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inSTrumenTATiOn Du

cALcuL fOrmeL eT

geOmeTrie DynAmiQue

Du jeu de cadres au jeu de paradigmes

Illustration pratique avec les tangentes

communes à deux paraboles

yves Martinirem de la réunion

reperes - irem. N° 101 - octobre 2015

dans un second temps, nous proposerons uneanalyse de la richesse du milieu numériquedans lequel les futurs enseignants évoluent, enmettant en évidence les ruptures et superposi-tions de paradigmes antagonistes qui sont en jeudans ces activités numériques.

Par engagement direct on entend toutd’abord ce que Jocelyne nanard définissaitdans sa thèse d’état de 1990, à savoir uneconformité d’usage de la manipulation directevis à vis des objets implémentés, d’une maniè-re générale une interface suffisamment trans-parente pour que l’utilisateur ressente l’impres-sion d’agir librement sur les représentationsdes objets. En Géométrie dynamique, JeanMarie laborde, auteur de cabri-géométre, a éten-du le concept d’engagement direct à la prise encompte de retours cognitifs du logiciel : le logi-ciel réagit en comprenant ce que l’utilisateur veutfaire. typiquement créer un point à l’intersec-tion de deux objets en pointant cette intersec-tion est un comportement d’engagement direct

1. — Le contexte

dans le cadre de la préparation à l’oral ducaPEs de mathématiques, une UE « logi-ciels de calculs scientifiques » du master MEEFde l’EsPE de la réunion permet de faire un(rapide) tour d’horizon des logiciels dispo-nibles aux épreuves orales. si on y travaille dessituations de collège et lycée utilisables pour lesleçons d’oral, pour l’évaluation, on se permetd’aller un peu plus loin, autour de projets, afinde susciter une réflexion sur l’usage de ceslogiciels, en particulier, pour ce qui va nous inté-resser ici, sur nos interprétations des réponsesdu calcul formel dans le cadre de construc-tions en géométrie dynamique.

avec l’exemple d’un de ces projets, dansun premier temps, nous allons voir en quoil’usage du calcul formel est un moyen de pro-duire un changement de cadre de l’engage-ment direct en géométrie dynamique, rendantcelui-ci différent, souvent plus important ou plusoriginal que celui réalisé par nos procédures stan-dards rapides.

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iNsTrumeNTATiON Du cALcuL

fOrmeL eT geOmeTrie DyNAmiQue

présent dans tous les logiciels, la création à lavolée d’un point d’intersection, à l’intérieurd’une création d’objet (cercle, médiatrice) estune autre qualité d’engagement direct, présen-te seulement dans certains logiciels.

Considération technique

les constructions géométriques sont faitesdans l’un des deux logiciels actuellement pro-posés au caPEs : GeoGebra et carMetal.toutefois, pour illustrer cet article, on a choi-si d’utiliser des figures directement lisibles enligne, y compris sur tablette - donc hors contex-te Java - avec des liens pour manipuler pendantla lecture. Elles sont réalisées avec dGPad.cette démarche de lecture et manipulation pos-sibles simultanément participe de cette super-position des paradigmes dont nous allons par-ler plus loin.

2. — Un exemple introductif

Prenons le cas élémentaire de la courbereprésentative d’une fonction du second degré.on utilisera le terme générique de paraboledans la suite pour en parler, avec implicite-ment en mémoire que l’on ne parle pas d’uneparabole affine quelconque mais d’une para-bole dont l’axe (contexte euclidien) a unedirection donnée, fixe, parallèle à l’axe desordonnées dans un repère.

Un exemple de ce qu’on a appelé plushaut « procédures standards rapides » consis-te à se donner trois curseurs a, b et c, ci-contresous GeoGebra, et de construire simplement lareprésentation de f(x)=ax2+bx+c. dans uncontexte scolaire, c’est particulièrement pertinentpour les raisons que l’on sait : le signe de a,l’ordonnée à l’origine c , mais aussi le fait quela parabole « glisse » le long de l’ordonnée àl’origine en étant égale à elle-même (ce qui n’est

pas au programme bien entendu) quand onfait varier b.

Une variante à cette construction consisteà se donner trois points du plan A, B, C et àconstruire la parabole passant par A, B, et C. Pour cela il suffit de résoudre le système linéai-re d’inconnues a, b et c :

c’est immédiat avec un logiciel de calculformel (ici wxMaxima, mais on aurait pu prendrela ti n’spire, xcas ou même, désormais xcasintégré à GGB 5) : voir le résultat en haut dela page suivante…

•2ax1A 2 2 1 bx1A 2 1 c 5 y1A 22ax1B 2 2 1 bx1B 2 1 c 5 y1B 22ax1C 2 2 1 bx1C 2 1 c 5 y1C 2

Fig. 1


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2. 1. Exemple d’utilisation didactique de l’engagement direct sur les paraboles

on obtient les expressions de a, b et c enfonction de a, B et c, que l’on reporte simplementpar copier-coller dans le logiciel de géométriedynamique. on notera que le logiciel de cal-cul formel sait utiliser les coordonnées despoints, dans leurs écritures standard comme para-mètre. les curseurs privilégient une centra-tion sur la fonction, la donnée initiale despoints privilégie davantage la courbe repré-sentative : on agit directement sur la parabo-le, la fonction étant ensuite calculée.

Par ailleurs, on peut voir avec cet exemplede parabole définie par trois points, des qua-lités d’engagement direct différentes des logi-ciels. ainsi dans dGPad, qui illustre largementcet article, une parabole définie par 3 pointspeut être déplacée à la souris, c’est mêmepour cela qu’on a parlé de changement decadre de l’engagement direct, car cela donneà l’utilisateur une plus grande accessibilitéconceptuelle à la parabole : il peut la dépla-cer, globalement, ce qui n’est pas possibleavec une approche par curseurs (voir Fig. 3 enhaut de la page suivante).

au sens de nanard, l’interface de dGPadest devenue transparente, plus que celle deGeoGebra où on ne peut pas déplacer en trans-lation une parabole construite par trois points.

Parfois les étudiants reprochent à cetteconstruction de « faire varier les trois para-mètres en même temps », mais justement, ce chan-gement de cadre de l’engagement direct doit êtreaccompagné d’un renouvellement des problé-matiques quant à l’utilisation d’une telle figu-re en classe. Par exemple, avec une telle figu-re proposée en classe, on peut demander aux élèvesd’explorer cette question : « a et B étant don-nés, où doit-on placer le point C pour que le para-mètre a soit positif ? ». Belle question pour uneexploration dynamique. Voyons cela.

après quelques essais, les élèves finissentpar tracer la droite (AB) - on voit bien que lecoefficient a est nul si et seulement si A, B et

Fig. 2. Manipulation en ligne de la figure :http://huit.re/rpirEM01


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C sont alignés, car il n’y a plus de parabole, c’estdonc une position frontière. Puis ils trouvent,empiriquement, que C doit être au dessus de ladroite (AB) en dehors du segment [AB] et endessus sinon (Fig. 4 ci-desous).

selon la classe, et l’exigence mathématiquedu programme, on peut se satisfaire de cetteexploration, et de son résultat heuristique. Maissi c’est possible — et en tout cas en formation ini-tiale sur les outils numériques du lycée — onpeut envisager d’aller un plus loin dans l’explo-ration mathématique, en proposant une activité

autour d’une preuve de ce résultat. En formationinitiale des enseignants ce n’est qu’une suite natu-relle de l’activité qui ne pose aucune difficulté.

2. 2. Aspect algébrique formel du résultat obtenu

Pour cela, factorisons le numérateur et ledénominateur du paramètre a. le dénominateurse factorise simplement par

d(a) = (xA – xB)(xC – xA)(xC – xB),

en simplifiant les notations, ce qui donne le

Fig. 3. Engagement direct sur les paraboles : un déplacement de la parabole en translation modifie les paramètres b et c mais pas le paramètre a.

Fig. 4.


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signe de d(a) selon la position de C par rapportà A et B. le numérateur s’écrit

n(a) = xA(yC – yB) – xB(yC – yA) + xC(yB – yA),

ce qu’on peut mettre aussi sous la forme

n(a) = (yC – yB)(xA – xB) + (yB – yA)(xC – xB)

plus propice à l’utilisation de l’équation de ladroite (AB). En simplifiant par (xA – xB), on peutalors écrire

.

l’équation de la droite (AB) étant

,

il en résulte que le paramètre a est bien positifsi et seulement si C est au dessus de la droite (AB),en dehors de [AB] et en dessous entre A et B, etceci, indépendamment du signe de l’expres-sion (xA – xB). ces calculs algébriques validentdonc les résultats expérimentaux précédents.

2. 3. De l’ambiguïté du statut des objets dans un contexte dynamique

l’expérience montre que sans effectuer ceretour à des arguments algébriques, de nombreuxélèves — mais aussi des étudiants — se conten-

a 5

yC 2 yB 1yB 2 yA

xB 2 xA1xB 2 xC 2

1xC 2 xA 2 1xC 2 xB 2

y 5yB 2 yA

xB 2 xA 1x 2 xB 2 1 yB

tent de l’observation précédente sans imaginertester le cas où l’expression (xA – xB) est néga-tive (Figure 5 ci-dessous).

En formation initiale, on peut utiliser cetteentrée pour aborder l’ambiguïté de la dési-gnation — du côté de l’enseignant — et de laperception — du côté des élèves — du statutdes objets mathématiques, en particulier dansun environnement dynamique. c’est l’occasionde traiter cette question, récurrente depuisl’introduction de l’algèbre en collège, mais quiprend une autre dimension avec les conceptsfonctionnels du lycée, de la construction d’uneculture mathématique partagée autour des dif-férents statuts des objets, souvent impliciteset donc sujets à représentation. En effet, si, enmathématique, une expression comme « A etB étant donnés, où placer le point C … »confère aux points A et B le statut de paramètres,et à C le statut de variable, chez beaucoupd’élèves, l’énoncé du problème est perçucomme une consigne où il est explicitementdit de faire bouger le point C et de ne pas tou-cher à A et B, qui sont « donnés ». donc C estbien une variable, mais A et B sont implicite-ment des constantes. il ne vient pas nécessai-rement à l’idée de déplacer a ou B, et en par-ticulier déplacer un des points jusqu’à fairechanger le signe de (xA – xB), expression quiintervient si on s’intéresse frontalement auproblème posé par une inégalité.

Fig. 5.


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À cette difficulté, assez intrinsèque chezles élèves, peut s’ajouter la pratique culturellede l’enseignant en géométrie dynamique. Enformation initiale, les futurs enseignantsentrent très vite dans la logique des figures degéométrie dynamique. ils manipulent lespoints de base comme des variables. Pourtant,régulièrement, en situation sur des activitéspratiques simples, scolaires, des étudiantspeuvent avoir un comportement qui renvoieà une conception de constantes des objets debase de la figure. il y a un travail approfon-di à proposer sur le statut des objets de la géo-métrie dynamique pour faire évoluer profes-sionnellement les représentations initiales dechacun, travail qui peut être naturellementintégré dans les activités ticE usuelles.

construire peu à peu cette culture — déjàsimplement de l’objet de base, « libre », commeparamètre — peut néanmoins se faire très sim-plement avec les élèves, en ajoutant des ques-tions comme « Que se passe-t-il si vous inver-sez les points a et B ? ».

d’une manière générale, cette questiondu statut d’un objet (paramètre/constante) seretrouve à d’autres niveaux. Par exemple enformation continue, on rencontre également ceproblème quand on aborde les scripts de Geo-Gebra ou de carMetal. le fait d’écrirePoint(“a” ; 2 ; – 1) dans un script place le pointa à la position (2 ; – 1). il est important de signa-ler tout de suite que c’est une initialisation, unparamètre créé et initialisé. ce n’est pas uneconstante comme on peut parfois le penser :le point n’est pas figé, il est ensuite déplaçableà la souris.

ce premier exemple a permis de montrerque l’usage du calcul formel, en dégageant unengagement direct nouveau sur l’objet géo-métrique construit, permet d’une part des exer-cices d’une richesse renouvelée, et d’autre

part, peut être l’occasion d’approfondir lesnotions engagées, autrement que dans uncontexte plus standard.

3. — Les tangentes communes à deux paraboles

nous poursuivons, dans un registre de for-mation initiale des enseignants, tout en gar-dant au mot parabole le sens qu’il a au débutde l’article : toutes les paraboles que nousconstruirons auront donc des axes parallèles. l’ori-gine de cet article vient de l’attitude empiriqued’un étudiant qui n’arrivait pas à construire, danssa généralité, la solution donnée par wxMaxi-ma, d’un projet qu’il avait à exposer. d’où cequestionnement qui en a suivi lors de la soute-nance de ce projet : comment interpréter les résul-tats formels d’un calcul algébrique quand on doitle transformer en construction ?

le thème des tangentes communes à deuxparaboles est un classique des tP de 1°s, quel’on retrouve dans différents manuels scolaires,mais proposé de manière statique : les deux para-boles sont des données précises (des constantesdonc), et on cherche, pour ces deux paraboles,en général d’orientation différente (a1a2 < 0) lapossibilité qu’une tangente à l’une soit aussi tan-gente à l’autre.

ici le problème est un peu plus général,les deux paraboles (voir la figure 6 ci-contre)sont données chacune par trois points. les étu-diants ayant tous fait en td, l’exercice pré-cédent de la construction d’une « parabo-le passant par trois points » (avec le vocabulaireadapté donc), on commence par transformerla figure préalable en macro constructionpour l’appliquer à trois autres points et avoirainsi les deux paraboles et le couple de troistriplets de paramètres (a, b, c). on supposedans toute la suite a1a2 ≠ 0 pour qu’il y aitbien deux paraboles.


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3. 1. Première méthode pour obtenir les tangentes communes

Une première méthode, spontanémentsuivie par quelques étudiants, consiste à écri-re les tangentes aux deux paraboles et à cher-cher à égaliser d’une part leurs pentes etd’autre par l’ordonnée en l’un des points decontact : les deux droites sont alors paral-lèles et passent par un même point, elles sont

confondues. avec wxMaxima, cela s’écritpar exemple comme ceci :

… et comme ci-dessous pour le calcul final.

l’étudiant qui devait exposer ce travailavait choisi cette méthode. Et si la valeur for-melle de xM est bien acceptée, numériquement,par le logiciel (GeoGebra) il ne pouvait pas enêtre de même avec xn puisque, pour valider ins-tantanément ses calculs, l’étudiant avait natu-rellement choisi de placer les six points défi-nissant les deux paraboles dans un cas évidentde solutions : les paraboles sont disjointes et lescoefficients a1 et a2 de signes contraires.

Fig. 6.


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Pour remplir le cahier des charges du pro-jet qui demandait à ce que l’on voie sur la figu-re les points d’intersections des tangentes com-munes avec les paraboles, il y avait la solutionévidente d’écrire yn par l’égalité des pentes :

2a1xM + b1 = 2a2xn + b2 . Mais cela n’a pas été

le choix de l’étudiant.

Pressé par le temps, centré sur « le pro-blème immédiat » du non rendu de la formu-le qu’il avait tapée dans GeoGebra, l’étudianta eu une réaction extraordinaire, assez impré-visible. il n’a vu qu’un obstacle à dépasser,les racines carrées de nombres négatifs, et ill’a exposé ainsi : « j’ai pris les valeurs abso-lues des trois termes sous les racines, et çamarche, ça donne bien le bon point ».

n’ayant moi-même pas suivi cettedémarche, j’ai été d’une part surpris du pro-blème rencontré et surtout profondément inter-loqué par la méthode de résolution expéditi-ve proposée. avant d’analyser plus enprofondeur cette situation, voyons d’abordune autre méthode de résolution.

3. 2. Seconde méthode pour obtenir les tangentes communes

En 1°s, cet exercice sert surtout àconstruire une culture fine de la relationalgébrique entre les racines des polynômeset leur factorisation.

la démarche traditionnellement utiliséeconsiste à construire la tangente en un point Mà la première parabole et à tester si celle-cicoupe ou non la seconde parabole. l’intersec-tion est solution d’une équation du seconddegré, avec, éventuellement une racine doublequi correspond à la situation de tangente à laseconde parabole, avec ce sens que deux inter-sections confondues correspondent à une fac-torisation en (x – x0)

2 pour le polynôme.

c’est donc une utilisation subtile du détermi-nant, d’où un tP guidé, en général, en 1°s. laversion formelle adoptée ici donne alors lerésultat ci-dessous. dans cette version, le cal-cul de xQ ne pose pas de problème puisqu’il s’agitde la racine double « – b/2a » de l’expressionnotée %i43, soit

,

donc directement exploitable dans un logicielde géométrie dynamique à partir de xM.

xQ 5b1 2 b2 1 2a1xM

2a2


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Fig. 7. Manipuler la figure en ligne : http://huit.re/rpirEM02


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c’est d’ailleurs la même expression que cellede l’égalité des pentes de la méthode précédente.on remarquera que les écritures des deux solu-tions sont formellement les mêmes dans lesdeux méthodes, elles sont seulement inverséesdans leur ordre d’apparition.

4. — L’évolution du rapport au savoir dans une société en mutation

telle qu’elle vient d’être présentée, la miseen œuvre de cette activité, dans un master M2MEEF, illustre l’évolution culturelle du rap-port au savoir des futurs enseignants, et plus géné-ralement l’ambiguïté sociétale sur le retourne-ment des valeurs que décrit Michel serres, dans« Petite Poucette » quand le « cognitif procé-dural », le serviteur de socrate qui « use deprocédures », prend le pas sur les «abstractionsdéclaratives », le discours de socrate lui-même.cette ambiguïté, celle d’une société qui entre dansune nouvelle ère, où de nouvelles valeurs seconstruisent et d’autres s’estompent, est présente,d’une façon ou d’une autre, dans nos activitésde formation initiale. Elle se traduit aussi par unaffichage institutionnel « du socle des compé-tences », et la mise en valeur de ses activités detâches complexes, tout en prônant une évalua-tion de fin d’étude par des examens qui igno-rent encore largement ces compétences mises envaleur tout au long de la scolarité, même sic’est entrain d’évoluer avec les tout nouveauxprogrammes rendus publics mi avril.

comme formateur des futurs enseignants,il n’est pas question de s’opposer à cette évo-lution. au contraire, notre rôle est de l’accom-pagner, en devenant des transmetteurs, traduc-teurs de ces valeurs à l’obsolescence programméepour les faire vivre autrement dans le nouvel envi-ronnement culturel en construction. histori-quement, ceux qui se sont opposés aux évolu-tions profondes de leur société n’ont fait que

retarder les choses. les druides en Europecomme les Brahmanes en inde se sont longtempsopposés à l’externalisation des textes sacrés dela mémoire humaine vers l’écriture. ils ont réus-si à retarder l’enseignement de l’écriture, pour-tant limité à quelques privilégiés dans des lieuxprivilégiés, pendant longtemps, pour des ques-tions évidentes de pouvoir. ne devenons pas lesdruides du savoir savant en freinant l’externa-lisation de certaines compétences, liées au cal-cul savant, vers d’autres formes de compé-tences, liées aux capacités de simulation.

4. 1 Du jeu de cadres au jeu de paradigmes

notre société évolue d’un monde, enco-re existant et vivant, en science au moins, oùles formes canoniques du savoir sont la théo-risation, selon des critères d’objectivité etd’universalité, vers un monde ou l’instantanéité,le temps réel, ou au minimum la vitesse d’exé-cution, mais aussi les compétences opéra-tionnelles sont des valeurs qui se présententcomme désormais structurantes pour la socié-té. le rapport au temps invitait au délai, à laréflexion, et donc à la critique argumentée. Parexemple il n’était pas rare, il y a encorequelques années, que les actes d’un colloquesoient disponibles sous forme papier, seulementdeux ou trois ans après le colloque. les délaisde retour permettaient aux auteurs de modifier,enrichir leurs articles après les rencontres pro-voquées par le colloque. ce monde de la dis-tanciation n’est plus la norme. le temps réels’est aussi invité là. les actes des grandscongrès sont désormais souvent disponibles,sous forme numérique, à l’ouverture du congrès.Paradoxalement le temps réel apporte de la rigi-dité, l’article ayant été parfois écrit six ouquatre mois avant son exposition. Par ailleurs,même pour les instances académiques, l’écri-ture sert désormais aussi à autre chose que deréférencer le savoir savant. avec les réseauxsociaux, les messages, y compris des grandes


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institutions, ne sont pas émis pour s’inscriredans le temps, mais au contraire pour témoi-gner, d’une certaine façon, de sa présence auprésent du récepteur (follower).

l’étudiant futur enseignant, en formation ini-tiale, est confronté à la fois à cette mutation géné-rale des valeurs, qu’il vit individuellement, maissurtout à leur superposition permanente, y com-pris dans les programmes des concours de recru-tement et donc dans sa future vie professionnelle.Pour illustrer cela, souvenons nous, par exemple,des efforts énormes réalisés par les mathéma-ticiens du début du XXème siècle (Frege enparticulier à partir de 1904) pour extraire lechamp fonctionnel du registre temporel auquella relation à la cinématique l’ancrait définitivement.cette sortie du registre temporel (pour toutes lesmathématiques en général) a été considérécomme une condition indispensable à la réifi-cation des concepts mathématiques, la « réifia-bilité » des concepts étant elle-même, considé-rée comme nécessaire pour leur acceptation parles mathématiciens.

dans les concours de recrutement, l’admis-sibilité est construite sur le modèle de la théo-risation, validant l’acquisition des savoirs et unrapport à ce savoir en adéquation avec ladémarche théorique, par la rédaction de preuvesmathématiques, démonstrations. l’admissionest organisée autour d’épreuves orales, pro-fessionnalisantes, plutôt placées dans la muta-tion sociétale décrite plus haut, avec utilisationobligatoire des ticE. l’admission valide, entreautres, des compétences de simulation en ana-lyse, où l’usage explicite du mouvement - et doncdu temps - pour rendre compte des propriétésdes fonctions, globales comme locales, est lar-gement encouragé par l’institution.

la validation des deux parties des concoursde recrutement est donc construite sur desvaleurs profondément opposées. le discours offi-

ciel préfère parler de complémentarité de cesvaleurs, en particulier parce qu’elles sont éva-luées en des temps différents et toutes néces-saires à l’exercice de la profession. argumenttout à fait recevable tant nous étions longtempsrestés, pour les concours, loin, très loin, ducôté de la théorie.

En pratique, ce discours, ces contraintes ins-titutionnelles induisent, à l’image du change-ment de cadres de régine douady, une circu-lation permanente entre deux paradigmes, celuide la culture écrite des mathématiques, avec sescodes, ses déclinaisons didactiques bien connues,et celui d’une autre culture mathématique, encours de construction, celle de l’opérationna-lité immédiate, de la simulation systématiquepour donner à voir et à manipuler avec desoutils numériques, les concepts mathématiquesabstraits, ou des représentations de ces concepts.tout comme les jeux de cadres sont d’unegrande richesse didactique, il est clair que lesjeux de paradigmes, par la richesse et la com-plexité du milieu qu’ils engagent, vont l’être aussi,largement, à condition toutefois, comme pourles jeux de cadres, d’abord de les faire vivre etsurtout de conscientiser cette circulation.

Une première possibilité, voire un pre-mier devoir vis à vis de cet enjeu de circula-tion, pour chacun, étudiant comme formateur,est celle de la praxéologie, du discours que nousallons soutenir sur notre pratique, le formateurvis à vis de l’étudiant, l’enseignant vis à visde l’élève, et en particulier, le discours dupraticien réflexif, qui évalue son action encours d’action. En précisant dans quel registrede cette complémentarité on se place, à unmoment de l’activité, et quelle articulation seconstruit, dans cette interaction des para-digmes, par une action, par de l’accompa-gnement discursif théorique, technique ouméthodologique, chacun peut accompagnerla conscientisation de cette circulation.


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4. 2. Illustration pratique

Pour illustrer cela, reprenons l’attitude del’étudiant qui prend des valeurs absolues etaffiche les valeurs correctes de xQ.

4. 2. 1 Superposition des paradigmes et réduction

tout d’abord, on remarquera qu’en tra-vaillant sur du calcul formel en interaction avecla géométrie dynamique (Gd), considéréecomme support de sortie dynamique (manipu-lation directe) et intelligent (intégration detoutes les relations algébriques), nous nous pla-çons, tous, spontanément, pour confirmer les cal-culs, dans un cas où il y a une solution. il enrésulte que chacun trouve naturel que les ins-tanciations numériques des paramètres en jeuexistent réellement, y compris avec la racine car-rée utilisée dans xM. on est dans une sorte desuperposition optimale des paradigmes : l’aspectthéorique, par la production d’un calcul un peucomplexe mais utilisable par les logiciels de Gd,est en phase avec les valeurs d’instantanéité etde simulation du nouveau paradigme car il suf-fit de copier-coller l’expression formelle dansle logiciel de Gd pour avoir tout de suite l’abs-cisse de M et donc construire M. spontanément,on ne se pose pas la question de l’existence effec-tive des objets manipulés (la positivité du radi-cande) : on sait qu’il y a une solution, elle estdonnée par cette relation formelle, on la rentredans le logiciel, on obtient le point, solution dyna-mique du problème cherché.

En agissant ainsi, le praticien réflexif est-il dans l’ancien paradigme, théorique, dont lenouveau, va servir d’illustration ? Est-il dansle nouveau paradigme, centré sur l’efficacité dela construction d’une solution dont l’anciendonne les expressions de ces solutions ? En fait,c’est généralement indéfini. Plus que le passa-ge de l’un à l’autre et d’une éventuellement rela-

tion causale, il y a cette idée d’être a priori dansune superposition de ces deux « états », la cir-culation mentionnée plus haut n’étant pas un tour-billon permanent mais plutôt un champ de forcequi maintient cette cohérence interne à notre propreétat en cours d’action : tout est là, au présent,tout fonctionne. comme on prend souventconscience d’un contrat didactique au momentde sa rupture, on prend généralement conscien-ce de cette superposition quand elle s’écroule.c’est l’épisode de l’étudiant qui met des valeursabsolues aux trois radicandes pour avoir une solu-tion. il se retrouve tout d’un coup dans un desdeux paradigmes, celui de la simulation, l’autredimension ayant, à cet instant, disparue. il n’ya plus de distanciation réflexive : les valeurs abso-lues donnant la solution, l’étudiant semble sou-lagé non seulement par sa figure, mais de sescalculs, voire peut-être de son « interpréta-tion » des calculs produits par wxMaxima. Unautre étudiant aurait pu avoir une attitude oppo-sée, et au lieu de chercher à construire à tout prixles tangentes communes, se serait recentré surle résultat algébrique pour essayer d’en retra-vailler la forme. il aurait cristallisé son actiondans l’autre paradigme.

or quand la réduction d’une superpositions’effectue, le plus souvent elle s’applique aussi,temporellement, à l’environnement. ainsi, alorsque j’étais au fait de l’écriture simplifiée pourl’abscisse de l’autre point, pris par la démarchede l’étudiant, je me suis entendu lui expli-quer tout à fait autre chose : « quitte à tricher,autant le faire d’une manière mathématiquementcorrecte. Vous auriez pu construire la tangen-te en xM à la première parabole et bidouiller uneintersection avec la seconde quitte même à uti-liser l’objet conique de GeoGebra associé pourune meilleur stabilité de l’intersection, je n’auraismême peut-être rien vu ».

cette prégnance sur l’environnement du para-digme vers lequel s’est réduit une superposition


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est un phénomène déjà largement décrit dansd’autres sciences sous le terme d’empathiecognitive (capacité à la représentation des étatsmentaux d’autrui) ou encore, par une formeconceptuelle d’une empathie comportementa-le (mimétisme, ici procédural).

ce qui nous paraît notable ici, c’est deremarquer que si le formateur est effectivementhappé par l’engagement de l’étudiant dans le para-digme de l’immédiateté et de simulation, il l’estdans sa totalité, au sens où sa propre superposi-tion n’en n’est pas altérée. on le voit à deux endroits,celui où spontanément il est question de faire « demanière mathématiquement correcte » ou enco-re avec cette précision pour obtenir une « stabi-lité de l’intersection ». il semble donc qu’une ins-tallation de longue date dans cette situation enassure une certaine solidité intrinsèque.

4. 2. 2 Instrumentation pour la mise en placed’une superposition des paradigmes

dans notre société en pleine mutationnumérique, la sensibilisation des futurs ensei-gnants à cette problématique de transferts et super-position institutionnelle de paradigmes assez anta-gonistes nous paraît être dévolue à la formationinitiale. sensibilisation, prise de conscience,verbalisation des différents enjeux qui vontrapidement concerner leur pratique quotidien-ne de classe peuvent être intégrées aux séancesticE sans nécessairement beaucoup de moyens,simplement en organisant un peu différem-ment les activités proposées. En particulier,une des pistes d’instrumentation efficace à lasuperposition des paradigmes est de travaillerexplicitement plus sur la praxéologie, quand c’estpossible par des échanges de pair à pair, ce quipeut être nouveau pour le formateur comme pourle futur enseignant.

avec la présence curriculaire insistantedes ticE dans les oraux des concours (et dans

les programmes) nous sommes loin des premièresréactions d’hostilité que nous avions pu rencontrerà l’époque où nous pratiquions les ntic (findu siècle précédent), avec parfois des étudiantspour qui « faire des maths, ce n’est pas tenir unesouris ». au contraire, on voit désormais arri-ver des étudiants qui, dans leur toute puissan-ce créatrice, se sentent rapidement comme desingénieurs de GeoGebra, jonglant avec lesséquences, le Géotableur, et les fonctionnali-tés en statistique, ou encore, découvrant tout lepotentiel didactique de l’aimantation de car-Metal pour réaliser des simulations abouties, s’ins-talle naturellement, comme futur enseignant, dansle nouveau paradigme qui leur est proposé, siproche en fait de leur vécu numérique person-nel. la puissance des outils proposés et leur adé-quation aux objectifs scolaires, est à la fois unpuissant aimant et en même temps une cautioninstitutionnelle à cette installation.

on entend régulièrement parler de l’atti-tude nouvelle des « digital native ». Force estde constater que, depuis quelques années -même si on a commencé l’article par un contreexemple - un pourcentage non négligeabled’étudiants, sans nécessairement avoir réflé-chi à cette problématique et être conscient del’évolution des paradigmes, en situation sur uneactivité, savent se placer spontanément danscette superposition par une sorte « d’attitudeen acte » naturellement pertinente. En for-mation, la présence de ces étudiants est un atoutextraordinaire car leur intervention, provo-quée mais qui reste un échange pair à pair, per-met d’illustrer en quoi cette superposition estune circulation régulière et systématique (onévitera la brutalité d’un mot comme « per-manente ») entre l’univers de la théorie etcelui de la simulation mais aussi en quoi cettesuperposition des paradigmes, par ses éclai-rages, est le contraire de la confusion. lecontraire de la confusion et de la contrainte,car, comme l’exemple cité, pour certains,


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l’ancrage dans la simulation est clairementun évitement du paradigme antérieur, celuide leurs années d’études, évalué d’un coup, àla lumière de la simulation comme trop lourd.

l’instrumentation de cette circulation n’apas besoin d’activités aussi riche que celle pro-posée ici. si elle trouve une pertinence renfor-cée par la pratique conjointe de deux logicielsdifférents dans une même activité, cette condi-tion n’est pas nécessaire. Une simple situationgéométrique nécessitant un calcul et une argu-mentation suffit. Voici (figure 8) l’exemple(en l2) d’une illustration dynamique du calculde la position du centre de la composée dedeux homothéties.

déjà, dès la licence, cela permet d’instal-ler, même modestement, cette circulation : lasimple mesure du résultat sur le logiciel n’est,mathématiquement, d’aucun intérêt. Elle ne

peut servir qu’à illustrer ou valider le résultatthéorique (d’où la circulation).

Encore plus simplement, une figure géo-métrique qui contient des cas particuliers —que l’on peut atteindre par exemple par aiman-tation — est aussi un bel exemple de sensi-bilisation initiale. dans la figure suivante, onillustre (toujours un exercice de licence) quesous une courbe concave, l’aire maximaled’un triangle PKr de trois points sur la cour-be est atteinte quand la pente de la tangentedu point intermédiaire K, supposé variable, estégale à la pente de la droite (Pr). le pointK qui réalise ceci ne peut pas être atteint parmanipulation à la souris. Par exemple ici avecla fonction ln, il a pour abscisse ,

M est donc aimanté par ce point.

xR 2 xP

ln xR 2 ln xP

Fig. 8.

On compose leshomothéties decentres O1 et O2qui envoient Arespectivementsur A1 et A2.

On demande decalculer les posi-tions des centresO12 et O21 sur ladroite descentres.

La figure afficheles valeurs mesu-rées et lesvaleurs calculées.


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Même dans le cas où on est fortement ins-tallé dans le paradigme du numérique pourconstruire, en formation, une simulation signi-ficative, on peut ajuster notre discours — parexemple en analysant les procédures a priori etcomment les gérer — autour de cette problé-matique de superposition.

dans l’exercice ci-contre à destinationd’une classe de 3°, i est le milieu de l’arête [cG]d’un cube, on cherche la position de M surl’arête [Bc] pour que le trajet de a à i en pas-sant par M soit minimal.

Présenté sans indication, les élèves pour-raient y voir un exercice autour de Pythagorepour les calculs intermédiaires (x = BM, etc.)et se lancer dans des calculs longs et fastidieuxpour eux. l’analyse a priori, du côté de la théo-rie, demanderait de trouver un procédé — desimulation — pour leur éviter ces calculs et cetteperte de temps.

donner comme indication seulement la pos-sibilité d’ouvrir une face (éventuellement seu-lement si on s’approche assez près de la solu-tion), est une aide conceptuelle originale queseule une simulation numérique autorise. sur

la figure en ligne d’autres données permettentde vérifier numériquement si on a atteint le minimum, ce qui peut ensuite engager unenouvelle réflexion (voir figure 11 page suivante).

on voit sur cet exemple que la superposi-tion des paradigmes est présente dans l’analy-se et la conception didactique d’une activité desimulation dans laquelle on se propose de faire

Fig. 9. Figure manipulable en ligne : http://huit.re/rpirEM08

Fig. 10.


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reconnaître une propriété de thalès aux élèvesalors qu’ils sont, pour une grande partie, convain-cus qu’il s’agit d’un exercice de calcul avec Pytha-gore, cette rencontre avec thalès s’opérantsans indication textuelle, par la simple présen-ce d’un curseur d’ouverture.

ces quelques exemples de sensibilisationmontre que cette problématique de la super-position des paradigmes, si elle est partoutprésente, est aussi une question de point de vue.Pourtant, même sur des situations élémen-taires, il s’agit à chaque fois d’autre chose quele traditionnel jeu de cadre. on voit aussiqu’une instrumentation progressive, à traversdes activités de simulation, associée à un dis-cours adapté permet de consolider la circula-tion entre les paradigmes et par la même la cohé-rence de l’utilisation des ticE en maintenantune qualité mathématique de l’argumentation.la pratique des ticE intègre réellement les deuxparadigmes sur lesquels reposent les pro-grammes quand cette circulation - cette super-position - s’est construite dans la pratique per-sonnelle de l’enseignant.

Poursuivons maintenant surl’activité initiale des tangentescommunes à deux paraboles

5. — Analyse du résultat formel et mise en forme des objets à construire

wxMaxima, avec sa factorisation

par dans la seconde

solution nous ouvre la voie.

la partie sous la racine carrée dansl’expression de xM (voir paragraphe

3. 2.) se factorise sous la forme :

t = a1a2[(b2 – b1)2 – 4 (a2 – a1)(c2 – c1)].

si t > 0 , et si a2 ≠ a1 il y a deux solutions, xM

et xU sur la parabole liée à ƒ1 , et, respective-

ment, xn et xV sur celle liée à ƒ2 .

• Première solution :

et .

• seconde solution :

et .

dans la première méthode, celle pour laquelle

"a1"a2

xM 5"t 2 a11b2 2 b1 2

2a11a2 2 a1 2xn 5

b1 2 b2 1 2a1xM

2a2

xU 5"t 1 a11b2 2 b1 2

2a11a2 2 a1 2xV 5

b1 2 b2 1 2a1xU

2a2

Fig. 11. Manipulation en ligne : http://huit.re/rpIREM09


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wxMaxima sort a1a2 de t, l’expression de xnest donnée en fait par :

dans le cadre de notre analyse, les écrituresde xn et xV, sans référence directe à t maisaux autres points de contact relève encore unefois de cette superposition au sens où on faità la fois fonctionner l’aspect théorique de ladémarche, et on le fait (aussi) pour optimiserles calculs dans la figure de géométrie dyna-mique. non indispensable encore ici, cetteattitude sera incontournable dans le cas géné-ral des paraboles tangentes pour obtenir desfigures dynamiques fluides malgré des cal-culs complexes.

5. 1. Cas où il y a deux tangentes communes (distinctes)

Bien entendu il y a des solutions si et seu-lement si t > 0, mais on peut avoir envie de trans-former cette condition algébrique en interpré-tation topologique. ici on est bien dans le jeude cadre traditionnel de la didactique.

notons t = a1a2∆ où ∆ est le discriminant

de ƒ2(x) – ƒ1(x). on suppose, dans ce para-

graphe, que a2 ≠ a1 (et les deux termes non nuls,

on a de vraies paraboles).

• si ∆ < 0, les deux paraboles sont disjointes.

— si a1a2 > 0, t < 0, une des paraboles est àl’intérieur de l’autre, il ne peut y avoir detangentes communes.

— si a1a2 > 0, t > 0, les quatre valeurs pré-cédentes existent (a2 ≠ a1) et construisenteffectivement les tangentes communes auxdeux paraboles, c’est le cas générique.

xn 5"t 1 a21b1 2 b2 2

2a21a2 2 a1 2

• si ∆ > 0, les deux paraboles ont deux pointsd’intersection.

— si a1a2 > 0, t > 0, les quatre valeurs pré-cédentes existent et construisent les tangentescommunes aux deux paraboles.

— si a1a2 > 0, t < 0, les points n’existent pas,il ne peut y avoir de tangentes communes.

Voir page suivante (figure 12) les quatre casillustrés avec deux logiciels — GeoGebra etdGPad — et deux approches différentes, selonque l’on utilise des des curseurs ou pas.

le jeu de cadre sur l’engagement direct(les curseurs pour travailler sur les paramètresdes fonctions, les points pour disposer des para-boles en manipulation directe), par les inter-rogations qu’il suscite, fait lui aussi travaillercette circulation interne entre les aspects théo-riques et la dimension de manipulation. En effet,toucher aux points nous place tout de suite dansdes conditions génériques car trois paramètressont modifiés en même temps.

la version curseur semble alors se can-tonner à des registres plus restrictifs, car onne peut manipuler qu’un paramètre à la fois.

Et pourtant, si elle est moins génériqueen manipulation, elle permet, pour l’aspectthéorique, de passer par tous les cas particuliersinaccessibles avec les paraboles par points.

En manipulant les figures dynamiques,par points ou par curseurs, on voit deux casparticuliers survenir : celui, qui ressort del’étude théorique, cas où (plutôt avec lespoints car dans l’autre cas les constructionsdisparaissent) et celui où, en dehors de cetteégalité, les tangentes communes tendent à seconfondre néanmoins en une seule, les para-boles devenant alors tangentes entre elles.Examinons ces deux situations.


62



5. 2. Cas où il y a une seule tangente commune (figure 13)

on suppose maintenant que a2 = a1. dans

ce cas, sauf bien entendu si les deux parabolessont en translation de direction verticale (a2 = a1 et b2 = b1), il y a toujours une tangen-

te commune, et elle est unique. le lecteur retrou-

vera rapidement que le point de contact de cettetangente à la première parabole est d’abscisse

et que, par l’égali-

té des pentes, l’abscisse du point de contact à la

seconde parabole est : .

xT 5c1 2 c2

b2 2 b11

b2 2 b1

4a1

xW 5 xT 2b2 2 b1

2a1

Fig. 12.

Rappel manipulation avec les points : http://huit.re/rpirEM02


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5. 3. Cas où les deux paraboles sont tangentes

Un autre cas, plus général, où il y a uneseule tangente commune, est le cas où ∆ = 0.les deux tangentes communes existent, maiselles sont confondues, et donc les paraboles sonttangentes entre elles au point de la racinedouble de l’équation ƒ2(x) – ƒ1(x) = 0. ce

point est alors d’abscisse .b1 2 b2

21a2 2 a1 2

5. 3. a Version scolaire (figure 14)

de ∆ = (b2 – b1)2 – 4(a2 – a1)(c2 – c1) = 0 ,

on tire : .

dans le cadre d’un travail en lycée, onpeut aborder ce thème des paraboles tangentes,à partir des paramètres des fonctions du seconddegré : cinq paramètres sont libres, le sixième,c1 ou c2, ou encore a1 ou a2 étant alors entiè-rement déterminé. dans ce cas la construction

c2 5 c1 11b2 2 b1 2 241a2 2 a1 2

Fig. 13.Figure en ligne :

http://huit.re/rpirEM03


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est triviale. on observera que l’abscisse de Mest indépendante de c1 et la formule de c2montre qu’en faisant varier c1, les deux para-boles se déplacent en translation.

5. 3. b Effet du changement de cadre de l’engagement direct (figure 15)

on se propose maintenant de reprendrenotre changement de cadre de l’engagement direct,en se donnant une première parabole par troispoints et en cherchant une seconde parabole, pas-sant par deux points donnés P et Q (variables,donc des paramètres) et le troisième point M quisera le point de contact des deux paraboles,tangentes en M.

on pourrait penser que, posé ainsi, le pro-blème n’est pas vraiment différent de la versiondifférente. cela a été un peu le cas pour la

recherche d’une parabole (curseur ou 3 points) :on avait, grâce à l’engagement direct différent,un changement de point de vue sur les activitéspossibles, mais presque la même solution. ici lasolution est très différente: avec un environne-ment de curseurs on avait une seule solution, cettefois, il va y avoir deux solutions comme ci-des-sous, figure 15, (contacts en M et n).

d’un point de vue technique, les solu-tions vont être nettement plus complexes car,à partir de a, B, c (première parabole) et P et Q (seconde parabole), les solutions en (a2, b2, c2) pour avoir un troisième point M pointde contact des deux paraboles, donnent deuxtriplets dont on voit ci-dessous qu’une premièrevaleur de a2 peut être positive alors que laseconde est négative.

résolution formelle du problème : • a, B, c étant donnés, les coefficients a1,

b1, c1, de la fonction f1, sont eux aussi don-

nés, ce sont des paramètres entièrementdéfinis par les trois points a, B et c.

• le point de contact r est d’abscisse

et d’ordonnée f1(xr).b1 2 b2

21a2 2 a1 2

Fig. 14. Manipuler la figure en ligne :http://huit.re/rpirEM04

Fig. 15


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• les variables a2, b2, c2 sont solutions du

système non linéaire :

Voici, dans l’encadré ci-dessous, ce que donnele premier triplet de (a21, b21, c21), respective-

ment... on cherche à simplifier toutes cesexpressions.

•a2 x1P 2 2 1 b2 x1P 2 1 c2 5 y1P 2a2 x1Q 2 2 1 b2 x1Q 2 1 c2 5 y1Q 2a2 xR

2 1 b2 xR 1 c2 5 f11xR 2

Pour deux raisons, d’abord avoir uneécriture où les radicaux utilisés vont êtreexactement liés à l’existence des parabolestangentes, mais aussi — dans un secondtemps quand on a déjà intégré les solutionsdans les figures et que le résultat est assezlourd à exécuter, en particulier sur tablette— pour simplifier les écritures pour plus defluidité dynamique des figures. là encore cettedémarche est clairement une superpositiondes deux paradigmes, on va utiliser la puis-sance de l’un pour en donner à l’autre.

Et l’expression c21, plus complexe :


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les expressions

et

peuvent avoir leurs radicandes négatifs mêmequand il y a des solutions. En analysant lesexpressions, on s’aperçoit que n’intervient enfait, toujours, que le produit des deux. ce pro-duit est égal à (ƒ1(xQ) – yQ)(ƒ1(xP) – yP). il estpositif si et seulement si les deux points P et Qsont tous les deux à l’extérieur ou tous les deuxà l’intérieur de la première parabole, associéeà f1. c’est topologiquement équivalent au faitqu’il peut y avoir — et donc qu’il y a d’aprèsles calculs — des solutions pour deux parabolestangentes. En notant :

,

"y1Q 2 2 a1 x1Q 2 2 2 b1 x1Q 2 2 c1

"y1P 2 2 a1 x1P 2 2 2 b1 x1P 2 2 c1

sPQ 5 "1f11xQ 2 2 yQ 2 1f11xP 2 2 yP 2

Den_a2 = (x(Q) – x(P)) 2 et

Num_a2 = y(Q) – x(Q)(2a1x(P) + b1)

+ y(P) – b1x(P) – 2c1 ,

les deux solutions pour a2 s’expriment ainsi :

on ferait de même — mais c’est bien pluslong, on ne le détaillera pas ici — pour b21, b22

et c21, c22. Par exemple pour le dénomina-

teur des deux coefficients c2, en notant

Den_c2 = y(P) + y(Q) – a1(x(P) 2 + x(Q) 2)

– b1(x(P) + x(Q)) – 2c1 ,

a21 52sPQ 1 Num_a2

Den_a2

a22 52 2sPQ 1 Num_a2

Den_a2

Fig. 16. Manipuler la figure en ligne : http://huit.re/rpirEM05


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les dénominateurs de c21 et c22 s’écrivent :

Den_c21 = Den_a2(2sPQ + Den_c2)

et Den_c22 = Den_a2(2sPQ – Den_c2)

cette recherche d’optimisation par descalculs intermédiaires, si elle est toujours pré-sente dans toute activité algorithmique dèsqu’il y a une interface de sortie dynamique,est bien, dans le cadre de l’enseignement, untravail dans cette circulation entre unedémarche théorique et la simulation dyna-mique.

5. 3. c Retour à l’approchepar curseurs (voir figure 17)

Un lecteur attentif aura ressenti que ceparagraphe 5.3. a été quelque peu scénari-sé, au sens où chacun a déjà pu se direqu’avec les curseurs, on peut tout à faitavoir aussi deux solutions : à partir de ∆ =0, il suffit de chercher le coefficient b2 enfonction des cinq autres. Mais, bien enten-du, cela reste beaucoup moins général quele cas précédent car pour la seconde para-bole, si on dispose de deux valeurs pour b2,il y a une seule valeur pour a2 (curseur) etpour c2 (autre curseur).

on notera une propriété spécifique decette situation : dans ce cas les deux tangentesaux deux solutions se coupent sur l’axe desordonnées. on pourrait le vérifier par calcul,mais c’est une conséquence d’une proprié-té des paraboles (voir figure 18) :

les tangentes en M et n à une parabo-le se coupent en un point t. soit i le milieude [Mn]. alors la droite (it) est la directionde l’axe de la parabole (et le milieu de [it]est un point de la parabole dont la tangenteen ce point est parallèle à (Mn), mais celane sert pas ici). dans notre contexte, puisque

x(M) et x(n) sont opposés, le milieu de [Mn] estsur l’axe des ordonnées. comme l’axe des para-boles est parallèle à cet axe, les tangentes en M etn (de la parabole associée à f1) se coupent néces-sairement sur l’axe des ordonnées.

Fig. 17. Manipuler la figure en ligne :http://huit.re/rpirEM06

Fig. 18. Manipuler en ligne :http://huit.re/rpirEM10

Bibliographie

Références historiques

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Références plus récentesartiGUE Michèle (2011) - L’impact curriculaire des technologies sur l’éducation.Xiii ciaEM-iacME. laGranGE Jean Baptiste (2000) – Approche didactique et cognitive d’un instru-ment technologique dans l’enseignement. Le cas du calcul formel en lycée. thèse l’habi-litation (hdr). Paris Vii.troUchE luc (2005) - Construction et conduite des instruments dans les appren-tissages mathématiques : nécessité des orchestrations, recherche en didactique desMathématiques (rdM) 25/1 – p. 91-138.


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Conclusion

il y a de nombreuses approches possiblespour analyser le passage des mathématiques théo-riques telles qu’elles sont enseignées jusqu’enl3 et évaluées aux écrits des concours à desmathématiques où la mise en œuvre d’illustrationspar la simulation participe, assez systémati-quement, du processus de conceptualisation desapprenants, évaluées, elles, aux oraux desconcours. l’approche développée ici est cen-trée sur — et donc optimisée pour — la qua-lité de la pratique des ticE en formation ini-tiale des futurs enseignants en intégrant enparticulier le glissement de paradigmes — quise joue en général dans la société — dans sareprise curriculaire institutionnelle.

En proposant de faire vivre la pratiquemathématique des étudiants plongée dans unmonde où les dimensions théoriques n’ont plusla même pertinence, cette intégration renforcela qualité de la pratique des ticE, et par là mêmela consolide. Elle se fait, sur des activités choi-sies à cet effet, essentiellement par un ques-tionnement - verbalisation des pratiques - pourune conscientisation régulière des enjeuxmathématiques dans les choix de simulation. lethème des tangentes communes à deux paraboles,par les retours du calcul formel, les choixd’interface des paraboles, les cas particuliers ren-contrés, est une situation suffisamment riche pourillustrer cette démarche de différentes façons.

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