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Calcul, Arithmtique et Gomtrie l'Ecole Primaire

***Programme, Instructions Officielles de 1945 1

http://micheldelord.info/iocalc45.pdf

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I - Programmes 2

Cours Prparatoire 2

Cours Elmentaire 2

Cours Moyen 2

Cours Suprieur3

Classe de Fin d'Etudes 4

Ecriture des nombres Indications des units

(Circulaire du 13 aot 1952)

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II Instructions 10

Cours Prparatoire 10

Cours Elmentaire 12

Cours Moyen 17

Cours Suprieur 21

Classe de Fin d'Etudes 21

III - Rpartitions 23

Cours Prparatoire 23

Cours Elmentaire 26

Cours Moyen 29

Cours Suprieur 32

Classe de Fin d'Etudes 1 34

Classe de Fin d'Etudes 2 37

1 Extraits de L. Leterrrier, Enseignement du premier degr , Programmes, Instructions, Rpartitions mensuelles et

hebdomadaires , Librairie Hachette, 1956. Pages 238 295. Michel Delord, le 30/12/2003.

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CALCULARITHMETIQUE ET GEOMETRIE

I. PROGRAMME

1.Cours Prparatoire

(Trois leons de 15 mn par jour [soit 3 h. ])

Etude concrte des nombres de 1 5, puis de 5 10, puis de 10 20. Formation, dcomposition, nom et criture.Usage des pices et billets de 1, 2, 5, 10 francs, du dcimtre et du double dcimtre gradus en centimtres.Les nombres de 1 100. Dizaines et demi-dizaines. Compter par 2, par 10, par 5. Usage du damier de cent caseset du mtre ruban.Exercices et problmes concrets d'addition, de comparaison et de soustraction (nombres dun chiffre, puis dedeux chiffres, de multiplication et de division par 2 et 5.

2. Cours Elmentaire

(3/4 d'heure par jour en deux leons [soit 3 h. ])

Formation des nombres de 1 20. Table d'addition.Numration de 1 100, puis de l 1.000 ; compter par milliers en liaison avec l'tude des units usuelles dusystme mtrique : franc, mtre, centimtre, kilomtre, litre, centilitre, hectolitre, gramme, kilogramme (sansl'usage de la virgule).Usage et pratique de l'addition et de la soustraction.Addition et soustraction mentales d'un nombre dun chiffre.Table de multiplication. Usage et pratique de la multiplication et de la division (par un nombre de deux chiffresau plus) dans des problmes simples emprunts la vie courante. Calcul rapide de la multiplication et de ladivision par 2 et 5. Calcul en centimtres carrs ou en mtres carrs de la surface d'un rectangle dont lesdimensions sont exprimes en centimtres et en mtres.Mois et jours. Heures et minutes.Exercices pratiques de mesure des longueurs en mtres et centimtres.Etude de figures gomtriques simples par tracs, dcoupages et pliages. Carr, rectangle, quadrillages, trianglergulier, cercle. Angle droit et demi-angle droit. Usage de la rgle, du double-dcimtre, de lquerre 45.Observation dun cube.

3. Cours moyen

(1 heure chaque jour [soit 5 heures])

Nombres dcimaux en liaison avec les units thoriques et pratiques de monnaies, de longueurs, de distances, depoids et de capacits. Changements dunits (dcimales) ; multiplication et division par 10, 100, 1.000.Usage et pratique des quatre oprations sur les nombres dcimaux.Problmes de la vie courante, traits oralement ou par crit, avec, ventuellement, usage du calcul mental ourapide.Divisibilit par 2, 5, 3, 9 ; preuve par 9 de l'addition et de la multiplication. Prix et poids de l'unit et exemplesanalogues de quotients. Rgle de trois. Utilisation des caractres de divisibilit pour la simplification d'unquotient et d'une rgle de trois.Pourcentages ; expressions diverses (6 %, 6/100, 0,06). Application l'intrt simple.

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Fractions trs simples de grandeurs : demi, tiers, quart, cinquime, dixime, soixantime. Calculer une fractiond'une grandeur et problme inverse. Additionner, comparer et soustraire des fractions dans des problmes trssimples.Mesure du temps : heures, minutes, secondes, annes commerciales de douze mois de trente jours. Problmessimples sur le mouvement uniforme et les placements court terme.Units de longueur. Mesure de longueur l'aide des instruments usuels (chane ou ruban d'arpenteur, mtres en

bois ou en mtal, rgles gradues ou rglets).Units de surface. Calcul de la surface ou superficie d'un rectangle, d'un triangle et d'un trapze rectangles, d'unefigure simple dcompose en rectangles, triangles et trapzes rectangles.Surfaces latrales de volumes gomtriques simples (peintures ou tapisseries).Units de volume. Calcul du volume d'un paralllpipde rectangle, d'un prisme droit. Correspondance desunits de volume, de capacit et de poids.Longueur de la circonfrence. Surface d'un cercle. Surface latrale et volume d'un cylindre droit.Notions d'angle droit, de droites perpendiculaires, de droites parallles. Usage de la rgle, du double dcimtregradu en millimtres, de l'querre. Triangles et trapzes rectangles (en vue de leur surface).Cercles et circonfrences. Usage du compas, du rapporteur gradu de cinq en cinq degrs.Trac et tude sommaire du triangle rgulier et de l'hexagone rgulier.Notions sur les chelles des plans et des cartes.Notions pratiques surle cube, le paralllpipde rectangle, les prismes droits et le cylindre de rvolution.

4. Cours suprieur

Ce cours d'une anne, facultatif, ne peut exister que dans les coles ayant plus de quatre classes. Il doit treconsidr comme un cours moyen (2meanne)pour lves forts, avec le mme horaire, les mmes programmes,sauf pour l'arithmtique et les exercices d'observation.

ARITHMETIQUE (5 heures)

(1 heure chaque jour)

Exercices de calcul sur les nombres entiers et les nombres dcimaux, en liaison avec la mesure des grandeurs,systme mtrique, quotient, rgle de trois.Mesure des longueurs, emploi des instruments usuels (chane ou ruban darpenteur, mtres en bois ou en mtal,rgles gradues et rglets).Longueur de la circonfrence.Mesure des aires : aire dun carr et carr dun nombre. Usage dune table des carrs des nombres de 1 100pour la recherche de la racine carre (avec deux chiffres exacts) dun nombre entier ou dcimal. Aire durectangle, du triangle rectangle, du trapze rectangle. Recherche de laire dun polygone quelconque pardcomposition en triangles rectangles et en trapzes rectangles. Application un trapze et un triangle nonrectangles. Formule de laire dun cercle.

Mesure des volumes et des capacits ; volume du cube et cube dun nombre. Volume du paralllpipderectangle, du prisme droit, du cylindre ; formule des volumes de la pyramide, du cne, surface des solidessimples.Mesure des poids ; units pratiques de poids. Usage de la balance (simple pese). Poids lunit de longueur etlongueur de lunit de poids. Poids lunit de surface et surface de lunit de poids. Poids spcifique et volumespcifique. Emploi de la balance la dtermination de longueurs, daires, de volumes et de capacits.Monnaie : prix unitaire dune marchandise et quantit de marchandise correspondant lunit de monnaie.Mesure des angles : usage du rapporteur. Calcul de la longueur d'un arc au moyen du rayon et de la mesure deson angle au centre.Mesure du temps :addition et soustraction de nombres en heures, minutes, secondes.Vitesse dans le cas d'un mouvement uniforme ; espace parcouru pendant l'unit de temps et le temps ncessaireau parcours de l'unit d'espace.Pourcentage, intrts simples, escomptes, rentes.

Usage de la rgle, de l'querre, du rapporteur et du compas pour des tracs usuels.

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5. Classe de fin d'tudes

I. Arithmtique.

1 Application des notions acquises au cours moyen sur la numration des nombres entiers et dcimaux surles quatre oprations des problmes concrets de la vie pratique intressant

a) Les principales activits conomiques de la rgion :

- L'activit agricole et artisanale;

- L'activit industrielle;

- L'activit commerciale; oprations commercial simples; paiements; tenue des comptes; oprations postales;transports des voyageurs et des marchandise.

b) L'activit mnagre et la vie familiale. Rmunration du travail et budget familial.

c) L'activit sociale; le budget de la commune.

2 Les pourcentages : applications des problmes concrets intressant :

- La vie familiale (impts, assurances, scurit sociale, enregistrement, successions, placements d'argent).

- Les activits du commerant (frais gnraux, bnfices, taxes et impts, crdit et escompte).

- Les activits agricoles et industrielles (rendements, dchets, dosages, taxes et impts, crdit agricole).

3 Les fractions usuelles (demi, tiers, quart, etc.). tude limite

a) au calcul d'une fraction d'une grandeur mesure par un nombre entier ou dcimal;

b) au problme inverse.

- Application aux problmes concrets de la vie pratique.

4 La mesure du temps; les nombres complexes; le mouvement uniforme; le tissu; l'automobile.

5 Echelle des plans et des cartes. Reprsentation figure des grandeurs (populations, productions,consommations...). Graphiques des variations dans le temps de ces grandeurs. Construction et interprtation.

II. - Systme mtrique.

1 Mesures de longueurs, de poids, de capacits. Les units de valeurs et les diffrents moyens de paiement.Applications aux problmes de la vie pratique la maison, la ferme, aux champs, l'atelier,sur le chantier, , aumagasin. Exercices pratiques. lecture des diffrente compteurs (eau, gaz, nergie lectrique). Puissance etconsommation d'un appareil lectrique.

2 Mesures de surfaces. Application au calcul des surfaces sur le chantier (installation et amnagement de lamaison, travaux divers), l'atelier et aux champs. Plan cadastral. Arpentage. Travaux et cultures, rendements.

3 Mesures de volumes. Application au calcul des volumes sur le chantier, l'atelier et aux champs (cubagedivers).

On se bornera l'tude des units usuellesdu systme mtrique.

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III. - Gomtrie.

1 La ligne droite et le segment de droite. Angles. Angle droit et droites perpendiculaires. Droites parallles.Figures gomtriques simples.

Cercle. Senteur et arcs. Mesures des angles.

Latitude et longitude d'un lieu.

Polygones rguliers simples inscrits dans le cercle.

2 Tracs usuels la rgle, l'querre et au compas se rapportant ces notions. Usage du rapporteur,

3 Initiation au croquis cot. Lev et lecture d'un croquis.

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LE CALCUL A L'COLE PRIMAIRE

(Circulaire du 13 aot 1952)

CRITURE DES NOMBRES - INDICATION DES UNITS

Le dcret du 28 fvrier 1948 et la loi du 14 juillet 1948 ont donn un caractre obligatoire l'emploi desnouvelles indications d'criture des nombres et des units fixes par l'Association Franaise de Normalisation(A. F. NOR) et la 9e Confrence gnrale des Poids et Mesures.

Ces nouvelles dispositions sont entres dans la pratique des mtiers. Paralllement, cette rforme a t appliquedans les enseignements suprieur, technique et du second degr. Par contre, et sans doute cause del'imprcision des instructions officielles trs peu d'lves de l'enseignement du 1er degr en ont t informs.

L'emploi des notations normalises apparat cependant essentiel ds l'cole Primaire.

- son caractre lgal est le mme pour tous;

- une notation errone constitue une vritablefaute d'orthographe et mme un grave contre-sens (m/m indiqueune pente et non une longueur ; les signes' et " indiquent des angles et non des temps);

- on doit viter de donner aux enfants destins continuer leurs tudes (collge, lyce, cole nationale, centred'apprentissage) l'habitude de commettre ces fautes : ce serait en effet les obliger par la suite un travail pnibleet dcourageant pour perdre une mauvaise habitude et en acqurir une bonne.

Quant aux lves qui terminent leur scolarit l'cole Primaire, ils ne retireront que bnfice utiliser desnotations exactes qu'ils sont appels employer toute leur vie, et dont la simplicit typographique est un desprincipaux avantages.

C'est en considration de l'intrt pdagogique et pratique de cette rforme qu'une commission compose de

membres de l'enseignement du premier et du second degr a extrait pour les clamses primaires des tableaux denormalisation, les notions qui suivent.

Il est souhaitable que leur emploi se gnralise dans les classes intresses. Les institutrices et instituteurs yapporteront le plus grand soin, ces notations devant tre utilises par les candidats aux examens ds l'anne1953.

PRINCIPES DE L'CRITURE DES NOMBRES DES UNITS ET DES GRANDEURS

A. - CRITURE des NOMBRES

1 Sparation des nombres en tranches :

On ne doit utiliser ni le point ni la virgule, pour marquer la sparation en tranches d'un nombre comportant unassez grand nombre de chiffres. Cette sparation doit tre marquepar un espace blanc, de largeur infrieure ougale celle d'un chiffre courant. Cette convention doit tre respecte ds le Cours lmentaire. On spare decette manire les nombres en tranches de trois chiffres tant pour la partie entire que pour la partie dcimale;cependant, cette sparation ne parat pas ncessaire si le nombre ne comporte pas plus de quatre chiffres droite.

crire : Ne pas crire :

3 850 363,018 3.850.363,0180,000 483 4 0,000.483.4 ou 0,000483421 mars 1952 21 mars 1 952

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2 Symboles de la division des nombres :

- Le symbole opratoire de la division est deux points (:) qui se lit divis par.

Toutefois pour faciliter l'criture ou la lecture et lorsqu'aucune confusion n'est craindre ( partir du Coursmoyen) il est recommand d'employer le symbole des expressions fractionnaires, c'est--dire la barre horizontale

qui doit se mettre sur l'axe du corps d'criture. Au point de vue scolaire l'utilisation de la barre horizontale partprfrable celle de la barre oblique (cette dernire prsentant nanmoins des avantages srieux endactylographie).


9 : 31 ou9/31 ou 931

9/31 ou 931

B. - FORMATION DES SYMBOLES D'UNITS

1 Ecriture des symboles des units simples :

Les symboles normaliss des units ainsi que ceux des prfixes associs, doivent tre crits sans tre modifis.En particulier la substitution d'une majuscule une minuscule est interdite. D'autre part, il faut former avec soinles lettres des symboles et les placer sur la mme ligne que celle qui supporte les chiffres. Cette convention doittre respecte ds le cours lmentaire.


kg Kg niK nikilogkm Km niKM nikM

Contrairement ce qui se fait pour les abrviations de mots les symboles des units s'crivent sans point final;d'autre part ils ne doivent pas comporter la marque du pluriel(la lettre s reprsente par ailleurs la seconde).


131,5 cm 131, 5cm ni131, 5 c m ni131,5 cms71 F 71 fr. ni71 frs

Au cas o l'emploi des symboles normaliss se rvlerait incommode (notamment si on dsire faciliter la

comprhension pour des lecteurs peu familiers avec les normes) il ne faut en aucun cas substituer cessymboles des abrviations, mme si elles peuvent paratre logiques et cohrentes. On doit, soit rappeler lasignification des symboles normaliss et les employer systmatiquement, soit crire en toutes lettres les nomsdes units et de leurs multiples et sous-multiples.


minute oumn minseconde ous secmtre carr oum mqCentimtre cube oucm cmc ou cc

2 Formation du symbole des units composes :

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a)cas d'un produit: on forme le nom de l'unit en accolant les symboles successifs des units composantes :

wattheure : Wh; kilowattheure : kWh ; ampre-heure : Ah.

b) cas d'un quotient : on forme le nom de l'unit en intercalant mot par entre les noms des units

correspondantes


Pour une vitesse : km/h km.h ni km-h , vitesse horaire (dpourvu desens)

(lire: kilomtre par heure) kilomtre-heure (qui est faux)

Pour un poids spcifique : g/cm g nig.cm(lire:gramme par centimtre cube)

C. - PLACE DES SYMBOLES D'UNITS

(paragraphe trs important)

Le symbole doit tre plac immdiatement droite du nombre completindiquant la valeur numrique, sur lamme ligneet en caractres du mme corps.

critures normales : critures incorrectes

15 m 15m

15,7 mm 15 mm, 7 nimm 15,70,19 g 0.19 gr (gr symbole du grade)

0,19 cg (signifie 19 centimes de centigramme)

0 g 1917 38' 15" 17, 38' 45"(les nombres complexes s'crivent sans virgule)

15 heures 4 minutes 18 secondes ou15 h 4 mn 18 s

5 h 4' 48"ni15H4'48"

Exceptions :

1 Dans la pratique comptable et bancaire, il est admis pour la dsignation des sommes de placer le symbole del'unit avant le nombre. Exemple : : 175 Fou F 175.

2 Si l'on veut crire le symbole aprs la partie entire sans virgule, il y a lieu de recourir deux ou plusieursunits diffrentes, ce qui n'est pas recommand. EXEMPLE : 137 m 97 cm.Les notations que doivent tre employes ds le cours lmentaire ont t indiques. Toutes les autres doiventtre respectes partir du cours moyen.

TABLEAU RCAPITULATIF DES SYMBOLES USUELS DES UNITS ET DE LEURS MULTIPLESET SOUS-MULTIPLES

Rfrences:Cette documentation est rdige d'aprs le fascicule FD X n 02-005 (tirage de septembre 1951) : Principalesdispositions concernant les principes d'criture, les units de mesure et les symboles de grandeurs dit parl'A. F. NOR, 23, rue Notre-Dame des Victoires, Paris (2e)Bureau de vente des Normes : 19, rue du 4-Septembre, Paris ( 2e)Pour une documentation plus complte il est conseill de consulter les autres fascicules :

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- FD X n O2-002 : Units de mesure. - Dfinitions- FD X n 02-004 : Noms et symboles des units de mesure- FD X n 02-010 : Sous-multiples dcimaux du degr (unit d'angle).Signalons aussi le numro spcial de La Nature (dcembre 1949- Supplment au n 3176 ) intitul : Unitset mesures.

UNITS SYMBOLES

mtremtre carraremtre cubestrelitretonnequintalgrammegramme par cmsecondeminute (de temps)heuremtre par secondekilomtre par heurefrancgradedegr (angle)degr (temprature)AmpreVoltWattwattheure

m (km, hm, dam, dm, cm, mm)m ( km, ....)a (ha, ca)m (dm, ..)stl (hl, dal, dl, cl)tqg ( kg, hg, dag dg, cg, mg)g/cmsmnhm/skm/hFgr (minute' - seconde ")CAVWWh (kWh, hWh)

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II. - INSTRUCTIONS

(1945)

Lobservationdoit galement avoir une large place dans lenseignement de 1arithmtique et de la gomtrie

l'cole primaire. Les principes, noncs dans les instructions de 1923 et repris dans celles de 1938 (pour lecours suprieur), restent valables : Partout, l'opration manuelle doit prcder lopration arithmtique ; lexpression du langage courant doitprcder lexpression du langage mathmatique... C'est sur des faits quil faut appuyer - et, nous ajouterons,c'est des faits quil faut appliquer - les calculs, les ides... Les modifications apportes au programme ne font que confirmer ces principes et en prciser lapplication. Lesliens troits entre les diverses questions tudier, le changement dsir dans la mthode et les procdsdenseignement, imposent un commentaire dtaill de ce programme.

COURS PREPARATOIRE

Dans lenseignement au cours prparatoire, lapprentissage des nombres doit se faire par l'observation de

collections dobjets simples ou usuels, manis ou dessins. L'enfant doit tre habitu reconnatre, sansnumrer, de un cinq objets ; dabord sur des dispositions gomtriques simples, puis sur des objets groupsen ligne, puis sur des objets sans ordre. Les nombres de 5 10 peuvent tre tudis et. retenus par leurformation avec 5 et un des cinq premiers nombres. Ceux de 10 20 sont ensuite raliss par l'addition ou larunion d'une dizaine avec un des dix premiers nombres.Cet apprentissage est facilit par l'usage des monnaies, du dcimtre et du double-dcimtre, usage qui estindiqu par le programme et qui est familier beaucoup d'enfants, en dehors mme de la classe.Les nombres ne s'obtiennent pas seulement en comptant des colonnes ou par la formation qui vient d'treindique ; on les trouve aussi, et mme plus souvent, en combinant dautres nombres :Six, c'est le plus gros point d'un domino ; mais c'est aussi un doigt ajouter aux doigts d'une main, c'est lenombre de sabots dans 3 paires, c'est deux ranges de 3, c'est 4 et 2.Pour avoir vritablement la notion d'un nombre, il faut pouvoir le reconnatre sous les aspects divers ; connatreson nom, sa figure, sa constitution.

De quels nombres faut-il ainsi connatre la constitution, les modes de formation ? Des 10 premiers videmmentet le plus possible des 10 suivants. Au del, ce sera plus affaire de calcul que de mmoire.Cet apprentissage concide avec celui de la table d'addition. En outre, beaucoup de ralisations matriellesd'additions constituent des compositions et des dcompositions de nombres.Une particularit intressante de beaucoup de ralisations matrielles d'additions est qu'elles constituent enralit un apprentissage de la soustraction ou plus prcisment de la recherche d'une partie inconnue d'unesomme dont on connat l'autre partie: comment composer 9 avec deux nombres dont l'un est 6 ?La soustraction peut aussi tre une recherche dun reste : j'ai 9 pommes, j'en donne 6, combien en reste-t-il ?Ce peut tre encore une comparaison : un crayon a 9 centimtres, un autre 6 centimtres, quel est le plus grandet quelle est leur diffrence ?A cette dernire conception se rattache la notion du nombre zro, diffrence de deux nombres gaux ; ce quireste quand il ne reste rien, ; ou inversement ce qui ne change rien au nombre auquel on lajoute.

Les nombres de 10 100 non compris s'crivent avec deux chiffres : celui de gauche qui reprsente les dizaineset celui de droite qui reprsente les units. On peut d'abord faire manipuler aux enfants de vraies dizainesdobjets (paquets de bchettes, jetons en piles, billes en sacs, boules sur les rglettes du boulier-compteur ...).Quand cette manipulation est acquise, on peut utiliser des dizaines figures : des botes ou des pochettesfermes dont une tiquette indique le contenu : 10 ; des dcimtres sans graduations ; de fausses pices de dixfrancs marques : 10.Les dizaines relles ou figures, compltes par des units de mme nature, permettent de former les nombres de1 99. On imaginera aisment les dispositions matrielles permettant de raliser cette formation : monnaie decarton, dcimtres et centimtres, cartons de dizaines et cartons de 1 9 boutons ; on peut utiliser une sorte decalendrier perptuel deux tirettes, l'une de dizaines, et l'autre d'units ; on peut mme s'en tenir au boulier-compteur, soit sous sa forme classique avec des boules de diverses couleurs, soit avec des units et des dizainesfigures. On peut complter l'emploi de ces matriels par des exercices de rpartition en dizaines et units dejetons, de cartons carrs, ou de tous autres objets isols que l'enfant range en piles ou en lignes de 10.

La figuration en dizaines et units entrane l'criture si llve sait, au pralable, faire la correspondance descollections et des chiffres et connat l'usage du chiffre 0.

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Les noms des nombres prsentent, comme l'on sait, des anomalies ; il peut tre avantageux d'employer d'abordles noms qui seraient logiques :

dix-un, au lieu de onze ;dix-deux au lieu de douze ;...................

dix-six, au lieu de seize.

De mme utiliser septante, octante et nonante au lieu de soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt-dix. Desleons complmentaires de vocabulaire feront ensuite correspondre ces noms thoriques les noms de notrefranais courant.Il est dsirable d'apprendre d'abord ajouter, puis soustraire, un nombre d'un chiffre un nombre de deuxchiffres. Un premier cas est celui o le rsultat reste dans la mme dizaine, le langage mme de la numrationdonne la solution :46 5, on retranche 5 de 6, reste 1, rsultat 41 ;46 + 3, on ajoute 3 6, la somme est 9, rsultat 49.Le calcul est plus difficile si le rsultat sort de la dizaine (il y a une retenue ou un report). Certains matresverront peut-tre dans ce cas un avantage utiliser le complment ( 10) :46 8, on retranche 10, ce qui donne 36, on ajoute le complment de 8 qui est 2. Rsultat : 36 + 2 = 38 ;

46+ 9, on ajoute 10, ce qui donne 56, on retranche le complment de 9, qui est 1 ; 56 - 1 =55.Pour justifier cet usage du complment, on peut essayer de le rendre vident par une disposition de points oud'objets (cartes de boutons, monnaies fictives)On pourra tudier ensuite laddition de deux nombres de deux chiffres, d'abord sans retenue, ensuite avecretenue.

Pour la soustraction, avec ou sans retenue, d'un nombre de deux chiffres, on verra peut-tre quelque avantage procder par complment ou par addition :Pour retrancher 26 de 38, on complte les units : 6 et 2 font 8 ou 26 et 2 font 28. On complte ensuite lesdizaines : 28 et une dizaine font 38. Le nombre qu'il faut ajouter est form de 2 units et de 1 dizaine.

Pour retrancher 27 de 62, on complte les units : 7 et 5 font 12 ou 27 et 5 font 32 ; on complte ensuite lesdizaines : 32 et 3 dizaines font 62. Le nombre quil faut ajouter est form de 5 units et de 3 dizaines.Ces calculs se font, bien entendu, sur les nombres crits l'un au-dessous de l'autre la manire habituelle, alorsqu'il n'est pas ncessaire de poser l'opration quand on apprend ajouter ou retrancher un nombre de 1chiffre.

La multiplication et la division sont limites au cas d'un multiplicateur ou d'un diviseur 2 ou 5, alors quel'ancien programme prvoyait aussi le calcul par 3. On se borne ainsi au calcul des doubles, des dizaines et desdemi-dizaines. Les nombres 2, 10 et 5 paraissent suffisants pour acqurir la notion complte de multiplication.Ils permettent de faire comprendre ce que veut dire 2 fois, 10 fois ou 5 fois.En mme temps, les exemples tirs de ces nombres suffisent illustrer la rgle de commutativit, savoir quedeux fois 25 ou le double de 25 est le mme nombre que 25 paires ou 25 couples ; que 10 fois 7 est gal 7dizaines, ou 7 fois 10, que 5 fois 9, c'est aussi 9 demi-dizaines ou 9 fois 5.On imagine aisment des illustrations ou des ralisations matrielles : des enfants qui lvent les deux mains, ouqui sont groups par deux ; des ranges de couples de points ; les lignes d'un damier ; un mtre divis encentimtres avec des graduations renforces par les demi-centimtres et les dcimtres, etc.

La division par 2, 10, 5 avec ou sans reste, peut se comprendre comme un partage d'objetsen 2, ou en 10, ou en

5 parts. Elle peut se comprendre aussi comme une rpartitionen couples ou paires, ou bien en dizaines, ou bienen demi-dizaines d'objets.

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COURS LMENTAIRE

Nombres concrets. - Le programme du cours lmentaire comporte le calcul des sombres entiers (sans virgule).Un nombre entier reprsente une collection d'objets (15 lves, 15 brets, 15 places), ou une grandeur

considre comme une collection d'units (disposes d'une certaine faon) ; une longueur de 15 cm peut tre

forme avec 15 centimtres placs bout bout ; un objet de 15 g fait quilibre 15 poids de 1 g ; un vase de 15cl est rempli quand on y met 15 fois 1 cl d'eau ; un objet d'une valeur de 15 fr. peut tre achet avec 15 pices

de 1 fr.Dans les exercices on devra toujours utiliser de prfrence des nombres concrets, c'est--dire des nombres(entiers) suivis d'un nom d'objet (lve, bret ... ) ou une unit : franc, gramme, centimtre... Un nombre concretn'est quun renseignement sur une grandeur, qui doit tre complt par l'indication de ce quon veut faire decette grandeur :15 pommes, ce peut tre 15 pommes qu'on ajoute d'autres qu'on veut acheter ; qu'on veut partager... ; 15 1, cepeut tre un rcipient de 15 litres ou 15 litres de vin ; ces 15 1 de vin, on peut les mlanger d'autres, ou lessoutirer, ou les mettre en bouteilles, ou les boire...

L'acquisition de la notion de nombres entiers, concrets et de leur usage suppose naturellement des leons de

choses diverses, rptes, et nanmoins assez mthodiques.Au cours moyen seulement, on rencontrera des exemples de nombres abstraits et indpendants des units dansl'tude des pourcentages et des fractions simples.

Systme mtrique. - Le programme indique, non pas toutes les units thoriques du systme mtrique, maisseulement les units pratiquement utilises. On sait que l'usage courant exclut peu prs compltement l'emploidu dcimtre, du dcamtre, de l'hectomtre, du dcilitre, du dcalitre, du kilolitre... du dcigramme. Aux unitseffectivement indiques, il faudra ajouter, au cours moyen, ou en fin de deuxime anne de cours lmentaire :le millimtre, le centimtre cube (remplaant le millilitre), le dcimtre cube (quivalant au litre), le mtre cube(remplaant le kilolitre), le milligramme, le quintal, la tonne, le centime et peut-tre le mille et le million defrancs.Cette restriction n'empche pas d'apprendre aux lves le sens gnral des prfixes dci, centi, milli, dca,hecto, kilo, et de leur montrer les units d'un compendium mtrique. Mais, dans les exemples et les exercices, on

emploiera peu prs uniquement les units pratiques.On nintroduira pas ainsi des sous-multiples, mais seulement des units diffrentes qui ont entre elles desrapports simples. Pour les diverses espces de grandeurs, on choisira l'unit convenable, le cm pour desdessins, le m pour des terrains, le km pour des distances... Exceptionnellement, on exprimera une longueur avecdes m et des cm : 3 m et 65 cm ; ou des kg et des g : 10 kg et 500 g. C'est l'amorce de lcriture des nombresdcimaux (qui sera tudie au cours moyen), o la virgule remplacera le et.

Numration. - La numration est limite aux nombres de, 1 10 000, c'est--dire ayant au plus 4 chiffrescaractristiques ; on se bornera des multiplications ou des divisions de 2 chiffres au plus. Cette limitationest trs suffisante dans les exercices et problmes et mme dans la vie courante, car on connat rarement lamesure d'une grandeur avec plus de 2 ou 3 chiffres caractristiques ; les nombres de 4 chiffres peuvents'introduire dans les calculs.On peut ainsi simplifier l'tude de l'criture d'un nombre abstrait et ne pas parler des classes d'units, de mille

et de millions. Il est seulement commode de conserver l'habitude de sparer par un point le chiffre des mille destrois chiffres suivants.

Tables. - La pratique du calcul des quatre oprations exige que les lves sachent les tables d'addition et demultiplication. La premire, apprise au cours prparatoire, doit faire l'objet de rvisions et surtout de nombreuxexercices de contrle. L'apprentissage de la deuxime est un des objets du cours lmentaire. Il appartient aumatre de choisir l'ordre et les moyens qui lui apparatront les meilleurs pour le faire, soit en respectent l'ordredes nombres, soit en tudiant d'abord les tables les plus simples (en raison de l'criture dcimale). Par exemple: 2, 5, 10 (dj appris au cours prparatoire) ; 3 et 6 ; 4 et 8 ; 9 ; 7. Les lves ne doivent pas seulementconnatre les 10 premiers multiples de chaque nombre de 1 chiffre, mais encore placer ces multiples dans lasuite des nombres, pour aboutir la division : en 47 il y a 7 fois 6 et il reste 5. Lusage du damier de 100 cases,signal dans le programme du cours prparatoire, peut nouveau tre utilis dans ce but.

Calcul mental et rapide. - Le programme d'arithmtique comporte des exercices de calcul mental et rapide,strictement limits pour le cours lmentaire, mais signals sans restriction prcise pour le cours moyen. Il faut

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entendre par l un calcul sur des nombres simples avec seulement l'aide partielle de lcriture. Dans un telexercice, on peut distinguer trois parties :

1 Le fait de retenir les donnes ou les rsultats partiels au cours des oprations faites de tte. On propose :67 + 35. L'lve doit se souvenir de 67 et de 35. Il additionne 67 et 30, et trouve 97 ; il doit se souvenir de 97 etdu chiffre des units momentanment abandonn 5 et rpondre 102;

2 Le fait de savoir des rsultats : table daddition, de soustraction, de multiplication ;

3 Un court raisonnement. Exemple : 97 et 5, on peut dire 7 et 5, 12 ; 9 et 1, 10 ; rsultat : 102. On peut aussidire : 97 et 10, 107 ; 107 5, 102 ; ou encore 97 et 3, 100 ; 100 et 2, 102.

C'est la premire partie qui semble la plus difficile pour les enfants. Pour cette raison, on peut se borner dans lecours lmentaire aux exercices suivants :

Un nombre (de 2 ou 3 chiffres) tant crit au tableau ou sur l'ardoise, lui ajouter ou lui retrancher unnombre d'un chiffre indiqu de vive voix ; noncer, puis crire le rsultat.

Un nombre tant crit, le multiplier ou le diviser par 2 ou par 5, sans poser l'opration et en crivant,

au fur et mesure, les chiffres du produit, du quotient, puis ventuellement du reste. La liaison entre ces deuxoprations pourra tre faite seulement au cours moyen, lorsque l'emploi des nombres dcimaux permettra dedonner un quotient dcimal exact.

Il est remarquer que le premier de ces deux exercices est indispensable dans la pratique du calcul crit desquatre oprations.Dans la deuxime anne de cours lmentaire, on peut compliquer le premier exercice en ne faisant pas crirele nombre de plusieurs chiffres auquel on veut ajouter ou retrancher le nombre d'un chiffre. On peut aussi fairetraiter des exercices analogues en ajoutant ou en retranchant des nombres (entiers) de dizaines ou de centaines.

Calcul crit. -Pour enseigner la pratique de la multiplication et de la division, il n'est pas inutile de se rendrecompte de la gradation des difficults du mcanisme, ce qui pourra suggrer une gradation des exercices.

C'est ainsi qu'on peut considrer les cas suivants de la multiplication :

1 Multiplier un nombre de 1 chiffre par un nombre de 1 chiffre; c'est la table de multiplication ;

2 Multiplier par un multiplicateur dun chiffre ; il suffit de savoir qu'on multiplie units, dizaines, centaines, etqu'on ajoute mesure les rsultats :

523 8 3 8 = 2 420 8 = 1 6 0

500 8 = 4 0 0 04 1 8 4

3 Multiplier par 10, 100 ;

4 Multiplier par un nombre de dizaines ;

5 Multiplier par un nombre de deux chiffres ; on multiplie par les units, puis par les dizaines, et on ajoute lersultat :

523 28 5 2 3 5 2 3 4 1 8 4 8 2 0 + 1 0 4 6 04 1 8 4 1 0 4 6 0 1 4 6 4 4

Dans l'opration, pose la manire habituelle, on peut faire mettre les zros dans les produits partiels. Cettehabitude, qui ne complique pas beaucoup l'criture, peut viter, au cours moyen, des erreurs quand le

multiplicateur a des zros intercalaires.

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Pour la division, on petit envisager les cas suivants :

1 Quotient et diviseur d'un chiffre. Il faut savoir reconnatre que le quotient n'a qu'un chiffre, trouver ce chiffre,et le reste. Il faut pour cela connatre les tables de multiples et savoir y placer de mmoire les nombresintercalaires.

2 Diviseur de 1 chiffre et quotient de plusieurs chiffres. On rpte un certain nombre de fois le mcanismeprcdent avec des soustractions mentales. Exemple :

339 diviser par 8 ; 330 = (40 8) + 10 ; 19 = (2 8) + 3.Le quotient est 42 et le reste 3.

3 Diviser par 10 : on spare un chiffre.

4 Diviser par un nombre de dizaine : on divise par 10, puis par le chiffre de dizaines.

5 Diviser par un nombre de deux chiffres. On peut d'abord dresser une table de multiples du diviseur et s'enservir pour calculer d'abord un quotient de 1 chiffre, puis un quotient de 2 chiffres. Quand cette mthode estsuffisamment connue, on peut passer au procd habituel des ttonnements.

Formules et signes. - Les signes de l'arithmtique ont, tout au moins pour les nombres abstraits, unesignification universelle qui s'tend, par gnralisation, l'algbre. Il est essentiel de ne les employer qu' bonescient.

Le signe +indique qu'il faut additionner les nombres qu'il spare. Il s'applique aussi l'addition successive deplusieurs nombres. Les habitudes acquises au cours lmentaire doivent rendre intuitive la possibilit dechanger lordre des termes.

Le signe-indique qu'il faut soustraire le nombre de droite du nombre de gauche qui doit tre plus grand que leprcdent.

Le signe indique qu'il faut multiplier les nombres quil spare. La possibilit de permutation est moinsvidente aux lves qui il faut lapprendre, non par une preuve thorique, mais par des constatations faitesplus ou moins mthodiquement, dans la table d'abord, ainsi quil a dj t indiqu au cours prparatoire,ensuite sur des oprations.

On emploie aussi ces trois signes pour rappeler la nature des oprations poses.

Le signe = ne spare pas deux nombres gaux, ce qui ne servirait rien ; on n'crit pas 3 = 3. Il sparel'indication d'une opration et son rsultat ou encore l'indication de deux oprations qui ont le mme rsultat.

Le signe :est plus gnant. Suivant les cas, il reprsente soit une division exacte, soit une division approche. Ilsemble possible de l'utiliser au cours lmentaire et au cours moyen pour indiquer la division approche encrivant la suite la valeur du reste :

17 : 3 = 5 ; reste 2.

Usage des oprations. - Le programme ne spare pas la pratique des oprations de leur usage ou de leurapplication. L'lve doit savoir quand il faut faire une addition, une soustraction, une multiplication, unedivision.

Addition. - Il parat vident qu'on doit additionner deux grandeurs de mme espce. Le nombre quimesure la somme est la somme des nombres qui mesurent les grandeurs additionnes.Cependant cette opration soulve des objections assez graves. Que veut dire de mme espce ? Despommes et des poires ne sont pas de mme espce et pourtant 8 pommes et 7 poires font 15 fruits. Huit litres etsix litres sont de mme espce et cependant on n'additionne pas 6 litres de vin et un vase de 8 litres.En ralit, on n'additionne pas des grandeurs, fussent-elles de mme espce : on mlange les pommes et les

poires ; 8 litres de vin et 6 litres de vin ; on rcapitule ou on ajoute des dpenses ou des recettes ; on place bout

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bout des longueurs ; on parcourt successivement des chemins ; on compte des temps qui se suivent ; onallonge, on accrot, on runit, on assemble...A toutes ces combinaisons de grandeur correspond laddition de leurs mesure.

Soustraction. - On a indiqu au cours prparatoire que la soustraction tait la recherche d'un termeinconnu d'une addition dont on connat l'autre terme et le rsultat. Ceci s'applique naturellement aux

grandeurs. Il suffit de remplacer le mot addition par le terme qui convient ; par exemple, complter unelongueur inacheve, trouver un poids net qui, par addition la tare, donne le poids brut...La soustraction correspond aussi la notion de reste qui rsulte d'oprations trs diffrentes plus ou moinscaractrises par les verbes : retrancher, diminuer, couper, enlever, dtruire, supprimer, tirer, retirer, soutirer,perdre, donner, consommer, dpenser,..Un troisime point de vue suppose une comparaison pralable. Il n'y a pas d'inconvnient apprendre auxlves que :pour trouver la diffrence de deux nombres on cherche celui qui est le plus petit, puis on le soustraitdu plus grand. Cette faon de procder claire les notions de bnfice et de perte, d'conomie et de dette.

Multiplication. - Il est frquent de dire que la multiplication est une addition abrge. On rpte lemultiplicande autant de fois qu'il y a d'units dans le multiplicateur. Quoique cette dfinition apparaisse trsclaire quand il s'agit de petits nombres, on ne s'en sert pas pour justifier les rgles appliques pratiquement, nimme lusage de cette opration. En fait, dans le cas le plus frquent, la multiplication est une convention

commerciale : le prix total d'une grandeur (poids, longueur, volume, nombre d'objets) est obtenu en multipliantle prix de lunit (g, m, l, objet) par le nombre d'units. Cette rgle s'tend quand on cherche un salaire total(produit du salaire horaire, journalier... par le nombre d'heures, de jours ... ) ; elle s'tend aussi la recherchedu poids total d'un volume de liquide, d'une longueur de fil, etc.Ces quelques cas semblent trs suffisants dans l'enseignement du cours lmentaire, soit qu'on les affirmecomme des rgles, soit qu'on les justifie par une apparence de raisonnement.Quand les lves notent une multiplication, dans leur solution, il leur est utile de rappeler la significationconcrte de chaque nombre. Par exemple, ils pourront crire

(f par kg) (kg)75 5 = 375 francs ;

(f par heure) (heure)25 42 = 1050 francs ;

Le signe comme le signe + et le signe nindique que l'opration faire sur les nombres et non sur lesgrandeurs.

Division. - La division est l'inverse de la multiplication, c'est--dire la recherche d'un facteur inconnud'un produit. En ralit l'opration n'est en gnral qu'approche et il y a un reste. Comme on distingue, dans lamultiplication, multiplicande (valeur de l'unit) et multiplicateur (nombre d'units), il y a deux cas dans ladivision suivant quon cherche l'un ou l'autre. On peut les distinguer d'une faon sommaire en disant qu'on peutchercher la valeur d'une part ou le nombre de parts. Exemples :

(oranges) (enfants)33 : 7 = 4 oranges par enfant ; reste 5 oranges.

(oranges) (orange par enfant)33 : 4 = 8 enfants ; reste 1 orange.

(f ) (kg)375 : 5 = 75 francs par kg.

(f ) (f par kg)

375 : 75 = 5 kg.

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Problmes. - En principe, on peut se borner aux problmes dont la rsolution ne ncessite qu'une seuleopration, crite ou mentale. Quand la solution ncessite plusieurs oprations, on peut en faciliter la rechercheen demandant les rsultats intermdiaires par des questions auxiliaires. Les quelques types simples quiparaissent constituer le maximum de ce que l'on peut demander des lves du cours lmentaire sont :

1 Une suite d'additions et de soustractions de petits nombres, par exemple, recettes et dpenses avec gain et

perte ;

2 Une facture simple : une ou deux multiplications et une addition ;

3 Une addition ou une soustraction suivie d'une division ;

4 Une division suivie d'une multiplication.

Surfaces. -La relation entre le m et le dm rsulte immdiatement de l'examen d'un damier de 100 cases. Demme l'examen d'un quadrillage justifie le calcul de la surface d'un rectangle dont les dimensions sont desnombres entiers, soit de cm, soit de m. Cet examen fournit aussi l'objet de petites manipulations et devrifications d'galits numriques, par exemple

6 2 = 3 4

Le programme ne prvoit pas d'autres calculs de surface. On pourra les complter par quelques problmes devaleur de terrain, de rendement de champ.

Temps. - On peut se borner, au cours lmentaire, une leon de choses sur le nombre de jours dans lesdiffrents mois et sur la faon de lire l'heure en heures et minutes.

Gomtrie. -Les notions de gomtrie doivent tre comprises comme des exercices d'observation et de leonschoses en mme temps qu'un premier apprentissage du dessin et du travail manuel (dcoupage et pliage). Lepliage d'un carr pour la construction d'une cocotte peut fournir de nombreuses remarques : galit de cts,galits d'angles droits, partage d'un angle droit en deux angles de 45, centre et axe de symtrie..., etc. Il estdsirable que les lves aient un petit matriel de dessin : rgle, double-dcimtre, querre 45 (elle peut treconstruite par eux-mmes en carton). Les quadrillages utiliss pour l'tude des surfaces peuvent aussi servir de

base des dessins simples.

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COURS MOYEN

Nombres dcimaux. - L'usage des nombres dcimaux, dont l'tude est prvue au cours moyen, est maintenantentre dans la pratique de la vie courante.

Les lves ont presque tous entendu parler de prix exprims en francs et centimes, de poids exprims enkilogrammes et grammes, de capacits exprimes en litres et centilitres, de distances exprimes en kilomtres etmtres, etc. Il importe de prciser leurs connaissances et de leur faire comprendre l'quivalence des deuxexpressions d'un nombre concret, soit avec deux units, soit avec une virgule :2 mtres et 15 centimtres = 2,15 m.On sait qu'il existe diverses critures d'un nombre dcimal suivant la position de la lettre qui indique lunit :m : 2,15, ou bien 2m,15, ou bien 2,15 m.Bien qu'elle ne soit pas conforme la lecture, la troisime criture semble prfrable, en particulier, pourindiquer des nombres concrets dpendant de deux units32,10 fr. par kg.; 7,05 kg par dm.Il importe galement de faire comprendre et apprendre la rgle du dplacement de la virgule soit parchangement d'unit, soit par multiplication ou division par 10, 100, 1.000. Pour cela, il est au moins commode

d'utiliser toutes les units dcimales du systme mtrique. Cependant dans les donnes et les rsultats desproblmes, il vaut mieux se borner aux seules units pratiques (indiques dans les commentaires du courslmentaire). Il est bon que les chiffres dcimaux, complts au besoin par des zros, correspondent des unitspratiques. On est ainsi amen indiquer un nombre en francs avec deux dcimales (c) ; un nombre en mtresavec deux ou trois dcimales (cm ou mm) ; un nombre en kilomtres avec trois dcimales (m) ; un nombre enlitres avec deux dcimales (cl) ; un nombre en mtres cubes avec trois dcimales (dm), etc.

Oprations. - Les rgles de changement dunit permettent d'expliquer - sinon de justifier - la pratique desoprations. L'addition ou la soustraction de nombres dcimaux se ramne immdiatement celle de nombresentiers par un changement convenable d'unit. Pour additionnera 3,15 m avec 2,10 m, il suffit d'additionner 315cm et 210 cm, puis de revenir l'expression du total en mtres.On peut justifier la rgle de la virgule dans la multiplication par un double changement d'unit. Par exemple

3,40 7,25(fr par litre) (litres)

peut tre remplac par

0,034 725 = 24,66 f (fr par cl) (cl)

De mme pour la division :

2,975 : 0,790(kg) (kg par l)

peut tre remplac par :

2975 : 790 = 3,76 litres ; reste 4,6 g(g) (g par l)

Dans ce cas le remplacement n'est plus une explication, mais une partie de la rgle pratique.Ces exemples montrent en mme temps combien peut tre suggestif l'emploi de formules o chaque nombre estaccompagn de l'indication de lunit, ainsi qu'il a t dit pour le cours lmentaire. Cette faon d'crire ladivision donne aussi une indication prcise sur la nature concrte du reste.

Problmes. - Des units diverses peuvent tre employes pour les donnes d'un problme relatives desgrandeurs de mme espce. Les lves seront habitus choisir celles d'entre elles qui conviendront le mieux

pour leurs raisonnements et leurs calculs. Ainsi, ils devront :

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1 Appliquer couramment des rgles de changement dunit ;

2 Avoir une ide sommaire des ordres de grandeur, de faon ne pas employer des grammes pour valuer unchargement de wagon, ni des quintaux pour exprimer le poids dun bijou ; sous une autre forme, dans lesmesures, il faut choisir l'unit de faon viter les nombres trop grands ou trop petits qui ne parlent pas l'esprit.

La pratique du calcul mental et du calcul rapide, commence au cours lmentaire, devra tre tendue l'addition et la soustraction de nombres de deux chiffres. En outre, les lves devront tre entrans calculerrapidement une multiplication et une division par un nombre d'un chiffre sans poser l'opration. Ils doiventconnatre aussi les rgles de multiplication et de division par les nombres inverses simples : 2 et 0,5 ; 0,2 et 5 ;20 et 0,05 ; pour multiplier ou diviser par l'un des deux, il est quivalent de diviser ou de multiplier par l'autre.Cette pratique ne doit pas faire l'objet d'exercices numriques systmatiques, mais bien d'applicationsconcrtes. Dans les calculs des problmes, les oprations sur les nombres simples seront faites mentalement. Onhabituera aussi les lves chercher au pralable l'ordre de grandeur d'un rsultat en arrondissant lesdonnes numriques. La dtermination du nombre de chiffres avant la virgule, le changement d'unit, sont desoprations qui peuvent tre faites mentalement et dont l'importance est plus grande que celle d'une additionmentale de deux nombres de deux chiffres.

La condition de divisibilit par 2 et 5 rsulte de l'examen de la table des cent premiers nombres. Le mmeexamen peut servir de vrification la rgle de divisibilit dun nombre de deux chiffres par 9 ou par 3 :l'extension de cette rgle un nombre de plus de deux chiffres peut tre admise sans justification. La rgle de lapreuve par 9 peut tre limite, comme il est dit dans le programme, l'addition et la multiplication. Ellepourra tre aussi applique la vrification d'une soustraction par addition.

Les mots de la vie courante employs dans le programme, marquent la volont dune relation troite entreles mathmatiques de l'cole et les ncessits de la vie. Des problmes de la vie courante sont des problmesvraisemblables, dont l'lve a vu ou verra des exemples autour de lui. Avant de faire traiter un exercice dans laclasse, ou de le donner en devoir crit, le matre se demandera si cet exercice peut se prsenter raisonnablementdans la pratique. Pour connatre le diamtre dune tte de clou, il est plus immdiat, plus commode et plus exactde mesurer directement ce diamtre avec un pied coulisse. Par contre, il vaut mieux chercher d'abord lacirconfrence d'un gros arbre, puis calculer son diamtre. Dans le partage dune succession, le premier nombreconnu, sauf circonstances exceptionnelles, est le montant de l'hritage ; on passe de ce montant aux parts et nonde ces parts au montant. Par contre, un poids de confiture peut se calculer l'avance d'aprs le poids de jus defruit, le poids de sucre, et la rduction approximative de poids la cuisson.

Quotients et rgles de trois. - Le programme comporte explicitement l'tude du prix et du poids l'unit et desexemples analogues de quotients qui peuvent tre compris dans la dnomination gnrale de valeur del'unit . Une telle valeur peut tre un prix par unit de longueur, de distance, de surface, de volume ou decapacit, de temps ; ce peut tre un poids par unit de longueur ou de volume (poids spcifique) ; ce peut treencore une distance ou un volume par unit de temps (vitesse ou dbit) ; ce peut tre un rendement en volume,poids ou argent par unit de surface.Leur calcul et leur emploi sont rsums dans la formule :

Valeur totale = valeur de l'unit nombre d'units.

Cette formule donne la rgle de calcul, soit du premier membre par une multiplication, soit de lun des termesdu deuxime membre par une division.

L'nonc dune valeur de l'unit exige l'emploi de deux units de nature diffrente : fr par m, fr par km, frpar m, fr par l, fr par kg, fr par h, g par cm, kg par l, km par h, cl par s, hl par a, etc.

Il y a lieu de faire leur sujet des exercices de changement dunit, par exemple

1 kg/l = 1.000 g/l = 0,001 kg/cm = 1 g/cm

On a indiqu ci-dessus un des usages possibles de ces changements dunits.

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Les problmes usuels de rgle de trois conduisent la recherche d'un quotient intermdiaire qui peut tre, soitla valeur dune unit, soit un nombre d'units. Les formules suivantes en donnent deux exemples typiques :

valeur de la 1re parcellesurface de la 1re parcelle surface de la 2

meparcelle

prix de lhectolitre poids d'une rcoltepoids de l'hectolitre

Des exemples simples de quotient permettent, de mme, de justifier sommairement les divers modes de calculdes problmes de rgle de trois :

a bc ; a

bc ;

ac b

ainsi que des procds de vrification (division par un mme nombre d'un des facteurs et du diviseur).

Pourcentages. - Les pourcentages sont considrs comme des multiplicateurs abstraits, c'est--dire

indpendants du choix de l'unit de la grandeur considre. Prendre les 80 p. 100 d'une grandeur, cestpartager cette grandeur en 100 parties gales et prendre 80 de ces parties. Il suffit pour cela de multiplier lamesure de la grandeur par 0,80. On met ainsi en vidence la recherche inverse qui se fait en divisant par 0,80 :

Poids de farine = poids de bl 0,80 ;Poids de bl = poids de farine : 0,80.

Les pourcentages se rencontrent dans des problmes de proportions concernant des mlanges, destransformations, etc. Par exemple : azote dans l'air, savon frais et savon sec, poids de farine et poids de pain,acompte verser ; part de l'Etat et de la commune dans l'impt, intrt annuel dun capital.

Fractions. - Les fractions, comme les pourcentages, sont considres comme des multiplicateurs abstraits.Prendre les quatre cinquimes d'une grandeur, c'est partager cette grandeur en cinq parties gales et prendre

quatre de ces parties (il est quivalent de prendre les 80 p. 100). Il suffit pour cela de diviser la mesure de lagrandeur par 5 et de multiplier le quotient obtenu par 4. On retrouve ainsi le mode de calcul de la rgle detrois, par exemple :

poids de bl 45

poids de farine = { poids de bl 45

Le problme inverse consiste chercher une grandeur quand on connat la valeur de ses 4/5 ou son produit par4/5. Dans le problme prcdent, c'est chercher le poids de bl qui permettra dobtenir un poids de farine

connu. Il apparat aisment qu'il suffit de multiplier par la fraction inverse (ou renverse) 54

.

Poids de bl = poids de farine 54

Ces deux problmes inverses peuvent tre considrs en une seule formule en disant que :5 kg de bl donnent 4 kg de farine.

Laddition et la soustraction des fractions doivent tre tudies dans des cas numriquement trs simples et surdes problmes pratiques. Les matres se rendront compte qu'avec nos habitudes actuelles, ces problmepratiques sont de plus en plus rares. En outre, dans chaque cas, il est possible dutiliser des nombresproportionnels.

Examinons, par exemple, le cas suivant :

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La viande de porc renferme en moyenne 1/6 de son poids d'os et 1/5 de son poids de graisse. Quel poids deviande faut-il acheter pour avoir 1.000 grammes de viande dsosse et dgraisse ?

Le calcul par fractions conduit la formule :1.000 grammes : (1 1/6 1/5)

Il est peut-tre plus simple de dire qu'il y a, par 30 grammes de porc, 5 grammes d'os, 6 grammes de graisse etdonc 19 grammes utilisables. Le poids de viande acheter est donc les 30/19 du poids de viande utilisable. D'ola formule

1 000 grammes 3019

Cet emploi de nombres proportionnels est en ralit une rduction au mme dnominateur 30 ; il a l'avantagede donner au raisonnement de lenfant un support concret :

30g, 5 g, 6 g et la diffrence de 19 g, sont plus comprhensibles que l'unit, 1/5, 1/6 et la diffrence 1 1/5 1/6.

Mesures du temps. Le calcul direct de mesures du temps doit tre limit laddition et la soustraction de

nombres exprimant des temps en heures et minutes ; ou ventuellement en minutes et secondes.Le mcanisme des retenues et des reports est rendu trs clair par lanalogie avec le mme mcanisme pour lesnombres dcimaux.En ce qui concerne la multiplication et la division, il conviendra, le plus souvent, de passer par lintermdiairede nombres entiers ou dcimaux. Pour multiplier un nombre complexe mesurant un temps, on pourra, parexemple, le transformer d'abord en nombre dcimal, l'unit tant la minute. Inversement, la recherche d'untemps par une division pourra se faire en minutes ou en heures et sous-multiples dcimaux, sous la rservedexprimer ensuite le quotient en heures, minutes et secondes.

Surfaces et volumes. Ltude des surfaces, commence au cours lmentaire, peut tre complte parl'numration et les relations mutuelles des units thoriques et pratiques : m, dm, cm, a, ha. Pour le calculdes surfaces usuelles, on peut se borner celles qui sont indiques explicitement dans le programme. Il n'est pas

indispensable notamment de traiter le cas du triangle (et du trapze) non rectangle, ce qui suppose le choixd'une base et d'une hauteur, alors qu'il est presque aussi rapide de le dcomposer effectivement en deuxtriangles rectangles.L'tude des volumes appelle des remarques analogues.La longueur de la circonfrence, la surface du cercle et, en consquence, la surface latrale et le volume d'uncylindre droit ne doivent donner lieu qu' l'utilisation (bien entendu sans justification thorique) du nombreapproch 3,14.

Gomtrie. -Les notions de gomtrie tudies au cours lmentaire comme des exercices d'observation et deleon de choses doivent tre un peu prcise au cours moyen en introduisant l'usage de quelques mots nouveauxet l'emploi de quelques instruments simples : rgles, querres, compas. Des constructions de carrs et derectangles permettront de faire comprendre, sinon de dfinir, l'angle droit, la notion de droites perpendiculaireset de droites parallles. La notion d'angle, en gnral, sera associe l'usage de rapporteurs, soit pour

mesurer, soit pour construire des angles.L'tude du triangle rgulier (ou quilatral) et celle de l'hexagone, ainsi que leur construction, seront faites parl'observation comme avait t faite celle du carr dans le cours lmentaire.La notion d'chelle (de plan ou de carte) pourra tre tudie soit sur des exemples gomtriques, soit par desexercices d'arithmtique ; elle sera alors associe l'tude de pourcentages et de fractions simples quellepermettra inversement d'illustrer. Les notions pratiques indiques pour le cube, le paralllpipde rectangle, lesprismes droits et le cylindre de rvolution ne seront donnes quen raison de leur utilisation pour le calcul dessurfaces latrales des volumes. Elles pourraient tre accompagnes de quelques exercices simples de travailmanuel en utilisant soit du carton, soit du fil de fer.

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COURS SUPRIEUR

Le programme du cours suprieur est intermdiaire entre le programme du cours moyen et celui des classes defin d'tudes, mais aussi entre celui du cours moyen et celui de la classe de cinquime ou de deuxime anne decours complmentaire. Il comporte une rvision de la pratique et de l'usage du calcul appliqu l'tude

mthodique des mesures de grandeur usuelles.Ces explications soulignent les caractres essentiels des nouveaux programmes de l'enseignement mathmatique l'cole primaire.Calculer vite et bien reste son objectif principal.Ce but utilitaire explique la place de choix donne l'tude desnombres entiers et des nombres dcimaux - qui suffisent aux problmes de la pratique courante - et la placerduite laisse aux fractions ordinaires. L'apprentissage du calcul numrique prend appui les faits de la vierelle. Enfin, aucun moment, on n'a recours au raisonnement dductif, abordable seulement pour desadolescents. Les enfants de l'cole primaire pourront constater des proprits curieuses des nombres et desoprations ; le matre ne se proccupera pas de les justifier ; il les considrera seulement comme des matriauxqui pourront tre utiliss plus tard.Bref, lobservation, qui doit tenir une grande place dans les leons de choses, dhistoire et de gographie, doitjouer aussi un rle important dans l'tude des premiers rudiments des mathmatiques.

CLASSE DE FIN D'TUDES.

(1938).

. La classe de fin d'tudes primaires doit servir de transition entre l'cole et la vie. On souhaite que l'enfant yperde progressivement son esprit d'colier pour s'initier aux problmes concrets si varis que lui poseront dans lavie sa profession future et ses obligations de citoyen. On veut lui montrer qu'il peut rsoudre nombre de cesproblmes l'aide des notions qu'il a acquises l'cole. Mais il y aura bien des sortes de classes, bien descatgories d'lves, bien des milieux sociaux, entranant une multitude de problmes spciaux.

Le matre devra donc choisir parmi eux les questions qui lu sembleront les mieux adaptes aux besoins et auxaptitudes de ses lves; il guidera son choix en tenant compte aussi es des ncessits et des habitudes locales.

D'autre part, il faudra lutter contre une certaine lassitude de l'colier de quatorze ans dj attir par la vie, il luifaudra viter mpris du dj vu et provoquer par tous les moyens sa curiosit et son activit joyeuse.

La vie sociale et les activits familiales avec les communications postales, l'pargne, la mutualit, les assurances,les traitements, les indemnits, les retraites, les impts, les voyages et transports, les achats et les ventesmobilires et immobilires, les installations envisager dans la maison, eau, chauffage,- lectricit, lesconstructions et les rparations, la comptabilit mnagre, seront l'occasion d'exercices de toutes sortes,vocabulaire, lettres, demandes de renseignements aussi bien que calcul, devis, factures, tudes de prix de revient,projets d'itinraires, etc. et ces exercices intresseront visiblement tous les jeunes, dans toutes les coles.

La vie urbaine et l'activit industrielle, avec le commerce, les grands magasins, les banques, les usines, lessalaires, les frais gnraux, les inventaires, les bilans, le thtre, le cinma, les cercles, etc., feront l'objet

d'exercices porte plus restreinte.Et toutes nos coles rurales porteront leurs efforts, au contraire, sur la ferme, les champs, les bois, les jardins, lesengrais, les cultures, le rendement, l'arpentage, le cubage des bois, les animaux, l'levage, la basse-cour, lalaiterie, les machines agricoles, les baux, les coopratives, la comptabilit agricole.

Tandis qu' la ville ou la campagne, dans la classe spcialise ou dans l'cole tous les cours, les jeunes fillesapprendront de leur mieux le mtier de mnagre et celui de maman, - tenue d'un carnet de mnage,tablissement du prix de revient d'un plat, d'un repas, etc. -.

En dfinitive, il faut parvenir, par un enseignement plus que jamais concret, exigeant une activit toujours plusgrande des lves, propos des questions les mieux adaptes aux gots et aux moyens de chacun d'eux, leslancer dans la me plus arms que nagure, prpars rsoudre les difficults de tout ordre qu'ils auront

surmonter, et entrans un autodidactisme fcond grce auquel ils auront pendant toute leur vie la possibilitd'acqurir des ides nouvelles et d'assimiler celles qu'ils n'auraient fait qu'effleurer.

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III. - RPARTITIONS

Le caractre concret de l'enseignement mathmatique lmentaire est affirm avec insistance tant par lesnouvelles que par les anciennes instructions. Ds le cours prparatoire, et surtout ce cours; on devra donc seservir de choses pour l'initiation aux lments du calcul. Un matriel collectif et un matriel individuel serontrassembls au dbut de l'anne. A titre d'indication, voici une liste des objets les plus faciles se procurer en

quantits suffisantes :

marrons, glands, graines diverses (haricots, mais, potiron), petits cailloux, coquillages, perles, jetons, boutons,confetti, disques ou carrs de carton ou de bois, dominos, jeux de cartes, chiffres mobiles, pions en lige,bchettes, pices de monnaie en carton, billets de banque dessins, etc. On ne donnera pas aux enfantsl'habitude, dont ils se dferaient difficilement par la suite, de compter sur leurs doigts.

Notre rpartition suit une progression trs lente : c'est ainsi qu'on consacrera trois mois au cours prparatoire l'tude des 10 premiers nombres. Au cours lmentaire, le premier trimestre, dans chaque anne, est rserv larevision des notions acquises antrieurement. Les lments de systme mtrique et de gomtrie sont rpartis surle reste de l'anne. On insistera particulirement dans ce cours sur l'tude des tables d'addition et demultiplication qui devront faire l'objet de frquentes revisions.

Au cours moyen, nous avons prvu, pour chaque mois, l'tude simultane de l'arithmtique, du calcul mental, dusystme mtrique et de la gomtrie. C'est dans cet ordre que sont numres et rparties les diverses questionsdu programme de 1945 qui est particulirement dtaille et prcis.

Les instructions qui accompagnent ce programme en donnent une interprtation mthodique et minutieuse quinous dispense de tout commentaire. II suffira de les lire et de les relire pour comprendre l'esprit des nouveauxprogrammes.

Au cours suprieur, nous avons suivi l'ordre des questions, tout en continuant de distinguer systme mtrique,gomtrie et arithmtique, mais il va de soi que dans toute la mesure possible, nous avons respect les relationstablies systmatiquement entre ces trois enseignements.

Le programme de la classe de fin d'tudes est particulirement important en arithmtique et a, comme on le sait,un caractre essentiellement pratique. Nous avons donn de nombreux exemples de problmes concrets, dansl'ordre mme du programme, rparti sur deux annes.

Les questions de systme mtrique et de gomtrie comportent naturellement une revision des notions djacquises dans les cours prcdents, et leur application aux problmes de la vie pratique. La matire en est assezsuccincte pour que nous ayons pu la dvelopper au cours de la 1re anne. En 2 me anne de fin d'tudes, l oelle existe part, on reprendra les mmes questions, avec des applications nouvelles.

C'est au cours moyen que nous avons indiqu les principes du calcul mental. On ne ngligera pas, bien entendu,d'en faire usage tout moment dans les cours suivants, en s'inspirant de plus en plus des termes des Instructionsdu 30 octobre 1947 sur les preuves du C. E. P. : Il ne s'agit pas d'exercices artificiels et abstraits mettant enuvre des mcanismes savants, mais de questions concrtes et simples, comme il s'en prsente dans la vie de

chaque jour.

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Cours Prparatoire

OCTOBRE

Etude concrte des nombres de 0 5.Former les nombres 1, 2 (1 et 1), 3 (2 et 1), 4 (3 et 1), 5 (4 et 1) l'aide d'objets et les nommer.Faire reproduire ces collections avec d'autres objets. Faire montrer dans la classe des collections gales (3cahiers, 3 lves, etc.).Faire dessiner des groupements de 2, 3, 4, 5 objets et compter.Reprsenter chaque groupement par le chiffre convenable et nommer ce chiffre.Faire crire les chiffres 1, 2, 3, 4, 5. Les faire reconnatre.

Calcul oral : Petites additions concrtes (1 marron et 3 marrons, etc.) dont le total ne dpasse pas 5.Petites soustractions, l'aide d'objets, portant sur les 5 premiers nombres.

Notion du zro, diffrence de 2 nombres gaux (3 - 3 = 0)

NOVEMBRE

Les nombres 6, 7, 8, 9.Mme mthode concrte qu'en octobre (former les nombres l'aide d'objets, les nommer, crire les chiffre et lesfaire reconnatre).Apprendre le rang (1er, 2e, 3e, etc.) des objets d'une collection. Exercices nombreux et varis.

Calcul oral: Additions concrtes dont le total ne dpasse se pas 9. Emploi du termeplus.Soustractions, l'aide d'objets, portant sur les 9 premiers nombres. Emploi du terme moins.Notion de double et de moiti sur ces nombres.

Calcul crit: Additions dont le total est au plus gal 9. Soustractions dont le grand nombre est au plus 9.Reprsenter les oprations l'aide des chiffres. Emploi des signes +, -, =. Disposition pratique des oprations.

DCEMBRE

Le nombre 10. La dizaine.Former le nombre 10. Former des groupes de 10 objets ou une dizaine ou 2 demi-dizaines.Compter des dizaines d'objets jusqu' 10 dizaines.Compter les centimtres d'un dcimtre gradu. Mesurer des longueurs au plus gales 10 centimtres.

Calcul oral. Dcomposer une collection de 10 objets au plus en deux collections partielles. Additions concrtes

dont le total est gal 10. Emploi du terme somme. Soustractions dont le grand nombre est infrieur 10.Emploi du terme diffrence.

Calcul crit: Additions et soustractions. Exercices de revision sur les 10 premiers nombres.

JANVIER

Les nombres de 11 15.Former, nommer et crire les nombres dix-un (onze), dix-deux (douze), etc.Dcomposer les nombres de 11 15 en dizaine et units l'aide de collections d'objets.Dcomposer les nombres en une somme de deux parties dont l'une est connue, trouver l'autre (I2 = 8 + ...).Continuer l'tude du rang (onzime, douzime, etc.).

Calcul crit: Additions dont le total est au plus gal 15.Soustractions dont le plus grand nombre est intrieur 10.

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FVRIER

Les nombres de 16 20.Former, nommer et crire les nombres 10-6 (I6), 17, 18 19, puis 10-10 (2 dizaines ou 20).Usage du double dcimtre gradu en centimtres.

Le rang (16e,17 e, etc.).Compter de 2 en 2 jusqu' 20, puis rebours. Double des nombres de 1 10. Nombres pairs et leur moiti.

Calcul crit: Additions de 2 nombres sans retenue (total au plus gal 20).Usage de la table d'addition. Faire apprendre par cur les rsultats.Soustractions de deux nombres de 2 chiffres sans retenue, le plus grand nombre tant infrieur 20.

MARS

Les nombres de 21 60.Former, nommer et crire les nombres de 21 29. Le nombre 30 (ou 3 dizaines) et ainsi de suite jusqu' 60.Dcomposer ces nombres en dizaines et units.

Compter de 2 en 2 jusqu' 60. Moiti d'un nombre pair infrieur ou gal 20. Nombres impairs.Le rang ( 25e, 37 e, etc.).

Calcul crit: Additions, avec retenue, de 2 nombres de 2 chiffres dont le total est au plus gal 60. Dispositionde l'opration. Table d'addition.Soustractions, sans retenue, de 2 nombres de 2 chiffres, le plus grand nombre tant infrieur 60.

AVRIL

Les nombres de 61 80.Former, nommer et crire les nombres de 61 70, puis de 70 80.Le nombre 80, ou 8 dizaines. Dcomposer ces nombres en dizaines, demi-dizaines et units.Compter par 2 et par 5.

Multiplication par 2 et par 5.Moiti d'un nombre pair infrieur ou gal 80. Nombres impairs.Le rang.

Calcul crit: Additions comme en mars (total au plus gal 80). Table d'addition.Soustractions, avec retenue, dont le plus grand nombre est au plus gal 8o.Multiplications par 2 sans retenue.

MAI

Les nombres de 81 100.Former, nommer et crire les nombres de 81 89. Le nombre 90 ou 9 dizaines. Les nombres de 91 99. Le

nombre 100 ( 10 dizaines).Dcomposer ces nombres en dizaines et units. Usage du damier de 100 cases et du mtre gradu en dcimtreset centimtres.Ajouter 2, retrancher 2, ajouter 5, retrancher 5.Multiplication par 2 et par 5.Moiti d'un nombre pair infrieur ou gal 100. Nombres impairs.Le rang.

Calcul crit: Additions, comme prcdemment (total au plus gal 100).Table d'addition.Soustractions avec retenue, le plus grand nombre tant au plus gal 99.Multiplications par 2 dont le produit ne dpasse pas 100, d'abord sans retenue, puis avec retenue.

JUIN

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Lecture, criture des nombres de 1 100.Dcomposition de ces nombres en dizaines et units.Compter de 2 en 2, de 10 en 10 de 5 en 5, jusqu' 100.Multiplication et division par 2 et par 5.

Calcul crit: Additions et soustractions. Petits problmes.

Multiplications par 5, sans retenue, puis avec retenue, le produit ne dpassant pas 100.Division par 5.

JUILLETRevision.

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Cours Elmentaire

1re anne. 2 e anne.

OCTOBRE

Revision des 9 premiers nombres. Additions etsoustractions.Table d'addition (apprise par cur). La dizaine.Le mtre et le dcamtre.Le litre et le dcalitre.Le gramme et le dcagramme.Le franc et le billet de dix francs.Revision des complments 10.Revision des nombres de 10 20.

Revision : Formation, lecture et criture des nombresinfrieurs 100. Units, dizaines. Le mtre, le dcamtre.valuer des longueurs en mtres, dcamtres. Le litre, ledcalitre. Le gramme, le dcagramme. Le franc et le billetde 10 francs.Additions (total infrieur 100) . Revision de la tabled'addition.Soustractions (grand nombre infrieur 100) sansretenue, puis avec retenue.Problmes une opration.Calcul mental.

Gomtrie: Les lignes, les angles.

NOVEMBRE

Revisiondes nombres de 20 50.Continuer l'tude de la table d'addition.Dcomposition en dizaines et units.Dcomposition d'une collection de 50 objets au plus en 2collections partielles.Compter de 2 en 2 (nombres pairs), de 5 en 5. Le doubleet la moiti.Addition d'un nombre de 2 chiffres et d'un nombre d'unseul chiffre, sans retenue, puis avec retenue.Soustraction de 2 nombres, le plus grand infrieur 5o,

sans retenue, puis avec retenue.

Revision.- Les nombres de 100 1000.Units, dizaines, centaines.L'hectomtre, le kilomtre.L'hectogramme, le kilogramme.Le billet de 100 francs et le billet de 1000 francs.Additions (total infrieur 1 000). Revision de la tabled'addition. Compter par 2, 3, 4, 5. Preuve de l'addition.Soustractions (grand nombre infrieur 1 000).Multiplications par 2, 3, 4, 5.Divisions par 2, 5.

Problmes 2 oprations (addition, soustraction).Calcul mental.Gomtrie:L'angle droit. Le carr.

DCEMBRE

Revision des nombres de 51 100.Dizaines et units. Table d'addition. Addition de plusieursnombres de 2 chiffres et d'un chiffre.Soustraction de nombres de 2 chiffres, sans retenue, puisavec retenue.Compter de 5 en 5 et de 10 en 10.Petits problmes simples une opration.

Revision. Les nombres de 1 1 000.Le mtre, le dcamtre, l'hectomtre, le kilomtre.Le litre, le dcalitre, l'hectolitre.Le gramme, le dcagramme, l'hectogramme, lekilogramme.Additions et soustractions. Table d'addition.Preuve de la soustraction.Compter par 6, 7, 8, 9.Multiplication par 6, 7,8, 9.Division par 3, 4.Problmes 2 oprations dont une multiplication.Calcul mental.Gomtrie: Le rectangle.

JANVIER

Le nombre 100. Le billet de 100 francs.Dcomposition en dizaines.L'hectomtre. L'hectogramme. L'hectolitre.tude des nombres de 101 200.Additions (total infrieur 200). Soustractions (grand

nombre infrieur 200).Multiplications par 2 et par 5.Calcul mental (additions et soustractions ne faisant pas

Les nombres de 1 000 2 000. Formation, lecture,criture.Le mtre, le dcimtre, le centimtre, le millimtre. Usagedu double-dcimtre. valuation de longueurs.Additions (total infrieur 2 000). Soustractions (grand

nombre infrieur 2 000) .Multiplication par 10.Multiplication par un nombre de 2 chiffres. Disposition

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intervenir des nombres suprieurs 100).Gomtrie : Les lignes, la ligne droite, proprits, trac dela ligne droite.

de l'opration.Division par 6.Problmes une division.Calcul mental.Gomtrie: Droites perpendiculaires, droites parallles.

FVRIER

Les nombres de 201 500.Dcomposition en centaines, dizaines, units.Addition de plusieurs nombres de 3 chiffres. Soustractionde 2 nombres de 3 chiffres. Multiplication par 3, 4.Compter de 4 en 4.Division par 2. Disposition de l'opration.Calcul mental : Mme programme.Gomtrie: Les angles. L'angle droit, le demi-angle droit.Usage de la rgle et de l'querre 45.

Les nombres de 2 000 5 000. Formation, lecture,criture.Le litre, le dcilitre, le centilitre, le millilitre. Addition deplusieurs nombres (total intrieur 5 000). Soustractions(grand nombre infrieur 5 000).Multiplication par un nombre de deux chiffres.Multiplication par 100.Division par 7.Problmes une ou deux oprations sur les gains,traitements, salaires.Calcul mental.Gomtrie : Angles droits, moiti d'un angle droit. Anglesaigus, angles obtus.

MARS

Les nombres de 500 999.Dcomposition en centaines, dizaines, units. Additions etsoustractions (comme en fvrier). Multiplication par 6, 8.Compter de 6 en 6, de 8 en 8.Division par 2, par 5.Petits problmes simples deux oprations (addition etsoustraction).Calcul mental : Mme programme.Gomtrie : Le carr, proprits, diagonales, primtre.

Les nombres de 5 000 10000. Formation, lecture,criture.Addition de plusieurs nombres (total infrieur 10 000).Soustraction (grand nombre infrieur 10 000).Multiplication par un nombre de 2 chiffres.Multiplication par I 000.Preuve de la multiplication.Division par 8 et par 9,Problmes une ou deux oprations sur les dpenses,conomies.

Calcul mental.Gomtrie : Le triangle rgulier. Cts, sommets, angles.

AVRIL

Le nombre 1000. Le billet de1 000 francs.Dcomposition en centaines.Le kilomtre, le kilogramme.Additions et soustractions (nombres de trois chiffres).Multiplication par 7.Compter de 7 en 7.Division par 3.Problmes simples une multiplication.Calcul mental: Mme programme.

Gomtrie : Le rectangle, proprits, diagonales,primtre.

Mois et jours. Heures et minutes. (Lecture de l'heure.)Addition de plusieurs nombres (total infrieur 10 000).Soustractions (grand nombre infrieur 10 000).Multiplications par un nombre de deux chiffres.Divisions par 10, par I 00.Problmes deux oprations sur le prix d'achat, prix derevient, prix de vente.Calcul mental.Gomtrie: Le cercle, (centre, rayon, diamtre).

MAI

La numration (revision). Le mtre, le dcamtre,l'hectomtre, le kilomtre.Le litre, le dcalitre, l'hectolitre.Additions et soustractions (nombres de trois chiffres).Multiplication par 9, compter de 9 en 9.Division par 4.Petits problmes deux oprations : addition (ousoustraction) et multiplication.Calcul mental. mme programme.

Gomtrie: les lignes, les angles (revision).

Lecture de l'heure.La numration. Les nombres de 1 10 000 (revision).Units, dizaines, centaines, mille.Additions et soustractions.Multiplications par un nombre de deux chiffres.Multiplications par 10,100, 1000.Divisions par 10, 100, 1000.Divisions par un nombre de deux chiffres.Problmes : bnfice ou perte.

Calcul mental.Gomtrie : Ide de la surface du rectangle parquadrillage (valuation en cm ou en m).

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Relations entre le mtre carr, le dcimtre carr, lecentimtre carr

JUIN

La numration (revision). Le gramme, le dcagramme,l'hectogramme, le kilogramme.Addition et soustraction. Revision de la table d'addition.Multiplication par 10. Compter de 10 en 10.Revision de la table de multiplication.Division par 2, 3, 4, 5.Petits problmes deux oprations.Calcul mental: Mme programme.Gomtrie: Le carr, le rectangle (revision).

Lecture de l'heure.La numration (revision).Multiplication : facteurs termins par des zros; facteursavec zro intercal au multiplicateur.Revision de la table de multiplication.Multiplications et divisions par un nombre de deuxchiffres.Problmes. Dpense par mois, par jour.Prix d'achat de l'unit. Bnfice ou perte par unit.Calcul mental.Gomtrie: Construction et observation d'un cube.

JUILLETRevisions.

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Cours Moyen

1re anne. 2 e anne.

OCTOBRE1.Arithmtique. - Rvision: les nombres entiers de 1 10 000.Addition et soustraction des nombres entiers. Preuve dela soustraction.

2. Calcul mental: Revision des tables d'addition.Additions telles que50+40; 50+ 13;45 + 15 ; 48 + 57 ;48,5 + 14; 12,7 + 13,2.(Problmes concrets.)

3.Systme mtrique: Le mtre. Ses multiples. Mesure deslongueurs l'aide des instruments usuels (chane ouruban d'arpenteur, mtre en bois ou en mtal).

4. Gomtrie: Les lignes, les angles. Angle droit. Droitesperpendiculaires. Usage de l'querre.

1.Arithmtique. - Revision. Nombres entiers, nombresdcimaux. Les quatre oprations.

2. Calcul mental: Revision des tables et applicationssimples.

Multiplication par 10; 100; 1 000; par 0,1; 0,01; 0,001.(Problmes concrets.)

3.Systme mtrique : Les mesures de longueur.

4. Gomtrie : lignes et angles. Droites Perpendiculaires etdroites Parallles. Le triangle.

NOVEMBRE

1.Multiplicationdes nombres entiers.tude des nombresdcimauxen liaison avec les units de longueur : Ledcimtre, le dixime, le centimtre, le centime, le

millimtre, le millime.Lecture, criture des nombres dcimaux. Changementsd'units dcimales. Addition et soustraction des nombresdcimaux.

2.Soustractionstelles que : 128 - 7 ; 370 - 40; 800 - 50; 136- 13; 12475 - 17; 16 - 8,25; 18,6 - 13,2.

3. Mesure de longueurs l'aide du double-dcimtregradu en centimtres et millimtres.

4.Droites perpendiculaires, droites parallles. Le carr, Lerectangle (revision). Trac avec la rgle et l'querre.Trac de quadrillages.

1.Revision : Fractions dcimales. Fractions ordinaires.Rduction au mme dnominateur. Comparaison.

2.Divisionpar 10; 100; 1 000; par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

3. Les poids, les mesures de capacit. Mesures effectives.Changements d'unit. Les monnaies.

4.Le triangle. Le trapze rectangle.

DCEMBRE

1.La division des nombres entiers(diviseur ayant au plus 2chiffres). Multiplication des nombres dcimaux:Multiplication par 10, 100 ,1000. .

2. Doubler un nombre de 2 chiffres ; quadrupler unnombre de 2 chiffres. Multiplication par 5, par 50.

3.Le litre, ses multiples. tude des sous-multiples du litreen liaison avec celle des nombres dcimaux.

4. Trac et tude sommaire du triangle rectangle, dutriangle rgulier, de l'hexagone rgulier.

1. Les fractions : Addition, comparaison, soustraction.Calculer une fraction d'une grandeur et problmeinverse.

2. Multiplication par un nombre d'un seul chiffre.Prendre la 1/2, le 1/3, le 1/4.

3.Les mesures de surface. Les mesures agraires.

4.Surface du carr, du rectangle, du triangle et du trapze

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rectangle.

JANVIER

1. Division des nombres dcimaux : Division par 10, 100,1000.

2. Multiplicationpar 25 ; 0,1; 0,01 ; 0,001; multiplicationpar 0,5; 0,25; 2,5.

3.Les units de poids:Multiples et sous-multiples du gramme. Le quintal. Latonne.Units thoriques et pratiques de monnaies.

4. Cercle et circonfrence:Usage du compas. Centre, rayon, diamtre. Longueur dela circonfrence. Emploi du nombre = 3.14.

1.Divisibilitpar 2 et par 5 ; par 3 et par 9.Preuve par 9 de l'addition et de la multiplication.Utilisation des caractres de divisibilit pour lasimplification d'un quotient.

2.Multiplication par 0, 2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,25 ; 0,125.

3.Mesures de volume.

4. Surface d'une figure simple dcompose en rectangles,triangles et trapzes rectangles.

FVRIER

1 . Revision : Usage et pratique des quatre oprations surles nombres dcimaux.

2.Divisionpar 0,1; 0,01 ; 0,001.

3.Les units de surface:Le mtre carr. Multiples et sous-multiples. Changementsd'unit.

4. Calcul de la surface ou superficie du rectangle et du

carr.

1 .Mesure du temps. Heures, minutes, secondes.Annes commerciales de 12 mois de 30 jours.

2.Multiplication et divisionpar 5 ; 50 ; 0,05 ; 2,5 ; 25.Multiplication par 1,1 ; 0,9 ; 1,5 ; 1,25 ; 0,75 .

3.Relationsentre les mesures de volume de capacit et depoids.

4. La circonfrence et le cercle : Angle au centre. Arc.

Usage du rapporteur, gradu de 5 en 5 degrs. Longueurde la circonfrence. Surface du cercle.

MARS

1. Fractionstrs simples de grandeurs : demi, tiers, quart,cinquime. Additionner, comparer et soustraire desfractions ayant le mme dnominateur dans desproblmes trs simples.

2.Multiplication par 9 et par 11; par 0,9; par 1,1 ; par 15 ;par 1,5.

3. Units de surface. Mesures agraires.

4. Surface des triangles rectangles et des trianglesrguliers.

1. Rgle de trois simple : Utilisation des caractres dedivisibilit pour la simplification d'une rgle de trois.

2.Multiplicationpar 2, 1; 3,1 ; 1,9 ; 2,9 ; 11 ; 101 ; 9 ; 99.

3. Ide du mouvement uniforme : Vitesse moyenne d'un

mobile. Problmes sur les vitesses.

4.Le cube: Observation. Surface latrale. Volume.

AVRIL

1. Fractions trs simples de grandeurs : dixime,soixantime.Rduction de 2 fractions au mme dnominateur.

2.Divisionspar 0,2 ; 0,02 ; 0,5 ; par 5 ; 50.

3. Units de volume:Le mtre cube et ses sous-multiples. Lecture. criture.

1. Intrt simple : Problmes sur les placements courtterme.Pourcentages. Expressions diverses : 6 p. 100 ; 6/100 ;0,06 .

2.Multiplicationpar 15; 0,I5 ; I2; I20; 7,5 ; 75.

3.Problmes sur les vitesses.

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Changements d'unit.

4.Notions pratiques sur le cube. 4. Construction d'un paralllpipde rectangle.Observation. Volume. Surface latrale. Peinture ettapisserie.

MAI

1. Calculer une fraction d'une grandeur.

2.Divisionpar 0,25; 2,5 ; 25.

3. Comparaison du mtre cube au dcimtre cube et aucentimtre cube. Le millimtre cube.

4.Le paralllpipde rectangle: tude et volume.

1.Retenues et rabais:Prix et poids l'unit et exemples analogues de quotients,

2.Divisionpar 1,5; 0,75 ; 1,25 ; 15 ; 75.

3.Notions sur les chelles des plans et des cartes.

4- Construction d'un prisme droit. Observation. Volume.Surface latrale.

JUIN

1. Prix et poids l'unit et exemples analogues dequotients.Rgle de trois.

2. Calcul mental: revisions.

3. Le stre : Correspondance des units de volume et decapacit.

4.Le prisme droit.Le cylindrede rvolution bases circulaires.

1.Revisions et Problmes d'application.

2.Revisions: Problmes concrets de calcul mental.

3.Revisions et problmes d'application.

4.Le cylindre droit bases circulaires: Surface latrale etvolume. Problmes d'application.

JUILLETRevisions gnrales.

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Cours Suprieur

Ce cours d'une anne, facultatif, ne peut exister que dans les coles ayant plus de quatre classes (voir lesInstructions du 18 juillet 1945). Il doit tre considr comme un cours moyen (2eanne) pour les lves fortsavec le mme horaire, les mmes programmes, sauf pour l'arithmtiqueet les exercices d'observation.

OCTOBRE

1. Systme mtrique : Mesure des longueurs. Emploi des instruments usuels (chane ou ruban d'arpenteur, mtresun bois, en mtal, rgles gradues et rglets).

2. Gomtrie: Longueur de la circonfrence.Usage de la rgle, de l'querre, du rapporteur et du compas pour des tracs usuels.Constructions simples droites perpendiculaires, - droites parallles - angle gal un angle donn - bissectriced'un angle, etc...

3.Arithmtique: Problmes : vitesse dans le cas d'un mouvement uniforme; espace parcouru pendant l'unit de

temps et temps ncessaire au parcours de l'unit d'espace.Numration des mesures de longueur.

NOVEMBRE

1. Systme mtrique: Revision des mesures de surface.

2. Gomtrie : Aire du carr, du rectangle, du triangle rectangle, du trapze rectangle.

3.Arithmtique: Formation d'une table des carrs des nombres de 1 100. Carr d'un nombre.Recherche de la racine carre (avec deux chiffres exacts) d'un nombre entier ou dcimal.Numration des mesures de surface.

DCEMBRE

1. Systme mtrique: Revision des mesures agraires

2. Gomtrie : Aire d'un polygone quelconque, par dcomposition en triangles rectangles et en trapzesrectangles. Application un trapze et un triangle non rectangles.Formule de l'aire du cercle.

3.Arithmtique: Problmes : calcul des aires de terrains (carrs, triangles, trapzes, polygones quelconques).Numration des mesures agraires.

JANVIER

1. Systme mtrique: Revision des mesures de volume.

2. Gomtrie: Volume du cube, du paralllpipde rectangle, du prisme droit, du cylindre.

3.Arithmtique: Cube d'un nombre.Numration des mesures de volume.

FVRIER

1. Systme mtrique: Volume des bois de chauffage. Le stre.

2. Gomtrie: Formule des volumes de la pyramide, du cne. Surface des solides simples.3.Arithmtique:

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Problmes sur la surface des solides simples (peinture ou tapisserie d'une salle, etc... ).Problmes d'application sur les volumes.

MARS

1. Systme mtrique: Revision des mesures de capacit. Units pratiques de capacit.

Revision des mesures de poids. Units pratiques. Usage de la balance (simple pese).

2. Gomtrie: Mesure des angles. Usage du rapporteur. Calcul de la longueur d'un arc au moyen du rayon et dela mesure de son angle au centre.

3.Arithmtique: Les pourcentages.

AVRIL

1. Systme mtrique: Mesure des poids. Poids l'unit de longueur et longueur l'unit de poids. Poids l'unitde surface et surface l'unit de poids. Poids spcifique et volume spcifique.

2. Gomtrie: Emploi de la balance la dtermination de longueurs, d'aires, de volumes et de capacits.3.Arithmtique: Intrts simples. Problmes d'application.

MAI

1 . Systme mtrique : les monnaies. Problmes : prix unitaire d'une marchandise et quantit de marchandisecorrespondant l'unit de monnaie.

2. Gomtrie: Mesure du temps : addition et soustraction de nombres en heures, minutes, secondes.

3.Arithmtique: Les escomptes. Problmes d'application.

JUIN

1. Systme mtrique: Revisions. Problmes.

2. Gomtrie: Revision des formules relatives la mesure des aires et des volumes. Problmes.

3.Arithmtique: Les rentes. Problmes simples d'application.

JUILLET

Revisions gnrales.

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CLASSE DE FIN D'TUDES(1re anne)

OCTOBRE

1.Arithmtique.- Problmes concrets de la vie pratique intressant les activits conomiques de la rgion:

Documents

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