Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation

-ELE3202-

Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires

Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

Cours # 2

Bref rappel du cours #1: Systèmes en B.O. VS B.F. Lecture des schémas blocs Linéarisation des systèmes non-linéaires autour d’un point

d’équilibre.

La transformée unilatérale de Laplace

La transformée inverse par fractions partielles Pôles réels et distincts Pôles complexes et distincts Pôles réels et multiples Jean-Philippe Roberge - Janvier

20112

Cours #2

Fonctions de transfert

Algèbre des diagrammes fonctionnels

La réponse temporelle:

D‘un système de premier ordre

D‘un système de deuxième ordre

Gain statique


3

Retour sur le cours #1 (I)Systèmes en B.O.

4

Aucune mesure n’est utilisée pour la régulation: le contrôleur ne « connait » pas la valeur actuelle de la sortie.

Exemples de système en boucle ouverte: Sécheuse Système d’arrosage automatique


Retour sur le cours #1 (II)Systèmes en B.F.

5

C’est la technique d’automatisation la plus répandue. L’entrée du procédé dépend de la sortie: Généralement,

le contrôleur commande le procédé en fonction de l’erreur entre un signal de référence (e.g.: une consigne) et la sortie actuelle.

Exemples de système en boucle fermée: Régulateur de vitesse Four pour la cuisson Thermostat


Lecture des schémas blocs (I)

6Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

Nous avions vu (au tableau) que l’équation:

Pouvait s’exprimer à l’aide du schéma bloc: x t a x t b u t

u(t)

a

+

-

b x t x t

Système

u(t) Système x(t)

Système

en B.O.

Lecture des schémas blocs (II)


2011

Aujourd’hui, nous verrons comment « lire » des schémas blocs beaucoup plus compliqués:

Surtout, nous apprendrons comment les simplifier…

Linéarisation autour d’un point d’équilibre (I)

Rappel : Un dernier exemple


2011

Soit « l » la longueur de la tige rigide et « M » la

masse de l’objet à l’extrémité de la tige: On

s’intéresse au couple « T » appliqué au pivot.

L’équation dynamique de ce système s’obtient très

facilement:

Trouvons le système linéarisé autour du point θ=0:

sinT M g l

0

0 0

sin

cos 0 0

T T M g l

M g l Mgl

**Par rapport au modèle non-linéaire, le modèle linéarisé est précis à 5% près sur une étendue de ±30 degrés!

Cours #2

Transformée unilatérale de Laplace (I)

10

Le fait d’avoir appris à linéariser les systèmes non linéaires nous permet désormais d’utiliser un outil fantastique: la transformée (unilatérale) de Laplace.

Cette transformée permet de résoudre beaucoup plus aisément les équations différentielles linéaires à coefficients constants, en ramenant la résolution des ces dernières à la résolution d’équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de « s »).


Transformée unilatérale de Laplace (II)

Domaine temporel → Domaine de Laplace

11

La transformée unilatérale de Laplace:

Conditions: 1)Il faut que la fonction f(t) soit définie sur l’intervalle [0, ∞[

2)Il faut qu’il existe un α réel tel que l’intégrale ci-dessous converge :

**Principe: Transformer l’équation différentielle d’intérêt dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler!


0

stf t F s e f t dt

L

0

tf t e dt

s j

Transformée unilatérale de Laplace (III)

Domaine temporel → Domaine de Laplace

12

Exemple: Soit une fonction f(t) tel que:

Alors:

Démonstration:

**Généralement, nous utiliserons des tables au lieu de transformer « à la main » …


atf t Ae

0 0

00

st at st

s a t s a t

t

f t F s e f t dt Ae e dt

A AA e dt e

s a s a

L

at AAe

s a

L

Table de transformées de Laplace (I)


2011

Font références aux propriétés des transformées de Laplace (voir prochain transparent)

Propriétés des transformées de Laplace (I)


2011

Théorème de la valeur initiale (I)

15

Si f(0-) existe, alors:

Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, il faudra aussi démontrer la propriété #6

(dérivation)


0

0 lim limst

f f t sF s

Théorème de la valeur finale (I)

16

Si la valeur finale existe et est définie , alors:

Démonstration au tableau.. Pour démontrer ce théorème, on se servira encore de la démonstration de la

propriété #6 (dérivation)


0

lim limt s

f t sF s

limt

f t

Transformée inverse de Laplace (I)

Domaine de Laplace→ Domaine temporel

17

La transformée inverse de Laplace dite « l’intégrale d’inversion » est définie par:

Où:

u(t) se nomme « Heaviside step function » ou en français : fonction d’Heaviside


1 1

2

j st

jF s F s e ds f t u t

j

L

0 0

1 0

u t t

u t t

Transformée inverse de Laplace (II)

Domaine de Laplace→ Domaine temporel


2011

1 1

2

j st

jF s F s e ds f t u t

j

L

Il serait un peu mal commode de devoir utiliser cette intégrale d’inversion: Il faudrait utiliser les notions

d’intégration complexe… Non seulement l’intégrale est-elle

complexe, ses bornes d’intégration le sont aussi.

En pratique, nous effectuerons une expansion en fractions partielles pour ensuite utiliser des tables: beaucoup plus facile!

Transformée inverse de Laplace (III)

Expansion en fractions partielles


2011

Principe: Pour trouver la transformée de Laplace inverse d’une fonction

compliquée, nous pouvons convertir la fonction en une somme de termes

plus simples pour lesquelles nous connaissons les transformées inverses.

En effet, l’expansion en fractions partielles permet de représenter la

transformée de Laplace sous une forme beaucoup plus pratique lors de

l’utilisation de la table de transformées:

Il y a trois cas à distinguer lors de l’expansion: 1) Pôles réels et distincts,

2) Pôles complexes et distincts et 3)Pôles réels et multiples

111 2 1

11 1

...

...

mm mi im

n n nn i i

s zb s b s bF s K

s a s a s p

Où : Somme des produits : Pôles de la fonction : Zéros de la fonctioni ip z

Expansion en fractions partielles(I)

Cas #1: Les pôles sont réels et distincts


2011

Si les pôles sont réels et distincts, on peut représenter F(s) par:

Ainsi, on peut prendre la transformée inverse de chacun des termes pour obtenir :

Trouvez la transformée inverse de:

Démonstration au tableau…

1 2

1 2

... où: Ci

ni i s p

n

C C CF s s p F s

s p s p s p

1 21 2 1... np tp t p t

nf t C e C e C e u t

2

1 2F s

s s

Expansion en fractions partielles(II)

Cas #2: Les pôles sont complexes et distincts


2011

Les pôles complexes résultent en des formes quadratiques au dénominateur. Ainsi, on décompose d’une manière un peu différente:

Où:

En ce qui a trait aux coefficients C2 et C3:

On multiplie (I) par le plus petit commun dénominateur (Ex: )

On résout l’équation en regroupant les termes en « s », et par la suite par simple déduction…

Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:

1 2 322

11

... (I)...

N s N s C C s CF s

D s s p s as bs p s as b

1

1 1 s pC s p F s

21s p s as b

2

3

2 5F s

s s s

Expansion en fractions partielles(III)

Cas #3: Les pôles sont réels et multiples


2011

Si les pôles sont réels et un des pôles se répète k fois, on peut repréesenter F(s) par:

Où pour les pôles simples, on a:

Et pour les k pôles multiples , on a:

Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:

1 2 12

1 11 1 2 1 1

... ......

k k nk k

k nk k

N s C C C C CF s

s p s p s ps p s p s p s p s p

i

i s pC sF s

1 où 0,..., 1

!i

ik

k i ii

s p

dC s p F s i k

i ds

2

2

1 2F s

s s

Expansion en fractions partielles(IV)

Cas #4: Les pôles sont réels, complexes et multiples


2011

On ne traitera pas ce cas lors de ce cours, puisqu’en pratique ce sont des

cas très très rares. Cependant, si certains d’entre vous sont curieux de

savoir comment on effectue une décomposition en fractions partielles lors

du cas le plus général où les pôles peuvent être réels, complexes, simples

et multiples, vous pouvez vous référer à ce site web du département de

mathématique de l’Université du Maryland:

http://www.math.umbc.edu/~rouben/ParFracs/repeated-complex.html

http://www.math.umbc.edu/~rouben/ParFracs/repeated-complex.html

Fonctions de transfert (I)

24

Les systèmes linéaires, stationnaires et continus (discrets) seront

modélisés par des équations différentielles (récurrentes) linéaires à

coefficients constants.

S’inspirant de la résolution de ces équations par la méthode des

transformées de Laplace (transformées en z), on représente les

systèmes sous forme de fonction de transfert.

Exemple d’un système masse-ressort avec friction:


2

2

d y t dy tM b ky t r t

dt dt

Fonctions de transfert (II)

25

La transformée de Laplace de ce système est:

Considérons le cas particulier où:

On peut alors ré-écrire (I) tel que:

En résolvant pour Y(s):


2 0 0 0 (I)dy

M s Y s sy b sY s y kY s R sdt

2

2

d y t dy tM b ky t r t

dt dt

00

0, 0 , 0t

dyr t y y

dt

20 0 0Ms Y s Msy bsY s y kY s

0

2

Ms b yY s

Ms bs k

Fonctions de transfert (III)

26

Si b/M=3, k/M=2 et y0 = 1, alors:

La décomposition en fractions partielles donne:

En utilisant la table des transformées, on trouve que dans le domaine

temporel:

Théorème de la valeur finale:


22 1t ty t e e

0

2

Ms b yY s

Ms bs k

3

1 2

sY s

s s

3 2 1

1 2 1 2

sY s

s s s s

0

lim lim 0t s

y t sY s

Fonctions de transfert (IV)

27

Soit maintenant le même système avec les conditions initiales nulles:

La fonction de transfert est alors donnée par:

Supposons que l’entrée u(t) soit l’impulsion de Dirac, alors U(s)=1. Dans ce cas Y(s) est égal à la fonction de transfert G(s). La fonction de transfert est donc la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Jean-Philippe Roberge - Janvier

2011

2

1Y s sortieG s

R s entrée Ms bs k

2Ms Y s bsY s kY s R s

2

1

Ms bs k Y(s)R(s)

Fonctions de transfert (V)Définitions

28

La réponse impulsionnelle d’un système est sa réponse à une entrée sous forme d’impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles.

La fonction de transfert d’un système scalaire, linéaire et stationnaire, est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle.

Le dénominateur de la fonction de transfert est dit le polynôme caractéristique du système, et l’ordre du système est le degré de ce polynôme.

** Comme nous l’avons vu dans le cas de notre exemple, lorsque le système est représenté sous forme d’une équation différentielle, on peut calculer sa fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace avec conditions initiales nulles.


Algèbre des diagrammes fonctionnels (I)

29

Diagramme fonctionnel d’une fonction de transfert:

La représentation par des diagrammes fonctionnels permet de représenter

la combinaison de systèmes par un ensemble de blocs interreliés:

Des simplifications sont cependant possibles !


Algèbre des diagrammes fonctionnels (II)

Règles de simplification

30

1)

2)

3)


Algèbre des diagrammes fonctionnels (III)


31

4)


Algèbre des diagrammes fonctionnels (IV)


32

5)


Algèbre des diagrammes fonctionnels (V)

Simplification d’un diagramme

33

En utilisant les règles que l’on vient de présenter, il est possible de simplifier le schéma de la figure suivante pour obtenir la fonction de transfert :


Algèbre des diagrammes fonctionnels (VI)

Simplification d’un diagramme

34

On peut aussi écrire les équations pour la sortie de chacun des points de sommation ainsi que pour Y (s) et que l’on solutionne en fonction de Y (s) et U(s). Dans l’exemple précédent, on obtient :

Que l’on peut solutionner pour obtenir le même résultat.


U(s) Y(s)

Algèbre des diagrammes fonctionnels (VII)Règle de Mason

35

La règle de Mason permet d’obtenir directement la solution des équations simultanées tirées du schéma bloc. La fonction de transfert est donnée par:


Algèbre des diagrammes fonctionnels (VIII)Règle de Mason


2011

La réponse temporelle d’un système (I)


2011

La réponse d’un système dynamique à une entrée quelconque est la sortie qui correspond à cette entrée.

Pour calculer par simulation la réponse d’un système, on utilise normalement l’intégration numérique pour résoudre le modèle d’état (Matlab, Simulink).

La fonction de transfert suggère deux autres façons de calculer la réponse.

1) Par la propriété de « convolution temporelle » de la transformée de Laplace, nous avons avec conditions initiales nulles:

La sortie est donc la convolution de l’entrée avec la réponse impulsionnelle.

1

0' ' '

tt G s U s g t t u t dt y =L

1Où est la réponse impulsionnelle du système.g t G s=L

La réponse temporelle d’un système (II)

Systèmes du premier ordre


2011

2) Nous utiliserons toutefois l’inversion de la transformée de

Laplace pour calculer la réponse y(t). Considérons cet exemple:

21 1 2 2 2

2

Donc:

d vv L i R i R i v R i i

dt R

1 21 2 2

2 2

L R Rv v v

R R

La réponse temporelle d’un système (III)



2011

Transformons cette dernière équation dans le domaine de Laplace:

La fonction de transfert est donc:

Note importante: correspond à la forme standard d’une

fonction de transfert d’un système du premier ordre.

1 21 2 2

2 2

L R Rv t v t v t

R R

1 21 2 2

2 2

1 21 2 2 2

2 2

0

L R Rv t v t v t

R R

L R RV s sV s V V s

R R

L L

2

2 1 2

1 21 . . 0

2 2 1 2

1:

11C I

RV s KR R

G sL R R LV s ss sR R R R

1

K

s

La réponse temporelle d’un système (IV)



2011

Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre:

… Sur l’axe des réels, peut par contre être situé dans le demi-plan

gauche (partie réelle négative) ou dans le demi-plan droit (partie

réelle positive).

La réponse temporelle d’un système (V)



2011

Étudions la réponse impulsionnelle d’un système de premier ordre:

La réponse impulsionnelle est donc:

τ est dite « constante de temps » du système:

Lorsque t=1*τ, la sortie du système est à 63.2% de sa valeur finale.



1 1 2Réponse impulsionnelle 11

Kv t t V s V G s

s

1

12 1

tK Kv t e u t

s

L

La réponse temporelle d’un système (VI)



2011

La réponse temporelle d’un système (VII)



2011

Au lieu de l’impulsion de Dirac, considérons un échelon à l’entrée

du système:

Plus τ est petit, plus grande est la valeur absolue du pôle, et plus rapide est la réponse du système.

La valeur finale de la sortie du système est K:

1 1 2

2 1

1 1Réponse indicielle

1 1 11

11 1

t

v t u t V s V G ss s

K K KK v t K e u t

s s s s s s

2 1lim lim 1t

t tv t K e u t K

La réponse temporelle d’un système (VIII)



2011

La réponse temporelle d’un système (IX)

Systèmes du deuxième ordre


2011

En prenant l’exemple du lecteur de disque (notes de cours):

2

2

2 22

1

1 1

2n

n n

Y s

U s Is bs k

kI

b kk k s ss sI I

2

2 22n

n ns s

Important: Forme

standard d’un système de

deuxième ordre:

La réponse temporelle d’un système (X)



2011

À l’aide des paramètres (ω,ξ) de la forme standard (système

normalisé) du système de deuxième ordre, il est possible de

connaître une foule de caractéristiques du système à l’étude…

« ω » se nomme fréquence naturelle du système

« ξ » se nomme rapport d’amortissement (ou coefficient

d’amortissement).

Les pôles du système sont situés en:

2

2 22n

n ns s

2 1n ns

La réponse temporelle d’un système (XI)



2011

1) Si : Système sur-amorti

Les deux pôles seront réels, et nous aurons une décomposition en éléments simples de:

La réponse du système sera alors la somme des réponses des deux systèmes de premier ordre.

2

2 22n

n ns s

1 2

1 2

a aG s

s p s p

La réponse temporelle d’un système (XII)



2011

2) Si : Système avec amortissement critique

Les deux pôles seront réels, situés tous les deux à

2

2 22n

n ns s

n ns

La réponse temporelle d’un système (XIII)



2011

3) Si : Système sous-amorti

Les deux pôles seront complexes:

La réponse impulsionnelle:

2

2 22n

n ns s

0 21n ns j

212

1sin 1

1ntn

ny t e t u tk

La réponse temporelle d’un système (XIV)



2011

La réponse temporelle d’un système (XV)



2011

Gain statique (I)


2011

Une fonction de transfert est dite asymptotiquement stable si tous ses pôles se trouvent dans le demi-plan gauche:

Le gain statique d’une fonction de transfert stable G(s) est G(0). Par le théorème de la valeur finale le gain statique représente la valeur de la réponse indicielle en régime permanent :

Le gain statique du système du premier ordre est donc K, alors que le gain statique du système normalisé du deuxième ordre égale 1.

0s

0

1lim lim (avec stable)

=G 0

t sy t sG s G s

s

1

K

s

Prochain cours


2011

Retour assez exhaustif sur le cours #2

Exercices (que vous n’avez pas dans les notes + exercices tirés des examens pour lesquels vous n’avez pas de solutionnaire)

Réponse en fréquence

Références


2011

Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop

Control Systems Engineering – Norman S. Nise

Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle

Linear System Theory – Wilson J. Rugh

Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge

Documents

Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires Enseignant: Jean-Philippe Roberge