iP-ManCLG 16p V3 - Génération 5 · Étude des probabilités Dans ce second volume, l'approche fréquentiste est introduite en utilisant le tableur. Les simulations montrent à l'élève

Trois volumes organisés

en fonction des repères de progressivité du programme

offi ciel 672 pages au total :

plus d'activités et d'exercices,

des notions traitées à fond

Prise en compte du poids

des cartables

Des progressions verticales

pour acquérir les compétences

attendues en fi n de cycle

Des exercices variés dediffi culté

croissante

Utilisable en accompagnementpersonnalisé (prise en compte de l'hétérogénéité des élèves)

Des activités favorisant

l'interdisciplinarité

pour mieux répondre aux besoins des élèves et des professeurs

Un manuel en 3 volumes

Nouveau Manuel 6e

Consolidation et approfondissement des notions étudiées au CM

Un grand nombre d'exercices pour une approche différenciée des apprentissages

Place importante accordée à la résolution de problèmes

Croisements interdisciplinaires

Dans la continuité des manuels Sésamath,

précédemment édités par Génération 5, les

manuels iParcours sont publiés sous licence libre CC-BY-Sa et GNU-FDL.

L'équipe à l'initiative du projet iParcours

(S. Dumoulard, K. Hache, S. Hache,

J-P. Vanroyen) a longtemps travaillé dans

le cadre de l'association Sésamath.

Elle a actualisé et modifi é les contenus libres

des manuels Sésamath en fonction des

programmes 2016, avec de nouveaux chapitres

et de nombreux exercices originaux.

http://creativecommons.org/licences/by-sa/2.0/fr/legalcode

Des manuels sous licence libre

Programme

2016

Manuel de CYCLE 4

- 2 -

Étude des probabilités

Dans ce second volume, l'approche fréquentiste est introduite en utilisant le tableur. Les simulations montrent à l'élève qu'il peut estimer des probabilités a priori diffi ciles à prévoir.

3 Simulations et tableur Cours : 2

Probabilités • D3 169

Exemple de progression verticale

Les nouveautés

• Les notions du programme au cycle 4 sont

réparties en cinq thèmes :

Nombres et calculs / Grandeurs et mesures /

Espace et géométrie / Organisation et gestion

de données, fonctions / Algorithmique et

programmation.

• La mise en œuvre du programme, ancrée

dans les cinq domaines du socle, doit

permettre de développer les six compétences

majeures de l’activité mathématique :

chercher, modéliser, représenter,

raisonner, calculer et communiquer.

• De nouvelles notions font leur apparition.

Par exemple :

- une partie Algorithmique et Programmation,

- transformations géométriques en 4e/3e

(translation, rotation, homothétie),

- les probabilités sur tout le cycle.

• Un accent particulier est mis sur :

- l'interdisciplinarité,

- l'accompagnement personnalisé,

- le lien entre les mathématiques

et la vie quotidienne.

Les nouveautés

Programme2016

CollectioniParcours

Pour appréhender la notion d’aléatoire, un débat est organisé autour des formulations couramment rencontrées. Le vocabulaire de base et les premiers calculs de probabilités (modèle d’équiprobabilité) sont alors abordés.

1 Débattons !

2 Pas de chance !

Si vous vous absentez pendant plusieurs jours, la programmation de la fermeture et l'ouverture des volets ou de l'activation aléatoire de l'éclairage permettront de simuler efficacement une présence dans le logement.

(source : seloger.com)

Nombreuses sont les personnes qui annulent leurs sorties lorsque la météo annonce une probabilité de précipitations supérieure à 40%. (source : meteomedia.fr)

Cette nouvelle aventure de la série Pokémon Donjon Mystère propose aux joueurs de découvrir 720 nouvelles espèces, d'explorer des donjons générés de manière aléatoire. (source : manga-news.com)

À Iqaluit (Canada), la probabilité de connaitre un Noël blanc est de 100 %. (source : climat.meteo.gc.ca)

Le 13 mai 2015, un couple d'Américains a donné naissance à un garçon… alors qu'ils avaient déjà 12 garçons ! Pourtant, la probabilité d'avoir 13 garçons de suite peut être estimée à 1/8 000 environ ! (source : slate.fr)

Selon la NASA, le risque d’un crash d’astéroïde sur Terre, au cours des 100 prochaines années, est estimé à 0,01 %.

(source : letatdesprit.fr)

e

100 % des gagnants ont tenté leur chance ! (slogan publicitaire - La Française des Jeux)

g

Cours : 1

Ces phrases sont toutes issues de slogans publicitaires ou de sites Internet d'information. Ellesévoquent incertitude et hasard. Comment interpréter chacune d'elles ?

Cours : 2

Léa, Léon et leurs parents s'apprêtent à tirer les rois au gouter. La galette est partagée en huitparts de même taille. Chacun prend une part, sauf Léon qui en prend deux.

Léon dit à sa sœur : « Chacun de vous a pris une part etnous allons en manger cinq : vous avez donc chacun une chancesur cinq d'avoir la fève ! ». Léa lui répond : « Je ne suis pas de ton avis mais, ce qui estcertain, c'est que tu as deux fois plus de chances que moi d'avoirla fève ! ».Qu'en penses-tu ?

Est-il possible que personne n'ait la fève au gouter ? Quelles sont les chances que cela arrive ?

Au gouter, personne n'a eu la fève. Le soir, il reste donc trois parts. Léon et Léa en prennentchacun une. Léon dit : « La galette a été coupée en huit et j'en prends une part : j'ai donc unechance sur huit d'avoir la fève ! ». Léa lui répond : « Mais non ! C'est ta troisième part : tu as donc trois chances sur huit ! ». Qu'en penses-tu ?

Finalement, personne n'a encore eu la fève ! Le lendemain, Léon, premier réveillé, s'apprête àmanger la part restante. Quelle probabilité a-t-il d'être roi ?

Au gouter Le soir Le lendemain

D3• Probabilités

a

c

d

b

a b

d

c

f

182

5e

4e

Auteurs et relecteurs • Sébastien Dumoulard, Katia Hache, Sébastien Hache, Jean-Philippe Vanroyen• Association Sésamath pour les contenus issus des manuels Sésamath (éditeur : Génération 5). M. Abrahami, J-H. Amblard, R. Angot, T. Ansel, L. Arsicaud, A. Aulard, M. Badri, S. Baglieri, D. Bodet, G. Bougon, R. Boulle, S. Bourdalé, F. Bourg, X. Birnie-Scott, F. Cabuzel, M. Cambon, D. Cambresy, V. Cambresy, A. Carret, L. Charlemagne, A. Chauvet, E. Chauvet, F. Chaumat, G. Clément, B. Clerc, S. Cogez, C. Coffy Saint Jalm, D. Colin, S. Conquet-Joannis, R. Corne, M-F. Couchy, E. Coup, T. Crespin, O. Cros Mouret, S. Daniel, S. Dassonville, M-C. David, N. Debarle, D. Dehaes, M. de Seze-Petersen, R. Deniaud, R. Devoddère, A. Dominique, C. de Dreuille, A-M. Drouhin, F. Dubreucq, L. Dumaisnil, C. Dupuich, É. Elter, A-M. Fleury, É. Fritsch, J-M. Gachassin, Y. Garouste, H. Galliot, C. Gauvrit, F. Gaye, N. Gendre,M. Genestet, S. Geyssely, G. Goillot, H. Gringoz, O. Guillon, J. Haraki, K. Helies, L. Hennequart, H. Herbiet, G. Hilaire, P.-Y. Icard, N. Irbah, O. Jaccomard, J. Jacquet, S. Jolivet, V. Jourand, J-L. Kahn, S. Kervella, B. Lambert, A. Laplace, A. Lecomte, Y. Le Flem, M. Le Grognec, I. Lemaître, N. Lemoine, L. Leroux, S. Le Saint, M. Lescure, A. Levacher, R. Lobato, F. Loric, J. Marion, M. Masson, A. Meunier, B. Montessinos, N. Moreau, J. Noël-Coulibaly, E. Ostenne, X. Ouvrard Brunet, C. Paumelle, C. Payros, S. Peinado, J. Pelecq, S. Perrigault, S. PesnelMuller, S. Petit, M. Poncelet, O. Pontini, V. Poirier, Y. Pradeau, Y. Pozzar, N. Prudhomme, N. Reclus, S. Renouf, C. Rindel, S. Roberjot, C. Roland, A. Rommens, P. Sabate, A. Saraf, C. Schwartz, B. Sissoeff, M. Souchet, J-P. Sousa, P. Stin, M. Suquet, A. Svirmickas, A. Tarot, W. Tétard, M. Trot-Massé, N. Van Lancker, C. Vilchair, G. Vinot, I. Vivien, L. Zamo.

Des manuels sous licence libre L'étude des probabilités s'achève en modélisant des expériences aléatoires à deux épreuves. Pour cela, la notion d'arbre de probabilité est abordée. Dans ce troisième volume, on s'attache aux attendus en fi n de cycle, avec de nombreux exercices de diffi culté croissante. En fi n de chapitre, la page Synthèse prolonge ces activités avec une situation attractive suscitant des débats au sein de la classe.

3e

iParcours Cycle 4 Maths - Vol. 3e, page 158


- 3 -


Feuilletez l'intégralité des manuels www.iparcours.fr

iParcours Cycle 4 Maths - Vol....................

Nombres et calculsN1 Opérations

sur les nombres décimaux

Vocabulaire des opérationsCalculs sans parenthèseCalculs avec parenthèses

N2 Fractions Fraction quotientProportionsFractions égalesSimplifi cation de fractionsComparaison de fractions

N3 Nombres relatifs VocabulaireRepérage sur une droiteRepérage dans le planOrdre et comparaison

N4 Opérations sur les nombres relatifs

AdditionSoustractionSommes algébriquesDistance sur une droite graduée

N5 Calcul littéral Simplifi cation d'écrituresÉvaluer une expression littéraleTester une égalitéProduire une expression littérale

Grandeurs et mesures, espace et géométrieG1 Symétrie centrale Symétrie centrale

Symétrie axialeConstructionsPropriétésCentre de symétrie

G2 Position relative de droites

Parallèles et perpendiculairesAngles et parallélismeMédiatrice d'un segment

G3 Triangles Inégalité triangulaireSomme des angles d'un triangleCas d'égalité de trianglesConstruction de trianglesHauteurs d'un triangle

G4 Parallélogrammes Défi nition, propriétés des parallélogrammesConstruction de parallélogrammesDéfi nitions et propriétés des parallélogrammes particuliersConstruction de parallélogrammes particuliers

G5 Espace VocabulaireReprésentations de solidesSections de solidesAires et volumes

Organisation et gestion de données, fonctionsD1 Proportionnalité Grandeurs proportionnelles

PourcentagesÉchelles

D2 Statistiques Vocabulaire, tableaux, graphiquesFréquenceMoyenneMédiane

D3 Probabilités VocabulaireCalculs de probabilités

Algorithmique et programmationA1 Algorithmique

et programmationProgrammation débranchéeActivités ScratchExemple de projetTutoriel Scratch

Les trois volumes du manuel iParcours - Cycle 4 précisent clairement les notions à aborder pour chaque année du cycle.

Les notions sont reprises ou prolongées d'une année sur l'autre, avec plusieurs niveaux de diffi culté (progression verticale).

Ainsi, l'équipe enseignante construit facilement une progression pour tout le cycle.

Le professeur peut également prendre en compte l'hétérogénéité des élèves.

Voici quelques exemples de progressions verticales sur les trois années du cycle :

Calcul littéral

Transformations

Statistiques

SOMMAIRE

Programme offi ciel

Organisation et gestion de données

Les caractéristiques de position d’une série statistique sont introduites dès le début du cycle. À partir de la 4e, les élèves rencontrent des caractéristiques de dispersion.

Les opérations en écriture fractionnaire sont abordées une première fois dans le volume 4e.

L'élève pourra retravailler cette notion dans le chapitre N0 du 3e, qui présente une synthèse des notions de calculs vues auparavant.

La notion de moyenne est abordée de façon progressive dans les 3 volumes du cycle 4 :

- en 5e, dans des cas de listes simples ; - en 4e, on ajoute le calcul à partir de tableaux d’effectifs ; - en 3e, on évoque le cas des valeurs réparties par classe.

Programme offi ciel

Nombres et calcul

À partir de la 4e, les élèves sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d’une représentation à une autre d’un nombre, à justifi er qu’un nombre est ou non l’inverse d’un autre. Ils n’abordent la notion de fraction irréductible qu’en 3e.

5e

Repères de progressivité

iParcours Cycle 4

par thème

par notion

- 4 -

CollectioniParcours

iParcours Cycle 4 Maths - Vol....................

Nombres et calculsN0 Calculs Nombres relatifs

FractionsPuissancesCalcul littéral

N1 Arithmétique Division euclidienneDivisibilitéNombres premiers

N2 Calcul littéral et équations

Identités remarquablesÉquations du premier degréÉquations produit

N3 Inéquations InégalitésRésoudre une inéquation

Grandeurs et mesures, espace et géométrieG1 Théorème

de ThalèsThéorème de ThalèsDémontrer que deux droites sont ou ne sont pas parallèles

G2 Homothétie Défi nition de l'homothétieConstructionsPropriétésTriangles semblables

G3 Trigonométrie VocabulaireCalculs de longueursCalculs d'angles

G4 Espace Représentations de solidesSections de solidesAgrandissements, réductionsCoordonnées

Organisation et gestion de données, fonctionsD1 Généralités

sur les fonctionsDéfi nition, vocabulaireImage, antécédent(s)Représentation graphiqueProblèmes

D2 Fonctions linéaires et affi nes

Fonctions affi nes, fonctions linéairesImage, antécédent(s)Déterminer une fonction affi neReprésentation graphiqueModélisationProportionnalitéPourcentage d'évolutionGrandeurs composées

D3 Statistiques Regroupements par classeSéries statistiques (moyenne, médiane, étendue)

D4 Probabilités Notion de probabilitéExpérience aléatoire à deux épreuves


et programmationProgrammation débranchéeActivités ScratchExemples de projetTutoriel Scratch

iParcours Cycle 4 Maths - Vol. ...................

Nombres et calculsN1 Opérations

sur les nombres relatifs

Nombres relatifsAddition et soustractionMultiplicationDivisionCalculs variés

N2 Fractions :comparaisonet addition

Égalité de quotientsComparaisonAddition et soustraction

N3 Fractions :multiplicationet division

MultiplicationProduit en croixDivisionCalculs variés

N4 Puissances Puissances d'un nombre relatifPuissances de 10Notation scientifi que

N5 Calcul littéral DévelopperFactoriserRéduireProduire et calculer des expressions littérales

N6 Équations Solution d'une équationRésoudre une équationRésoudre un problème

Grandeurs et mesures, espace et géométrieG1 Théorème

de PythagoreVocabulaire du triangle rectangleThéorème de PythagoreDémontrer qu'un triangle est rectangle ou non

G2 Cosinus Défi nition du cosinusCalculs de longueursCalculs d'angles

G3 Translations, rotations Défi nition de la translationDéfi nition de la rotationConstructionsPropriétés

G4 Espace VocabulaireReprésentations de solidesSections de solidesAires et volumes

Organisation et gestion de données, fonctionsD1 Proportionnalité Quatrième proportionnelle

PourcentagesVitesse, distance et tempsGrandeurs composées

D2 Statistiques ÉtendueMédianeMoyenne pondérée

D3 Probabilités Notion de probabilitéDes fréquences aux probabilités


et programmationProgrammation débranchéeActivités ScratchExemples de projetTutoriel Scratch

4e

...................3e

- 5 -

Feuilletez l'intégralité du manuel www.iparcours.fr

ORGANISATION des chapitres

1 Distributivité

2 Tour de magie ?

Cours : 1

Fans de musique, Célia et Ludwig ont inventé une machine magique : la Clip-Box ! Ils testentquatre prototypes, chacun contenant 3 DVD et 5 CD. Exprime, de deux façons différentes, lenombre de disques contenus dans l'ensemble de toutes les machines. Quelle égalité peux-tu endéduire ?

On suppose maintenant que le nombre de Clip-Box est égal à k. On sait que chaque machinecontient un nombre de CD et un nombre de DVD identiques. Choisis deux lettres pour désigner lenombre de DVD et le nombre de CD par machine. Exprime, de deux façons différentes, le nombrede disques contenus dans l'ensemble de toutes les machines. Quelle égalité peux-tu en déduire ?

Cours : 1

Harry présente un tour de magie à son ami Jim. Il lui demande de choisir secrètement un nombreentier entre − 99 et 99, et de faire successivement les calculs suivants : multiplier par 2,soustraire 1, multiplier le résultat obtenu par 50, ajouter le nombre initial, et enfin ajouter 50 aurésultat obtenu. Jim garde le résultat final pour lui mais en révèle juste le premier chiffre et le dernier chiffre (lechiffre des unités) à Harry. Ce dernier annonce alors fièrement le nombre choisi initialement parJim.

Écris le déroulement du tour de magie pour quelques nombres. Comment déterminer lenombre initial quand on connait le dernier chiffre et le premier chiffre du résultat final ?

Hermione affirme qu'il n'y aucune magie dans ce tour, car il suffit, dit-elle, d'écrire les étapesde calcul en désignant le nombre initial par la lettre x. Elle explique alors que l'expression finaleobtenue permet d'expliquer le "tour de magie". Qu'en penses-tu ?

N5 • Calcul littéral

b

a

b

a

66

1. Activités de découverte et d'investigation

Souvent rédigées de façon ouverte, elles permettent à chaque élève de progresser dans la découverte des notions, en favorisant l'autonomie et la prise d'initiative.Les activités renvoient vers les notions du cours correspondantes.

G4 • Espace140

2. Le cours : aller à l'essentiel

Dans cette partie, les définitions et propriétés à connaitre sont expliquées par des exemples clairs. Pour chaque notion, des exercices, corrigés en fin de manuel, permettent à l'élève de vérifier ses connaissances.

3. Questions orales

Pour s'exprimer et communiquer oralement avec rigueur et précision.Cette page renvoie aussi vers les questions FLASH du manuel numérique.

5. Exercices de synthèse

Conformément aux préconisations officielles, la page Synthèse vise à développer la curiosité, l’autonomie et l'esprit de recherche ... en allant éventuellement au-delà des attendus du cycle.

Caractère quantitatif

Un caractère est quantitatif lorsqu'on peut lemesurer et exprimer ses valeurs sous forme denombres. Par exemple : une taille, une durée,une température.

Caractère qualitatif

Un caractère est qualitatif lorsqu'on ne peut pasle mesurer. Par exemple : la couleur des yeux, lefilm préféré, le département d'origine.

Carré (figure)

Un carré est un quadri-latère avec quatre côtésde même longueur etquatre angles droits.C'est donc à la fois unlosange et un rectangle.

Carré (d'un nombre)

Le carré d'un nombre est ce nombre multiplié parlui-même.

Le carré de 9 se note : 9² = 81.

Cercle

Un cercle est formé de tous les points situés à lamême distance d'un point donné (le centre ducercle). Cette distance est le rayon du cercle.Le cercle de centre O et de rayon r est formé detous les points situés à r unités du point O.

Cercle circonscrit

Le cercle circonscrit à untriangle est le cercle quipasse par les troissommets de ce triangle.Son centre est le pointde concours desmédiatrices du triangle.

Circonférence

La circonférence d'un cercle est la longueur de cecercle.

Complémentaires (angles)

Deux angles complé-mentaires sont deuxangles dont la sommedes mesures est égale à90°.

Concourantes (droites)

Des droites concourantes sont des droites qui secoupent en un même point.

Cône de révolution

Un cône de révolutionest un solide qui estgénéré par un trianglerectangle tournantautour d'un des côtés deson angle droit.La base du cône derévolution est un disque.

Conjecture

Émettre une conjecture, c'est résumer, dans unénoncé court et précis, une idée que l'on penseêtre vraie mais qui n'a pas encore étédémontrée. Après démonstration, la conjecturedevient propriété.

Coordonnées (d'un point)

Dans un plan muni d'un repère, tout point estrepéré par un couple de nombres relatifs, appeléses coordonnées : la première est l'abscisse et laseconde est l'ordonnée.

CordeUne corde est un seg-ment qui joint deuxpoints d'un cercle.

Correspondants (angles)

Les angles verts sontcorrespondants. Ils sont déterminés parles droites (d), (d') et lasécante (d1).

Lexique : l'essentiel des notions

O

x

C

218

(d)

(d')

(d 1)

Teste chacune des égalités pour t = 5.

a. t2 − 25 = 0

5² − 25 = 25 − 25 = 0. Donc l'égalité est vraie.

b. t2 − 5 = 4t D'une part, 5² − 5 = 25 − 5 = 20D'autre part, 4 × 5 = 20On trouve le même nombre pour les deux expressions, donc l'égalité est vraie.

c. t2 = 10

5² = 25 ; or 25 ≠ 10. Donc l'égalité est fausse.

d. 3t − 7 = t2 1

D'une part, 3 × 5 – 7 = 15 – 7 = 8D'autre part, 5² 1= 25 1 = 26Or 8 ≠ 26. Donc l'égalité est fausse.

Rectangles imbriqués

a. Calcule l'aire de la partie coloriée en fonctionde x.

La longueur du rectangle colorié est de 47 – x ; sa largeur est de 23 – x ; donc son aire vaut :(47 – x)( 23 – x)

b. Combien vaut cette aire si x = 14,7 m ?

(47 – 14,7)( 23 – 14,7) = 32,3 × 8,3 = 268,09Cette aire vaut 268,09 m².

Les figures bleue et rouge sontsymétriques par rapport au point O.

Le point M L P S

est symétriquedu point

R N K Q

par rapportau point

O O O O

Reproduis le quadrilatère suivant puisconstruis son symétrique par rapport au point S.

Le symétrique du segment [BC] par rapport à A est le segment [DE].La symétrie centrale conserve les milieux, donc lesymétrique du milieu I de [BC] est le milieu J de [DE].I et J sont symétriques par rapport à A, donc les points A, I et J sont alignés.

Reproduis puis complète cette figure pourque O soit le centre de symétrie de celle-ci.

(RT) et (d') sont parallèles, donc (d) qui estperpendiculaire à l'une (RT) est perpendiculaireà l'autre (d').

Corrigés des exercices

G1

M

L

N

P

S

P'

N'

L'

M'

3 cm

4 cm

A

B C

DE

I

DE

I

J

O

G2

S T

R(d)

(d')

33

40

12

21

44

54

15

213

À la fin de chaque volume

- Corrigés des exercices cités dans le cours.

- Lexique : définition du vocabulaire mathématique étudié tout au long du

cycle.

- Formulaire rassemblant les formules mathématiques étudiées tout au long

du cycle.

Périmètres et aires Exemples de conversion : 25,4 cm2 = 2 540 mm2 ; 50π m2 = 0,005π hm2 (ou ha) ≈ 0,016 ha.

= c× h2

= L l

= 2L 2l ou = 2(L l)

= c h

Volumes et aires latérales L

Exemples de conversion : 1 dm3 = 1 L ; 1 L = 1 000 mL ; 2 534 cm3 = 2,534 dm3 ou L.

Formules

= Aire base hcube = c c c = c3

pavé droit = L l h

L = Périmètre base h

= Aire base h = πr2 h

L = Périmètre base hL = 2πr h

= Aire base × h3

= Aire base × h3

= πr 2× h

3

=43π r3

= 4πr2

Crédits iconographiques : pp.6-14-26 : Texas Instruments Incorporated / p.13-51-81-128 : ©julientromeur/fotolia.com / pp.10 à 12-14-15-18-21-22-24-27-30-31-33-39-44-46-54-55-57-58-60-66-71-73-75 à 77-92-119-123-152-154-155-158-159-161 à 165-167-168-170-171-174-176-178-179-182-184 à 187-200-202 : Pixabay.com / pp.16-31-40-42-43-46-47-62-110-126-144-166-180-200 : Wikimedia Commons / p.170 : ©adogslifephoto/fotolia.com

Formulaire224Imprimé en Italie par ROTOLITO LOMBARDADépôt légal : avril 2016 - ISBN : 978-2-36246-146-0Génération 5 - 82 rue du Bon Pasteur, 73000 Chambérywww.generation5.fr

iParcours Cycle 4

- 6 -

Un sac contient cent jetons, indiscernablesau toucher et numérotés de 00 à 99. On tire unjeton au hasard.

Quelle est la probabilité de tirer...

a. un jeton portant un numéro supérieur à 60 ?

b. un jeton contenant au moins un zéro ?

c. un jeton ne contenant pas de zéro ?

d. un jeton ne contenant que des 5 ou des 7 ?

e. un jeton portant un zéro ou un jeton necontenant que des 5 ou des 7 ?

Faites vos jeux !

Au casino, la roulette est une roue divisée en 37secteurs identiques. Les secteurs sontalternativement de couleur rouge ou noire, saufle secteur contenant le zéro, qui est vert.

Le croupier lance la roulette.

a. Quelle est la probabilité que la roulettes'arrête sur le zéro vert ?

b. Quelle est la probabilité que la roulette s'arrêtesur un secteur rouge ? Sur un secteur noir ?

c. La probabilité que la roulette s'arrête sur undes secteurs de la zone « Tiers du cylindre » est-

elle de 13

?

d. En 1913, au casino de Monte-Carlo, la roulettes'est arrêtée 26 fois de suite sur la couleur noire !De nombreux joueurs furent ruinés : ils avaientmisé sur le rouge, persuadés qu'il avait plus dechance de sortir. Que penses-tu de leurstratégie ?

Maéva et Louis jouent à la bataille navale.Maéva débute la partie et s'apprête à choisir unecase au hasard. Elle espère toucher un desnavires de Louis dont voici le plateau de jeu :

a. Quelle est la probabilité que Maéva touchel'un des navires de Paul lors de son premiercoup ?

Maéva a finalement annoncé : « E8 ! », et Louis arépondu :« Touché ! ». Maéva doit donc rejouer.

b. Quelle est la probabilité qu'à sa deuxièmeannonce, Louis réponde : « Coulé ! » ? Qu'ilréponde : « Touché ! » ? (On suppose que Maévajoue de façon stratégique !)

On prend une pièce au hasard dans un porte-monnaie dont voici le contenu.

a. La probabilité d'obtenir une pièce de 1 € est...

R.1 R.2 R.3

37,5 % 313

b. « Obtenir un pièce contenant le chiffre 1. » et« Obtenir une pièce de 0,20 €. » sont desévènements...

R.1 R.2 R.3

impossibles contraires opposés

c. « Obtenir un pièce contenant le chiffre 2. » et« Obtenir une pièce de 1 €. » sont desévènements...

R.1 R.2 R.3

impossibles incompatibles contraires

D4 • Probabilités

22

01 ...00 99

23

QCM24

21

Voisins du Zéro

162

À un jeu télévisé, la première bonneréponse rapporte 100 €. Puis le gain double àchaque bonne réponse. Nari veut gagner plus de100 000 €. À combien de questions doit-ilrépondre au minimum ? Détaille tes recherches.

La formule de Lorentz permet d'associer lamasse corporelle théorique P (en kg) d'un adulteà sa taille T (en cm), si celle-ci est comprise entre140 et 220 cm.

Femme : PF = T – 100 – [T – 150] ÷ 2

Homme : PH = T – 100 – [T – 150] ÷ 4

a. Quelle est la masse corporelle théorique d'unefemme mesurant 1,50 m ? 1,60 m ? Quelle est la taille idéale d'une femme dont lamasse est 51 kg ?

b. Quelle est la masse corporelle théorique d'unehomme mesurant 1,50 m ? 1,90 m ? Quelle est la taille idéale d'un homme dont lamasse est 62 kg ?

On recherche la(les) valeur(s) approchée(s)du(des) nombre(s) dont le carré vaut 0,5.

a. Recopie et complète le tableau suivant.

x – 1 – 0,9 – 0,8 – 0,7 ... 0,7 0,8 0,9 1

x²

b. Dans un repère, représente graphiquement x²(en ordonnée) en fonction de x (en abscisse). (Tuprendras 10 cm pour une unité sur chaque axe.)

c. Détermine graphiquement la(les) valeur(s)approchée(s) de x pour la(les)quelle(s) x² = 0,5.Que remarques-tu ?

Calcule la résistance d'un appareilfonctionnant sous une tension de 220 V pendant45 min et consommant une énergie de 1 125 Wh.

Relations électriques

E = Pt• E : Énergie électrique (en Wh)• t : temps de fonctionnement (en h)• P : Puissance consommée (en watts)

P = UI • U : Tension (en volts)• I : Intensité (en ampères)

U = RI • R : Résistance (en ohms)

P.1. L'équation x 3 = x 2 n'a aucune solution.

P.2. L'équation x² = 4 a pour unique solution 2.

P.3. Si un nombre est solution d'une équation,son opposé est une autre solution de l'équation.

Sécurité routière et distance d'arrêt

a. Le temps de réaction d'un conducteur vigilantest d’environ 0,75 s. Calcule la distanceparcourue par un véhicule roulant à 100 km.h– 1

(27,8 m.s– 1) pendant ce temps de réaction.

V =DR

t• V est la vitesse (en m.s– 1)• DR est la distance de réaction (en m)• t est le temps de réaction (en s)

b. Calcule la distance de freinage d'un véhiculeroulant à 100 km/h sur route sèche (coefficientd'adhérence A = 0,6). À quelle vitesse doit roulerce même véhicule sur chaussée humide(coefficient d'adhérence A = 0,4) pour que sadistance de freinage reste inchangée ?

DF =V ²

2g A

• DF : distance de freinage (en m)• V : vitesse (en m.s– 1 )• g = 9,81 (en N.kg– 1)• A : coefficient d'adhérence

c. Calcule la distance d'arrêt d'un véhiculeroulant à 100 km.h– 1, dans la situation optimale(route sèche, plate et en bon état, freinsperformants, conducteur vigilant).

d. Autre méthode :

D = ( V10)

2

V est la vitesse exprimée en km.h– 1.

Estime cette distanced'arrêt dans la situationoptimale en utilisant larelation écrite ci-dessus.

L'équation x² 3x = 3 591 a deux solutionsentières comprises entre − 100 et 100.

a. Trouve ces deux solutions à l'aide dutableur.

b. L'équation x² 3x = 3 592 a-t-elle unesolution entière entre − 100 et 100 ?

Équations • N6

63

64

65

66

68

Vrai ou Faux67

2TICE Tableur69

91

3. Questions orales

Pour s'exprimer et communiquer oralement avec rigueur et précision.Cette page renvoie aussi vers les questions FLASH du manuel numérique.

4. Je m'entraine J'approfondis

Le nombre et la variété des exercices permettent de mettre en œuvre des parcours personnalisés.

Les exercices sont triés par notion et par diffi culté.Dans ces pages, on retrouve régulièrement des QCM et des exercices Vrai/Faux.

5. Exercices de synthèse

Conformément aux préconisations offi cielles, la page Synthèse vise à développer la curiosité, l’autonomie et l'esprit de recherche ... en allant éventuellement au-delà des attendus du cycle.

Périmètres et aires Exemples de conversion : 25,4 cm2 = 2 540 mm2 ; 50π m2 = 0,005π hm2 (ou ha) ≈ 0,016 ha.

= c× h2

= L l

= 2L 2l ou = 2(L l)

= c h

Volumes et aires latérales L

Exemples de conversion : 1 dm3 = 1 L ; 1 L = 1 000 mL ; 2 534 cm3 = 2,534 dm3 ou L.

Formules

= Aire base hcube = c c c = c3

pavé droit = L l h

L = Périmètre base h

= Aire base h = πr2 h

L = Périmètre base hL = 2πr h

= Aire base × h3

= Aire base × h3

= πr 2× h

3

=43π r3

= 4πr2

Crédits iconographiques : pp.6-14-26 : Texas Instruments Incorporated / p.13-51-81-128 : ©julientromeur/fotolia.com / pp.10 à 12-14-15-18-21-22-24-27-30-31-33-39-44-46-54-55-57-58-60-66-71-73-75 à 77-92-119-123-152-154-155-158-159-161 à 165-167-168-170-171-174-176-178-179-182-184 à 187-200-202 : Pixabay.com / pp.16-31-40-42-43-46-47-62-110-126-144-166-180-200 : Wikimedia Commons / p.170 : ©adogslifephoto/fotolia.com

Formulaire224Imprimé en Italie par ROTOLITO LOMBARDADépôt légal : avril 2016 - ISBN : 978-2-36246-146-0Génération 5 - 82 rue du Bon Pasteur, 73000 Chambérywww.generation5.fr

CollectioniParcours

Outils numériquesTableur - Géométrie dynamique

Ces activités spécifi ques se trouvent tout au long du manuel :

au sein des activités

parmi les exercices dans les pages Synthèse

1 Section de cône

2 Volume de la pyramide

Cours : 3

Cours : 4

Sur une feuille de papier A4, réalise un patronde la pyramide AEFGH, représentée ci-contre enperspective cavalière, sachant que ABCDEFGH estun cube d'arête 8 cm.

Vérifie qu'en assemblant trois pyramides, onobtient un cube d'arête 8 cm.

Quel est alors le volume de chaque pyramide ?

Quelle relation peux-tu écrire entre le volumed'une pyramide, l'aire de sa base et sa hauteur ?

G4 • Espace136

a

b

c

G H

iParcours Cycle 4 Maths - Vol. 4e

G4 Espace, page 136

Soit [AB] un segment mesurant 9 cm et (C)un cercle de centre A. (C') est l'image du cercle(C) par la translation qui transforme A en B.

a. Construis une figure dans le cas où le cercle(C) a pour rayon 4 cm.

b. Pour quelle(s) valeur(s) de ce rayon les cercles(C) et (C') ont-ils un point d'intersection ? Deuxpoints d'intersection ?

a. Construis deux points distincts, O et A, puisla droite (OA).

b. Place un point B sur (OA), puis construis lepoint C, image de B par la rotation de centre Oet d'angle 25°.

c. Active la trace de C et déplace le point B.

d. Quelle est l'image de la droite (OA) parcette rotation ?

e. Que peux-tu conjecturer sur la mesure del'angle formé par une droite et son image parune rotation ? Teste sur d'autres exemples.

On a construit, à main levée, l'image dupolygone PNMLK par la rotation de centre O etd'angle 130°.

a. Quelles sont les images de P, M, L et K ?

b. Donne la longueur du segment [CB]. Justifie.

c. Donne la mesure de l'angle ABC. Justifie.

d. Quelles autres angles ou longueurs peux-tudonner ? Justifie.

Voici les images des points d'une figure parune rotation d'angle 72°.

Point E T R S A C

Image V J I S Z D

a. Quel est le centre de cette rotation ?Pourquoi ?

b. On sait que ER = 1,8 cm et ZD = 4,1 cm.Donne les longueurs AC et VI. Justifie.

c. RAC est un triangle équilatéral de 3 cm decôté. Quel autre triangle équilatéral est-oncertain d'avoir sur la figure ? Justifie.

d. On sait que VJ = JZ. Quelle est la nature dutriangle ETA ? Pourquoi ?

Centre d'une rotation

a. Construis un segment [AB] de longueur 5 cm.Sachant que A est l'image de B par une rotation,où se trouve nécessairement le centre de cetterotation ? Place plusieurs centres possibles.

b. Ci-dessous, [EF] et [GH] sont deux segmentsde même longueur.

On suppose que E et F sont les imagesrespectives de G et H par une rotation. Commenttrouver le centre de cette rotation ?

Du triangle au carré

a. Construis un triangle ABC rectangle en C, telque AC = 2 cm et CB = 4 cm.

b. Construis l'image D de B par la rotation decentre C et d'angle 90°.

c. Construis E le symétrique de B par rapport à C.

d. Construis F l'image de C par la translation quitransforme B en C.

e. Démontre que BDFE est un carré.

a. Trace un cercle de centre A et de rayon 3.Place un point B sur ce cercle, puis trace [AB].

b. Crée un curseur angle α, variant de 0 à 360avec un incrément de 1°.

c. Construis B', image de B par la rotation decentre A et d'angle α.

d. Trace le cercle de centre A et de rayon 2.Trace le segment [AB']. Il coupe le cercle en C.

e. Trace le cercle de centre C et de rayon 1.

f. Construis B'', image de B' par la rotation decentre C et d'angle 3α.

g. Affiche la trace de B'' et anime α.

G3 • Translations, rotations

TICE Géométrie Dynamique49

43

TICE Géométrie Dynamique4447

46

45

F

E

G

H

AC

BO

48

132


G3 Translations, rotations, page 132


D3 Statistiques, page 154

Ces activités spécifi ques se trouvent tout au long du manuel :

Programme offi ciel

En utilisant les outils numériques, l'élève développe les 6 compétences requises en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer.

- 7 -

Programme offi ciel

Au cycle 4, les élèves s’initient à la programmation, en développant, dans une démarche de projet, quelques pro-grammes simples, sans viser une connaissance experte et exhaustive d’un langage ou d’un logiciel particulier.

En créant un programme, ils développent des méthodes de programmation, revisitent les notions de variables et de fonctions sous une forme différente, et s’entrainent au raisonnement.

Focus Focus

A1 • Algorithmique et programmation196


12 Les jetons de Nathan

Des jetons, ayant chacun une face bleue et une face jaune, sont disposés en ligne, comme ceci :

La règle du jeu est très particulière : on peut retourner n'importe quel jeton. Mais, quand on enretourne un, le jeton situé immédiatement à sa droite se retourne également. Par exemple, si on

retourne le troisième jeton, on obtient ceci :

Cette règle accepte une exception : quand on retourne le dernier jeton, aucun autre ne se retourne.

La partie est gagnée quand les jetons sont tous de couleur bleue.

Partie 1

Dans cette partie, tu vas programmer ce jeu avec trois jetons.

Initialement, ils sont disposés comme ceci :

Crée un lutin Jeton1 comportant deux costumes (nommés "1" et "0").

Duplique ce lutin afin d'obtenir les deux autres jetons :

Sur Jeton1, crée le code ci-dessous : Sur Jeton2, crée le code ci-dessous :

Sur Jeton2, on crée :

- un écouteur (ce qu'il faut faire quand il reçoit "clicjeton1"),

- un évènement "clicjeton2" quand on clique sur lui.

Crée le code de Jeton3 puis teste ton programme !

Algorithmique et programmation • A1 183


Programmer avec Scratch

Algorithmique & Programmation

Activités débranchées (sans support informatique)

2 Format GIF, compression de données

Le format GIF (Graphic Interchange Format) est un format de fichier graphique créé à la fin desannées 80. Il utilise une palette de couleurs qui peut atteindre 256 couleurs différentes (codéessur 1 octet).

Partie 1

Pour créer un GIF animé (petite image animée que l'on trouve parfois sur une page Web), on créeun fichier contenant 8 images. Chaque image est composée de points. Chaque point est codé parl'une des 256 couleurs et utilise 1 octet. La valeur de l'octet indique donc la couleur du pointcorrespondant.

Si chacune des huit images contient 2 500 points, quelle est la taille approximative du fichiercontenant ces images, en Ko (KiloOctets) ?

Sur le disque dur, on constate que la taille de ce fichier GIF n'est que de 4 Ko. En effet, il estautomatiquement compressé avant d'être archivé. À l'ouverture, le fichier est décompressé. Quelest le facteur de compression de ce fichier ?

Partie 2

Soit une image, fortement agrandie, d'un fichier GIF telle que ci-dessous. Chaque carré est unpoint (un pixel) et est presque invisible à l’œil nu.

Pour simplifier, on supposera que le fichier GIF ne contient que cette image. Supposons aussi que la couleur rouge est codée avec l'octet R, la couleur bleue avec l'octet B etla couleur verte avec l'octet V. La première ligne de l'image est donc codée ainsi : RRRRRB...V...

Code entièrement cette image.

Pour compresser ton codage, tu peux utiliser quelques octets particuliers : - un octet X indiquant une répétition, - les octets 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 indiquant le nombre de fois qu'une couleur est répétée.

Ainsi, X3RX2BX5V code la ligne :

• À l'aide de ce nouveau système de codage, code à nouveau l'image étudiée dans .

• Quelle est la taille du fichier obtenu, en octets ?

• Quel est le facteur de compression ? Compare avec celui obtenu à la question .

Avec cette technique de codage, pour quel type d'images le facteur de compression est-ilimportant ?

Le RLE (Run Length Encoding) est un algorithme de compression dedonnées, qui s'apparente à la technique utilisée dans la partie 2. Il estparticulièrement efficace pour les grandes séries d'octets identiquesconsécutifs, par exemple pour le codage et la compression d'imagesen noir et blanc.

Pour les autres types de données, il existe des techniques decompression beaucoup plus évoluées.

A1 • Algorithmique et programmation

Point info

c

a

b

d

e

a

b

170


5 Le Jeu de Nim

4 Un langage élémentaire

Un robot est situé sur la première case d'une ligne contenant plusieurs cases.Il dispose de trois instructions :

• C : Colorier • A : Avancer de trois cases • R : Reculer d'une case

De plus, il est possible de lui faire répéter un certain nombre de fois une série d'instructions.

Ainsi, la série d’instructions C A R répétée 6 fois a pour résultat :

Dessine une rangée constituée de cases vides.Complète-la après l'exécution de l'algorithme suivant : A C R C A C A C R C.

On peut considérer que A C R C A C A C R C est un programme. Ce programme est constitué de motsC, A ou R (chaque mot contient une seule lettre !) et à chacun de ces mots correspond une instructionbien précise.

Écris un programme permettant de colorier toutes les cases d'un tableau donné.

Écris un programme (de moins de 7 instructions) et propose la figure obtenue à ton camaradequi devra retrouver ton algorithme. Attention, répéter est considéré comme une instruction.

Pour programmer les algorithmes en informatique, on utilise un langage de programmation. Il enexiste de très nombreux : JavaScript, C++, Python, etc.Ici, le langage que nous avons utilisé est particulièrement élémentaire puisqu'il ne dispose que dequatre mots : les instructions C, A, R et répéter !

Dans une variante du jeu de NIM, un nombre quelconque d'allumettes est disposé sur une ligne.Deux joueurs prennent, chacun leur tour, une, deux ou trois allumettes. Le joueur qui prend la (ou les) dernière(s) allumette(s) remporte la partie.

Tu pourras jouer avec ton voisin. On suppose, ici, qu'il y a 15 allumettes au départ. Mais, pour t'aider, tu pourras commencer à jouer avec 5, puis avec 9 allumettes.

Le joueur qui commence peut-il être sûr de gagner la partie à chaque fois ? Dans ce cas, quelle est la stratégie gagnante ?

Essaie de rédiger cette stratégie le plus clairement possible.

A1 • Algorithmique et programmation

b

a

Point info

Point info

a

b

c

194iParcours Cycle 4 Maths - Vol. 5e, page 194

1 Du codage de César au Carré de Vigenère

Dans les méthodes de cryptographie que tu vas découvrir, chacune des lettres d’un mot estremplacée par une autre lettre à l’aide de ce que l’on appelle une « clé de chiffrement ». Le mot mathématiques peut ainsi être transformé en podjushapfiej .

Pour décrypter le message (on dit aussi le « déchiffrer »), le destinataire doit savoir quelleméthode et quelle clé l'expéditeur a utilisées (une même clé de chiffrement sert à chiffrer et àdéchiffrer un message).

Dans le codage de César, la clé de chiffrement comporte une seule lettre.

Exemple : Avec la clé de chiffrement D A devient D, B devient E, et ainsi de suite.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

D D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Essaie de coder le mot mathématiques (pour t'aider : M est codé P).

Lors d'un jeu de piste, tu as intercepté ce message destiné à l'équipe adverse : unb anwoxacb jaarenwc

Tu sais que l'expéditeur a utilisé un codage de César mais tu ignores la clé de chiffrement. Essaie de le déchiffrer !

Indice : Au lieu de procéder au hasard, regarde bien les mots, en particulier le premier.

Avec de la patience, on constate qu'il est relativement facile de déchiffrer un message.

Alors, pour éviter qu'un texte soit décrypté par n'importe quel intrus,Blaise de Vigenère a compliqué le déchiffrement :

• Il a construit le carré de Vigenère (voir page suivante).• Et il a proposé un système de chiffrement dans lequel la clé n'est plus

une seule lettre, mais un mot : on code chaque lettre du message enutilisant successivement les lettres de la clé.

Exemple : On choisit la clé ROI pour chiffrer le message suivant : arrivons demain.On s'aide du tableau suivant :

A R R I V O N S D E M A I N

R O I R O I R O I R O I R O

R F Z Z

Achève de chiffrer le message.

Le message ci-dessous a été chiffré à l'aide de la méthode de Vigenère ; la clé est CIEL. XQZPNMWXCBLD

Peux-tu décrypter ce message ?

Algorithmique et programmation • A1 179

a

b

c

d


iParcours Cycle 4

À la fois ludique, stable, très visuel et puissant, Scratch constitue un très bon outil pour l’enseignement de

l’algorithmique au collège.

Par le traitement de tâches complexes, l'algorithmique et la programmation permettent de développer des compétences de généralisation et d'abstraction.

Les activités débranchées fournissent des clés pour mieux comprendre les enjeux importants du monde numérique actuel.

L'algorithmique et la programmation ne nécessitent aucun cours : l'élève apprend en faisant, progressivement, parfois au sein d'une pédagogie de projet.

Activités variées et progressives

sur tout le cycle

Points info pour développer sa culture générale ou préciser des notions abordées dans les activités

3 Appliquer un algorithme

Partie 1

Voici une liste de nombres :

Trie cette liste dans l'ordre croissant.

Quel algorithme as-tu suivi pour faire ton tri ?

Partie 2

Voici un algorithme permettant de trier une liste de nombres :

• On compare le premier nombre à tous les nombres qui le suivent.Si on trouve un nombre inférieur, on échange ces deux nombres. Onpoursuit les comparaisons entre le nouveau premier nombre et lesnombres du reste de la liste.

• On recommence avec le deuxième nombre. • Et ainsi de suite jusqu'à atteindre le dernier nombre de la liste.Exemple :

Soit la liste :

Voici ce que l'on obtient en appliquant l'algorithme.

Liste dedépart

Étape Opération effectuée Nouvelleliste

8 5 3 7 1On commence par le premier nombre de la liste : 8.On compare 8 et 5. Comme 8 5, on échange 8 et 5.

5 8 3 7

5 8 3 7 2 On compare 5 et 3. Comme 5 3, on échange 5 et 3. 3 8 5 7

3 8 5 7 3 On compare 3 et 7. Comme 3 7, on n'échange pas 3 et 7. 3 8 5 7

3 8 5 7 4On passe au second nombre de la liste : 8.On compare 8 et 5. Comme 8 5, on échange 8 et 5.

3 5 8 7

3 5 8 7 5 On compare 5 et 7. Comme 5 7, on n'échange pas 5 et 7. 3 5 8 7

3 5 8 7 6

On passe au troisième nombre de la liste : 8.On compare 8 et 7. Comme 8 7, on échange 8 et 7.On vient de comparer les deux derniers nombres de la liste donc c'est terminé.

3 5 7 8

Applique cet algorithme pour trier la liste de la partie 1.

Algorithmique et programmation • A1

Point info

a

b

c

15 27 12 5 32 18

8 5 3 7

193- 8 -

Questions orales

en lien avec d'autres parties du programme scolaire de l'année.

A1 • Algorithmique et programmation168


Projets

Pour réaliser des programmes plus ou moins complexes

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Dans d'autres chapitres

Le logiciel Scratch est également utilisé pour approfondir d'autres notions.


N1 Arithmétique, page 30

Manuel de cycle 4

Projet 1 : Dans l'aquarium

Nous allons programmer un petit jeu : un requin et un poissonnagent dans un aquarium.

Durant une minute (ou plus !), le requin se promènealéatoirement et le poisson, que tu diriges, cherche à l'éviter.

Au début du jeu, tu possèdes dix points. À chaque contact, tuperds un point et les deux lascars reprennent leur positioninitiale.

Pour déplacer le poisson, tu as deux possibilités :

• Tu utilises le clavier et les évènements suivants :

• Tu utilises l'instruction de Contrôle répéter indéfiniment comme ceci :

Pour programmer le déplacement aléatoire du requin, utilise le code ci-dessous.Attention : le lutin Requin doit être sélectionné !

Pour programmer les collisions, utilise pour chaque lutin le bloc ci-dessous.

Attention : ce bloc est destiné au lutin requin. Fish3 est le poisson qui sera touché.

Le bloc destiné à Fish3 aura bien sûr un autre attribut !

Pour programmer la variable chronomètre

La partie est gagnée si on a résisté 60 secondes, c'est-à-dire si le score est supérieur à 0, et si le chronomètre est supérieur à 60. La variable chronomètre est créée automatiquement par

au lancement du programme. Utilise les instructions suivantes pour programmer le gain de la partie :

Indication : Essaie de placer ces instructions dans un bloc répéter indéfiniment et dans un SI.

Pour aller plus loin

• Tu peux paramétrer plusieurs niveaux de difficulté. Pour cela, insère une variable difficulte à laplace de 10.

• Tu peux ajouter des requins !

• Tu peux accélérer la vitesse de déplacement du requin, au bout de 40 secondes par exemple.Pour cela, crée une variable vitesse_requin et utilise-la dans le code gérant son déplacement.

A1 • Algorithmique et programmation192 A1 • Algorithmique et programmation


Tutoriel Scratch

L'élève développe un jeu de labyrinthe qui s'enrichit d'année en année.

Mais aussi...

- 9 -

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Demi-droite graduée

a. Quelle est l'abscisse du point A ?

Parmi les quotients suivants, quels sontceux qui ne sont pas des nombres décimaux ?Donnes-en alors une valeur approchée, aucentième près par défaut.

a.32

b.53

c.74

d.95

e.116

f.137

g.158

h.179

i.1910

j.2111

Donne une valeur approchée au millième

d.9923

e.5763

f.6357

Parmi les quotients suivants, quels sontceux qui sont égaux à 2,4 ?

d.4820

e.8435

f.2611

113

, la calculatrice affiche :

Que remarques-tu ? Sans poser d'opération,détermine les dix décimales suivantes de ce

Écris le résultat qu'affiche la calculatrice pour

913

;1013

;1113

et 1213

.

Pour chaque quotient, détermine la période desa partie décimale, puis classe ces 12 quotientsen deux familles, en expliquant ton choix.

Écris le résultat qu'affiche la calculatrice

de chaque quotient.

a.

N2 • Fractions26

Fraction quotient

0 7

A

14

19

24

N2-Fractions / iParcours Cycle 4 Maths - Vol. 5e

Corrigé : exercice 29, page 27Aide animée et sonorisée : Proportions

QCM d'entrainement : Proportions

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Compléments

Ces compléments concernent l’ensemble de la série.Les QCM d'entrainement peuvent êre refaits plusieurs fois

Énoncé de l'exercice

Correction de l'exercice

Aide animée : Proportions

QCM d'entrainement : Proportions

Les compléments en vert sont accessibles uniquement au professeur.

Quelle est l'abscisse du point A ?


Parmi les quotients suivants, quels sontceux qui sont égaux à 2,4 ?

Pour le résultat de 13



813

;



24

La proportion des personnes qui portent des lunettes est de :

Écris le résultat qu'affiche la calculatrice6

11;

711

;8

11;

911

et 1011

.

Pour chaque quotient, détermine la période de

Comment classer ces quotients en différentesfamilles ? Indique combien tu en trouves.

Détermine la période de la partie décimalede chaque quotient.

57

b.59

c.1511

d.5

14e.

521

f.5

27

24

Écris le résultat qu'affiche la calculatrice6

11



24

- 10 -

a. Dans un panier, il y a 12 pommes et 17 poires.Quelle est la proportion de poires ?

R.1 R.2 R.3

1729

1712

1217

b. Dans une urne qui contient 27 boulesblanches et noires, il y a 5 boules noires. Laproportion de boules blanches dans l'urne est...

R.1 R.2 R.3

527

2227

522

c.1116

des élèves d'une classe font de l'espagnol,

alors le nombre d'élèves dans la classe est...

R.1 R.2 R.3

27 16 on ne sait pas16 on ne sait pas

Donne la proportion des pastilles dechaque couleur.

Actuellement 1,5 milliard d'êtres humainsn'ont pas accès à l'eau potable, et 2,6 milliardsne disposent pas d'un réseau d'assainissementdes eaux usées (toilettes, égouts...).

Si l'on considère que la planète compte 7,4milliards d'individus, donne la proportion d'êtreshumains (sous la forme d'une fraction la plussimple possible)...

a. qui n'ont pas accès à l'eau potable ;

Voici la composition nutritionnelle de 100 gde crème dessert à la vanille.

protéines 3,64 g Quelle est la proportion enprotéines 3,64 g Quelle est la proportion enprotéines 3,64 g Quelle est la proportion en

glucides ?glucides ?glucides ?

lipides 4 glipides 4 glipides 4 g

eau 71,2 geau 71,2 geau 71,2 g

autre 1,86 gautre 1,86 gautre 1,86 g

Tetris met le joueur au défi de réaliser deslignes complètes en déplaçant des pièces deformes différentes, composées de 4 carreaux.

Quelle est la proportion de chaque tétramino ?

On ajoute un tétramino jaune. Redonne alorsla proportion de chaque tétramino mais, cettefois-ci, en pourcentage.

27

Proportions

QCM25

30

31

26

Au casino, les numéros du cylindre de laroulette sont divisés en trois catégories : les« Voisins du Zéro », le « Tiers du Cylindre » et les« Orphelins ».

a. Quelle est la proportion des numéros dechaque catégorie ?

b. Quelle est la proportion des numéros de lacatégorie « Jeu 0 » parmi les numéros de lacatégorie « Voisins du Zéro » ?

29

Voisins du Zéro

Un environnement numérique exceptionnel !

Parmi les quotients suivants, quels sontceux qui ne sont pas des nombres décimaux ?Donnes-en alors une valeur approchée, au

e.116

j.2111


5763

f.6357

Parmi les quotients suivants, quels sont

8435

f.2611

, la calculatrice affiche :



1213

.



Voici la composition nutritionnelle de 100 gde crème dessert à la vanille.

protéines 3,64 g Quelle est la proportion enprotéines 3,64 g Quelle est la proportion enpourcentage...

a. des protéines ?

b. des lipides ?

c. des glucides ?eau 71,2 g

autre 1,86 g

met le joueur au défi de réaliser deslignes complètes en déplaçant des pièces deformes différentes, composées de 4 carreaux.

Quelle est la proportion de chaque tétramino ?

On ajoute un tétramino jaune. Redonne alorsla proportion de chaque tétramino mais, cettefois-ci, en pourcentage.

Fractions • N2 27

Quelle est la proportion des numéros dechaque catégorie ?

Quelle est la proportion des numéros de lacatégorie « Jeu 0 » parmi les numéros de lacatégorie « Voisins du Zéro » ?

Voisins du Zéro

énoncéénoncé Voici la composition nutritionnelle de 100 g

énoncé Voici la composition nutritionnelle de 100 g

protéines 3,64 g Quelle est la proportion enénoncéprotéines 3,64 g Quelle est la proportion enpourcentage... énoncépourcentage...

des protéines ?énoncédes protéines ?

Au casino, les numéros du cylindre de laroulette sont divisés en trois catégories : les« Voisins du Zéro », le « Tiers du Cylindre » et les« Orphelins ».

a. Quelle est la proportion des numéros dechaque catégorie ?

« Voisins du Zéro » :1737

« Tiers du Cylindre » :1237

« Orphelins » :8

37

b. Quelle est la proportion des numéros de lacatégorie « Jeu 0 » parmi les numéros de lacatégorie « Voisins du Zéro » ?

La proportion des numéros de la catégorie« Jeu 0 » parmi les numéros de la catégorie

« Voisins du Zéro » est : 7

17

Voici la composition nutritionnelle d'unecrème dessert à la vanille de 100 g.

protéines 3,64 g Quelle est la proportion enpourcentage...

a. des protéines ?

b. des lipides ?

c. des glucides ?

glucides ?

lipides 4 g

eau 71,2 g

autre 1,86 g

a. Proportion des protéines :

3,64100

=3,64 %

b. Proportion des lipides :

4100

=4 %

c. Proportion des glucides :

100 – (3,54 + 4 + 71,2 + 1,86)

= 100 – 80,6 = 19,4

19,4100

=19,4 %

Chapitre N2 • Fractions 152

29 30

Voisins du Zéro

Manuels numériques iParcours

en abonnement annuel ACCÈS AUX COMPLÉMENTS qui prolongent les exercices et activités du manuel :

Animations sonorisées permettant d'illustrer les éléments du cours

Aides fi xes ou animées pour avancer dans la résolution des exercices et des problèmes

Questions Flash (pour développer les capacités de raisonnement rapide et de calcul mental)

QCM aléatoires sur les notions abordées

Compléments spécifi ques "algorithmique et programmation" : QCM Scratch ; corrigés en vidéo des activités et projets ; fourniture des fi chiers Scratch

Fichiers tableur et géométrie dynamique des exercices du manuel

Lexique interactif pour aider à la compréhension du vocabulaire mathématique

POUR LE PROFESSEUR

Corrigés fi xes ou animés de tous les exercices

Vidéos à projeter pour visualiser et commenter les outils numériques en action (tableur, géométrie dynamique)

Vidéos pour une prise en main progressive de Scratch (certains points diffi ciles, tels que la récursivité et le clonage, sont aussi abordés)

Sur tous supports

- en ligne,

- en téléchargement (installation sur les ordinateurs de l'établissement ou copie sur une clé USB),

- sur tablette.

L'abonnement de l'établissement inclut :

- la connexion à son ENT

- l'accès à partir de

Les professeurs des établissements équipés de

Pronote accèdent aux contenus du manuel avec

leurs identifi ants Pronote. Ils peuvent diffuser

directement ces contenus aux élèves.

Un minimum de 50 licences par niveau scolaire est requis pour l'abonnement.

Exemples d'abonnement

110 élèves du niveau 5e

+ leurs 4 professeurs*

1,90 × 110

= 209 € pour un an

105 élèves du niveau 6e

+ 115 élèves du niveau 5e


1,90 × (105 + 115)


Les 500 élèves d'un collège


1,90 × 500


CollectioniParcours

* L'abonnement des professeurs est offert.

a. qui n'ont pas accès à l'eau potable ;

b. qui ne disposent pas d'un réseau d'assainissement.

Dans un jeu de 52 cartes

a. Quelle est la proportion des as ?

b. Quelle est la proportion des piques ?

c. Quelle est la proportion des cœurs parmi lescartes rouges ?

d. Quelle est la proportion des rois parmi lesfigures ?

a. Quelle est la proportion de chaque tétramino ?

b. On ajoute un tétramino jaune. Redonne alorsla proportion de chaque tétramino mais, cettefois-ci, en pourcentage.

28


et 1011

.



Détermine la période de la partie décimale

521

f.5

27

- 11 -

Une véritable complémentarité entre le papier et le numérique :

- Le professeur dispose gratuitement de l’ensemble des corrigés, en s’inscrivant sur le site www.iparcours.fr

- L’élève accède sur Internet à l’intégralité des contenus, avec des aides animées et des exercices complémentaires.

Tous les points du programme sont abordés

Nombres et calculs

Grandeurs et mesures

Espace et géométrie

Organisation et gestion de données, fonctions

AIRES ET PÉRIMÈTRES • M2FICHE 6 : PROBLÈMES

1 Voici deux sortes de mobil-homes agrémentés chacun d'une terrasse. Les dimensions sont exprimées en mètres.

a. Compare leur surface habitable.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. Compare la surface de leur terrasse.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

2 Reprends les mobil-homes de l'exercice 1 .a. Calcule le périmètre de chaque terrasse.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. On souhaite modifier la terrasse du Hérissonpour qu'elle ait le même périmètre que celle duTaupe. Propose une solution.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

3 Voici le plan d'une piscine.

a. Calcule la longueur de la barrière de sécurité(contour de la surface juste avant le gazon) àinstaller au dixième de mètre près.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. Calcule la quantité de carrelage nécessaireautour de la piscine au m2 près.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

Grandeurs et mesures124

11 m

7 m

1 m1 m

1 m1 m

1 m4 3,2

4,1 3,8

Une démarche progressive pour des parcours personnalisés

Un grand choix d'exercices pour chaque notion : application directe, approfondissement, synthèse, problèmes, etc.

Ainsi, le professeur peut aisément mettre en place une pédagogie différenciée.

Un grand nombre d'exercices, de diffi culté progressive, pour mettre en place des parcours différenciés en fonction du niveau des élèves et de l'hétérogénéité des classes.

4 cahiers pour les 4 niveaux du collège

Une continuité de la 6e à la 3e avec des cahiers homogènes dans leur présentation et leur approche.

La transition CM2 / 6e a été pensée dans l'esprit du programme 2016 : la résolution de problèmes est au cœur du dispositif.

L'esprit de la collection iParcours. Dans chaque chapitre, on retrouve le même environnement graphique : des pages en couleur, des exercices illustrés et un personnage sympathique.

Programme

2016

Sommaire

NOMBRES ET CALCUL

N0 • Nombres entiers (1) .................................3

numération / demi-droite graduée / comparaison / additions / soustractions / problèmes.

N1 • Nombres entiers (2) ................................9

multiplications / divisions euclidiennes / multiples et diviseurs / critères de divisibilité / durées / problèmes.

N2 • Fractions .................................................17

fractions et partage / nombre fraction / fractions et demi-droite graduée / comparaison / décomposition.

N3 • Nombres décimaux ................................23

fractions décimales / fractions décimales et nombres décimaux / numération / demi-droite graduée / comparaison et rangement / encadrements et valeurs approchées.

N4 • Opérations sur les nombres décimaux ..........................................................31

calculs avec des puissances de 10 / unités de mesure / additions / soustractions / multiplications / divisions / problèmes.

GESTION DE DONNÉES

D1 • Proportionnalité .....................................49

situations de proportionnalité ? / situations de proportionnalité / une histoire de rectangles / pourcentages.

D2 • Gestion de données ...............................55

lecture de tableaux / lecture de graphiques / gestion de données dans un tableau / construction de graphiques.

GÉOMÉTRIE

G0 • Éléments de géométrie .........................61vocabulaire / reproductions de figures dans un quadrillage / constructions / figures complémentaires (à faire sur feuille).

G1 • Distances et cercles ..............................65

milieux / vocabulaire du cercle / constructions / programmes de construction / distances et cercles / souris compassée / figures complémentaires (à faire sur feuille).

G2 • Droites parallèles et perpendiculaires.........................................73

position de droites / programmes de construction / constructions / médiatrices / distances / repérage / figures complémentaires (à faire sur feuille).

G3 • Triangles et quadrilatères.....................79

triangles quelconques / construction de triangles quelconques / identification de triangles particuliers / construction de triangles particuliers / quadrilatères particuliers / figures complémentaires (à faire sur feuille).

G4 • Symétrie axiale.......................................87

identification / constructions avec quadrillage / constructions sans quadrillage / propriétés / figures complémentaires.

G5 • Axes de symétrie....................................95

axes de symétrie de figures quelconques / médiatrices et bissectrices / axes de symétrie de figures usuelles / figures complémentaires (à faire sur feuille).

G6 • Espace....................................................101

autour des solides / parallélépipèdes rectangles et représentations en perspective / parallélépipèdes rectangles et patrons.

GRANDEURS ET MESURES

M1 • Angles ...................................................107

identification d'angles / nature d'un angle / petits calculs /mesurer un angle / tracé d'angles / constructions / bissectrices / programmes de construction / figures complémentaires (à faire sur feuille).

M2 • Aires et périmètres .............................119

périmètre et aire par comptage / périmètre de figures usuelles / aire de figures usuelles / aires et conversions /périmètre du cercle et aire du disque / problèmes.

M3 • Volumes ................................................125

volume par comptage / volume du parallélépipède rectangle / conversions / problèmes.

RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Résolution de problèmes ........131

les Antilles françaises / santé / multimédia

Cahiers iParcours - Maths (version papier)

Cahier iParcours Maths 6e - 128 p.ISBN : 978-2-36246-158-3 ....................... 5,20 €

Cahier iParcours Maths 5e - 128 p.ISBN : 978-2-36246-159-0 ....................... 5,20 €

Cahier iParcours Maths 4e - 128 p.ISBN : 978-2-36246-160-6 .......................5,20 €

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Nos tarifs

CAHIERS d'exercices

- 12 -

Feuilletez l'intégralité des cahiers

www.iparcours.fr

Les cahiers peuvent être utilisés en complément de n'importe quel autre manuel.

Cahiers numériques iParcours

On retrouve l'environnement

numérique iParcours.

• des outils d'édition pour expliquer et commenter.

• des pages perso pour organiser le cours avant de le projeter.

• la qualité d'affi chage (mode vectoriel)

• l'affi chage simultané de plusieurs fenêtres

NOTION DE FONCTION • D1FICHE 10 : TICE TABLEUR (1)

1 TICE Tableur On a utilisé un tableur pour calculer les images de différentes valeurs de x par unefonction affine f et par une autre fonction g. Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous.

a. Quelle est l'image de − 3 par f ?

...............................................................................

b. Calcule f(7).

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

c. Donne l'expression de f(x).

...............................................................................

d. On sait que g(x) = x2 4. Une formule a étésaisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers ladroite pour compléter la plage de cellule C3:H3.

Quelle est cette formule ?

...............................................................................

2 TICE Tableur Un éleveur a acheté 40 m de grillage ; il veut adosser un enclos rectangulaire à sagrange, contre un mur de 28 m de long. Il souhaite offrir ainsi le maximum de place à ses brebis enutilisant le grillage.

a. Pour x = 4 m, calcule la longueur y, puis l’aire Sde l’enclos en m2.

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. Complète le tableau.

x (en m) 4 10 20 28

y (en m)

S (en m2)

c. Détermine y en fonction de x. Déduis-en que S = 20x − 0,5x2.

...............................................................................

...............................................................................

d. Voici la plage de cellules réalisées dans untableur-grapheur qui permettra de calculer lavaleur de S.Quelle formule doit-il saisir dans la cellule B2 etqui pourra être étendue sur toute la colonne B ?

...............................................................................

A B

1 Valeur de x Valeur de S

2 4

3 6

4 8

5 10

6 12

7 14

8 16

9 18

10 20

11 22

12 24

13 26

14 28

Gestion de données 63

mur

xgrillage

Des activités numériques

On retrouve ces activités spécifi ques tout au long des cahiers.

L'élève développe ainsi les 6 compétences requises en mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer.

384 50 1 8 75 7 9

PRIORITÉS OPÉRATOIRES • N1FICHE 5 : PROBLÈMES

1 Voici quatre nombres :

12,5 8 6,5 2

Pour chaque question, tu ne peux utiliser qu'unefois exactement les quatre nombres, l'addition, lasoustraction et la multiplication. Toutefois, tu peuxplacer des parenthèses.

Écris l'expression qui donne...

a. le plus grand résultat possible :

...............................................................................

b. le plus petit résultat possible :

...............................................................................

2 On cherche à calculer la longueur dessegments [AB], [CD], [EF] et [GH].

a.

b.

c.

d.

Pour chaque cas, écris une expression permettantde calculer les longueurs AB, CD, EF et GH puiseffectue le calcul.

a. ...........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. ..........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

c. ...........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

d. ..........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

3 Lors d'une émission Des chiffres et des lettres,on doit obtenir 384 en utilisant chacun desnombres suivants au plus une fois :

M. Lucien donne la réponse suivante :

a. Écris sa réponse sous la forme d'une seuleexpression (utilise des parenthèses si nécessaire).

...............................................................................

b. Trouve trois autres réponses et écris-les sous laforme d'une seule expression.

• .............................................................................

• .............................................................................

• .............................................................................

Exprime la longueur du parcours effectué durantces cinq jours à l'aide :a. d'une somme ;b. d'un produit ;puis effectue chacun de ces calculs.

a. ...........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

b. ..........................................................................

...............................................................................

...............................................................................

...............................................................................

Nombres et calcul 7

1,4 0,5

A B

3,65,2

C D

3,29

E F2

8G H

Une incitation à un travail soigné

Une attention particulière a été portée à la place requise pour la réponse (aide implicite pour l'élève).

Un cahier constitue une trace écrite du travail réalisé et incite l'élève à un travail soigné.

G0 - Éléments de géométrie / Cahier iParcours Maths 6e

Énoncé : exercice 2, page 61Aide animée et sonorisée : Intersections et points alignés

Compléments de la fi cheCes compléments s’appliquent sur l’ensemble des exercices de cette fi che.

Aide animée : droites, demi-droites, segments

QCM : droites, demi-droites, segments (vocabulaire et notations)

Aide animée : Appartient et n’appartient pas

QCM : Appartient et n’appartient pas

Aide animée : Intersections et points alignés

QCM : Points alignés et points d’intersection

Les compléments de couleur verte sont réservés au mode professeur.

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Compléments numériquesOn accède gratuitement, sur Internet, à l'intégralité des cahiers iParcours et à leurs compléments numériques

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Gratuit !

L'intégralité des cahiers numériques iParcours est accessible gratuitement sur Internet.

Le professeur dispose également de l'ensemble des corrigés, en s'inscrivant avec son adresse professionnelle sur le site www.iparcours.fr

- 13 -

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Programme20164 logiciels "Cahiers numériques"

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les professeurs dont l'établissement n'a pas souscrit d'abonnement aux manuels numériques mais qui souhaitent néanmoins les utiliser en classe.

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Référence Désignation Quantité Prix unit. Prix total

MIPM6 Manuel iParcours Cycle 3 Maths - Vol. 6e (éd. 2016) 14,95 €




CIPM6-N Cahier d'exercices iParcours - Maths 6e (éd. 2016) 5,20 €




M828 DVD Manuel numérique iParcours Cycle 3 - Maths 6e (enseignant) - monoposte 30,00 €

E828S DVD Manuel numérique iParcours Cycle 3 - Maths 6e (enseignant) - site/réseau 89,00 €







M822-N DVD Cahier numérique iParcours - Maths 6e (enseignant) - monoposte 30,00 €

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iP-ManCLG 16p V3 - Génération 5 · Étude des probabilités Dans ce second volume, l'approche fréquentiste est introduite en utilisant le tableur. Les simulations montrent à l'élève