INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilité dinvestir 250 $ aujourdhui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années

INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilit dinvestir 250 $ aujourdhui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines annes (temps 1 5). 60 $ 01 23 45 250 $ Capital investi

Est-ce avantageux ? Pouvons-nous additionner les cinq revenus de 60 $ et les comparer au 250 $ daujourdhui ? 250 $ aujourdhui =, > ou < la somme des 60 $ des 5 prochaines annes ? 01 23 45 250 $ 60 $

Quest-ce qui faut faire pour comparer ? Ramener les 60 $ des annes 1 5 en $ daujourdhui. Hypothse : taux de 6% lan. 01 23 45 250 $ 60 $ ? ? ? ? ? MCANISME DACTUALISATION

Transformer tous les montants en cause en $ de lanne 5. MCANISME DE CAPITALISATION 01 23 45 250 $ 60 $ ? ? ? ?

LINTRT Pour le prteur: Cest le sacrifice de ne pas profiter dun montant certain et immdiat en retour dun montant incertain et ultrieur. Pour lemprunteur Cest le prix de ne pas attendre pour bnficier dune opportunit immdiate. Cest le prix du temps.

LINTRT SIMPLE Lintrt est simple sil est toujours calcul sur le montant plac ou emprunt initialement Donc les intrts encaisss ou dbourss sont les mmes.

DMONSTRATION Vous dposez 100 $ dans un compte intrt simple annuel de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumul la fin de la troisime anne. Lintrt simple nest vers quau terme de la transaction et il est toujours calcul sur le capital initial de 100 $ de sorte quil est toujours gal chaque priode.

SCHMATISATION 01 23 100 $ 5 $ Capital investi Total des intrts = Remise du capital = Capital accumul = Aprs 3 ans

DMONSTRATION Lorsquil ny a que quelques priodes, cest simple, mais quen est-il sil y a plusieurs priodes.

FORMULE AnsPrincipal au dbut + Intrt annuel = Montant accumul NPVS FV =PV + [(PV * I) * (N)] FV =PV + PV * I * N FV =PV * (1 + IN) S =PV * I * N =FV - PV

APPLICATIONS DE LINTRT SIMPLE Les certificats de dpt Les certificats de dpt sont des prts queffectuent les investisseurs aux institutions financires. Ces certificats sont mis leur valeur nominale et rapportent de lintrt. Leur chance peut varier entre 30 jours et 5 ans. Le taux dintrt offert sur un certificat de dpt dpend principalement de la dure du placement. Habituellement, plus les fonds sont placs pour une longue priode, plus le taux dintrt offert par les institutions financires est lev.

EXEMPLE 1 Vous dsirez placer 1 000 $ dans un certificat de dpt qui rapporte un intrt simple de 10 % par anne. La dure de ce placement est de trois ans. Quel sera le montant annuel dintrt ? Calculez le montant total qui vous sera vers au cours de la dure de ce placement. FV =PV * (1 + IN) = = = S =PV * I * N = =

APPLICATIONS DE LINTRT SIMPLE Le prt intrt simple Le prt intrt simple est quivalent aux certificats de dpt lexception quil peut tre effectu dun particulier un autre particulier. Lchance est variable.

EXEMPLE 2 Suite un prt de 3 000 $ consenti pour une priode de 219 jours, un de vos amis vous a remis la somme de 3 216 $. Calculez le taux dintrt annuel sur ce prt. FV =PV * (1 + IN) = 3 000 * (1 + I* 219 / 365) = 3 000 + 3 000 I * 0,60 = 1 800 I = = I = I

EXEMPLE 3 Calculez le montant accumul dun dpt de 25 000 $ plac pendant 7 ans un taux dintrt simple de 8 %. FV =PV * (1 + IN) = = =

EXEMPLE 4 Calculez lintrt simple dun dpt de 10 000 $ plac 9 % pendant 4 ans et demi. S =PV * I * N = =

EXEMPLE 5 Vous empruntez votre pre 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. Lemprunt est un taux dintrt simple de 6 % par anne. Combien aurez-vous rembours au total dans 6 ans ? FV =PV * (1 + IN) = = =

EXEMPLE 6 Un ami vous a prt 1 000 $ pour un an intrt simple et vous devez lui remettre 1 080 $ la date dchance. quel taux avez-vous emprunt ? FV =PV * (1 + IN) = 1 000 * (1 + I* 1) = 1 000 + 1 000 I = 1 000 I = = I = I

EXEMPLE 7 Un autre ami vous a prt 1 000 $ pour trois ans intrt simple et vous devez lui remettre 1 270 $ la date dchance. quel taux avez-vous emprunt ? FV =PV * (1 + IN) = 1 000 * (1 + I* 3) = 1 000 + 3 000 I = 3 000 I = = I = I

EXERCICES Exercices 1 9

LINTRT COMPOS La notion dintrt compos signifie que lintrt gagn pendant une priode, pour porter son tour intrt au cours de la priode suivante. Nous sommes alors en prsence de. Donc les intrts touchs vont en de priode en priode. La plupart des transactions financires, dont notamment, les prts, les prts, les contrats de, le crdit la consommation (carte de crdit) sont tous des exemples faisant appel au concept de lintrt compos.

DMONSTRATION Vous dposez 100 $ dans un compte intrt compos annuellement de 5 % pendant 3 ans. Quel sera le montant accumul la fin de la troisime anne. Pour la premire anne, de diffrence. partir de la anne, les montant sont diffrents.

SCHMATISATION Total des intrts = Remise du capital = Capital accumul = Aprs 3 ans 01 23 100 $ 5 $5.25 $ 5,51 $

DMONSTRATION Lorsquil ny a que quelques priodes, cest simple, mais quen est-il sil y a plusieurs priodes.

FORMULE AnsPrincipal au dbut + Intrt annuel = Montant accumul = NPVSFV 110(10 * 0,10) = 10 + 10 * 0,10

FORMULE AnsPrincipal au dbut + Intrt annuel = Montant accumul = NPVSFV 110(10 * 0,10)10 * (1 + 0,10) = 1 2 11 [10 * (1 + 0,10)] * 0,10 1 [10 * (1 + 0,10)] * (1 + 0,10) = (10 + 10 * 0,10) * (1 + 0,10) = 10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 + 10 * 0,10 *0,10

FORMULE AnsPrincipal au dbut + Intrt annuel = Montant accumul = NPVSFV 110(10 * 0,10)10 * (1 + 0,10) = 1 2 1 [10 * (1 + 0,10) 1 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) 1 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) 2 3 2 [10 * (1 + 0,10) 2 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) 2 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) 3 N N-1 [10 * (1 + 0,10) N-1 ] * 0,10[10 * (1 + 0,10) N-1 ] * (1 + 0,10) =10 * (1 + 0,10) N FV Anne 1 =10 * (1 + 0,10) OU FV Anne 2 =10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) =PV * (1 + I) 1 =PV * (1 + I) 2 FV Anne 3 =10 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) =PV * (1 + I) 3 FV Anne N =PV * (1 + I) N

EXEMPLE 1 Un industriel vient de ngocier un taux dintrt de 9 % compos annuellement pour un placement de 100 000 $ dans une institution financire pour une priode de quatre ans. Quel sera le montant dintrt gagn pour chacune des priodes et quel montant cette transaction permettra-t-elle daccumuler au bout de ces quatre ans ? FV = PV * (1 + I) N = = = AnneSolde au dbutIntrt encaissMontant accumul 1100 000100 000 * 0,09 = 9 000109 000 2 109 000 * 0,09 = 9 810118 810 118 810 * 0,09 = 10 6933118 810129 503 129 503 * 0,09 = 11 6554129 503141 158

EXEMPLE 2 Calculez le montant accumul dun dpt de 25 000 $ plac pendant 7 ans un taux dintrt compos de 8%. FV = PV * (1 + I) N = = =

EXEMPLE 3 Calculez lintrt dun dpt de 10 000 $ plac 9 % pendant 4 ans et demi intrt compos. FV = PV * (1 + I) N = 4,5 = = S =FV - PV = =

EXEMPLE 4 Vous empruntez votre pre 5 000 $ remboursable dans 6 ans afin de vous acheter une automobile. Lemprunt est un taux dintrt compos de 6 % par anne. Combien aurez-vous rembours au total dans 6 ans ? FV = PV * (1 + I) N = = =

EXEMPLE 5 Un ami vous a prt 1 000 $ pour un an intrt compos et vous devez lui remettre 1 080 $ la date dchance. quel taux avez-vous emprunt ? FV = PV * (1 + I) N = 1 000 * (1 + I) 1 = (1 + I) 1 = 1 + I = I = I

EXEMPLE 6 Un autre ami vous a prt 1 000 $ pour trois ans intrt compos et vous devez lui remettre 1 270 $ la date dchance. quel taux avez-vous emprunt ? FV = PV * (1 + I) N = 1 000 * (1 + I) 3 = (1 + I) I = = )1(3I + = (1 + I) 3

EXERCICES 10 23

FRQUENCE DE CAPITALISATION DES TAUX La frquence de indique la base sur laquelle les sont ajouts. Annuelle Les intrts sont ajouts fois par anne. Semestriellement Les intrts sont ajouts fois par anne. Trimestriellement Les intrts sont ajouts fois par anne. Mensuellement Les intrts sont ajouts fois par anne.

EXEMPLE Imaginez que vous venez de gagner la loto un montant de 500 000 $. Vous dsirez placer cet argent pour 10 ans. Trois banques vous offrent les possibilits suivantes: Banque A: Un taux de 12,00 % capitalisation annuelle. Banque B: Un taux de 11,75 % capitalisation mensuelle. Banque C: Un taux de 11,50 % capitalisation quotidienne. Quelle offre allez-vous choisir ? Pour faire ce choix, il faut manipuler trois types de taux dintrt.

LES TYPES DE TAUX DINTRT Le taux dintrt. Cest le taux dintrt nomm, cest--dire le taux quon affiche. Cest le taux dintrt. Dans notre exemple: Banque A: Banque B: Banque C: Est-ce que nous pouvons prendre une dcision laide de ces taux ?

LES TYPES DE TAUX DINTRT Le taux dintrt. Cest le taux dintrt quon applique chaque. Si la priode de capitalisation est, le taux dintrt priodique sera un taux. On obtient le taux dintrt priodique en divisant le taux par le nombre de priodes de composition du taux dans une.

LES TYPES DE TAUX DINTRT i = Le taux dintrt. I = Le taux dintrt I = i * m. m = Le que le taux est capitalis dans une. N = Lchance en, dune transaction. n = Le nombre total de ou de n = N * m. i = I / m

LES TYPES DE TAUX DINTRT Dans notre exemple: Banque A: i = I / m = Banque B: i = I / m = Banque C: i = I / m = Est-ce que nous pouvons prendre une dcision laide de ces taux ? Par contre, nous pouvons calculer la valeur du placement une date donne afin de dterminer quel est le choix logique.

LES TYPES DE TAUX DINTRT Supposons quon veuille calculer la valeur capitalise de 500 000 $ aprs 2 ans pour chacune des 3 banques : On sait dj que: FV = PV * (1 + I) N Toutefois, cette formule nest valide que dans le cas dune capitalisation. Il faut donc la transformer de la faon suivante: FV n = Comme I/m = i et que N*m = n, la formule est reprsente de la faon suivante: FV n =

LES TYPES DE TAUX DINTRT Dans notre exemple: Banque A: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*1 = 500 000 * (1 + 0,12/1) 2*1 FV 2 = Banque B: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*12 = 500 000 * (1 + 0,1175/12) 2*12 FV 24 = Banque C: FV n = PV * (1 + i) n FV 2*365 = 500 000 * (1 + 0,1150/365) 2*365 FV 730 = Est-ce que nous pouvons prendre une dcision laide de ces rsultats ?

EXERCICES 24 38

LES TYPES DE TAUX DINTRT Le taux dintrt. Cest le rapport de lintrt (valeur future moins la valeur prsente) dans une anne sur le capital (valeur prsente). i e =

LES TYPES DE TAUX DINTRT Dans notre exemple: Banque A: i r = (FV n PV) / PV FV 1*1 = ([500 000 * (1 + 0,12/1) 1*1 ] 500 000) / 500 000 FV 1 = Banque B: i r = (FV n PV) / PV FV 1*12 = ([500 000 * (1 + 0,1175/12) 1*12 ] 500 000) / 500 000 FV 12 = Banque C: i r = (FV n PV) / PV FV 1*365 = ([500 000 * (1 + 0,1150/365) 1*365 ] 500 000) / 500 000 FV 365 = Est-ce que nous pouvons prendre une dcision laide de ces rsultats ?

LES TYPES DE TAUX DINTRT Le taux dintrt effectif : Une formule simple Prenons 1 $ capitalis 12 fois par an un taux de 10 % pendant un an. FV n = PV * (1 + i) n FV n = i= I / m n = N * m

LES TYPES DE TAUX DINTRT Cela correspond 1 $ capitalis 1 fois par an une taux de 10,47 % i e = (FV n PV) / PV i e = FV n = i e = i= I / m n = N * m

LES TYPES DE TAUX DINTRT Le taux dintrt effectif : Une formule simple i e = (1 + i) m - 1 Dans notre exemple: Banque A: i e = (1 + i) m - 1 i e = Banque B: i e = (1 + i) m - 1 i e = Banque C: i e = (1 + i) m - 1 i e = Le taux effectif est le seul taux quon puisse comparer dune institution lautre.

EXERCICES 39 40

LES ANNUITS On appelle annuit toute srie de faits des intervalles de temps gaux, mme si ces intervalles sont des ou des.

LES SORTES DANNUITS Les annuits.

LES ANNUITS SIMPLES Nous avons une annuit simple lorsque la frquence de la (m) est la mme ou concide avec la frquence des (v). titre dexemple, le prt et le prt sont des annuits simples puisque les versements sont et la capitalisation des intrts est galement mensuelle.

LES ANNUITS GNRALES Nous avons une annuit gnrale lorsque la frquence de la (m) est diffrente de la frquence des (v). titre dexemple, le prt est une annuit gnrale puisque les versements sont habituellement ou hebdomadaire alors que la capitalisation des intrts est semestrielle.

LES ANNUITS DE FIN ET DE DBUT DE PRIODE Les annuits simples et gnrales seront dites de fin ou de dbut de priode selon le o le premier versement est effectu. Dans le cas dun prt automobile ou dun prt hypothcaire, le premier versement est habituellement payable un mois aprs avoir contract lemprunt. Cest une annuit de fin de priode. Dans le cas dun contrat de location-achat et de divers comptes de placements tels que les RER, le premier versement est d ou payable. Cest une annuit de.

La valeur accumule dune annuit simple de fin de priode - Dmonstration Vous dcidez de verser la fin de chaque anne pendant 5 ans, un montant de 100 $ dans un RER. Si les versements portent intrt 7 % compos annuellement, quel sera le montant que vous accumulerez dans 5 ans ?

La valeur accumule dune annuit simple de fin de priode 01 23 45 100 $ ? ? ? ? 100 * (1 + 0,07) 4 = 100 * (1 + 0,07) 3 = 100 * (1 + 0,07) 2 = 100 * (1 + 0,07) 1 = 100 * (1 + 0,07) 0 = =

FORMULE FV = PMT * (1 + i) n 1 i FV =

EXEMPLE 1 Vous dposez compter de la fin du mois et ce mensuellement un montant de 350 $ dans un compte dpargne au taux de 6 % pendant 5 ans. Combien aurez-vous accumul dans votre compte aprs avoir fait votre dernier versement ? FV = PMT * (1 + i) n 1 i FV =

La valeur prsente dune annuit simple de fin de priode - Dmonstration Vous dsirez connatre le capital requis aujourdhui pour recevoir une rente annuel de 100 $ la fin de chacune des cinq prochaines annes si le taux de rendement sur le capital est de 7 % compos annuellement.

La valeur prsente dune annuit simple de fin de priode 01 23 45 100 $ ? ? ? ? 100 * (1 + 0,07) -1 = 100 * (1 + 0,07) -2 = 100 * (1 + 0,07) -3 = 100 * (1 + 0,07) -4 = 100 * (1 + 0,07) -5 = = ?

FORMULE PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i PV =

EXEMPLE 2 Quelques mois aprs avoir trouv votre premier emploi, vous dcidez dacheter une voiture doccasion dont le prix est 12 000 $. Nayant que 1 500 $ dconomies, vous sollicitez un prt pour la somme manquante. Le taux dintrt exig sur ce type demprunt est de 12 % capitalis mensuellement et la dure maximale du prt est de 4 ans. Sachant que les versements sont effectus la fin de chaque mois, calculez la mensualit que vous aurez dbourser pour satisfaire les conditions de ce prt. PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

Le solde rembourser dun emprunt - Dmonstration Vous avez emprunt la somme de 2 000 $ un de vos amis. Vous deviez rembourser cette somme au moyen de 10 paiements semestriels de fin de priode un taux de 10 %. Aprs avoir effectu le sixime versement, vous dsirez connatre le solde de votre dette. Trouvons dabord la semestrialit (PMT). PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

Le solde rembourser dun emprunt - Dmonstration Nous pouvons maintenant calculer le solde de la dette. Visualisons la situation comme suit: 01 23 45 259,01 $ 5 000 $ 259,01 $ 678910 259,01 $ Localisation du solde de la dette Versements dj effectus

Le solde rembourser dun emprunt - Dmonstration Le solde dun emprunt correspond la valeur prsente des versements restant effectuer. 01 23 45 5 000 $ 678910 259,01 $ Solde de la dette la fin de la 6ime priode

Le solde rembourser dun emprunt - Dmonstration 01 23 45 5 000 $ 678910 259,01 $ Solde de la dette la fin de la 6ime priode PV = PMT * 1 - (1 + i) -n i

EXERCICES 41

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INTRODUCTION Supposons que vous avez la possibilité dinvestir 250 $ aujourdhui (temps 0) qui pourrait vous rapporter 60 $ au cours des 5 prochaines années