Introduction a l’optique métaxiale Première partie : Diffraction métaxiale dans un espace homogène : Trilogie structurale, dioptre sphérique

$Page 1: Introduction a l’optique métaxiale Première partie : Diffraction métaxiale dans un espace homogène : Trilogie structurale, dioptre sphérique$
143

INTRODUCTION A L'OPTIQUE MI~,TAXIALE

Premiere pattie �9 DIFFRACTION MI~,TAXIALE DANS UN ESPACE TRILOGIE STRUCTURALE, DIOPTRE SPH~RIQUE

p a r

Georges B O N N E T Professeur "& la Facultd des Sciences *

HOMOGF, NE :

ANALYSE. - - L'optique mdtaxiale se prdsente d'abord comme un prolongement de l'optique paraxiale classique,

en 6tudiant le transfert Iumineux op6rd par un sgstbmc pour une position d&ormais q u e l c o n q u e de l '&ran;

cela dans une approximation d'ordre supdrieur, oh les surfaces de transfert son[ reprdsenldes par leurs s p h e r e s

osculatrices. Elle s' oppose par conlre d l' axiomatique g6omdtrique en utilisant le seul mdcanisme de la d i f f r a c t i o n

pour ddcrire le transfert de la lumi&e, sous la forme d'op&ateurs spatiotemporels agissant sur un c h a m p

6lectromagn6tique aldatoire essentiellement polgchromatique et, simultan~ment, sur ses propridt& statistiques,

en premier lieu sur sa cohdrence . L'effet d'un changement de milieu conserve d'abord au transfert gdndral l'aspect essentiel de la diffraction en milieu homogbne, repr6sentd par la t r i log ie : transformation de Fourier,

filtrage spatial et transparence de courbure, intervenant successivement. Sa spdcifieit6 est d'implanter en outre,

duns le milieu aval, une image coh6rente de l'objet, laquelle se comporte comme une source secondaire pour

tout &ran placd duns ce milieu. Un sgst~me centr6 non diaphragmd refl~te les m~mes propriJt& : imagerie

coh6rente et aplan6tique sur une sphbre-image, trilogie structurale pour un dcran quelconque. Ces diffdrents

aspects, ainsi que leurs implications duns la dualit6 champ-coh&ence, sont ~tudids en ddtail duns le cadre gdn6ral d'un objet partiellement coh&ent et pr&is& pour le cas particulier d'incoh&ence spatiale. Enfin, it

esl important de noter que la doctrine m6laxiale conserve intdgralement sa validit6 pour tout sgst~me 6lectro-

magndlique, en partieulier radioglectrique et m~me pour des syst&nes acoustiques.

ABSTRACT. - - Metaxial optics appear first as a continuation of classical paraxial optics by studyiug the light

transfer operaled by an optical system, but here for a n y position of the screen. This is done in a higher order

approximation where transfer surfaces are represenled by their osculating spheres . In opposition to geometrical axiomatics, only d i f f r ac t i on processes are used lo describe light transfer; this is done wilh the help of space-

lime operators acting on an essentially polgchromatic random electromagnetic field and simultaneously on

its statistical properties, mainly coherence. A discontinuity in the medium does not affect the essential aspect

of diffraction in homogeneous medium concerning the general transfer, as represented by the , trilogy ,~ : Fourier

transform, spatial filtering and curvature transparency, wich appear successivlg. It's specificity consist in

inserting in addition a coherent image of the object in the output medium. Such an image behaves like a secondary

source for any screen located in this medium. An undiaphragmed centered system shows the same properties : coherent and aplanetic imaging on an ~ image sphere ,, structural trilogy for any screen. Those different aspecls, as well as their implications for field-coherence duality, are studied in detail in the general framework of a partially coherent object and emphasized for lhe specific case of spatial incoherence. At taM, it is consequent to hole that the melaxial lheory keeps his validity strictly, when applied to any electromagnetic systems, espe-

cially radioeleetrical ones, and even to acoustical systems.

SOMMMRE. - - Symboles el notations. �9 1 : Optique mdtaxiale. �9 2 : Diffraction m6laxiale duns un espaee

homog~ne. �9 3 : Dioptre sph~rique. �9 4 : Conclusion de la premikre partie. Appendice. Bibliographic

(11 rdf.).

Symboles et notations i.e.

V que l que soit , T F

=> i m p l i q u e , T F F

a p p a r t i e n t "a,

(id est) c ' e s t -h -d i r e ,

t r a n s f o r m d e de F o u r i e r ,

t r a n s f o r m ~ e de F o u r i e r - F r e s n e l ,

* GESSY (Groupe d'ELudes Signaux et Syst~mes), Universitd du Var, chMeau Saint-Michel, 83130 La Garde (France).

1/23 Ax:~. TI~LECOMMUNIC., 33 , n ~ 5 - 6 , 1 9 7 8

144 ~. BONNET. -- INTRODUCTION A L ' O P T I Q U E M]~TAXIALE

7

lxl X*

x #

< U . V >

(X ~ Y)(t)

#

E{Z}

A

C

C

e

d

D(S, M) ~)u

f ,f '

F, F '

g

g(P, z)

g ( F 1 , F 2 ; 1:)

G(F, ~)

G(F1, P~ ; ~)

Jr h(r', ~ ; v)

i(~)

:K

k(r 1, r2 ; P1, P~;v)

K(71, r ~ ; p 1, P 2 ; v)

M

/ l , /1 t

0

TF sur la variable ~ p, p'

vecteur U (ancienne notation l]), P ' P '

module de X,

complexe conjugud de X, ff

adjointe : X # ( t ) = X * ( - - t ) , q

produit scalaire des vecteurs et V (ancienne notation < U. V > , qB q' produit de convolution sur la

7 variable t, R tr~s peu diffdrent de, R ' espdrance mathdmatique de la

grandeur al6atoire Z, 3(

surface objet, ~n

surface dcran, S

cdl6rit6 de la lumi~re, 8

centre de courbure, t

sphere cardinale, t.q.

distance polaire de diffraction, T+

distance point objet-point dcran, t(r ' , v)

dioptre n ~ k,

vecteur axial unitaire,

longueurs focales, x@, v)

vecteur frdquence spatiale, X(p*, t)

ioyers, y(7, ~)

sph6re de Fourier,

facteur d'6chelle (grandisse- Y(~, l)

ment), z(~, v) TF spatiale de la coh6rence

propre, Z(~, t) TF spatiale de la cohdrence mutuelle,

TF spatiotemporelle de la cohdrence propre, y(p, v)

TF spatiotemporelle de la cohd- fence mutuelle, Y(Pl, ~2, v)

opdrateur de transfert de champ, P(~, x)

gain complexe de champ, P(-~I, ~2 ; x)

rdponse percussionnelle de ~ (S- -So) champ,

intensit6 lumineuse (ou ~(~, v) radiance),

0 TF spatiale de l'intensitd lumineuse,

opdrateur de transfert de cohd- ~(F' ~) rencG

gain complexe de cohdrence, ko

rdponse percussionnelle de cohd- ~z(~, t) rence,

point sur t'6cran, ~o invariant mdtaxial, ~(F, ~)

indices de rdfraction, normale unitaire, H, H '

p61e de l 'objet,

abscisses des pupilles,

points principaux,

rayon vecteur sur surface intermddiaire,

invariant paraxial du dioptre,

abscisse de l 'objet,

abscisse de l'dcran,

abscisse de l 'image,

rayon vecteur sur l'dcran,

rayon de courbure de l 'objet,

rayon de courbure de l'dcran,

droite r6elle,

espace rdel h n dimensions,

point sur l 'objet,

syst~me optique,

variable temps,

tel que,

facteur de transmission,

facteur spectral de transparence,

direction (unitaire) de diffraction,

composante spectrale du champ objet,

champ analytique sur l 'objet,

composante spectrale du champ dcran,

champ analytique sur l'dcran,

composante spectrale sur surface intermddiaire,

champ analytique sur surface intermddiaire,

largeur de bande spectrale,

densitd spectrale dnergdtique,

densitd spectrale d'interaction,

cohdrence propre,

cohdrence mutuelle,

distribution de Dirac de sup- port 3o, TF spatiotemporelle du champ dcran,

param6tre gdomdtrique auxi- liaire (w 4.2.4.5),

TF spatiotemporelle du champ sur intermddiaire,

longueur d'onde centrale,

TF spatiale du champ dcran,

frdquence temporelle,

frdquence c~ntrale,

TF spatiotemporelle du champ objet,

sph6res pupilles,

rayon vecteur sur l 'objet,

ANN. TI~L~COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 2/23

G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E 145

courbure d 'un dioptre sphd-

rique,

E, ~ ' sph6res principales,

q: = t I - - t 2 diffdrence de dates,

q~ puissance (ou vergence),

vecteur trdquence angulaire,

Z(P, t) T F spatiale du champ objet,

6) abscisse d 'un centre de courbure,

p61e de l 'dcran,

to(P, v) fonction de t ransfer t du champ.

1. OPTIQUE MI~TAXIALE

1.1. Introduction.

Un article pr61iminaire, paru dans cette m~me revue [1], annon~ai t notre dessein de traiter, dans le formalisme de la thdorie des sgst~mes lindaires, le

probl6me le plus gdn6ral du t ransfer t lumineux (transformations fonctionnelles aussi bien que simple imagerie) au sein des syst6mes optiques, dgalement les plus gdndraux. C'est une telle doctrine que nous prd- sentons ici sous la ddnominat ion d'optique mdtaxiale.

Le langage des s ignaux et syst~mes, familier aux dlectroniciens, l 'est certes beaucoup moins aux opti- ciens ; il ne leur est cependant pas non plus dtranger, si l 'on t ient compte de la par t grandissante prise - - en part iculier aux Eta ts -Unis - - par la doctrine connue sous le nora de Fourier optics. Le moment parai t donc venu de faire appel sys tdmat iquement h un tel langage.

La premiere just if icat ion de cette a t t i tude rdside dans le ddveloppement foudroyant de l 'opto-dlectronique avec, comme consdquence naturel le, le ddsir de recourir h une thdorie unifide de l 'opt ique et de l 'dlectronique, laquelle util iserait au premier chef un langage commun. Or, nous allons voir qu'i l est loisible de donner au radiodlectrieien, h l 'aeousticien et l 'opt icien mieux encore qu 'un langage, toute une doctrine commune.

L'aut re just if icat ion d ' un tel effort d 'unif icat ion appara i t a posleriori dans l 'd tabl issement de rdsultats nouveaux qui n ' au ra i en t pu 6tre obtenus par les mdthodes classiques ; citons bri~vement, comme exemple, la mise en dvidence des condit ions d 'obten- t ion d ' un champ 61ectromagndtique dotd de stat ion- nari td spatiotemporelle (traitde dans l 'arl icle [2] et gdndralis6e ici) avec les consdquences consid6rables qu 'on peut en retirer pour l ' i n s t rumen ta t ion et la mdtrologie photodlastiques, magndtostat iques, etc.

Enfin, ne peut ~tre tenu pour n6gligeable le fait que le langage des signaux et la m6thodologie des syst6mes simplifient no tab lcment l 'approche, la com- prdhension et la rdsolution des probl~mes, par compa-

raison avec leur t r a i t emen t classique ; en part iculier - - et comme il fallait s 'y a t tendre - - dans les pro-

blames mixtcs que pose l 'opto-dlectronique : ce que montre l 'exemple concret trai td dans l 'article [3] antdrieur, t r a i t an t des imageurs h ligne acousto- optique.

1.2. Optique m6taxiale et optique g6om6trique.

L'optique mdtaxiale, telle qu'elle est 6bauchde dans ce texte, d6note un certain dualisme dans sa situa- t ion face ~ l'optique paraxiale g~om~lrique :

- -d'une part , l 'opt ique mdtaxiale diff6re fonda- men ta lemen t de la doctrine t radi t ionnel le par sa mgthodologie. L'opt ique paraxiale consid~re la lumi~re sous son seul aspect spatial; les postulats, pu remen t gdomdtriques, sur lesquelles elle est b~tie, a ya n t pour prdoccupation de ddcrire la trajectoire du vdhicule que const i tue le rayon lumineux. L'aspcct temporel, ainsi que sa t raduct ion dans la base des frdquences, demeurent par contre compl6tement ignords.

A l'opposd, l 'opt ique mdtaxiale adopte d 'embl6e

un module aldatoire du champ dlectromagndtique, considdrd comme une entit~ spatiotemporelle et fait appel au seul mdcanisme de la diffraction pour en interprdter la propagat ion au sein d 'un syst6me optique. Dans un tel cadre, a priori polychromatique, le t ransfer t l umineux d ' un objet vers un dcran, effectud par le syst~me, est t r adu i t tou t na tu re l l ement par un opdrateur lindaire spatiotemporel, agissant non seulement sur le champ, mais aussi sur ses propridtds statistiques, en premier lieu sur sa cohdrence;

--- d 'au t re part , l 'opt ique mdtaxiale const i tue un prolongement (d'ofi son nom) de l 'opt ique paraxiale, pour ee qui touche ~ sa finaIitd. L'ax iomat ique gdomdtrique consti tue en effet une premiere approximat ion dans la description des surfaces en cause, objet ou dcran, lesquelles s 'y t rouven t limit6es h leur plan tangent, dans un voisinage de l 'axe. Ceci fait, l 'opt ique paraxiale se donne pour mission exclusive de ddcrire les processus d'imagerie entre plans paral- l~les conjuguds.

De son c6td, le domaine m6taxial est par essence celui des basses frdquences spatiales, auxquelles la diffraction associe de basses frdquences angulaires ; l 'opt ique correspondante sera donc celle des directions de diffraction peu inclindes sur l 'axe. On constate alors que l ' approximat ion qui en ddcoule pour les surfaces est donnde par leurs spheres osculatrices et d6pend aiusi de deux param~tres, position et courbure, au lieu du seul param~tre de position d ' un plan paraxial.

En outre, l 'opt ique mdtaxiale regoit d 'emblde une mission dlargie, qui est de t ra i ter le probl~me gdn&al du transfert oplique, d 'un objet sphdrique vers un @ran sph6rique quelconque, par l ' intermddiaire d ' un sgst~me centrd. Elle devra donc apporter la description qual i ta t ive et quant i ta t ive , non seulement des pro-

3/23 ANN. TELI~COMMU.XIC., 33, n ~ 5-6, 1978

146 G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E MI~TAXIALE

cessus d' imagerie, mais encore des diverses t rans- formations spatiales que peut comporter un tel t ransfert, telles que t ransformat ion de Fourier, filtrage spatial, t ransformat ion de Fourier-Fresnel , etc., et cela duns l 'observance de la dualitd champ-coh&ence.

1.3. Finalit6 et m6thodologie.

a) On se propose d '6tabl ir les r6gles du t ransfer t optique h t ravers un syst6me cenh6, en s ' imposant de rechercher les modalit6s de t r a i t ement s imultan6 d 'un objet de champ et de sa coh6rence.

La m6thode utilis6e reposera essentiel lement sur des processus de diffractions successives; c 'est dire qu 'on ignorera a priori les postulats de l 'opt ique g6om6trique : principe des rayons lumineux ; principe de Fermat , ainsi que la loi de r6fractiou qui en d6coule.

Cette 6tude s 'appuie sur trois publicat ions ant6- rieures [1 h 3], dont elle const i tue l 'about issement .

Le texte en respectera les nota t ions ainsi que les hypotheses qui, par souci de concision, ne pourront pas ~tre d6velopp6es ici, h l 'exception de brefs rappels. Le lecteur est done pri6 de bien vouloir se reporter si n6cessaire h ces r6fdrences, en part iculier h [2].

b) Par tons du sch6ma d~ principe repris par la figure 1, dans lequel un objet Ac 6claire uu 6cran

I ~ Y (~,t)

F~tG. 1. - - S c h d m a d e p r i n c i p e .

h travers un syst6me 8, fixe et lin6aire. L'objel, source polychromat ique primaire ou secondaire, est d6crit par une rdpart i t ion donnde X(S, t) du champ analy- t ique scalaire [2], ainsi que de sa coh6rence de premier ordre F x ( S x , S 2 ; ~ ) , sur une surface de g6om6trie donnde. Par hypoth~se : lcs sources sont aldatoires slationnaires; les mil ieux travers6s lindaires et non dispersifs [1].

Nous chercherons alors h 6tablir la description du

champ y(~r , t) et de sa cohdrence ]?y(M1, ~r2 ; ~) sur l '6cran .~, pour une position quelconque de ce dernier, done sans nous l imiter aux seules relations d'imagerie. Duns ce cadre, le syst6me optique 8 sera considdr6 comme un op&ateur lindaire spaliotemporel et le probl6me du t ransfer t optique sera trai t6 par les m6thodes les plus rigoureuses de la th6orie des s ignaux et des syst~mes : celles que nous avons introdui tes dans [1] et d6velopp6es dans [2, 3] au

t i tre d 'une nouvelle approche phdnomdnologique de l 'opt ique coh6rente.

I1 appara i t ainsi une premibre diffdrence, fondamentale, entre l 'espri t de notre 6tude et l 'opt ique g6omdtrique t radi t ionnel le , laquelle l imite ses ambi- t ions h la description d 'nne imagerie (et de ses aber- rat ions 6ventuelles).

c) Par ailleurs, le domaine que nous envisageons est essentiel lement celui des basses frdquences spatiales F, t a n t sur l 'objet que sur l '6cran ou toute autre surface interm6diaire.

La diffraction leur f a r correspondre des basses frdquences angulaires q) et l 'on a en tous points [2] :

~ : kff 4 1 ,

ce qui revient h dire que les directions unitaires de diffraction ~ sont pa r tou t peu inclindes sur l'axe : le fait que ~ : P r o j l ~V impose en effet sin u ~ 1 pour l 'angle u entre ~ et l 'axe.

Dans ces conditions, on obt iendra une description

sufl isamment pr6cise des ph6nom~nes en rempla~ant toutes les surfaces (objet, 6cran, dioptres) par leurs spheres osculalriees au sommet : ce qui c o n s t r u e la seconde diff6rence fondamenta le avec l 'opt ique g6o- m6trique.

Nous d6signerons d6sormais la zone de t ravai l limit6e aux basses fr6quences spatiales par le terme (( domaine m6taxial , : son 6tude est pr6cis6ment l 'obje t de ce m6moire (*).

On con~oit imm6dia tement qu ' un tel domaine m6taxial est plus vasle que le domaine paraxial , qu' i l

inclut : ce dernier, le t radi t ionnel domaine de Gauss de l 'opt ique g6om6trique, se borne en effet h ne d6crire les surfaces que par leur plan t angen t au sommet.

Un autre de nos buts est alors d '6tabl ir ce que deviennent les lois classiques de l 'opt ique dans une approximat ion d'ordre sup6rieur, s ' int6ressant au t ransfer t optique de sph6re h sph6re.

d) Mentionnons enfin que le recours au domaine m6taxial repr6sente en v6rit6 une n6cessit6 logique. P. Dumonte t [4] a en effet 6tabli que le t ransfer t optique eohdrent, envisag6 de plan d plan, n 'es t en lui-m6me acceptable que darts un domaine de validit6 tr~s inf6rieur au domaine de Gauss : la eonsid6ration des objets et des 6crans sphdriques de l 'espace m6taxial apporte ainsi un gain de deux ordres de grandeur sur les dimensions trausversales utilisables.

1.4. Domaine d'applioation : radio61eotrioit6, optique et aooustique m6taxiales.

I1 est impor tan t de prdciser que, dans toute l '6tude qui va suivre, la not ion de syst6me (( optique ,, peut

(*) Note de l 'au teur : l ' a d o p t i o n d u n 6 o l o g i s m e ,, m 6 t a x i a l ,) i m p o s e r a a u l e c t e u r d e s u b s t i t u e r i m p l i c i t e m e n t cc t e r m e a u m o t (, p a r a x i a l ,, q u i a p p a r a i s s a i t e n c o r e d a n s les t e x t e s [2 e t 3 ] a n t 6 r i e u r s h s o n a c t u e l l e a p p a r i t i o n .

ANN. TI~Ll~COMMUNIC.,[33, n ~ 5-6, 1978 4/23


et doit ~tre prise dans son accept ion la plus large : celle de tou t syst~me dlectromagndtique, l indaire et fixe, rdgi pa r les dqualions de Maxwell. La doctr ine proposde recouvre ainsi indif fdremment la radio61ectricit6, les hyperfrdquences, les rayons X, etc., t ou t a u t a n t que l 'op t ique p rop remen t dite, dont le langage a 6t6 adopt6 un iquement pa r commodit6 .

Bien plus, la th6orie mdtaxia le util ise en p ra t ique une formulation scalaire des probl~mes de diffraction, autorisde par l 'hypoth~se mdtaxia le elle-m~me [2]. De ce fait, les rdsul ta ts aequis et l ' ensemble de la doctr ine ainsi 6tablie conservent in tdgra lement leur val idi t6 aupr~s des syst~mes scalaires rdgis pa r l'dqua- lion de Laplace-Kirchhoff: 1' (( opt ique )) m6taxia le s ' appl ique donc sans modif ica t ion aux s!lstOmes acous- liques (sous rdserve de se l imiter , dans une premiere drape, h des mi l ieux isotropes et homog~nes, avan t tou t les fluides).

2. DIFFBACTION M~TAXIALE DANS UN ESPACE HOMOGi~.NE

La majeure par t ie des r6sul ta ts concern6s pa r ce t i t re a 6t6 6tablie darts [2 I. Apr~s en avoir br i~vement rappel6 l 'essentiel , nous les compl6terons en dtablis- sant des r~gles de composition pour l 'usage de surfaces de r6f6rence interm6diai res et en m e t t a n t en 6vidence la trilogie structurale du t rans fe r t le plus g6n6ral pa r diffraction homog~ne.

Si l 'on se place dans une reprdsentation d'espace- temps {~, t} et dans un module scalaire, une descr ip t ion exhaus t ive de l ' op6ra teur JC est donn6e par sa r~ponse percussionnelle H(2~, So ; l) . Une telle g randeur repr6- sente le champ ana ly t ique cr66 au poin t d 'obse rva t ion _~r, apr~s t ravers~e du syst~me 8, pa r une source uni ta i re ponctuel le dans l ' e space- temps : cet te source occupe, d 'une pa r t un poin t So de la surface d~ l ' ob je t A, d ' au t r e pa r t le poin t t = 0 du temps ; elle est ainsi repr6sent6e par 8 ( ~ - So)8( t ) .

Ceci 6tant , le champ ana ly t ique Y ( ~ , t) cr66 en un poin t 2~ de l '6cran, h t ravers le syst~me 8, pa r l ' ensemble de l ' ob je t ~ dot6 du champ aua ly t ique X(~, t) le plus g6n6ral, s ' expr ime pa r ([1], w 2.3) :

(1) Y(M, t) = f A (H[31, N ; t ] . X[S, tl)(t) d S ,

off dS symbol ise l '616ment de surface sur l ' ob je t A. L ' int6grale , ~tendue h la surface g~om6trique de l 'ob je t , t r a d u i t l'aspect spatial de l ' op6ra teur de champ JC; en outre, son in t6grant est un p rodu i t de convolut ion sur le temps , ce qui est la t r a duc t i on de l 'effet de filtrage temporel de ce m~me op~rateur .

2.1.1.2. Gdomdtrie de la di/fraction mdtaxiale.

a) L 'ob je t A e t l '6cran ,~ sont deux caloltes sphdriques (6ventuel lement des surfaces planes), don t les centres C et C' ddfinissent l ' axe de sym6tr ie du sys- t~me (Fig. 2). Leurs pbles O et ~ , d i s tan ts de d, sont les points de percde de l ' axe sur les calot tes . Un vec teur uriitaire axial e ~ correspond au sens de p ropaga t ion de la lumi~re. Les rayons de courbure sont alg~briques :

d~ c ~ , ~ X(~ , t ) ~ x(~',~) ~ ( (~ ,v ) Ecran

Y('F.t) ~ y(T v) ~ T/(~, v)

Fro. 2. - - Diffraction m~taxiale (Fresnel).

2.1. Op~rateur Jr de transfert du champ.

2.1.1. Representation d'espace-temps : r~ponse percussionnelle.

2.1.1.1. Cas gdndral.

On consid~re [1] que tou t syst~me opt ique lin6aire et fixe, 8, peut ~tre t ra i t6 comme un op6ra teur lin6aire spa t io tempore l , dont le compor t emen t t empore l est celui d 'un filtre l in6aire : c 'es t l'opdrateur de champ J~.

R = OC pour l ' ob je t , R ' = ~2C' pour l 'dcran. Ces condi t ions repr6sentent l ' ex tens ion au domaine m6ta- xial de la diffraction de Fresnel.

b) Les coordonn6es d 'espace sont t r adu i t es pa r la pro jec t ion du po in t considdr6 sur un plan or thogonal h l ' axe : ~ pour un po in t ~ de l 'ob je t , 7 pour 2~r de l '6cran. Les vecteurs b idimensionnels ~ et ~ se subs t i tuen t alors respec t ivement h ~ et ~ dans l '6cr i ture des grandeurs qui les ment ionnent .

c) L ' in tdgra le (1) de la r6gle de t r ans fe r t est d6sor- mais ~tendue par convent ion h tout le plan rdel, t l 2 ;

5 / 2 3 ANN. TI~L~COM~IUNIg., 33, n ~ 5-6, 1978

148 ~. B O N N E T . I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M s

le r61e de ddfinir le contour de t'objet 6tant d~volu h l 'expression Z(?, t) du champ. Notons que eette intdgrale est h remplacer par une forme lindaire dans l 'dventualit6 off X ou H serait une distribution.

2.1.1.3. Transfert par diffraction.

a) La rdponse percussionnelle de la diffraction de Fresnel darts un espaee homog~ne ([2] w167 2.1 et 2.2) t radui t une ddrivation temporelle, associ6e h u n retard 6gal an temps de transi t entre les points S e t 214 distants de D(S, M). Darts le domaine mdtaxial, eette distance s 'exprime par un ddveloppement limit~ au deuxi~me ordre, soil (ibid.) :

(2) D ( S , M ) = d + 2 ~ -[ 2 R ' 2 R +OlTa'~ '~]"

b) La partie principale, soit d, induit une composante constante darts le temps de retard, quanti t6 sans intdr~t d6s lors que le champ 61ectrique diffrac- tan t est un processus al6atoire stationnaire darts le temps, comme nous en raisons l 'hypoth6se. Nous obtiendrons une simplification notable en la suppri- mant , ce qui est l 'objet de la prfsente.

CONVENTION C. On adoptera un temps relalif diff ,- rent pour chaque dcran d'observation. L'origine de ce temps co'[ncide avec l'instant d'arrivde, sur le p61e de l'dcran, d'une impulsion lumineuse issue du p61e 0 de l' objet.

Ceci revient h dire que, sur chaque 6cran, la r6ponse pereussionnelle est r6putde provoqu6e par une source ponctuelle de l 'objet 6met tant une impulsion de Dirac h la date t = - - n d / c (au lieu de t = 0).

c) Dans ces conditions, la r6ponse percussionnelle de champ, qui a la forme d 'une d6riv6e 8' de la distribution de Dirac, s 'exprime ([2] w 2) p a r :

[n 1 n ~' t - - - {D(S, M) - - d} , (3) H ( ~ , ~ ; t ) - - 2 7 ~ c d c

off n e s t l 'indice de r~fraction de l 'espace homog~ne s@arant l 'objet d~ l '6cran et r la vitesse de la lumi~re dans le vide.

2.1.2. Base de description mixte : gain complexe.

2.1.2.1. Composante spectrale.

La description mixte espace-fr~quenee associe les variables d'espaee ~ ou ~ h la variable frdquence temporelle v. Les champs y sont repr6sent6s par leur composante spectraIe, grandeur r6sultant d 'une transformation de Fourier (TF), partielle sur la dimension du temps, du champ analytique. Les correspondances ehamp-eomposante spectrale s o n t :

- - sur l 'obj~t : X(~, t) . ~ x(~, v),

- - sur l 'dcran : Y(~, t) ~ y(r ' , v) ,

en convenant de conserver la mfime lettre pour deux grandeurs conjugudes et en symbolisant par .~-

t une TF partielle sur la variable t.

2.1.2.2. Gain comptexe.

Cette quantit6 h(r' , ~ ; v ) intervient dans le t ransfert de la composante spectrale :

a) dans le cas g6n6ral d 'un syst6me 8 quelconque, le gain complexe est la TF, partielle sur t, de la rdponse percussionnelle [1] (w 2.3) :

(4) H(~, p ; t) ~ h(~, ~ ; v), t

b) la relation de transfert de la composante spectrale, valable 6galement pour la travers6e d 'un sys- t6me quelconque, rd.sulte de l 'applieation h (1) de la r~gte de PIancherel; ee qui donne :

(5) y(r+, v) f R ~ h(~, ~ ; v) x(~, v) d ~ ,

c) le gain complexe h(~, ~0;Vo) repr6sente done physiquement l 'ampli tude complexe du champ analy- t ique crdd sur l 'deran, h t ravers le syst~me 8, par une source unitaire ponctuelle (point Po) et monochromatique (fr6quence Vo) , done ddcrite p a r :

X(~, t ) = ~(~ - - Po) exp{2rZivot}

ou encore p a r : x(~, v ) = ~ ( ~ - P o ) 8 ( v - vo).

2.1.2.3. Diffraction mdlaxiale.

La r@onse percussionnelle prend darts ce cas parti- culler la forme (3), compte tenu de la convention C sur l 'origine des temps. I1 en r6sulte, suivant la correspondance (4), l 'expression du gain complexe de champ en diffraction homog6ne :

(6) h ( ~ ' - P * ; v ) = i n v t ~ I r exp - -27ci [D(S, M ) - - d] ,

et D(S, M), 6taut donnd par (2), on about i t h la formule gdndrale du gain complexe de la diffraction de FresneI :

cd exp - - i n --c d + +

> >.

2.2. Composition des op6rateurs de champ.

2.2.1. Ecran adrien intermddiaire.

On consid~re le montage de la figure 3 sur lequel, apr~s avoir adapt~ les notations, nous situons :

FIG. 3. - - Eeran a6rien interm6diaire.

ANN. TI~LIkCOMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 6/23

G. BONNET. -- INTRODUCTION A L'OPTIQUE MI~TAXIALE 149

a) un objet A t (pSle 0~, r ayon R1) , dotd de la composante spectrale Xl(p'~, ~) ,

b) un dcran Ae (pSle 0e, r ayon Re) sur lequel est observ6 le champ diffractd pa r A1, de eomposante spectrale xe(~2, , ) .

La dis tance de diffraction est di~ et la lumi~re se diffracte dans le sens de 01 vers 0e, ce qui d~finit une direction causale uni ta i re ~, t .q. Ol10;--d~e ~,

c) une surface eoaxiale interniddiaire A a : il s ' ag i t d 'une surface immatdrielle h laquel le nous ferons jouer le double rSle de rdcepteur (deran adrien) et de rddmeltear (source secondaire). Sa posi t ion est ddcrite pa r :

dis : 010 3 0U d32 : 0302 avee di3 + dze : die

et sa composante spectrale s '6crit x3(P'3, ~).

2.2.2. Gains complexes de champ.

a) Transfert A ~ - > Ae �9

Le gain complexe cor respondant est donn6 par la formule gdndrale (7) ; soit dans les no ta t ions actuelles :

lIe~(~e, ~ ; ~) in~ { - - i~:~ [ ( 1 1 1 cd12 exp i d12 @ R2 p*2@ /

....... 1 1\/ ~ 2 ]

b) Transfert intermddiaire A 1 ---> A a .

I1 lui correspond un gain complexe hal(P'a, ~ l ; V ) de m~me forme, apr~s subs t i tu t ion de di3 h dl~ et

de R 3 h R e .

c) Diffraction secondaire A a - ~ A e .

La sphere adrienne A 3 a u n e gdomdtrie donnde et est affectde d 'un champ connu. Elle peu t donc ~tre considdrde comme un obje t secondaire qui r ayon- nera i t dans la direct ion de A, , , avec un gain complexe h~a(Pe, P3 ; v) conforme fi l ' express ion prdcddente (apr~s subs t i tu t ion de dae h d12 et de R a h R1).

2.2.3. Rdgles de composition.

2.2.3.1. Formule de transfert.

a) D 'une fa$on gdndrale, la formule de t r ans fe r t des eomposantes spectrales entre les surfaces A~ et A j ( i , j - 1, 2 ou 3) est la t r anscr ip t ion de (5), soit :

(s) xj(~j ,

Appliqude successivement h la diffract ion pr imai re de A1 , puts h la diffract ion secondaire de A3 , elle donne :

: _/~4 h23(~2 ' ~3 ; ~) h31(~3 , ~1 ; ") X Xe(~2 ~ ~))

x1( 1, b) Pour que le champ ddtermind snr A e par cet te

double diffraction s ' identif ie au champ diffract6 d i rec tement pa r A1, il est donc ndcessaire que soit rempl ie la condition de composition :

(9)

h21(P+e, ~'1 ; ~) = f R 2 h23(~e, ~3 ;~) h31(~3 , P l ; ~) d p a .

2.2.3.2. Composition des gains complexes mdtaxiaux.

La condi t ion de composi t ion (9) est en sot une ndcessit6 pour la cohdsion de la thdorie opdrat ionnel le de la diffraction. I1 convient cependan t de vdrifier qu 'el le est encore formel lement respectde par l ' expression approchde (7) des gains complexes, tel le qu 'el le ddcoule des hypotheses mdtaxia les combindes avec la convent ion C :

a) pour ce faire, on expr ime le second membre de (9) h par [ i r de la formule gdndrale (7), ce qui donne :

- -n2~ 2 , n~ 1 1 ~ ( [ \ / 1 ) 1 t C2dladaeeXp ~ P2

x

x

exp - - i = - - + d~3 , r

b) l ' in tdgrale t r a d u i t une transformation de Fourier et vau t [ef. (A- l ) en Append ice l :

�9 exp iT: -~- . n ~ d13 d- d3e r -4- dae d32 / )

c) alors, 6 tant donn6 que d13+ dae = die , le second membre de (9) s ' ident i f ie en t i~rement h hel (Pe , P~I ; ~) tel que l ' exp r imera i t la formule g~nd- ta le (7) ; ce qui t r a d u i t la par fa i te consistance du module mdtaxial.

2.2.3.3. Composition des rdponscs percussionnelles.

La rdgle s 'en d6dui t pa r T F tempore l le inverse des deux membres de (9), soit :

(10)

H2,(~2, ~1 ; t) : f R R 2 (H23(~2, P~3 ;l) yr H31(~3, P l ; t))(t)d~3"

2.2.4. Extension d des ~crans adriens virtuels.

a) on remarque que la r~gle de composi t ion (9) demeure algdbriquement valable dans l ' a p p r o x i m a t i o n mdtaxia le si l 'on fair appel h :

- - des dis tances d13 ndgatives,

- - des dis tances d13 > d12 =:> d32 ndgalives.

La diffract ion in termddia i re ( A I - + A 3 dans le premier cas ; A 3--> A 2 darts le second) s 'effectue alors dans un sens oppos6 h la direct ion causale e ' ; en fait, elle se borne h t radu i re une simple dquivalence

par un recours f ictif h un dldment formel A3;

b) si nous symbol isons pa r JCji l ' opdra teur de t rans fe r t de champ Ai---~ A j , la r~gle de composit ion (9) ou (10) peut ~tre condens~e sous la forme :

(11) JC23 ~31 -= ~21 ,

ceci pour l ' emploi d 'une surface in termddia i re A 3 virtuelle aussi bien que rdelle, mats immatdrielle. Bien

7/23 ANN. TI~:LI:;COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978

1 5 0 G. BONNET. -- INTRODUCTION A L 'OPTIQUE MI~TAXIALE

entendu, cet te r6gle de composi t ion peu t ~tre it6r6e sur a u t a n t d 'dcrans in term~diaires que l 'on ddsire,

2.2.5. Prineipe de rdeiproeitd.

a) On a la propri6t6 [(A-2) darts l'appendice] :

l im i n ~ t n~ I d-->O ~-~ e x p - - i T S ~ ( ~ 2 - - ~ 1 ) 2 = ~ ( ~ 2 - - ~ 1 ) "

De ce fait , le gain complexe de l ' ob je t A 1 vers l '~cran A 2 qui sc confondra i t avec lui (d = 0, R~ = R1) s ' expr ime, h pa r t i r de la formule g~n~rale (7), par :

h a l ( P 2 , P1 ; v) = ~ (~2 - - ~1) V v ; si R 2 = ~ 1 .

Cette propridt6, qu ' i l dtai t ndcessaire de rencontrer , s ' expr ime symbo l iquemen t pa r l'opdrateur identitd:

J ~ l l = 1 (si R 2 = R1).

b) On peu t alors dtendre la r~gle de composi t ion (11) au cas A 2 ~ A~, ce qui donne :

(12) ~{~1a~C31 : I OU ~{~la = ~ t "

Le fai t que JEla est l'opdraleur inverse de J~a~ t ra - dui t , darts le cadre de la diffract ion m6taxia le , le tr~s g~n6ral principe de rdciprocitd; ce qui ~tait une nouvel le n~cessit~ pour la cohfision du module.

2.2.6. Ecrans de m ~ m e p61e (changement de rdfdrence dcran).

a) On prend pour in termddia i re A a u n e surface eoaxiale de mdme p61e 02 que l '6cran A2 (Fig. 4).

FzG. 4. - - C h a n g e m e n t de r~f~renee t~ ~cran ~.

La formule g6ndrale (7) donne alors :

nm ~ ( ~ , ~ ;~) da~->0

13) i = exp - - " - - f ~ 8 ( ~ a - - p ~ ) �9 C

et, en p o r t a n t dans (9), on cons ta te que la r~gle de composi t ion J~2aJ~al = JCz~ est ma in tenue lorsque

dx~ = d~2.

b) E t a n t donnd la formule de t r ans l e r t (8), le passage de A a ( rayon Ra) vers l 'dcran copolaire A~

( rayon R~.) se t r adu i t , pour les composantes spectra les , pa r :

= e x p - -

C

Ce passage peu t ~tre eonsid~r~ comme un ehangement de courbure de la r~f~renee dcran. Cette formule d~montre qu 'une tel le opera t ion ~quivaut h l ' app l i - ca t ion d 'une t r ansparence [3] sur l '~eran ini t ia l (iei o~3) : nous par lerons d e , transparence de courbure ,).

c) Le facleur spectral de transparence [3] (w 1.2) qui d~crit ce t te derni~re v a u t d o n c :

(13) t~(? ~ , ~ ) = ~ x p - i ~ - ~ ~ . {3 2 3

La t ransparence de eourbure a p p a r a i t eommc une t r ansparence de t r a n s i t , la fonction de transparence (ibid.), qui la caraet~rise ~galement, s '~cri t :

( ~ '1) .

2.2.7. Objets dquivalents de m ~ m e p61e (changement de r~f~rence objel)

a) On prend pour in termddia i re A 3 une surface coaxialc de m~me p61e 01 que l ' ob je t zs mais de

Fire 5. - - Charlgement de r~f~renee , objet ,,.

r ayon R a :/: R 1 (Fig. 5). On t i re alors de la formule g~ndrale (7) le gain complexe (A-2) :

l im h31(~3, ~1 ;V) d13-->0

c -~3

ce qui ma in t i en t , pour ce cas par t icul ier , la va l id i td de la rSgle JE21 = JE~a JE31. Par suite, la composan te spectrale sur Aa s '~crit :

I X a ( ~ , v ) = exp - - i r ~ - - C

b) L'objet adrien Aa, dot~ du champ repr~sent~ par Xa(~, ,~), a p p a r a i t ainsi comme dquivaIenl h l'objet rdel ~1, dot~ de x l (~ , ,~) . Un changement de r~ffi-

ANN. T~L~COMMUMC., 33, n ~ 5-6, 1978 8/23

0 . B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E 151

rence objet 6quivaut donc h l ' in te rven t ion d 'une

transparence de courbure, de facteur spectral :

04 ) t 3 i ( ~ , v ) = exp - - i t : - - , C ]~1//'

laquelle serait appliqu6e sur l 'obje t initial (ici A1). Comme le prdc6dent, ce facteur spectral tait inter-

venir la diffdrence entre courbure finale et courbure initiale.

2.2.8. R~gle gdndrale.

L'ensemble de ce qui pr6cbde peut 6tre group6 dans la

Rf~OLE I : l'opdrateur de champ JC21 , traduisant la

diffraction entre un objet ~ i el un &ran ~2 placds dans un m~me milieu homog~ne, pent se ddcomposer

e n :

a) un opdrateur J~31 de premiere diffraction s u r u n &ran adrien intermddiaire A 3 , &ran coaxial dont le p61e peut se situer indiffdremment par rapport aux p~les de l'objet et de l'dcran,

b) un opdraleur J~3 de seconde diffraction entre l'intermddiaire A a el l'deran A2 .

Ces opdraleurs obdissent d ane lot de composition

J~2i ;E~a J~31

qui se traduit, pour les rdponses percassionnelles de champ, par

H~I(~, ~ ; t ) = A ~ (Hea(~,-p~a; t)* HaI(~a,~l; t))(t)d~a,

el pour les gains complexes, par

h 2 1 ( ~ 2 , d~3. 2

de l 'obje t ne diff~re sensiblement de z6ro qu 'h l ' in t6-

rieur d 'une bande de fr6quences de largeur ~ au tour

d 'une fr6quence centrale Vo, associde h la longueur

d 'onde centrale k o = c/v o dans le vide;

b) on a, de plus, ~ ~ v o.

2.2.9.2. Consdquences (ibid.).

a) l 'op6rateur de t ransfer t de champ se r6duit h un op6rateur lin6aire uniquement spatial, exclusif de toute influence temporelle ;

b) dans la reprdsentat ion mixte espace-fr6quence, routes les formules 6tablies en lumi~re polychroma- t ique se conservent telles quelles (gains complexes, composantes spectrales, etc.).

La seule diff6rence est que la constante c /k o v ient s 'y subst i tuer ~ la variable fr6quence temporelle v. D~s lors, le passage aux formules correspondantes de la reprdsentat ion espace-temps (r6ponses percussionnelles, champs analyt iques, etc.) n 'es t plus qu 'une T F 616mentaire qui n ' influe pas sur la morphologie de la grandeur en cause.

2.3. La trilogie structurale de la diffraction de Fresnel m6taxiale.

2.3.1. Transformation de Fourier spatiale. ([2], w 4)

2.3.1.1. Conditions gdomdtriques.

La TF spatiale est obtenue par diffraction directe dans un milieu homog~ne lorsque l '6cran 3~ est la sphere de Fourier de l 'obje t A, caract~ris6e par (Fig. 6) :

Objet / ~ - 7 ~ . " f "~ / ~ R SphEre de Y " " / ,

Fio. 6. - - Conditions g~on%triques de transform~e de Fourier spatiale par diffraction.

2.2.9. Lumi~re de spectre ~troit.

2.2.9.1. Hypoth~se.

Cet impor tan t cas part iculier const i tue un prolongement r6aliste du module monochromat ique qui, en soi, repr6sente un id6al phys iquement irr6alisable.

L'hypoth~se de spectre dtroit ([2] w 2.3) est la suivante :

a) la densit6 spectrale 6nerg6tique en chaque point

- - un p6le confondu avec le centre de courbure C de l 'objet : d = R,

- - un centre de courbure confondu avec le pSle 0 de l 'obje t : R ' = - - d .

2.3.1.2. Gain complexe.

Dans ces conditions, la formule g6n6rale (7) condui t

i n ~ ~ n~ i (15) h ( ~ , ~ ; v ) = ~ - exp t 2 ~ i ~ ( 7 . ~ ~ i

9/23 ANN. Tf~LI~COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978

152 G. BONNET. -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M E T A X I A L E

et ce gain complexe a la forme du noyau d 'une int6- grale de Fourier.


a) Por tan t dans la relation de transfert (5), on obtient :

i n v ( - - n o ) (16) y(7, v ) = ~ - ~ ~ - ~ - 7, o ,

off ~(ff, v), TF spatiotemporelle du champ analytique, est la description du champ 61ectrique dans la reprdsentalion-frdquence (fr6quence spatiale ~, fr6- quence temporelle v). Cette quanti t6 est encore la TF, partielle sur l 'espace, de la composante spectrale ; suivant le sch6ma :

x ( ~ , t) ~ x(~, o) ~ ~(P, ~ ) . l o

b) La diffraction ~labore ainsi directement sur la sphere de Fourier la T F spatiale de la composante spectrale de l 'objet, ceci pour une correspondance en fr6quence spatiale ([2], w 4.3.1) :

n o P = - - - ? .

cd

Elle associe donc h chaque fr6quence spatiale d 'objet une direction unitaire V de diffraction, dont la projection sur un plan de front, la frdquence angulaire (~ = Projx V = 7]d est en correspondance lin6aire avec cette frdquence spatiale :

(17) (~ = - e - - F, ou encore ~ = - - XF . n o

Ces conditions sont celles de la diffraction de Fraunhofer.

c) En ce qui eoncerne les champs 61ectriques, l 'op6rateur de diffraction surajoute une t ransforma- tion temporelle ~ la TF spatiale : c 'est le chromalisme de diffraction. Un chlomat isme d 'ampl i tude est t ra- duit par la pr6sence de la fr6quenee temporelle o, en faeteur dans la composante spectrale (16) ; un chromatisme de grandeur apparai t daus la liaison (17) entre fr6quence angulaire - - et done direction de diffraction - - et fr6quence spatiale d'objet.

d) Tout effet de ehromatisme disparait cependant dans l 'hypoth~se de spectre 6troit :

- - l e gain eomplexe (15) ne d6pend plus de la fr6quence v, d~s lors que cette quanti t6 est remplac6e

par c/)~o ,

- - la rdponse percussionnelle prend la forme tr~s simple :

H ( F , ~ ; t ) = h ( 7 , ~ ; c]ko) 8(t);

- - on recueille ainsi sur la sphere de Fourier la pure TF spatiale du champ de l '6cran ([2] w 4.6) :

Y(7, t ) = ~ Z 7, t avec X ( P , I ) ~ X ( p ~,t).

2.3.2. Filtrage spatial (cf. [2], w 3).

2.3.2.1. Conditions gdomdtriques.

Le filtrage spatial est obtenu par diffraction directe dans un milieu homog~ne lorsque l '6cran ~ et l 'objet sont deux caloltes sphdriques concenlriques (ou deux plans parall~les). La condition est donc : R ' = R - d (Fig. 7).

R

C R '

Fro . 7. - - Cond i t i ons g 6 o m ~ t r i q u e s de f i l t r age s p a t i a l p a r d i f f r ac t ion .

Le transfert entre A e t ,~l qui, dans toutes les cir- constances, a d6jh le compor tement temporel d 'un filtre lin6aire, devient ici un filtre spatiotemporel complet.

2.3.2.2. Gain complexe.

Lorsque R ' = R - - d, la formule g6n6rale (7) donne :

i nv i y n V ( y ~)2 i (18) h ( 7 , ~ ; u ) = ~ - e x p - - i T z ~ - - - ,

avec :

(19) V = 1 - - d/R.

Le gain complexe ne d6pend plus ici que de la diffdrence ~ = (7 ]y - - ~), ce qui caract6rise un filtrage lindaire sur les dimensions d'espace ; le param~tre y joue le rSle d 'un facteur d'6chelle, le grandissement transversal (g6n6ralis6) de ce filtrage. On est ainsi conduit h introduire le gain complexe isoplandtique, hiso(p, v), ddfini et explicit6 comme s u i t :

(20) hiso(p, v) ~ h [y (p + ~), p ;o]

i n v i y n ~ " - ed exp - - i T z - ~ - J


La relation de transfert (5), dot6e du gain complexe de filtrage spatiotemporel (18), d o n n e :

(21 a)

y(7, v) = - ~ - exp - - i7~ - - ~ -~2, ~r x[~, u], (;]~,) .

Ce produit de convolution, pris pour la variable d'espace ~ = ~ ] y repr6sente, compte tenu de (20), la s tructure formelle d 'une relation de filtrage, soit :

(21 b) y(7 , v) = (hiso[~, ol * x[~, ol ) (7 /v ) �9

ce qui est la relation de Vaschy d 'un filtrage spatial.

ANN. TI~LECOMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 10/23


2.3.2.4. Champ analgtique.

Soit Hiso(p, l) la rdponse percussionnelle isoplandtique, T F tempore l le inverse de hiso(p,v) [2]. La r~gle de t r ans fe r t des champs ana ly t iques entre l ' ob je t d~ et l '6cran concentr ique ~ se d6dui t de (21 b) pa r T F tempore l le i nve r se ; elle est done, formel lement :

(22) Y(~, t) = (H,~o[~, t] * x [ ~ , ll)(;I,c, t).

I1 s ' ag i t m a i n t e n a n t d 'un p rodu i t de convolut ion h la fois spa t ia l et t empore l , ce qui caract6rise bien un filtre l in6aire spaliotemporel dans la repr6senta t ion d 'espace- temps .

2.3.2.5. Fonclion de transfert.

Les r~gles de t rans fe r t (21) ou (22) se s implif ient beaucoup si on les expr ime dans la represen ta t ion fr6quence.

a) On in t rodu i t pour ce faire :

- - la T F spaf io tempore l le ~(_F, v) du champ d 'dcran, su ivant le schdma :

Y(7, t) ~ - y ( r ~, v) ~ ~q(P, v) , t r

- - la fonction de transfert (spat io temporel le) co(~, v) qui est la T F spa t io tempore t le de la rdponse percussionnelle isoplandlique, su ivant le sch6ma :

Hiso(P, l) ~ - hiso(P, ~) ~ r v) . t p

b) La r~gle de Plancherel, appl iqu6e h (22), donne alors la re la t ion de t rans fe r t sous la forme d 'un produi t s imple :

(23) ~(F , v) = ",(~ (oQ' ~', v) ~ (T~ , v) ,

dans lequel la fonct ion de t r ans fe r t de diffract ion s ' expr ime, ~tant donn6 (18) pa r [2] :

~o(~,v) 1 i d e i -- - e x p i n - - P~ . T , T n v ,

2.3.2.6. Chromalisme el spectre dlroit.

a) En lumi~re po lychromat ique , la diffract ion 6labore sur tou te sphere concentr ique avec l ' ob je t le

f i l trage spat ia l de la composante spectrale (21) ; ceci pour chaque fr~quence temporel le .

En ce qui concerne le champ ana ly t ique , le f i l trage tempore l surajout6 au fi l trage spa t ia l peu t nous appara i t re comme une ddformat ion de ce dernier : c 'es t le chromatisme. Ici dgalement les deux types de chromat i sme, d ' a m p l i t u d e et de grandeur , coexis tent : la frdquence tempore l le v agit , d 'une pa r t comme fac teur du gain complexe, d ' au t r e pa r t dans l ' exponentiel le de ce gain, oh elle module l 'effet spat ia l .

b) En lumi~re de spectre 6troit , le ch romat i sme d ispara i t :

- - la cons tan te r o se subs t i tue ~ la fr6quence v dans le gain complexe,

- - l a r6ponse pereussionnelle i sop lanf t ique s '6cri t alors s implement :

Hiso(7, p ;1) -- hiso(r ' , p" ; e l k 0) ~(t).

- - le champ ana ly t ique diffract6 sur l 'dcran coneen- t r ique s ' expr ime par :

i n i ) ( \ ' e x p - - i7: ~ X[~ , t]

Il reprdsente alors le rdsul ta t d ' un pur f i l t rage spatial du champ de l 'obje t .

2.3.3. Cas g~n~ra! : trilogie de la dO, faction de Fresnel.

Prenons m a i n t e n a n t un 6cran ~ quelconque. Les r~gles de composi t ion du pa rag raphe 2.2 p e r m e t t e n t alors de d6composer le t r ans fe r t ent re A et ~ su ivan t des in term6diai res fictifs appropri6s. La gen~se de ce t r ans fe r l nous a p p a r a i t r a ainsi, en tou te g~n6ralit6, comme la composi t ion de trois t r ans fo rmat ions 616- menta i res successives.

2.3.3.1. Premier intermddiaire : sphere de Fourier.

Soit ~- la sphere de Four ie r de l ' ob je t : p61e C, centre 0 (Fig. 8). On a vu que la composante spectra le diffract6e sur ~- est propor t ionnel le ~ la TF spatiale de la composante spectrale de l 'ob je t . Elle r6sulte

~ (sphere cardinale)

...,'

\ - _ _ - _- _-_-_..~: : - , . . - _ ' ; - %

/

FiG. 8. - - Trilogie de la diffraction de FresneI.

11/23 AN~. T~.LP.COMMUNlC., 33, n ~ 5-6, 1978

154 a . B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E

d 'un gain complexe exprim6 par (15), pour une distance de diffraction 0C 6gale h R, soit :

r exp < p . p > .

La premiere eomposante du transfert A---~ ,~ est done une diffraction de Fraunhofer.

2.3.3.2. Deuxi~me intermddiaire : sphere cardinale. Nous nommons sphere curdinale [31 un ~cran sph6-

rique dont le centre de courbure est eonfondu avec le pSle 0 de l 'objet : R ' = - d. De ce fait, toutes les spheres cardinales d 'un objet donn~ sont eoncen- triques et, parmi eelles-ci, sa sphere de Fourier (d = R).

Prenons alors eomme second interm6diaire la sphere cardinale 12 ayan t m~me p61e que le pSle ~ de l '6eran ,~ (Fig. 8).

a) Puisque ~" et 12 sont eoneentriques, le passage par diffraction de la premiere h la seeonde op~re un filtrage spatial sur les eomposantes speetrales. Le gain complexe eorrespondant est (18) :

--in'~ l eR(d--R)dnv (R~_d q_p_)~l h~(~,~ ; v ) = e ( d _ R ~ e x p - - i n �9

Ce r6sultat provient de ce que :

- - la distance de diffraction C~ est 6gale h ( d - - R),

- - le rayon de courbure de l 'objet interm6diaire .~ vau t - - R (w 2.3.1.1),

- - l e grandissement transversal vaut ici (19) : �9 ~= d/R;

b) le gain complexe he , associ6 h la diffraction directe de l 'objet A v e r s la sphere cardinale ~, se d6duit des gains complexes interm6diaires h t et h a par la r~gle de composition (9), ce qui donne, tous calculs effectu6s :

(24) h e ( ~ , ~ ; v ) i n v { n v < ~ R> I ed exp - - i n - - e - - ~2 •

1 I exp 2 n i ~ < ~ . ~ > .

On peut v6rifier qu'il s'identifie au gain eomplexe qu 'exprimerai t direetement la formule g6n~rale (7) lorsque R ' = - - d.

c) Por tan t dans la relation de transfert (5), on obtient la composante spectrale sur la sphere eardinale e sous la forme d 'une TF :

y o ( 7 , e x p - - x(?',

prise pour la tr~quenee spatiale,

n v ~ 1 ~ F = - - ~ - d q = - - ~ @ ,

soit encore :

(25) y c ( ~ , v ) = - - exp nv i ~ / ~ - - ~ q }

(ceci en posant I[D= l[d- -1JR) .

Le passage de A h 12 est donc t radui t par une transformation de Fourier-Fresnel (TFF) g6ndralisde. Nous obtenons une interpr6tat ion physique de cette t ransformat ion en observant qu'elle d6crit la combinaison d 'une TF spatiale (diffraction de Fraunhofer) suivie d 'un filtrage spatial ( transformations non com- mutat ives effectu6es darts l 'ordre indiqu6), expr imant la diffraction mdtaxiale sur une sphere cardinale.

2.3.3.3. Passage final sur l'dcran ~ : transparence de courbure.

La sphere cardinale C (rayon - - d ) et l '6cran (rayon R') ont par hypoth6se leur pSle ~ en commun : le passage sur .~ cons t rue doric un changement de rdfdrence dcran (w 2.2.6). I1 se t radui t par l 'application d 'une transparence de courbure, de facteur spectral (13) :

(26) t ( ~ , v ) = exp - - i n - - e ~ § ~2

a) le gain complexe associ6 h cette t ransparence est (w 2.2.6) :

ha(? , q ; v) = t ( ? , v) 8 ( q - - ? ) .

Combin6 avec l 'expression (24) de he(q, p ; v ) sui- r a n t la r6gle de composition (9), il redonne bien l 'expression (7) du gain complexe global de l 'objet Ac vers l '~cran ~ ;

b) la composante spectrale sur l '6cran o~ le plus g6n6ral est ainsi :

y (? , ~) = Yc(?, ~) t(?, ~),

ce qui donne, d 'apr6s (25) et (26) :

(27a) y ( ? , v ) = e x p t - - i n 72 x ] \

- - ")(- V] r t ~ h

off l 'on a :

l /D= l/d-- l /n ; l / A = l /d+ l/n' ; ~(P, ~) ~ x(~, ~), P

TF spatiotemporelle du champ analyt ique de l 'objet. Par TF spatiale de y(~, v), on en d6duit la TF spatiotemporelle du champ analyt ique sur l '6eran .~ ; un calcul simple donne, ef. (A-l) en Appendice :

c2dA / i cA (27b) ~ ( F , v ) - - ( e x p i i n - - Y , ~ / l '9 i "It" /12~ 2 \

exp { i n n ~ , "

Ces deux rdsultats expriment, sous sa forme la plus gdndrale, la diffraction de Fresnel 6tendue au domaine m6taxial.

2.3.3.4. Trilogie de la diffraction de Fresnel.

La structure de l 'expression (27) fait apparai t re la trilogie du transfert par diffraction : T F spatiale, filtrage spatial et t ransparence de courbure. Ce qui prdc6de sera rfsumd sons la forme suivante :

ANN. T~L~EOMMUNIE., 33, n ~ 5-6, 1978 12/23

G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E 1 5 5

I~/~LE II. Dans le domaine mdtaxial, la diffraction

de Fresnel la plus gdndrale rdsulte de la combinaison :

- - d'une T F spatiale, traduisant une diffraction de Fraunhofer intermddiaire. Celle-ei est uniquement lide

la structure de l'objel;

- - d'un filtrage spatial associd d la seule position

de l'dcran et conduisant d une T F F spatiale;

--- d'une transparence de courbure deran, associde

la courbure de l'dcran.

2.3.3.5. Autres ddcompositions de la diffraction de Fresnel.

Bien d 'aut res d@ompositions que la trilogie prdcddente peuvent 6tre envisag6es. Nous choisirons deux exemples, en eommen~ant par le plus simple, qui fait appel h un seul dcran intermddiaire (Fig. 9 a) :

d) cette nouvelle ddcomposition est sensiblement plus simple que la trilogie pr~c6dente. Elle pr~sente

cependant l ' inconv6nient majeur de ne pas apparai t re directement dans la morphologie du gain complexe de Fresnel (7), dans lequel :

- - l 'exponentiel le en < ~. p~ > est associ6e ~ une TF spaliale,

- - l 'exponentiel le en ( l id -- 1]R) ~ t radui t le pas-

sage h une T F F , done un filtrage spatial surajout6,

- - l 'exponentiel le en (1]d + 1]R') -rZ repr6sente une transparence de courbure.

II semble bien que ce soit done la trilogie qui s 'adapte le mieux, malgr6 sa relative complexitd, h la s t ructure de l 'op6rateur de t ransfer t par diffraction de Fresnel gdn6ralis6e.

C o bj e t abjet

6 c r a n

(~ ecran

b

FIG. 9 a et 9 b. - - Autre d@omposition de la diffraction de Fresnel.

a) cet 6cran, 33", a m6me p61e ~2 que l '6cran r6el ~ , mais il est choisi concentrique avec l 'objet A. De ce

fait, le passage de A ~ ,~* est un filtrage spatial, de grandissement t ransversal Y = 1 - - d[R. Le gain complexe correspondant est (18) :

hl(~, ~* ; v) = i n v y n v exp - - i ~ cd - - p .

cd

b) le passage de ~ * (rayon R - - d ) vers l '6cran r6el ~ (rayon R') de m6me p61e, const i tue un changement de r6f6renee dcran. Son gain complexe est (w 2.2.6) :

i h e ( ~ ' P ;v) exp I - - i~ e \~/}' R

La composition de h 1 et h2, su ivant la r~gle (9), condui t alors h u n gain complexe direct de ~ vers ~ qui s'av~re ident ique h l 'expression g~n6rale (7) ;

r la diffraction de Fresnel appara i t ainsi eomme r6sul tant tout aussi bien de la eombinaison :

- - d 'un filtrage spatial, associ6 h la courbure de l 'obje t et h la position de l '~eran,

- - d 'une transparence de courbure (~ objet ,), asso- ci6e h la courbure de l '6cran ;

2.3.3.6. Liaison entre filtrage spatial et transformde de Fourier.

Le deuxi~me exemple de d6composition est le suivant , schonat isd figure 9 b ; il fait appel h deux intermddiaires.

a) Premier dcran intermddiaire : sph6re A*, de m~me p61e 0 que l 'objet , ayan t le p61e ~ de l 'dcran pour centre de courbure ; son rayon est donc d.

Le passage sur A* reprdsente un changement de

rdfdrence (, objet )) (w 2.2.7), ayan t done un gain complexe :

hi(P,

b) Deuxi~me dcran intermddiaire : la sph6re cardinale C (p61e ~Q, centre 0) (Fig. 9 b). Cette derni~re est donc la sphere de Fourier de l ' intermddiaire ~*. Le passaeg

de A* vers C correspond ainsi au gain complexe (15) :

~dexp 2 ~ i ~ < ~ . g > .

La composit ion de h~ et de h 2 condui t au gain

eomplexe direct de A vers C. L'expression obtenue s'av6re ident ique ~t eelle (24) de he(q, ~*;v) . On a

13/23 ANN. TI;:LIs 3:~, n ~ 5-6, 1978

156 G. BONNET. -- INTRODUCTION A L'OPTIQUE METAXIALE

ainsi une nouvel le in te rp rd ta t ion de la T F F e x p r i m a n t la diffract ion mdtaxia le sur une sphbre eardinale : changement de rdfdrence objet, suivi de TF spatiale.

c) Passage final sur l'dcran ~.

C'est dv idemment le m~me changement de rdfdrence dcran que dans la t rois ibme phase de la t r i logie

(w 2.3.3.3).

d) La diffract ion de Fresnel se prdsente m a i n t e n a n t comme la combinaison :

- - d 'une transparence de courbure objet, associ6e la courbure de l ' oh j e t c t ~ la posi t ion de l '6cran,

- -d 'une TF spaliale, associde h la posi t ion de

l 'dcran,

- - d ' u n e transparence de courbure dcran, associde h la courbure de l '6cran.

e) On cons ta te alors que le fillrage spatial lui- m~me est suscept ible d '6 t re ddcomposd su ivan t ce schdma. La consdquence e n e s t que le fi l trage spa t ia l ressor t i t ind i rec tement h la T F spat ia le : ce n ' es t donc pas une transformation fondamentale s t r ic to sensu.

Pa r opposi t ion, se t rouve raise en lumi~re l ' impor - tance ex t reme que rev~t, pour tou te la diffract ion de Fresnel , la transformation de Fourier; en d ' au t r e s refines, la diffract ion de Fraunhofer elle-m~me.

f) L ' in tdr~t de cet te troisi~me ddcomposi t ion rdside dans la cons ta t a t ion prdcddente, qu 'el le pe rme t de faire. Pa r ailleurs, son i n a d a p t a t i o n h la morphologie de la rdponse percussionnel le de Fresnel lui fera

prdf6rer la tri logie.

2.4. Op6rateur de transfert de la coh6rence.

2.4.1. Propridtds [ondament.les.

2.4.1.1. Ddfinitions.

Le module po lych roma t ique adoptd fai t appel [2] un champ dlectr ique aldatoire, s ta t ionnai re dans

le temps, ddcrit pa r son signal ana ly t ique : le champ analytique X(~, t) .

La cohdrence muluelle est le m o m e n t de second ordre de ce signal ana ly t ique , observ6 sur un couple de points (~*~, ~*~} ; c 'es t une covar iance, t empore l - lement s ta t ionnai re , qui s 'dcri t [2] :

rx(p~ , p~ ; v) = E { X ( p l , t) X * ( ~ , l - - v)}.

On est pa r ail leurs amend h considdrer la cohdrence comme une g randeur abs t ra i t e dont l ' x serai t l ' expression matdr ie l le dans la reprdsen ta t ion d 'espace-

temps. I1 lui cor respond :

a) dans la repr6sen ta t ion mixte , la densitd speclrale d'interaction Yx(~I , ~2 ; v) ; c 'es t la TF, par t ie l lc sur le temps , de la cohdrence mutue l le ;

b) dans la reprdsen ta t ion frdquence, la T F spat io- tempore l le Gx( ] r ~ ; v) de la cohdrence mutuel le .

Ce qui donne le schdma :

Px(p1, ~2 ; ' r ) ~ - ] ' X ( ~ j , ~2 ;V) ~ - ~ x ( F 1 , F 2 ; ' r "r P l , P2

2.4.1.2. Transfert.

a) L 'd tude du t rans fe r t de la cohdrenc~ se t rouve facili tde h l ' ex t r~me par un thdor~me fondamental dtabli darts [2] au pa rag raphe 1.4.2. A u x termes de ce dernier, la cohdrence d 'un couple de points est t ransfdrde par un opdrateur de cohdrence associ~ univo- quement aux opdrateurs de champ qui r6gissent le t r ans fe r t du champ pour les points en cause ;

b) l'opdrateur de cohdrencc J~ est un op~rateur l indaire don t l 'aspec~ t emporc l est dgatement celui d ' un filtre lindaire. I1 est ddcrit , selon le th6orbme fondamenta l , pa r :

(28) J{~ = JE~ J q ,

off JE 1 est l ' opdra teur de champ associd au t r ans fe r t du po in t ~+1 vers un po in t ~1; JE~ est l ' ad jo in t de l ' op~ra teur de champ associd au t r ans fe r t ~ - + 7 2 ;

c) l ' opdra t eu r J~ est alors caractdrisd pa r ([2] w 1.4.2) :

- - une rdponse percussionnelle de cohdrence symbo- lisde pa r :

(29a) K = (H l ~ H2~),

oh H Ies t la rdponse percussionne]le de champ de Jl~ I et H~ l'adjointe sur le temps de celle ddcrivant JC 2 ;

- - un gain complexe de cohdrence, symbolisd par :

(29b) k = hxh ~ ,

off h I e t h 2 sont les gains complexes de champs eorrespondants .

Grace au thdor+me dvoqud, la connaissance des r6gles et des propridtds du t rans fe r t de champ en t ra ine ipso facto cetle des r6gles et propridt~s du t r ans fe r t de la cohdrence ; ee que nous allons dvoquer rap idement .

2.4.2. La coherence en diffraction mdtaxiale.

2.4.2.1. Gain complexe de cohdrence.

I1 rdsulte de l ' app l i ca t ion de (29 b) h la formule mdtaxia le gdndrale (7) ; ce qui donne :

(30) k ( r l , r 2 ; 01, P 2 ; ~ ) - - \ e d / •

- i" 2.4.2.2. R~gles de composition.

Lorsqu 'on fai t appel ~ un dcran adrien A3, in ter - mddiai re dans la diffraet ion entre l ' ob je t A 1 et l 'deran rdel ~ 2 , on a la r~gle de composi t ion (11) des opdra teurs de champ. L ' app l i ea t ion du thdor~me fondamenta l (28) pe rme t alors d ' ob t en i r i m m d d i a t e m e n t une r~gle similaire eoncernan t les opdra teurs de eohdrence et qui s 'der i ra :

~21 = ~23~31.

ANN. T~L~COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 14/23

G. BONNET. -- INTRODUCTION A L'OPTIQUE Mt~TAXIALE 157

I1 suffit, pour y parvenir , d 'appl iquer la condi-

tion (9) aux gains complexes de champ en t ran t , selon (29 b), dans la s t ructure des gains complexes de coh6rence ; on obt ient ainsi la rbgle de composition :

(~ ~ , . ~ ~ , . (31) k2~ 2 , ~ 2 , 1 , P l , V )

/ R 4 k2a(~ . . . . . . . . . . . . = 2, 02;-P'3,-P"a;v) k 3 1 ( 0 3 , P a ; P l , O l ; V ) d o 3 d P 3 .

2.4.2.3. Cohdrence en spectre dtroil.

Pla~ons-nous dans l 'hypoth~se de spectre ~troit du paragraphe 2.2.9 :

a) en raison du th~or~me fondamenta l (28), l 'op6- ra teur de coherence se r6duit fi son tour h u n op~rateur uniquement spatial ;

b) les densit~s spectrales et les gains complexes de coh6rence d6coulent de leur formulat ion polychromatique par subst i tu t ion de la constante r fi la fr~quence v ;

e) les coh6rences mutuelles et les r~ponses percussionnelles de coherence deviennent tr~s facilement accessibles, fi par t i r de ces grandeurs spectrales, par une TF 61~mentaire qui en conserve la morphologie.

2.4.2.4. Trilogie slructurale de la diffraction de Fresnel.

a) Par suite du th6or6me fondamenta l (28), les condit ions de TF de champ, obtenues sur une sphbre de Fourier, se re t rouvent ipso facto pour la T F de coherence ([2] w 4.4).

b) I1 e n e s t de m~me pour les condit ions de filtrage spatial, observ6es sur un 6cran concentr ique ([2] w 3.3).

e) Toujours en raison du thdor~me fondamenta l (28), le ehangement de courbure de l 'obje t ou d 'un 6crab se t r adu i t 6galement pour la coh6rence par une t ransparence de courbure. Le facteur spectral en cohdrence ([3] w 3.2.1) qui lui est associ6 s 'exprime, "~ part ir de (13) et pour un changement de rayon/21 --~ R 2 par :

(32) S(~I~ ~2 ' ~ ) ~ e x p , ~/ ( ~ - ~ ) �9

d) I1 devient alors 6vident que la d~compositio:i de la diffraction de Fresnel se t radui t pour la coherence par la m~me trilogie que pour le champ. Ainsi, dans la preini~re version du paragraphe 2.3.3.4, on aura successivement :

- - une TF spatiale de la densit6 spectrale d ' in ter - action, observable sur la sphere de Fourier,

- - un filtrage spatial entre la sphere de Fourier et la sphere cardinale ; il en d6coule la pr6sence sur cette derni~re de la T F F spatiale de la densit~ spectrale de l 'objet ,

- - u n e transparence de courbure pour le passage

sur l '6cran.

e) L'expression gdndrale de la densitd spectrale d'interaction sur un dcran ~ quelconque d6coule du gain complexe de coherence (30). Elle est obtenue encore plus directement fi part ir de la composante spectrale, donn6e par (27); on fait appel pour cela aux propridtds statist iques [3] :

E{y(r~l , v) y*(r~2, v')} = "~Y(?I , 72 ; V) ~(v' - - "~) ,

E{~(F I , v) ~*(P2 , v')} = G x ( F I , - - F2 ; v) 8(v' - - v) ,

off G x ( F I , F 2 ; v ) est la TF spatiotemporelle de la covariance mutuel le d 'obje t F x ( p l , P2 ; ~) �9 La forme g6n6rale de la densit6 spectrale d ' in terac t ion dif- fract6e est ainsi ([3] w 3.3.2) :

(33) D 2 ( n v / 1 1 ~,,

Yr(Ti , F2 ; v) = ~ e x p t - - i r ~ - ~ + ~ ) ( r ~ - - ~ ) ! x

" , cD I* F ' ' e x p , i n - - ( P ~ - - P ~ ) G x [ F 1, 2 , V ] . I n v ~ n v ~ \

ce qui t r adu i t bien la trilogie s tructurale ~voqu~e. En partieulier, sur la sphere de Fourier, pour laquelle

lID= lld--l ln est ~gal ~ z~ro, ainsi que Old+ 1W), la formule donne :

n2~ 2 / n '9 n "~ \ "~r( r l , 7 2 ; v) = Gx - - ~ 7 ~ , ~ 7 ~ ; ~ . )

3. D I O P T R E SPHI~ .RIQUE

3 . 1 . D e s c r i p t i o n .

3.1.1. Dioptre.

Soit ~ la surface de s6paration de deux mil ieux homog~nes et isotropes, d'indices de rdfraction n e t n'. Darts le doinaine m~taxial , ce dioptre sera restreint fi un 616ment de sphOre (ou de plan). Les condit ions adopt6es sont les suivantes (Fig. 10) :

objet (~/(~ ~cran

Fro. 10. - - Dioptre sphdrique.

1 5 / 2 3 ANN. Tr 33, n ~ 5-6, 1978

1 5 8 G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E

- - l'axe de symdtrie du syst~me est ports par un rayon du dioptre sphSrique et orients dans le sens de propagat ion de la lumi~re,

- - le p61e 0 du dioptre est pris pour origine des

coordonndes axiales et transversales,

- - ~ est la courbure algdbrique du dioptre (rayon

~1~), - - P e s t le point courant , de rayon vecteur pro-

jectif ~,

- - le champ sur la face d'entrSe est dScrit, dans les trois repr6sentat i0ns, par :

z(~, t) ~ zC, ~) ~ ~(~, ~ ) t p

3.1.2. Objet.

C'est une calotte sphSrique A, avec (Fig. 10) :

- - centre C sur l 'axe, d'abscisse OC = to,

- - p61e A, d'abscisse OA = q,

- - rayon R = A C = t o - - q ,

- - champ : X(~I t) ~ - x(~, ~) ~ ~(~, v). t p

L'obje t est a t tach6 par hypoth~sc au milieu amont

(indite n) ; phys iquement , il est rdel si q < O, virtuel si q > 0 : ce qu 'au tor i sen t Its considSrations du

paragraphe 2.2 pr6eSdent.

3.1.3. Ecran.

C'est une calotte sphSrique 33, avec (Fig. 10) :

- - centre Ca sur l 'axe, d'abscisse OCB = ton,

- - p6le B, d'abscisse OB : qB,

- - rayon RB = BCB = t o B - qB,

- - champ : Y~(r' , l) ~ yB(r', V) ~ BB(F, v) ; h d6terminer, t r

L '6cran est a t tach6 au milieu aval (indice n ' ) ;

phys iquement , il sera rdel si qa > O, virtuel si qB < 0.

3.2. Transfert opt ique objet-6cran.

3.2.1. Diffraction darts le milieu amont.

3.2.1.1. Source.

Nous dScrirons l ' op f ra teur de t ransfer t entre l 'obje t A et l '6cran ~ , h t ravers le dioptre ~ , par son gain complcxe h(r ' , ~ ; v ) . La signification phy-

sique de cette derni6re grandeur (w 2.1.2.2) nous

condui t h rechercher l ' influence d 'une source unitaire,

ponctuelle (point P0) et monochromatique (frSquence v0) attach6e h l 'ob je t : on salt que la composante spec-

t r a i t recueillie sur toute surface coaxiale prise comme Scran intermSdiaire t r adu i ra alors le gain complexe

entre i 'obje t et cette surface, ce qui v a n o u s permet t re de conduire 1'analyse de proche en proche, jusqu 'h l 'Scran 33.

3.2.1.2. Champ sur la ]'ace amont du dioptre.

a) Sa dSterminat ion procbde d 'une diffraction de

Fresnel en espace homogbne, l 'espace amont , dans des conditions telles q u e :

- - la distance entre p61es est d = AO = - - q ,

- - l 'obje t a pour composante spectrale :

xC, ~) = 8(~ - ~ ) 8(~ - ,o), - - 1' ,( dcran ~ (dioptre) a pour rayon de courbure

R ' = 11~.

b) Les formules gSn6rales de diffiaction (27) dSter- m inen t alors, soit la composante spectrale z(~, v) du champ sur la face amon t du dioptre ~ , soit la T F spatiotemporelle de ce champ. On a ici :

1]D = -- ( l /q + l / R ) ; l / A = a - - l / q ;

~ ( n v ~ F + cq Po ~(v--vo)

et la formule (27 b) donne en part icul ier :

(34)

~(~, v) _ 6 q e X p - - i n P + qPOl - 1

C2

3.2.2. T r a n s m i s s i o n e t diffraction secondaire par le dioptre.

Le dioptre 0) rcmpli t deux missions :

- - t r a n s m i s s i o n du champ ~ travers la disconti- nui t6 de milieu. Un tel processus est linSaire ct s t r ic tement local : le dioptre joue doric le r61e d 'une

transparence,

- - d i f f r a c t i o n , dans le milieu aval, du champ t ransmis : c 'est le rSle d ' un objel seeondaire.

3.2.2.1. R6le de transparence.

La th6orie 61ectromagn6tique conduit , dans le

domaine m6taxial &incidence quasi normaIe, h :

a) un champ scalaire lransmis, de composante

spectrale : z+C, ~) = T+zC, v)

a v e c :

2 / l (35) T+ ~ , , V p .

n +

I1 en r6sulte que T+ s ' identifie h un facteur spectral

de transparence en t r ansmis s ion ; cette quanti tS, i nd@ e nda n t e de ~, cont ient implicitement la frS- quence v, de par la dSpendance des indices n et n'

vis-/~-vis de la frSquence, pour des mil ieux dispersifs. Son compor tement dominan t est cependant celui

d 'une t ransparence d ' ampl i tude ;

b) un champ scalaire rdfldchi, de composante

spectrale : z _ ( ~ , ~) = T_ zC, ~)

avec : / l t - - n

T . . . . , V p . / l ' + n

ANN. T~LI~CO~tMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 16/23

G. B O N N E T . I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E MI~TAXIALE 159

Ce facteur spectral de t ransparence en r6flexion

servirait ~ l '6tude des sysl~mes caladioptriques, non envisag~e ici.

3.2.2.2. Rdle d'objet secondaire.

a) la face de sortie du dioptre D est dot~e d 'un

champ de composante spectrale connue, T+z(~, % Elle se comporte, vis-a-vis du milieu aval, comme un objet secondaire susceptible de diffracter vers l '6cran ~ , avec les param~tres :

- - distance de diffraction : d = OB = qB,

- - rayon de courbure << objet ,, : R = 1](~,

- - indice de rdfraction : n ' ;

b) la composante spectrale sur t '~cran 3~ ressort donc de l 'expression g6n6rale (27 a) ; issue d 'une source

ponctuelle monochromat ique, elle t radui t d i rectement le gain complexe recherch6, so i t :

(36) h ( r ~ , p o ; % ) 8 ( v - % )

I I - - - - . e x p - - i t - - r +2 • 1 - - aqB e

Dans cette expression, off ~(F, v) est d6crite par (34), le param~tre D du paragraphe 2.3.3. est donn6 par

1113 = ( l [ q ~ - - ~ ) .

3.2.3. Gain complexe.

La structure (34 b) de ~(P, v) qui in te rv ient darts l 'expression (36) amine h consid~rer un produi t de convolut ion du t y p e :

( !i i t s2) , i~- , i t I ) exp - - * exp( p [ ~ - - ( ~ ] 2 ,

avec :

n'vo n'v 0 nv 0 o~-- eD- - e ( l /qB- -a) ; ~-- r ( l[q--(~);

aux valeurs fixes Poe t %. De plus, on a utilis6 (w 3.1) :

(39) r = q + R et o~B = qB-~- RB,

qui sont les abscisses respectives des centres de courbure C et CB de l 'obje t et de l 'dcran.

a) si l 'on compare avec le gain complexe g~n6ral (7) de la diffraction de Fresnel en espace homog6ne, on coustate que le gain complexe du t ransfer t par un dioptre a conserv6 la m~me structure.

Par tan t , dans ce cas gdn6ral off l 'abscisse qB de l '~cran est quelconque, sous la seule contra inte :

n ' ( ~ - - l / q B ) @ n ( a - - l l q ) ,

le t ransfert par un dioptre n ' appor te pas de change- m e n t fondamenta l par rappor t 5 la diffraction directe de Fresnel ; il comporte la m~me trilogie structurale :

- - une T F spatiale (exponentielle en < ~ . ~ > ) ,

- - un filtrage spatial (expouentielle en ~2) ,

- - une transparence de courbure (exponentielle en 72) ;

b) l'6tude ddtaillde en sera reportde au chapitre 4 consacrd aux syst6mes centrals, dont le dioptre est un cas particulier.

3.2.3.3. Cas particulier : 1/0 = 0.

II s 'agit de la position de l '@ran ~ , avec l'ab~cisse q n - - q', qui donne l'6galit6 :

(40) n'(~- l lq' ) = n((~- l l q ) .

On reconnait ici l'invariant paraxial du dioptre, de l'optique g6om6trique [5, 6].

a) pour cette position, ]e gain complexe devient (A 6) :

(41) h(F,p+;v)=T+exp'--" n ' 2 v [ q % B q(~]- 1 •

On a pos~: (~ n v o ~ nq'

=- qPO. (42) g= q,

Si nous Le calcul en est exposd en appendice. posons (:r § ~ ) = %/r soit :

(37) 1/0 = n(~ - - l[q) - - n'((~ - - I[qB) ,

le rdsultat , servant h exprimer le gain complexe objet - -+ dcran, va ddpendre de deux eas poss ibles : g~n~ral, 1/0 =/= 0 ; partieulier, 1/0 = 0.

3.2.3.2. Cas gdndral 1/0 @ 0.

Le gain eomplexe est (A 5) :

n n ' ~ 0 (38) h ( ~ , ~ ; v ) = - - i r + - - •

cqqB

it 0 exp~i, n2~ q~] ~21 exp , ' r : o q 2 ~ 1 t

i .n' 0 ) expi--2ti ! A e e niveau, on a subst i tu~ les variables p+ et

quant i t~ li~e un iquement , d tant donn6 la condit ion (40), h la position q de l'objet : c'est le grandissement transversal de l 'opt ique gdomdtrique ( ibid.) .

b) la s t ructure du gain complexe (41) apporte un fait nouveau : la prdsence d 'une dis tr ibut ion de Dirac dans le gain complexe et par suite darts la formule universelle de t ransfer t (5). Grace ~ etle se t rouve alors offerte une possibilitd de rdplique cohdrente de l 'objet , au t rement dit d 'uue imagerie.

Cette possibilitd d' imagerie d@oule essentiel lement

du changement de milieu ; d'apr~s ce que nous avons

vu p r&ddemment lorsque 1/0 if- 0, elle const i tue la

seule innovation par rappor t h la diffraction de Fresnel en milieu homog6ne. Plus pr6cisdment, on constate que le gain complexe (7) en milieu homo-

g~ne ne eont ient pas de dis tr ibut ion de Dirac en dehors du cas tr ivial d = 0 ; en outre, l 'op~rateur de t ransfer t ~ - - + ~ ayan t pour inverse l 'op~rateur de

17/23 ANN. TE:LIkCOMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978

1 6 0 G. B O N N E T . - I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E

t r a n s f e r t ~ - + A (w 2.2.5), la seule image possible

en mi l i eu homogbne est confondue avec l'objel, ce qui

n ' a d ' a u t r e v a l e u r que formel le . Seul un c h a n g e m e n t

de mi l ieu , donc un d iop t r e , 6 ta i t ainsi suscep t ib le

de modi f i e r ce t t e s i t ua t i on , a v e c pour effet de sdparer l'image de l'objet.

3 .3 . I m a g e r i e m 6 t a x i a l e c o h 6 r e n t e .

3.3.1. Les invariants de l ' imagerie mdtaxiale .

Dans le d o m a i n e m 6 t a x i a l , l ' 6c ran pa r t i eu l i e r o~'

sur lequel p e u t 6tre observ6e une image coMrenle de

l ' o b j e t A est h d6finir pa r deux param~lres : sa position (abscisse q' du pSle) e t sa courbure ( rayon R' ) . I1

f au t done r e m p l i r deux conditions : nous al lons vo i r

qu ' i l l eur est associ6 deux invarianls.

3 .3 .2 . Condition depos i t ion : l ' invariant paraxia l du dioptre.

a) nous v e n o n s de r e n e o n t r e r l ' i n v a r i a n t pa r ax i a l :

(43) ff = n ( a - l /q ) = eons tan te .

I1 ser t fi d6finir la pos i t ion du pSle A ' de l ' 6e ran A' , d o n t l ' abse isse q' sa t i s fa i t ainsi la cond i t i on (40) :

/ l ~ n . . . . + ? , q' q (44)

avec :

(45)

C 'es t la

~0 = ~ ( n ' - n).

formule de Descartes de l ' o p t i q u e g6o-

m 6 t r i q u e , app! iqu6e h un d iop t re de puissance ~p; le p61e A ' de l '~e ran est done l ' image gdom~trique du

pSle A de l ' ob j e t .

b) sur t o u t ~eran de pSle A ' , le gain e o m p l e x e a

la f o rme (41), ce qui , c o m p t e t e n u de la f o rmu le

un iverse l l e de t r a n s f e r t (5), donne la e o m p o s a n t e

spec t ra le :

T+ (46) y ( r , v) = - -

g e x p - - i ~ cq,- ~ [ n ' R B ~ X

c) en eons id6ran t la e o v a r i a n e e :

E{y(r ' , v) y * ( 7 , v')} = y r ( ? , 7 ; V) S(V - - V') ,

on t i re de l ' exp re s s ion p r6cdden te la densitd speclrale

dnergdtique sur t o u t 6cran de pSle A ' . Quel que soi t

le r a y o n RB (ou to B = RB + q ' ) , on a ainsi :

qui est la r e p r o d u c t i o n de la dens i t6 spec t ra le ~nergfi-

t i q u e de l ' o b j e t , a v e c un c h a n g e m e n t d '6chel le de f ae t eu r g : il y a imagerie d'intensit~ a v e c un grandissement transversal g = nq'[n'q ; soi t encore :

(48)

g = 1 - - (yq'(1 - - n[n') ou b ien l [ g = 1 - - ~ q ( 1 - - n ' [ n ) .

3.3.3. Condition de courbure : l ' invariant mdtaxial .

a) L a r eche rche d ' u n e i m a g e r i e cohdrente impose

que la c o m p o s a n t e spec t ra le (46) ne c o n t i e n n e pas

le t e r m e e x p o n e n t i e l ~2 qui l ' a f f e c t e ; on no te que

ce t e r m e ~voque une transparence de courbure (w 2.2.6).

Ce t te t r a n s p a r e n c e de e o u r b u r e d e v i e n t neutre pour

une courbure par t icu l i~re : eelle d ' u n dcran A ' de

p51e A ' , possddan t :

- - un r a y o n de cou rbu re RB = R ' ,

- - un cen t re d 'absc isse o~ B = oJ = R' + q', qui r emp l i s s en t la cond i t i on :

q ' to ' q(~

n'R' -- n R "

I1 i n t e r v i e n t done un second i n v a r i a n t , que nous d~-

f inirons pa r ~ = - - nR/qo~ ; soit , pu i sque R = o~ - - q :

(49) ~L = n ( 1 - - ~ ) = eons t an t e ,

et que nous d6signerons e o m m e (, invariant mdlaxial )). I1 est de m g m e s t r u c t u r e que l ' i n v a r i a n t p a r a x i a l

du d iop t re (43). P a r eon t re , nous ve r rons au p a r a -

g r aphe 4.4.2 que l ' i n v a r i a n t m 6 t a x i a l se conse rve h

la t r ave r sde d ' u n sys t~me que leonque .

b) C o m p t e t e n u de la v a l e u r de q' donn6e pa r la

fo rmule de Descar tes , la cond i t i on de eou rbu re

~L = e o n s t a n t e ~ q u i v a u t h :

n t n (50) ~ = - + ? .

(0 tO

I1 en r~sul te que le cen t re C' de l '~eran sph~r ique

d ' i m a g e r i e eoh~ren te est l ' imagerie g~omdlrique du

cen t re C de l ' ob j e t .

Dans ees condi t ions , on o b t i e n t sur A~' :

- - un gain complexe :

g g~

- - une composante spectrale :

y ( r , v ) = - - x , v , g

qui r e p r o d u i t s t r i e t e m e n t la e o m p o s a n t e spec t ra le

d ' o b j e t , avee le g r a n d i s s e m e n t t r a n s v e r s a l g ;

- - une densitd speetrale d'inleraction :

Ces r6su l ta t s t r a d u i s e n t l ' imagerie mdtaxiale cohdrente ;

soit :

R g a i n I I I . Un dioptre sphdrique fournit l 'image m~taxiale cohdrente d'un objel A sur un dcran sphdrique A ' tel que :

1) le pdle de A ' est l ' image gdomdlrique du pdle de ~ .

2) le centre de A ' est l 'image g~om~trique du centre de eourbure en A.

ANN. TI~LECOMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 18/23

G. BONNET. -- INTRODUCTION A L'OPTIQUE MI~TAXIALE

Le grandissement transversal g esl celui donnd par l'oplique gdomdlrique pour la position du pole de l' objet.

3.4. Composition des op6rateurs de transfert amont et aval.

3.4.1. Gains complexes amont et aval.

Le transfert entre l 'objet et l 'dcran fait appel h deux opdrateurs :

a) l 'opdrateur JE31 de transfert dans le milieu homogdne amont , entre l 'objet A (indice 1) e t l a face d'entrde du dioptre if) (indice 3). Cet opdrateur est dotd du gain complexe gdndral (7), avec d = - - q ; / ~ ' = 1]~ et un indice n ; s o i t :

inVeq i. nV[Qe ql) p~2 - - ~ ' " - - ( 5 " - - (52) h31(P, ~ ; ~ ) = - e x p i - - l ~ @

.

q+ 5 q i b) l 'opdrateur ~2a associd h la travers@ du dioptre

et au transfert dans le milieu homogdne aval, entre la face de sortie du dioptre et l 'dcran 33 (indict 2). Dans un but de simplification, les deux processus ont 6td inclus dans un seul opdrateur, 6tant donnd que la t ransparence de transmission du dioptre n ' intervient que par le simple facteur T+. Par suite, le gain complexe correspondant, issu de (7), pour d = qB, R = I/a, R' I ~ et un indite n', vau t :

(53) h2~(r ,p ;9 )=eq T+ex p - - i T r ~ ~- ~ -

1 ~ - - - - - - < r'.p > . q~

3.4.2. Gain complexe global.

La condition de composition des opdrateurs de transfert du paragraphe 2.2.3 est a priori valable pour le transfert h travers un dioptre. I1 importe cependant de vdrifier qu'elle est effectivement rem- plie par les expressions mdtaxiales, donc approchdes, des gains complexes. Pour ce fairc, nous partons de la lot de composition (9) ; spit :

(9) h2i(~, ~ ; ,~) = Z ~ h2a(r', p ; 9) hal(p , p ; 9) d~.

Portons les gains complexes (52) et (53) darts l 'intdgrale ; ce qui donne un second membre h dont l 'expression est :

nn'v~"r i n ~ ( l + 1 ) t, = - - exp " ~ (54) ~ T+ i I~ x

e \ q R ,

exp t -- ire e ~ •

,~ n t

exp - - i~ cO ~2 dfi,

161

ayant tenu compte (37) de ce que :

(37) 0 = n a - - - - a - - q B "

L'intdgrale qui apparai t exprime une transfor- Ination de Fourier et deux cas st prdsentent.

3.4.2.1. Premier cas, 1 [ 0 = 0 : intervention de l'invarianl paraxial ff = constante.

Pour la valeur particuli~re qB = q' correspondante, l ' intdgrale de (54) r a n t alors, en reprenant g = nq'ln'q (42) :

n' e2q 2 [ ~ }*' . . . .

De cefa i t , le second membre (54) de la relation (9) s 'avdre identique h son premier membre, tel que l 'exprime (41) pour le gain complexe h21 (~ , ~ ; 'r

entre l 'objet et l '@ran.

3.4.2.2. Cas gdn&al, 1/0 # 0.

L'intdgrale de Fourier darts (54) vaut (A 1) en appendice :

Z ic0 li ~0(: n' )2 f . . . . . . exp ~ - - r" , 2 ~ c qB

d'ofl rdsulte un second membre (54) de (9) identique h son premier membre, le gain complexe objet-~cran du Gas g~ndral tel que l 'exprime (38).

3.4.3. Rdgle de composition.

I1 rdsulte de ce qui prdc~de que les gains complexes partiels de par t et d 'aut re du dioptre obdissent, dans tous le s cas envisageables, h la lot de composition (9). Nous constatons ainsi qu 'un dioptre a le m~me compor- tement associatif qu 'une surface adrienne d 'un espace homog~ne ; ce qui nous autorise "~ 6tendre la r~gle I du paragraphe 2.2.8 sous la forme :

P~I~GLE IV. L'op&ateur de champ Je2i traduisanl le transfert entre un objet el un &ran, situ& dans deux milieux homog~nes diffdrents sdpards par un dioptre coaxial, rdsulle de la composition :

d'un opdrateur 3e31 de diffraction darts le milieu amont, de l'objet vers la surface du dioplre,

- - d'an opdraleur 3C2a de diffraction darts le milieu aval, de la surface du dioptre d l'dcran.

Ces opdratears obdissent d une lot de composition :

~ 2 1 = ~(~2S ~31 '

qui se traduil par la r~glc (9) pour les gains complexes et par la r~gle associde (10) pour les rdponses percussionnelles.

3.5. Condition des sinus et loi de la r6fraction.

3.5.1. Directions de dif[raction conjugudes.

a) On a vu (w 2.3.1.) que la diffraction r~alise une association univoque entre une frdquence spatiale de l 'objet et une direction unitaire de diffraction W

19/23 ANN. TE'L[~COMMUNlC., 33, n ~ 5-6, 1978

162 G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E

(cf. 6galement [7]) ; ceci pa r l ' in te rm6dia i re de la fr6- quence angulaire ~ = Proj~ ~ et sous la forme (17), avec sa correspondance scalaire :

: - - - - F ~ s i n u : F .

La direct ion de diffract ion associ4e h une lr6quence isolde est un vec teur l ibre que les relalions d'incerlilude in terd isent de localiser. On met h prof i t cet te incer- t i tude pour a t t a c h e r arbitrairement une direct ion au p61e A de l ' ob je t (Fig. 11) ;

FIG. 11. - - Directions conjugu6es de diffraction.

b) sur la sph6re-image A' , le champ peu t ~tre d4cri t pa r sa repr6senta t ion-f r6quence, qu 'on d6dui t de la composan te spectra le (51) pa r T F spat ia le ; soit :

~]'(F', v) = T+g ~(g~', ~) .

Ainsi, h la fr4quence spat ia le (isol4e) _~ de l ' ob je t correspond sur l ' image une fr6quence spat ia le (< conjugude , :

(55) p , = _1 p . g

A cet te fr6quence _P' est associ6e une direct ion d ' inc idence ~ ' [fr6quence angula i re (~' : - - (e/n%) ~'] qui, 6 tant de t ou t e faqon non localisable, sera a t t a - ch6e pa r pure convenance au p61e A ' de l '6cran A ' , conjugu6 du p61e A.

3.5 .2 . Condi t ion d e s s i n u s .

a) La re la t ion vector iel le ~ ' = ( l / g ) P, qui s '6cri t 6galement :

n ~ ' - - - ~ , -- n'g

mont re que :

1) les fr6quences angulaires conjugu6es - - et pa r

suite les direct ions de diffract ion conjugn6es - - sont

coplanaircs avec l ' axe ;

2) h la va leur scalaire sin u = Up correspond

sin u ' : (n/n'g) sin u, d 'ofl :

n sin u (56) g - n ' sin u ~ "

Les inclinaisons des direct ions de diffract ion conju- gu6es dans l ' imager ie coh6rente ob6issent done h la condition des s inus ;

b) la re la t ion d ' imager ie coh4rente (51) mon t re de son c6t6 que l'oplique mdtaxiale esl aplandtique. Ce

fai t d6coule de l ' emploi d 'une reprdsen ta t ion des surfaces pa r des sph6res �9 donna n t une a pp rox ima t ion d 'o rdre sup6rieur h la repr6scnta t iou pa r des plans, le domaine m6tax ia l est h m~me de rdaliser le prolongement du stigmalisme darts un voisinage de l ' axe ;

c) les directions de diffract ion conjugu6es ~ et V', qui sont coplanaires , se coupent sur une sph6re a y a n t m~me pSlc 0 que le d iopt re ; ceci puisque :

sin d / s i n u = q[q'.

Mais cet te sph6re, dont la courbure est ( l /q + l/q') n'est pas le dioptre.

3.5 .3 . Rayons l u m i n e u x .

a) Si le domaine m6tax ia l est r es t re in t au domaine paraxial (fr6quences spat ia les ex t r~memen t basses), de fa~on tel le que sin u ~ u, la sph6re d ' in te rsec t ion et le d iopt re sont p r a t i q u e m e n t confondus : alors, les direct ions de diffract ion V e t V' servent de suppor t aux rayons lumineux de l ' op t ique g6om6trique passan t pa r les points conjugu6s A e t A ' de l ' axe .

b) Dans la res t r ic t ion parax ia le , on peu t donc associer fi une direct ion de diffract ion donn4e V un rayon lumineux de m~me direct ion, passan t pa r un po in t S quelconque de l 'ob je t .

Mais cet te associat ion, de pure forme, n ' es t valable , r6p4tons-le, que pour les fr6quences spat ia les extr~- m e m e n t basses qu ' impl ique l ' hypoth6se paraxia le . I1 ne faut pas oublier non plus que l ' op t ique g6om6trique est incohdrente: ehaque poin t d ' un ob je t est ainsi suscept ible d '6met t re des rayons lumineux dans tou tes les directions. Par contre, seules sont admises en opt iqne coh6rente les direct ions de diffract ion corres- p o n d a n t anx fr6quences spat ia les rdellement contenues

dans l 'ob je t .

3.5.4. Loi vec to r i e l l e d e la r~fract ion.

On raisonne sur un dioplre plan, de normale ~ , dans la res t r ic t ion au domaine paraxiaL

a) Les directions de diffract ion conjugu6es se coupent sur le d iop t re p lan et il y a ident i t6 des angles d ' incl i- naison (u, u') et d ' inc idence (i, i ') (Fig. 12) ;

~0

N

h

0

|

FIG. 12. - - Dioptre plan.

b) le g randissement t r ansversa l g est 6gal h l ' un i t6 et la re la t ion (55) t r a d u i t alors l ' iden t i td des fr6quences spatiale8 conjugu6es ~ ' = ~ , ce qui donne :

n'~' = n ~ ;

ANN. TI~LI~COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 20/23


c) une fr0quence angulaire est la projection nor-

male d 'une direction de di f f ract ion; ce qui peut

s 'exprimer par :

~ = Proj• V = V - - < V . N > N ~ ~ - - c o s i ~ ' ;

nous avons ainsi :

(57) n ' ~ ' - - nV (n' cos i' - - n cos i) ~ ,

ce qui est la loi vectorielle de la rdfraction [5] pour les directions conjugudes de diffraction, lesquelles, en restriction paraxiale, supportent les rayons lumineux.

La loi de Snell s'en dOduit directement.

3.6. Chromatisme.

3.6.1. lmagerie : le chromatisme instrumental.

En toute riguettr, les conditions d'imag~rie cohO- rente ne peuvcnt ~tre remplies que pour une seule composante spectrale, de frdquence temporelle

d0termin@ : trois param6tres d@enden t en effet de cette fr0quence et cons t i tuent ce que nous dOnom- merons le chromatisme instrumental:

a) un ehromatisme de gdomdtrie, qui se t r adu i t par

la dOpendanee h l '0gard des indices n e t n ' - - donc de la frOquence temporelle v - de la position ainsi que de la eourbure de la sphOre-image &' (44) et (50) ;

b) un chromalisme de grandeur, associO h la dOpen- dance du grandissement t ransversal (48);

c) un chromatisme d'amplitude, provenan t de ce que

le faeteur spectral de t ransmission T+ cont ient les indices (35). Cet effet de chromatisme est cependant trOs r0duit, sinon p ra t iquement insensible.

On constate ainsi que le chromatisme ins t rumenta l est fondamenta lement lid h la dispersion des indices de rOfraetion. I1 t radui t une influence indireete et secondaire de la fr0quence temporelle.

3.6.2. Transfert gdndral : le chromatisme de diffraction.

a) L'effet de la dispersion des indices, donc le chromatisme ins t rumenta l , apparai t dans le gain complexe gOnOral (38).

I1 est cependant trOs lmgement domino par le chromatisme de diffraction, ddjh rencontr0 aux para- graphes 2.3.1.3 et 2.3.2.6; celui-ci, h l'opposO du prOeOdent, rOsulte d 'une influence directe de la frO- quence temporelle ;

b) la fr0quence temporelle appara i t au earrd dans les trois exponentielles du gain complexe (38) et indui t ainsi un triple chromatisme de grandeur duns la trilogie : T F spatiale, filtrage spatial, t ransparence de courbure. I1 s 'y surajoute un chromatisme d'amplitude, dfi h la prOsence de ~2 en facteur et doric trOs largement supOrieur au chromatisme indirect de T+ ;

c) le mOcanisme du chromatisme de diffraction est simple h analyser : le dioptre re~oit, de la par t de l 'objet , un champ entach6 du chromatisme de diffrac-

21/23

tiou darts l 'espace homog~ne amont . La fr0quence

y in terv ient h la puissance 1 (7) et l 'origine fonda-

mentale du chromatisme est, nous l ' avons vu, l 'association ~ = ( - - c ] n v ) ~ entre fr0quence spatiale et direction de diffraction. Le champ du dioptre est r00mis duns l 'espace homog~ne aval, off la diffraction secondaire apporte h son tour son chromatisme en v : le r0sultat est donc bien un chromatisme en ~2;

d) il est remarquable de constater l'effet de compen- sation du chromatisme de diffraction, qui se produi t

sur la sphere-image A ' et sur elle seulement. Pour ces condit ions toutes parLiculi~res de t ransfer t , le chromatisme de diffraction du gain complexe objet- dioptre est annul0 par le chromatisme inverse du gain

complexe dioptre-Ocran (de m~me que, duns ce v0ri- table cas de ddgdndrescence, les trilogies structurales des deux gains complexes s ' annih i len t mutue l l emen t pour conduire h l 'op0rateur identit0 de l ' imagerie). Alors, il ne subsiste plus que le chromatisme indirect, d0nomm0 i n s t r u m e n t a l ; au t rement dit, l 'effet de la

dispersion des indices ;

e) on peut obtenir une representat ion trOs grossiOre de l'effet de compensat ion, du moins duns la restric-

t ion paraxiale. Consid0rons une fr0quence spatiale isol@ ~ de l 'objet , h laquelle on at tache une direction

de diffraction ~ passant par le pSle A. L ' incl inaison de V sur l 'axe se t r adu i t par sin u = ( - - c [ n ~ ) F , &off r0sulte une hauteur d ' incidenee sur le dioptre

(distance AO = - - q) :

qc h = - - ~ + 0 (~2).

n ~

Cette derni~re varie done eomme l[v, proport ion-

nel lement h la longueur d'onde.

Sur la sphere A', l ' imagerie coh0rente indui t une

frOquenee spatiale associ0e ~ ' F ig , (52) ; la direction de diffraction conjugu0e attachOe au p61e A' a ainsi une inelinaison telle que sin u ' = ( - - c [gn 'v ) -F . Sa hauteur d ' incidence sur le dioptre est done :

c q ' _ h ' - - F + 0 (F2).

g n t ~

E t a n t donn0 l 'expression g nq'/n'q du grandissement transversal , cette valeur est la m~me que pr0c0demment. L 'assimilat ion des directions de diffraction h des rayons lumineux, pour abusive qu'elle soit, permet alors de comprendre comment les lois des inclinaisons en fonction de la fr0quence aboutis- sent h l'effet de compensat ion du chromatisme de diffraction.

3.7. Conditions de spectre 6troit.

3.7.1. Reprdsentation mixte {~, ~).

3.7.1.1. Imagerie.

Les conditions d ' imagerie sont m a i n t e n a n t 6tablies pour un 0cran sph0rique 2r fixe, avec un grandissement

ANN. TI~LI~COMMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978

164 G. B O N N E T . -- I N T R O D U C T I O N A L ' O P T I Q U E M I ~ T A X I A L E

t r ansversa l fixe; la composante spectrale conserve son expression (51).

3.7.1.2. Transfert gdndral.

Le gain complexe conserve son expression g6n6- rale (38) dans laquelle la var iab le (e/v) est remplacde par la cons tan te ~o, longueur d 'onde centrale dans le vide.

3.7.2. Reprdsentation d'espace-temps {[ , t}.

3.7.2.1. Imagerie.

La r6ponse percussionnel le et le champ ana ly t ique sont ici faci lement accessibles d~s lors que le chroma- t i sme ins t rumenta l a disparu. On a ainsi, sur la sphere- image fixe A ' (51) :

Y ( ~ , t ) = T + x , t . g

3.7.2.2. Transfert gdndral.

La r@onse percussionnel le s ' expr ime h pa r t i r de (38) pa r :

iT+nn'O l i ~ n ' ~ / qBC0B\~2) H(~*, ~ ; t) -- e x p ~ - - 5 - ~ \ 0

koqqB I kOqB ~ / r i X I i nn~ / t nn'O

exp ~ - - 2 r z i - - - - ! ~--o-~ ~0 - - ~ ) ?~I exp ( koq qz < r ' ? > l $(t)'

et le champ Y(~, l) qui s 'en dddui t rdsulte du champ d ' ob j e t X(~', t) pa r une t rans format ion un iquement spatiale.

~,. ~ O N ~ L U S I O N D E L A P R E M I X . B E P A R T I E

Comme le ment ionne ddjh l'introduction, l ' op t ique mdtaxia le s 'es t vu ddfinir d~s l ' abord la mission de t r a i t e r le probl~me g~n6ral du t rans fe r t opt ique, d ' un obje t sphdrique vers un 6cran sphdrique, pa r l ' in te r - m6diaire d 'un syst~me centr6 quelconque ; la descrip- t ion de ce t r ans fe r t deva i t en outre concerner la coh6rence aussi bien que le champ.

On a prdcis~ 6galement que le t e rme (( opt ique ,) t r adu i t une convent ion de langage et que la doctr ine m6taxiale recouvre en r6alit6 l ' ensemble des syst~mes r ayonnan t s 6lect romagn6t iques ou m~me acoust iques.

La phase ini t iale d 'une tel le entreprise deva i t ~tre la recherche d 'une descr ip t ion exhaus t ive de l 'opd- r a teur de t rans fe r t opt ique le plus g6ndral ; descr ipt ion h donner s imu l t andmen t dans les bases de reprdsen- t a t ion les plus uti les, ce qui conduisa i t h la r@onse percussionnelle po lych roma t ique et au gain complexe, puis h l ' in t6gra t ion de ces quant i t6s dans les r~gles de t r ans fe r t ob je t - -> 6cran : ce fut le th~me d 'une premiere publ ica t ion [1]. I1 convenai t ensui te d '~ tu- dier dans tous ses d~tails le lransfert par diffraction directe du couple champ-cohdrence et d 'en ddgager,

dans le domaine mdtaxia l , des aspects par t icul iers ( t ransformat ion de Four ie r et f i l trage spat ia l ) qui se r e t rouve ron t lors du t rans fe r t pa r un syst~me centrd : cet te dtude de base fut effectu@ dans [2]. Un dernier pr61iminaire [3] concernai t les transparences, consi- ddrdes comme des op6rateurs spa t io tempore l s pa r t i - cullers, ainsi que leur c ompor t e me n t dans la diffrac- t ion du champ et de la coh6rence ; 6tude n@essaire pour pouvoir , entre autres , in t rodui re u l t6r ieurement les pupilles darts l ' op t ique m6taxia le et rendre ainsi compte de la l imi ta t ion de l ' ouver tu re et des aber ra - t ions des syst~mcs r6els.

Le pr6sent t ex te const i tue l ' abou t i s semen t de ces dtudes. En raison de sa longueur, il sera publi6 en trois par t ies , comprenan t successivement :

(I) Diffraction m6taxia le dans un espace homog~ne ; t r i logie s t ruc tura le ; d iop t re sph6rique.

( I I ) Syst~mes d iopt r iques centr6s (non d iaphragmds et non ab~rrants) .

( I I I ) Phdnom6nologie de l ' op t ique m6taxiale . Sys- t6mes d iopt r iques r6els (h pupil les aberrantes) .

Evoquons r ap idemen t les points les plus m a r q u a n t s de la premiere par t ie , obje t de cet te ddit ion :

a) l 'd tude de la diffraction directe dans un milieu homog~ne a 6td compl6t6e, en r u e de ses appl ica t ions aux syst~mes, pa r l ' d tab l i s sement de rOgles de composition des opdrateurs de t ransfer t . On obt ien t ainsi (R/~6LE I) la possibil i t6 de faire appel h tou te surface immat6r ie l le r6elle ou m~me vir tuel le , pour rempl i r le rSle de relais entre un obje t r a y o n n a n t et un 6cran. Un tel in termddia i re est certes une fiction, mais il t r a du i t une dquivalence r igoureuse et son emploi sys tdmat ique va s 'avdrer des plus prdcieux en fac i l i tan t h l ' ex t r~me l ' ana lyse des syst~mes centrals. Dans le m~me espri t m6canis te de recours h des 6quivalences simplif icatr ices, on assimile l 'effet d 'un changement local de rdf6rence, obje t ou dcran, h l ' app l i ca t ion d 'une t ransparence sur la surface ini t iale : la transparence de courbure ;

b) pa r ailleurs, l ' ana lyse de la diffract ion de Fresnel mdtaxia le , qui reprdsente le t r ans fe r t le plus g6n6ral en mil ieu homog~ne, fai t a ppa ra i t r e la combinaison de trois t r ans format ions dldmentaires successives, groupdes sous la d6nominat ion de Trilogie et qui s o n t : t r ans fo rma t ion de Four ie r spat ia le , f i l trage spat ia l , t r ansparence de courbure. La gdom6trie de l 'ob je t , h savoir posi t ion et courbure, r6git seule la premiere opdrat ion, alors que la posi t ion de l '@ran d6termine isoldment la seconde et que sa courbure commande h la t rois ibme ( R I ~ G L E II). Cette t r i logie s t ruc tura le concerne la cohdrence tou t a u t a n t que le champ ;

c) l 'effet d 'un changement de mil ieu entre l ' ob je t et l 'dcran, donc d 'un dioplre sphdrique, n ' appor t e , dans le cas g6n6ral, aucune modif ica t ion quan t h la s t ructure de l ' op6ra teur de t r ans fe r t : on re t rouve la m6me trilogie que dans un espace homogbne. I1 y a s imple- men t ddcomposi t ion du t r ans fe r t global e n t r e : un

ANN. T~t.f~CO,~IMUNIC., 33, n ~ 5-6, 1978 22/23

G. BONNET. -- INTRODUCTION A L ' O P T I Q U E METAXIALE 1 6 5

op6rateur de diffraction en mil ieu amont , de l ' ob je t vers la surface du d iopt re ; une t r ansparence darts la t ransmiss ion du d iopt re ; un op6ra teur de diffract ion en mil ieu aval , du d iopt re vers l '6cran (R~GLE IV). Le par t i cu la r i sme d 'un changement de mil ieu r6side un iquement clans la d6g6n6rescence qu' i l in t rodui t , pour une g6om6trie pr6cise de l '6cran, dans l ' opdra teur de t rans fe r t : c 'es t l ' imagerie cohdrente, qui consiste

implan te r en milieu aval , sur une sphere image, une r6plique coh6rente de l ' ob je t du mil ieu amon t ; cet te r@l ique est r ayonnan te et se compor te cn tous points comme une source secondaire du milieu aval ;

d) si, compte tenu des re la t ions d ' ince r t i tude , on a t t ache aux p61es de l ' ob je t et de sa sph6re-image des directions de diffraction conjugudes pa r l ' imagerie d 'une frdquence spat ia le isol6e, on cons ta te que les angles d ' incl inaison de ces derni6res obdissent "~ la condition des sinus : l ' op t ique m6taxia le est aplan~tique, e n t a n t q u ' a p p r o x i m a t i o n d 'o rdre supdrieur, a s sumant le p ro longement du s t igmat i sme dans un voisinage de l 'axe. Une res t r ic t ion aux fr6quences spat iales ul t ra-basses , donc au domaine parax ia l , pe rme t alors d 'ass imi ler les direct ions de diffraction aux rayons lumineux et de re t rouver la loi vectoriel le de la rdfract ion, ce qui assure la l iaison avec l ' op t ique g6omdtrique.

A P P E N D I C E

L'exponentielle complexe quadratique exp - - r ~2 .

a) A 1 dimension, on a l e couple de Four ie r elas- sique :

exp x 2 ~ (i~)1/~ exp {-- i t : e /2} .

b) La t ranspos i t ion h 2 dimensions, pour un vee teur spa t ia l r~(zl, x2), eonjugu6 d 'un vec teur frdquentiel F( /1 , fz), est ainsi :

i i ~ F2 i (A- l ) exp ~ i ~ e x p { - - i r z ~ F 2} ( I m e ~ < 0 ) , , r162 !

formule a b o n d a m m e n t utilisde dans le pr6sent texte . Sont 6galement utiles les deux va r ian tes suivantes :

- - la premi6re ddcoule de ce que, selon (A-l ) , la T F de (1 / i~) exp{(ir@~) /2} a pour valeur l imite 1 lorsque ~ - ~ 0. I I e n r6sulte l ' idenlitd:

1 (it: i (A-2) ~-~olim =-~ e exp i ~ - ~ = S ( F ) ,

la seconde est obtenue par app l ica t ion ~ (A- l ) de la r~gle de translation de la t r ans fo rmat ion de Four ier ; si ~ est un vee teur constant, on a l e couple :

(A-3) e x p i ~ - ( d - - ~ ) 2 @ i [ ~ e x p { - - 2 = i < P . s ' > } •

e x p { - - i T ~ P 2 } ( Im ~ < 0) .

c) Considdrons m a i n t e n a n t le p rodu i t de convolu- t ion sur 7 de deux exponent ie l les de t ype prdc6dent. La r6gle de Planeherel en ddtermine la T F qui, d 'apr6s (A- l ) et (A-3), vau t :

(A-4) exp r162 . e x p i ~ _ ( ~ _ ~ ) 2 ~ , ~

~ - - - ~ exp{ - - 2 r : i < K. ~ > } exp {-- i~:( : t q- ~) ~2}.

Une expression 6quivalente du p rodu i t de convolut ion peut alors ~tre obtenue par T F inverse du second membre . Deux cas se pr6sentent ainsi :

1) ~ = / = - ~. Le second membre de (A-4) est de m4me forme que celui de (A-3). On en d6dui t l'identitd :

i ~ ?'2t ~ exp (F - - ~)2 (A-5) e x p l ~- �9 ~ ~ - (~)

i ~ i iT: I -- ~ + ~ e x p ~ ( f i - - d ) 2 .

2) ~ = - e. Le second membre de (A-4) a p p a r a i t alors comme la T F d 'une d is t r ibu t ion de Dirac ; d 'ofl l'identitd :

(A-6) exp ~ i

= ~ 8 ( 7 - ~ ) .

Manuscri t refu le 1 er avril 1977,

revisd le 27 ddcembre 1977.

BIBLIOGRAPI t lE

[1] BONNET (O.). Rdponse percussionnelle spatiotemporelle en diffraction polychromatique. Ann. TOldcom- munic., Fr. (1975), 30, no 7-8, pp. 251-269.

[2] BONNET (G.). Cohdrence parLielle polychrornatique : filtrage spatiotemporel et transformation de Fourier. Nou. Bey. Opt., Fr. (1976), 7, n ~ 4, pp. 235-258.

[3] BONNET ((}.). La notion de transparence en lumi6re polychromatique. J. Optic Fr. (1977) 8, n~ pp. 243- 266.

[4] DUMONTET (P.). Correspondance objet-image en optique, Th6se, Alger (1956).

[5] MAR~EHAL (A.). Imagerie g6omdtrique ; aberrations. Revue d'Optique, Paris (t952) 244 p.

[6] BURCHER (J.). Les combinaisons optiques. Masson, Paris (1967) 713 p.

[7] RATCHEFE (J. A.). Some aspects of diffraction theory and their applications to ionosphere. Rept. Progr. physics. XIX, physical Society (1956).

[8] GOOD.~AN (J. W.). Introduction to Fourier optics. McGraw-Hill, New York (1968).

[9] FRAN~:ON (M.). Diffraction; cohdrence en optique. Gauthier-Villars, Paris (1964) 119 p.

[t0] BORN (M.), WOLF (E.). Principles of optics. Pergamon, Londres (1970) 808 p.

[11] BONNET (G). ReprSsentation et analyse harmonique des signaux ddterministes ou aldatoires. Ann. Tild- communic. Fr (1968), 23, n ~ 3-4. pp. 62-86.

23/23 AN~. T~:L~::COMMUNm., 33, n ~ 5-6, 1978

Documents

Introduction a l’optique métaxiale Première partie : Diffraction métaxiale dans un espace homogène : Trilogie structurale, dioptre sphérique