la logique floue - Hébergement de projets Open Sourceprojets.developpez.com/attachments/.../660/Tr-logique-flouex4_1_.pdf · 9 Logique floue : plan 1. Introduction 2. Des pr dicats

IntroductionIntroduction

àà

la logique flouela logique floue

Antoine Antoine CornuéjolsCornuéjols

AgroParisTechAgroParisTech

antoineantoine..cornuejols@[email protected]

http://www.lri.fr/~antoinehttp://www.lri.fr/~antoine

(Transparents (presque) entièrement repris(Transparents (presque) entièrement repris

de Monique Polit)de Monique Polit)

2

Logique floue : planLogique floue : plan

1. Introduction

2. Des prédicats flous

3. Opérations sur les ensembles flous

4. Comment implanter un raisonnement flou

5. Illustrations

3


1. Introduction




5. Illustrations

4

Introduction (1)Introduction (1)

! Un peu d’histoire

– 1965 L. A. Zadeh «Fuzzy sets»

– 1975 E. H. Mandani Expérimentation d’un régulateur flou

– 1985 M. Sugeno Applications industrielles possibles

– 1995 J. S. R. Jang Logique floue élargie aux systèmes à réseaux de neurones et à l’ Intelligence Artificielle.

! Les ensembles flous : extension des ensembles «classiques» (crisp set)

5


! Structure classique d’un régulateur flou

Variablesd’entrée

Fuzzification Raisonnementflou

Défuzzification

Base de règlesfloues

Méthoded’inférence

floue

Opérateurs delogique floue

Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Régulateur flou+

-

c e uSystème

y

6


! Exemple : déplacement du robot le long du mur

– Si la distance est petite, tourner à gauche (angle négatif)

– Si la distance est autour de 10 cm, garder la direction actuelle

– Si la distance est grande, tourner à droite (angle positif)

!

d

-14 : angle de rotationDistance : 5 cm

7


! Des exemples d’applications dans le domaine industriel

– 1979 Cimenterie au Danemark

– 1987 Métro de Sendai (Hitachi)

– 1990 Conduite de hauts-fourneaux Dunkerque

– 1992 Usine de papier au Portugal

– Produits de consommation courante

! Autocuiseurs de riz, aspirateurs, machines à laver, système de climatisation…

! Appareils photos : autofocus, autoexposition, autozoom (Canon, Minolta).

! Caméras : autofocus, autoexposition, stabilisateur d’image (Sanyo, Canon, Matsushita).

! Photocopieurs : qualité d’image, distribution d’encre (Sanyo, Canon, Ricoh).

– Industrie automobile

! régulation du moteur, système de transmission, système de suspension, ABS, climatisation.

– Ascenseur : temps d’attente réduit, ascension et arrêt plus régulier (Hitachi)

– ...

8


! Quand utiliser un régulateur flou ?– Difficulté (ou incapacité) de modéliser le processus : processus complexes, processus

non linéaires.

– Coût de la modélisation en terme de temps, moyens… trop élevé.

– Amélioration des performances de régulateurs «linéaires».

! Points forts

– Structure simple, coût de la synthèse et de l’implémentation «faible».

– Proche du langage courant, facilité de modification.

! Idées fausses– Permet de réguler un processus sans aucune notion de régulation.

! Il faut des bases ...

– Permet de traiter de connaissances imprécises

! régulateur déterministe, exprime une relation déterministe entre ses entrées et ses sorties,

! fonction non linéaire définie de façon intuitive, intelligible, ayant une signification précise.

9


1. Introduction




5. Illustrations

10

Ensembles flous (1) - IntroductionEnsembles flous (1) - Introduction



Défuzzification



floue


Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Ensemblesflous

Fuzzification

11

! Définitions

– Un ensemble flou A est défini sur un univers de discours U (ensemble

d’éléments discrets ou continus) par sa fonction d’appartenance !A. La

grandeur !A(x) définit le degré d’appartenance de l’élément x à l ’ensemble A.

– L’ensemble flou vide est noté " , il est défini par :

– Le plus grand ensemble flou sur U est noté 1U , il est défini par :

Les ensembles flous (2) - DéfinitionsLes ensembles flous (2) - Définitions

[ ]( )( ))( }{

( ) ( ) }{( ) ( ) }{ 1

0

,

1,0:

=!=

"!=

!=

#

#

xUxAnoy

xUxAsupp

UxxxA

xx

U

A

A

A

A

A

µ

µ

µ

µ

µnoyau = noy(A)

frontièrefrontière

support : supp(A)

1

0

#A(x)

x

( ) Uxx !"= ,0#µ

( ) UxxU

!"= ,11µ

12

– Les fonctions d’appartenance peuvent avoir diverses formes selon leur définition :

! triangulaire, trapézoïdale,

! Gaussienne,

! Sigmoïdes...


13

– Exemples :


[ ] [ ]

( )

( )

( )!!!

"

!!!

#

$

%=

<<&

=

'=

(

(

350

352015

20

201

1,0100,0:

xsix

xsix

x

xsix

x

jeune

jeune

jeune

jeune

µ

µ

µ

µ [ ] [ ]

( )

( )

( )

( )!!!

"

!!!

#

$

<<%

=

&&=

<<%

=

'&=

(

(

755520

55

55351

352015

20

75200

1,0100,0:

xsix

x

xsix

xsix

x

xouxsix

x

mûr

mûr

mûr

mûr

mûr

µ

µ

µ

µ

µ

[ ] [ ]

( )

( )

( )!!!

"

!!!

#

$

%=

<<&

=

'=

(

(

750

755520

55

550

1,0100,0:

xsix

xsix

x

xsix

x

vieux

vieux

vieux

vieux

µ

µ

µ

µ

14

– Exemples :


[ ] [ ]

( )

2

152

1

1,0100,0:

!"

#$%

&'(

=)

)

x

jeune

jeune

exx µ

µ

[ ] [ ]

( )

2

12

45

2

1

1,0100,0:

!"

#$%

& '('

=)

)

x

mûr

mûr

exx µ

µ

[ ] [ ]

( )

2

20

100

2

1

1,0100,0:

!"

#$%

& '('

=)

)

x

vieux

vieux

exx µ

µ

15

– Pour une variable x0 exacte, l’ensemble flou correspondant, noté x0 , doit être

représenté par un fait précis. On utilise un singleton. Sa fonction d’appartenance !

x0 est définie par :


[ ]

( )!"#

$=

=%

%

0

0

0

1

1,0:

0

0

xxsi

xxsixx

U

x

x

µ

µ

x0

1

0

#X0(x)

x

16


1. Introduction




5. Illustrations

17

Les ensembles flous (7) - OpérationsLes ensembles flous (7) - Opérations

! Opérations sur les ensembles flous

– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les opérations logiques d’union (ou),d’intersection (et) et de complémentation (non) peuvent être appliquées auxensembles flous. Leur définition ne sont pas uniques.

– Les définitions les plus souvent rencontrées sont : le max et le min (Mandani), leproduit et la somme moins le produit (Sugeno)

– Exemple dans le cas Mandani

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Uxpour

xxcasdeuxlesDans

xxxetxxxxxSugeno

xxxetxxxMandani

AA

BABABABABA

BABABABA

!

"=

#=#"+=

==

$%

$%

µµ

µµµµµµµµ

µµµµµµ

1:

:

),min(),max(:

1

0

#A∪B(x)

x

#A(x) #

B(x) 1

0

#A∩B(x)

x

#A(x) #

B(x) 1

0x

#A(x)#A (x)

1

0

#A∪B(x)

x

#A(x) #

B(x) 1

0

#A∩B(x)

x

#A(x) #

B(x) 1

0x

#A(x)#A (x)

18

Les ensembles flous (Les ensembles flous (8)8) - Notion de - Notion de T-normeT-norme

! Opérations sur les ensembles flous

– Des familles d’opérateurs autres que le maximum (U), le minimum (!)et le

complément à 1 (¬) ont été définis dans le domaine des espaces métriques

probabilisés

! Les T-normes (intersection)

– T(x,y) = T(y,x) (commutativité)

– T(x, T(y,z)) = T(T(x,y), z) (associativité)

– T(x,y) ! T(z,t) si x ! z et y ! t (monotonie)

– T(x,1) = x (élément neutre)

(Min satisfait ces propriétés)

! Les T-conormes (union)

– ⊥(x,y) = ⊥(y,x) (commutativité)

– ⊥(x, ⊥(y,z)) = ⊥(⊥(x,y), z) (associativité)

– ⊥(x,y) ! ⊥(z,t) si x ! z et y ! t (monotonie)

– ⊥(x,0) = x (élément neutre)

(Max satisfait ces propriétés)

19

! L’union d’un ensemble flou et de son complément ne donne pas l’univers du discours

! Propriétés des ensembles flous

– Comme dans le cas des ensembles «classiques», les ensembles flous possèdentcertaines propriétés.

– Les deux propriétés suivantes ne sont pas «classiques»

! L’intersection d’un ensemble flou et de son complément n’est pas vide

Les ensembles flous (Les ensembles flous (9)9) - Propriétés - Propriétés

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

AAAAAAIdentité

AAAAAAeIdempotenc

CABACBACABACBAvitéDistributi

CBACBACBACBAitéAssociativ

ABBAABBAitéCommutativ

UUU =!=!="="

=!="

!"!="!"!"=!"

!!=!!""=""

!=!"="

1,,11,:

,:

,:

,:

,:

###

!"# AAioncontradictdeLoi :

1

0x

$#$∩A (x) $

UAAmiddleexcludedduLoi 1:"" !" 1

0x

$#$∪A (x) $

20


1. Introduction




1. Relations

2. Modus Ponens généralisé

3. Deffuzification

5. Illustrations

21

Les relations floues (1) - IntroductionLes relations floues (1) - Introduction



Défuzzification



floue


Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..


Raisonnementflou

22

– Relation floue :

! Une relation floue sur deux univers U et V est un ensemble flou :

! On ne parle plus de fonction caractéristique mais de fonction d’appartenance.

! La relation floue est binaire si U=V

! Exemple :

– Soit l’univers U = { 1, 2, 3 }, la relation R « est approximativement égal à » peut-être définie

par :

– Notation matricielle :

Les relations floues (Les relations floues (2)2) - Définitions - Définitions

[ ]( ) ( )vuvu

VUR

R,,

1,0:

µ!

!"

{ } { } [ ]

( ) ( )!"

!#

$

=%

=%=

=&

&'

23,0

18,0

1

,,

1,03,2,13,2,1:

vusi

vusi

vusi

vuvu

R

Rµ

!!!

"

#

$$$

%

&

18.03.03

8.018.02

8.03.011

321

23

! Opérations sur les relations floues

– On définit l’union et l’intersection de deux relations floues par :

Les relations floues (Les relations floues (33) - Opérations) - Opérations

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )vuvu

VUSet

vuvu

VURSoient

SR,,

1,0:

,,

1,0:

µµ !

!"

!

!"

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )),,,min(,

),,,max(,

:

vuvuvuet

vuvuvu

MandanisensauAlors

SRSR

SRSR

µµµ

µµµ

=

=

!

" ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )vuvuvuet

vuvuvuvuvu

SugenosensauAlors

SRSR

SRSRSR

,,,

,,,,,

:

µµµ

µµµµµ

!=

!"+=

#

$

24

! Exemple (cas Mandani) :

– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « x est très proche de y »

– R ∪ S = « x est beaucoup plus grand que y » ou « x est très proche de y »


( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxRµ ( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxSµ

( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

!!!!

"

#

$$$$

%

&

!!!!

"

#

$$$$

%

&

!!!!

"

#

$$$$

%

&

='

LLLL

LLLL

LLLL

3

2

1

4321

3

2

1

4321

3

2

1

4321

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0max,

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

yxSRµ

( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

!!!!

"

#

$$$$

%

&

!!!!

"

#

$$$$

%

&

!!!!

"

#

$$$$

%

&

='

LLLL

LLLL

LLLL

3

2

1

4321

3

2

1

4321

3

2

1

4321

5.08.003.0

7.05.04.09.0

6.09.004.0,

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0min,

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

x

x

x

yyyy

yxSRµ

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

8.08.019.0

7.05.08.09.0

7.09.01.08.0

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

5.07.003.0

004.00

6.01.004.0

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

– R ∩ S = « x est beaucoup plus grand que y » et « x est très proche de y »

25

– Soit une relation floue sur U ! V, la projection de R sur U (%U) et la projectionde R sur V (%V) sont définies par :

! Exemple :


( ) ( ){ } ( ) ( ){ }UuvuvetVvvuuAlorsRR

VU

!=!= "" ,sup,sup µµµµ

[ ]( ) ( )vuvu

VURSoit

R,,

1,0:

µ!

!"

( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxRµ

4321

8.07.019.0

yyyy+++=

321

8.018.0

xxx++=( )

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

(

))))

*

+

,,,,

-

.

=/ Yy

x

x

x

yyyy

xalorsX

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0sup

3

2

1

4321

µ

( )

!!"

!!#

$

!!%

!!&

'

(

))))

*

+

,,,,

-

.

=/ Xx

x

x

x

yyyy

yetY

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0sup

3

2

1

4321

µ

26

– On définit le produit cartésien de deux ensembles flous A et B par (Mandani) :

! Le produit cartésien de deux ensembles flous est une relation floue.

– La composition de deux relations floues est définie par (Mandani) :


[ ]( )

[ ]( )vv

VBet

uu

UASoient

BAµµ !

!

!

! 1,0:1,0:

( ) ( ) ( )),min(, vuvuAlorsBABA

µµµ =!

[ ]( ) ( )

[ ]( ) ( )wvwv

WVSet

vuvu

VURSoient

SR,,

1,0:

,,

1,0:

µµ !

!"

!

!"

( ) ( ) ( )( ){ }wvvuwuAlorsSR

Vv

SR,,,minsup, µµµ

!

=o

27

! Exemple (au sens Mandani)

– R = « x est beaucoup plus grand que y », S = « y est très proche de z »


( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

3

2

1

4321

x

x

x

yyyy

yxRµ ( )

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

=

5.07.06.0

8.05.09.0

04.00

3.09.04.0

,

4

3

2

1

321

y

y

y

y

zzz

zySµ

( )!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

LLL

LLL

LLLo

o

3

2

1

321

4

3

2

1

321

3

2

1

4321

5.07.06.0

8.05.09.0

04.00

3.09.04.0

8.07.019.0

008.00

7.01.01.08.0,

x

x

x

zzz

y

y

y

y

zzz

x

x

x

yyyy

zxSRµ

!!!!

"

#

$$$$

%

&

=

7.09.07.0

04.00

5.08.06.0

3

2

1

321

x

x

x

zzz

– alors leur composition est R º S.

28


1. Introduction




1. Relations


3. Deffuzification

5. Illustrations

29

Le raisonnement flou (1) - IntroductionLe raisonnement flou (1) - Introduction



Défuzzification



floue


Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..Raisonnementflou



floue

30

! Implication

– Règle floue :

! Si X est A alors Y est B

µA µB

– Fait observé :

! X est A’

µA’

– Conclusion:

! Y est B’

µB’

Le raisonnement flou (2) - Le problèmeLe raisonnement flou (2) - Le problème

Comment calculer µB’(y) en fonction de µA’(x) et de µA(x) ! µB(y) ?

31

! Implication

– Logique classique :

! p ⇒ q équivaut à ¬p ∨ q on obtient la table de vérité suivante :

– Logique floue :

! Il n’y a pas une définition unique !

! L’extension de la définition précédente est appelée l’implication de Kleene-Dienes :

– A ⇒ B équivaut à

! On utilise couramment l’implication de Mandani :

Le raisonnement flou (2) - ImplicationLe raisonnement flou (2) - Implication

( ) ( ) ( )( )vuvuBABA

µµµ ,1max, !="

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

qpqp !

( ) ( ) ( )( )vuvuBABA

µµµ ,min, =!

32

! Le raisonnement approximatif

– Théorie du raisonnement approximatif introduite par Zadeh en 1979.

– Concept de base : La représentation de propositions par des formules affectant des

ensembles flous comme valeurs aux variables.

– Soient deux variables x ∈ X et y ∈ Y, et une relation de cause à effet entre x et y,

parfaitement connue : y = f ( x ). Alors on peut effectuer l’inférence :

prémisse : y = f ( x )

Fait : x = x ’

Conséquence : y = f ( x ’ )

Le raisonnement flou (3) - Le raisonnement approximatifLe raisonnement flou (3) - Le raisonnement approximatif

33

– La plupart du temps, on ne connaît le lien de cause à effet f entre x et y qu’en

certaines valeurs x particulières. On a une base de règles :

"1 : si x = x1 alors y = y1 et

"2 : si x = x2 alors y = y2 et

...

"n : si x = xn alors y = yn

Il faut alors, connaissant x’ ∈ X, trouver y’ ∈ Y correspondant à x’ conformément à

la base de règles.

– Le problème de base du raisonnement approximatif est de trouver la fonctiond’appartenance de la conséquence C d’une base de règles { "1, …, "n } quand le

fait x est A."1 : si x est A1 alors y est C1

"2 : si x est A2 alors y est C2...

"n : si x est An alors y est Cn

Fait : x est A

Conséquence : y est C


34

– La règle de raisonnement la plus importante est celle du modus podens généralisé.

! Modus podens :

implication : si x est A alors z est C

fait : x est A

conséquence : z est C

! Modus podens généralisé

implication : si x est A alors z est C

fait : x est A’

conséquence : z est C ’

où la conséquence C ’ est déterminée par la composition du fait et de l’implication :

! Au sens de Mandani, la fonction d’appartenance de la conséquence C ’ est définie par :


( ) ( ) ( ) ( )( ){ } ZzzxxzsoitCAACCAA

Xx

C!="= "

!

,,,minsup'' '' µµµo

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ){ } Zzzxxzsoit

zxzxetCAAC

CAA

Xx

C

CACA

!=

="=

!

"

,,min,minsup

,min,''

'' µµµµ

µµµo

35

! Application du raisonnement approximatif : l’inférence floue

– Règle d’inférence (au sens Mandani):

"1 : si x est A1 alors z est C1

fait : x est x0

conséquence : z est C1

où la conséquence C1 est déterminée par :

Le raisonnement flou (7) - Inférences flouesLe raisonnement flou (7) - Inférences floues

( ) ( ) ( ) ( )( )( ){ } ZzzxxzCAx

XxC

!=!

,,min,minsup110

1 µµµµ

1

0x

$1#$1

(x)1

0z

C1#C1

(z)

#C1

(z)

C1

x0

( ) ( ) ( )( ) ZzzxzsoitCAC

!= ,,min11

1 0 µµµ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ZzzxxzdoncxxxorCAxCx

!="#= ,,min,min,0110

10

000 µµµµµ

36

– Agrégation des règles (au sens Mandani):"1 : si x est A1 alors z est C1

"2 : si x est A2 alors z est C2 où la conséquence C est déterminée par :

...

"n : si x est An alors z est Cn

Fait : x est x0

Conséquence : z est C


( ) ( )( ) Zzzz iC

niC

!==

,max,1

µµ

1

0x

$1#$1

(x)1

0z

C1#C1

(z)

#C1 (z)

C1

x0

( ) ( ) ( )( )( ) ZzzxzsoitiiCA

niC

!==

,,minmax 0,1

µµµ

x0

1

0x

$2#$2

(x)

1

0z

#C1 (z)

C1

z

1

0

C2#C2

(z)

#C2 (z)

C2

#C2 (z) C2

#C (z)

C

37

– Prémisses composées :

! Si les prémisses sont composées, on utilise l’union pour le ou et l’intersection pour le

et afin de déterminer la fonction d’appartenance de la condition.

! Exemple :

"1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1

"2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2

Fait : x est x0 et y est y0


où la conséquence C est déterminée par (Mandani) :


( ) ( ) ( )( ) ZzzyxzCCC != ,,,max 21 µµµ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Zzzyxzyxzsoit CBACBAC != "# ,,,min,,,minmax222111 0000 µµµµµ

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )zyxzyxz

Zzpourencoresoit

CBACBAC 222111,,maxmin,,,minminmax 0000 µµµµµµµ =

!

38


#C1 (z)

C1

x0

x0

#C2 (z) C2

1

0x

$1#$1

(x)1

0z

C1#C1

(z)1

0y

&1#&1

(y)

y0

1

0x

$2#$2

(x)

z

1

0

C2#C2

(z)1

0y

&2#&2

(y)

y0

1

0z

#C1 (z)

C1

#C (z)

C

ET

OU#C2 (z)

C2

"1 : si x est A1 et y est B1 alors z est C1

"2 : si x est A2 ou y est B2 alors z est C2

Fait : x est x0 et y est y0


39


1. Introduction




1. Relations


3. Deffuzification

5. Illustrations

40

La La défuzzification défuzzification (1) - Introduction(1) - Introduction



Défuzzification



floue


Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

u1u2

un

.. ..

Défuzzificateur

Défuzzification

41

! Définition

– L’objectif de la défuzzification est de transformer un ensemble flou en en une valeur

de commande. Soit C un ensemble flou, et defuzz l’opérateur de défuzzification :

zu = defuzz(C), est une valeur précise.

– Les opérateurs de défuzzification sont nombreux, citons par exemple :

! Le centre de gravité (très souvent employée)

! La moyenne des maximums

La La défuzzification défuzzification (2) - Définition(2) - Définition

( )

( )

( )

( )!

!

"

" #

=#

##

=

Z

iC

Z

iCi

u

Z

C

Z

C

uw

ww

zoudww

dwww

zµ

µ

µ

µ

( ) ( )( )

( ) ( )( )jCZz

iCi

N

iiu

CZz

C

G

Gu

zzetZzoùzN

z

ouzgZgGoùdw

dww

z

j

µµ

µµ

max,1

,max,

1 !=

!

=!=

"#$

%&'

=!=

(

=

)

*

*

1

0z

#C (z) C

zu

42


1. Introduction




1. Relations


3. Deffuzification

5. Illustration : contrôle flou

43



Défuzzification



floue


Ensemblesflous

Défuzzificateur

Variablesde sortie

e1e2

em

...

u1u2

un

...Post-traitementPré-traitement

Régulation Floue (1) - IntroductionRégulation Floue (1) - Introduction

! Rappelons la structure classique d’un régulateur flou

Régulateur flou+

-

c e uSystème

y

Pré-traitement Post-traitementFuzzification


Défuzzification

44

! Pré-traitement

– Les mesures en entrée doivent être conditionnées :

! Quantification, échantillonnage … ;

! Normalisation, mise à l’échelle ;

! Filtrage ;

! Moyennage pour obtenir des tendances ;

! combinaison pour obtenir des indicateurs ;

! différentiation, intégration ou leurs équivalents discrets.

– Univers du discours :

! Il contient tous les éléments qui seront pris en considération.

! Il est continu ou discret.

! Univers standard : utilisation de la mise à l ’échelle, d’une limitation (éventuellement).

Régulation Floue (2) - Régulation Floue (2) - Pré-traitementPré-traitement

45

! Fuzzification

– Conversion des données en entrée en degré d’appartenance par l’intermédiaire de

fonctions d’appartenance.

– Permet de déterminer le degré de confiance de chacune des conditions des règles

pour la valeur de l’entrée (instance).

– Il y a un degré d’appartenance par terme linguistique s’appliquant à l ’entrée.

Régulation Floue (3) - Régulation Floue (3) - FuzzificationFuzzification

46

– Fonctions d’appartenance! Comment doit-on déterminer la forme des ensembles ?

! Combien d’ensembles sont nécessaires et suffisants ?

! Un terme doit être suffisamment «large» pour autoriser du bruit de mesure

! Un certain degré de recouvrement est nécessaire pour éviter des états mal définis conduisantà des sorties mal définies.

! Commencer par des ensembles triangulaires symétriques et trois ensembles pour chaquevariable. Plus de sept ensembles n’apporte aucune amélioration.

! Pour les variables d’entrée :– Choisir les largeurs de façon à ce que chaque valeur de l’univers appartienne à deux ensembles au

moins ; excepté pour les extrémités.

– S ’il y a un « trou » entre deux ensembles, aucune règle ne se trouve activée pour ces valeurs, lafonction de régulation n’est pas définie.

! Pour la variable de sortie :

– Les «trous» sont souhaitables.

– Si la fonction est définie sous forme de singletons, alors le calcul est plus simple, on peut utiliser lescommandes maximales (obtention d’un phénomène transitoire rapide en cas de grandes variations),l’écriture des règles est plus intuitive.

Régulation Floue (4) - Régulation Floue (4) - FuzzificationFuzzification

47

! Base de règles

– Les règles peuvent mettre en jeu plusieurs variables dans leurs conditions et leurs

conclusions.

– Le contrôleur nécessite, en général, en entrée l’erreur et la dérivée de l’erreur :

! Représentation sous forme de règles :

si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est très négative

si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est négative

si l’erreur est négative et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est nulle

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est négative

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est nulle

si l’erreur est nulle et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est positive

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est négative alors la sortie est nulle

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est nulle alors la sortie est positive

si l’erreur est positive et la dérivée de l’erreur est positive alors la sortie est très positive

Régulation Floue (5) - Base de règlesRégulation Floue (5) - Base de règles

48

! Représentation sous forme de relations :

erreur dérivée de l’erreur sortie

négative négative très négative

négative nulle négative

négative positive nulle

nulle négative négative

nulle nulle nulle

nulle positive positive

positive négative nulle

positive nulle positive

positive positive très positive

! Représentation sous forme de table :

dérivée de l’erreur

négative nulle positive

négative très négative négative nulle

erreur nulle négative nulle positive

positive nulle positive très positive

– Dans le cas ou une case est vide, cela signifie qu’il manque une règle.

Régulation Floue (6) - Base de règlesRégulation Floue (6) - Base de règles

49

– Connexions :

! les connexions et et ou sont en général définies par :

– A et B : min ( A , B ) A ou B : max ( A , B )

ou

– A et B : A * B A ou B : A + B - A * B

– Inférence :

! détermination du degré d’appartenance de chacune des conditions des règles ,

! activation de la règle, détermination de la conséquence (min)

! agrégation des règles (max)

! La méthode choisie à peu d ’influence sur le résultat.

Régulation Floue (7) - Bases de règlesRégulation Floue (7) - Bases de règles

50

! Défuzzification

– Utilisation de différentes méthodes :

! centre de gravité, centre de gravité pour les singletons,

! bissectrice

! moyenne des minimums …

! calcul facilité lorsque les les fonctions d’appartenance de la variable de sortie sont disjointes.

! Post-traitement

– la mise à l ’échelle de la sortie doit être effectuée pour que la valeur de sortie définie

sur un univers de discours soit transformée en valeur de commande physique.

Régulation Floue (8) - Régulation Floue (8) - Défuzzification Défuzzification - Post-traitement- Post-traitement

51

– B. Bouchon-Meunier : « La logique floue ». PUF « Que Sais-Je ? »

– L. Gacogne : « Éléments de logique floue ». Hermès, 1997.

– M. Stefick : « Introduction to Knowledge Systems ». Morgan Kaufmann, 1995.

Logique Floue : bibliograpLogique Floue : bibliographiehie

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