Intégrales impropres

Qu’arrive-t-il si l’intervalle d’intégration est infini?

Qu’arrive-t-il s’il y a une discontinuité dans l’intervalle?

Qu’arrive-t-il si s’il y a une discontinuité dans l’intervalle et que celui est infini?

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Deux types d’intégrales impropres :

Celles où au moins une des bornes d’intégration est infinie Celles qui possèdent une discontinuité à l’intérieur de

l’intervalle d’intégration

Dans les deux cas, on remplace la «valeur fautive» par un paramètre t. On calcule l’intégrale définie avec ce paramètre t, puis on évalue la limite quand t tend vers cette valeur fautive.

Le calcul de la limite est toujours la dernière étape à effectuer. Si la limite existe (donne un nombre réel), on dira que l’intégrale

est convergente (converge vers cette valeur réelle). Si la limite n’existe pas ou égale ± ∞, l’intégrale est dite

divergente

Mise en situation

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1er cas : Au moins une borne infinie

( ) lim ( )t

ta a

f x dx f x dx

( ) lim ( )b b

tt

f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )c c t

t tc t c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

où c est un point quelconque de l’intervalle

Remarque : les deux intégrales doivent converger pour que l’intégrale converge

a ta

x x

y y

btb-

- xx

yy

Si les deux bornes sont infinies: on sépare l’intégrale en deux intégrales afin de revenir sur les cas précédents.

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Trompette de Torricelli

22 2

2

1 1 1

3

1 1 où donc

l im lim

lim 01

tt

t t

t

dV r dx r dV dx x dxx x

V dV x dx

ut

x

l’intégrale converge

Soit la surface comprise entre la courbe de 1/x et l’axe des x (de 1 à l’infini) qui tourne autour de l’axe des x. Cela génère un solide de révolution appelé le cor de Gabriel ou la trompette de Torricelli (1608-1647)

5

Exemple : les deux bornes sont infinies

0

2 2 20

0

2 20

00

1 1 1

1 1 1

1 1lim lim

1 1

lim arctan( ) lim arctan( )

lim arctan(0) arctan( ) lim arctan( ) arctan(0)

0 ( / 2) (0 / 2)

t

t tt

ttt t

t t

dx dx dxx x x

dx dxx x

x x

t t

l’intégrale converge

6

( ) lim ( )b b

t aa t

f x dx f x dx

Si f(x) est discontinue en x = a

Si f(x) est discontinue en x = b

( ) lim ( )b t

t ba a

f x dx f x dx

Si f(x) est discontinue en x = c ]a, b[

( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( )b c b t t

t c t ca a c a p

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

a b bta

a b a t b

Remarque: les deux doivent converger pour que l’intégrale converge

2e cas: Discontinuité dans l’intervalle

7

Discontinuité sur une borne d’intervalle

1

01 10 0

1

1 1lim lim ln 1

1 1

lim ln 1 0

tt

t t

t

dx dx xx x

t

l’intégrale diverge

1Soit ( ) . Cette fonction est discontinue en 1.

1f x x

x

8

Discontinuité à l’intérieur de l’intervalle

1 0 1

1/3 1/3 1/31 1 0

1 1 1dx dx dx

x x x

11/3 1/3

0 01

12/3 2/3

0 0

1

12/3 2/3

1 00

2/3 2/3

0 0

lim lim

lim lim2 2

3 3

3 3lim lim

2 2

3 3lim 1 lim 1

2 23 3 3 3

0 1 1 0 02 2 2 2

t

t tt

t

t t

t

t

ttt

t t

x dx x dx

x x

x x

t t

Discontinuité en x = 0

1/31

( )f xx