Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines Enseignant: Jean-Philippe

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Cours # 6

Critère de stabilité de Routh (2ième partie):

Cas spéciaux

Choix d’un gain proportionnel K à l’aide du critère de Routh-Hurwitz

Conception de contrôleurs PID à l’aide du lieux des racines

Contrôleurs de type proportionnel

Contrôleurs de type proportionnel dérivé et à avance de phase

Retour sur le cours #5:

Exercices concernant le lieux des racines (issus des examens de

pratique)2 Jean-Philippe Roberge - Février

2011

Cours #6

Critère de Routh-Hurwitz (I)

Lors du cours précédent, nous avions vu que le critère de

Routh-Hurwitz est un outil pratique qui permet de

conclure sur la stabilité d’un système d’ordre quelconque.

Nous avions introduit cette matière en présentant la table

de Routh-Hurwitz:

4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

10 1 1...

Où est généralement le polynôme

caractéristique du système

n nn nP s a s a s a s a

P s

Critère de Routh-Hurwitz (II)

Où:


Etc...

Critère de Routh-Hurwitz (III)

Exemple 1

Avant d’écrire la table de Routh, il faut s’assurer que la

première condition de stabilité est vérifiée : tous les

coefficients ai doivent être positifs. Ensuite:


s5 1 2 4 0

s4 8 5 7 0

s3 b1 b2 0 0

s2 c1 c2 0 0

s1 d1 0 0 0

s0 e1 0 0 0

5 4 3 28 2 5 4 7P s s s s s s

Critère de Routh-Hurwitz (IV)

Exemple 1


1 2

1 2

1

1

1 2 1 4

8 5 8 7 25118 88 8

8 5 8 7

2511 11 7708 8 8145 8 711 1111 1188 8

25118 8

145 711 559145145

11145 711

559 0145 7559

145

b b

c c

d

e

s5 1 2 4 0

s4 8 5 7 0

s3 11/8 25/8 0 0

s2 -145/11

7 0 0

s1 559/145

0 0 0

s0 7 0 0 0

s5 1 2 4 0

s4 8 5 7 0

s3 11/8 25/8 0 0

s2 -145/11

7 0 0

s1 559/145

0 0 0

s0 7 0 0 0

Il y a deux changements de signe dans la table de Routh:

Le système est donc instable et il y a exactement deux

racines dans le demi-plan droit du plan complexe (instable).

Critère de Routh-Hurwitz (V)

Exemple 1


Effectivement, en utilisant la fonction « roots() » de

Matlab:

Critère de Routh-Hurwitz (VI)

Exemple 1


La table de Routh est très pratique, puisqu’elle permet de

conclure assez directement la stabilité d’un système d’ordre n

sans avoir à calculer « à la main » toutes les racines du

polynôme caractéristique.

Cependant, l’analyse de la table de Routh se fait à partir du

changement de signe de la première colonne: il est donc

obligatoire de se soucier des deux cas spéciaux suivant:

1) Un élément de la première colonne est nul

2) Une ligne entière de la table de Routh est nulle

Critère de Routh-Hurwitz (VII)

Cas spéciaux


Solution pour ce premier cas spécial: lorsqu’un

élément de la première colonne est nul, on remplace ce

dernier par ϵ et on continue le développement de la table. À la toute

fin, on fait tendre ϵ vers 0 (depuis la gauche ou la droite) pour effectuer

l’analyse de stabilité.

Considérons un système dont la fonction de transfert est la suivante:

Objectif: Conclure sur la stabilité du système

Critère de Routh-Hurwitz (VII)

Cas spécial #1 : Un élément nul dans la première colonne


5 4 3 2

10

2 3 6 5 3T s

s s s s s

Votre réflexe est d’utiliser le critère de Routh pour vérifier

la stabilité du système:

Critère de Routh-Hurwitz (VIII)

Cas spécial #1 : Exemple tiré de [2]


5 4 3 2

10

2 3 6 5 3T s

s s s s s

1 2

1 2

2

1

2

1 2

1 3 1 5

2 6 2 3 70 22 22 6 2 3

7 06 72 3

72

6 73

42 49 66 7 12 14

6 73

42 49 60

12 14 342 49 6

12 14

b b

c c

d

e

s5 1 3 5 0

s4 2 6 3 0

s3 0 ϵ 7/2 0 0

s2 (6ϵ -7)/ϵ 3 0 0

s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) 0 0 0

s0 3 0 0 0

Le tableau enfin complété, vous pouvez effectué votre

analyse en faisant tendre ϵ vers 0 (à partir de la gauche ou de la

droite). L’analyse se fait comme suit:

Critère de Routh-Hurwitz (IX)



5 4 3 2

10

2 3 6 5 3T s

s s s s s

Première colonne de la table de Routh

ϵ→0+ ϵ→0-

s5 1 + +

s4 2 + +

s3 ϵ + -

s2 (6ϵ -7)/ϵ - +

s1 (42ϵ-49-6ϵ2)/(12ϵ-14) + +

s0 3 + +

Il y a deux changements de signes, donc le système est instable et possède deux racines instables (dans le demi-plan droit du plan complexe):

Solution pour ce deuxième cas spécial: lorsqu’une ligne

entière de la table de Routh est nulle, la solution est de :

1) Former un polynôme intermédiaire à l’aide de la ligne

précédent la ligne nulle.

2) Dériver ce polynôme intermédiaire par rapport à s

3) Utiliser les coefficients du résultat de la différentiation pour remplacer la

ligne de zéros.

4) Tester finalement les racines du polynôme intermédiaire.

Critère de Routh-Hurwitz (X)

Cas spécial #2 : Une ligne entière de la table est nulle


Considérons un système dont la fonction de transfert est

la suivante:

Votre objectif est de conclure sur la stabilité de ce

système, vous utilisez donc le critère de Routh et bâtissez

la table en conséquence.

Critère de Routh-Hurwitz (XI)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

Critère de Routh-Hurwitz (XII)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

s5 1 6 8 0

s4 7 1 42 6

56 8

0

s3 0 0 0 0

Remarque: Lorsque l’on construit la table de Routh, il est permit de

multiplier une ligne entière par une constante pour obtenir une forme plus

convenable, c’est le cas ici pour la deuxième ligne (multiplication par 1/7).

La troisième ligne est complètement nulle:

Critère de Routh-Hurwitz (XIII)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

On considère donc le polynôme intermédiaire donné par

la ligne qui précède la ligne de zéros, i.e.:

On le dérive par rapport à s:

On utilise les coefficients de ce résultat pour remplacer la ligne de 0:

4 26 8P s s s

34 12dP s

s sds

s5 1 6 8 0

s4 1 6 8 0

s3 4 1 12 3

0 0 Aussi, multiplication de la ligne par 1/4

Critère de Routh-Hurwitz (XIV)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

On complète finalement le tableau comme à l’habitude:

s5 1 6 8 0

s4 1 6 8 0

s3 1 3 0 0

s2 3 8 0 0

s1 1/3 0 0 0

s0 8 0 0 0

Aucun changement(s) de signe, donc il n’y a aucunes racines dans le demi-plan droit. Effectivement:

Cependant, le système est marginalement stable: regardez la forme des racines!

Critère de Routh-Hurwitz (XIV)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

Qu’avons-nous oublié lors de notre démarche? Réponse: De vérifier les racines du polynôme intermédiaire

Remarque: Lorsque, dans une table de Routh, une ligne

est complètement nulle, cela signifie que l’on se trouve

dans l’un de ces 2 cas: 1) Racines conjuguées complexes : s=±jω

2) Racines réelles de mêmes valeurs mais de signes opposés: : s=±α

Aussi, le polynôme intermédiaire est un facteur du

polynôme caractéristique, ce qui implique qu’il partage

aussi une partie des ses racines…

Critère de Routh-Hurwitz (XV)



5 4 3 2

10

7 6 42 8 56T s

s s s s s

Racines du polynôme caractéristique VS celles du polynôme

intermédiaire:

Polynôme caractéristique Polynôme intermédiaire 4 26 8P s s s

Ici, par simple observation, il était possible de constater que le polynôme intermédiaire possédait toutes ses racines conjuguées complexes: c’est pour cette raison que cette étape de la démarche fut « oubliée ».

D’ailleurs, tous les polynômes d’ordre n qui ont des coefficients positifs (ai) et des termes en s élevés à une puissance paire possèdent tous des racines conjuguées complexes!

5 4 3 27 6 42 8 56P s s s s s s

Critère de Routh-Hurwitz (XVI)

Choix d’un gain proportionnel K à l’aide de Routh-Hurwitz


Le critère de Routh est souvent utile afin de déterminer pour quelles valeurs de paramètres (gains) du contrôleur le système sera stable.

La première colonne du tableau nous fournira alors les conditions de stabilité en fonction des paramètres du contrôleur. Nous avons déjà fait quelques exercices qui démontraient très bien ce fait.

On peut aussi utiliser le critère de Routh pour trouver le gain K au point où le lieu des racines croise l’axe des imaginaires.

Critère de Routh-Hurwitz (XVII)



Soit le système suivant, commandé par un contrôleur de type proportionnel:

Où:

C(s) G(s)Contrôleur Procédé

(le gain proportionnel)

1G

7 11

C s K

ss s s

Critère de Routh-Hurwitz (XVIII)



La fonction de transfert du système en boucle fermée est donc:

3 27 11

18 777 111

7 11

K

s s s KT s P s s s s K

K s s s Ks s s

s3 1 77

s2 18 K

s1 (1386-K)/18

0

s0 K 0

Il faut donc que:

Si K=0 ou K=1386, certaines des racines seront directement sur l’axe imaginaire: système marginalement stable → indésirable

0 1386K

Critère de Routh-Hurwitz (XIX)



1)

2)

3)

K=0

K=1000

K=1386

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

K=0

K=1386

Critère de Routh-Hurwitz (XX)



Autre exemple:

Critère de Routh-Hurwitz (XXI)



-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

K=0

K=6

Conception de PID à l’aide du lieux des

racines (I)


Équation d'un contrôleur PID:

ip d

KC s K K s

s

Conception de PID à l’aide du lieux des

racines (II)


Dans plusieurs cas, un contrôleur PID permet de répondre

aux spécifications du comportement désiré, par exemple

le dépassement P

le temps de réponse à 2%

l’erreur en régime permanent

Etc…

Conception de PID à l’aide du lieux des racines

(III)


Un contrôleur proportionnel-dérivé permet d’améliorer la réponse en régime transitoire et, jusqu’à un certain degré, l’erreur en régime permanent.

Un contrôleur proportionnel-intégral permet d’améliorer la réponse en régime permanent (en tant que suiveur ainsi que régulateur).

Un contrôleur PID constitue une combinaison de ces deux contrôleurs.

Par ailleurs, dans le domaine temporel:

0

Équation de la sortie du contrôleur:

C E cisortie p d sortie p d i

Ks K E s K sE s s t K e t K e t K e t dt

s


(IV)

Contrôleur de type P


Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons comme outil principal de design le lieu des racines.

Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci-dessous: C(s) G(s)

Contrôleur Procédé

Avec:

(Contrôleur de type proportionnel)

1P

0.2 1

pC s K

ss s


(V)



Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui n’a qu’une seule constante K comme fonction de transfert. En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante

les valeurs de ζ et de ωn.

Ce dernier fait sera illustré par notre exemple.

Le polynôme caractéristique du système en boucle fermé est:

20.2 1

0.20.2 1

10.2 1

p

pc p

p p

K

Ks sT s P s s s K

K s s Ks s


(VI)



Utilisons les règles d’Evans pour tracer le lieu des racines: Le point de départ des deux branches du lieu des racines

débute aux positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5

Le centre de gravité des asymptotes sera:

Angles des asymptotes:

Points d’intersection:

1 1 5

2

n m

i ii i

p zs

n m

180=90 , 270 où h=1,3

h

n m

' 0 ' ' 0 0.4 1 0

12.5

0.4

N sdG s N s D s D s N s s

ds D s

s


(VII)



Angles de départ:

Pôle #1:

Pôle #2:

Angle de départ d'un pôle = 180

- Angles des vecteurs entre les pôles et le pôle en question

Angles des vecteurs entre les zéros et le pôle en question

L'angle d'arrivée à un zéro 180

Angles des vec

teurs entre les zéros et le zéro en question

Angles des vecteurs entre les pôles et le zéro en question

1 180 0 180A

2 180 180 0A

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-3

-2

-1

0

1

2

3Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(VIII)



Rappel – temps de réponse à 2%:

Dans l’exemple que nous venons d’étudier, à toute paire de pôles complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond qu’une même valeur de ζωn :

Si on augmente K de façon à s’éloigner de l’origine et ainsi augmenter la valeur de ωn, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur.

2%

4s

n

T

Par conséquent, on se trouve dans l’impossibilité de diminuer le temps de réponse du système!

Pour pouvoir mieux répondre aux diverses spécifications, il faut considérer des contrôleurs de formes plus générales (PI, PD ou PID).


(IX)

Contrôleurs PD et avance de phase


La fonction de transfert d’un contrôleur de type PD s’écrit comme suit:

Le terme Kp donne lieu à un composant de la commande qui est directement proportionnel à l’erreur.

Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de l’erreur.

Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un zéro à s = −1/τPD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la figure suivante.

1 Où: D

p d d PDPD p

KC s K K s K s

K


(X)



-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis


(XI)



Pour bien comprendre comment l’ajout du zéro modifie la forme du lieu, effectuons un bref rappel:

i) La relation d’amplitude:

ii) La relation d’angle:

Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à ces deux équations.

1

1

11

m

iin

ii

s zKG s G s

Ks p

1 1

180 360 où = 1, 2, 3,...m n

i ii i

G s s z s p k k


(XII)



L’angle de G(s) étant donné par:

Soit la partie imaginaire de s positive, Alors la contribution d’un terme (s− s0) est illustrée ci-dessous:

1 1

180 360 où = 1, 2, 3,...m n

i ii i

G s s z s p k k

Étant donnée la forme de notre expression pour l’angle de G(s), on voit que les zéros apportent une contribution positive à l’angle pour un s à partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une contribution négative. L’effet de l’ajout du contrôleur PD est donc d’apporter une contribution positive à l’angle de la fonction de transfert G(s):

Pour que la relation d’angle soit toujours remplie, la contribution des pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de l’axe des réels. L’ajout d’un contrôleur PD permet donc d’obtenir des pôles en boucle fermée avec des rapports d’amortissement ζ augmentés pour une pulsation naturelle ωn donnée.


(XIII)



1 1

180 360 où = 1, 2, 3,...m n

i ii i

G s s z s p k k


(XVI)




(XVII)




(XVIII)




(XIX)



Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale

K + Kds = Kd(s + 1/τPD). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est:

qui s’accroît sans borne en fonction de la fréquence ω. Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait donc non souhaitable,

et amplifierait de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la forme d’un contrôleur avance de phase :

Noter que le module de la réponse fréquentielle d’un tel système tend vers KA lorsque ω tend vers 0, et vers KA lorsque ω tend vers l’infini.

C’est ce qui introduit la matière du prochain cours!

22

1p d d

PD

K K j K

11 1 où typiquement 20 31

AA

A

sKs

Exercices

Retour sur le cours #5 (I)Exercices


Retour sur le cours #5 (II)Exercices


Retour sur le cours #5 (III)Exercices


Retour sur le cours #5 (IV)Exercices



Prochain cours

Contrôleurs à avance de phase

Contrôleurs proportionnel-intégral (PI) et à retard de phase

Fin des exercices des examens de pratique

Réponse à vos questions

Références

50

[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise

[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh

Jean-Philippe Roberge - Février 2011

Documents

Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #6: Critère de stabilité de Routh & Design de PID à partir du lieu des racines Enseignant: Jean-Philippe