Introduction à La Logique Mathématique.pptx

7/21/2019 Introduction La Logique Mathmatique.pptx

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Introduction la logiquemathmatiqueEncadr par: Mr Laroussi Gary

Anim par: Mr Houssem Eddine Fitati

Anne scolaire 2012 2013

CREFOC-Rads


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Plan du cours

Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013

Assertion et prdicat

Proprits

Les connecteurs logiques

Les quantificateurs mathmatiques

Diffrents modes de dmonstration


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Prdicat:

Dfinition:

Un prdicat est un nonc

mathmatique contenant des

lettres appeles variables

tel que quand on remplace

chacune de ces variablespar un lment donn dun

ensemble, on obtient une

assertion.

Exemple:

Lnonc suivant :

P(n) = n est un multip

est un prdicat car il

une assertion quand on une valeur n.

P(10) = 10 est un mde 2 est une asvraie,

P(11) = 11 est un mde 2 est une asIntroduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013


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Remarque:

Une assertionsinterprter cun prdicat variable, cest

comme un ptoujours vratoujours faux.



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Les connecteurs logiquNgation, conjonction , disjonction , implication &quivalence.



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Disjonction:

Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P ou Q ,appel disjonction de P et de Q, est un prdicat qui:

est vrai lorsque lun au mois des deux prdicat P et vrais,

est faux lorsque les deux sont faux.

On rsume ceci dans la table de vrit:

On crit par fois : PQau lieu de P ou Q.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013

P Q

V V

F VV F

F F


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Implication:

Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P Q appel implicatio

vers Qest un prdicat qui:

est faux lorsque P est vrai et Q faux,

est vrai dans tous les autres cas.

On rsume ceci dans la table de vrit :

On dit que P est une condition suffisante pour Q.

Q P sappelle limplication rciproque de P Q.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013

P Q

V V

F V

V FF F


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Equivalence:

Soient P et Q deux prdicats. Le prdicat P Q appel quivale

P et de Q est un prdicat qui:

est vrai lorsque P et Q sont simultanment vrai ou faux,

est faux dans tous les autres cas.

On rsume ceci dans la table de vrit :

(P Q) et (Q R) se note: P Q R.

(P Q) et (Q R) se note: P Q R.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013

P Q

V V

F V

V FF F


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Propritsquivalence , tautologie , prdicats incompatibles



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Tautologie:

Considrons un prdicat P. Ce prdicat peut prendre la va

vrit) Vrai ou Faux. Considrons le prdicat compos :R = P ou non (P) .

Ce prdicat est remarquable. En effet, R est toujours vraindpendamment de P. Vrifions-le :

Le prdicat compos R est alors qualifi

de tautologie.

Dfinition:

Un prdicat compos R qui est vrai quelles que soient les valeu

vrit des prdicats qui le composent, est appel une tautologieIntroduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013

P Non P P o

V F

F V


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Prdicats incompatibles:

Soit P un prdicat. Considrons le prdicat compos :

P et non (P) .

Ce prdicat est toujours faux. Vrifions-le :

On dit que les prdicats P et non(P) sont incompatibles.

Dfinition:

On dit que deux prdicats composs sont incompatiblessi leur conjonction e

quelles que soient les valeurs de vrit des prdicats qui les composent.


P Non P P et non P

V F FF V F


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Proprits incontournables:

Soit P et Q deux prdicats , on a les les quivalenceslogiques suivantes:

1) P Q (non P) ou Q

2) (Non P) Q P et (non Q)

3) P Q (non Q) (non P)

4) P Q (P Q ) et (Q P )

On dit que Q est une condition ncessaire pour P.

Limplication: (non Q) (non P) est appele la

contrapose de P Q .Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013


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Quantificateurs simples:

En effet, on se convainc facilement de lquivalence lo:

! x E P(x) R1 et R2

O les deux assertions R1 et R2 sont dfinies comme

R1= x E P(x) . R2= xE xE ( P(x) et P(x)) x=x

Lassertion R1traduit lexistance dun lment de Evrifiant p(x)

Lassertion R traduit lunicitde cet lment.Introduction la logique mathmatique CREFOC Rads2012~2013


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Quantificateurs multiple:

Exemples:

Soit le prdicat deux variables avec z et n

est vra

Alors, lassertion z C n N P(z, n) est vraie.

Lassertion quantifie: n x +1+nx(1+x)n

vraie

Lassertion quantifie: x R y R x + y = 5 est v



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