Introduction à la géostatistique et variogrammes

GLQ3401 Intro stat + variogrammes- D. Marcotte 1

Introduction la gostatistique et variogrammes

Automne 2003


Plan

Rappels statistiques 1 v.a. 2 v.a.

Point de vue gostat Gisement vs modle stat

Historique Effet support Effet information Gostatistique linaire

Hypothse de stationnarit Variogramme exprimental Modles Problmes et stratgie de modlisation


Une v.a. (continue) est entirement caractrise par sa fonction de densit

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi normale, m=5, =3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi lognormale, m=5, =3

Intgrale: probabilit


Rsumer une distribution par certaines statistiques

Tendance centrale (moyenne)

-10 -5 0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Loi normale, =3

m=5m=10m=15


Dispersion autour de la moyenne (cart-type)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Loi normale, m=5

s=1s=3s=6


Asymtrie

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi normale, m=5, =3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

Loi lognormale, m=5, =3

-10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3Loi lognormale, m=5, =9

= 3.84

= 0

= 0.44


Le type de loi peut avoir une grande influence sur les ressources et la valeur dun gisement.

Exemple : gisement m=2, =2, t.coupure = 1

1.131.40Profit conv

2.703.02Teneur

0.660.69Tonnage/T0

LognormaleNormale


Deux v.a.

Loi binormale, 1=2 2=5 =0.8 Loi binormale, 1=2 2=5 =0.2

Un couple de v.a. X et Y (continues) est entirement caractris par la loi de densit conjointe f(x,y)


On peut rsumer une distribution bivariable par diffrentes statistiques dont :

- moyennes des 2 variables- cart-types (ou variances) des 2 variables- corrlation (ou covariance) entre les 2 variables

La covariance mesure le degr dassociation entre 2 v.a.

La corrlation est la covariance entre 2 v.a. normalises pour prsenter un cart-type de 1

YXXY

)Y,X(Cov=


-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.3

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.7

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

r=0.96

-4 -2 0 2 40

2

4

6

8

r=0


0 5 10 15 200

5

10

15

20

r=0.4

0 5 10 15 200

10

20

30

40

r=0.68

0 5 10 15 200

10

20

30

r=0.92


Esprance mathmatique

Notion fondamentale

Si g(X)=(X-m)2 => E[g(X)] = Var(X)

Si g(X,Y)= (X-mx) (Y-my) = Cov(X,Y)

=

==

dxdy)y,x(f)y,x(g)]Y,X(g[E

dx)x(f)x(g)]X(g[E

dx)x(xf]X[E

Y,X

X

X


Proprits de lesprance mathmatique

E est un oprateur linaire =>E[c g(X)]= c E[g(X)]E[g(X) + h(X)] = E[g(X)] + E[h(X)]E[g(X,Y) + h(X,Y)] = E[g(X,Y)] + E[h(X,Y)]

En particulier

)X,X(Cov*2)X(Var)X(Var)XX(Var 212121 ++=+)X,X(Cov*ab2)X(Varb)X(Vara)bXaX(Var 212

21

221 ++=+

= ==

=n

1i

n

1jjiji

n

1iii )X,X(Covaa)Xa(Var

Une des expressions qui revient le plus souvent en gostat


( ) = dxdy))y(z),x(z(Covcdx)x(zcVar 2 Une autre expression qui revient souvent en gostat

( ) = dxdy))y(z),x(z(Covabdy)y(zb ,dx)x(zaCov


Point de vue de la gostat

Z(x2)

Z(x3)

Z(x1)

Gisement

Gisement => infinit de points ou trs grand nombre de quasi-points x : emplacement gographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction alatoire (de x))


Impossible destimer partir des donnes la loi de densit conjointe

Impossible destimer partir des donnes la loi de densit bivariable

Impossible destimer partir des donnes la loi de densit dune variable

Cul de sac ? Oui -> zut, cours termin !

Non -> youppi cours pas termin !


sortie

-Hypothses

-Questions auxquelles le modle permet de rpondre

Gamme de questions Hypothse Gnralit

-Simulations

-Mthodes non-linaires

-Mthodes linairesHypothse


Historique de la gostatistique

1930-1950 Thorie des fonctions alatoires (Kolmogorov, Wiener) 1955 Daniel Krige : approche empirique (rgression) pour corriger

problmes de biais conditionnel observ dans les minesPourquoi moins que prvu ?Comment prvoir et tenir compte de leffet support ?

1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (mtorologie) dveloppent ensemble doutils => naissance de la gostat linaire stationnaire. Rponse aux questions de Krige. Matheron donne le nom de krigeage la mthode destimation quil dveloppe.

1970 Polytechnique est la 1re Universit en A. du N. enseigner la gostat (M. David)


Historique (suite)

1973 gostat linaire non-stationnaire * 1975 gostat non-linaire 1977 1er livre en anglais de gostat (M. David) 1980 gostat linaire multivariable * 1985 simulations *

* Domaines encore actifs de recherche

Aujourdhui, la gostat est applique dans une foule de domaines (mines, ptrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogologie, gotechnique, pches, biologie, biomdical,)


Effet supportGisement A Gisement B

Comment prvoir ces comportements diffrents ?Quel est limpact $$ ?

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10

0 5 10


Effet information

VraiMinerai rejet

Strile trait

Estim

Prvoir ltendue des plages derreur et pertes en $ ?valuer $ en information pour rduire les pertes ?

On mine partir destims mais on rcolte des valeurs vraies !


tonnage extrait gal

on rcupre toujours moins de mtal avec des gros blocs quavec des petits blocs (effet support)

=> on rcupre toujours moins de mtal avec des estims quavec les vraies valeurs (effet information)

La gostatistique permet thoriquement

- Prvoir lampleur de ces effets- Minimiser ces effets- Prendre des dcisions claires au vu de ces effets


Gostatistique linaire

Questions Estimation de teneurs ponctuelles ou blocs Prcision associe ces estimations

Hypothse Stationnarit du second ordre

Les caractristiques sont moyenne, variance et covariance

Deux paires de points espacs dun mme vecteur h ont des caractristiques

semblables


Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x1)

Z(x2)

Diagramme binaire

Moyenne ? Variance ? Covariance?

+ hypothse stationnarit h scattergram

Z(x)

Z(x+h)

Gisement

hhh

h h


h1 scattergram

Z(x)

Z(x+h)Faire varier h

Gisement

h1h1h1

h1 h1

h2 scattergram

Z(x)

Z(x+h)

Gisement

h2

h2


h peut varier en direction et en module.

|h| =1

Z(x)

Z(x+h)

|h| =2

Z(x)

Z(x+h)

|h| =2

Z(x)

Z(x+h)

|h| Cov

On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme

-Tolrance sur la direction

-Tolrance sur le module


Exemple


Avec tolrance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction


En pratique, on ne sintresse qu la covariance (corrlation)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17

Z

(

x

+

h

)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085

Z

(

x

+

h

)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029

Z(x)

Z

(

x

+

h

)

2 4 6 8 10 12 14 16-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Fonction de covariance

h 0.5 =0 ou 180 15o

C

o

v

a

r

i

a

n

c

e


Le variogramme

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16

Z

(

x

+

h

)

Mesure la dispersion sur cette droite


Variogramme : dfinition

[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E 21h)+Z(x-Z(x)Var

21 = (h) =

DcrotCroth

Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var

Constante connueConstantem

CovarianceVariogramme


Lien entre variogramme et covariance

)h(Cov)h( 2 =

Covariance

Variogramme

h


Variogramme exprimentalChoisir une direction + tolrance angulaireDiscrtiser |h| en classes distinctesRpartir les paires dans les classes

[ ]=

)h(Ni

iie h)+x Z(- )xZ( N(h) 21 = (h)

1

2

N(h) : nombre de paires dans la direction considr et dans la classe de distance h


Exemple

1234321

h=1

4213231

1.3334

2.543

1.652

0.561

(h)N(h)h

0.8334

1.12543

1.2552

1.2561

(h)N(h)h

0 1 2 3 4 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

0 1 2 3 4 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3


Le variogramme dcrit la continuit spatiale du phnomne

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

0o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

45o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

90o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

135o


10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N0 5 10 15 20 25

0

1000

2000

30000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000135o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300045o


10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

+

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

=

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

40000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000135o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400045o

Effet ppite caus par le bruit ajoutNotez comme la structure sous-jacentedemeure trs visible


50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g

(

h

)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g

(

h

)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

x

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

h

g

(

h

)

Variogramme

3 exmples en 1D


Le variogramme est une statistique dordre 2

Ce nest pas suffisant pour caractriser tous les aspects dune image ou dun processus

e.g. on peut crer plusieurs images ayant mme m , mme variogramme et prsentant pourtant des textures trs diffrentes


Variogramme exprimental

(h)

|h|h moyen dans

la classe

?

?

?

Dans les calculs gostat, on doit connatre Cov ou pour tout h

Modle


(h)

|h|

?Non, le modle doit tre admissible

Modle admissible : modle assurant que toute variance calcule partir de celui-ci est positive

Modles dmontrs admissibles


Gnralement,

(h)

+ +

+ ++

++Palier : 2 = C0 + C

Effet de ppite : C0

Porte : a|h|


0 50 100 150 2000

0.5

1

Gaussien

0 50 100 150 2000

1

2

Linaire

0 50 100 150 2000

0.5

1

Linaire avec palier

0 50 100 150 2000

1

2

3

Fractal avec b=1.5

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Fractal avec b=0.5

0 50 100 150 2000

2

4

6

DeWijsien

0 50 100 150 2000

1

2

Effet de trou cosinus

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Effet de trou sinus

0 50 100 150 2000

0.5

1

Ppite

0 50 100 150 2000

0.5

1

Exponentiel

0 50 100 150 2000

0.5

1

Sphrique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Circulaire

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Gravimtrique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Magntique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Cubique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Penta-sphrique (Christakos, 1984 p.264)

Exemples de modle


0 50 100 150 2000

0.5

1

Quadratique (Alfaro, 1984)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stable (Lantujoul,1994)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Hyperbolique (Lantujoul, 1994)

0 500 1000 15000

0.5

1

BK Matern, p.30, 4e, s=2

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos,1984, p.261

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262

0 50 100 150 2000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262 (74)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Cosinus hyperbolique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stein

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Whittle

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=1

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=3

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

BJ Matern p.30, 3e, k=0

0 500 1000 15000

0.5

1


0 500 1000 15000

0.5

1


0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Bessel 2: Mantoglou et Wilson


Toute somme (coefficients positifs) de modles de variogramme est admissible

Toute somme (coefficients positifs) de modles de covariance est admissible

Tout produit (coefficients positifs) de modles de covariance est admissible

Chaque modle peut tre isotrope ou anisotrope, les directions danisotropie peuvent varier dun modle lautre

Un modle peut tre admissible en 1D et non-admissible en en 2D, 3D,.


Modles de base en mineEffet de ppite

h

(

h

)

0h si C 0h si 0)h(

0 >==

-Erreurs de mesure

-Erreurs de localisation

-Erreurs danalyse (Gy)

-Microstructure non-identifiable d au manque de donnes

Presque toujours prsent mais rarement seulEffet de ppite pur => estimation impossible


Sphrique

h

(

h

)


Exponentiel

h

(

h

)

Assez commun

Semblable au sphrique

a: porte effective (h)=0.95*Ca=a/3

=

a|h|3exp1Cou

'a|h|exp1C)h(


Gaussien

h

(

h

)

-Peu frquent en mine-Variables trs continues :e.g. topographie, gravimtrie, magntisme,paisseur,- Problmes numriques si absence deffet de ppite

a: porte effective (h)=0.95*Ca=a/30.5

=

22

a|h|3exp1Cou

'a|h|exp1C)h(


hb

h

(

h

)

b=1b=1.4b=0.6 -Modles sans palier

-Moyenne, variance et covariance non dfinies

2b0 0,|h| a

|h|C)h(b

=


Problmes Problmes ProblmesDonnes extrmes influencent beaucoup le variogramme

10 0 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

10

20

30

40

50

60

70


Distance

g

a

m

m

a

(

h

)

0 0 10 0 0 0

0 1 2 3 4 5 60

5

10

15

20

25

30

35


Distance

g

a

m

m

a

(

h

)


Zone A: (pas de 2m)

4 4 5 6 6 7 6 5 4

Zone B: (pas de 1m), zone +variable

8 6 8 10 12 8 10 12 14 10 8 6 12 8 10 10 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

8

7

6 5

Variogram m e exprim ental

Dis tance

g

a

m

m

a

(

h

)

Zone A

17

16

15

14

13

12

11

10

9

Zone B

17 24

15

21

13

18

11

15 9

Zone A+B

-tudier les zones sparment ?

-Sous-chantillonner la zone B


Pratique de confirmer prfrentiellement les teneurs riches

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50Variogrammes

h

(h)

Grille regulire Grille+10 doublonsGrille+doublons

A pour effet de fournir beaucoup de paires petite distance et montrant de trs fortes variations

Si on rchantillonne chaque point, pas de problme


Erreurs de localisation

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Variogrammes

h

(h)

Localisations vraies Localisations erronnes


La gologie ne collabore pas toujours

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20Positions observes

x

y

-5 0 5 10 15 20-5

0

5

10

15

20Positions "dplies"

x

y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes initiaux

h

(h)

Dir. xDir. y

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Variogrammes aprs "dpliage"

h

(h) // strates

Perpendiculaire

Certains logiciels permettent de passer un systme de coordonnes gologiques


Anisotropies1- Gomtrique : les portes dcrivent une ellipse

agap

{ }

aa a

a ag p

p g

=

+2 2 2 2 1 2cos sin /

= 0

= 30 = 45 = 60 = 90


2- zonale : toute anisotropie qui nest pas gomtrique

=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies gomtriques

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

(

h

)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

(

h

)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

(

h

)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

(

h

)

M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c

3 7 7 0 0 . 5

3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5

3 - g a u s s i e n

3 - g a u s s i e n

Gaussien isotrope a=7, C=0.5+

Gaussien aniso gom.a45=17a135=

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions


0 5 10 15 200

1000

2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

(

h

)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

(

h

)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

(

h

)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

(

h

)

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N

Modle sphrique avec anisotropie gomtriqueA(135)=20.4, a(45)=13.8

Oh non, je ne vais pas encore

me faire variographer!


Stratgie de modlisation Dfinition minutieuse du domaine Examen des donnes, donnes extrmes ? Au besoin sous-chantillonnage des donnes pour viter de sur-reprsenter

des zones particulires Variogramme omnidirectionnel => modle isotrope candidat Dterminer directions gologiques principales Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux

paramtres de calculs (classes de distance et tolrance) Comparer variogrammes directionnels au modle isotrope candidat

acceptable => termin Inacceptable => ajuster un modle anisotrope (gomtrique)

anisotrope (gomtrique) acceptable => termin Inacceptable => anisotropie zonale ?

Dans tous les cas, il importe surtout dajuster les premiers points du variogrammeviter de surajuster les donnes


Remarques concernant le calcul des variogrammes

Objectifs:

au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme 4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modle h < hmax/2

Doit avoir un minimum de donnes

>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels

Influence le choix de largeur des classes


0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

Variog. directionnels

Variog. omni

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Exemple


N=30 N=60 N=200

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

14

38

52 78

64 76

46


h

(

h

)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

0 20 40 600

0.5

1

1.5

16

38 59

70 89 105

137


h

(

h

)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

Effet de ppite apparent

0 20 40 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

51

164 273

341 459 522 593 615 721

769


h

(

h

)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

M o d . i s o . :

1 1 0 .

4 2 5 . 5 0 .

1 - p p i t e

4 - s p h r i q u e


N=40000 N=200

0 20 40 600

0.5

1

15 39

66

89 126

159 156 154

161 212

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)

h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1

14

46

62 79

121 113 149 147

181 174


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1

5

39 72

82

96 139 152

171

172

200


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1

17

40 73

91

116

111 136

143 207 183


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

0 20 40 600

0.5

1


h

(

h

)

Ajustement bon; ne peut tre amlior sans altrer les autres ajustements


Pour dtecter une anisotropie, il faut pouvoir calculer le variogramme dans la direction de meilleure continuit. Celle-ci nest pas toujours connue.

= 0

= 30 = 45 = 60 = 90

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0

10

20

30

Rapport apparent en fonction de la direction (: angle avec ag) et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag / ap

R

a

p

p

o

r

t

a

p

p

a

r

e

n

t

:

a

/

a

+

9

0

Tout cart => sous-estimation de lanisotropie

Faible anisotropie peut passer inaperue


Tolrance angulaire doit tre maintenue faible variogrammes peu directionnels=> sous-estimation de lanisotropie

1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

10

20

30

40

0tolrance

Rapport apparent en fonction de la tolrance et du rapport d'anisotropie

Rapport vrai: ag / ap

R

a

p

p

o

r

t

a

p

p

a

r

e

n

t


En 3D

Meilleures directions pour le calcul => directions des forages

- Permet de bien estimer le variogramme petite distance- Erreurs de localisation et de direction ont moins dimpacts surle variogramme car les distances inter-carottes demeurent inchanges

Hic: - Ncessite des forages ayant diffrentes directions pour pouvoir modliser lanisotropie


Autres outils utiles-Validation croise de modles candidats (krigeage); eg. Tester un modle

isotrope vs anisotrope; tester un effet de ppite de 10% vs 30%;

-Modle permet de prdire les variances des composites de tailles diffrentes ?

-Modle permet de prdire les variances des valeurs kriges ?

-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la

(les) porte, limportance approximative de leffet de ppite

-Variogramme dune transformation des teneurs (e.g. rang), mme chose que

les log

Introduction la gostatistique et variogrammesPlanDeux v.a.Esprance mathmatiqueProprits de lesprance mathmatiquePoint de vue de la gostatHistorique de la gostatistiqueHistorique (suite)Effet supportEffet informationGostatistique linaireExempleLien entre variogramme et covarianceVariogramme exprimentalExempleExemples de modleModles de base en mineProblmes Problmes ProblmesAnisotropiesStratgie de modlisationRemarques concernant le calcul des variogrammesExempleEn 3DAutres outils utiles

Documents

Introduction à la géostatistique et variogrammes