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Exercices UV1-UV2 UV1 : Généralités et électrocinétique des régimes continus Exercices GENERALITES I - Dimensions 1) Les dimensions en électricité . a) Quelles sont les dimensions d'un champ électrique, d'une tension, d'une résistance ? b) La tension aux bornes d'un condensateur de capacité C lors de la décharge dans une résistance R est donnée par RC t 0 e U ) t ( u - = . Donner les dimensions de RC. c) Déterminer les dimensions de R L et LC . (L est le coefficient d'auto-induction d'une bobine) 2) Les dimensions dans d’autres domaines Mécanique classique : Quelles sont les dimensions d'une force, d'une pression, d'une énergie, d'une puissance ? La constante de gravitation G a-t-elle une dimension ? Mécanique des fluides : a) Coefficient de viscosité. Pour caractériser la nature de l'écoulement, visqueux ou turbulent, d'un fluide dans une canalisation on définit un nombre appelé nombre de Reynolds . η ρ = . . V . D D est le diamètre de la canalisation V la vitesse du fluide ρ la masse volumique du fluide nombre sans dimension Déduire de l'équation aux dimensions celle du coefficient de viscosité du fluide η . b) Analyse dimensionnelle. L'expérience a montré que la force subie par une sphère immergée dans un fluide en mouvement dépend : - du coefficient de viscosité η du fluide. - du rayon r de la sphère. - de leur vitesse relative v.

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Exercices UV1-UV2

UV1 : Généralités et électrocinétique des régimes continus

Exercices

GENERALITES I - Dimensions 1) Les dimensions en électricité.

a) Quelles sont les dimensions d'un champ électrique, d'une tension, d'une résistance ? b) La tension aux bornes d'un condensateur de capacité C lors de la décharge dans

une résistance R est donnée par RC

t

0eU)t(u−

= . Donner les dimensions de RC.

c) Déterminer les dimensions de R

Let LC . (L est le coefficient d'auto-induction d'une

bobine)

2) Les dimensions dans d’autres domaines

Mécanique classique : Quelles sont les dimensions d'une force, d'une pression, d'une énergie, d'une puissance ? La constante de gravitation G a-t-elle une dimension ? Mécanique des fluides : a) Coefficient de viscosité.

Pour caractériser la nature de l'écoulement, visqueux ou turbulent, d'un fluide dans une canalisation on définit un nombre appelé nombre de Reynolds ℜ.

ℜη

ρ= ..V.D

où D est le diamètre de la canalisation V la vitesse du fluide ρ la masse volumique du fluide

ℜ nombre sans dimension

Déduire de l'équation aux dimensions celle du coefficient de viscosité du fluide η .

b) Analyse dimensionnelle. L'expérience a montré que la force subie par une sphère immergée dans un fluide en mouvement dépend :

- du coefficient de viscosité η du fluide.

- du rayon r de la sphère. - de leur vitesse relative v.

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Exercices UV1-UV2

Trouver l'expression de cette force en la supposant de la forme zyx vrkF η= (k est un

coefficient numérique sans dimension).

II – Unités : Quelques unités pratiques de pression (non traité en TD).

a) L'unité pratique couramment utilisée par les techniciens du vide est le torr (abbréviation de TORRICELLI) ou mm de mercure. Combien un torr vaut-il de

pascal ? La masse volumique du mercure est 3m/t6,13=ρ ?

b) En météorologie les pressions sont exprimées en hPa. Combien la pression

atmosphérique normale (760 torr) vaut-elle d'hectopascal, de 2cm/kgf ?

c) Dans les revues anglaises les pressions sont couramment exprimées en psi ou en

2/inbsl . Il en est de même sur les pneumatiques des véhicules et des cycles.

1 psi = 2in/bsl = 1 pound-weight per square inch, 1 pound-weight = 0,453 kgf et

1 inch = m1054,2 2− .

Donner la valeur de la pression atmosphérique en psi. Réponses a) 1 torr = 133,3 Pa b) 1013,25 hPa ou 1,033 kgf/cm2 c)14,7 psi

III – Calculs de variations et d’incertitudes.

1) Calcul de variations : variation de puissance en régime sinusoïdal

La puissance dissipée par effet Joule dans un dipôle linéaire est donné par la fameuse

relation P= )cos(21 ϕUI , dans laquelle U et I sont les amplitudes de la tension et de

l’intensité aux bornes de ce dipôle, et ϕ le déphasage entre eux.

a) quelle est la puissance dissipée pour un dipôle avec U=2V, I= 100mA et ϕ=45° ?

b) Ce même dipôle subit une variation sur U de +20mV et sur I de –5 mA, le déphasage restant constant. Utiliser le calcul différentiel pour trouver la variation de puissance consommée.

c) On cherche à compenser cette variation de puissance par un ajustement du déphasage ϕ. Trouver par un calcul différentiel la variation de ϕ qui annule la

variation de puissance constatée en b).

James Joule (1818-1889), physicien anglais,est célèbre pour ses travaux en

thermodynamique et en électricité. Cette celèbre loi a été une étape pour la

vérification expérimentale de la conservation de l’énergie.

2) Calcul d’incertitudes : résistance équivalente

Deux dipôles résistifs de résistances R1 et R2 et d’incertitudes relatives respectives p1 et p2 sont montés en dérivation ; On appelle p l’incertitude relative de la résistance équivalente obtenue.

a) Montrez que p s’exprime uniquement en fonction de

2

1

R

Rx = , p1 et p2.

b) Exploiter ce résultat pour répondre à la question suivante : je possède deux résistances ayant une tolérance (incertitude relative) identique. Si je les monte en parallèle, la tolérance de la résistance équivalente sera-t-elle la même ?

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Exercices UV1-UV2

ELECTROCINETIQUE I - Conduction

1. A travers une section droite S d'un fil conducteur en cuivre sont passés N électrons en un intervalle de temps ∆t. Le sens de comptage de l’intensité est opposé au sens de

déplacement des électrons.

a) Calculer la charge électrique ∆q transportée par ces électrons puis l'intensité I du

courant électrique supposé constant traversant le fil.

b) En supposant que chaque atome de cuivre libère un électron libre, calculer la vitesse Ve de déplacement d'ensemble des électrons dans le conducteur en fonction des données. On connaît la masse molaire du cuivre MCu et sa masse volumique ρCu

c) A.N. pour N=7,3.1020 ∆t=15,0 s S = 3 mm2 MCu = 63,5 g.mol-1 ρCu = 8900 Kg.m-3

NA = 6,02.1023 mol-1 e = 1,60.10-19 C , calculer l’intensité I, la norme du vecteur densité de courant j puis Ve.

2. Semi-conducteur intrinsèque

Dans un matériau semi-conducteur, le transport de l'électricité est assuré par deux types de porteurs de charge : les électrons portant la charge -e = -1,6.10-19 C et les "trous" portant la charge +e. Dans un semi-conducteur intrinsèque le nombre d'électrons par unité de volume est égal au nombre de trous par unité de volume. Soit n cette grandeur. Sous l'action d'un champ électrique les deux types de porteurs vont se déplacer en sens inverse.

Soient NJ→

et PJ→

les densités de courant

dues respectivement aux charges négatives et positives. La vitesse d'un porteur de charge soumis

à un champ électrique→E est

proportionnelle à E , le coefficient µ de proportionnalité étant appelé mobilité du porteur.

Les mobilités des électrons Nµ et des trous Pµ sont différentes.

a) Etablir la relation liant la conductivité σ au nombre de porteurs, à leur charge et à

leur mobilité.

b) Application : Dans le silicium intrinsèque le nombre de paires électron-trou par unité de volume est n=1,5.1010 cm-3 et les mobilités des porteurs sont µN=1350 cm2 V-1 s-1 et

µP=480 cm2 V-1 s-1

II – Associations de dipôles résistifs

1. Trois résistances égales R sont connectées comme l'indique la figure. Quelle est la résistance mesurée entre A et B ?

+

-

-

- +

+

E

A B C

DA

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Exercices UV1-UV2

2. Déterminer dans chaque cas la valeur de la résistance équivalente entre les points A et B

Georg Ohm (1789-1854), scientifique allemand, se passionne pour les mathématiques

et l’électromagnétisme, au point d’abandonner son projet de fonder une famille. La

loi fondamentale qu’il établit à Berlin ne lui a même pas permis d’obtenir un poste

d’enseignant titulaire !

III – Diviseur de tension, diviseur de courant

Déterminer les grandeurs recherchées en fonction des données du problème.

2R 0,5 R

2R 2R

0,5 R R

R

2R

R

A

B

A

B

C

D

E

F

G

H

12R

R

12R

R

4R 4R

6R 6R

R

A B

R1

R3 R4

R2

Entraînement : dans le circuit ci-dessus, déterminez également la résistance équivalente vue entre C et D, entre E et F (on suppose A et B déconnectés).

A

B

R

R0

R

α∈[-Π,Π], ci-dessus α<0

α

Vcc

VS ?

R1

R2

Vcc

VS ?

R

R

R

R

Vcc

VS ?

R

R

10R

10R

R1

R2

R3

I1 ?

I2 ?

I3 ?

I

Exprimer les intensités en fonction de I et des Gi = 1/Ri.

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Exercices UV1-UV2

IV – Circuit à une maille

a) Dans le circuit A,

déterminer l’expression de I en fonction des données.

b) Dans le circuit B, c’est

UAB que l’on recherche.

V – Etude d’un réseau par plusieurs méthodes.

On considère le réseau linéaire représenté ci-dessous, comprenant 2 générateurs idéaux et 4 dipôles résistifs.

a) Déterminer littéralement l’intensité I circulant dans la résistance R par les méthodes

suivantes :

• Les lois de Kirchhoff • Le théorème de superposition Vérifiez bien que le nombre d’inconnues est égal aux équations que vous avez écrites !

b) On constate qu’une variation de la valeur de R1 ne provoque aucune modification de l’intensité I. En déduire la relation vérifiée par E, R1 et I0 pour qu’il en soit ainsi.

Gustav Kirchhoff (1824-1887), physicien allemand, a apporté sa plus grande

contribution en spectroscopie et non sur les célèbres lois qu’il établit pendant ses

études à l’université de Königsberg.

VI – Réseau atténuateur

a) Calculer le rapport d’atténuation 1V

Vs=α en

fonction des données. b) Quelle relation doivent vérifier les dipôles pour que

la résistance d’entrée (vue entre A et B) soit égale à R ? Cette relation est supposée satisfaite pour la suite.

c) AN : On choisit le rapport 1V

Vs=α à 0,50 ainsi que R à 100 Ω. Donner les valeurs de Re

et Rh.

2R1

2R1

R A B

E I0

I

R1

E1

E2

R1

R3

R2

I

Circuit A

E1

E2

R

3R

R

Circuit B A B

Rh

VS V1 Re R

A

B

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Exercices UV1-UV2

On met bout à bout N cellules précédentes ce qui constitue le réseau atténuateur. Un générateur, idéal ou non, est sensé être connecté sur les bornes libres du réseau et impose donc la tension VN. Les tensions disponibles sont alors VN, VN-1 … V1 et VS.

d) Déterminer l’expression de NV

Vsen fonction de α et N.

e) Pour un générateur de tension ayant une fém E et une résistance interne RG, dans quelle mesure sa tension à vide diffère-t-elle de celle à ses bornes (VN) après connexion au réseau ?

f) Pour un générateur de tension ayant une fém E et une résistance interne RG, sa tension après connexion au réseau dépend-t-elle du nombre N de cellules ?

g) Donner les valeurs numériques de tous les éléments pour que le cahier des charges suivant soit respecté :

- les tensions disponibles doivent être de 8,00 4,00 2,00 1,00 Volts (à 1% près) - le générateur a une fém E et une résistance interne RG = 50Ω.

- ce dernier ne doit pas débiter plus de 1 mA - le réseau doit être composé d’un nombre minimal de dipôles.

A déterminer : fém E du générateur ; N, nombre de cellules ; α, R, Rh et Re.

VII – « double triangle »

Soit le réseau ABCD. Calculer la résistance équivalente R entre A et B.

Entraînement : quelle serait la résistance équivalente entre C et D, en supposant les nœuds A et B déconnectés d’un circuit externe ?

Arthur Kennelly (1861-1939), ingénieur électricien américain, a notamment proposé

l’utilisation des nombres complexes dans la théorie des régimes sinusoïdaux. Il a

également envisagé l’existence d’une couche atmosphérique ionisée qui expliquerait

les reflexions des ondes radio.

Rh

VN Re

Rh

V2 Re

Rh

VS V1 Re R

A B

a b

b a

c

C

D

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Exercices UV1-UV2

VIII - Puissance

1) Adaptation d’impédance (en puissance)

Un générateur de f.e.m E, de résistance interne r alimente une résistance R. Comment varie la puissance dissipée dans R en fonction de R (E et r sont fixés, et R est un paramètre que peut choisir l’utilisateur) ? Commenter.

2) Transport de l’électricité

Un générateur débite un courant d'intensité I dans un récepteur travaillant sous une tension V' à travers une "ligne" constituée par deux fils de résistance totale r. On définit le rendement η de la ligne par le rapport de la puissance P' disponible aux

bornes du récepteur à la puissance P fournie par le générateur. On désigne par V la ddp aux bornes du générateur. Evaluer η en fonction de r, P et V.

Discuter. IX - Etude des réseaux

1) Exercice Déterminer pour chaque circuit le générateur de Thévenin et de Norton équivalents entre les bornes A et B en fonction des données du circuit :

2) On considère le réseau de conducteurs ci-dessous. Calculer le courant I dans la résistance R située entre A et B en appliquant successivement :

a) La méthode des circuits équivalents.

Elle consiste à simplifier progressivement le réseau en utilisant les transformations générateur de tension → générateur de courant, résistance équivalente à des

associations de résistances, générateur de courant équivalent à des associations de générateurs… jusqu'à l'obtention d'une seule maille dans laquelle le calcul de I est immédiat.

b) Le théorème de Norton.

A

B

RG R

E R

B

I0

A

E

R

R

E

I0 R

R

A

B

Circuit 1 Circuit 3 Circuit 2

E

I0

A

B

2R

R R

R

R

I

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Exercices UV1-UV2

c) Le théorème de Thévenin.

3) Reprendre l’étude faite à l’exercice IV en utilisant :

- Le théorème de Thévenin - Le théorème de Norton - Le théorème de Millman

Léon Thévenin (1857-1926), ingénieur polytechnicien en télégraphie, établit un moyen

de simplifier les réseaux complexes dans le cadre du développement des transmissions

télégraphiques à longue distance.

Edward Norton(1898-1983), ingénieur américain, a écrit 3 publications officielles dont

aucune ne mentionne le circuit équivalent qui lui est associé. L’équivalence de Norton

figure dans un mémoire technique de la société AT&T dans laquelle il était employé.

Jacob Millman (1911-1991), ingénieur américain spécialisé en RADAR puis professeur à

l’université de Columbia, est reconnu pour la publication de plusieurs ouvrages de

référence en électronique et en informatique.

X – Problème : régulateur à diode Zéner.

On considère le montage suivant, mettant en œuvre une diode Zéner 1N5521A de tension zéner UZ de 4,3 Volts et dont les caractéristiques sont jointes ci-après sur sa fiche de données « data sheet ». Le générateur de tension est supposé idéal et de fém E>Uz. La résistance de charge Rc peut prendre n’importe quelle valeur.

Valeurs numériques (en valeur absolue) : E=8,6 V R=1kΩ RZ = à déterminer Uz = 4,3 V.

1) Remplacer la partie linéaire du réseau comprenant E, R et RC par son générateur équivalent de Thévenin.

2) A quelle condition sur RC a) la diode est-elle bloquée (bloquée ⇔ I=0)?

b) la diode est en mode « Zéner » (c’est-à-dire UAB > Uz) ? A.N. 3) On suppose la diode en mode Zéner.

a) D’après les données du constructeur, donner une évaluation de la valeur de Rz.

b) Remplacer la diode par un dipôle linéaire équivalent. c) On suppose que la f.é.m du générateur varie légèrement d’une quantité dE.

Evaluer dE

dUs en tenant compte du fait que R et RC sont grandes devant RZ.

d) Justifier alors la dénomination de « régulateur » de tension.

R

Zéner E Rc US

A

B

I

U UZ

Pente ≈zR

1

I U

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Exercices UV1-UV2

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Exercices UV1-UV2

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Exercices UV1-UV2

XI – Problème : modèle dynamique de montage amplificateur à transistor.

Dans ce problème une modélisation d’un montage à transitor bipolaire est proposée : aucune connaissance particulière de ce composant n’est requise.

1) Remplacer la partie « générateur » comprenant e, Rg et Rp par son générateur équivalent de Thévenin.

2) Donner les dimensions de hie, hfe et hoe ( ce sont les paramètres hybrides du transistor qui sont référencés dans les fiches de données constructeur)

3) Déterminez la fém du générateur de Thévenin équivalent du montage global déterminé par les bornes A et B, en fonction de hie, hoe, e et Re avec Re = (Rg//Rp )+ hie et l’hypothèse Rg<<Rp.

4) Comment définiriez-vous le gain en tension AV de ce montage ? Faire l’AN avec les valeurs typiques du constructeur pour les hxx et en prenant Rp= 10kΩ, Rg = 50Ω.

B

e

Rg

Rp hie

hfe.iB

oeh

1

A iB

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Exercices UV1-UV2

UV2 : électrocinétique des régimes variables

Régimes transitoires

I - Charge et décharge de condensateurs.

1) Charge du condensateur. On considère un condensateur C. On le charge sous une ddp V. On donne C = 100 µ F, V = 1000 Volts.

a) Quelle est la charge de ce condensateur ? b) Quelle est l'énergie W emmagasinée dans ce condensateur ?

A.N.

2. On débranche le générateur. Un deuxième condensateur identique est alors relié au premier (le générateur ayant été préalablement débranché) par l'intermédiaire d'une résistance r. a) lorsque les deux condensateurs ont atteint leur état d'équilibre,

quelle est la charge de chacun d'eux ? b) Quelle est la d.d.p aux bornes de chaque condensateur ? c) Quelle est l'énergie totale W' emmagasinée dans les

condensateurs ?

3. Etude du phénomène transitoire.

a) Etablir l'équation différentielle permettant de calculer à chaque

instant la charge qB .

b) Résoudre cette équation et en déduire à chaque instant la valeur

du courant i dans la résistance (Cond. initiales : t = 0 qB = 0).

c) Faire un calcul direct de l'énergie totale W" dissipée dans la résistance r. Comparer avec les résultats de la 1ère question.

Michael Faraday (1781-1867), scientifique anglais, a notamment découvert

l’induction électromagnétique et a posé les fondements de l’électrochimie.

C’est plutôt bien pour un fils de famille modeste qui a arrêté ses études très tôt (il

fut apprenti à l’âge de 14 ans) ! Son attirance pour les ouvrages scientifiques a

permis à cet autodidacte la carrière qu’on lui connaît.

II – Mesure d’une résistance élevée. Résistance de fuite.

Pour mesurer une résistance R élevée, de plusieurs mégohms, on réalise le montage électrique ci-dessous : Le voltmètre utilisé a une résistance infinie.

• On abaisse l'interrupteur double dans la position 0 → 1 ; lorsque le

condensateur C = 10 µF est chargé, le voltmètre électronique V indique la tension

Uo = 6,00 V.

• On ouvre l'interrupteur : au bout du temps t1= 20 s, le voltmètre V indique la tension

U1 = 5,10 V.

0

2 1

R U0

+

C V

C V

C C

r

C C

r

i A B

qA qB

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Exercices UV1-UV2

• On charge de nouveau le condensateur sous la tension U0 (interrupteur dans la

position 0 → 1) puis on abaisse brusquement l'interrupteur dans la position 0 → 2 ; au

bout du temps t t2 1= = 20 s, le voltmètre indique la tension U2 = 4,60 V.

1) Modéliser le condensateur C imparfait comme une association d’un condensateur

parfait de même capacité et d’une résistance de fuite Rf. En déduire les valeurs de

cette résistance de fuite Rf du condensateur ainsi que de la résistance R.

2) Dans la dernière expérience, déterminer à quels instants : • le condensateur est-il déchargé de la moitié de son énergie totale ? • la tension à ses bornes est-elle la moitié de la tension initiale ?

III – Réseau à deux mailles

Dans chacun des réseaux à deux mailles représentés ci-dessous, le condensateur est déchargé à l'instant t = 0 où on ferme l'interrupteur K. La résistance du générateur de tension est négligeable.

A. Montage 1. On suppose R > r. Déterminer :

1) Les courants i1(t) et i2(t) dans la bobine et dans R.

2) l'instant to où le courant i(t) débité par le générateur de tension est maximum.

Tracer le graphe i(t).

3) Calculer to et i max si L = 10 mH, C = 5 µF, r = 100 Ω, R = 200 Ω et E = 2 V.

B. Montage 2. Déterminer :

1) l'équation différentielle en )t(i2 ,

2) la loi d'évolution du courant )t(i2 dans la résistance R, pour les valeurs

L = 1 H, C = 10 µF, r = 100 Ω , R = 1000 Ω , et E = 200V. 3) le courant minimal min2)i( et la tension maximale maxU aux bornes

du condensateur.

Régime sinusoïdal forcé I - Modèles équivalents

1) Le schéma réel d'une capacité imparfaite est représenté sur la fig. a. Il peut être

commode de remplacer ces deux éléments R et C en parallèle RC

>>

1

ωpar

deux éléments R' et C' en série (fig. b) tels que l'impédance entre les points A et B soit la même dans les deux schémas.

i2

i1

i

r

R

L

C

K

E

+

1 2 i2

i1 r

R

L

C

i

K

E

+

R

A B C

a b

C’ R’

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Exercices UV1-UV2

Calculer R' et C' en fonction de R, C, et ω . Montrer que puisque ω

>>C

1R , C' = C.

2) De même, le schéma réel d'une self imparfaite est représenté sur la fig. a. (R<<L ω ).

Il peut être commode de le remplacer par le schéma de la fig. b. Calculer L' et R' en fonction de L, R et ω pour que l'impédance entre A et B soit la même dans les

deux schémas ? II - Modèle du Quartz

1) Donner l'impédance complexe Z du circuit représenté sur la figure (entre les points A et B).

2) Etudier les variations de l'impédance en

fonction de la pulsation ω . Pour alléger

l’écriture des expressions, on pourra se servir

de LC

10

=ω ainsi que '

111 LCLC

+=ω et si

possible les variables sans dimension 0ω

ωet

1ωω

3) Ce circuit est alimenté par une tension sinusoïdale v V t= 0 cosω . Calculer les

amplitudes complexes des trois courants : I I I, ' , " . Donner pour chaque courant

l'amplitude et la phase dans chaque gamme de pulsation. Comparer les amplitudes de i' et i".

III - Etude de circuit

Le circuit représenté sur la figure ci-dessous est alimenté par un GBF avec v(t)=Ecos(ωt).

1) On se place dans le cas l’impédance du

condensateur vérifie la relation RC

=ω1

. Déterminer

explicitement i(t) en fonction de E, R et ω.

2) Déterminez la puissance moyenne fournie par le générateur au circuit.

3) Déterminer, toujours avec la condition RC1=ω ,

l’expression de la tension u(t) aux bornes de la résistance R.

4) Donner l’expression de la puissance moyenne consommée par R. Comparer au 2).

R L

A B

a

L’

R’

A B

b

A

B

C

L

C’

i

i’’ i’

v(t)=Ecos(ωt)

C C

R

i(t)

u(t)

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Exercices UV1-UV2

Entraînement : on pourra refaire cet exercice en remplaçant le condensateur de droite par une inductance pure dont l’impédance vérifie la relation Lω = R.

IV - Compensateur

Soit le circuit suivant :

On admet (la démonstation est possible, si on a le temps !) que l’impédance

complexe ZAB est réelle et vaut R quel que soit ω si la relation C

LR = est vérifiée,

ce que l’on supposera pour la suite.

1) On soumet cette portion de circuit AB à une tension sinusoïdale v V tm= cosω .

Calculer modules et arguments ( Φ ) des courants I I IL C, , .

2) Calculer le produit LtgΦ . CtgΦ , en déduire le déphasage entre les courants

i et iL C .

Quelle relation doit lier R à la pulsation ω pour que les courants i et iC L soient

déphasés de ± π4

par rapport à la tension v ?

Un compensateur de Pedersen est en fait constitué par deux résistances égales R intercalées entre deux inductances et deux capacités 2 C, comme l'indique la figure,

telles que RL

C= .

De plus, la fréquence de la tension sinusoïdale alimentant le circuit est telle que

i et iC L soient déphasés respectivement de ± π4

par rapport à v.

3) Construction de Fresnel :

Représenter les courants I et Ic L et la tension V sur une construction de Fresnel.

En déduire la représentation des tensions aux bornes des bobines, des résistances et des condensateurs. Un curseur se déplace sur chacune des résistances R. Quelle

doit être la position de chacun d'eux pour que )2

tcos(4

Vvv m π+ω=− βα ?

A B

R

R

L

C

i

iL

iC

A B i

iL

iC

R

R L/2 L/2

2C 2C

α

β

M

M' N'

N

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Exercices UV1-UV2

V – Puissance en régime forcé

1) Amélioration du cos φ d'une installation.

Un récepteur placé entre A et B est alimenté par une tension efficace V imposée (voir figure suivante).

Le récepteur est caractérisé par une impédance Z et un facteur de puissance cos

Φ . Pour améliorer le facteur de puissance de cette installation on place en dérivation entre A et B un condensateur de capacité C. Quelle valeur faut-il donner à C pour obtenir la meilleure utilisation pour le réseau EDF ?

2) Adaptation de l'impédance d'utilisation.

Soit un générateur de f.é.m e = E tm cosω et d'impédance interne Z R jS' ' '= + Ce

générateur débite dans un tronçon extérieur caractérisé par une impédance

Z R jS= + (voir figure).

Comment choisir R et S pour que la puissance active dépensée dans l'impédance

Z soit maximale ? (On dit alors que l'on a adapté l'impédance d'utilisation à celle du générateur).

3) Adaptateur d'impédance.

Un générateur de f.é.m e Em= cos ωt a une impédance interne qui se réduit à

une résistance R'. Il alimente une impédance d'utilisation Z = R + jS imposée. Pour obtenir le maximum de puissance dans l'impédance équivalente entre A' et B' on intercale entre le générateur et l'appareil d'utilisation un "adaptateur" composé de

deux impédances Z1 et Z2 montées selon le schéma de la figure ci-dessous. Les

résistances de Z1 et Z2 sont négligeables ; on désigne par S et S1 2 leurs

réactances respectives.

B

Z

A

V

i Z’

Z

générateur utilisation

Z1

R’ Z2 Z

A’

B’

A

B

générateur Impédance

d’utilisation

Page 17: INSA Toulouse 1A Electrocinétique 1 2008/2009 Régimes Continus

Exercices UV1-UV2

Trouver les valeurs optimales de S et S1 2 .

(On posera x = S2 et y = S S S2 1+ + ).

Application numérique : R' = 10 Ω ; l'impédance d'utilisation est caractérisée par

une résistance R = 1 Ω et une inductance de 0,1 H ; fréquence f = 50 Hz. Problème : étude d’un réseau échelle (non traité en TD)

On considère le réseau "‚échelle" à courant alternatif de la fig. 1, supposé‚ infiniment

long : Z1 et Z2 représentent les impédances complexes des portions de circuit

schématisées par les rectangles correspondants.

Fig. 1.

1.

a) Montrer que l'impédance Z ZAB = 0 équivalente à ce réseau entre les points A et

B vaut

2/1

21

21 ZZ

4

Z

+ .

Conseil : puisque le réseau est par hypothèse de longueur infinie, on ne change

pas son impédance "caractéristique" Z0 en branchant une "cellule" de plus à

gauche des points A et B (représentée en pointillés sur la fig. 2).

Fig. 2.

b) Z1 est l'impédance d'une bobine de résistance nulle et de coefficient de self-

induction L ; Z2 est l'impédance d'un condensateur sans pertes de capacité C.

Calculer Z0 en fonction de L, de C, et de la pulsation ω de la différence de

potentiel sinusoïdale qu'on impose entre les points A et B.

c) Pour quelle pulsation ω0 le comportement du réseau entre A et B passe-t-il

brusquement de celui d'une résistance pure à celui d'une réactance pure ?

Calculer la puissance électrique moyenne P absorbée par le réseau en fonction

A A

B B

Z1

Z2 Z2 Z2

Z1 Z1 Z1

Z2

Z1/2

Z0

Z0

Z1/2 Z1/2

Z2

A

B

A’

B’

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Exercices UV1-UV2

de Z0 et de la valeur maximum I 0 de l'intensité du courant en A, pour ω ω< 0 ;

pour ω ω> 0 .

2. On "isole" par la pensée l'élément de réseau représenté sur la fig. 3, et l'on appelle

V et Vn n+1 respectivement les amplitudes complexes de la tension entre les

points ( )A Bn n, et ( )A Bn n+ +1 1, .

Fig. 3.

a) Montrer que le rapport n

1n

V

V +=α est égal à

10

10

Z2

1Z

Z2

1Z

+

−, sachant qu'à droite de 1nA +

et 1nB + le réseau reste de longueur infinie.

Pour cela on calculera Vn en fonction de Z1, Z0, I n .

b) Exprimer ce rapport en fonction de L, C, et ω lorsque les conditions sont celles

de la question 1.b) pour ω ω< 0 ; pour ω ω> 0 .

c) Calculer alors le module α de α en fonction de Ω = ω ω/ 0 , où ω0 est la

pulsation particulière définie au 1.c). Tracer l'allure du graphique représentatif

correspondant pour 0 2< <Ω (on calculera les valeurs numériques de α pour

Ω Ω= =1 25 2, et .)

3. Avec des bobines de coefficient de self-induction L = 10 millihenrys et des

condensateurs de capacité‚ C, on veut réaliser, suivant le schéma de la fig. 1 (question 1.b), un "filtre passe-bas" destiné à transmettre toutes les tensions sinusoïdales de fréquence ν < 1600 Hz.

a) Calculer en microfarads la capacité des condensateurs C à utiliser.

b) Sachant qu'il existe entre les points A et B1 1 (fig. 2) une différence de potentiel

de valeur efficace 1 volt et de fréquence 1000 Hz, calculer la valeur efficace de

la d.d.p. entre A et B4 4 (fig. 1).

c) Même question que ci-dessus, mais pour une fréquence de 2000 Hz.

d) En conclusion de cette étude, justifier l'appellation de filtre passe-bas.

Z2

Bn

Z1

Bn+1

An An+1

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Exercices UV1-UV2

Annexe : Formulaire de mathématiques pour l’électrocinétique I – Déterminants

bcaddc

ba−= (produit « en croix »)

ihg

fed

cba

= aei + bfg + cdh – ceg – bdi – fha

ihg

fed

cba

Cette méthode de calcul (règle de Sarrus) ne s’applique qu’aux déterminants 3x3. II – Equations différentielles linéaires à second membres constants.

1er ordre : C)t(Au)t(u =+& avec A et C constantes.

Equation sans second membre 0)()( =+ tAutu&

Equation caractéristique (EC) associée r + A = 0 d’où r=-A et u(t)=αexp(-At)

Solution particulière (SP) u(t)=constante=A

C

La solution générale est u(t)=αexp(-At) + A

C avec α constante à déterminer en fonction

d’une condition initiale (généralement une valeur connue u(t=0+)).

2ème ordre : C)t(Bu)t(uA)t(u =++ &&&

Equation sans second membre 0)t(Bu)t(uA)t(u =++ &&&

Equation caractéristique EC : r2 + Ar + B = 0 3 cas :

* 2 racines réélles, r1 et r2 , u(t)=αexp(r1t) + βexp(r2t)

* racine double r12, u(t)=(α +βt)exp(r12 t)

* 2 racines complexes conjuguées r1,2 = a ± jb,

u(t)= exp(at) (αcos(bt)+ βsin(bt)) OU(au choix)

u(t)= α exp(at) cos(bt+ϕ)

Solution particulière (SP) u(t)=constante=B

C

Solution générale : u(t)= αexp(r1t) + βexp(r2t)+ B

C (1er cas)

u(t)=(α +βt)exp(r12 t)+ B

C(2ème cas)

u(t)= α exp(at) cos(bt+ϕ)+B

C(3ème cas)

ou u(t)= exp(at) (αcos(bt)+ βsin(bt))+ B

C (3ème cas)

Le couple de constantes (α,β) ou (α,ϕ) reste alors à déterminer en fonction de 2

conditions initiales qui seront en général des valeurs connues de u(t=0+) et )0t(u +=&

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Exercices UV1-UV2

III – Nombres complexes. Règles de calcul :

21 ZZZ += alors attention : 21 ZZZ +≠ et Arg Z ≠Arg 1Z +Arg 2Z

21 Z.ZZ = , 21 Z.ZZ = et Arg Z = Arg 1Z +Arg 2Z

21 Z/ZZ = , 21 Z/ZZ = et Arg Z = Arg 1Z -Arg 2Z

jbaZ += : Arg Z = Arctg(b/a) si a>0, π-Arctg(-b/a) si a<0 (faire une figure)

ϕ= jeZZ : Arg Z =ϕ

Remarque : Argument d’un réel positif =0, d’un réel négatif = π.

Pour s’entraîner… 1) Equation différentielle du premier ordre

Soit l’équation différentielle RC

E2)t(u

RC

3)t(u =+& . Déterminer littéralement u(t) sachant que

u(t=0+)=E (R , E et C sont des constantes positives). 2) Equation différentielle du second ordre Résoudre numériquement l’équation différentielle

553 10)t(u10)t(u10)t(u =++ &&& (V.s-2)

avec les conditions initiales u(t=0+)=0 V et )0t(u +=& =106 V.s-1

3) Nombres complexes

Soient jx1Z1 += , )x

1x(jQ1Z2 −+= ,

Q

xjx1Z 2

3 +−= .

Déterminer le module et l’argument de ces trois nombres complexes (x est un réel positif et Q une constante positive).