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Logique combinatoire

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1 INTRODUCTION A LA LOGIQUE BINAIRE.

Un système informatisé ou automatisé ne peut comprendre que la présence ou l’absence d’une information, d’ou la

notion de binaire. Il existe donc des règles mathématiques en binaire qui sont régies par l’algèbre de BOOLE.

1.1. Variable binaire.

Une variable binaire est appelé a, b, c … et peut donc posséder 2 états distincts : 0 ou 1.

Exemple 1 : Une ampoule de lampe électrique est une variable binaire. On donne à l’ampoule la variable

L :

Donc : - si l’ampoule est éteinte L=0.

- si l’ampoule est allumée L=1.

Exemple 2 : Contact à fermeture.

C’est un contacte qui se ferme lorsqu’il est actionné.

On le désigne par les lettres a, b, c.

Exemple 3 : Contact à ouverture.

C’est un contacte qui s’ouvre lorsqu’il est actionné.

On le désigne par les lettres cba ,, et on lit a barre.

Donc si 1a0a

0a1a

2 LES FONCTIONS LOGIQUES - ANALOGIE ELECTRIQUE.

2.1 Fonction OUI.

a) Définition : La lampe est en série avec le contact,

elle s’allume quand le contact ‘a’ est actionné.

b) Schéma électrique :

c) Equation : aS

d) Table de vérité : e) Symbole logique.

2.2 Fonction NON (Inverseur).

a) Définition : : La lampe est en série avec le contact,

elle s’éteint quand le contact ‘a’ est actionné.


c) Equation : aS

d) Table de vérité : e) Symbole logique.

1a S

a

a S1

a

a

a



2.3 Fonction ET (AND)

a) Définition : La lampe s’allume si et seulement si

on appuie sur ‘a’ et ‘b’.


c) Equation : baS

d) Table de vérité : e) Symbole logique :

f) Cas de trois variables :

Equation cbaS

Table de vérité Symbole logique

2.4 Fonction OU (OR)

a) Définition : La lampe s’allume si on appuie sur

‘a’ ou sur ‘b’, à plus forte raison sur les deux


c) Equation : baS

d) Table de vérité : e) Symbole logique :

f) Cas de trois variables :

Equation cbaS

Table de vérité Symbole logique

a b a

b

b

1

0

1

0

a S

1

0

1

0

0

0

0

1

&a

bS

b

1

0

1

0

a S

1

0

1

0

0

1

1

1

b

aS1

b

1

0

1

0

a S

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

c

1

0

1

0

1

0

1

0

&ba

cS

&&

a

b

c

S

b

1

0

1

0

a S

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

c

1

0

1

0

1

0

1

0

abc

S1

c

a

b S1

1



2.5 Fonction NON-ET (NAND)

a) Définition : C’est une fonction ET dont la sortie

est inversée.

b) Equation : baS

c) Table de vérité : e) Symbole logique :

2.6 Fonction NON-OU (NOR)

a) Définition : C’est une fonction OU dont la sortie

est inversée.

b) Equation : baS

c) Table de vérité : e) Symbole logique :

2.7 Fonction OU Exclusif.

a) Définition : C’est une fonction OU qui exclue le cas ou ‘a’ et ‘b’ sont à 1.

b) Equation : d) Table de vérité e) Symbole logique

baS

3 RELATION EN ALGEBRE DE BOOLE.

3.1 Commutativité

abba

abba

..

3.2 Associativité.

cbabcacbacba

cbabcacbacba

)()()(

..)..()..()..(

3.3 Distributivité

)).(().(

).().().(

cabacba

cabacba

b

1

0

1

0

a S

1

0

1

0

0

1

1

1

b

1

0

1

0

a S

1

0

1

0

0

0

1

0

a

bS&

b

aS1

b

1

0

1

0

a S

1

0

1

0

0

1

1

0

b

aS= 1



3.4 Relations particulières.

4 THEOREMES DE DE MORGAN

4.1 Premier théorème :

aa

4.2 Deuxième théorème :

baba Exemple : cbacba ..

baba .

baba

Exemple : cbacba ..

baba .

a

a

a

a

a a a

a a a

a

a

Représentation

électriqueEquation

Représentation

électriqueEquation

0

0

1

1

a + 0 = a

a . 0 = 0

a + 1 = 1

a . 1 = a

a + a = a

a . a = a

a + a = 1

a . a = 0



5 LES SYMBOLES EUROPEENS ET USA.

EURO (ANSI/IEEE) USA

NON (Inverseur) 1

Ou

NOT

ET &

AND

OU 1

OR

OU Exclusif = 1

Exclusive OR (XOR)

NON-ET &

Ou

NAND

NON-OU 1

Ou

NOR

6 La fonction logique.

6.1 Définition :

Une fonction logique est une application dans l’ensemble binaire.

Exemples :

1

&

1



Exemple 1 Exemple 2

Exemple 1 : si a = 0 alors f1=1 ; si a = 1 alors f1=0

Exemple 2 : si (a,b) = 0,0 alors f2=0 ; si (a,b) = 0,1 alors f2=1 ; si (a,b) = 1,0 alors f2=0 ; si (a,b) = 1,1 alors f2=0

6.2 Table de vérité d’une fonction logique.

3 colonnes

3 Variables

23 Lignes

cbaf3

..

6.3 Expression algébrique d’une fonction logique.

Exemple: cabaf4

..

Une fonction logique est parfaitement déterminée par la liste ordonnée de ses variables et par:

- Sa table de vérité. OU - Son expression logique.

0

1

a f1(a)f1

1

0

f2(a)

f2

1

0

(a,b)

0,0

0,1

1,0

11

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

a b c f3

0

0

0

0

0

00

0

1

1

1



Exercice 1: Donner la table de vérité des fonctions suivantes:

babaf

baf

2

1

..

.

Remarque: baf2

Exercice 2: Donner l’experession logique de f3.

cbacbaf3

....

Exercice 3: Donner la table de vérité de f4: cabaf4

..

a b c a.b ca . f4

0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 1

Exercice 4: Donner la table de vérité de f5: cbacaf4

...

a b c f5

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

0

0

0

1

1

1

a b f1 f2

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

a b c f3

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0



Exercice 5: Donner l’expression algébrique de f6.

a b c d f6 a b c c f6

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

dabcdcabcdbabcdadbcadcbacdbadcbadcbaf6

6.4 Logigramme d’une fonction logique.

Le logigramme est une représentation graphique d’un fonction logique à l’aide des symboles logiques des fonctions

de base.

Exemple: Donner le logigramme de f: cbabf

Exercice 6: Le résultat d’une étude donne le logigramme suivant. Retrouver l’expression algébrique de f et

simplifier la si possible.

bcabcbabcbabcbaf ..

&1

1&

fa

b

c

1

1&

fa

b

c

&1

1



7 Simplification algébrique d’une fonction logique.

On réalise les simplifications en utilisant les propriétés de la partie 3.

Il existe d’autre type de simplification.

7.1 Simplification par absorption.

Exemple : baag . On distribue le a : Directement :

bag

ba1g

baaag

).(

)).((

bag

baag

.

Nous avons une simplification en distribuant un therme, on appele cette simplification une simplification par

absorption.

On peut faire cette simplification si : - Les 2 thermes n’ont pas le même nombre de variables.

- Et s’il y a une variable dans une therme et sont inverse dans l’autre.

7.2 Simplification par mise en facteur commun.

Exemple:

af

bbaf

babaf

).( on met en facteur.

On peut faire cette simplification si : - On a une variable dans un therme et son inverse dans l’autre.

- Et si le reste des variables est identique.

7.3 Autre simplification

abaaf .

On peut faire cette simplification car la condition a.b est plus restrictive que la condition a.

Exercice 1: Simplifier les équations suivantes.

ba1f

ba11f

baaa1f

baa1f

).(

)).((

.

ba2f

ba12f

baaa2f

baa2f

).(

)).((

.

acb3f

cab13f

cabbb3f

cbab3f

)..(

).).((

..



Exercice 2: Simplifier l’équation suivante: Exercice 3: Simplifier l’équation suivante:

cabacbaf

cbbbaf

bcbaf

bcabaf

bca1baf

bcaccbaf

bcacbacbaf

).(

))).(.((

).(

.

).(

abcbacbf

ccacbf

accbf

abccbf

abcaacbf

cababccbaf

).(

))).(.((

).(

).(

Exercice 4: Simplifier l’équation suivante:

dcdbcbdf

cbbbdf

bcbdf

dbcaadbf

dbcdbadbaf

aadbcccdbaccdbaf

dbcadcbadabcdcbadcbadcbaf

)(

))).(((

)(

)(

)()()(


cdbaaddadadacbf

dcbadcbacdbadcbadcbaf

)(

dbacbf

cdbacbf

a

a

a

+

1




bcacabf

aabcbbacccabf

abcabcabccabcbabcaf

abccabcbabcaf

)()()(

8 Simplification par les tableaux de Karnaugh.

Le diagramme de karnaugh est un outil graphique qui permet de simplifier une équation logique ou le processus de

passage d’une table de vérité à un circuit correspondant.

Exemple :

ou

4 Variables

2 Variables

Méthode:

- On réunit les 1er adjacents par groupe de 2, 4, 8 ect…

- L’équation du circuit est donnée par la somme des produit des variables qui ne change pas

d’état dans chaque regroupement.

Donc b1S dbabd2S

Remarque: Une sortie est obtenue par le regroupement des zéros.

ab

0

1

0 1S1

0

0

1

1

ab

0

b

a

b

a

0

1

1

S1

00 01 1011abcd

00

01

11

10

ab

ab

ab

ab

S2 cd cd cd cd

0 1 1

11

1 1

0

0

000

00

00

Code GRAY

0 0 0

0 0 1

0 1 1

0 1 0

1 1 0

1 1 1

1 0 1

1 0 0

Exemple de code GRAY.

Une seule variable change

à chaque fois.



Exercice 1:

Exercice 2: Comparateur binaire 2 bits.

S1 = 1 si a>b

S2 = 1 si a<b

a0 = LSB = bit de poids faible.

a1 = MSB = bit de poids fort.

Donner à l’aide des tableaux de Karbnaugh, l’équation de

S1 et S2.

Exercice 3:

Exercice 1 à 4 du paragraphe 7 avec des tableaux de karnaugh.

Exercice 3.1:

baa1f aba2f cbab3f

abc

0

1

00 01 1011

ab

0

1

0 1 abc

0

1

00 01 1011

00 01 1011abcd

00

01

11

10

S1 S2

S3 S4

1 1

0 0

1 1

11

1 1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

0 0

0 00 0

0 0

0 00

0

0 0

0

00

a1S dadada2S

cdbadaccb3S

bacb4S

COMPa0

a1

b0

b1

A

B

a>b

a<b

S1

S2



ba1f ba2f acb3f

Exercice 3.2: Exercice 3.3:

bcacbacba4f cababccba5f

caba4f abcb5f

Exercice 3.4:

dbcadcbadabcdcbadcbadcba5f

abc

0

1

00 01 1011

f3

0

1

ab

b

a

b

a

1

1

1

0

ab

b

a

b

a 1

1

1 1

11

1

0

0

f2f1

abc

0

1

00 01 1011

f4

1 0

abc

0

1

00 01 1011

f5

1 1

0000

1

11

0

0

0

0

0

00 01 1011abcd

00

01

11

10

f5

01 1

11

1

0

00 0

0 0 0 0

0 0 dbdc5f



8 Utilisation du théorème de DE MORGAN

On cherche une méthode pour représenter n’importe qu’elle fonction logique en n’utilisant que des portes NAND

ou que des portes NOR.

Méthode: On complémente 2 fois l’équation logique ( ss ) et on casse la barre du bas. On renouvelle

l’opération si nécessaire.

Exemple: bacas

bacabacas .

On peut réaliser un inverseur avec un NAND en reliant les 2 entrées.

Table de vérité de la fonction NAND

- les cas 10 et 01 n’existe pplus.

- Il n’y a plus qu’une seule variable Donc s = /a

Logigramme de s:

On Casse la barre On change le signe

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

a & a

s = a . c . a . b



S avec des NAND S avec portes classiques

- 5 portes NAND (7400) - 2 NON (7404)

- 2 ET (7408)

7400 -> 4 Nand2 -1 OU (7432)

Donc 2 boîtiers Donc 3 boîtiers

Le schéma avec des NAND permet de gagner 1 boîtier.

- gain économique.

- gain de place.

- gain de puissance.

Exercice: Transformer les équations ci-dessous pour n’avoir que des NAND2. Donner ensuite le

logigramme de ces fonctions.

cba1s

cbacba1s

.

cba2s

cbacba2s

cbacba2s

.).(

.).().(

).().(

&

&

&

&

&

a

b

c

S

a

b

c

S&1

1

1&

a

b

c

S1

&&

&

&

a

b

c

S2

&&

&

&

&

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