Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #3: Réponse en fréquence, Conception dun système de commande & Exercices Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #3: Réponse en fréquence, Conception d’un système de commande & Exercices

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours # 3

Bref rappel du cours #2:

Transformée unilatérale de Laplace: Utilisation des tables

Transformée inverse par décomposition en fractions

partielles (3 cas)

Fonctions de transfert

Simplification des diagrammes fonctionnels (Schéma blocs)

Réponse temporelle des systèmes

Nouveau : Présentation de l’applet « Exploration du plan-s »

Réponse en fréquence Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

2

Cours #3

Conception de boucles de commande (1ère partie)

Analyse de la réponse en régime transitoire

Analyse de la réponse en régime permanent

Exercices:

Issus des questionnaires d’examen

Autres


3

Retour sur le cours #2 (I)Transformée unilatérale de

Laplace

4

Rappel - la transformée unilatérale de Laplace est définie comme:


0

stf t F s e f t dt

L

0 0

1 0

u t t

u t t

Retour sur le cours #2 (II)Transformée unilatérale de

Laplace

5Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

Nous avions présenté 8 propriétés:

Et deux théorèmes:

Valeur initiale:

Valeur finale:

0

0 lim limst

f f t sF s

0

lim limt s

f t sF s

Retour sur le cours #2 (III)Transformée inverse & décomposition en

F.P.


2011

1er cas – Les pôles de la fonction à décomposer sont réels et distincts:

2e cas – Les pôles sont réels et complexes:

3e cas – Les pôles sont réels et multiples:

1 2

1 2

... n

n

C C CF s

s p s p s p

1 2 322

11

......

N s N s C C s CF s

D s s p s as bs p s as b

1 2 12

1 11 1 2 1 1

... ......

k k nk k

k nk k

N s C C C C CF s

s p s p s ps p s p s p s p s p

Retour sur le cours #2 (IV)Fonctions de transfert


2011

La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Elle représente la sortie sur l’entrée:

2

1Y s sortieG s

R s entrée Ms bs k

2

1

Ms bs k Y(s)R(s)

Retour sur le cours #2 (V)Simplification des diagrammes fonctionnels

8

1)

2)

3)


Retour sur le cours #2 (VI)Simplification des diagrammes

fonctionnels

9

4)


Retour sur le cours #2 (VII)Simplification des diagrammes

fonctionnels

10

5)


Retour sur le cours #2 (VIII)Réponse temporelle d’un

système

11

Système normalisé du premier ordre (forme standard d’un système de

1er ordre):

Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre:

En appliquant un échelon à l’entrée du système, la valeur finale de la

sortie du système est K:Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

:1

KG s

s

0 0

1 1lim lim

1s s

Ks G s s Ks s s

Retour sur le cours #2 (IX)Réponse temporelle d’un

système

12

Système normalisé du deuxième ordre (forme standard d’un système

de 2e ordre):

Les pôles du système sont situés en:

1) Si : Système sur-amorti

2) Si : Système avec amortissement critique

3) Si : Système sous-amorti


2

2 22n

n ns s

2 1n ns

0

Retour sur le cours #2 (X)Réponse temporelle d’un

système


2011

1) 2) 3)

Retour sur le cours #2 (XI)Réponse temporelle d’un système


2011

Retour sur le cours #2 (XII)Réponse temporelle d’un système


2011

Retour sur le cours #2 (XIII)Exploration du plan s


2011

http://www.jproberge.net/plan-s.html

http://www.jproberge.net/plan-s.html

Cours #3

Réponse en fréquence (I)

18

Introduction: Qu’est-ce que la réponse en fréquence?

R: Le nom le dit, il s’agit de la réponse d’un système en régime permanent vis-à-vis un signal d’entré qui varie à une certaine fréquence.

Q: Pourquoi est-il intéressant de s’intéresser à la réponse en fréquence?

R: Il existe plusieurs raisons pour lesquelles il est intéressant et important de se soucier de la réponse en fréquence:

Technique d’analyse très facile à expérimenter en pratique (facile à réaliser, fiable…)

Nous renseigne énormément aux niveaux des caractéristiques du système (surtout par rapport à la réponse transitoire)

Permet même, dans certains cas, l’identification de la fonction de transfert d’un système lorsqu’on ne la connait pas a priori.


Réponse en fréquence (II)Le concept de la réponse en

fréquence

19

Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω.

En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale:

La sortie du système est donc:


2 2

1

sin

Et:

T n

ii

Ar t A t R s

s

N ss

s p

1

2 2 2 21

1

... nn

ni

i

N s A k k sY s T s R s

s s p s p ss p

Réponse en fréquence (III)Le concept de la réponse en

fréquence

20

On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses:

En régime permanent:

Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t→∞, le système est oscillant et:

Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de l’entrée.Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

1

2 2 2 21

1

... nn

ni

i

N s A k k sY s T s R s

s s p s p ss p

1 11 2 2

0 lorsque

... np tp tn

t

sy t k e k e

s

L

1. . 2 2

lim limR P t t

sY t y t

s

L

. . cosR PY t M t

Réponse en fréquence (IV)Le concept de la réponse en

fréquence

21

Prouvons maintenant que:

Par décomposition en fractions partielles:

Identifions maintenant les éléments K1 et K2:

Donc, on peut ré-écrire:


1. . 2 2

lim lim cosR P t t

sY t y t M t

s

L

1 22 2

s K K

s s j s j

1

2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

i Gi G

i Gi G

jj j i Gi G

s j

jj j i Gi G

s j

s M MK G s j G j M e M e e

s j

s M MK G s j G j M e M e e

s j

1 1. . 2 2

2 2i G i Gj ji G i G

R P

M M M Me esY t

s s j s j

L L

cos sin Identité d'Eulerjte t j t

*2 1

G

G

M G j

K K

G j

Réponse en fréquence (V)Le concept de la réponse en

fréquence

22

Évaluons maintenant la transformée inverse de ce dernier résultat:

** Ce qu’il fallait démontrer

Et puisque:

On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement déterminée par:

En effet, puisque:

la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |G(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de G(jw) par rapport à l’entrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

. . cos cos2

i G i Gj t j t

R P i G i G i G

M

e eY t M M M M t M t

1. .

2 2i G i Gj ji G i G

R P

M M M Me eY t

s j s j

L

. . cosR P i G i GY t M M t

s j

G j G s

et G GM G j G j

Réponse en fréquence (VI)Le concept de la réponse en

fréquence


2011

Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe G(jw), on appelle G(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |G(jw)| où |G(jw)| est en décibel (20 log10 |

G(jw)|) ; et Un graphique de G(jw) en degrés.

L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques.

Réponse en fréquence (VII)Le concept de la réponse en

fréquence


2011

La réponse en fréquence d’un système G(s) peut être représenté dans le domaine fréquentiel par:

Où:

La norme et la phase sont donc données par:

Attention: Dans le diagramme de Bode, l’ordonnée du premier

graphique est en décibel, donc 20log10(|G(jw)|). Le deuxième

graphique représente directement φ(w).

lim Rs j

G j G s jX

R Re et ImG j X G j

2 2 1 tanX

G j R XR w

Réponse en fréquence (VIII)Système du premier ordre


2011

Considérons un système de premier ordre:

La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade.

Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure

1

1G s

s

Réponse en fréquence (IX)Système du premier ordre


2011

Réponse en fréquence (X)Système du premier ordre


2011

Réponse en fréquence (XI)Système du premier ordre


2011

Démonstration d’un outil Matlab: Tf()

ltiview

Réponse en fréquence (XII)Système du deuxième ordre


2011

Considérons un système du deuxième ordre:

Que l’on peut ré-écrire:

2

2 22n

n n

G ss s

2

22 2

1

2 21

n

n n

n n

G ss s s s

Réponse en fréquence (XIII)Système du deuxième ordre


2011

Réponse en fréquence (XIV)Système du deuxième ordre


2011

Réponse en fréquence (XV)Système du deuxième ordre


2011

Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) :

et la valeur de |G(jw)| est donnée par:

Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation :

Pour = 0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une

atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de

0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence wn.

21 2r n

2

1

2 1G j

1 0.7072

1

2G j

Réponse en fréquence (XV)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XVI)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XVII)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XVIII)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XIX)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XX)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XXI)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XXII)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XXIII)Exemple


2011

Réponse en fréquence (XXIV)Exemple


2011

Conception de boucles de commande (I)


2011

Conception de boucles de commande (II)


2011

La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan

gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:

P: dépassement (en %), en anglais : overshoot

Tp: Temps de dépassement

Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)

Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)

Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)

3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante

Mm: Gain à la résonance

4) L’atténuation des perturbations

Conception de boucles de commande (III)


2011

Conception de boucles de commande (IV)


2011

Conception de boucles de commande (V)


2011

Conception de boucles de commande (VI)


2011

Conception de boucles de commande (VII)


2011

Conception de boucles de commande (VIII)


2011

Conception de boucles de commande (IX)


2011

Conception de boucles de commande (X)


2011

Conception de boucles de commande (XI)


2011

Exercices (I)


2011

Exercices (II)


2011

Exercices (III)


2011

Exercices (IV)


2011

Exercices (V)


2011

Références


2011

Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

Control Systems Engineering – Norman S. Nise

Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

Linear System Theory – Wilson J. Rugh

Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge

Documents

Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #3: Réponse en fréquence, Conception dun système de commande & Exercices Enseignant: Jean-Philippe Roberge