Introduction aux phnomnes de transfertPrcdent - Table des
matires - Suivant
C. Transfert de chaleur par convection1. Introduction.Le
transfert de chaleur par convection apparat entre deux phases dont
l'une au moins est mobile, en prsence d'une diffrence de
temprature. Le mouvement des phases peut tre provoqu par une
dgradation d'nergie mcanique, le transfert de chaleur est dit de
convection force. Le mouvement peut tre provoqu par l'existence mme
du transfert de chaleur par suite de l'apparition dans le milieu
d'une diffrence de masse volumique, le transfert de chaleur est dit
de convection naturelle ou libre. Dans ce qui suit, nous nous
limiterons au transfert de chaleur par convection force qui est le
mode de transfert de chaleur essentiel pour de nombreux appareils
industriels de transfert de l'nergie thermique.Prcdent - Table des
matires - Suivant2. Dfinition des conductances partielles et
globales de transfert par convection.L'coulement de la phase mobile
de faisant gnralement l'intrieur ou l'extrieur de conduites, dans
de nombreux problmes industriels le transfert de chaleur par
convection force se fait entre deux phases mobiles spares par une
phase solide.Imaginons un fluide chaud la temprature TC s'coulant
d'un ct d'une paroi mtallique et un fluide froid la temprature
TFs'coulant de l'autre ct de la paroi d'paisseurx. En rgime
stationnaire, les distributions de temprature observes entre le
fluide chaud et le fluide froid sont voisines de celles schmatises
sur la Figure 1.
Figure 1L'tude des coulements d'un fluide l'intrieur ou
l'extrieur d'une conduite montre qu'il est toujours possible de
rpartir la distribution des vitesses du fluide en deux zones
principales : Une premire zone situe au voisinage de la paroi. Son
paisseur occupe toute la conduite si l'coulement est laminaire mais
elle dcrot trs rapidement lorsque l'coulement devient de plus en
plus turbulent. Dans cette premire zone, le transport de la
chaleur, se fait, comme 1e transport de la matire et de la quantit
de mouvement, par diffusion molculaire. Une deuxime zone situe au
del de la premire, et dans laquelle le fluide est anim d'un
mouvement tourbillonnant alatoire entranant trs rapidement une
galisation de la vitesse de la temprature et des compositions du
fluide. En coulement turbulent, dans la premire zone ou couche
limite, les gradients de temprature, de vitesse et de compositions
sont trs importants, de telle sorte que la rsistance principale au
transfert est localise dans la couche limite.La distribution des
tempratures dans la phase fluide peut s'obtenir en thorie par la
rsolution du bilan diffrentiel d'nergie, soit:(17)ux, uy, uz sont
les composantes du vecteur vitesse uq est le dbit de chaleur
engendr par unit de volumeest le dbit de travail perdu par unit de
volumee est la conductivit thermique apparente du fluidePour
rsoudre cette quation il faut connatre les valeurs locales et
instantanes du vecteur vitesse et la valeur locale de la
conductivit thermique. Il faut donc associer l'quation prcdente
celles traduisant les bilans diffrentiels de matire et de quantit
de mouvement. La rsolution simultane de ce systme d'quations n'est
envisageable que dans les cas simples de gomtrie et d'coulements et
principalement pour l'coulement laminaire. Pour l'coulement
turbulent des hypothses simplificatrices et des approximations sur
les distributions de vitesse doivent tre faites pour obtenir une
expression thorique donnant la distribution des tempratures et le
flux transfr la paroi.Par suite de ces difficults et de
l'impossibilit de mesurer, pour l'coulement turbulent, l'paisseur
et les tempratures de la couche limite, on dfinit le flux de
chaleur transfr la paroi de manire purement phnomnologique, en
posant:(18)Les deux coefficients hi et he reprsentent les
coefficients de transfert partiel (ou conductance partielle de
transfert) interne et externe. La dfinition des coefficients hi et
he est arbitraire puisque leur valeur dpend du choix de la force
motrice. Pour valuer les conductances prcdentes partir de la
connaissance du dbit transfr, il est ncessaire de connatre la
temprature du fluide la surface du solide, temprature dlicate
mesurer. Aussi, prfre-t-on dfinir le dbit transfr par rapport une
diffrence de temprature plus facilement accessible, par exemple
celle entre les tempratures des noyaux turbulents des fluides
intrieur et extrieur, soit:(19)Le coefficient U reprsente une
conductance globale de transfert et Smdsigne une valeur moyenne de
la surface solide de sparation.(20)La rsistance globale est la
somme des trois rsistances partielles places en srie.Les
conductances hi, he, U sont des conductances locales car elles
permettent d'valuer le flux transfr local. Pour valuer le dbit de
chaleur transfr dans une phase ou entre les deux phases entre
l'entre et la sortie, l'usage courant est de prendre soit la
moyenne arithmtique, soit la moyenne logarithmique des diffrences
de temprature intervenant dans l'expression du dbit local. Ainsi
pour le fluide interne, si dsigne le flux transfr entre l'entre et
la sortie on crira:= hma . (T) ma o (21)= hml . (T) ml o (22)Les
coefficients de transfert hma et hml sont des coefficients globaux
du systme ouvert bass sur la moyenne arithmtique ou la moyenne
logarithmique des diffrences de tempratures. Ils sont en gnral
diffrents et, comme nous le verrons plus loin, dans de nombreux
changeurs de chaleur, les coefficients de transferts locaux sont
voisins des coefficients globaux bass sur la moyenne logarithmique
des diffrences de temprature.Prcdent - Table des matires -
Suivant3. Reprsentation des conductances de transfert.L'analyse
adimensionnelle du flux de chaleur transfr fait apparatre deux
critres contenant le coefficient de transfert convectif:a) Le
critre de Margoulis (ou Stanton).Il reprsente l'efficacit locale du
transport transversal par rapport au transport longitudinal. Il est
tel que:(23)On relie ce critre d'une part au critre de
Prandtl:(24)o et dsignent respectivement les diffusivits de quantit
de mouvement (ou viscosit cinmatique) et thermique et d'autre part
au critre de Reynolds:(25)o m est la viscosit moyenne du fluide et
D une longueur caractristique de l'enceinte dans laquelle
s'effectue le transfert.Le critre de Prandtl est caractristique des
proprits physico-chimiques diffusionnelles du fluide et le critre
de Reynolds est caractristique de la nature de l'coulement.Deux
autres critres peuvent intervenir galement: le rapport o L est la
longueur d'une conduite cylindrique de diamtre D. Ce rapport permet
de tenir compte des perturbations dues aux extrmits de la conduite.
le rapport o P est la viscosit du fluide la temprature de la paroi.
Ce rapport permet de tenir compte des variations de viscosit en
fonction de la temprature (variation importante dans le cas des
liquides). l'exception des gaz sous faibles pressions, pour
lesquels l'analogie entre les trois transferts de matire, de
chaleur et de quantit de mouvement est sensiblement ralise, Colburn
a montr exprimentalement qu'un meilleur accord tait observ dans
tous les cas entre les trois transports en considrant les trois
critres adimensionnels suivants: pour la matire: jm = Msm . (Sc)2/3
(26) Msm est le critre de Margoulis pour la matire: o kD est la
conductance globale de transfert de matire.Sc est le critre de
Schmidt: o Dt est la diffusivit du solut transfr dans la phase
fluide. pour la chaleur: jt = Mst . (Pr)2/3 (27) pour la quantit de
mouvement: (28) On peut dire que le facteur de frottement est le
critre de Margoulis relatif au transfert de quantit de
mouvement.L'analogie de Colburn est telle que :(29)Cette relation
est assez bien vrifie exprimentalement. Aussi, utilise-t-on
indiffremment pour le transfert convectif de la chaleur les critres
Mst ou jt .b) Le critre de Nusselt.Il reprsente le rapport d'une
dimension gomtrique de l'appareil l'paisseur de la couche limite
dans le modle deux zones. Il est tel que:(30)Bien que les critres
de Margoulis ou le facteur jt soient directement accessibles par
l'exprience, le critre de Nusselt est plus usuel pour reprsenter
les variations du coefficient de transfert en fonction des
grandeurs intervenant dans les nombres adimensionnels.Nous allons
dans ce qui suit donner quelques-unes des corrlations permettant
d'avoir un ordre de grandeur du coefficient de transfert. En effet
dans de nombreux cas, il ne s'agira que d'un ordre de grandeur, la
dispersion des rsultats tant de l'ordre de 30 50% par suite de
certains paramtres difficilement contrlables tels que l'tat de
surface et l'encrassement des supports solides. En outre comme nous
l'avons dj signal nous nous limiterons au cas de la convection
force, l'coulement du fluide tant d un gradient de pression
statique et dynamique et non un gradient de pression
potentielle.Prcdent - Table des matires - Suivant4. Principales
corrlations en convection force.a) A l'intrieur des conduites.Comme
dans le cas du transfert de quantit de mouvement, les relations
sont diffrentes selon la nature de l'coulement du fluide l'intrieur
de la conduite.Rgime d'coulement laminaireLes profils de
tempratures l'intrieur de la conduite peuvent tre obtenus
thoriquement pour diffrentes conditions aux limites. Les hypothses
classiques postules la paroi tant: temprature de la paroi constante
flux de chaleur transfr la paroi constant Pour ces deux hypothses,
les tudes thoriques, dues l'origine Graetz, montrent que, pour des
tubes trs longs, le critre de Nusselt Nu tend vers une valeur
limite, soit:Nu = 3,66pour une conduite cylindrique et une
temprature constante la paroi.Nu = 4,36pour une conduite
cylindrique et un flux constant la paroi.Dans la pratique, on
admettra que ces valeurs sont atteintes lorsque le rgime est
tabli:pour et Gz< 10 on prendra: Nu= 3,66 (31)pour et Gz> 10
on prendra: (32)Gz dsigne le critre de Graetz:(33)Pour les tubes
circulaires de longueur finie, , on pourra utiliser: la relation de
Hausen valable pour Gz < 100: (34)(35) la relation de Sieder et
Tate valable pour Gz > 100: (36)(37)Rgime d'coulement turbulentA
partir des modles de distribution des vitesses en coulement
turbulent dans les conduites cylindriques circulaires et en tenant
compte des analogies entre transfert de chaleur et transfert de
quantit de mouvement on aboutit aux relations dites de
Prandtl-Taylor et de Von Karman. Ces relations sont, en fait, trop
complexes et pas plus prcises que certaines relations
empiriques.Dans la pratique, on utilisera les relations dites de
Sieder et Tate:Gaz: (38)Liquides: (39)ou (40)On trouve parfois :TP
> TFTP < TF (41)Pour les conduites fermes non circulaires, on
peut utiliser toutes ces relations, condition toutefois de
remplacer le diamtre introduit dans les divers critres par le
diamtre hydraulique dfini prcdemment.b) A l'extrieur d'obstacles
solides.Nous nous limiterons aux conduites isoles et en faisceau
qui correspondent aux cas rencontrs dans les changeurs de chaleur
multitubulaires.Pour des tubes cylindriques isols de diamtre
compris entre 0,3 et 15cm, Hilpert a tudi le transfert de chaleur
avec de l'air dont la temprature variait de 19 24C, la temprature
du tube tant de 100C. L'ensemble de ces rsultats exprimentaux peut
tre reprsent par une quation de la forme:(42)o D est le diamtre de
la conduite cylindrique. Les valeurs de aet n utiliser sont donnes
dans le tableau suivant:RenaNu
L'quation prcdente tablie pour l'air reste valable pour les gaz
diatomiques. Pour les liquides, il est ncessaire de faire
intervenir le critre de Prandtl. Ulsamer propose une relation du
type:(43)Rena
Dans les faisceaux de tubes, les tubes peuvent tre disposs dans
une direction normale l'coulement, soit dans un mme plan, soit en
quinconce. Il est difficile de prciser la nature de l'coulement,
car la section offerte au passage du fluide varie constamment.
Certains auteurs dfinissent un critre de Reynolds avec la vitesse
du fluide entre deux tubes. Aucune quation n'est applicable
directement aux changeurs industriels.Dans le cas des ranges de
tubes en quinconce, Colburn recommande la relation:(44)umax
reprsente la vitesse du fluide dans la section minimale
rencontre.Cette quation est valable pour des critres de Reynolds
compris entre 2000 et 32000. Pour des ranges de tubes aligns,
Colburn a suggr de ramener la constante 0,33 de l'quation prcdente
0,26.Lorsque le nombre de ranges de tubes augmente, le coefficient
de transfert augmente puis atteint une valeur asymptotique
d'ailleurs indpendante de la forme gomtrique du faisceau ds que le
nombre de ranges est suprieur 10.Prcdent - Table des matires -
Suivant5. tude des changeurs de chaleur.Les changeurs de chaleur
sont des appareils o le transfert de chaleur basses et moyennes
tempratures se fait sans changement de phase.a) Description des
principaux types d'changeurs de chaleur.changeurs double tube.Ces
changeurs sont constitus par des lments rectilignes de deux tubes
concentriques raccords leurs extrmits par des coudes. Les divers
lments sont tous assembls par des raccords dmontage rapide, et un
remplacement des tubes est possible. Les problmes de dilatation
thermique et d'tanchit entre le tube intrieur et le tube extrieur
sont rsolus par l'utilisation de presse toupe ou de joint
torique.Les tubes sont gnralement en acier et les longueurs
courantes sont de 3,6 - 4,5 ou 6m. On utilise galement quelquefois
des tubes en verre et en graphite.
Figure 2Ces appareils sont intressants pour les facilits qu'ils
offrent pour le dmontage et l'entretien. Ils peuvent fonctionner en
contre courant pur, ce qui permet d'obtenir de bons rendements. Par
contre, ils prsentent les inconvnients suivants: risque de fuites
aux raccords. flexion du tube intrieur si la longueur est
importante. surface d'change faible pour le volume global de
l'appareil par suite du rayon minimal des coudes reliant les
longueurs droites des tubes. Ces changeurs utiliss depuis l'origine
conviennent aux produits sales, pour des dbits faibles, des
tempratures et des pressions leves.changeurs faisceau et
calandre.Ce type d'changeurs est de loin le plus rpandu dans les
units de transformations des industries chimiques et ptrochimiques.
Un faisceau de tubes est situ l'intrieur d'une calandre dans
laquelle circule le deuxime fluide. Cette conception se retrouve
galement dans les condenseurs, les rebouilleurs et les fours
multitubulaires.Le faisceau est mont en deux plaques en
communication avec des botes de distribution qui assurent la
circulation du fluide l'intrieur du faisceau en plusieurs passes.Le
faisceau muni de chicanes est log dans une calandre possdant des
tubulures d'entre et de sortie pour le deuxime fluide circulant
l'extrieur des tubes du faisceau selon un chemin impos par les
chicanes.Tous les lments entrant dans la construction de ces
changeurs ont fait l'objet d'une normalisation, tant par la
T.E.M.A. (Tubular Exchangers Manufacturer's Association) que
l'A.S.M.E. (American Society of Mechanical Engineers) ou l'A.P.I.
(American petroleum institute).Dans les ouvrages gnraux consacrs au
transfert de chaleur, on trouvera les schmas des principaux types
d'changeurs faisceau et calandre.La calandre est gnralement ralise
en acier au carbone et les brides portant les botes de distribution
et le couvercle sontsoudes. Les tubes du faisceau rpondent des
spcifications trs svres. Le choix du matriau dpend de
l'utilisation: acier au carbone pour usage courant. laiton amiraut
pour les appareils travaillant avec l'eau de mer. aciers allis pour
les produits corrosifs et les tempratures leves. aluminium et
cuivre pour les trs basses tempratures. Les tubes sont fixs dans
les plaques par mandrinage et la perforation des trous dans les
plaques est ralise selon une disposition normalise, soit au pas
triangle, soit au pas carr. Le pas triangle permet de placer
environ 10% de plus de tubes que le pas carr sur une plaque
tubulaire de diamtre donn, mais, en contre partie, la disposition
des tubes rend difficile le nettoyage des tubes par insertion de
grattoirs.Les chicanes qui permettent d'allonger le chemin du
fluide circulant dans la calandre sont souvent constitues par un
disque de diamtre lgrement infrieur celui de la calandre comportant
une section libre reprsentant 20 45 % de la section.
Figure 3Les botes de distribution et de retour sont cloisonnes.
Ce cloisonnement permet au fluide de traverser successivement
plusieurs sections du faisceau, ce qui a pour objet d'accrotre la
vitesse du fluide et d'augmenter le coefficient de transfert
l'intrieur des tubes. Cette disposition correspond toujours un
nombre pair de passages (ou passes) dans le faisceau.
Figure 4changeurs plaques.Les changeurs plaques se prsentent
sous diverses formes: les changeurs plaques hlicodales. les
changeurs plaques planes. les changeurs plaques munies d'ailettes.
les changeurs tubes munis d'ailettes. Dans tous ces changeurs, les
surfaces d'change sont trs suprieures celles des changeurs faisceau
et calandre, pour un encombrement gomtrique donn. En outre, les
coulements secondaires et les pertes de charge correspondantes sont
limins ainsi que les problmes de court circuit et de dilatation
diffrentielle. Cependant leur ralisation est beaucoup plus dlicate
et onreuse et ils ne sont gnralement utiliss que pour des changes
ne ncessitant pas en valeur absolue de trs grandes surfaces
d'change.Les changeurs spirale sont forms par une paire de plaques
enroules selon une hlice dlimitant deux espaces annulaires
rectangulaires o les fluides circulent contre-courant. Ce type
d'changeur peut tre trs compact. Ainsi un changeur de lm de
diamtre, de 1,5m de long avec une spirale de 30m, conduit une
surface d'change de 100m2. On peut nettoyer les espaces annulaires
en enlevant leur couvercle. Ces changeurs sont raliss en acier
inoxydable, en Inconel et en nickel.Les changeurs plaques planes
sont constitus de plaques disposes sur un bti selon une disposition
voisine des plaques des filtres presses. Les plaques d'change sont
dsormais standardises et elles sont ralises en acier inoxydable, en
Inconel, en nickel, et galement en bronze et en cupronickel. De
tels changeurs peuvent tre trs polyvalents et on peut en
particulier faire circuler des fluides de trs grandes viscosits. On
ne peut cependant dpasser des pressions suprieures 30atm et des
tempratures suprieures 150C. Par rapport un changeur faisceau en
acier inoxydable, les changeurs plaques planes construits dans le
mme matriau et surfaces d'change identiques sont moins onreux. Un
changeur ayant des plaques carres de 0,85m d'arte, de 3,80m de long
et comportant 416plaques permet une surface d'change minimum de
416m2.Les changeurs plaques munies d'ailettes (ou plaques fines)
sont fabriqus partir de tle emboutie entre deux plaques planes
soudes aux deux extrmits par des rainures permettant le passage des
fluides. Des changeurs se sont dvelopps durant la dernire guerre
mondiale pour des changes thermiques basses tempratures, ncessits
par le fractionnement des mlanges gazeux. La pression ne peut pas
dpasser 50atm 35C. Les plaques sont gnralement ralises en aluminium
et leur association constitue un changeur conomiquement rentable
lorsque les surfaces d'change deviennent suprieures 370m2.Dans les
changeurs tubulaires ailettes, des ailettes planes soudes sur des
tubes cylindriques permettent d'augmenter le rapport de la surface
externe du tube la surface interne d'un facteur allant de l
40.Signalons enfin l'existence d'changeurs blocs de graphite.
Chaque bloc de graphite est perc de ranges de trous traverss de
manire approprie par le fluide chaud et le fluide froid.
L'association de plusieurs blocs permet l'obtention d'changeurs trs
performants.changeurs refroidis par une circulation force d'air.Le
refroidissement d'un fluide chaud par l'air ambiant s'est dvelopp
considrablement depuis 1960, et pour refroidir un fluide, on
s'orientera de plus en plus vers cette solution, surtout si l'on ne
souhaite pas rcuprer la chaleur vacue. L'air ambiant traverse avec
une trs grande vitesse des tubes munis d'ailettes travers lesquels
circule le fluide que l'on veut refroidir, Le faisceau de tubes est
trs gnralement constitu de tubes de 1,5cm de diamtre extrieur munis
d'ailettes de 1,25 1,5cm de hauteur, l'espacement entre ailettes
tant tel que le rapport entre la surface des ailettes et celle du
tube soit de 7 20. La longueur des tubes varie de 2,4 9m et la
largeur du faisceau de 1,20 3,60m. Le faisceau peut comporter
jusqu' 30 ranges de tubes entasses les unes au-dessus des
autres.L'coulement de l'air travers ces ranges de tubes est obtenu
l'aide d'une hlice compose de 4 6 pales et le dbit d'air peut tre
modul en modifiant la vitesse de rotation et l'orientation des
pales. Dans certains cas, ces modifications sont ralises
automatiquement, ce qui permet d'adapter le dbit d'air aux
variations de temprature et d'humidit de l'air extrieur.L'air aspir
par l'hlice est distribu sur les ranges de tubes par l'intermdiaire
d'une chambre dont la hauteur est suprieure au rayon de l'hlice. La
vitesse d'aspiration de l'air est de l'ordre de 5 10m/s. Autour de
l'hlice se trouve une couronne dont la hauteur joue un rle
important sur la vitesse de l'air.Un inconvnient non ngligeable de
ces appareils est le bruit provoqu par les hlices d'aspiration,
bruit que l'on peut cependant rduire en quipant l'ensemble de
panneaux isolants, ou en rduisant la vitesse de rotation des
hlices.Prcdent - Table des matires - Suivantb) Calcul des
changeurs.Rappelons que les changeurs de chaleur sont des appareils
o le transfert de chaleur basses et moyennes tempratures se fait
sans changement de phase.Des mthodes de calcul plus ou moins
labores existent pour les changeurs faisceau et calandre. Les
calculs reposent en partie sur les calculs lmentaires que l'on peut
effectuer sur les changeurs double-tube auxquels nous allons nous
limiter dans la suite de ce chapitre. L'utilisation des changeurs
plaques et refroidissement air tant plus rcente, il n'existe pas de
normes et de codifications aussi prcises. En outre, par suite de
leur trs grande varit, il est difficile de proposer des thories et
des corrlations gnrales.Le but d'un changeur de chaleur est de
rcuprer une certaine quantit de chaleur dans des conditions
conomiques optimales qui sont un compromis entre les frais
d'investissement et les frais de fonctionnement. La dualit perte de
charge - transfert de chaleur est la base de tout calcul
d'changeur. En effet, les rsistances au transfert thermique seront
d'autant plus faibles que les vitesses locales d'coulement du
fluide seront plus leves. Dans ces conditions, on pourra utiliser
des surfaces d'change plus rduites (diminution de
l'investissement), mais les pertes de charge tant plus grandes, la
pompe de recirculation devra tre plus puissante, ce qui entrane une
augmentation du prix de fonctionnement. Ainsi, l'obtention des
conditions optimales de fonctionnement d'un changeur ne peut se
concevoir sans une tude en parallle du transfert de chaleur et de
la perte de charge.En outre, les fluides vhiculs l'intrieur et
l'extrieur des tubes ne sont pas obligatoirement propres et un
encrassement des surfaces se produit dans le temps. La formation de
ces dpts, gnralement mauvais conducteurs de la chaleur, augmente
les rsistances au transfert thermique et conditionne la frquence
des arrts pour nettoyage et entretien. Dans l'optimisation de
l'changeur, il faut tenir compte de ces variations du transfert
thermique au cours du temps et les conditions optimales de
fonctionnement d'un changeur usag seront diffrentes de celles de
l'changeur neuf.tude du transfert de chaleur.Quel que soit le type
d'changeur, si on ne tient compte que des conditions d'entre et de
sortie des deux fluides, le dbit de chaleur transfr du fluide1
(fluide chaud) au fluide2 (fluide froid), en rgime stationnaire et
en l'absence de source de chaleur interne, s'crit:(45)reprsentent
le dbit massique et la capacit calorifique massique des fluides.
Les indices E et S sont relatifs l'entre et la sortie de chacun des
fluides.Comme dans le paragraphe B exprimons le dbit transfr en
fonction d'une force motrice (diffrence de temprature) Tm
d'o:(46)est la surface d'change de l'appareil et U la conductance
globale de transfert dfinie par rapport la force motrice Tm.Pour un
changeur de gomtrie donne, est connu, mais les valeurs de U et Tm
dpendent des caractristiques de fonctionnement de l'appareil, et
nous allons donner dans ce qui suit les expressions de Tm et U pour
les caractristiques de fonctionnement relatives aux changeurs
double tube.Diffrence de temprature moyenne TmLa diffrence de
temprature moyenne dpend de la nature, du dbit des deux fluides,
mais galement du sens d'coulement des deux fluides.Dans le cas des
changeurs double tube, les coulements des fluides peuvent tre soit
cocourant, soit contre courant.
Figure 5En supposant constant le coefficient de transfert global
U entre les deux extrmits de l'changeur, un bilan thermique dans
l'changeur permet de montrer que:= U (DTML) (47)(DTML) reprsente la
moyenne logarithmique des diffrences de tempratures aux deux
extrmits (on trouve parfois l'abrviation amricaine LMTD),
soit:(48)changeur contre courant changeur cocourant(T)0 = T1E - T2S
(T)0 = T1E - T2E(49)(T)L = T1S - T2E (T)L = T1S - T2SOn remarque
que la formulation est identique pour les deux associations, mais
pour des tempratures d'entre et de sortie des fluides identiques,
l'association contre-courant conduit des dbits changs trs suprieurs
ceux obtenus avec une association cocourant.Les relations tablies
dans le cas des changeurs double tube ne peuvent pas tre utilises
directement pour des changeurs faisceau et calandre. Cependant la
diffrence de temprature utiliser s'obtient, comme l'a indiqu sous
sa forme dfinitive Nagle, en multipliant la DTML relative aux deux
extrmits par un facteur correctif F dpendant de deux coefficients E
et R dfinis ainsi:(50)Dans les ouvrages gnraux, on trouve des
courbes donnant le facteur correctif F en fonction de E et R pour
diffrents types de fonctionnement des changeurs faisceau et
calandre.Coefficient de transfert global UL'tude du transfert de
chaleur entre le fluide chaud et le fluide froid au travers de la
paroi fait apparatre dans le cas le plus gnral les 5 rsistances de
transfert indiques sur la figure6.
Figure 6R1 = 1/h1 est la rsistance de transfert par convection
ct fluide chaud.Rd1 est la rsistance de transfert par conduction
dans le dpt d'encrassement ct fluide chaud.Rp = e/ est la rsistance
de transfert par conduction dans la paroi mtallique. Dans la
plupart des cas, cette rsistance est ngligeable devant les autres.
C'est ce que nous supposerons dans la suite des calculs.Rd2 est la
rsistance de transfert par conduction dans le dpt d'encrassement ct
fluide froid.R2 = 1/h2 est la rsistance de transfert par convection
ct fluide froid.Le dbit de chaleur transfr faisant apparatre une
surface de transfert , il est ncessaire de rapporter les rsistances
de transfert numres prcdemment une mme surface de rfrence. Dans les
changeurs industriels, quel que soit leur type, le fluide chaud
circule l'intrieur du tube, alors que le fluide froid circule
l'extrieur, sauf cas trs particulier. Gnralement, on convient de
choisir en rfrence la surface extrieure du tube chaud et on
rapporte les autres rsistances cette mme surface en multipliant les
diverses rsistances par le rapport correspondant des diamtres, d'o
les nouvelles valeurs des rsistances: R1* , Rd1* , Rd2* , R2La
rsistance globale est alors donne par la relation:(51)US reprsente
le coefficient global de transfert du tube usag (sale) par
opposition au coefficient global de transfert U du tube neuf tel
que:(52)Le coefficient de transfert h1 est valu l'aide de la
relation de Sieder et Tate , ou par toute autre relation permettant
de prvoir les coefficients de transfert convectif l'intrieur d'une
conduite cylindrique circulaire. Pour l'estimation des coefficients
h2, la plupart des auteurs sont d'accord pour une utilisation des
relations tablies lors des coulements intrieurs, condition
toutefois d'apporter aux critres adimensionnels apparaissant dans
les corrlations deux modifications essentielles: la premire est
relative aux diamtres quivalents utiliser dans les corrlations; la
deuxime concerne l'valuation du flux massique du fluide extrieur.
Pour les changeurs double tube, la section annulaire tant
constante, le flux massique s'obtient en divisant le dbit massique
par l'aire de la section annulaire comprise entre les deux tubes.
Pour ce qui concerne les diamtres quivalents, on distinguera le
diamtre hydraulique, tel que calcul prcdemment avec le primtre
mouill, et le diamtre quivalent, calcul avec le primtre de
transfert.Pour les changeurs faisceau et calandre, ces grandeurs
sont beaucoup plus difficiles dfinir, car l'coulement du fluide
dans la calandre se fait avec des orientations et des vitesses
diffrentes selon la disposition des chicanes. Cependant, par suite
de l'effort de normalisation dans la construction de ces changeurs,
on a pu prciser les modifications apporter sur les valeurs des
diamtres quivalents et du flux massique.Connaissant h1 et h2, il
est alors possible de trouver la valeur de la rsistance globale du
tube propre. Aprs un certain temps d'utilisation, il peut se former
des dpts l'intrieur et l'extrieur des tubes, augmentant la
rsistance globale au transfert. Le coefficient de transfert US sera
par suite infrieur celui du tube neuf. Dans la plupart des cas,
l'appareil sera calcul pour la valeur minimale du coefficient de
transfert relatif au tube usag. On convient de manire empirique
qu'un changeur doit fonctionner sans nettoyage durant une anne et
dans la norme T.E.M.A., on trouve une liste des valeurs des
rsistances d'encrassement pour divers produits vhiculs dans les
industries ptrochimiques.Nous pouvons dsormais calculer le
coefficient de transfert global et le dbit transfr dans l'changeur
en utilisant pour la diffrence de temprature moyenne la valeur DTML
(multiplie par le facteur correctif F dans le cas des changeurs
faisceau et calandre).En ralit, ce rsultat n'est correct qu'
condition que le coefficient de transfert global US reste constant
tout au long de l'changeur. Cette hypothse ne peut tre qu'approche
puisque le coefficient de transfert dpend des proprits
physico-chimiques des fluides qui varient au cours de leur traverse
de l'changeur. Il est possible cependant de continuer calculer le
dbit transfr par la relation (47) condition de prendre une valeur
moyenne de US gale la valeur du coefficient de transfert pour des
valeurs moyennes des tempratures du fluide chaud et froid appeles
gnralement tempratures calorifiques. On trouvera dans les ouvrages
gnraux des relations permettant d'valuer, pour des conditions de
fonctionnement donnes, les tempratures calorifiques d'un changeur
double tube. Ces tempratures ne sont pas directement ncessaires
pour le calcul du dbit transfr, mais dans la mesure o elles
correspondent aux conditions de tempratures moyennes des fluides
dans l'appareil, elles permettent d'obtenir des valeurs moyennes du
critre de Reynolds caractristique de la nature de l'coulement des
deux fluides dans l'changeur.tude des pertes de chargeLes deux
fluides traversant l'changeur s'coulent chacun sous l'effet d'une
diffrence de potentiel gale une diffrence de pression totale appele
perte de charge. Les analogies entre le transfert de chaleur et de
quantit de mouvement en rgime stationnaire sont telles qu' une
augmentation du coefficient de transfert de chaleur correspond
galement une augmentation de la perte de charge. Industriellement,
on essaie de limiter cette perte de charge 1atm pour des changeurs
fonctionnant sur refoulement d'une pompe. En revanche, si
l'coulement est d la force de pesanteur, il est clair que la perte
de charge ne devra pas dpasser la diffrence de la pression
potentielle l'intrieur des tubes.La perte de charge (ou plutt le
facteur de frottement f/2) l'intrieur des tubes est value l'aide
des relations donnes dans le chapitre III. Pour tenir compte de la
non isothermicit de l'coulement, Sieder et Tate proposent de
multiplier le facteur f/2 obtenu l'aide des relations prcdentes par
le rapport:en rgime d'coulement laminaire,en rgime d'coulement
turbulent.Dans les changeurs double tube, les tubes intrieurs sont
gnralement rugueux alors qu' l'tat neuf les tubes des changeurs
faisceau et calandre sont lisses. Dans ces derniers, il faudra
ajouter la perte de charge l'intrieur du faisceau celle observe
dans les boites de distribution et de retour, perte de charge
traduite essentiellement sous forme d'une dgradation d'nergie
cintique.La perte de charge pour l'coulement extrieur s'obtient
dans le cas des changeurs double tube partir des relations tablies
dans le cas des coulements intrieurs, condition toutefois de
remplacer le diamtre intervenant dans les diffrents critres par le
diamtre hydraulique.Le calcul des pertes de charge extrieures dans
le cas des changeurs faisceau et calandre est plus compliqu car, en
dehors de l'coulement principal, il existe des coulements
secondaires dus aux jeux et aux tolrances entre les divers lments
de l'changeur.Diffrents auteurs ont propos des mthodes numriques de
calcul prenant plus ou moins en compte les courants secondaires.
Les rsultats obtenus sont souvent en bon accord avec les valeurs
exprimentales.Sachant valuer le transfert de chaleur et la perte de
charge dans les changeurs doubletube, il est possible d'envisager
leur tude conomique. Nous ne dvelopperons pas dans cette initiation
ces aspects que l'on pourra trouver dans les ouvrages gnraux
consacrs au transfert de chaleur.IV. Transfert de matireA.
Transfert de matire au sein d'une phase1. Introduction Les lois
diffusionnelles de FickLorsqu'on s'intresse au transfert de matire,
on doit distinguer deux cas, selon que le transfert se fait au sein
d'une phase ou entre deux phases partiellement ou totalement
immiscibles. En outre, chacune des phases peut tre mobile ou
immobile.Une phase immobile ne signifie pas qu'il n'y a pas de
mouvement d'ensemble des molcules, mais au niveau de la phase, le
transport se fait uniquement par diffusion molculaire, et il
n'existe pas dans la phase de tourbillons provoquant -avec une
dgradation d'nergie mcanique et de quantit de mouvement- le
brassage d'agrgats de fluide ayant des compositions diffrentes. Par
opposition, dans le cas d'une phase mobile, le transport par
diffusion des constituants n'est pas d uniquement la diffusion
molculaire mais aussi la diffusion turbulente.Il convient de
prciser quelque peu ces notions de diffusion molculaire et
turbulente.a) Diffusion molculairePar suite des dformations des
molcules par translation, rotation et vibration, ces dernires sont
animes d'un mouvement alatoire si leur concentration dans un mme
milieu n'est pas homogne. Ainsi, si on considre un plan normal la
direction du gradient de concentration d'un ractif A quelconque, ou
n'importe quel autre plan, il existe un flux de molcules A travers
ce plan. En outre, pour des solutions dilues, la direction du
dplacement de chacune des molcules A est indpendante des autres et
donc de leur concentration. Il en rsulte que dans un systme o il
existe un gradient de concentration et plus gnralement un gradient
de potentiel chimique, la fraction de molcules A traversant le plan
normal au gradient est le mme de chaque cot du plan. Il se produit
un dplacement des molcules de A de la rgion potentiel chimique lev
vers celle potentiel chimique plus faible et s'il n'y a pas
d'effets contraires il y aura galit des potentiels chimiques ce qui
correspond l'quilibre thermodynamique.Pour les systmes binaires
gazeux, on peut valuer le flux de diffusion molculaire partir des
structures molculaires des constituants l'aide d'une thorie
relativement complique mais cependant trs avance que l'on appelle
la thorie cintique des gaz. La diffusion molculaire existe galement
dans les liquides et les solides mais les thories sont dans ces cas
moins avances et restent encore semi-empiriques.b) Diffusion
turbulenteLorsqu'une phase anime d'un mouvement d'ensemble est
telle qu'il existe dans le milieu des remous favorisant le brassage
des agrgats du fluide, le dplacement des molcules d'un constituant
A quelconque, est tel que l'on peut encore superposer l'coulement
d'ensemble un flux analogue au flux diffusionnel. Certes ce flux
n'a rien voir au flux diffusionnel car son valuation n'est pas lie
directement la structure du constituant A mais plus prcisment la
nature de l'coulement.Dans de nombreux cas, on pourra ngliger dans
un premier temps, le flux diffusionnel par rapport au flux
principal d l'coulement d'ensemble. Cependant, si l'on cherche se
rapprocher plus finement de la ralit physique, il sera ncessaire
d'en tenir compte (cas des distributions de temps de sjour du
fluide dans les racteurs et changeurs garnissage, dans les colonnes
pulvrisation, dans les colonnes bulles, etc.).c) valuation du flux
diffusionnel Lois de FickDans tout ce qui suit nous allons
raisonner en nous limitant aux mlanges binaires. Certes les mlanges
plus de deux constituants sont frquents dans la pratique mais trs
souvent on pourra ramener des problmes compliqus des problmes deux
constituants principaux et les rsultats que nous allons donner
pourront alors tre utiliss.Soit un mlange binaire form des
constituants A et B. Nt et Nt* dsignant respectivement le flux
massique total et le flux molaire total dans une direction yy'
donne, on dfinit par rapport au mme tridre de rfrence deux vitesses
barycentriques par les relations:(1)(2)avec: (3)
Dans les relations (1), (2), (3), et C dsignent la masse
volumique et la concentration molaire, les indices A et B sont
relatifs aux constituants A et B, l'indice t reprsente les
grandeurs totales. Mt dsigne la masse molaire moyenne du mlange
binaire au point considr. u est la vitesse barycentrique massique
et u* la vitesse barycentrique molaire. Comme nous l'indiquerons
plus loin, ces deux vitesses sont diffrentes dans le cas le plus
gnral.Les flux diffusionnels sont dfinis par rapport l'coulement
d'ensemble et, d'aprs notre remarque prcdente, ils seront diffrents
selon que l'coulement d'ensemble est caractris par la vitesse
barycentrique massique ou la vitesse barycentrique molaire. Nous
dsignerons par la lettre J le flux diffusionnel dfini par rapport
un coulement d'ensemble se dplaant avec la vitesse barycentrique u
et par la lettre I le flux diffusionnel dfini par rapport un
coulement d'ensemble se dplaant avec la vitesse barycentrique u*.Il
s'agira de flux massique en l'absence d'astrisque et de flux
molaire dans le cas contraire.Signalons ds prsent que d'aprs les
relations (1) et (2), l'utilisation de la vitesse barycentrique
massique ou molaire ne conduira des simplifications que pour des
mlanges binaires voluant respectivement soit masse volumique
constante, soit concentration totale constante. En effet, dans ces
conditions, les variations de N et N* sont lies directement celles
des vitesses barycentriques.De manire trs gnrale, les flux
diffusionnels sont donns par les lois de Fick qui s'expriment
ainsi: Premire loi de Fick: Elle est valable pour un milieu masse
volumique constante:(4)(5)(6) Deuxime loi de Fick: Elle est valable
pour un milieu concentration totale constante:(7)(8)(9)Dans les
relations prcdentes w et x reprsentent respectivement le titre
massique et le titre molaire.Le coefficient DAB (de dimension
L2T-1) est le coefficient de diffusion ou diffusivit du mlange
binaire constitu par les ractifs A et B.Dans le cas du flux
diffusionnel molculaire (milieu immobile) et pour des mlanges
binaires gazeux idaux ou des solutions liquides dilues, la
diffusivit une temprature et une pression donne est pratiquement
constante et en particulier indpendante de la composition du mlange
binaire. Sa valeur peut tre prvue thoriquement dans le cas de
mlanges binaires gazeux partir de la thorie cintique des gaz. Pour
les liquides ioniques ou non, il existe des relations thoriques et
semi-empiriques. Pour plus de prcisions, on pourra consulter les
ouvrages gnraux consacrs aux proprits de transport des gaz et des
liquides.Dans le cas des gaz, il faut galement distinguer le flux
diffusionnel ordinaire du flux diffusionnel du type Knudsen. Ce
type d'coulement diffusionnel est observ lorsque le libre parcours
moyen des molcules de gaz est suprieur aux dimensions gomtriques de
l'enceinte dans laquelle se trouve le mlange gazeux. Dans ces
conditions, le nombre de chocs des molcules avec la paroi devient
suprieur au nombre de chocs entre molcules, d'espces identiques ou
diffrentes. Les lois de Fick restent globalement valables, mais
chacune des espces se dplace indpendamment des autres, et le
coefficient de diffusion intervenant dans les lois, proprit
intrinsque de l'espce considre, peut tre estim par la thorie
cintique des gaz.Pour des milieux mobiles et des milieux immobiles
en prsence de mlanges binaires non idaux, les diffusivits ne sont
pas constantes et ne sont pas toujours des proprits intrinsques du
fluide, car elles peuvent dpendre de la nature de l'coulement du
fluide (cas des flux diffusionnels turbulents). Cependant les
relations prcdentes restent valables et les diffusivits
correspondantes dites turbulentes ou apparentes doivent tre estimes
exprimentalement.Remarques:Les relations (4), (5), (7), (8) crites
sous leur premire forme restent valables pour des milieux idaux
masse volumique ou concentration molaire totale non constante. Pour
des phases mobiles, dans de nombreux cas, le flux diffusionnel des
constituants est ngligeable devant le flux de ces mmes ractifs d
l'coulement d'ensemble. Dans ces conditions, on peut utiliser
indiffremment les flux diffusionnels massiques ou molaires, que le
milieu soit masse volumique ou concentration totale
constante.Prcdent - Table des matires - Suivant2. Expression des
flux de transfert par rapport un repre fixeComme nous l'avons
indiqu prcdemment nous nous limitons au cas des mlanges binaires
des deux constituants A et B. Si NA et NB dsignent les flux
massiques des constituants A et B dans une direction donne yy' nous
avons par rapport au repre fixe:Nt = NA +NB (10)NA = uA A (11)NB =
uB B (12)Les vitesses uA et uB reprsentent les composantes dans la
direction yy' des vitesses des constituants A et B par rapport au
repre fixe. Ces vitesses sont telles que la vitesse barycentrique
massique u est donne par la relation:u = uA wA + uB wB (13)De mme,
si NA* et NB*, dsignent les flux molaires des constituants A et B
dans une direction donne, nous avons galement pour le mme repre
fixe:Nt* = NA* +NB* (14)NA* = uA CA (15)NB* = uB CB (16)u* = uA xA
+ uB xB (17)Comme on pourra le vrifier, les relations (13) et (17)
sont telles que les vitesses barycentriques massiques et molaires
sont diffrentes.Par rapport la vitesse barycentrique massique u, la
vitesse relative du constituant A est uuA. Cette vitesse relative,
reprsentative du flux diffusionnel massique, est telle que:JA = A
(u - uA) (18)relation que l'on peut crire sous la forme:
d'o l'expression du flux massique du constituant A par rapport
au repre fixe:NA = wA Nt - JA (19)NB = wB Nt - JB (20)Par rapport
la vitesse barycentrique molaire u*, la vitesse relative du
constituant A est u*uA. Cette vitesse relative, reprsentative du
flux diffusionnel molaire, est telle que:IA* = CA (u* - uA)
(21)relation que l'on peut crire sous la forme:
d'o l'expression du flux molaire du constituant A par rapport au
repre fixe:NA* = xA Nt* - IA* (22)NB* = xB Nt* - IB* (23)Signalons
que les relations (19), (20), (22), (23) restent valables mme dans
le cas de mlanges comportant plus de deux constituants.Prcdent -
Table des matires - Suivant3. Bilans diffrentiels de matireIl
s'agit d'appliquer le principe de conservation de la matire l'lment
de volume paralllpipdique dx.dy.dz:
Ce bilan va s'crire sous deux formes, selon que le point matriel
M se dplace avec la vitesse barycentrique massique ou molaire.a)
Expression du bilan diffrentiel: l'lment de volume se dplaant avec
la vitesse barycentrique massique uLe principe de conservation de
la matire appliqu au constituant A conduit :(24)ux, uy, uz, Jax,
Jay, JAz dsignent respectivement les composantes du vecteur vitesse
et du flux massique sur les axes x, y, z. rA est le dbit massique
de production chimique du corps A par unit de volume.Sous forme
plus symbolique, cette solution s'crit:(25)Dans la relation (25),
l'expression est appele la drive matrielle de la grandeur A. Elle
reprsente la variation de A par rapport au temps pour un
observateur se dplaant avec la vitesse du fluide, soit:(26)La
relation (25) est particulirement adapte au cas d'un systme masse
volumique totale constante (fluide incompressible). En effet, dans
ces conditions:(quation de continuit) (27)(28)d'o l'quation de
bilan:
(29)Dans l'quation (29) l'oprateur 2 reprsente l'oprateur
Laplacien:(30)b) Expression du bilan diffrentiel: l'lment de volume
se dplaant avec la vitesse barycentrique molaire u*Sous forme
symbolique, par analogie avec l'quation (25), le bilan diffrentiel
s'crit:(31)o rA* reprsente le dbit molaire de production chimique
du corps A par unit de volume. On parle galement de dbit spcifique
de production chimique, ou, plus simplement, de vitesse de
raction.Le bilan (31) est particulirement adapt au cas d'un systme
concentration totale constante (systme gazeux isobare et
isotherme). En effet dans ces conditions:(32)(33)d'o l'quation de
bilan:(34)Ces quations diffrentielles de bilan sont normalement
valables que le milieu soit immobile ou mobile. Certes, dans ce
dernier cas, les diffusivits dpendent des compositions ou de la
nature de l'coulement, mais on pourra souvent les supposer
constantes et utiliser les quations de bilan tablies prcdemment.En
outre, si le problme tudi ncessite la considration simultane des
bilans diffrentiels d'nergie et de quantit de mouvement, il sera
ncessaire d'crire le bilan diffrentiel de matire en faisant
intervenir la vitesse barycentrique massique.En effet, les bilans
diffrentiels d'nergie et de quantit de mouvement correspondent une
analyse de l'unit de masse de fluide pour un observateur se dplaant
avec cette unit (point de vue de Lagrange).
Prcdent - Table des matires - SuivantB. Transfert de matire
isotherme entre deux phases1. Nomenclature des oprations de
transfert de matire entre phasesNous supposerons que chacune des
deux phases en prsence constitue un systme binaire. Le constituant
prsent dans les deux phases porte le nom de solut, soit I, le
transfert de ce solut se fait de la phase raffiner (indice R) la
phase extraire (indice E). Dans la phase raffiner un diluant Dest
associ au solut I alors qu'un solvant S est associ au solut Idans
la phase extraire. D'aprs l'hypothse indique prcdemment diluant et
solvant seront immiscibles.Dans certaines oprations de transfert le
diluant ou le solvant ne sont pas prsents. Ainsi en distillation,
l'enthalpie joue le rle tenu par le solvant pour sparer un mlange
de soluts. Cependant, dans la plupart des cas, les changeurs de
matire sont des appareils permettant de faire passer un solut d'une
phase raffiner une phase extraire. Que le solut soit une impuret ou
la substance noble, il faudra dans tous les cas sparer le solut du
solvant. Cette opration est effectue dans un sparateur et,
industriellement, une unit de purification ou d'extraction
comportera un sparateur fonctionnant en parallle avec l'changeur de
matire.Le solut dans la phase Rou Eest caractris en gnral par son
titre molaire ou son rapport molaire. De faon plus prcise, on
utilise le titre molaire lorsque les teneurs en solut sont
relativement faibles et le rapport molaire lorsque les teneurs en
solut deviennent plus importantes.Si x, X, y, Y dsignent
respectivement le titre molaire et le rapport molaire du solut I
dans l'extrait E et dans le raffinat R, on a:(35)(36)Dans certains
cas, d'autres grandeurs peuvent intervenir, telles que les
concentrations (cas des liquides) ou les pressions partielles (cas
des gaz) du solut, du diluant, du solvant.Le Tableau 1 donne
quelques exemples d'oprations industrielles de transfert de matire
entre phases.Tableau 1
Exemples d'oprations industrielles de transfert de matire entre
phases
Nature de l'oprationExempleDiluantSolutSolvant
Lavage solide/liquideLavage l'eau des cossettes de betterave
pour en extraire le sucreMatires cellulosiquesSucreEau
Adsorption gaz/solidelimination de l'air des vapeurs toxiques
qu'il peut contenir par passage dans les cartouches de masques
gazAirVapeur toxiqueCharbon actif
Absorption gaz/liquideRcupration du gaz carbonique des gaz de
combustion par barbotage dans une saumure de carbonate de
soudeAirCO2Saumure carbonate
Dsorption liquide/gazDsoxygnation de l'eau par barbotage
d'azoteEauO2N2
Extraction liquide/liquideExtraction du phnol des goudrons par
lavage au benzneGoudronsPhnolBenzne
Adsorption et dsorption solide/liquideSubstitution d'ions Na+
aux ions Ca++ d'une eau calcaire par passage au contact d'une rsine
changeuse cationiqueEauCa++Rsine
RsineNa+Eau
Prcdent - Table des matires - Suivant2. Bases thermodynamiques
et cintiques du transfert de matire entre deux phasesa) Les donnes
thermodynamiques d'quilibresDeux phases sont dites en quilibre
thermodynamique lorsque les potentiels chimiques de chacun des
constituants prsents dans les deux phases sont gaux.Si on a un seul
solut commun aux deux phases supposes immiscibles, cela se traduira
par une galit du type:IR = IE (37)A une temprature et une pression
totale fixes, on peut expliciter cette relation en fonction des
compositions du solut dans les phases et la relation (37) devient
une relation biunivoque entre les compositions du solut dans les
deux phases. Cette relation varie avec la nature des phases en
prsence.Cas des systmes gaz-liquide.L'quilibre entre un gaz et un
liquide peut tre considr comme un cas particulier de l'quilibre
liquide-vapeur de deux liquides de volatilits comparables. Nous
verrons plus loin que dans ce cas, pour un mlange binaire, le titre
molaire dans la phase liquide du compos le plus volatil, soit x,
est li son titre molaire dans la phase gazeuse, soit y, par la
relation:(38)P10 est la pression de vapeur saturante du liquide 1
la temprature TP20 est la pression de vapeur saturante du liquide 2
la temprature T1 et 2 sont les coefficients d'activit des
constituants 1 et 212 est la volatilit relative du constituant 1
par rapport au constituant 2.Pour les solutions dites idales, 12
est constant une temprature donne et a pour valeur: .La courbe
d'quilibre a la forme classique d'une hyperbole quilatre (Figure
1).Figure 1
En prsence de systmes gaz-liquide ou les deux liquides ont des
volatilits trs diffrentes, la courbe prcdente n'est valable que
pour des valeurs de x relativement petites, pour lesquelles on peut
confondre la courbe avec sa tangente.Pour une solution idale, on
obtient:(39)et pour une solution relle:y = H x (40)o H est la
constante dite de HenryC'est cette dernire relation que l'on
utilisera dans les cas des absorptions d'une impuret gazeuse par un
liquide, car la teneur en solut transfr dans le liquide restera
toujours trs faible.Cas des systmes fluide-solideA une temprature
et une pression totale donnes, il existe une relation entre une
grandeur caractristique du solut dans le solvant et une grandeur
caractristique du solut dans le diluant, se traduisant par une
relation du type:y = m(x) (41)o x dsigne la masse de solut adsorb
rapport la masse de solide adsorbant et y la pression partielle
(cas des gaz) ou la concentration (cas des liquides) du solut dans
la phase fluide.Alors que la relation (40) est linaire pour la
plupart des problmes industriels d'absorption, la relation (41),
qui porte gnralement le nom d'isotherme d'adsorption, est rarement
linaire, sauf dans le cas des trs faibles valeurs de x o on
assimile la courbe sa tangente.C'est gnralement en faisant cette
hypothse que l'on modlise les colonnes chromatrographiques
analytiques.Cas des systmes liquide-liquide.tant donn un solut
prsent dans un premier liquide (diluant) lors du transfert du solut
dans le deuxime liquide (solvant), il se produit une dissolution
d'une fraction du diluant dans le solvant, et rciproquement, de
telle sorte que l'on est en prsence de mlanges ternaires. Nous
supposerons cependant par la suite que les deux liquides sont
immiscibles; en effet le diluant se sature trs rapidement de
solvant (et rciproquement) et dans ces conditions le systme
liquide-liquide se comporte comme un systme de deux liquides
immiscibles. x et y dsignant la concentration du solut dans les
deux phases, temprature et pression totale donne, il existe
l'quilibre thermodynamique une relation du type:Y = R x (42)R est
appel le coefficient de partage et, en premire approximation, on
pourra le supposer constant. Si R est petit le solut est trs
soluble dans le solvant. Dans la pratique on s'efforcera de raliser
cette condition par un choix adquate du solvant par rapport au
diluant.b) Les donnes cintiques du transfert entre
phases.Dfinitions des conductances partielles et globales de
transfert.Il existe deux principales thories permettant d'valuer le
flux de solut transfr de la phase raffiner vers la phase extraire.
La premire correspond au modle de la double couche limite de Lewis
et Whitman et la deuxime au modle de la pntration d Higbie puis
amlior par Dankwerts. Tous ces modles un paramtre ne permettent pas
de rendre compte dans tous les cas des flux transfrs. Certes, des
modles base des prcdents, mais deux paramtres, sont plus
satisfaisants, mais les paramtres du modle, difficiles dterminer
partir des mesures exprimentales, ne permettent pas, en gnral,
l'extrapolation de l'changeur une taille et des conditions
d'alimentation diffrentes, car ces paramtres dpendent des grandeurs
prcdentes. Aussi se limiteton gnralement aux dterminations
exprimentales du flux transfr que l'on exprime de manire purement
phnomnologique en fonction d'une diffrence de potentiel reprsentant
la force motrice provoquant le transfert.Ainsi, si on considre les
profils de compositions du solut I dans les deux phases au
voisinage de leur surface de sparation (ou interphase), ces
derniers ont les allures schmatises sur les figures 2.
Figure 2Si reprsente le flux transfr du solut on crit qu'il est
gal := kx (xi x) = ky (y yi) (43)xi et yi dsignant les valeurs x et
y l'interphase. (xi - x) et (yyi) reprsentent les forces motrices
provoquant le transfert. Les grandeurs kx et ky dfinies par les
relations(43) sont appeles les conductances partielles de transfert
de matire values respectivement par rapport aux potentiels x et y.
De manire trs gnrale le solut tant caractris par un potentiel
quelconque, le coefficient partiel de transfert value par rapport
vrifiera la relation:k (i) = cte (44)Les relations du type (43) ne
sont pas toujours utilisables pratiquement car elles font
intervenir les compositions xi et yi, l'interphase, non accessibles
l'exprience; c'est pourquoi on les remplace par des relations ne
faisant intervenir que la composition au sein des phases, x et
y.Appelons y* le titre fictif qui serait en quilibre
thermodynamique avec le titre x au sein de la phase d'extraction.
De mme, appelons x* le titre fictif qui serait en quilibre
thermodynamique avec le titre y au sein de la phase raffiner. On
a:(45)Nous poserons arbitrairement que le flux transfr est
proportionnel l'cart l'quilibre global que l'on peut crire de deux
faons selon que l'on se rfre une phase ou l'autre, soit:= Kx(x* x)
= KY(y y*) (46)Les coefficients K ainsi dfinis portent le nom de
conductances globales. Les diffrentes conductances globales que
l'on peut dfinir vrifient une relation analogue la relation
(44).Lorsque les relations d'quilibre sont linaires (cas trs
frquent dans la pratique) les conductances globales et partielles
sont lies trs simplement dans la mesure o l'on peut faire
l'hypothse de l'quilibre thermodynamique l'interphase. L'exprience
montre que cette hypothse est entirement justifie et, dans ces
conditions, pour des lois de partage linaires, les conductances
partielles et globales sont telles que:(47)(48)Les critures sont
telles que la rsistance globale est la somme des rsistances
partielles situes au voisinage de l'interphase dans chacune des
deux phases. valuons l'importance relative d'une des rsistances
partielles par rapport la rsistance globale. Ainsi pour la phase
raffiner:(49)Le rapport dpend de la valeur du coefficient de
partage m compar au rapport des conductances partielles kx/ky.
Considrant le cas, assez frquent, o kx et kv sont, sinon gaux, du
moins peu diffrents: si m est petit, le transfert est limit dans la
phase raffiner. si m est grand, le transfert est limit dans la
phase extraire. On comprend l'intrt d'introduire les deux
nomenclatures Kx et Ky. Bans le premier cas on utilisera plutt Ky,
alors que l'on choisira Kx dans le second.Lorsque la phase extraire
est solide, il n'y a pas de rsistance de transfert dans la phase
extraire (kx = +), et la conductance partielle de la phase raffiner
se rduit la conductance globale, dans la mesure o l'on admet que
l'quilibre thermodynamique est ralis l'interface.Expressions des
conductances de transfertLes modles thoriques de transfert indiqus
prcdemment conduisent une expression analytique des conductances
partielles de transfert. Malheureusement ces modles n'tant pas
gnraux, et tant difficilement extrapolables, on a cherch dterminer
exprimentalement des relations permettant d'valuer les conductances
partielles de transfert.Les relations dpendent de l'opration de
transfert, mais on a pris l'habitude d'exprimer les conductances de
transfert sous une forme adimensionnelle, en considrant l'un des
deux critres suivants: le critre de Margoulis matire: (50) le
critre de Sherwood (ou Nusselt matire): (51) kC est la conductance
dfinie par rapport au potentiel concentration molaire,um est la
vitesse moyenne du fluide,D est une caractristique gomtrique de
l'appareil,Dt est la diffusivit du solut transfr dans la phase
fluide.Le critre de Margoulis est une mesure locale de l'efficacit
du transfert transversal par rapport au transfert longitudinal
alors que le critre de Sherwood est une mesure du transfert de
matire par diffusion molculaire par rapport au transfert de matire
transversal observ.Comme nous l'avons dj indiqu dans le chapitre V,
le critre de Margoulis matire est l'homologue du critre de
Margoulis thermique pour le transfert de la chaleur et du facteur
de frottement pour le transfert de quantit de mouvement.De mme, le
critre de Sherwood est l'quivalent du critre de Nusselt pour le
transfert de la chaleur.L'analyse dimensionnelle du dbit de matire
transfr montre que les deux critres prcdents dpendent des deux
groupes adimensionnels que sont: le critre de Reynolds: (52) le
critre de Schmidt: (53) Les rsultats exprimentaux sont gnralement
exprims sous la forme:(54)Les coefficients a, p, q, dpendent de
l'opration de transfert tudie, mais dans tous les cas on constate
que pet q restent compris entre 0 et 1, q tant plus proche de 0,5
que de 1.Lorsque l'interface est fluide (gazliquide ou
liquideliquide) les relations donnant le critre de Sherwood
dpendent de la gomtrie de l'changeur, et on trouve dans la
littrature de nombreuses relations exprimentales pour divers types
d'changeurs (colonne plateaux, colonnes garnissage, racteur
mcaniquement agit, etc.)Dans ce qui suit nous allons donner
quelques relations tablies dans le cas du transfert de matire entre
une phase fluide et une phase solide.Cas o la phase solide est la
paroi d'une conduite cylindrique circulaire l'coulement de la phase
fluide l'intrieur de la conduite est laminaire : Pour une conduite
de longueur L le critre de Sherwood moyen Shmcalcul sur la longueur
L de la conduite de diamtre D est tel que:si alors: (55)si alors:
(56) l'coulement de la phase fluide l'intrieur de la conduite est
turbulent: On pourra utiliser la relation dduite par analogie de la
relation de Sieder et Tate pour le transfert de chaleur par
convection force soit:(57)cas o la phase solide est un obstacle
isol sphriquePour l'ensemble des coulements, on pourra utiliser la
relation propose par Froessling, soit:(58)Le critre de Reynolds et
le critre de Sherwood tant valus en fonction du diamtre de la
sphre.Remarque:Nous avons vu dans le chapitre prcdent que le
transfert de matire par diffusion molculaire au sein d'une phase
pouvait se faire avec une vitesse barycentrique diffrente de zro.
Il peut en tre de mme dans le cas du transfert d'un solut d'une
phase une autre, surtout si le diluant et le solvant sont
effectivement immiscibles.Dans ces conditions, le flux de solut
transfr de la phase raffiner la phase extraire et le coefficient de
transfert correspondant sont diffrents du flux transfr et du
coefficient de transfert relatifs une vitesse barycentrique nulle.
La plupart des corrlations trouves dans la littrature correspondent
des transferts s'effectuant avec une vitesse barycentrique nulle.3.
Thorie simplifie de deux changeurs de matire ouverts en rgime
stationnaireNous allons, dans ce qui suit, prsenter l'tude de deux
oprations industrielles de transfert de matire, savoir:1.
l'extraction liquideliquide d'un solut, dans une cascade de
mlangeurs dcanteurs 2. l'absorption d'un solut gazeux dans un
liquide, dans une colonne contrecourant Nous allons indiquer pour
ces deux oprations unitaires des mthodes simplifies de calcul
faisant apparatre leur analogie et leur spcificit.a) tude d'une
batterie de mlangeurs dcanteurs.Chacun des mlangeurs dcanteurs est
constitu par l'association d'un mlangeur fonctionnant en srie avec
un dcanteur. Le transfert du solut I de la phase raffiner dans la
phase extraire se fait uniquement dans le mlangeur, le dcanteur
permettant, quant lui, d'isoler le raffinat de l'extrait. Aussi
peut-on, dans un premier temps, se limiter l'tude de la cascade de
mlangeurs (Figure3)
Figure 3Dans ce type d'appareil, raffinat et extrait sont
aliments contre courant, et si les conditions d'alimentation sont
maintenues constantes, un rgime stationnaire s'tablit au niveau de
chacun des mlangeurs de la batterie. Nous nous placerons dsormais
dans ces conditions.La thorie simplifie que nous allons prsenter
repose sur les hypothses simplificatrices suivantes: le diluant et
le solvant sont immiscibles quelle que soit la teneur en solut.
l'opration de transfert est isotherme et le transfert du solut
d'une phase l'autre n'est pas accompagn d'un effet thermique.
chacun des mlangeurs se comporte pour les deux phases comme un
racteur parfaitement agit. Dans ces conditions, les compositions du
solut dans chacune des deux phases sont uniformes. la courbe
d'quilibre, ou courbe de partage, est une droite de pente m. dans
chacun des mlangeurs, les compositions du solut dans les deux
phases sont voisines de l'quilibre thermodynamique. Le mlangeur est
qualifi dans ces conditions d'tage thorique. Nous indiquerons plus
loin dans quelles conditions de fonctionnement cette hypothse est
justifie. Bilan global du solut entre le 1er et qe tage.Nous
caractrisons le solut I dans les phases raffiner et extraire par
son rapport molaire soit respectivement Y et X. Nous dsignerons par
Xq et Yq les valeurs des rapports molaires l'intrieur du qe tage,
ces valeurs sont aussi les valeurs de sortie (phases parfaitement
agites).En rgime stationnaire, le solut perdu par le diluant entre
le 1er et le qe tage est pass dans le solvant:(59)Dans l'quation
(59), et reprsentent les dbits molaires de diluant et de solvant,
qui sont des grandeurs constantes au cours de la traverse du
mlangeur dcanteur puisque diluant et solvant sont
immiscibles.L'quation (59) est susceptible de faire l'objet d'une
reprsentation graphique simple dans le plan de coordonnes (X, Y)
(Figure 4):En effet, on a:(60)De plus, les tages tant thoriques, on
a:Yq = m Xq (61)Figure 4Le point M(Xq+1, Yq) reprsentatif de la
sortie de l'tage q est situ sur la droite passant par A et ayant
pour pente . C'est la droite d'opration ou droite opratoire.Ainsi,
si l'on connat X1 et Y0, ainsi que la droite opratoire et la droite
de partage, il est facile de trouver graphiquement les rapports
molaires en solut dans les deux phases, chaque tage.
Mais, dans la pratique, on opre diffremment, car on ne connat
gnralement pas la pente de la droite opratoire. En effet, on connat
Y0 et pour le raffinat, et XN+1 pour la phase extraire, et on veut
trouver le dbit et le nombre d'tages thoriques, de faon ce que la
teneur en solut dans le raffinat soit YN la sortie de la batterie
(Figure 5).Figure 5 en A1 il faut zro tage thorique mais le dbit de
solvant est infini. en A2 il faut un nombre infini d'tages
thoriques mais le dbit de solvant est minimal. en A3 il faut un
nombre fini d'tages thoriques mais le dbit de solvant est plus
grand.
Pour trouver la solution optimale, il faut introduire une
nouvelle contrainte, par exemple une quation conomique. Les frais
de construction augmentent avec le nombre d'tages, et les frais de
fonctionnement augmentent avec le dbit du solvant (Figure 6). Il
existe un optimum de fonctionnement conduisant au prix de revient
minimum de l'opration.
Figure 6Efficacit d'change quation de KREMSER.Pour le systme
ouvert tudi, on peut dfinir deux efficacits d'change, l'une pour la
phase extraire, soit EE, et l'autre pour la phase raffiner soit ER.
L'efficacit d'change reprsente le dbit de solut transfr dans l'une
des phases rapport au dbit maximal susceptible d'tre transfr.
Ainsi:Pour la phase raffiner, on dfinit ER, efficacit
d'appauvrissement de la phase R:(62)Pour la phase extraire, on
dfinit EE, efficacit d'enrichissement de la phase E:(63)Examinons
la 1re dfinition: le numrateur reprsente le changement rel dans la
composition de la phase raffiner, de l'entre la sortie de
l'changeur; le dnominateur reprsente le changement maximal de
composition de cette phase, si le raffinat tait en quilibre de
partage avec l'extracteur entrant dans l'appareil. Le rapport de
ces deux grandeurs, compris entre zro et un, exprime dans quelle
mesure la phase R est appauvrie efficacement du solut qu'elle
contient.Examinons maintenant la 2me dfinition: le numrateur
reprsente le changement rel dans la composition de la phase
d'extraction; le dnominateur reprsente le changement maximum de
cette phase, si l'extrait tait en quilibre de partage avec la
solution raffiner. Le rapport de ces deux grandeurs exprime dans
quelle mesure la phase E est enrichie efficacement en solut.Il est
important de remarquer que ces deux efficacits peuvent varier
indpendamment. Pour augmenter EE il faut diminuer et pour augmenter
ER il faut augmenter .Dans le cas o la courbe d'quilibre se rduit
une droite de pente m, on peut remplacer la rsolution graphique des
quations (60) et (61) par des expressions analytiques. On aboutit
la relation suivante, appele quation de Kremser:(64)avec (65)r
porte le nom de rapport de partition.L'quation de Kremser, se
simplifie notablement dans le cas particulier o le solvant est
aliment l'tat pur (XN+1=0):(66)(67)
(68)Dans les ouvrages spcialiss, on trouve des courbes donnant
EE et ER en fonction du rapport de partition et du nombre d'tages
thoriques.ER augmente avec r et le nombre d'tages thoriques.EE
diminue avec r mais augmente avec le nombre d'tages
thoriques.L'exprience montre que la solution la plus conomique
correspond gnralement des valeurs du rapport de partition comprise
entre 1,5 et 2.Remarques sur l'hypothse d'tage thorique.Les N
racteurs de la batterie pourront tre considrs comme des tages
thoriques si les compositions du solut dans les deux phases sont en
quilibre thermodynamique au niveau de chacun des mlangeurs. Pour
que cela soit ralis, il est ncessaire que la vitesse de transfert
du solut de la phase raffiner la phase extraire soit infiniment
grande. Dans la pratique, cette vitesse reste finie, tout en
pouvant tre importante, et il est bon de savoir avec quelle
approximation l'hypothse d'tage thorique peut tre
utilise.Considrons par exemple le qe mlangeur. Il est aliment par
un raffinat ayant le titre molaire Yq-1, et un extrait ayant le
titre molaire Xq+l. Au sein du mlangeur, le volume du diluant est
VD et celui du solvant VS. Imaginons une volution en racteur ferm
du qe mlangeur, la composition initiale des deux phases en prsence
tant telle que les rapports molaires du solut dans le diluant et le
solvant soient respectivement gaux Yq-1 et Xq+l. Si ND et NS
reprsentent le nombre de moles de diluant et de solvant l'instant
initial, le bilan du solut entre l'instant t et l'instant t+dt
s'crit:ND dY = NS dX (69)Les deux membres de l'quation (69)
reprsentent le dbit lmentaire de solut transfr entre les deux
phases, dbit que l'on peut crire en fonction des conductances
partielles de transfert sous la forme:(70)o S est la surface
d'change entre les deux phases.En supposant indpendantes du temps
les conductances partielles et la surface d'change, l'intgration
des quations (69) conduit :(71)En outre un bilan global du solut
entre l'instant initial et l'instant t conduit :(72)La relation
(72) se prsente sous la tonne d'une relation linaire et il est
possible connaissant la courbe d'quilibre et les valeurs de ND et
NS d'valuer graphiquement les deux intgrales des relations (71). On
peut ensuite, connaissant S, kY ou kX, estimer le temps ncessaire
pour que les rapports molaires diffrent des rapports molaires
l'quilibre (Yi et Xi) d'un pourcentage donn (par exemple 1%). Les
temps ainsi obtenus, soit t(1%), sont alors compars au temps de
passage des deux phases dans le mlangeur soit:pour la phase
raffiner: pour la phase extraire: (73)
QD et QS reprsentent le dbit volumique du diluant et du
solvant.Si les t(1%) sont ngligeables devant D et E, l'hypothse
d'tage thorique sera justifie. Dans le cas contraire, il faudra
tenir compte de la loi d'change entre les deux phases.L'opration
unitaire que nous allons prsenter dans le paragraphe suivant
correspond ce cas, et les raisonnements que nous dvelopperons
s'appliqueront sans difficult au cas d'une cascade de mlangeurs -
dcanteurs.Prcdent - Table des matires - Suivantb) tude d'une
colonne d'absorption contrecourant.Les colonnes d'absorption
gazliquide sont gnralement cylindriques et verticales. Le liquide
est dispers au sommet de la colonne par l'intermdiaire d'un
distributeur perfor du type pomme d'arrosoir ou d'un atomiseur, le
gaz ascendant est introduit la base de la colonne par
l'intermdiaire de tuyres. Pour amliorer la nature de l'coulement
des deux phases, ainsi que leur mise au contact, on remplit
gnralement la colonne de garnissage de formes varies (Figure
7).Dans certains cas, le garnissage est remplac par des plateaux
perfors ou des plateaux calottes. Signalons enfin que les colonnes
d'absorption peuvent galement fonctionner cocourant. Prcisons
cependant que lorsque les deux types de fonctionnement sont
envisageables du point de vue de l'efficacit, le fonctionnement
contrecourant est toujours plus performant que le fonctionnement
co-courant.Figure 7
1. Anneau Raschig 2. Anneau Lessing 3. Anneau Pal 4. Selle de
Berl 5. Selle Intalox
Lorsque les conditions d'alimentation dans la colonne sont
maintenues constantes, un rgime stationnaire s'tablit
l'intrieur.Nous nous placerons dsormais dans ces conditions.La
thorie simplifie que nous allons prsenter repose sur les hypothses
simplificatrices suivantes: le diluant et le solvant sont
immiscibles quelle que soit la teneur en solut. le solut est
transfr de la phase gazeuse la phase liquide et l'opration de
transfert est isotherme. le solut dissous dans la phase liquide ne
ragit pas chimiquement. Nous nous limitons donc ici l'tude des
absorbeurs non ractionnels. l'coulement des deux phases l'intrieur
de la colonne est du type idal piston et le taux de rtention de la
phase disperse (fraction de volume occupe par la phase disperse
liquide) est constant dans la colonne. la surface de contact entre
la phase liquide et la phase gazeuse par unit de volume de colonne
vide, soit l'aire interfaciale a, est constante dans la colonne. la
courbe d'quilibre ou de partage est une droite de pente m
(constante de Henry). le flux de solut transfr est proportionnel
une force motrice gale l'cart l'quilibre de partage, le coefficient
de proportionnalit, soit le coefficient de transfert de matire,
tant constant dans l'changeur. Bilan global du solut.Nous
caractrisons le solut I dans la phase raffiner et dans la phase
extraire par son rapport molaire, soit respectivement Y et X. Nous
dsignons par XZ et YZ les valeurs des rapports molaires au sommet
de la colonne et par X0 et Y0 les valeurs correspondantes la base
de la colonne.Le solut perdu par la phase raffiner est pass dans la
phase extraire, d'o:(74)que l'on peut crire:(75)Le point
reprsentatif de la section de cote z se dplace sur la droite de
pente passant par le point X0, Y0. C'est la droite d'opration.Bilan
diffrentiel du solut.Le bilan du solut entre les sections de cote z
et z + dz s'crit:(76)d reprsente le dbit de solut transfr de la
phase raffiner la phase extraire. Ce dbit est reli au flux de
transfert par la relation:(77)reprsente la surface d'change par
unit de volume vide de la colonne. C'est donc l'aire interfaciale
a, qui dpend de la texture gomtrique des deux phases (gouttes,
filets, films, bulles, etc.) et de l'hydrodynamique des deux phases
dans la colonne.Le flux de solut peut tre exprim en fonction des
conductances globales de transfert par les relations:(78)Le bilan
diffrentiel du solut s'crit alors sous les formes
suivantes:(79)Hauteur et nombre d'unit de transfert.Avec nos
hypothses simplificatrices sur la constance des conductances
globales et de l'aire interfaciale, l'intgration des quations (79)
conduit aux deux relations suivantes:(80)(81)Les deux intgrales des
relations (80) et (81) sont appeles les nombres d'unit de transfert
de la phase raffiner et de la phase extraire soit:(82)(83)Les deux
groupes situs devant ces intgrales ont comme dimension une
longueur, et par suite des relations (80) et (81) donnant la
hauteur de la colonne, on appelle ces groupes les hauteurs d'unit
de transfert, soit:(84)(85)On a donc:(86)Dtermination des nombres
et des hauteurs d'unit de transfert.Connaissant la droite opratoire
et la courbe d'quilibre, on peut tracer dans tous les cas les
courbes donnant en fonction de Y, et en fonction de X, et dduire
graphiquement les valeurs de (NUT)R et (NUT)E.Dans le cas
particulier (mais frquent pour les absorptions) o la courbe de
partage est une droite de pente m, on peut rsoudre analytiquement
les deux intgrales, et on aboutit au rsultat suivant:(87)(88)o r
est le rapport de partition: Par application de la rgle des
triangles rectangles semblables, les deux logarithmes sont
gaux:(89)On peut en outre dfinir pour chacune des phases, les
efficacits d'change: pour la phase raffiner: (90) pour la phase
extraire: (91) Les deux efficacits peuvent tre relies au nombre
d'units de transfert lorsque la courbe d'quilibre est linaire. Il
suffit d'ailleurs d'valuer une seule des efficacits car ces
dernires restent lies par la relation:(NUT)R = r (NUT)E (92)Les
hauteurs d'units de transfert dpendent de trois grandeurs, savoir:
le dbit de diluant ou de solvant l'aire interfaciale les
conductances de transfert Ces deux dernires grandeurs dpendent de
la nature de la dispersion, mais aussi de la nature de l'coulement,
et donc des dbits respectifs de solvant et de diluant. On remarque
cependant, que dans le cas des colonnes d'absorption
contre-courant, les hauteurs d'unit de transfert restent toujours
comprises entre 0,5 et 2,5m. Pour des conditions opratoires fixes,
la hauteur de la colonne et par suite son prix de revient seront
d'autant plus faibles que les hauteurs d'unit de transfert seront
faibles.Nombre d'tages thoriques de la colonne d'absorption
(NET).Lorsque la loi de partage est linaire, on peut crire les
expressions des NUT sous une forme diffrente, en tenant compte de
la dfinition du rapport de partition:
Figure 8D'aprs la Figure 8, on voit que cela peut s'crire:
(93)(YY*)ml reprsente la moyenne logarithmique de la grandeur
(YY*) entre le bas et le haut de la colonne.De mme:(94)Essayons de
faire le rapprochement de la colonne contre-courant continu avec la
cascade d'tages thoriques contre-courant reprsentative de la
batterie de mlangeurs - dcanteurs tudie prcdemment. Dans le cas
d'une loi de partage linaire, nous avons:
Si on introduit la moyenne arithmtique de YY*, soit:
on obtient:(95)Si on compare les relations (93), (94), (95), les
nombres d'units de transfert ne sont gaux au nombre d'tages
thoriques que pour un rapport de partition gal un. Lorsque le
rapport de partition est diffrent de un, la moyenne logarithmique
s'carte de la moyenne arithmtique, surtout si l'intervalle de
variation des rapports molaires est important.Dans le cas o la
courbe de partage est une droite, on peut trouver une relation
algbrique entre les grandeurs NET, (NUT)E, (NUT)R en utilisant les
dfinitions prcdentes et la relation de Kremser. On aboutit aux
relations:(96)(97)tant donn que dans la pratique r reste compris
entre 0,2 et 2, on peut admettre que les nombres NET et NUTsont
toujours du mme ordre de grandeur. L'avantage des nombres d'units
de transfert par rapport la notion d'tages thoriques apparat dans
les expressions des hauteurs d'unit de transfert qui montre que
l'efficacit de l'changeur dpend de l'hydrodynamique du milieu
diphas, la fois par la vitesse du fluide, par l'aire d'change et
par le coefficient de transfert. Il convient nanmoins d'tre
prudent, le Tableau2 donne quelques valeurs:Tableau 2
r0,10,20,5125
3,92,51,4410,720,5
0,390,50,7211,442,5
On peut comparer les hauteurs d'unit de transfert la hauteur
d'un tage thorique HET dfinie l'aide de la relation:Z= (NET) (HET)
(98)Remarques sur les hypothses simplificatrices.Nous allons
revenir sur deux des hypothses. La premire est relative l'coulement
des deux fluides l'intrieur de la colonne. Des expriences de
distribution de temps de sjour montrent que l'coulement des deux
fluides n'est pas du type idal piston mais plutt du type
diffusionnel piston avec change de matire lorsqu'une fraction du
fluide gazeux ou liquide peut tre emprisonne l'intrieur du
garnissage. Il existe l'heure actuelle des mthodes permettant de
prendre en compte ces carts d'idalit par rapport l'coulement
piston.Parmi les diffrentes hypothses, nous avons suppos que les
conductances globales de transfert taient constantes dans la
colonne. Dans le cas de l'absorption, on observe exprimentalement
que les conductances dfinies par rapport une force motrice gale une
diffrence de titre molaire sont moins sensibles des variations que
celles dfinies partir des rapports molaires. Certes, dans les
colonnes d'absorption, les teneurs en solut sont faibles mais
puisque le but principal de ces appareils est, dans de nombreux
cas, de rduire l'tat de traces ces impurets, l'hypothse consistant
ne pas diffrencier rapport et titre molaire n'est pas toujours
justifie. Signalons que la loi de Henry n'est vraiment linaire qu'
condition d'utiliser les titres molaires. Malgr les restrictions
indiques cidessus sur les conductances, la courbe d'opration
rsultant du bilan global pourra tre assimile dans de nombreux cas
une droite, mme dans le cas o les teneurs en solut sont repres par
leur titre molaire.I. Bilans de matire, d'nergie et de quantit de
mouvementA. Introduction1. Dfinition d'un systme.1. On appelle
systme l'ensemble de la matire situe l'intrieur d'un volume V
dlimit par une enveloppe ferme de surface externe S. La matire
situe l'extrieur de cette surface constitue le milieu extrieur. 2.
Si, durant le temps d'observation, le systme n'change pas de matire
avec le milieu extrieur, on dit qu'il est ferm. Dans le cas
contraire, on dit qu'il est ouvert. Suivant les circonstances, il
pourra ventuellement tre semi-ouvert, ou semi-ferm. Seul le systme
ouvert peut fonctionner en rgime stationnaire ou permanent. 3. De
manire analogue, un systme sera qualifi d'isol s'il n'a pas
d'change de chaleur avec le milieu extrieur. Il sera non-isol, s'il
y a change de chaleur. 4. Un systme est caractris par deux
catgories de paramtres: des grandeurs extensives, qui sont
fonctions du systme choisi: masse, nombre de moles, ... des
grandeurs intensives, indpendantes du choix du systme: densit,
concentration, ... Les extensits sont additives, les tensions ne
sont pas additives.5. Le nombre d' Avogadro (6 1023) suffit
expliquer pourquoi on considre un systme sous l'angle
macroscopique. 6. Un systme est en quilibre si aucune de ses
proprits macroscopiques n'volue dans le temps. Mais un systme
ouvert en rgime permanent n'est pas en quilibre! 7. Un systme
volue, spontanment ou pas, pour atteindre un tat d'quilibre. 8. On
se reportera avantageusement un cours de thermodynamique. 2. Les
contraintes d'un systme.Le rgime de fonctionnement d'un appareil
physico-chimique quelconque rsulte de la combinaison d'un trs grand
nombre de facteurs caractrisant soit la transformation chimique
elle-mme, soit les processus de transport de matire, de chaleur et
de quantit de mouvement, etc. On appelle contraintes du systme
toutes les relations mathmatiques entre ces diffrents
facteurs.Quand on dcrit mathmatiquement le fonctionnement d'un tel
systme, il est parfois difficile d'tre certain d'avoir tenu compte
de toutes les contraintes, et inversement, il est difficile de
s'assurer que les nombreuses relations mathmatiques que l'on est
tent d'crire sont rellement indpendantes les unes des autres.En
dnombrant toutes ces relations, on admet gnralement qu'elles
appartiennent aux sept groupes suivants:a) Principes de
conservation de grandeurs extensives. conservation de la matire
conservation de l'nergie conservation de la quantit de mouvement
conservation de la charge lectrique b) Les lois d'quilibre
statique, exprimant un quilibre mcanique, physique ou chimique.Ces
lois constituent des applications sous diverses formes du premier
principe de la thermodynamique. Par exemple, pour exprimer
l'quilibre mcanique d'un systme, on crit que la rsultante et le
moment rsultant des forces appliques au systme sont nuls.
L'quilibre physico-chimique d'un systme s'exprime par l'galit des
potentiels chimiques de chacun des constituants dans chacune des
phases en prsence.c) Les lois cintiques exprimant le sens et la
vitesse d'volution d'un systme.En fait, le sens de l'volution d'un
systme isol quelconque est fix par une loi unique: le second
principe de la thermodynamique, qui nonce que l'entropie de ce
systme ne peut qu'augmenter.L'expression de la vitesse de cration
d'entropie dans le systme constituerait un moyen unique et trs
gnral de mesure de la vitesse d'volution du systme, mais cette
mthode est trop abstraite pour tre utilise pratiquement, surtout
l'chelle industrielle. En outre, cette loi cintique gnrale ne nous
renseignerait que sur l'volution du contenu nergtique global du
systme, alors que nous sommes au contraire intresss par l'volution
et la conversion, les unes dans les autres, des divers constituants
et des diverses formes d'nergie d'un systme.C'est ce qui justifie
l'importance pratique des nombreuses lois qui rgissent les vitesses
des divers processus lmentaires: vitesses des ractions chimiques,
vitesses des transports de matire (loi de Fick), de chaleur (loi de
Fourier), de quantit de mouvement (loi de Newton), d'lectricit (loi
d'Ohm), etc.d) Les relations capacitives.Ce sont celles qui
expriment la quantit, par unit de volume, de chacune des grandeurs
extensives (matire, chaleur, lectricit et quantit de mouvement).e)
Les relations de texture gomtrique.Ces relations sont toutes celles
qui donnent 1a forme et les dimensions d'un appareil ou d'un
domaine de phase: par exemple la distribution des diamtres de pores
dans un catalyseur solide, la distribution des diamtres de gouttes
dans une mulsion, etc. Ce sont galement les relations qui donnent
la distribution des temps de sjour d'un fluide s'coulant travers le
systme, etc.Ces cinq groupes de relations caractrisent les proprits
gomtriques, physiques et chimiques d'un systme. Si, de plus, on
dsire tudier le fonctionnement du systme sous son aspect conomique,
il faut introduire deux nouveaux groupes de relations.f) Les
formules de prix.g) Les quations d'optimisation.Ces deux groupes de
relations sortent compltement du champ d'tudes qui est le ntre pour
cette U.V.Prcdent - Table des matires - SuivantB. Les lois linaires
de transport et de capacit.1. Les lois linaires de transport
molculaire.Considrons un milieu qui est la fois immobile (aucun
coulement d'ensemble) et tranquille (aucun remous ni tourbillon).
Les seuls mouvements possibles se font l'chelle
molculaire.L'agitation thermique des molcules, des ions ou des
lectrons libres au sein de la matire, entrane des volutions
macroscopiques de systmes, que nous dcrivons par des lois notre
chelle, dont les plus simples sont les lois linaires suivantes:La
loi de Fick: (1)exprime qu'au sein d'un mlange A+B, de composition
non homogne, le flux M du constituant A (nombre de moles traversant
par diffusion un m2 par seconde) est proportionnel au gradient de
concentration de ce constituant, dans la direction du flux. D est
le coefficient de diffusion de A dans B (qu'on appellera plus loin:
diffusivit).La loi de Fourier: (2)exprime qu'au sein d'un milieu
tranquille temprature non uniforme, le flux de chaleur (joules par
m2 et par seconde) est proportionnel au gradient de temprature dans
la direction du flux. est la conductivit thermique du
milieu.Supposons maintenant pour la loi suivante, que le fluide
soit en coulement laminaire: les filets de fluide s'coulent
paralllement avec des vitesses diffrentes et le frottement visqueux
est d des changes de molcules entre filets voisins.La Loi de Newton
(3)nonce que la contrainte tangentielle de frottement visqueux des
filets les uns sur les autres, en newton par m2, est
proportionnelle au gradient de la vitesse d'coulement des filets,
normalement cet coulement (x est le sens de l'coulement, y la
normale x). Or la contrainte (dimension d'une pression: MLT-2 L-2
ML-1T-2) peut aussi tre prsente comme un flux de quantit de
mouvement en kg.m.s-1 par m2 et par seconde, (dimension: MLT-1 L-2
T-1 ML1T2). est la viscosit dynamique du fluide.En adoptant le
langage de la thermodynamique des phnomnes irrversibles, nous
exprimerons ces trois lois cintiques par la mme formulation
mathmatique, en introduisant les notions d' extensit (grandeur de
position) et de potentiel (grandeur de tension):(flux d'extensit) =
(conductivit) (gradient de potentiel)(4)
LoiExtensitPotentielConductivitquation
FickNombre de moles d'un constituant d'un mlangeConcentration
molaire du constituantD: coefficient de diffusion
FourierQuantit de chaleurTemprature: conductivit thermique
NewtonQuantit de mouvementVitesse d'coulement: viscosit
dynamique
2. Les lois linaires de capacit.Considrons un domaine d'espace
dans lequel s'coule l'une des trois extensits prcdentes. En chaque
point du domaine existe, l'tat stationnaire, une certaine
concentration de cette extensit, c'est--dire une densit volumique g
de l'extensit, qui est fonction de la valeur locale du
potentielV.On crira que, en premire approximation, la relation
entre ces deux grandeurs est linaire:g - g0 = c (V - V0)L'chelle
des potentiels ayant une origine arbitraire, on prendra:(5)(densit
volumique d'extensit) = (capacit) . (potentiel)Le facteur de
proportionnalit ainsi dfini est la capacit du milieu au point
considr.Pour un transport de chaleur la capacit thermique est le
produit de la chaleur spcifique massique par la masse
volumique.Pour le transport d'un constituant de mlange, par
diffusion molculaire, la capacit est gale l'unit car la
concentration d'extensit et le potentiel sont une seule et mme
grandeur (dans le cas particulier d'une solution idale).Pour
l'coulement laminaire d'un gaz parfait, la relation entre la masse
volumique et la pression est:
La capacit du milieu est donc: Au contraire, la capacit d'un
fluide incompressible est nulle puisque est une constante.3. Les
systmes doublement linaires.On combine habituellement les deux lois
linaires fondamentales prcdentes, en liminant le potentiel entre
leurs deux expressions:avec D = / c (6)D est la diffusivit du
milieu. On vrifiera aisment que D a la mme dimension (L2T-1) quelle
que soit l'extensit transporte, et s'exprime donc toujours en mtre
carr par seconde.4. Les actions de transport l'chelle des
agrgats.Tout ce qui vient d'tre dit sur les transports de matire,
de chaleur et de quantit de mouvement par migrations et chocs de
molcules peut tre intgralement et exactement rpt en changeant
d'chelle, C'est--dire en considrant les migrations et les chocs de
grains de matire qui sont des agrgats dont chacun est compos d'un
grand nombre de molcules.Par exemple dans un lit fluidis (lit de
grains solides maintenus en tat d'agitation permanente par
l'coulement d'un fluide au travers du lit), on peut dfinir une
viscosit du milieu fluidis. On peut de mme mesurer la diffusion des
grains dans le lit ainsi que la conduction thermique qui dpend la
fois de la chaleur transporte par la migration des grains et de
celle transfre au cours des chocs entre les grains.De mme, dans
l'co
