUH

− Les extrémités des porte-à-faux sont fortement vulnérables au risque de fissuration

provenant du retrait empêché (accentué du fait qu’elles sont souvent bétonnées

ultérieurement) ou d’un gradient thermique, en particulier dans le sens horizontal, dû à

l’ensoleillement, et dont il n’a pas été tenu compte lors de l’évaluation des valeurs

bc’ = 3

1 bc 1.0 m


au § 3.2.3. Dès lors, en bout des porte-à-faux, sur une bande de largeur valant le tiers

de leur portée, et au minimum 1 mètre, l’armature minimale ne devra pas être

inférieure à 0.6 %.

− ① : Sur appuis, sur une bande de 52 /⋅ , l’armature minimale doit être calculée pour

ZN�UHV

= 0.05 ou 0.20 mm (voir figure 4.49), = 2.6 MPa, et SHUP

①, ou SHUP

① est la

contrainte à l’état permanent caractéristique s’appliquant sur la dalle supérieure sur

appuis calculée selon les indications du § 2.2.1. Pour des raisons constructives et de

ductilité à l’approche de la ruine, l’armature minimale ne devra pas être inférieure à

0.4 % :

PLQ① (Z

N�UHV, = 2.6 MPa,

SHUP①) 0.4 % ;

− ② : En travée, sur la longueur restante, soit 53 /⋅ , l’armature minimale sera calculée

pour ZN�UHV

= 0.05 ou 0.20 mm (voir figure 4.49), = 2.6 MPa, et SHUP

②, où SHUP

②

est la contrainte à l’état permanent s’appliquant sur la dalle supérieure à mi-travée :

PLQ② (Z

N�UHV, = 2.6 MPa,

SHUP② ) 0.4 %.

�� 'DOOH�LQIpULHXUH

− ③ : En travée, sur une bande de 53 /⋅ , l’armature minimale doit être calculée pour

ZN�UHV

= 0.20 mm (voir figure 4.49), = 5.0 MPa, et SHUP

③, où SHUP

③ est la

contrainte à l’état permanent caractéristique s’appliquant sur la dalle inférieure à mi-

travée calculée selon les indications du § 2.2.1. Pour des raisons constructives et de

ductilité à l’approche de la ruine, l’armature minimale ne devra pas être inférieure à

0.4 % :

PLQ③ (Z

N�UHV, = 5.0 MPa,

SHUP③) 0.4 % ;

− ④ : Sur appuis, sur la longueur restante, soit //5 de part et d’autre de l’appui,

l’armature minimale sera calculée pour ZN�UHV

= 0.20 mm (voir figure 4.49),

= 5.0 MPa, et SHUP

④, où SHUP

④ est la contrainte à l’état permanent s’appliquant sur

la dalle inférieure sur appuis :

PLQ④ (Z

N�UHV, = 5.0 MPa,

SHUP④ ) 0.4 %.


��=RQHV�SOXV�pSDLVVHV�GHV�GDOOHV��JRXVVHWV�

L’armature minimale déterminée au moyen des abaques précédents (§ 4.5.2 et § 4.5.3) est

strictement valable dans les zones du tablier sollicitées en traction presque centrée, à la

manière d’un tirant. Il s’agit essentiellement des zones médianes des dalles inférieure et

supérieure, ainsi que de l’extrémité des porte-à-faux (voir § 4.1.4). L’armature minimale sera

donc dimensionnée pour ces zones dont l’épaisseur est généralement plus faible, tout en

respectant les conditions énumérées à la figure 4.51. Il en résultera dès lors un pourcentage

total d’armature moins important à proximité des âmes, du fait de l’augmentation de

l’épaisseur des dalles (voir figure 4.52).

min ( perm, , wk,res) ⇒ Abaques #A ou #B

min ( , L, wk,res) ⇒ Abaques #C

ρ [%]

0

et V constants

ρ [%]

0

et V constants

≥ 0.4 %

≥ 0.6 %

≥ 0.4 %

bc ’

Figure 4.52: Disposition de l’armature minimale: Dimensionnement dans les zones de plus faible

épaisseur et prolongement des mêmes � et du même espacement V dans les zones de

plus grande épaisseur (voir § 4.1.4).

Outre la prise en compte des phénomènes inhérents au contrôle géométrique de l’espacement

des fissures par la proximité de l’axe neutre (exposés au § 4.1.4), cette façon de procéder

permet implicitement de tenir compte, de façon pratique et simplifiée, de la zone effective de

béton tendu (ou du HI) à considérer dans les parties plus épaisses.

On prendra cependant garde de ne pas appliquer cette règle aux zones éventuellement plus

épaisses en bout des porte-à-faux (parapets, bordures). Outre le fait que ces zones ne sont plus

sujettes au contrôle géométrique de l’espacement des fissures, elles sont fortement


vulnérables au risque de fissuration provenant du retrait empêché (accentué du fait qu’elles

sont souvent bétonnées ultérieurement) et de gradients thermiques horizontaux, dont il n’a

absolument pas été tenu compte dans l’évaluation des (§ 3.2.3).

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��'pIRUPDWLRQV 125

��'e)250$7,216

��,QWURGXFWLRQ��GpIRUPDWLRQV�j�ORQJ�WHUPH�GHV�SRQWV

La définition d’« état permanent » appliquée aux ponts en béton précontraint englobe l’état de

déformation de l’ouvrage à long terme. Les déformations d’un ouvrage à l’état permanent ne

cessent pas d’évoluer durant les 5 à 10 premières années. La raison principale de cette

évolution est le comportement visco-élastique du béton ou fluage. En règle générale, en terme

de déformations, le comportement à l’état permanent des ouvrages d’art est satisfaisant dans

la mesure où l’évolution des déformations se stabilise, est conforme aux attentes ou n’est pas

un critère important. Cependant certains ouvrages de part le monde ont présenté des

évolutions anormales de leurs déformations au niveau de leur intensité et/ou de leur cinétique.

Même la prise en compte du fluage ne parvient pas à reproduire les déformations de ces

ponts. Dans le cadre d’un travail de recherche entrepris à l’EPFL, il a été étudié dans quelle

mesure les actions variables pouvaient contribuer à l’accroissement des déformations à l’état

permanent [66]. Les actions variables ne sont actuellement pas considérées lors d’un calcul à

long terme des déformations. Si pourtant elles provoquent une fissuration, alors elles

induisent un accroissement supplémentaire des déformations. Ici les aspects et résultats

principaux de cette recherche sont présentés.

Les déformations ont été traitées au moyen de la loi moment-courbure. Cette dernière décrit le

comportement d’une section en béton armé ou en béton armé et précontraint. Grâce au

principe des travaux virtuels, la déformations de la structure s’obtient par intégration, sur

l’ensemble de la structure, de la courbure locale au droit des sections de calcul. Pour pouvoir

étudier les déformations des ponts précontraints sous actions variables, il faut que la loi

moment-courbure avec effort normal décrive la façon dont s’opère la décharge une fois que

l’action variable n’agit plus sur la structure. Comme une telle loi n’existait pas, le but de cette

recherche était de proposer une formulation de décharge applicable au cas des sections

précontraintes.


��/RL�PRPHQW�FRXUEXUH�&(%�),3

Le Code Modèle CEB-FIP 90 [15] propose une loi moment-courbure� non linéaire, qui tient

compte aussi bien de la fissuration que de l'armature passive, des câbles de précontraintes ou

encore des effets différés. Elle est en principe limitée à l'usage des poutres et des sections

massives avec un axe de symétrie vertical. Cependant son application à des sections caissons

(sections non-massives) s’est avérée valable [54]. Elle a été vérifiée expérimentalement pour

des bétons ordinaires [ 44] et des BHP [20].

Figure 5.1: Diagramme moment-courbure� du Code Modèle CEB-FIP 90 - flexion simple

La loi moment-courbure donne la valeur de la courbure moyenne pour tous les niveaux de

charges jusqu'à la ruine.

Il faut relever que la limite entre le stade I et le stade II n'est pas observée pour la valeur du

moment de fissuration 0U mais pour un moment inférieur défini comme 0

U�UHG.

0U est défini par la relation suivante:

Mr = W1 fctm –N

A1

≅ Wc fctm –

N

Ac

(5.1)

� La courbure est indifféremment désignée par le symbole « 1/U » ou « Ψ ».


:�

: module résistant en stade I, calculé en tenant compte de l’armature

$�

: aire de la section en stade I, calculée en tenant compte de l’armature

$F

: aire de la section de béton seul

1 : effort normal appliqué à la section (1 < 0 : compression ; 1 > 0 : traction)

IFWP

: résistance moyenne à la traction du béton découlant de l’essai de traction directe sur

éprouvettes cylindriques

0U�UHG

: moment de fissuration réduit; il est défini par l’intersection de l’hyperbole de lacourbure moyenne (1/U

P) et de la droite définissant le stade I (1/U1).

Pour la flexion simple, on trouve :

UUHGU00 ⋅= 5.0, (5.2)

Ainsi 0U correspond au moment qui provoque une contrainte de traction à la fibre extrême

égale à la résistance moyenne à la traction IFWP

. La forme de la courbe 1/UP sous 0

U,

( = prolongement de la courbe qui est au dessus de 0U), dont l’intersection avec la droite

stade I donne 0U�UHG

, tient compte, à l’état permanent, de la fissuration engendrée par les auto-

contraintes, les phases d’exécution et les surcharges.

1/rm1

��U��U

ΜΜ

N = 0

N < 0

Réductionde la

courbure

Augmentationde Mr,réd

1/r

1/rm

Figure 5.2: Influence de l’effort normal sur les courbures

L'effort normal peut être aisément intégré dans la relation moment-courbure dans le cas de la

précontrainte. Dans ce cas de figure l'effort normal est une force de compression constante.

Ce qui a pour effet de modifier les déformations de la section. En effet pour un moment

sollicitant donné, l'introduction de cet effort de compression va réduire la courbure de la


même section soumise uniquement à un effort flexionnel. Sur le diagramme cet effort se

traduit par un décalage de la branche de la courbe qui correspond au comportement stade II

fissuré. Le décalage est naturellement d'autant plus marqué que l'effort de compression est

important. L'autre conséquence favorable de l'introduction d'un effort normal est

l'augmentation du moment correspondant à la première fissuration (0U�UHG

) (figure 5.2).

Figure 5.3: Loi moment-courbure du Code Modèle CEB-FIP 90 – flexion composée

La loi moment-courbure dans sa forme actuelle décrit bien l'état de déformation d'une section

lorsque l'effort croît de façon monotone. Par contre dans le cadre de notre recherche qui

s’occupe des déformations à long terme sous un chargement cyclique, nous avons besoin

d'une loi moment-courbure qui inclut les décharges et recharges associées à ce type de

sollicitation fluctuante. C'est-à-dire une loi moment-courbure avec une branche de décharge-

recharge. Le Code Modèle CEB-FIP 90 propose une loi de décharge, mais uniquement

valable pour le cas de la flexion simple (sans effort normal). La branche de décharge est

définie par la position du point A qui se trouve à l'intersection de la branche de décharge et de

la droite en stade I. La deuxième coordonnée du point A est égale à –0U/2 (figure 5.4).


Cette loi est, par ailleurs, définie pour une seule décharge et recharge instantanée. On

remarque le découplage entre les courbures à long terme et l’action variable. Cette hypothèse

a été conservée.

Figure 5.4: Loi moment-courbure avec branche de décharge du Code Modèle 90 valable pour la

flexion simple

Comme on le voit, la décharge de la loi moment-courbure ne couvre pas le cas d'une section

fléchie et comprimée soumise à plusieurs cycles. De plus sa validité pour une section en béton

armé doit être vérifiée dans la mesure où la formulation actuelle repose sur un petit nombre de

résultats expérimentaux [44]. C'est pour tenter de combler ces lacunes que nous avons

entrepris une campagne expérimentale sur des poutres partiellement précontraintes soumises à

un chargement cyclique dont on a mesuré la loi moment-courbure. Nous avons cherché à

couvrir un éventail de combinaisons de paramètres aussi large que possible. Grâce aux

résultats expérimentaux, nous avons pu valider le modèle numérique que nous avons

développé. Ce dernier a ensuite été utilisé pour calculer plusieurs centaines de sections en

tous genre (les paramètres variables étaient : la forme, les dimensions, les proportions, le taux

d’armature passive, l’effort normal de compression, l’intensité de la charge) ce qui nous a

permis de proposer une correction de la loi moment-courbure avec décharge du Code Modèle

pour l'adapter au cas d'une section fléchie et comprimée soumise à une action cyclique.


Une telle loi est potentiellement applicable à toute section comprimée fléchie subissant une

décharge ouvrant ainsi son emploi à toute structure assimilable à une poutre.

��5HFKHUFKH�H[SpULPHQWDOH

��2EMHFWLIV

Le but de la campagne était de mesurer la loi moment-courbure sur une section précontrainte

(effort normal 1 constant) soumise à un chargement répété (moment de flexion 0 variable).

En variant des paramètres comme les charges, les quantités de précontrainte et d'armature

passive, de précieuses informations sur la branche de décharge et recharge de la loi moment-

courbure, ainsi que sur sa dépendance du nombre de cycles, ont pu être recueillies pour un

large éventail de configurations. Des résultats plus complets ont fait l'objet de précédentes

publications [67] [68].

��'HVFULSWLRQV�GHV�HVVDLV

��'HVFULSWLRQ�GHV�SRXWUHV

Les éléments testés sont des poutres en béton partiellement précontraintes. Les dimensions et

la géométrie des poutres, le système statique, ainsi que la qualité du béton ont été maintenus

identiques pour toutes les poutres qui étaient au nombre de six désignées par les noms : G00,

G03, G06, G08, G09 & G10. Les poutres mesurent 7 mètres de long. Les dimensions de la

section symétrique en forme de « I » ainsi que le plan d’armature sont donnés à la figure 5.5.

L’effort normal constant sur l’ensemble de la section a été obtenu grâce à deux câbles

rectilignes non-injectés.


Figure 5.5: Plan d’armature et de coffrage


��'HVFULSWLRQ�GX�EkWL�GH�FKDUJH

L’essai a consisté à solliciter en flexion les poutres partiellement précontraintes. Une zone de

moment constant a été créée dans la partie centrale (figure 5.6 et 5.7). La mesure des

allongements de la fibre supérieure et inférieure dans la zone centrale a permis de reconstituer

la loi moment-courbure expérimentale de chaque poutre.

Figure 5.6: Schéma du stand d'essai

Figure 5.7: Vue lors des essais


��'HVFULSWLRQ�GH�O¶KLVWRLUH�GH�FKDUJH

La sollicitation imposée était un moment répété transmis par les vérins. La répétition

sinusoïdale de la charge (> de 7'000 cycles) était fixée par une borne supérieure et inférieure

qui demeurait constante durant l’essai. La fréquence des cycles était de 3 cycles par minute.

&KDUJH�PD[LPDOH��4PD[�

&KDUJH�PLQLPDOH��4PLQ�

WHPSV

��VHF

∆ Q

Figure 5.8: Variation de la charge imposée

��3DUDPqWUHV

Les paramètres qui ont été variés d'une poutre à l'autre sont :

• la quantité d'armature passive

• la compression par l'intermédiaire des câbles de précontrainte

• le niveau de charge

Ont été maintenus constants tous les autres paramètres :

• la géométrie et les dimensions des poutres

• le système statique de l'essai

• la qualité du béton

• le nombre et la fréquence des cycles de charge

• la différence entre la charge maximale et minimale (∆4)

Deux séries de tests désignées « approche I » et « approche II » ont été effectuées comprenant

respectivement 4 et 3 essais (la poutre G10 a été utilisée deux fois). A l’approche I les

paramètres ont été fixés de telle sorte à reproduire l’état de sollicitation de 4 poutres de


résistance ultime similaire, mais avec des taux de précontrainte différents. Dans ce cas la

charge minimale correspond aux charges permanentes. A l’approche II, la charge maximale et

minimale était respectivement supérieure et inférieure à la charge de fissuration et

engendraient la même contrainte de traction. Les caractéristiques principales des poutres sont

données au tableau 5.1. Les combinaisons couvertes par la variation des trois paramètres est

illustrée à la figure 5.9.

Tableau 5.1: Caractéristiques des poutres testées

*�� *�� *�� *��,� *�� *�� *��,,�

$SSURDFK $SSURDFK�, $SSURDFK�,,β �� 0PD[ >N1P@ �� 0PLQ >N1P@ �� σWUDF�PD[��VWDWH�,� >1�PP�@ �� σWUDF�PLQ��VWDWH�,� >1�PP�@ �� 1��FRPS� >N1@ � �� $V >PP�@ ��$V �∅��∅�� ∅�� ∅�ρ >�@ ��

��

��

��

��

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200 250 300

320 mm

500

mm

N [kN]

M [

kNm

]A

s [m

m2]

500

1000

1500

*�� *�� *�� *�� *�� *��

6WDWH�,,

6WDWH�,

Mmax

Mmin

Figure 5.9: Armature passive, moment et effort normal des poutres testées


��3ULQFLSDX[�UpVXOWDWV

Comme dans le cadre de ce travail nous nous intéressons à l’état permanent, donc aux

déformations à long terme, examinons les courbures sous charge minimale. On observe que :

• Le fait de charger et décharger une structure, pour autant que celle-ci se fissure, engendre

une augmentation des courbures. Cette dernière est importante dès le premier cycle de

charge-décharge. La répétition de la charge accroît ultérieurement les déformations (voir

figure 5.10).

��

*��

*��

*��

*��,�

*��

*��

*��,,�

&RXUEXUH�>��P@

PRQWpH�HQ�

FKDUJH

�HU�

F\FOH

��H�

F\FOH

&RXUEXUH

0RPHQW

0PD[

0PLQ

PRQWpH�

HQ�

FKDUJH

�HU�

F\FOH

��H�

F\FOH

Figure 5.10: Courbure sous charge minimale de toutes les poutres lors de la montée en charge,

après la 1ère décharge et après la 7'000ème décharge

• Si la fissuration est atteinte la décharge ne se fait pas selon une branche de décharge

passant par l’origine. Toutes les branches de décharge cyclique d’une même poutre

passent par un même point pivot (point A) qui se trouve sur la droite du stade I.

L’augmentation du nombre de cycles ne fait qu’incliner progressivement les branches de

décharge. (voir figure 5.11 et 5.12).

• L’augmentation sous chargement cyclique est fortement dépendante du niveau de

sollicitation. Si ce dernier est proche du moment de fissuration, l’augmentation est

maximale. La quantité d’armature passive joue également un rôle important dans la

mesure où elle contrôle l’augmentation des déformations. La précontrainte est favorable


parce qu’elle retarde l’apparition de la fissuration et permet de contenir l’augmentation

des déformations sous charges cycliques si elle est injectée.

��

��

��

�

��

��

��

��

&RXUEXUH�>��P@

0RP

HQW�>N1P@

�

��

��

��

��

��

��

��

�

��

0PD[

0PLQ

3RXWUH�*��

6WDGH�,

6WDGH�,,�QX

&RXUEXUH�PR\HQQH

β��

Figure 5.11: Loi moment-courbure expérimentale avec cycles de décharge - Poutre G06

��

��

��

��

��

��

��

&XUYDWXUH�>��P@

0

R

P

H

Q

W

�

>

N

1

P

@

*��

*��,,�

*��

*��

*��

*��

��

��

��

��

��

��

��

&XUYDWXUH�>��P@

0

R

P

H

Q

W

�

>

N

1

P

@

*��

*��,�

*��

*��

Approach I Approach II

As = 113 mm2

Mmax / Mr = 1.4

As = 113 mm2

As = 616 mm2

As = 616 mm2

As = 1137 mm2

Mmax / Mr = 3.9

Mmax / Mr = 2.4

Mmax / Mr = 1.4

N = 0 kN

N = 78 kN

N = 155 kN

N = 260 kN

N = 260 kN

N = 233 kN

N = 207 kN

3RLQW�$�>��U��U��0U��@

0

��U

8QORDGLQJ�DFFRUGLQJ�WR�&(%�),3

0U

1stcycle

7000thcycle

Figure 5.12: Loi moment-courbure expérimentale avec le 1er et le 7000ème cycle de décharge

pour toutes les poutres


��(WXGH�SDUDPpWULTXH

��0RGqOH�QXPpULTXH

Dans le but de parvenir à une formulation représentative du comportement d’un élément en

béton armé et précontraint soumis à un effort de flexion variable, le recours à un modèle

physique est indispensable. Le modèle, baptisé ALPHAFLEX, a été validé grâce aux résultats

des essais en laboratoire décrits ci-dessus et à ceux d’autres recherches expérimentales [66].

Le modèle, qui se base sur des lois fondamentales, a ensuite été utilisé afin d’explorer le

comportement d’une multitude d’éléments dans le cadre d’une étude paramétrique dont nous

présentons ici les résultats principaux. Les lois fondamentales à la base du modèle, ainsi que

sa méthode de calcul, sont identiques à celles utilisées par Laurencet et ont été exposées plus

haut (voir chapitre 4.3).



• 6HFWLRQV�UHFWDQJXODLUHV

Les caractéristiques de la section avec les paramètres variables et constants, ainsi que les

propriétés des matériaux acier et béton, sont donnés ci-dessous à la figure 5.13.

Les différents moments maximum atteints avant la décharge (0PD[), ont été variés en

choisissant des multiples du moment de fissuration Mr.

0PD[

�0U

2.0 2.5 3.0

Quant à la contrainte de compression à l’état permanent due à l’effort normal (N) de

précontrainte σ3 = 1/$F, elle a varié comme suit :

σ3�>MPa@ � 0.0 -1.0 -2.0 -3.0


&2167$17(6 9$5,$%/(6*pRPpWULH�GH�OD�VHFWLRQ

E :K-G :

30030

mmmm

K : 500750

1000

mmmmmm

$UPDWXUH�SDVVLYHρ�= $

V/(E G)

h

b

d

AsØ : 14 mm 0.25

0.500.751.00

[%]

%pWRQ $FLHU(F : 30’000 MPa (V : 210’000 MPaIFWP : 3.0 MPa I\ : 460 MPaIFN : 30.0 MPa*I : 0.100 Nmm/mm2

Figure 5.13: Paramètres de l'étude

• 6HFWLRQV��FDLVVRQ�

Pour cette étude paramétrique, les propriétés des matériaux sont les mêmes que ci-dessus.

Comme ci-dessus, les paramètres variables sont la hauteur du caisson, le taux d'armature

passive, la compression à l’état permanent et les niveaux de sollicitation. Les valeurs

numériques de ces trois derniers paramètres sont les mêmes que celles de l'étude sur les

sections rectangulaires. Les hauteurs de sections utilisées sont 1.5 m, 3.0 m et 4.5 m.

b = 13 m

b caisson = 6 m

t âme = 0.5 mt inf = 0.25 m

t sup = 0.25 m

h = L/20

Figure 5.14: Sections utilisées pour les calculs (voir aussi figure 2.4)

��5pVXOWDWV

Dans un premier temps nous avons effectué des comparaisons entre le modèle numérique, qui

avait précédemment montré qu’il prédisait correctement le comportement des sections en


béton précontraint [66], et la loi moment-courbure du CEB avant décharge. La différence en

pour-cent entre la courbure obtenue par Alphaflex (intégration sur le tronçon fléchi et

comprimé) et celle calculée selon le CEB a été calculée pour toutes les sections examinées

tant pour un premier chargement (1er cycle) que pour un chargement répété (10'000 cycles).

La valeur moyenne de l'écart est donnée dans le tableau ci-dessous.

Tableau 5.2: Comparaison entre le calcul Alphaflex et la loi CEB-FIP pour un 1er chargement

et après un chargement répété

Différence moyenne entre la courbureCEB et Alphaflex

Sectionrectangulaire

Section"Caisson"

1er chargement (1er cycle / ��= 0.8) 15.8 % 7.8 %

Chargement répété (10'000 cycle / � = 0.5) 2.5 % 1.6 %

On voit que la loi moment-courbure en l’état actuel est très fiable dans la prédiction des

courbures des sections précontraintes avant que ne soit opérée la décharge.

Pour étudier l’influence des actions variables sur l’état permanent, respectivement sur les

déformations, il est nécessaire de connaître le comportement à la décharge lorsque l’action

variable se réduit, voire disparaît. Sur un diagramme moment-courbure, cela se traduit par la

branche de décharge. A la figure 5.15 on montre l’ensemble des branches de décharge

calculées pour une section rectangulaire. Nous ne présentons pas ici tous les graphiques de

toutes les sections calculées, les résultats étant semblables. Les moments sont rendus

adimensionnels par rapport à 0PD[, le moment maximum atteint avant décharge. Sur le

graphique sont indiqués les paramètres. Les branches de décharge du graphe sont le résultat

des combinaisons de ces paramètres.

Les branches de décharge caractérisées par les plus grandes courbures sous 0PD[ sont les plus

plates et correspondent aux sections les moins armées. Le point A, pour ces sections, se

trouve proche de l'origine. Dans nos tests nous avons effectivement observé cela sur nos

poutres de l'approche II qui étaient faiblement armées. Ensuite à mesure que la courbure sous

0PD[ diminue la pente de la décharge se redresse et le point A s'abaisse. Lorsque la courbure

sous charge maximale avoisine celle du stade I les pentes deviennent très grandes et le

point A peut glisser très bas.


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��(�� (�� (�� (�� (�� (�� (��

&RXUEXUH�>��PP@

0RPHQ

W�DG

LPHQ

VLRQQHO�>�@

&DOFXOV�GRQW�OH�

SRLQW�$�HVW�SOXV�

EDV�TXH��0PD[

0PD[

��0PD[KK� ��P

ρ� ��0PD[�0U� ��

σSHUP� ��1�PP�

3RLQWV�$3RLQWV�$3RLQWV�$3RLQWV�$

Figure 5.15: Ensemble des branches de décharge de la section rectangulaire de hauteur +=0.75m

dans une représentation adimensionnelle du moment après le 1er cycle.

On voit que la très grande majorité des points A calculés est comprise entre l'origine et la

valeur opposée au moment maximum (–0PD[). Sur la base de cette observation nous avons

formulé notre proposition de modification de la loi moment-courbure avec décharge pour le

calcul des déformations à long terme. On remarquera que les courbures avant décharge qui

correspondent à des points A inférieurs à (-0PD[) sont proches de celles du stade I. L’erreur

engendrée à l’état permanent est de ce fait minime et peut être considérée comme acceptable

(voir [66] pour plus de détails).

En ce qui concerne l'augmentation de la courbure due à la répétition cyclique de la charge,

nous présentons à la figure 5.16, l'augmentation relative de la courbure après 10'000 cycles en

fonction du niveau de sollicitation (0PD[/0U) et de la contrainte de compression (σ3). Comme

déduit de nos essais, on constate que l'augmentation est plus élevée pour un rapport 0PD[/0U

plus faible. Sur ce diagramme on voit également que pour un même niveau de sollicitation,

une précontrainte plus élevée se traduit par une augmentation plus faible.

Le modèle numérique confirme bien que les plus grandes augmentations potentielles des

courbures se produisent pour des rapport de moments faibles, là où l'effet des cycles est le


plus grand. Cette configuration se retrouve dans les structures caractérisées par des taux de

précontrainte intermédiaire (ordre de grandeur entre β = 0.4 et β = 0.7).

��

�

��

�

��

� ��

$XJPHQWDWLRQ�GH�OD�FRXUEXUH�GXH�DX[�F\FOHV�>�@

0

P

D

[

�

�

�

0

U

��σS� ��1�PP

�

��

K

K� ��P

ρ� ��

��F\FOHV

Figure 5.16: Augmentation de la courbure après 10'000 cycles par rapport au 1er cycle en fonction

du niveau de sollicitation et de la précontrainte – valeurs relatives


��3URSRVLWLRQ�G¶XQH�EUDQFKH�GHVFHQGDQWH�SRXU�OD�ORL�PRPHQW�FRXUEXUH

Les enseignements tirés de l’étude paramétrique effectuée à l’aide du modèle physique, nous

a permis de formuler une proposition de branche de décharge de la loi moment-courbure

valable pour toutes les sections précontraintes. Comme la position du point A est admise sur

la droite du stade I avec la seconde coordonnée égale à –0PD[, la branche de décharge permet

de couvrir tous les cas significatifs calculés et fournit des courbures plutôt surestimées. Ce

modèle de prédiction donne donc généralement une borne supérieure.

Mmax

Mr,redMg

-Mmax

0

��U1/rsuppl.

P=constant

Sans fluage

Point A

Stade ICourbure moyenne

Stade II-nu

Figure 5.17: Proposition de branche de décharge de la loi moment-courbure avec effort normal

��5HFRPPDQGDWLRQV�FRQFHUQDQW�OH�GHJUp�GH�FRPSHQVDWLRQ�GHV�GpIRUPDWLRQV��

Jusqu’à présent le calcul des déformations d’un ouvrage a consisté à intégrer sur l’ensemble

de la structure la valeur de la courbure à l’état permanent en tenant compte du fluage et, dans

le meilleur des cas, de la fissuration. Ici nous avons vu qu’une contribution additionnelle

pouvait provenir des actions variables pour autant que ces dernières engendrent de la

fissuration. Nous avons également observé que la quantité de précontrainte, synthétisée par le

degré de compensation des déformations , joue un rôle déterminant dans le comportement à

long terme. Sur la base de cette étude il est possible de tirer quelques enseignements


concernant le lien qu’il existe entre le choix de la quantité de précontrainte et le

comportement à long terme.

Une large palette de configurations a été étudiée qui va de = 0 à = 1. En résumé il a été

observé que, par suite des actions variables,

• une précontrainte plus élevée se traduit bien par des déformations plus faibles et une

fissuration plus contenue, voire nulle. Sur la base des résultats tant expérimentaux que

numériques, il apparaît raisonnable de ne descendre en aucun cas en dessous de = 0.6

pour le type de ponts étudié, afin d’éviter une fissuration trop importante. Cette dernière

peut être préjudiciable non seulement au niveau des déformations par les courbures

irréversibles qu’elle engendre, mais également au niveau de l’esthétique, de l’étanchéité et

de la durabilité (voir § 4.1.2).

• Les plus grandes augmentations de déformation sous répétition d’action variable

s’observent pour les sections sollicitées au voisinage du moment de fissuration. Cette

configuration correspond à des degrés de compensation des déformations intermédiaires

(pour des aux alentours de = 0.6). Une valeur de = 0.8 nous semble souhaitable dans

la mesure où les risques d’apparition de la fissuration sont grandement limités même sous

action variable. Une fissuration contenue, voire empêchée, signifie des déformations à

long terme peu importantes et moins sujettes à une augmentation sous action variable.

L’esthétique et la durabilité de la structure sont également meilleures si la fissuration est

faible. En d’autres termes une plus grande quantité de précontrainte se traduit par un

meilleur comportement à long terme.

D’après ce qui précède la quantité de précontrainte à mettre en place dans un ouvrage ne

devrait pas être inférieure à = 0.8 ce qui peut paraître beaucoup dans un premier temps.

Instinctivement cela peut sembler peu approprié pour un petit pont, vu que les déformations

ne constituent généralement pas un problème dans ce cas. Il convient néanmoins de réaliser

que les contraintes de compression pour un même degré de compensation des déformations

sont plus faibles pour une petite portée que pour une grande. Cela signifie que la fissuration

est atteinte plus rapidement pour un pont plus petit. Il a été montré que même = 1 pouvait ne

pas être suffisant pour éviter l’apparition de la fissuration. Si les déformations ne constituent

en effet pas une préoccupation pour un ouvrage de petite portée, il s’agit alors de déterminer

le seuil de tolérance vis-à-vis de la fissuration ce qui aura nécessairement des conséquences


au niveau de la durabilité et de l’esthétique. Dans cette optique et compte tenu de tous les

paramètres étudiés, la valeur de = 0.8 nous paraît correspondre à une exigence de qualité

minimale. Signalons enfin qu’une étude précédente, ayant par ailleurs fait l’objet d’une

publication de la VSS [34], a montré qu’une valeur de comprise entre = 0.8 et = 1.0

permet de limiter l’influence de la variabilité de paramètres tels que le module du béton (F,

la résistance à la traction IFW et le coefficient de fluage ϕ sur le comportement à long terme.

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��([HPSOH�G¶DSSOLFDWLRQ 145

��(;(03/(�'¶$33/,&$7,21

��'RQQpHV

Soit un pont poutre en caisson infiniment long, de section constante sur toutes les travées de

portée / = 50 m, et dont l’élancement vaut /�+ = 20 (le renforcement de la dalle inférieure au

voisinage des appuis est négligé).

0.50

13.0 m

2.0 1.5 1.5 2.0

6.0

0.25

0.35

0.25

0.20

0.30 2.

5

Figure 6.1: Section d'un pont en béton précontraint, d'un élancement /�+ = 20 et d'un grand nombre

de travées de portée / = 50 m.

Ce pont est réalisé en béton du type B 45/35 au sens de la norme SIA 162 (C 30/37 pour

l’Eurocode 2) dont les caractéristiques sont les suivantes :

• Le calcul de la fissuration résiduelle est basé sur des sections préfissurées, soit IFW�HI

= 0

(voir § 4.5.2.1).

• Pour le calcul des flèches, on a admis deux hypothèses concernant la résistance à la

traction du béton : la première, optimiste, correspondant à une valeur à long terme

IFW��

= 0.65 ÷ 0.7 IFWP

≈ 2 MPa ;

la seconde, pessimiste, admet comme pour la fissuration

IFW�HI

= 0.

• Enfin, le module d’élasticité ((F

) est admis égal à 32 GPa (28 jours) et le coefficient de

fluage (ϕ) égal à 2.5 (W�

).

L’acier d’armature est un acier courant de type S 500, dont la valeur caractéristique de la

limite d’écoulement égale I\N

= 500 MPa.


On se propose de déterminer, en fonction de différents compris entre 0.6 ÷ 1.0, l’armature

passive nécessaire au respect des exigences en matière de fissuration à l’état permanent.

Connaissant l’armature, on procédera au calcul des flèches.

Dans ces exemples, pour le choix de l’armature passive, à aucun moment n’interviennent des

considérations faisant appel à la sécurité structurale. L’armature dimensionnée ici est une

armature dont le seul rôle est de garantir un comportement en service satisfaisant. Il est

évident qu’en parallèle, un calcul ad hoc, non effectué ici, doit garantir que cette armature est

suffisante au respect de critères de ruine de la structure.

��)LVVXUDWLRQ

��(WDWV�SHUPDQHQWV�FRQVLGpUpV

Il est possible d’estimer les contraintes de compression à l’état permanent (SHUP

) dans les

sections caractéristiques d’un pont en béton précontraint en fonction du degré de

compensation des déformations ; Ceci est rendu possible à l’aide du tableau 2.1 et de

l’équation (2.4) présentés dans le § 2.2.1. Pour le cas étudié (/ = 50 m ; /�+ = 20) il vient :

Tableau 6.1: Contraintes de compression à l'état permanent (SHUP) en fonction de pour un pont de

portée / = 50 m et d'élancement /�+ = 20.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

SHUP�[MPa] ��03D ��03D ��03D ��03D ��03D ��03D

��6ROOLFLWDWLRQV�YDULDEOHV

Dans le chapitre 3, nous avons montré quelles sont les contraintes de traction susceptibles

d’apparaître en section d’un pont sous les combinaisons déterminantes d’actions variables

(trafic et température, voir tableau 3.2).

Il ressort du tableau 3.2 que, pour un pont en caisson tel que celui défini dans notre exemple,

en adoptant pour la dalle supérieure sur appuis = +2.6 MPa et pour la dalle inférieure dans

le champ = +5 MPa, nous couvrons toutes les combinaisons d’actions les plus

défavorables (trafic 40 t ou transports exceptionnels + gradient concomitant 7�).


��&KRL[�GHV�H[LJHQFHV�YLV�j�YLV�GH�OD�ILVVXUDWLRQ

Pour les ponts en béton précontraint, nous avons défini deux niveaux d’exigences

(voir § 4.5.2.1, figure 4.49) :

• exigences très élevéesZN�UHV

� 0.05 mm ;

• exigences élevées ZN�UHV

� 0.20 mm.

Il appartient au maître d’ouvrage de prescrire ou de décider, le niveau d’exigence à satisfaire

en matière d’ouverture résiduelle des fissures (élevée ou très élevée).

Nous sommes d’avis que, lorsqu’il s’agit de la dalle inférieure, en raison du fait qu’elle n’est

pas en contact direct avec de l’eau, le niveau d’exigence élevé est suffisant (ZN�UHV

≤ 0.20 mm).

Lorsqu’il s’agit de la dalle supérieure, indépendamment de la présence ou non d’une couche

d’étanchéité, nous recommandons de satisfaire aux exigences très élevées (ZN�UHV

≤ 0.05 mm).

Ceci, afin de se prémunir contre toute infiltration d’eau, envisageable à long terme en cas

d’altération et de défaillance du revêtement étanche. De cas en cas, si la probabilité d’une telle

défaillance est très faible et si ses conséquences néfastes sont limitées et demeurent sous

contrôle, il pourra être justifié que le maître d’ouvrage fixe des exigences moins sévères

également pour la dalle supérieure (ZN�UHV

≤ 0.10 ou 0.20 mm).

��&KRL[�GH�OD�SUpFRQWUDLQWH�HW�GH�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH�QpFHVVDLUHV

Après avoir déterminé les contraintes variables et les exigences requises en matière

d’ouverture résiduelle des fissures ZN�UHV

, il est possible de choisir à l’aide des abaques de

dimensionnement présentés au § 4.5.3 un couple formé de la valeur du degré de compensation

des déformations et de l’armature minimale (voir figure 6.2 et tableau 6.2).


0.0%

0.5%

1.0%

1.5%

2.0%

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

ρ [%]

dalle inférieure / exigences très élevée

dalle inférieure

exigences élevées

dalle supérieure

exigences très élevées

dalle supérieure / exigences élevées

/ = 50 m/�+ = 20

β

Figure 6.2: Représentation graphique du pourcentage d'armature minimale () à disposer dans les

éléments en fonction de la précontrainte (), de leur exposition (dalles inférieure ou

supérieure) et des exigences requises en matière d'ouverture résiduelle des fissures

(élevées ou très élevées).

Tableau 6.2: Armature à mettre en œuvre dans le pont étudié (/ = 50 m, /�+ = 20) afin de satisfaire

les exigences vis-à-vis de l'ouverture des fissures en fonction de la précontrainte

choisie , en admettant 0.4 % (voir § 4.5.4, figure 4.51)�

exigences��

élevées

ZN�UHV

� 0.20 mm1.40 % 0.80 % 0.45 % 0.40 % 0.40 % 0.40 %dalle supérieure

sur appuis

= 2.6 MPatrès élevées

ZN�UHV

� 0.05 mm

env.

2.40 %0.75 % 0.40 % 0.40 % 0.40 %

élevées

ZN�UHV

� 0.20 mm2.00 % 1.30 %

env.

1.00 %0.80 % 0.60 % 0.40 %dalle inférieure à

mi-travée

= 5.0 MPatrès élevées*

wk,res � 0.05 mm

env.

2.60 %1.80 %

env.

1.00 %0.75 % 0.40 %

Solutions conduisant à des taux d’armatures déraisonnables ( >> 2.50 %)

Solutions peu économiques, et donc contre-indiquées ( > 1.00 %)

* Les exigences très élevées pour la dalle inférieure ne sont en général pas justifiées (§ 4.5.2.1)


L’analyse de la figure 6.2 et du tableau 6.2 nous permet de tirer les conclusions suivantes

concernant l’exemple considéré (/ = 50 m, /�+ = 20):

# 'DOOH�VXSpULHXUH��H[LJHQFHV�pOHYpHV�RX�WUqV�pOHYpHV��

• Si l’on souhaite requérir des exigences élevées pour la dalle supérieure sur appuis,

il est vivement conseillé d’opter pour � � 0.56. En effet, pour atteindre les

exigences élevées avec < 0.56, il est nécessaire de disposer une armature passive

importante, supérieure à 1.0 % ;

• Au même titre, si l’on souhaite requérir des exigences très élevées pour la dalle

supérieure sur appuis il est conseillé d’opter pour �� 0.68. En effet, pour atteindre

les exigences très élevées avec < 0.68, il est nécessaire de disposer une armature

passive importante, supérieure à 1.0 % ;

• Il est déraisonnable de requérir des exigences très élevées avec � 0.6 % (quantités

d’armature irréalistes � 2.5 %) ;

• Dès que �� LO� VXIILW� GH� SODFHU� XQH� DUPDWXUH� PLQLPDOH� § 0.4 % pour

satisfaire à n’importe quel niveau d’exigences en matière de fissuration résiduelle.

En effet, même si théoriquement il serait possible de satisfaire l’une ou l’autre des

exigences avec un taux d’armature inférieur, pour des raisons constructives ainsi

que de ductilité suffisante à la ruine, il n’est pas conseillé de descendre en-dessous

de 0.40 % (voir § 4.5. 4, figure 4.51);

• En conséquence, pour � 0.76, les exigences très élevées sont assurées avec

= 0.40 %.

# &RQFHUQDQW�OD�GDOOH�LQIpULHXUH��H[LJHQFHV�pOHYpHV��

• Si l’on souhaite requérir des exigences élevées pour la dalle inférieure à mi-travée,

il vivement conseillé d’opter pour �� 0.72. En effet, pour atteindre les exigences

élevées avec < 0.72, il est nécessaire de disposer une armature passive

importante, supérieure à 1.0 % ;

• Dès que ��XQH�Pême quantité d’armature minimale ≤ 0.6 % satisfait à la

fois, pratiquement, aux exigences élevées ou très élevées ; ce qui signifie que


l’ouverture résiduelle des fissures est très peu dépendante de l’armature passive

mise en œuvre pour des valeurs élevées de �;

• Pour = 1, il suffit de placer une armature minimale correspondant à = 0.40 %

pour satisfaire à des exigences très élevées.

De façon générale, si �� HW� TXHOOHV� TXH� VRLHQW� OHV� H[LJHQFHV� UHTXLVHV� SRXU� OD� GDOOH

supérieure (élevées ou très élevées), les quantités d’armature à y disposer sont moins

importantes que celles à placer dans la dalle inférieure pour y respecter les exigences élevées,

compte tenu principalement du fait que les sollicitations s’exerçant sur la dalle supérieure

( § 2.6 MPa) sont nettement plus faibles que celles s’exerçant sur la dalle inférieure

( § 5 MPa).

Dans la poursuite de l’exemple, pour le calcul des déformation de l’ouvrage, nous choisissons

les combinaisons suivantes :

#1 = 0.6

dalle supérieure, exigences élevéesÐ dalle supérieure = 0.80 %

dalle inférieure, exigences élevées Ð dalle inférieure = 1.30 %

#2 = 0.8

dalle supérieure, exigences très élevéesÐ dalle supérieure = 0.40 %


#3 = 1.0

dalle supérieure, exigences très élevéesÐ dalle supérieure = 0.40 %



Figure 6.3: Disposition de l’armature minimale longitudinale choisie dans la section du pont pour le

degré de compensation des déformations = 0.8.

��&DOFXO�GHV�IOqFKHV

��5DSSHO�GHV�GRQQpHV

Le pont étudié pour ce qui est des déformations est le même que celui présenté au § 6.1 pour

les choix de la précontrainte et de l’armature minimale nécessaires.

A la fin du § 6.3, sont indiqués les taux d’armature correspondant aux degrés de

compensation des déformations retenus = 0.6, 0.8 et 1.0.

��+\SRWKqVHV�GH�FDOFXO

Le calcul des flèches a été effectué pour le pont poutre décrit au § 6.1 avec les 3 possibilités

retenues pour le choix de la précontrainte et de l’armature passive qui en découle, comme

indiqué précédemment : = 0.6, 0.8 et 1.0. Dans les 3 cas, on a calculé la flèche à long terme

sous l’effet des charges permanentes et de la précontrainte, puis la flèche maximale sous le

cumul de toutes les charges y compris une charge variable, et enfin la flèche à long terme

tenant compte d’un éventuel accroissement résultant de 10'000 cycles charge-décharge pour la

charge variable.


Comme actions variables, 2 scénarios sont été envisagés dans les calculs, en ne retenant qu’un

cas de charge de trafic seul sans superposition avec un gradient de température pour les 2

scénarios :

(1) Charge de trafic courant avec poids lourds de 40 t, associée à la valeur optimiste

IFW�HI

= IFW�∞ = 2 MPa pour la résistance du béton à la traction ;

(2) Transport exceptionnel de type I selon SIA (4'800 kN), associé à la valeur pessimiste

IFW�HI

= 0.

Les charges variables sont prises en compte en intégrant la loi moment-courbure avec branche

de décharge présentée au § 5.5. C’est-à-dire qu’après un calcul à long terme sous charge

permanente incluant la fissuration et le fluage, 10'000 cycles de charge-décharge

correspondant aux actions variables pendant la durée de vie prévisible de l’ouvrage sont

appliqués.

WHPSVW �

WHPSVW

��U

0

0SHUP

0YDULDEOH

1/r suppl.

��U�ORQJ�WHUPH

Figure 6.4: Principe du calcul des déformations à long terme avec prise en compte du fluage, de la

fissuration et d'une action variable : diagramme moment-courbure.

Le calcul a été effectué en utilisant le programme MAPSDIFF dans lequel S. Rossier a

implémenté le modèle de la loi moment-courbure avec décharge [64]. Les calculs à long

terme ont été effectués avec le coefficient de fluage ϕ = 2.5 et la valeur �

= 0.5 pour le

coefficient caractérisant la contribution du béton tendu (voir § 5.4, en particulier tableau 5.2).


��5pVXOWDWV��DXJPHQWDWLRQ�GH�OD�IOqFKH�VRXV�FKDUJHV�YDULDEOHV

��6RXV�FKDUJHV�GH�WUDILF�FRXUDQW��W��HW�DYHF�IFW� ��03D

Sous un trafic de 40 tonnes aucun des trois ponts, quelle que soit la valeur 0.6 ≤ ≤ 1.0, ne

développe de fissuration suffisamment importante pour avoir une répercussion au niveau des

flèches. Ainsi après l’application de la charge variable les trois ponts regagnent l’état de

déformation qui était le leur à l’état permanent avant application de la charge variable.

Signalons que pour = 0.6 sous charge maximale, des contraintes de traction se développent

à la fibre extrême, cependant celles-ci restent pratiquement partout inférieures à la résistance à

la traction effective admise égale à IFW�HI

= 2.0 MPa. Dans certaines sections où cette contrainte

est localement dépassée, la hauteur de la zone fissurée est très limitée. Comme ce cas ne

concerne que les sections soumises aux pointes de moments près des appuis intermédiaires,

la répercussion sur la grandeur des flèches est insignifiante.

��6RXV�XQ�WUDQVSRUW�H[FHSWLRQQHO�6,$�W\SH�,��N1��HW�DYHF�IFW� ��

Quoique plutôt rare, ce cas de charge est néanmoins assez représentatif du niveau de

sollicitation maximum possible pour un pont routier sous l’effet des actions variables à l’état

de service. Étant donné qu’il agit seul, sans combinaison avec des variations de température,

il induit des sollicitations variables � correspondant à toute combinaison plausible d’une

charge de trafic d’un niveau inférieur, par conséquent plus fréquente, avec un gradient de

température concomitant (voir § 3.3).

Tableau 6.3: Augmentation de la flèche à l’état permanent sous action variable (transport

exceptionnel SIA type I de 4'800 kN).

'HJUp�GH�FRPSHQVDWLRQ�GHV�GpIRUPDWLRQV� ��

Flèches à l’état permanent

avant cycle de charge-décharge [mm]21.9 14.1 0.0

Flèches maximales sous

le cumul de toutes les charges [mm]36.6 21.7 6.8

Flèches à long terme après

10'000 cycles de charge-décharge [mm]30.9 16.0 0.0

$XJPHQWDWLRQ�GH�OD�IOqFKH�j�O¶pWDW�SHUPDQHQW

GXH�j�O¶DFWLRQ�YDULDEOH��


Cet exemple montre qu’une aggravation des flèches à l’état permanent, résultant d’un

endommagement progressif sous les actions variables, peut devenir sensible pour des valeurs

du degré de compensation de la précontrainte inférieures ou égales à 0.8. Elle peut même

devenir très importante pour des faibles valeurs de §� �� &HV� UpVXOWDWV� VRQW� IRUWHPHQW

dépendants des hypothèses faites concernant la résistance effective du béton à la traction IFW�HI

et concernant l’intensité des actions variables. Rappelons qu’ils résultent d’hypothèses

pessimistes mais néanmoins réalistes pour une majorité d’ouvrages. A cet égard, il est prudent

d’admettre IFW�HI

= 0, l’ouvrage ayant pu être préfissuré sous un cas de charge exceptionnel

antérieur, voire même déjà durant l’exécution.

En outre, il faut rappeler que vu l’incertitude sur la force de précontrainte réellement présente

dans l’ouvrage, l’Eurocode 2 recommande de tenir compte d’un facteur de minoration de 0.9

(voir équation 2.3). Ainsi, il faudrait au fond étudier les flèches avec des valeurs réduites de .

Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP &KDSLWUH��6\QWKqVH�HW�FRQFOXVLRQV 155

��6<17+Ê6(�(7�&21&/86,216

5pSHUFXVVLRQ�GH�O¶DSWLWXGH�DX�VHUYLFH�VXU�OD�FRQFHSWLRQ�GHV�SRQWV

Les résultats de cette recherche apportent une contribution importante à la conception et

vérification d’un pont en béton précontraint en se basant sur des critères d’aptitude au service.

Ces résultats s’appliquent aussi bien à un nouveau pont qu’à un pont existant. Les critères

pour la conception et la vérification sont basés sur l’état de fissuration et de déformation à

l’état permanent, tout en tenant compte de l’endommagement subi sous les actions variables

(trafic et gradient de température). Cet endommagement est d’autant plus grand que la

fissuration et les déformations qui en découlent sont momentanément élevées et pas

suffisamment réversibles malgré l’effet de la précontrainte et de l’armature passive.

Ainsi il est indispensable de prévoir une précontrainte et une armature minimale suffisantes

dans tous les cas où il est nécessaire, soit de limiter les fissures traversantes permanentes dans

la dalle du tablier, fissures préjudiciables à l’étanchéité et donc à la durabilité d’un pont, soit

d’éviter des déformations augmentant progressivement au cours du temps pour atteindre des

valeurs trop importantes et excédant largement celles attribuables au fluage.

Afin de limiter l’ouverture des fissures telles que présentes à l’état permanent, la valeur des

contraintes permanentes SHUP

joue évidemment un rôle déterminant. En effet, les fissures

susceptibles de s’ouvrir sous l’effet de contraintes variables , se refermeront d’autant mieux

que SHUP

est une contrainte de compression élevée. Quant à l’armature minimale longitudinale

à mettre en place, elle doit contribuer à rendre acceptable l’ouverture des fissures traversantes.

Plus il y aura de précontrainte, plus SHUP

sera donc élevé et moins il faudra d’armature

minimale.

Puisqu’il s’agit de limiter les fissures traversantes présentes à l’état permanent dans la dalle

du tablier d’un pont (p.ex. dalles supérieure et inférieure d’une section à caisson), les

contraintes SHUP

et sont calculées à 0.10 m de la fibre extrême d’une section. Ainsi le

problème d’une flexion composée peut être ramené à celui de la traction pure. En effet, la

résultante des contraintes trapézoïdales de traction dans une dalle de 0.25 à 0.35 m

d’épaisseur se situe environ à cette profondeur.


&RQWUDLQWH��SHUP

��GDQV�OH�EpWRQ�j�O¶pWDW�SHUPDQHQW

La contrainte dans le béton à l’état permanent SHUP

est principalement fonction du facteur

de compensation des déformations dû à la précontrainte. La contrainte de compression SHUP

est d’autant plus grande en valeur absolue que �est élevé. La valeur maximale correspond à

un balancement total (�≈ 1). Dans le cas d’un pont poutre continu à section constante et avec

une précontrainte à tracé parabolique, SHUP

diminue en valeur absolue lorsque diminue,

s’annule pour ≈ 0.6 et change même de signe pour �< 0.6, ce qui signifie que l’ouvrage est

sollicité par des contraintes de traction à l’état permanent pour de faibles valeurs de . La

valeur de SHUP

est extrêmement sensible à toute variation du facteur �de compensation des

déformations, donc à tout écart des forces effectives de précontrainte par rapport à celles

calculées. Si, par suite d’erreurs et de contrôles insuffisants lors de la mise en tension ou de

pertes plus importantes que celles estimées, l’intensité réelle de la précontrainte est par

exemple inférieure de 10 % à celle prévue, la contrainte de compression SHUP

à l’état

permanent est réduite de 0.5 à 1 MPa en valeur absolue pour un pont d’environ 50 m de

portée.

'LIIpUHQFH�GH�FRQWUDLQWHV��∆σ��UpVXOWDQW�GHV�DFWLRQV�YDULDEOHV

Les actions variables sur les ponts routiers consistent essentiellement en les actions du trafic

courant, de transports exceptionnels et de gradients de température. Les études théoriques et

numériques ainsi que les essais en laboratoire réalisés dans le cadre de ce mandat de recherche

ont démontré que ce qui est déterminant pour l’aptitude au service et le comportement à long

terme de l’ouvrage (fissuration et déformations), ce sont les valeurs extrêmes des actions

variables n’intervenant que peu fréquemment à l’état de service. Au contraire, les actions

variables de plus faible amplitude intervenant très fréquemment, par exemple

quotidiennement, n’ont pratiquement aucune répercussion.

,O�DSSDUWLHQW�HQ�SULQFLSH�DX�PDvWUH�GH�O¶RXYUDJH�GH�IL[HU�GDQV�XQ�FDKLHU�GHV�FKDUJHV�RX�GDQV

GHV�GLUHFWLYHV�O¶LQWHQVLWp�GHV�DFWLRQV�YDULDEOHV�j�FRQVLGpUHU.

Pour ce faire, il tiendra compte du type de route dont fait partie l’ouvrage, ainsi que de la

nature et de l’importance du trafic. Les valeurs maximales des contraintes de traction qui

en résultent sous les combinaisons déterminantes d’actions variables pourront être calculées

dans chaque cas, au moyen des indications du § 3.1.


En l’absence de valeurs déterminées selon cette procédure, le maître d’ouvrage – ou, par

défaut, l’auteur d’un projet de pont – pourra adopter les valeurs forfaitaires suivantes pour ces

contraintes , représentatives de combinaisons vraisemblables d’actions variables

déterminantes (voir § 3.3.) :

• �≈ 2.6 MPa dans la dalle supérieure, sur appui intermédiaire ;

• �≈ 5 MPa dans la dalle inférieure d’un caisson ou dans la partie inférieure des

poutres, à mi-portée.

Ces valeurs tiennent compte des conditions de trafic européen (40 t). Sous les conditions

actuelles du trafic suisse le plus sévère ( 28 t, Goeschenen), les valeurs de � sont environ de

10 à 20 % inférieures dans le cas des ponts en caisson mais ne diminuent guère pour les ponts

à section ouverte.

([LJHQFHV�FRQFHUQDQW�O¶RXYHUWXUH�UpVLGXHOOH�GHV�ILVVXUHV��ZN�UHV

��j�O¶pWDW�SHUPDQHQW

Le risque et les conséquences de la fissuration ainsi que les mesures à prendre pour y faire

face dépendent essentiellement de SHUP

et de . L’ouvrage sera fissuré dès que la somme

algébrique de SHUP

(négative en cas de compression) et de �est supérieure ou égale à la

résistance effective IFW�HI du béton à la traction. La fissuration est d’autant plus importante

que la contrainte de compression SHUP

est faible en valeur absolue (ou surtout s’il s’agit

d’une contrainte de traction) et que la sollicitation variable �est élevée.

Afin que l’ouvrage satisfasse à toutes les exigences spécifiées ou normalement attendues

durant son utilisation, il est nécessaire de prendre des mesures appropriées afin de contrôler la

fissuration. Il s’agit principalement de limiter les ouvertures des fissures à l’état permanent,

en général déterminantes pour juger de la qualité, c’est-à-dire de l’étanchéité, de la durabilité

et de l’esthétique d’un pont en béton. Des fissures occasionnellement plus importantes sous

certaines combinaisons d’actions variables en service (SHUP

+ ) ne sont généralement pas

préjudiciables. Ceci toutefois, à la condition de s’assurer que la contrainte dans les aciers

demeure inférieure à leur limite d’écoulement I\N

sous sollicitations maximales à l’état de

service.

Compte tenu des indications du § 4.1.2, il paraît raisonnable de graduer de la manière suivante

les exigences en matière d’ouverture résiduelle (= à l’état permanent) des fissures dans les


ponts en béton précontraint :

• ZN�UHV ≤ 0.20 mm en cas d’exigences « élevées », ce qui correspond aux exigences

normalement requises des structures précontraintes pour des motifs de

durabilité et ce qui correspond en général à peu près à l’état-limite de

décompression à l’état permanent ;

• ZN�UHV ≤ 0.05 mm en cas d’exigences « très élevées », vivement recommandées pour la

dalle supérieure (de roulement) si un comportement étanche du béton

est recherché, permettant de pallier les défauts ou dégradations d’un

revêtement étanche.

Ces valeurs ZN�UHV des ouvertures de fissures tolérables à l’état permanent constituent des

valeurs maximales ou caractéristiques correspondant approximativement à une fois et demie

les valeurs moyennes observables.

,O� HVW� GX� UHVVRUW� GX� PDvWUH� G¶RXYUDJH� GH� IL[HU� FODLUHPHQW� OHV� H[LJHQFHV� HQ� PDWLqUH� GH

ILVVXUDWLRQ�HW�HQ�SDUWLFXOLHU�FRQFHUQDQW�OD�YDOHXU�OLPLWH�ZN�UHV

�SRXU�OHV�RXYHUWXUHV�UpVLGXHOOHV

GHV�ILVVXUHV�WUDYHUVDQWHV�j�O¶pWDW�SHUPDQHQW.

Si la valeur limite ZN�UHV

��PP�QH�VHPEOH�JXère être controversée, il n’en est pas de même

en ce qui concerne une limitation plus sévère pour la dalle supérieure. Pour cette dalle,

indépendamment de la présence ou non d’une couche d’étanchéité, nous recommandons de

satisfaire aux exigences très élevées (ZN�UHV

��PP��&HFL��DILQ�GH�VH�SUpPXQLU�FRQWUH�WRXWH

infiltration d’eau, envisageable à long terme en cas d’altération et de défaillance du

revêtement étanche. De cas en cas, si la probabilité d’une telle défaillance est très faible et si

ses conséquences néfastes sont limitées et demeurent sous contrôle, il pourra être justifié que

le maître d’ouvrage fixe des exigences moins sévères également pour la dalle supérieure

(ZN�UHV

��YRLUH��PP��

&KRL[�GH�OD�SUpFRQWUDLQWH�HW�GH�O¶DUPDWXUH�PLQLPDOH

Pour concevoir et caractériser un ouvrage en béton précontraint nous recommandons d’utiliser

le facteur . Ce facteur est conventionnellement défini pour chaque travée comme étant le

degré de compensation des déformations dû à la précontrainte moyenne 3P

(correspondant à

la moyenne arithmétique dans le temps entre la précontrainte initiale R

3′ , compte tenu des

pertes par frottement, et la précontrainte finale 3∞). Afin d’assurer un comportement


satisfaisant à long terme des ponts routier en béton précontraint, tenant compte de l’effet des

actions variables, nous recommandons les valeurs minimales de indiquées dans le

tableau 7.1 Ces valeurs ont été établies pour des poutres continues à section constante et avec

un tracé parabolique des câbles.

Tableau 7.1: Valeurs minimales du degré de compensation des déformations �dû à la précontrainte

en fonction de la quantité moyenne d’armature minimale entre les dalles supérieure sur

appui et inférieure à mi-portée, nécessaire pour satisfaire à des exigences très élevéesd’aptitude au service pour la dalle supérieure de roulement avec Z

N�UHV�

≤ 0.05 mm et à

des exigences élevées pour la dalle inférieure du tablier avec ZN�UHV

≤ 0.20 mm.

Selon choix de l’armature minimale ()Portée (/)

1 % 0.8 % 0.6 % 0.4 %

90 m ≥ 0.65 0.70 0.75 0.80

60 m ≥ 0.70 0.75 0.80 0.90

45 m ≥ 0.75 0.80 0.90 ~ 1

30 m ≥ 0.80 0.90 ~ 1 (> 1)

Les indications données dans ce tableau montrent que les valeurs nécessaires de sont

d’autant plus grandes que les portées sont courtes. Les faibles portées nécessitent une

précontrainte relativement élevée (0.8 ≤ ≤ 1). L’armature minimale nécessaire pour

satisfaire aux exigences en matière de fissuration est fortement dépendante du choix de ,

c’est-à-dire de la quantité de précontrainte.

Plus la contrainte de compression à l’état permanent SHUP

est grande en valeur absolue (ce qui

correspond à des valeurs élevées de ), moins l’ouverture résiduelle des fissures et, par

conséquent, la qualité et la durabilité de l’ouvrage sont dépendantes de la quantité d’armature

passive disposée. Afin de pouvoir satisfaire aux performances requises en matière de

fissuration avec une armature minimale raisonnable (PLQ

�≤ 1%), la valeur de ne devrait en

aucun cas être inférieure à 0.65 ou 0.70 afin d’assurer l’étanchéité de la dalle supérieure (ZN�UHV

≤ 0.05 mm), pour des ponts de portées moyennes à élevées (/ ≥ 50 m).

Une augmentation de ces valeurs minimales de d’environ 20 à 30 % permet de réduire

considérablement, jusqu’à un facteur deux environ, l’armature minimale nécessaire. Si l’on

choisit en effet des valeurs élevées de comprises entre 0.8 et 1.0 selon les portées d’un pont,

il s’ensuit que de faibles quantités d’armature minimale, jusqu’à PLQ

= 0.4 %, sont suffisantes


pour satisfaire aux exigences très élevées en matière de fissuration de la dalle supérieure

(ZN�UHV ≤ 0.05 mm). Pour des ouvrages de portées courantes (/ ≤ 40 m), une précontrainte

importante (0.8 ≤ ≤ 1) est vivement recommandée quelle que soit l’armature minimale

disposée. Au chapitre 5 ainsi que dans l’exemple du chapitre 6, il a en outre été montré

qu’une précontrainte importante ( ��YRLUH� ��VL� O¶RQ�WLHQW�FRPSWH�G¶XQH� UpGXFWLRQ

possible de 10 % de la force de précontrainte conformément aux indications de l’Eurocode 2,

voir § 2.2.1) permettait également de limiter fortement – voire d’éviter – une augmentation de

la flèche à long terme résultant de l’effet des actions variables et s’ajoutant à l’effet du fluage

(voir en particulier § 6.4.3).

,O� DSSDUWLHQW� j� O¶LQJpQLHXU� FKDUJp� GH� OD� FRQFHSWLRQ� HW� GH� O¶pWXGH� GX� SRQW� GH� FKRLVLU� XQH

TXDQWLWp� MXGLFLHXVH� GH� SUpFRQWUDLQWH� RX�� DXWUHPHQW� GLW�� GH� FKRLVLU� OD� YDOHXU� � GX� GHJUp� GH

FRPSHQVDWLRQ�GHV�GpIRUPDWLRQV.

Compte-tenu de ce qui précède, il sera en général préférable de choisir des valeurs

suffisamment élevées pour la précontrainte (0.8 �� GDQV�OH�EXW�GH :

• réduire l’ouverture résiduelle des fissures à l’état permanent, afin d’assurer l’étanchéité et

la durabilité de l’ouvrage ;

• limiter voire annuler l’augmentation des flèches à long terme du pont, due aux actions

variables ;

• limiter à des valeurs économiquement acceptables les quantités d’armature passive à

disposer en plus de la précontrainte.

Sur ce dernier point, rappelons une fois encore l’un des résultats majeurs de cette étude : à

savoir que le choix d’une précontrainte élevée ( ��RX�FRQWUDLQWH�GH�FRPSUHVVLRQ�à l’état

permanent σSHUP

��à 3.0 MPa en valeur absolue) permet de réduire sensiblement les taux

d’armature minimale requis selon les normes actuelles, en particulier l’Eurocode 2. Les

exigences de ces dernières n’étant pleinement justifiées que dans le cas des structures en

béton armé ou faiblement précontraintes.

L’armature minimale nécessaire en fonction du facteur adopté pour la précontrainte pourra

être calculée précisément selon la procédure du § 4.5.3 et grâce aux abaques qui s’y trouvent.

Cette armature devra être répartie dans les sections en respectant les indications de la

figure 7.1 ainsi que celles beaucoup plus détaillées données au § 4.5.4.


Figure 7.1: Valeurs mimimales recommandées de l’armature passive () à disposer dans les dalles

d’un tablier de pont en béton précontraint. Les pourcentages minimaux = ( , /� dans

les différentes zones sont ceux indiqués dans le tableau 7.1 ou résultent de calculs plus

détaillés, selon le § 4.5. Pour les zones de dalle plus épaisses, l’armature sera maintenue

constante (voir figure 4.52). Pour la répartition longitudinale de l’armature, voir

figure 4.51.

Les résultats et les indications résumés ci-dessus ne s’appliquent en principe qu’aux ponts en

béton précontraint ayant fait l’objet des études présentées dans ce rapport. Rappelons qu’il

s’agit de ponts à section transversale en caisson ou à section ouverte, dont le système statique

est une poutre continue de hauteur constante et d’élancement //+ = 20, quel que soit le

nombre de travées supérieur ou égal à trois, et dont le système de précontrainte a un tracé

parabolique. Ces résultats ne peuvent donc pas être utilisés sans certaines modifications pour

d’autres types d’ouvrage et de précontrainte (par ex. ponts poussés ou ponts en

encorbellement).

Pour les cas plus généraux, ce rapport fournit toutefois également des indications pratiques,

en particulier des abaques, pour le dimensionnement ou la vérification détaillée, section par

section, de ponts en béton, à effectuer lors des études d’exécution. On y trouvera des abaques

pour le choix de la précontrainte (SHUP

) et de l’armature minimale (PLQ

) correspondant aux

niveaux requis de sollicitations variables () et de limitation des ouvertures résiduelles de

fissures (ZN�UHV

). Ces indications pratiques pour une vérification détaillée permettent de traiter

n’importe quel ouvrage en béton de même que les ouvrages en béton armé sans précontrainte

ainsi que la dalle de roulement des ponts mixtes.

FE

FE

F

FEE

3

1= 1.00 m

min = �� /� �0.4 %

min = �� /� �0.4 %

min �0.6 %min �0.6 %


Mandat OFROU 88/94 à l’EPFL-IBAP 5pIpUHQFHV�ELEOLRJUDSKLTXHV 163

5e)e5(1&(6�%,%/,2*5$3+,48(6

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Influence des actions variables sur l’ état permanent … OFROU... · II Influence des actions variables sur l’ état permanent des ponts en béton précontraint Nous remercions