Introduction aux systemes dynamiqueset differentes stabilites du mouvement

(boularas@unilim.fr)

IREM de LimogesLimoges, vendredi 6 avril 2006

Driss BOULARAS Introduction aux systemes dynamiques et differentes stabilites du mouvement

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Systemesdifferentiels

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Iterationsd’applications

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Diverses utilsationsde la terminologie

“systemes dynamiques”

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billards, automates, systemes d’evolution (edp), . . .

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Un concept (avec deux variantes) unit cesdifferentes formes d’existence de systemesdynamiques :

Il s’agit d’une action d’un groupe (ou monoide)totalement ordonne sur un ensemble.

Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Nous devons envisager l’etat present de l’univers commel’effet de son etat anterieur et comme la cause de celuiqui va suivre.Theorie analytique des probabilites, 1812

Option prise pour la suite :

Quand il s’agit d’actions de groupes, nous parleronsde systemes dynamiques et quand il s’agit d’actions demonoides, de systemes semi-dynamiques.

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Dans la suite, un systeme dynamique (ou flot) est un triplet(X ,R, ϕ) ou l’application

ϕ : R× X → X

jouit des proprietes suivantes :

∀ x0 ∈ D, ϕ(0, x0) = 0;

∀ x0 ∈ D, ∀ t, s ∈ R, ϕ(t, ϕ(s, x0)) = ϕ(t + s, x0).

Lorsque ϕ est continue, on dit que le triplet (X ,R, ϕ) est unsysteme dynamique topologique.Voir George David Birkhoff, (1884 - 1944), M.V. Bebutov(1913-1942),A.A. Andronov (1901-1952), . . .

La classe de differentiabilite du flot est celle de ϕ.

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Quelques definitions de base

1. point d’equilibre : c’est un point x de X tel que∀ t ∈ R, ϕ(t, x) = x .2. trajectoire d’un point x : γx = ϕ(t, x); t ∈ R.3. mouvement du point x : c’est la fonction ϕx : R→ X definiepar

ϕx(t) = ϕ(t, x).4. Ensembles invariants5. mouvement periodique de x : ϕx est periodique.6. mouvement presque periodique de x :

∀ ε > 0, ∃T > 0; ∀ t0 ∈ R, ∃ τ ∈ [t0, t0 + T ];∀ t ∈ R, d(ϕx(t + τ), ϕx(t)) < ε.

P. Franklin (1929), H. Bohr (1934), et un Limousin ??? (1933)

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Construction de systemes dynamiques a partir desystemes d’equations differentielles (forme resolue)

dp1x1dtp1 = F1(t, x1, . . . , x

(p1−1)1 , . . . , xn, . . . , x

(pn−1)n ),

...

dpnxndtpn = Fn(t, x1, . . . , x

(p1−1)1 , . . . , xn, . . . , x

(pn−1)n ).

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1. Normalisation en systemes vectoriels d’ordre 1.

=⇒ dX

dt= F (t,X ).

2. Elargissement de l’espace de phases pour “rendre” autonomesou stationnaires les systemes differentiels non autonomes.

=⇒ dX

dt= F (X ).

3. On suppose que F est de classe C1 dans un domaineD ⊂ Rn. Alors, quel que soit x0 ∈ D, le probleme de Cauchy

dX

dt= F (X ), x(0) = x0

admet une solution unique, definie sur un intervalle ]− tx0 , tx0 [.4. Les partitions de D en trajectoires des systemes differentiels

dX

dt= F (X ) et

dX

dt=

F (X )√1 + ||F (x)||2

sont identiques et les solutions du second systeme sont toutesdefinies sur R.

5. Conclusion :

le triplet (D,R, ϕ) est un systeme dynamique.

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Selon Youri Ilyashenko, l’histoire des systemes dynamiques a connutrois periodes bien distinctes.

1. La periode Newton : on vous donne une equationdifferentielle; resolvez-la.

2. La periode Poincare : on vous donne une equationdifferentielle;sans la resoudre, etudiez le comportement qualitatif de sessolutions.

3. La periode Andronov : on ne vous donne pas d’equationdifferentielle; etudiez le comportement qualitatif des solutions.

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La periode Newton

1. Les equadiff au XVIIeme siecle : Fermat, Newton, Leibniz,Huyguens, les Bernouilli.(Resolution de problemes geometriques, de mecanique, Initiationdes premieres methodes : series, separation de variables, . . . )

2. Les equadiff au XVIIIeme siecle : les Bernouilli, Euler, Lagrange,Legendre, Taylor, . . .(variations, optimisation, integration par parties, variation de lacte, . . . )

3. Les equadiff dans la premiere moitie du XIXeme siecle :Liouville, Gauss, Cauchy, Fourier, Hamilton, Bessel, . . .(Importance de la variable complexe, resolution dans des classesparticulieres de fonctions, reduction, transformation, simplification,. . . )

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E. Kamke ( Differentialgleichungen, Losungsmethoden undLosungenA.D. Polyamin et V. F. Zaitsev; Handbook of Exact Solutioans forDifferential Equations; CRC Press, New York, 1995

4. Les equadiff dans la deuxieme moitie du XIXeme et au debut duXXeme siecles :

a tout en maintenant le cap sur la resolution des equadiff, lestravaux commencaient a s’ouvrir versdes questions plus theoriques comme l’existence et l’unicitedes solutions, l’utilisation d’instruments fortement algebriques(Cauchy, Picard, Peano, Liouville, Vessiot, . . . )

b Apparition des methodes numeriques avec Runge (1856-1927)et Kutta (1867-1944)

c Naissance de la theorie qualitative avec H. Poincare(1854-1912)

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La periode Poincare

“Courbes definies par les equations differentielles”, 1879”Les methodes nouvelles de la mecanique celeste” , 1898

En quoi consiste la theorie qualitative?

1. Considerer les trajectoires et ensembles invariants commeobjets geometriques et topologiques.

2. Etudier les trajectoires dans leur espace de phases, pris danssa totalite.

3. Distinguer parmi les trajectoires et ensembles invariants ceuxqui jouent un role determinant comme les points singuliersfinis ou infinis, les trajectoires fermees, les separatrices, . . . .

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Deux exemples (generiques) d’etude qualitative

Theorie de Poincare-Bendixon

1. A l’interieur de tout cycle limite, il existe un point singulier(ou d’equilibre).

2. Toute solution positivement bornee d’un systeme differentieldefini dans un domaine simplement connexe du plan tend versun point d’equilibre ou s’enroule sur un cycle limite.

3. Si dans un domaine simplement connexe,la divergence duchamp de vecteurs ne change pas de signe, il n’existe pas decycle limite dans ce domaine.

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Stabilite au sens de Lyapounov

Une solution ϕ( · , x0) est dite positivement stable au sens deLyapounov si

∀ε > 0,∃δ > 0;∀x ∈ B(x0, δ), ∀ t ≥ 0, ||ϕ(t, x) − ϕ(t, x)|| < ε.

Une solution ϕ( . x0) est dite asymptotiquement stable au sens deLyapounov si elle stable et attractive, c’est-a-dire, si en plus de lastabilite,

limt→∞

||ϕ(x , t) − ϕ(x0, t)|| = 0.

Selon B.M. Demidovitch, les outils qui permettent d’etudier lastabilite au sens de Lyapounov se repartissent en deux categoriesappelees premiere et deuxieme methodes.

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Premiere methodeBasee essentiellement sur l’etude du linearise du systemedifferentiel.(reprendre la definition de la stabilite Λ+ dans le cas nonautonome)

1. Cas des systemes lineaires (en general, non autonomes). On ales equivalences :stabilite de la solution x = 0⇐⇒“bornitude” de la matricefondamentale.stabilite asympt. de x = 0⇐⇒ x = 0 est attractif.

2. Recours aux exposants de Lyapounovξ(f ) = lim supt→+∞

ln(|f (t)|)t .

stabilite de la solution x = 0⇐⇒.stabilite asympt. de x = 0⇐⇒ maxα1, . . . , αs < 0.

3. Theoremes de Eruguin, de Perron, . . .

4. Equivalence avec le linearise (modulo le type de stabilite).

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Deuxieme methodeBasee sur l’usage des fonctions de Lyapounov.Definitions des fonctions positive, definie positivePremier theoreme de Lyapounov

Stabilite de x = 0⇐=il existe (dans un voisinage de x = 0) unefonction de Lyapounov definie positive telleque sa derivee selon le systeme soit negative.

Deuxieme theoreme de Lyapounov

Stab. asympt. de x = 0⇐=

il existe (dans un voisinage de x =0) une fonction de Lyapounov definiepositive telle que sa derivee selon lesysteme soit definie negative.

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Troisieme theoreme de Lyapounov et Theoreme de Tchetaev

Conditions suffisantes sur l’instabilite.

Theoreme de Persidskii

Sur une reciproque du premier theoreme de Lyapounov.

Sinon, jusqu’ a present, les travaux sur la “production”, lageneralisation et les applications des fonctions de Lyapounovrestent toujours prolifiques (voir les rencontres organises parMatrossov, . . . ).

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La periode Andronov

Deux domaines pour l’illustrer .

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Stabilite au sens de Poisson

Points ω-limites et α-limites

Soit (R,X , ϕ) un systeme dynamique topologique. On appellepoint ω-limite (resp. α-limite) de x ∈ X ou de sa trajectoire γx ,tout element y de X tel qu’il existe une suite (tn) ∈ R verifiant

limn→∞ tn = +∞ (resp. −∞) et limn→∞ ϕ(tn, x) = y .

Notation : Ωx = points ω-limites de x, Ax = pointsα-limites de x.

Proprietes des ensembles Ωx et Ax

Les ensembles limites Ωx et Ax sont

1. invariants,

2. fermes,

3. ∀ z ∈ γx , Ωz = Ωx .

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Une solution ϕ( · , x) est dite

1. positivement stable au sens de Poisson si Ωx⋂γx 6= ∅,

2. negativement stable au sens de Poisson si Ax⋂γx 6= ∅,

3. stable au sens de Poisson si elle est a la fois positivement etnegativement stables au sens de Poisson.

Un exemple important (et theoreme)Dans le cas ou D ⊂ R2, les seuls points stables au sens de Poissonsont les points d’equilibre (stationnaires) et les points periodiques.

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Par contre,dans le cas ou D est une variete de dimension deux, il existe desmouvements stables au sens de Poisson qui ne sont ni des pointsd’equilibre, ni des points periodiques (prendre une equationdifferentielle sur un tore, avec un second membre egal a uneconstante irrationnelle).

Ces deux faits montrent l’importance de la classification desmouvements recurrents (due a G. Birkhoff et completee par B. A.Shcherbakov) basee sur la caracterisation :

Un mouvement ϕ( · , x) est positivement stable ausens de Poisson si, et seulement si,

∀ ε > 0, ∀ t0 ∈ R, ∀ y ∈ γx , ∃T (ε, t0, y) > 0;d(y , ϕ([t0, t0 + T (ε, t0, y)], x) < ε.

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Classification des mouvementspositivement stables au sens de Poisson

1. On peut choisir T independamment de ε : on montre alorsque cela n’est possible que si le mouvement est stationnaireou periodique.

2. On peut choisir T independamment de t0 : cela correspondaux mouvements dits presque recurrents.

3. On peut choisir T independamment de y : Shcherbakovappelle de tels mouvements, pseudo-recurrents.

4. On peut choisir T independamment de t0 et y : on retrouveune caracterisation des mouvements recurrents.

5. Mouvements presque periodiques.

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Stabilite structurelle

a suivre a suivre a suivre a suivre a suivre

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