IUP génie civil, première année Version sans dessin

Algèbre géométrieIUP génie civil, première année

11 février 2003

Version sans dessin

Alexandre MIZRAHI

Université de Cergy Pontoise

Table des matières

1 Géométrie affine et euclidienne dans le plan et l’espace 41.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Droites affines du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Produit scalaire canonique deR2 et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Plan affine de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Droites affines de l’espaceR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Produit scalaire canonique deR3 et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Repère de l’espaceR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Applications linéaires et matrices 122.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Méthode du pivot de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Exemples d’applications linéaires, affines et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2 Homothéties linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.3 Homothéties affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.4 Projections linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.5 Projections affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Noyau, image, base, dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Vecteurs propres, valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Matrices d’applications linéaires et changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9 Complément sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9.1 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.2 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.9.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10.1 Cas de la dimension deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10.2 Cas général déterminant à n lignes et n colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.10.3 Cas de la dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.10.4 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.11 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11.2 Méthode de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11.3 Cas des matrices non diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

TABLE DES MATIÈRES A.Mizrahi

3 Géométrie euclidienne dansR2 et R3 293.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Un exemple de produit scalaire en dimension infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Cercle dansR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Matrices symétriques et matrices orthogonales 334.1 Matrice symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3 Image d’une matrice symétrique par une application réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Université de Cergy Pontoise 3

Chapitre 1

Géométrie affine et euclidienne dans le planet l’espace

1.1 Présentation

Ce cours a pour but d’étudier les matrices, on est amené pour cela à étudier les espaces vectoriels, pour desraisons de simplicité, nous n’étudierons pas précisément la structure d’espace vectoriel mais nous travailleronsdans un flou maîtrisé des différentes notions. Enfin nous commençons par l’étude des structures euclidiennesdu plan et de l’espace, pour avoir un exemple clair de la théorie qui va suivre. Dans le plan et l’espace noustravaillerons sans base, le plan seraR2 et l’espaceR3.

1.2 Introduction

On rappelle que dansR2 nous avons les opérations suivantes :

∀λ;x; y ∈ R{

(x; y) + (x′; y′) = (x+ x′; y + y′)λ(x; y) = (λx;λy)

Définition 1.1 Si M = (x,y) et M ′ = (x′,y′) alors on note−−−→MM ′ = (x′ − x,y′ − y)

Remarque 1.1 (x; y) peut représenter un point du plan ou bien un vecteur du plan, on ne fait pas de différenceentre le pointM et le vecteur

−−→OM .

On note souventM(x,y) au lieu deM = (x,y)

Proposition 1.1 1. M +−−−→MM ′ = M ′

2.−→AB = 0 ⇐⇒ A = B

3.−→AB = −−→BA

4.−→AB +−→

BC = −→AC

5.−→AB = −→u ⇐⇒ B = A+−→u

6. A+−→u = A+−→v ⇐⇒ −→u = −→v

Preuve : ...

Définition 1.2 −→u et −→v sont colinéaires si il existe λ ∈ R tel que −→u = λ−→v ou −→v = λ−→u

4

1.3. DROITES AFFINES DU PLAN A.Mizrahi

1.3 Droites affines du plan

Définition 1.3 1. On appelle droites vectorielles de R2 les ensembles de la forme

R−→u = {k−→u /k ∈ R}

où −→u un vecteur non nul

2. Soit A un point et−→D une droite vectorielle, on appelle droite affine passant par A de direction−→

D l’ensemble {A + −→u |veu ∈ −→d } −→u 6= 0 tout élément non nul de

−→D est appelé vecteur

directeur de la droite affine.

Proposition 1.2 SiA+ R−→u = B + R−→v alorsR−→u = R−→v .

Preuve :A+ R−→u = B + R−→v donc il existeλ1;λ2 ∈ R tel que{A = B + λ1

−→uB = A+ λ2

−→v

donc−→BA = λ1

−→u et−→AB = λ2

−→v . D’ou le résultat. Le cas−→u = 0 entraîne−→v = 0.La proposition précédente permet de donner la définition suivante :

Définition 1.4 Soit D = A+ R−→u une droite affine; la droite vectorielle R−→u est appelée direction deD on la note

−→D . Les vecteurs de

−→D sont appelées vecteurs directeurs de D.

Définition 1.5 On appelle déterminant des vecteurs −→u et −→v le réel

det(−→u ;−→v ) =∣∣∣∣ xu xv

yu yv

∣∣∣∣ = xuyv − yuxv

Remarque 1.2 La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs donne l’aire du parallélogramme définipar ces deux vecteurs.

Proposition 1.3 −→u et−→v sont colinéaires si et seulement sidet(−→u ;−→v ) = 0

Preuve :Si−→u = k−→v alorsdet(−→u ;−→v ) = kxvyv − kyvxv = 0.Si−→u est nul OK, sinon supposonsxu 6= 0 on pose alors

k =xv

xu

un calcul immédiat nous montre que−→v = k−→u

Proposition 1.4 SoientM1;M2 etM3 (Mi : (xi; yi)) trois points du plan il y a équivalence entre les proprié-tés suivantes:

1. M1;M2;M3 sont alignés.

2.−−−−→M1M2 et

−−−−→M1M3 sont colinéaires.

3.

∣∣∣∣ x2 − x1 x3 − x1

y2 − y1 y3 − y1

∣∣∣∣ = 0

4.

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0


1.4. PRODUIT SCALAIRE CANONIQUE DER2 ET ORTHOGONALITÉ A.Mizrahi

Preuve : 1 =⇒ 2: Si M1;M2;M3 sont alignés ils sont sur la droiteM1 + R−−−−→M1M2 donc il existeλ tel queM3 = M1 + λ

−−−−→M1M2 donc

−−−−→M1M3 et

−−−−→M1M2 sont colinéaires.

2 =⇒ 1: Si−−−−→M1M2 = k

−−−−→M1M3 alors les trois points appartiennent à la droiteM1 + R−−−−→M1M3 c’est clair pour

M1 etM3 orM2 = M1 + k−−−−→M1M3

2 ⇐⇒ 3 : n’est autre que la propriété précédente.4 Il faut attendre un peu d’avoir un définition rigoureuse du déterminant de trois vecteurs.En écrivant coordonnées par coordonnées la relationD = A+ R−→u on remarque qu’un pointM(x; y) appar-tient à la droite affineD = A+ R−→u si et seulement si il existeλ ∈ R tel que{

x = xA + λx−→uy = yA + λy−→u

Définition 1.6 On dit que{x = xA + λx−→uy = yA + λy−→u

est une représentation paramétrique de la droite D.

Définition 1.7 Toute droite affine D possède, à un coefficient multiplicatif non nul prés, une uniqueéquation cartésienne ax+ by + c = 0 c’est à dire que D = {(x; y)/ax+ by + c = 0}On note D : ax+ by + c = 0.

Preuve : existence: Si l’on écrit pour les coordonnées le fait que−→AB et

−−→AM sont colinéaires, on obtient

(xb − xa)(y − xa)− (yb − ya)(x− xa) = 0, ce qui est une équation cartésienne.unicité: Pour toutk non nul

{(x; y)/ax+ by + c = 0} = {(x; y)/kax+ kby + kc = 0}

Réciproquement si

{(x; y)/ax+ by + c = 0} = {(x; y)/a′x+ b′y + c′ = 0}

(−b,a) est un vecteur directeur car siC appartient àD alorsC + R(−b; a) = D. Donc d’après 1.2(−b; a) et(−b′,a′) sont colinéaires, il existe donck tel queb′ = kb eta′ = ka donc

a′x+ b′y + c′ = kax+ kby + c′

si (x1; y1) ∈ D alorskax1 + kby1 + c′ = 0 or ax1 + by1 = −c doncc′ = kc. CQFD

Proposition 1.5 La droiteD d’équationax+ by + c = 0 admet le vecteur(−b; a) comme vecteur directeur.

Définition 1.8 Deux droites affines D et D′ sont parallèles si−→D =

−→D′

Proposition 1.6 D : ax + by + c = 0 etD′ : a′x + b′y + c′ = 0 D etD′ sont parallèles si et seulement si∣∣∣∣ a ba′ b′

∣∣∣∣ = 0

Preuve : Il suffit de considérer deux vecteurs directeurs.

Proposition 1.7 SoitD la droite d’équationax+ by + c = 0, alors−→D a pour équation :ax+ by = 0

1.4 Produit scalaire canonique deR2 et orthogonalité

Définition 1.9 Soient −→u (xu; yu) et −→v (xv; yv), le produit scalaire de −→u par −→v est défini par

−→u · −→v = xuxv + yuyv

Définition 1.10 La norme d’un vecteur −→u est définie par ‖−→u ‖ =√−→u · −→u .


1.5. PLAN AFFINE DE L’ESPACE A.Mizrahi

Preuve :Admis

Définition 1.11 Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, on note alors −→u ⊥−→v .

Théorème 1.1−→u ⊥ −→v si et seulement si‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2.

Définition 1.12 Deux droites sont perpendiculaires si tout vecteur directeur de l’une est orthogonalà tout vecteur directeur de l’autre.

Proposition 1.8 D : ax+ by + c = 0 etD′ : a′x+ b′y + c′ sont perpendiculaires ssiaa′ + bb′ = 0.

Proposition 1.9 Pour tout couple de vecteurs(−→u ;−→v ) on a :

−→u · −→v = ‖−→u ‖‖−→v ‖ cos(−̂→u ;−→v )

1.5 Plan affine de l’espace

Définition 1.13 1. Soient −→u et −→v deux vecteurs non colinéaires de l’espace. On appelle planvectoriel engendré par −→u et −→v l’ensemble :

vect(−→u ;−→v ) = R−→u + R−→v = {λ1−→u + λ2

−→v /λ1,λ2 ∈ R}

2. On appelle plan affine passant par A, de direction le plan vectoriel π, l’ensemble :

A+ π = {A+−→u /−→u ∈ π}

Définition 1.14 Soit P un plan affine il existe un unique plan vectoriel π tel que P soit un plan dedirection π.On note alors

−→P ce plan vectoriel appelé direction de P

Preuve :existence : par définition d’un plan affine.unicité : siP = A+ π = A′ + π′.SoitC ∈ π il existe donc

−→u′ ∈ π′ tel queA + C = A′ +

−→u′ doncC =

−−→AA′ +

−→u′ . OrA ∈ P donc il existe−→

v′ ∈ π′ tel queA = A′ +−→v′ et donc

−−→AA′ ∈ π′ on a donc montré queC ∈ π′. CQFD

Proposition 1.10 SoitA1 un point d’un planP , un pointA2 appartient au planP si et seulement si−−−→A1A2 ∈−→

P

Proposition 1.11 M1;M2;M3 trois points de l’espaceR3 non alignés, il existe un unique plan affine passantpar ces trois points. C’est le plan passant parM1 de directionR−−−−→M1M2 + R−−−−→M1M3 = vect(−−−−→M1M2;

−−−−→M1M3).

Preuve : ...Un pointM(x,y,z) appartient au plan affineA + R−→u + R−→v si et seulement si il existeλ,µ tel que

M = A+ λ−→u + µ−→v ce qui s’écrit :

(S)

x = xA + λx−→u + µx−→vy = yA + λy−→u + µy−→vz = zA + λz−→u + µz−→v

Définition 1.15 On dit que ce système est une représentation paramètrique du plan A+ R−→u + R−→v .

Définition 1.16 Tout plan affine P possède, à un coefficient multiplicatif non nul prés, une uniqueéquation cartésienne ax+ by + cy + d = 0 c’est à dire P = {(x; y; z)/ax+ by + cz + d = 0}On note P : ax+ by + cz + d = 0.


1.6. DROITES AFFINES DE L’ESPACER3 A.Mizrahi

Définition 1.17 Deux plans P et P ′ sont parallèles si−→P =

−→P ′ on note P//P ′

Proposition 1.12 SoientP : ax + by + cz + d = 0 un plan deR3, sa direction−→P a pour équation :ax +

by + cz = 0

Proposition 1.13 SoientP : ax+ by + cz + d = 0 etP ′ : a′x+ b′y + c′z + d′ = 0; P etP ′ sont parallèlessi et seulement si il existe un réelk tel quea′ = ka; b′ = kb; et c′ = kc

1.6 Droites affines de l’espaceR3

Définition 1.18 1. On appelle droites vectorielles de R3 les ensembles de la forme

R−→u = {k−→u /k ∈ R}

où −→u est un vecteur non nul de R3

2. On appelle droite affine passant par A et dirigée par le vecteur −→u 6= 0 l’ensemble des pointsM tq

−−→AM soit colinéaire à −→u . Cette droite est l’ensemble A+ R−→u = {A+ k−→u |k ∈ R}.

Proposition 1.14 SiA+ R−→u = B + R−→v alorsR−→u = R−→v .

Preuve :Voir le cas dansR2, proposition 1.2

Définition 1.19 Pour toute droite affine D, il existe une unique droite vectorielle notée−→D appelée

direction de D telle qu’il existe un point A tel que D = A+−→D = {A+−→

d |−→d ∈ −→D }

Proposition 1.15 Pour tout couple de points distincts(M1;M2) il existe une unique droite affine deR3 notée(M1M2) passant parM1 etM2, (cad contenantM1 etM2).

Preuve : (M1M2) = M1 + R−−−−→M1M2

Un pointM(x,y,z) appartient à la droite affineA+ R−→u si et seulement si il existeλ tel queM = A+ λ−→uce qui s’écrit :

(S)

x = xA + λx−→uy = yA + λy−→uz = zA + λz−→u

Définition 1.20 On dit que ce système est une représentation paramètrique de la droite A+ R−→u .

Définition 1.21 Toute droite affine D de R3 possède un système d’équations cartésiennes de laforme :

(S){

ax+ by + cz + d = 0a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

où (a; b; c) et (a′; b′; c′) sont deux vecteurs non colinéaires.Un point M(x; y; z) appartient à la droite D si et seulement si (x; y; z) vérifie le système d’équations(S).Réciproquement l’ensemble des points vérifiant le système (S) est une droite affine.

Preuve : Il y a un peu de calcul à faire. On part de la représentation paramétrique et on élimine leλ. Pour laréciproque on utilise une des coordonnées comme paramètreλ.

Remarque 1.3 Le système(S) est constitué de deux équations cartésiennes de plans non parallèles car lesvecteurs(a; b; c) et(a′; b′; c′) sont non colinéaires (cf proposition 1.13). Donc toute droite est l’intersection dedeux plans non parallèles et l’intersection de plans non parallèles est une droite.


1.7. PRODUIT SCALAIRE CANONIQUE DER3 ET ORTHOGONALITÉ A.Mizrahi

Définition 1.22 Soient D;D′ deux droites affines et P un plan affine :

1. D et D′ sont parallèles si−→D =

−→D′.

2. D et P sont parallèles si−→D ⊂ −→

P

Exemple 1.1 Montrer que le plan d’équation2x− 3y + z = 2 est parallèle à la droite(2; 3; 4) + R(1; 1; 1).

Remarque 1.4 Il est remarquable de constater que dans l’espace deux droites peuvent être ni sécantes niparallèles, on dit alors qu’elles sont gauches et c’est en quelque sortes le cas général. Par exempleD =(1; 0; 0) + R(0; 0; 1) etD′ = R(0; 1; 0).

Définition 1.23 Deux droites sont coplanaires si il existe un plan affine P contenant ces deux droites.

Proposition 1.16 Deux droitesA+R−→u etA′+R−→u′ sont coplanaires si et seulement si les vecteurs

−−→AA′; −→u

et−→u′ sont dans un même plan vectoriel (on dit que ces trois vecteurs sont liés).

Preuve :Si on noteP le plan contenant les deux droites, alors on montre que−−→AA′;−→u ;

−→u′ ∈ −→P .

Réciproquement : Il suffit de voir que les deux droites appartiennent au plan affineA+ R−→u + R−→v

Remarque 1.5 La propriété de la dernière proposition se traduit facilement à l’aide d’un déterminant.

1.7 Produit scalaire canonique deR3 et orthogonalité

Définition 1.24 Soient −→u (xu; yu; zu) et −→v (xv; yv; zv), le produit scalaire de −→u par −→v est défini par

−→u · −→v = xuxv + yuyv + zuzv

Définition 1.25 La norme d’un vecteur −→u est définie par ‖−→u ‖ =√−→u · −→u .

Définition 1.26 Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul, on note alors −→u ⊥−→v .

Définition 1.27 Soit F une partie de R3 on définit l’orthogonal de F par F⊥ = {−→u ∈ R3|∀−→v ∈F, −→u ⊥ −→v }.

Remarque 1.6 On peut remarquer avec intérêt que l’orthogonal d’un vecteur non nul est un plan dont l’équa-tion est très facile à déterminer, en effet si−→u = {a,b,c} alors

−→u ⊥ = {−→v ∈ R3|−→u ⊥ −→v } = {(x,y,z) ∈ R3|ax+ by + cz = 0}

Définition 1.28 Une droite D est perpendiculaire à un plan P si−→P⊥

= −→D .

Un plan Π est perpendiculaire à un plan P si−→P⊥ ⊂ −→Π .

Théorème 1.2−→u ⊥ −→v si et seulement si‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2.

Définition 1.29 Soient −→u et −→v deux vecteurs de R3, leur produit vectoriel est le vecteur défini par

−→u ∧ −→v =

yuzv − zuyv

zuxv − xuzvxuyv − yuxv

Proposition 1.17 −→u ∧ −→v est orthogonal à−→u et−→v . De plus‖−→u ∧ −→v ‖ = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ | sin(−̂→u ,−→v )| qui estégal à l’aire du parallélogramme défini par les vecteurs−→u et−→v , enfin le triplet(−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) est direct.


1.8. REPÈRE DE L’ESPACER3 A.Mizrahi

Définition 1.30 On appelle produit mixte des vecteurs −→u ,−→v et −→w la quantité −→u · −→v ∧ −→w

Proposition 1.18 |−→u · −→v ∧−→w | représente le volume du parallélépipède défini par−→u ,−→v et−→w . Il est nul ssiles trois vecteurs appartiennent à un même plan vectoriel.

1.8 Repère de l’espaceR3

L’étude deR2 est identique, on se limite donc à celle deR3.

Définition 1.31 1. On appelle base de R3 les ensembles de trois vecteurs (−→i ;−→j ;−→k ) qui n’ap-partiennent pas à un même plan vectoriel.

2. On appelle repère de R3 les couples constitués d’un point de R3 et d’une base de R3, on ditque le point est l’origine du repère.

Exemple 1.2 Les trois vecteurs(1; 0; 0); (0; 1; 0) et (0; 0; 1) forment une base deR3 appelée base canoniquedeR3. De même pourR2 et les vecteurs(1; 0) et (0; 1).

Proposition 1.19 Soit (−→i ;−→j ;−→k ) une base deR3, tout vecteur deR3 s’écrit de façon unique comme com-binaison linéaire des vecteurs

−→i ;−→j ;−→k . C’est à dire :

∀−→u ∈ R3; ∃!(a; b; c) ∈ R3; −→u = a−→i + b

−→j + c

−→k

Preuve : existence : ce n’est pas trivial, nous verrons plus tard le cas général. Par contre intuitivement c’estclair comme les trois vecteurs

−→i ;−→j ;−→k n’appartiennent pas à un même plan vectoriel il suffit de regarder les

projections sur chacun des axes.unicité : Si−→u = a

−→i + b

−→j + c

−→k = a′

−→i + b′

−→j + c′

−→k alors(a − a′)−→i + (b − b′)−→j + (c − c′)−→k = 0

donc par exemple si l’on supposea 6= a′ on obtient

−→i =

b− b′

a− a′−→j +

c− c′

a− a′−→k

donc−→i appartient au plan vectoriel engendré par

−→j et

−→k ; ce qui est en contradiction avec la définition d’une

base.

Définition 1.32 Soit R = (ω;−→i ;−→j ;−→k ) un repère de R3, pour tout point M de R3 il existe un uniquetriplet (xM ; yM ; zM ) appelé coordonnées de M dans le repère R tel que

−−→ωM = xM

−→i + yM

−→j + zM

−→k

Remarque 1.7 On parle donc des coordonnées d’un point dans un repère et des coordonnées d’un vecteurdans une base. Parfois on parle des coordonnées d’un vecteur dans un repèreR, il s’agit en réalité des co-ordonnées du vecteur dans la base associée. En effet pour un vecteur l’origine du repère n’influe pas. Lesformules des changements de repères ne seront pas les même suivant qu’il s’agit de points ou de vecteurs.

Proposition 1.20 SoientR = (ω;−→i ;−→j ;−→k ) etR′ = (ω;−→i′ ;−→j′ ;−→k′ ) deux repères deR3 tels que

−→ωω′ = x0

−→i + y0

−→j + z0

−→k

−→i′ = a11

−→i + a21

−→j + a31

−→k

−→j′ = a12

−→i + a22

−→j + a32

−→k

−→k′ = a13

−→i + a23

−→j + a33

−→k

alors siM est un point de coordonnées(x; y; z) dansR et (x′; y′; z′) dansR′ on a les relations suivantes :x = x0 + a11x

′ + a12y′ + a13z

′

y = y0 + a21x′ + a22y

′ + a23z′

z = z0 + a31x′ + a32y

′ + a33z′


1.8. REPÈRE DE L’ESPACER3 A.Mizrahi

Preuve :On sait que

−−→ωM =

−→ωω′ +

−−→ω′M =

−→ωω′ + x′

−→i′ + y′

−→j′ + z′

−→k′

Si l’on remplace−→i′ ;−→j′ ;−→k′ par les quantités équivalentes en fonction de

−→i ;−→j ;−→k on trouve

−−→ωM comme

combinaison linéaire de−→i ;−→j ;−→k . Par unicité de l’écriture d’un vecteur dans une base on trouve bien le

résultat.Ces formules de changement de repère ont une forme bien particulière, on se propose de trouver une notationqui permette d’écrire ceci plus simplement.

Définition 1.33 On appelle matrice de passage de B à B′ (ou de R à R′) le tableau de valeur :

PB→B′ =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

.

on remarque que cette matrice a pour colonne les coordonnées des vecteurs de la base B′ dans labase B.De plus on pose l’opération suivante :a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

xyz

=

a11x+ a12y + a13za21x+ a22y + a23za31x+ a32y + a33z

Remarque 1.8 En reprenant les notations de la dernière proposition.Si l’on note

X =

xyz

X ′ =

x′

y′

z′

Xω′ =

x0

y0

z0

On dit queX est la matrice des coordonnées du pointM dans le repèreR,X ′ la matrice des coordonnées dupointM dans dans le repèreR′ etXω′ la matrice des coordonnées de l’origine deR′ dans le repèreR. On aalors la relation

X = Xω′ + PB→B′X′

on peut aussi remarquer que pour les vecteurs la formule de changement de base est un peu différente, plussimple, puisqu’il n’y a pas d’origine pour la base. SiX est la matrice des coordonnées du vecteur−→u dans labaseB,X ′ la matrice des coordonnées du vecteur−→v dans dans la baseB′. On a alors la relation

X = PB→B′X′

Il serait intéressant de voir ce qu’il se passe lorsque l’on fait deux changements de bases consécutifs.

Définition 1.34 On dit qu’une base (ou un repère) est orthonormale si les vecteurs de la base sontde normes 1, et sont orthogonaux deux à deux.

Proposition 1.21 Si (x1,x2,x3) et (y1,y2,y3) sont les coordonnées dex et y dans un repère orthonormalealors

x · y = x1y1 + x2y2 + x3y3

x ∧ y =(

det(x2 y2

x3 y3

),− det

(x1 y1

x3 y3

),det

(x1 y1

x2 y2

))


Chapitre 2

Applications linéaires et matrices

2.1 Introduction

On va travailler sur des ensembles de vecteurs, appelé espace vectoriel, ce sont des ensembles d’objetsappelés vecteurs que l’on peut additionner et multiplier par un réel. On ne donne pas de définitions rigoureuses,on cherche à donner une idée intuitive de ces objets. Dans la suiteE désigne un espace vectoriel.

On peut donner quelques exemples d’espace vectoriels

– R2, R3, et plus généralementRn

– C– L’ensemble des suites réelles

– L’ensemble des fonctions deR dansR– L’ensemble des polynômes

– Et bientôt l’ensemble des matrices de même dimensions

2.2 Définitions

Définition 2.1 – Une partie non vide H de E est un sous espace vectoriel si la somme de deuxvecteurs quelconques de H appartient à H et le produit d’un vecteur de H par un réel quel-conque appartient encore à H.{

∀−→u ,−→v ∈ H, −→u +−→v ∈ H∀α ∈ R,∀−→u ∈ H, α−→u ∈ H

– Une combinaison linéaire de vecteurs (−→e1 ,−→e2 , . . . ,−→en) est un vecteur de la forme α1−→e1 + . . .+

αn−→en où les αi sont des réels quelconques.

– Une suite d’élément deE, (−→e1 ,−→e2 , . . . ,−→en) est une base deE si tout vecteur deE s’écrit commeune unique combinaison linéaire des vecteurs (−→e1 ,−→e2 , . . . ,−→en).

– Si E possède une base finie toute les bases de E ont le même nombre d’éléments appelédimension de E.

– On dit qu’une application f est une application linéaire si{∀−→u ;−→v , f(−→u +−→v ) = f(−→u ) + f(−→v )∀−→u ; ∀λ ∈ R; f(λ−→u ) = λf(−→u )

– On appelle matrice à p lignes et q colonnes un tableau de valeurs à p lignes et q colonnes. Onnote Mp,q(R) l’ensemble de ces matrices . On notera Mp,q(C) l’ensemble des matrices à plignes et q colonnes et à coefficients complexes. On notera M = (Mi,j)i,j pour indiquer que lecoefficient placé à la ième ligne et a la jème colonne est le nombre Mi,j .

12

2.2. DÉFINITIONS A.Mizrahi

Remarque 2.1 La définition de base est une généralisation de la notion de base dansR2 et dansR3. Un sousespace vectoriel est une espace vectoriel.

Exemple 2.1 Les sous espace vectoriels deR2 sont{−→0 } (dimension 0), les droites vectorielles (dimension1), et le planR2 tout entier (dimension 2). Les sous-espaces vectoriels deR3 sont{−→0 } (dimension 0), lesdroites vectorielles (dimension 1), les plans vectoriels (dimension 2) et l’espaceR3 tout entier (dimension 3).

Proposition 2.1 Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image d’une base.

Preuve : Soit (−→e1 ;−→e2 ;−→e3 ) une base deR3 Tout vecteur−→u de R3 s’écrit dans cette base de façon unique :−→u = a1

−→e1 + a2−→e2 + a3

−→e3 doncf(−→u ) = a1f(−→e1 ) + a2f(−→e2 ) + a3f(−→e3 ) qui ne dépend que des images desvecteurs de la base.

Soitf une application linéaire,B = (−→e1 ;−→e2 ;−→e3 ) etB′ = (−→e′1 ;

−→e′2 ;

−→e′3 ) deux bases. Supposons que l’on ait

f(−→e1 ) = a1,1−→e′1 + a2,1

−→e′2 + a3,1

−→e′3

f(−→e2 ) = a1,2−→e′1 + a2,2

−→e′2 + a3,2

−→e′3

f(−→e3 ) = a1,3−→e′1 + a2,3

−→e′2 + a3,3

−→e′3

Soit−→u un vecteur de coordonnées(u1,u2,u3) dansB, alors

f(−→u ) = f(u1−→e1 + u2

−→e2 + u3−→e3 ) = u1f(−→e1 ) + u2f(−→e2 ) + u3f(−→e3 )

En remplaçantf(−→ei ) on obtient des relations similaires aux relations de changements de bases : Si on note

U =

u1

u2

u3

la matrice des coordonnées d’un vecteur−→u dans la baseB, V =

v1v2v3

la matrices des coordon-

nées dans la baseB′ def(−→u ) etM la matrice dont les colonnes sont les coordonnées def(−→ei ) dans la baseB′ on a la relation :

Y = MX avecM =

a1,1 a1,2 a1,3

a2,1 a2,2 a2,3

a3,1 a3,2 a3,3

Définition 2.2 On dit que M est la matrice de f relativement aux bases B = {e1; e2; e3} et B′, sescolonnes sont les coordonnées des f(ei) dans la base B′, on peut la noter MB′,B. Si B = B′ on ditjuste que M est la matrice de f dans la base B et on la note souvent MB.

Remarque 2.2 On peut remarquer quePB→B′ n’est autre que la matrice de l’identité associé aux basesB′ etB.

Soientf et g deux applications linéaires de matriceM et N relativement aux basesB, B′ et B′, B′′ Ons’intéresse à la matrice deg ◦ f relativement aux basesB etB′′. On va faire les calculs en dimension deux :soitP un point de coordonnées(x; y) dansB f(P ) de coordonnées(x′,y′) dansB′ etg(f(P )) de coordonnées(x′′; y′′) dansB′′{x′ = M1,1x+M1,2yy′ = M2,1x+M2,2y

{x′′ = N1,1x

′ +N1,2y′

y′′ = N2,1x′ +N2,2y

′ donc

{x′′ = N1,1(M1,1x+M1,2y) +N1,2(M2,1x+M2,2y)y′′ = N2,1(M1,1x+M1,2y) +N2,2(M2,1x+M2,2y)

donc {x′′ = (N1,1M1,1 +N1,2M2,1)x+ (N1,1M1,2 +N1,2M2,2)yy′′ = (N2,1M1,1 +N2,2M2,1)x+ (N2,1M1,2 +N2,2M2,2)y

Or on a les relation suivantes :(x′′

y′′

)= N

(x′

y′

)= N

(M

(xy

))Université de Cergy Pontoise 13

2.2. DÉFINITIONS A.Mizrahi

Il est alors naturel de définir le produitNM par la matrice de l’application linéaireg ◦ f .

Définition 2.3 Soit M une matrice à p lignes et q colonnes et N une matrice à q lignes et r colonneson définit la matrice produit à p lignes et r colonnes par :

MN = (q∑

k=1

Mi,kNk,j)i,j

Exemple 2.2 (5 76 8

)(

1 23 4

) (5 + 12 7 + 1615 + 24 21 + 32

)

On a donc le produit

(1 23 4

)(5 76 8

)=(

17 2339 53

)Proposition 2.2 SiM est la matrice def relativement aux basesB etB′ etN est la matrice deg relativementaux basesB′ etB′′ alorsMN est la matrice def ◦ g relativement aux basesB etB′′

Remarque 2.3 Cette définition est un prolongement de la définition du produit d’une matrice par une matricecolonne.

Exemple 2.3(

1 23 4

)(−5 17 0

)=(

9 113 3

)Définition 2.4 Soit deux matrices M et N ayant les même dimensions alors on définit la sommeM + N de ces deux matrices par la somme des coefficients de même place, ainsi que le produitd’une matrice par un réel λ:

M +N = (Mi,j +Ni,j)i,j

λM = (λMi,j)i,j

Proposition 2.3 SiM est la matrice def dans une baseB etN est la matrice deg dansB alorsM +N estla matrice def + g dansB etλM est la matrice deλf dansB .

Exemple 2.4

1 2 −32 1 −20 −12

√5

+

3 1,2 00 1 00 1 0

=

4 3,2 −32 2 −20 −11

√5

Proposition 2.4 1. La matrice de l’identité est dans n’importe quelle base une matrice carré avec des 1

sur la diagonale et des 0 ailleurs. Dans la suite on noteraI cette matrice, et on l’appelera matrice unitéou matrice identité .

2. Pour toute matriceX ayant 3 lignes

1 0 00 1 00 0 1

X = X

3. Pour toute matriceX ayant 3 colonnesX

1 0 00 1 00 0 1

= X

4. M,N,Q ayant des dimensions telles que leur produit est défini alors(MN)Q = M(NQ) et l’on notealorsMNQ.


2.3. MATRICE INVERSE A.Mizrahi

5. M(N +Q) = MN +MQ

6. M(λN) = λ(MN)7. En généralMN 6= NM

Preuve : 1) f(e1) = e1 donc les coordonnées def(e1) dans la base(e1,e2; e3) sont(1; 0; 0) celles def(e2)sont(0; 1; 0) etc...2) Cela revient à composer avec l’identité4) Cela vient de la composition des applications(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) car(f ◦ g)(h(x)) = f(g(h(x))).5) et 6) Cela vient juste du fait que les applications sont linéaires :f(g(x) + h(x)) = f(g(x)) + f(h(x)).

Exemple 2.5(

0 11 0

)(1 23 4

)=(

3 41 2

)6=(

2 14 3

)=(

1 23 4

)(0 11 0

)

2.3 Matrice inverse

Rappel : on dit qu’une applicationf est bijective si elle possède une réciproque, c’est à dire une fonctiong telle quef ◦ g = Id et g ◦ f = Id ou Id représente l’application identité. Par exemple la fonctionx→ x3

est bijective deR dansR alors quef : x → x2 n’est pas bijective deR dansR car (−2)2 = 22, doncf nepeut pas avoir de réciproque (par contre si l’on restreintf deR+ dansR+ elle est bijective de réciproque√ )

Proposition 2.5 f = E → F une application linéaire est bijective ssi l’image d’une base est une base. Dansce cas sa réciproquef−1 est aussi linéaire. En particulier le nombre d’éléments d’une base deE et d’une basedeF doivent avoir le même nombre d’éléments. Si c’est le cas et quef ◦ g = Id alorsf est bijective etf−1 = g.

Preuve :à voir.

Définition 2.5 Une matrice est dite carrée si son nombre de lignes et son nombre de colonnes sontégaux.

Définition 2.6 Soit M une matrice carrée, M est inversible si il existe une matrice carrée N telle queMN = NM = I, dans ce cas on note M−1 la matrice N , inverse de la matrice M .

Proposition 2.6 Soitf une application linéaire,M sa matrice relativement à des basesB etB′, f est bijectivessiM est inversible, et dans ce cas la matrice def−1 relativement aux basesB′ etB estM−1.

Preuve : Si f est bijective notonsN la matrice def−1 on a∀x, f(f−1(x)) = f−1(f(x)) = x qui devientmatriciellement∀X, MNX = NMX = X, donc pour toute colonneX on a(MN − I)X = 0, en prenantpourX une colonne avec des 0 partout et un 1 à la ième ligne(MN − I)X est égale à la ième colonne de(MN − I) qui est donc nulle. Finalement toutes les colonnes de(MN − I) sont nulles, doncMN = I.Réciproquement, en posantg l’application linéaire ayant comme matriceM−1 relativement aux basesB′ etB, on ag ◦ f = f ◦ g = Id.

Proposition 2.7 Soit f une application linéaireM sa matrice relativement à des basesB etB′. M est inver-sible d’inverseN si et seulement si pour toutes matrices colonnesX etY :

Y = MX ⇐⇒ X = NY

Preuve :Ceci est une conséquence immédiate de la proposition 2.6, mais comme nous allons utiliser souventce résultat, redémontrons le. SiN = M−1, Y = MX entraîneM−1Y = M−1MX d’oùM−1Y = X, demême pour la réciproque.


2.4. MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS. A.Mizrahi

Si pour toutes matrices colonnesX et Y : Y = MX ⇐⇒ X = NY alors pour toutX, MNX = X,MN est alors la matrice de l’identité doncMN = I.

Exemple 2.6 montrer que la matriceM =(

1 23 5

)est inversible et calculer son inverse.(

1 23 5

)(xy

)=(x′

y′

)⇐⇒

{x+ 2y = x′

3x+ 5y = y′⇐⇒

{x = −5x′ + 2y′

y = 3x′ − y′⇐⇒

(−5 23 −1

)(x′

y′

)=(

xy

)donc

(1 23 5

)−1

=(−5 23 −1

)

Théorème 2.1SoientM etN deux matrices inversibles alors le produitMN est inversible et(MN)−1 =N−1M−1

Preuve : (MN)N−1M−1 = MNN−1M−1 = MM−1 = I

Proposition 2.8 SoientB etB′ deux bases d’un même espace, la matrice de passage deB àB′ est inversibleet son inverse est la matrice de passage deB′ àB, en effet

∀X, PB′→BPB→B′X = X

Pour inverser une matrice on est donc amené à résoudre un système d’équations linéaires, voyons uneméthode simple et efficace de résolution :

2.4 Méthode du pivot de Gauss.

SoitS un système den équations linéaires àp inconnues,

Définition 2.7 On appelle opération élémentaire sur un système, le fait d’échanger deux lignes, demultiplier une ligne par un réel non nul, ou d’ajouter à une ligne le multiple d’une autre.

Proposition 2.9 Le fait de faire une opération élémentaire sur un système ne modifie pas les solutions dusystème.

Remarque 2.4 Il faut faire bien attention à ne faire qu’une opération élémentaire à la fois.

Méthode du pivot de Gauss :

1. On échange les lignes de telle sorte que le coefficient enx1, dans la première ligne soit non nul. C’estnotre pivot.

2. On soustrait à la deuxième ligne un multiple de la première ligne de tel sorte que le coefficient enx1 dela deuxième ligne soit nul.

3. On soustrait à la troisième ligne un multiple de la première ligne de tel sorte que le coefficient enx1 dela troisième ligne soit nul. On recommence avec les lignes suivantes.

4. On échange les lignes de 2 àn de telle sorte que le coefficient enx2, dans la première ligne soit nonnul.

5. On soustrait à la troisième ligne un multiple de la deuxième ligne de tel sorte que le coefficient enx2

de la troisième ligne soit nul. On recommence avec les lignes suivantes.

6. On continue avec les autres variables, si pour une variable tous les coefficients sont nuls, on passe àla variable suivante et on regarde cette variable comme un paramètre. On trouve à la fin un systèmetriangulaire, il suffit alors de ’remonter’:


2.5. EXEMPLES D’APPLICATIONS LINÉAIRES, AFFINES ET PROPRIÉTÉS A.Mizrahi

Exemple 2.7 Résoudre

2x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 1x1 − 2x2 + 2x3 = 3

2x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 1x1 − 2x2 + 2x3 = 3

⇐⇒

2x1 + 2x2 + x3 = 2

x2 + 12x3 = 0

−3x2 + 32x3 = 2

⇐⇒

2x1 + 2x2 + x3 = 2

x2 + 12x3 = 03x3 = 2

⇐⇒

x3 = 2

3x2 = −1

3x1 = 5

3

Exemple 2.8 Résoudre

2x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 1x1 − 2x2 − x3 = 1

2x1 + 2x2 + x3 = 2x1 + 2x2 + x3 = 1x1 − 2x2 − x3 = 1

⇐⇒

2x1 + 2x2 + x3 = 2

x2 + 12x3 = 0

−3x2 − 32x3 = 0

⇐⇒

2x1 + 2x2 + x3 = 2

x2 + 12x3 = 0

x2 + 12x3 = 0

⇐⇒{x2 = −1

2x3

x1 = 12(2− 2x2 − x3)

⇐⇒{x2 = −1

2x3

x1 = 1

Les solutions sont(1,0,0) + R(0,12 ,− 1).

2.5 Exemples d’applications linéaires, affines et propriétés

2.5.1 Translations

Définition 2.8 On appelle translation de vecteur −→u et on note t−→u la transformation définie par: ∀A ∈R3; t−→u (A) = A+−→u

Proposition 2.10 1. Les translations sont des applications affines.

2. t−→u ◦ t−→v = t−→u +−→v

3. t−→u −1 = t−→u

4. −→t−→u = 0

2.5.2 Homothéties linéaires

Définition 2.9 On appelle homothétie linéaire de rapport k, et l’on note HO;k l’application définie par :∀−→u ∈ R3; HO;k(−→u ) = k−→u

Proposition 2.11 1. Les homothéties linéaires sont des applications affines.

2. HO;k ◦HO;k′ = HO;kk′

3. ∀k ∈ R∗ HO;k−1 = HO;k−1

4. La matrice de l’homothétie linéaire de rapportλ a pour matrice dans une base :

λ 0 00 λ 00 0 λ

.


2.5. EXEMPLES D’APPLICATIONS LINÉAIRES, AFFINES ET PROPRIÉTÉS A.Mizrahi

2.5.3 Homothéties affines

Définition 2.10 On appelle homothétie de centre C et de rapport k, et l’on note HC;k l’applicationdéfinie par : ∀A ∈ R3;

−−−−−−−−→C(HC;k(A)) = k

−→CA

Proposition 2.12 1. Les homothéties sont des applications affines.

2.−−→HC;k = HO;k

3. HC;k ◦HC;k′ = HC;kk′

4. ∀k ∈ R∗ HC;k−1 = HC;k−1

5. La composée de deux homothéties de rapportsk et k′ est soit une homothétie(kk′ 6= 1) soit unetranslation(kk′ = 1).

6. La matrice d’une homothétie de rapportλ ne dépend pas des bases de départ et d’arrivée, c’est tou-

jours :

λ 0 00 λ 00 0 λ

.

2.5.4 Projections linéaires

Définition 2.11 Soit D une droite linéaire et P un plan linéaire tels que D et P ne soient pas paral-lèles.

1. On appelle projection sur P parallèlement à D et l’on note ΠP ;D l’application qui à un vecteur−→u associe l’unique vecteur

−→u′ de P tel que −→u −−→u′ ∈ −→D

2. On appelle projection sur D parallèlement à P et l’on note ΠD;P l’application qui à un vecteur−→u associe l’unique vecteur

−→u′ de D tel que −→u −−→u′ ∈ −→P

Proposition 2.13 1. Les projections sont des applications linéaires.

2. Les seuls points fixes dePA;B sont les points deA.

3. SoitB = (−→i ;−→j ;−→k ) une base alors la matrice de la projection surR−→i parallèlement àR−→j + R−→kest : 1 0 0

0 0 00 0 0

4. SoitB = (−→i ;−→j ;−→k ) une base alors la matrice de la projection surR−→j + R−→k parallèlement àR−→i

est : 0 0 00 1 00 0 1

Remarque 2.5 On remarque que pour une projection il y a deux ensembles de vecteurs particulièrement im-portant c’est l’ensemble sur lequel on projette, c’est l’ensemble des vecteurs qui sont des projetés de vecteurs.Et l’ensemble parallèlement à quoi on projette, on remarque que les vecteurs de cet ensemble sont juste-ment ceux qui se projette sur le vecteur nul. On va généraliser ces définitions pour une application linéairequelconque.

2.5.5 Projections affines

Définition 2.12 Soit D une droite affine et P un plan affine tels que D et P ne soit pas parallèles.1. On appelle projection sur P parallèlement à D et l’on note PP ;D l’application qui à un point M

associe l’unique point M ′ de P tel que−−−→MM ′ ∈ −→D


2.6. NOYAU, IMAGE, BASE, DIMENSION A.Mizrahi

2. On appelle projection sur D parallèlement à P et l’on note PD;P l’application qui à un point Massocie l’unique point M ′ de D tel que

−−−→MM ′ ∈ −→P

Proposition 2.14 1. Les projections sont des applications linéaires.

2. Les seuls points fixes dePA;B sont les points deA.

3. SoitB = (−→i ;−→j ;−→k ) une base alors la matrice de la projection surR−→i parallèlement àR−→j + R−→kest : 1 0 0

0 0 00 0 0

4. SoitB = (−→i ;−→j ;−→k ) une base alors la matrice de la projection surR−→j + R−→k parallèlement àR−→i

est : 0 0 00 1 00 0 1

2.6 Noyau, image, base, dimension

Définition 2.13 Soit f une application on définit le noyau de f et l’ image de f par

ker(f) = {−→u |f(−→u ) = 0}

im(f) = {−→v |∃−→u f(−→u ) = −→v }

Exemple 2.9 Si f(x) = sin(x) alorsker(f) = {kπ/k ∈ Z} et im(f) = [−1; 1]

Exemple 2.10La droite du plan d’équation3x + 2y = 2 est donc le noyau de l’applicationf(x,y) = 3x +2y − 2 mais c’est aussi l’image de l’applicationg(t) = (t,1− 3

2 t).

Proposition 2.15 Si f est une application linéaire alorsker(f) et im(f) sont des SEV.

Définition 2.14 1. On appelle combinaison linéaire des vecteurs −→e1 ,−→e2 ,....,−→en les éléments de laforme

∑nk=1 ki

−→ei ou les ki sont des réels quelconques.

2. On appelle combinaison linéaire dégénérée des vecteurs −→e1 ,−→e2 ,....,−→en le vecteur nul écrit ainsi∑nk=1 0−→ei .

3. Un ensemble de vecteurs {−→e1 ;−→e2;....−→en} de E est une base de E si tout vecteur de E s’écrit de

manière unique comme combinaison linéaire des −→e1 ;−→e2;....−→en :

∀−→u ∃!(a1; a2; ...an) ∈ Rn; −→u = a1−→e1 + a2

−→e2 + ...+ an−→en

4. Un ensemble de vecteurs {−→e1 ;−→e2;....−→en} de E est libre si la seule combinaison linéaire des

−→e1 ;−→e2;....−→en égale au vecteur nul est la combinaison linéaire dégénérée :

∀(a1; a2; ...an); a1−→e1 + a2

−→e2 + ...+ an−→en = 0 =⇒ a1 = a2 = ...an = 0

5. On appelle sous espace vectoriel (SEV ) engendré par la famille de vecteurs {−→e1 ;−→e2;....−→ek }l’ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs :

vect(−→e1 ;−→e2 ; ....−→ek ) = {∑

ai−→ei |∀a1a2...ak ∈ R}


2.7. VECTEURS PROPRES, VALEURS PROPRES A.Mizrahi

Proposition 2.16 (admise) SiE possède une base àn éléments alors toutes les bases deE possèdent exacte-ment n éléments. On dit alors queE est de dimensionn.SiE est de dimension n et{−→e1 ;−→e2 ; ....−→en} est une famille libre alors{−→e1 ;−→e2;....−→en} est une base deE.SiE est de dimension n etvect({−→e1 ;−→e2;....−→en}) = E alors{−→e1 ;−→e2;....−→en} est une base deE.SiE est de dimensionn et{−→e1 ;−→e2;....−→ek } est une famille libre, alors il existe{−−→ek+1; ....−→en} tel que{−→e1 ;−→e2;....−→en}soit une base deE.SoientH etK deux sous espaces vectoriels siH ⊂ K etdimH = dimK alorsH = K.

Théorème 2.2dit théorème du rangSoitf : E → F une application linéaire alors on a la relation suivante :

dim(E) = dim(ker(f)) + dim(im(f))

Preuve : Soit {−→e1 ;−→e2;....−→ek } une base deker f et {−−→ek+1; ....−→en} tel que{−→e1 ;−→e2 ; ....−→en} soit une base deE.imf est engendré par{f(−−→ek+1....f(−→en)} et on montre que la famille est libre.

2.7 Vecteurs propres, valeurs propres

On a vu que pour une projectionP sur un sous espace vectorielH les vecteur deH restent invariants c’està dire que si−→u ∈ H alorsP (−→u ) = −→u . On va généraliser cela pour les vecteurs dont l’image est colinéaireau vecteur de départ.

Définition 2.15 f une application linéaire, un vecteur non nul −→u est un vecteur propre de f si −→u etf(−→u ) sont colinéaires.Si −→u est un vecteur propre il existe un λ ∈ R tel que f(−→u ) = λ−→u , on dit que λ est une valeur propre, et que −→u est un vecteur propre associé.

Remarque 2.6 Soit f une application linéaire, et−→u un vecteur propre, tel quef(−→u ) = λ−→u alors si−→vappartient àR−→u ; f(−→v ) = λ−→v . La restriction def àR−→u ne fait donc que multiplier les vecteurs par le réelλ.

Exemple 2.11Dans le plan une rotation d’angle 90 degrés ne possède pas de vecteur propre.Pour une homothétie tous les vecteurs sont propres et il n’y a qu’une valeur propre.

Proposition 2.17 Si il existe une base de vecteurs propres def , dans cette base la matriceD def est diago-nale, c’est à dire que sii 6= j alorsDi,j = 0.

Preuve : f(e1) = λ1e1 donc les coordonnées def(e1) dans la basee1,e2...en sont(λ1,0,0,0,...0) de mêmef(e2) = λ2e2, etc...

Exemple 2.12f(x,y) = (8x− 6y,9x− 7y) Montrer que(1; 1) et (2; 3) sont des vecteurs propres, quelle estla matrice def dans cette base?f(1; 1) = (2; 2) etf(2; 3) = (−2;−3) donc la matrice def dans cette base est :(

2 00 −1

)Définition 2.16 Soit λ une valeur propre d’une application linéaire f . On appelle sous espace proprede f associé à λ l’ensemble Eλ = {−→u /f(−→u ) = λ−→u }

Remarque 2.7 Un sous espace propre est un sous espace vectoriel, c’est clair

f(−→u +−→v ) = f(−→u ) + f(−→v ) = λ−→u + λ−→v = λ(−→u +−→v )

idem pourk−→u .


2.8. MATRICES D’APPLICATIONS LINÉAIRES ET CHANGEMENT DE BASES A.Mizrahi

2.8 Matrices d’applications linéaires et changement de bases

Proposition 2.18 f une application linéaire de matriceMB relativement à la baseB (c’est à dire relativementaux basesB etB). La matrice def dans une baseB′ estMB′ = PB′→BMBPB→B′

Preuve : Il suffit de remarquer quePB′→B est la matrice de l’identité relativement aux basesB′ et B etd’appliquer la proposition 2.2.On peut aussi remontrer ce résultat directement, soitX la matrice des coordonnées de−→u dansB, X ′ lamatrice des coordonnées de−→u dansB′, Y la matrice des coordonnées def(−→u ) dansB et Y ′ la matricedes coordonnées def(−→u ) dansB′. On a les relationsY = MBX, Y ′ = MB′X

′, MB, X = PB→B′X′, et

Y = PB′→BY , donc pour toutes les matricesX on a

MB′X′ = PB′→BMBPB→B′X

′

Or ceci étant vrai pour toutes les matrices colonnesX ′, les colonnes des deux matrices sont égales, et lesmatrices sont donc égales.

2.9 Complément sur les matrices

2.9.1 Trace

Définition 2.17 On appelle trace d’une matrice, la somme de ces coefficients diagonaux, trA =∑Aii

Exemple 2.13 tr

(3 42 6

)= 9

Proposition 2.19 SoientA,B des matrices carrées de même taille, trAB = trBA. En particulier trPAP−1 =trA, la trace ne dépend donc pas de la base, c’est une notion intrinsèque, qui ne dépend que de l’applicationlinéaire.

Preuve :

2.9.2 Transposition

Définition 2.18 Soit M une matrice on définit la transposée de M que l’on note tM par la matricedont la première colonne est la première ligne de M , la deuxième colonne est la deuxième ligne deM , etc ...

Exemple 2.14SiM =

1 2 34 5 67 8 9

alorstM =

1 4 72 5 83 6 9

Proposition 2.20 t(tM) = Mt(AB) =tBtAsiM est inversibletM aussi et(tM)−1 =t (M−1).

2.9.3 Rang

Définition 2.19 On appelle rang d’une matrice la dimension de l’espace engendré par ses vecteurscolonnes


2.10. DÉTERMINANT A.Mizrahi

2.10 Déterminant

2.10.1 Cas de la dimension deux

SoientO;A;C;B un parallélogramme direct du plan on cherche à calculer son aire en fonction de coor-données des pointsA etB dans un repère de centreO. On fixe les notations suivantes :

A(a,b); B(c; d); C(a+ c,b+ d); D(c,0); E(a+ c,b)

aveca,b,c,d ≥ 0, il est conseillé de faire un dessin, on a

aire(OACB) + aire(ODEA) + aire(AEC) = aire(ODB) + aire(DECB)

or aire(AEC) = aire(ODB), aire(ODEA) = bc etaire(DECB) = ad donc finalement

aire(OACB) = ad− bc

On remarque que la formule devientbc− ad dans le cas ouO;A;C;B est indirect. La grandeurad− bc nousdonne l’aire du parallélogramme et son sens . On remarque aussi que cette grandeur est nulle si et seulementsi le parallélogramme est plat c’est à dire si les deux vecteurs sont colinéaires.

Définition 2.20 Le déterminant dans la base B de deux vecteurs −→u et −→v de R2 de coordonnées

(a,b) et (c,d) dans la base B est

∣∣∣∣ a cb d

∣∣∣∣ = ad− bc.

Cette quantité est aussi appelé le déterminant de la matrice M =(a cb d

)et on le note alors

det(M).

Remarque 2.8 On peut alors montrer quedet(MN) = det(M) det(N) et alors

det(PM ′P−1) = det(P ) det(M) det(P−1) = det(PP−1) det(M) = det(M)

si f est une application linéaire de matriceM dans une base, son déterminant ne dépend pas du choix de labase on peut considérer que c’est le déterminant def . det(f) = ad− bc.

Remarque 2.9 Dans le cas d’une application linéairef , si S est une surface d’aireA alorsf(S) est d’aire|det(f)|aire(S), le déterminant est au signe prés un coefficient d’accroissement des aires.

Proposition 2.21 On peut remarquer certaines propriétés du déterminant à deux lignes et deux colonnes, quiseront encore vrai en dimension quelconque :

1. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des colonnes.

2. Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des lignes.

3. Si l’on échange deux lignes alors le déterminant change juste de signe.

4. Si deux vecteurs colonnes sont colinéaires le déterminant est nul.

2.10.2 Cas général déterminant à n lignes et n colonnes

L’idée est de définir une notion de ’super volume’ en dimension n, malheureusement malgré l’idée simplequi permet de définir le déterminant, à définir proprement c’est compliqué et les propriétés de ce déterminantsont assez difficiles à démontrer. C’est pourquoi nous ne les démontrerons pas toutes.

Définition 2.21 (existence et unicité admises) Il existe une unique application définie sur l’ensembledes matrices à n lignes et n colonnes et à valeurs dans R appelé déterminant qui a les propriétéssuivantes :

1. linéarité par rapport à chacune des colonnes.



2. lorsque deux colonnes sont égales le déterminant est nul.

3. det(I) = 1

Remarque 2.10Ce sont des propriétés qui semblent tout à fait raisonnable pour définir un super-volume.

Proposition 2.22 Le déterminant a les propriétés suivantes :

1. Le déterminant reste inchangé lorsque l’on ajoute à une colonne le multiple d’une autre colonne.

2. Lorsque l’on échange la place de deux colonnes le déterminant est multiplié par -1.

Preuve :notonsC1, . . . ,Cn les colonnes deM et ajoutonsλ fois la colonneCj à la colonneCi , det(C1 . . . Ci+λCj . . . Cn) = det(C1 . . . Ci . . . Cn) +λ det(C1 . . . Cj . . . Cn) mais ce dernier déterminant est nul car il pos-sède deux fois la colonneCj .Pour la deuxième proposition il suffit de développer le déterminantdet(C1 . . . Ci+Cj . . . Cj+Ci . . . Cn) = 0.

Exemple 2.15Montrons que l’on retrouve bien la définition de la dimension 2. Je suppose par exemplea 6=0 :∣∣∣∣ a cb d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a c− c

aab d− c

ab

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a 0b ad−bc

a

∣∣∣∣ = ad−bca

∣∣∣∣ a 0b 1

∣∣∣∣ = ad−bca

∣∣∣∣ a− 0b 0b− 1b 1

∣∣∣∣ = ad−bca

∣∣∣∣ a 00 1

∣∣∣∣ =

(ad− bc)∣∣∣∣ 1 0

0 1

∣∣∣∣ = ad− bc

Définition 2.22 Soit M une matrice carrée on définit M̃i,j comme étant la matrice M à laquelle ona supprimé la ligne i et la colonne j. On note M̂i,j le cofacteur de place (i,j) défini par M̂i,j =(−1)i+j det(M̃i,j), et la comatrice de M , définie par M̂ = (M̂i,j)i,j .

Remarque 2.11On a donc une régle des signe que l’on peut représenter par la matrice de signe+ − + − . . .− + − + . . .+ −

. . .

Proposition 2.23 1. Le déterminant d’une matrice est nulle si et seulement si ses colonnes ne forment pas

une base deRn.

2. Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants des deux matrices.

det(AB) = det(A) det(B)

3. Développement par rapport à une colonne j :

det(M) =∑

i

Mi,jM̂i,j

4. Développement par rapport à une ligne i :

det(M) =∑

j

Mi,jM̂i,j

5. Le produit d’une matrice par la transposée de sa comatrice est au déterminant prêt égal à la matriceidentité.

M tM̂ = det(M)I

6. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.



7. Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des termes diagonaux.

8. Le déterminant d’une matrice est égale au déterminant de sa transposée, en particulier les propriétés quisont vrai sur les colonnes le sont aussi sur les lignes.

9. Déterminant défini par bloc, siM est une matrice définie à l’aide de trois petites matrices telles queA

etC sont carrée alors

∣∣∣∣ A B0 C

∣∣∣∣ = detAdetB

Preuve : 1)Si les colonnes deM ne forment pas une base il existe une combinaison linéaire non dégénéréequi est nulle par des opérations sur les colonnes, on se ramène a une colonne de 0, puis par linéarité on voitque le déterminant est nul. Si les colonnes forment une base par des opérations sur les colonnes on peut seramener à un coefficient non nul multiplicatif près au déterminant de la matrice unitée.2) Sidet(B) = 0 les colonnes deB engendre un sous espace strict deRn et les colonnes deAB sont forméesde combinaisons linéaires des colonnes deB et n’engendrent pas toutRn. Si det(B) 6= 0 alors on définitψpar

ψ(M) =det(MB)det(B)

et l’on vérifie assez facilement queψ vérifie les propriétés caractéristiques de la définition du déterminant etdonc par unicitéψ(M) = det(M).3)4) Admis5) (MM̂ t)i,i =

∑k Mi,kM̂j,k = det(M). Si i 6= j on montre que(MM̂ t)i,j = 0 car c’est le développement

par rapport à une ligne d’un déterminant ayant deux colonnes égales.6)D’après le point précédent sidet(M) 6= 0 alors

M−1 =1

det(M)tM̂

SiM est inversible il suffit d’appliquer le point 2) àMM−1 pour voir quedet(M) 6= 0.7) Il suffit de développer par rapport à la première ligne et de recommencer.8)On peut faire une récurrence sur la dimension de la matrice et remarquer que développer une matrice parrapport à une ligne correspond à développer sa transposer par rapport à une colonne.

Remarque 2.12Comme pour le cas de la dimension 2, on peut définir le déterminant d’une applicationlinéaire.

2.10.3 Cas de la dimension 3

De même que pour la dimension 2 le déterminant correspond au volume d’un parallélépipède défini partrois vecteurs, et d’un signe permettant de savoir si le parallélépipède est direct ou indirect. Là encore il existeune formule permettant le calcul de ce déterminant mais il est souvent préférable d’utiliser les méthodesgénérales du paragraphe précédent. De même que dans le plan pour une application linéairef le déterminantest en coefficient d’accroissement des volumes.∣∣∣∣∣∣

a d gb e hc f i

∣∣∣∣∣∣ = aei+ bfg + cdh− ceg − fha− idb

2.10.4 Méthode de Cramer

On peut utiliser les déterminants pour résoudre des systèmes den équations linéaires àn inconnues, quel’on écrit matriciellementY = MX avecX l’inconnue. Numériquement ce n’est pas une bonne méthode,



mais pourn = 2 etn = 3 elle permet d’avoir des formules lorsqu’il y a des paramètres. On noteMi la matriceM à laquelle on a remplacé la colonnei par le vecteur colonneY .

Proposition 2.24 SiM est inversible il y a une unique solution donnée par

Xi =detMi

detM

Preuve :

Exemple 2.16Soit le système

{3x− 7y = 125x+ 8y = 4

qui s’écrit encore

(3 −75 8

)(xy

)=(

124

)on ob-

tient donc

x =

∣∣∣∣ 12 −74 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 −75 8

∣∣∣∣ =12459

x =

∣∣∣∣ 3 125 4

∣∣∣∣∣∣∣∣ 3 −75 8

∣∣∣∣ =−4859


2.11. DIAGONALISATION A.Mizrahi

2.11 Diagonalisation

2.11.1 Généralités

Définition 2.23 1. On dit qu’une application f : Rn → Rn est diagonalisable si il existe une baseB dans laquelle la matrice de f est diagonale. (Une matrice est diagonale si tous les élémentsqui ne sont pas sur la première diagonale sont nuls i 6= j ⇒Mi,j = 0).

2. Une matrice carrée M est diagonalisable si il existe une matrice inversible P telle que P−1MPest une matrice diagonale.

Proposition 2.25 SiM est la matrice d’une application linéairef dans une baseB, f est diagonalisable si etseulement siM est diagonalisable.

Remarque 2.13M est diagonalisable si il existe 2 basesB1 etB2 et une application linéairef tels que lamatrice def dansB1 soitM et dansB2 soit diagonale.

Preuve : En effet cela vient du fait que siN est la matrice def dans une baseB′ alorsM = PNP−1 est lamatrice def dansB avecP matrice de passage deB àB′. De plus toute matrice inversible est bien la matricede passage deB à une autre base.

Proposition 2.26 Soit f une application linéaire etB une base dans laquelle la matrice def est diagonalealors les vecteurs de la baseB sont des vecteurs propres def .

Preuve : B = {−→e1 ,...,−→en}, la ième colonne deM est constituée des coordonnées def(−→ei ) dans la baseBdonc

f(−→ei ) = 0−→e1 + 0...+Mi,i−→ei + 0.....+ 0−→en = Mi,i

−→ei

donc−→ei est un vecteur propre associé à la valeur propreMi,i.

Proposition 2.27 (réciproque) Soitf une application linéaire etB une base de vecteurs propres def alors lamatriceM def dans la baseB est diagonale.

Preuve :La ième colonne deM est constituée des coordonnées def(−→ei ) dansB, or f(−→ei ) = λ−→ei donc cettecolonne est constituée de 0 sauf à la lignei ou il y aλ.

2.11.2 Méthode de diagonalisation

Pour diagonaliser une matriceM il faut donc trouver les valeurs propres et les vecteurs propres d’uneapplication linéaire de matriceM .

Définition 2.24 Soit M une matrice carrée, on appelle valeur propre de M un réel λ telle qu’il existeune matrice colonne non nulle X telle que MX = λX. On dit aussi que X est un vecteur propre deM .

Remarque 2.14Si f aM pour matrice dans une baseB. −→u un vecteur de coordonnéesX dans la baseBalorsf(−→u ) aMX pour coordonnées dans la baseB. Donc−→u est un vecteur propre def si et seulement siXest un vecteur propre deM .

Proposition 2.28 Les valeurs propres deM sont lesλ telle quedet(M − λI) = 0

Preuve : En effet siλ est une valeur propre alors il existe unX non nul tel que(M − λI)X = 0 donc lescolonnes de la matrice ne sont pas indépendantes (car (M − λI)X est une combinaison linéaire des colonnesde la matriceM − λI) et donc la matrice(M − λI) n’est pas inversible, son déterminant est donc nul.Réciproquement sidet(M − λI) = 0 les colonnes deM − λI ne sont pas indépendantes il existe donc



une combinaison linéaire non dégénérée des colonnes qui soit égale à 0, c’est à dire unX non nul tel que(M − λI)X = 0, doncMX = λX, λ est une valeur propre deM .

Définition 2.25 Soit M une matrice carrée, on pose comme pour les applications linéaires kerM ={X|MX = 0} et Eλ = {X|MX = λX}.

Définition 2.26 Soit M une matrice carrée à n lignes, on appelle polynôme caractéristique de M ,PM (λ) = det(M − λI), c’est un polynôme de degré n.

Preuve :On montre facilement par récurrence que le déterminant d’une matrice àn lignes etn colonnes dontles coefficients sont des applications affines enx est un polynôme enx de degré inférieur àn. On montreensuite en développant par rapport à la première ligne que le terme enxn dans le polynôme caractéristique estnon nul.

Remarque 2.15On remarque quedet(PMP−1 − λI) = det(M − λI). On peut donc définir le polynômecaractéristique d’une application linéaire puisque le déterminant reste invariant par changement de base.

Proposition 2.29 Si la matriceM a n lignes etn colonnes et que son polynôme caractéristique an racinesréelles distinctes alorsM est diagonalisable.

Preuve : A chaque valeur propreλi correspond un vecteur propreXi, il reste à montrer que(X1,X2,.....Xn)est bien une base. Montrons que c’est une famille libre∑

aiXi = 0 =⇒ (M − λ2I)(M − λ3I)...(M − λnI)(∑

aiXi) = 0

or

(M − λ2I)(M − λ3I)...(M − λnI)(∑

aiXi) = a1(λ1 − λ2)(λ1 − λ3)...(λ1 − λn)X1

donca1 = 0 et de proche en proche on montre que tous lesai sont nuls.

Exemple 2.17M =(

5 −46 −5

)Proposition 2.30 Si λ0 est une racine du polynôme caractéristiquePM de multiplicitéα c’est à dire que l’onpeut mettre en facteur(X − λ0)α mais pas(X − λ0)α+1 alors la dimension du sous espace propre associé àλ0 est inférieur àα : dim(Eλ0) ≤ α. On dit queαi est la multiplicité deλi.

Remarque 2.16Si λ est une valeur propre de multiplicité 1 alors dim(Eλ) = 1, Eλ est donc une droitevectorielle, c’est le cas le plus fréquent.

Preuve : Soit (e1,e2, . . . ,ek) une base deEλ0 , que l’on complète en une baseB deE. Dans cette base lamatrice def est de la forme

λ0

0... 0 B

λ0

0 C

aveck ”λ0” sur la diagonale, on a doncdet(M − λI) = (λ0 − λ)k det(C − λI) doncα ≥ k

Proposition 2.31 M est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique peut se factoriser sousla forme suivante:PM (λ) =

∏(λ − λi)αi avec lesλi différent deux à deux,et pour touti, dim(Eλi

) = αi.Pour diagonaliserM il suffit de prendre comme base de vecteurs propres, une réunion de bases de chacun dessous espaces propres.

Exemple 2.18SiM =

−3 2 −20 1 04 −2 3



2.11.3 Cas des matrices non diagonalisables

Il existe deux raisons pour lesquelles une matrice peut ne pas être diagonalisable. Le polynôme caractéris-tique a des racines complexes, ou un sous espace propre est de dimension strictement inférieur à la multiplicitéde la valeur propre dans le polynôme caractéristique. Nous allons étudier un exemple de chaque.

Remarque 2.17La proposition [?] possède un équivalent complexe, on factorise le polynôme caractéristiquedansC ce que l’on peut toujours faire. Si pour touti, dim(Eλi

) = αi, alors la matrice est diagonalisable dansC dans ce cas la matrice de passage et la matrice diagonale sont à valeurs complexes.

Exemple 2.19SoitM la matrice d’une rotation d’angleθ,M =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Exemple 2.20M =(

1 01 1

)


Chapitre 3

Géométrie euclidienne dansR2 et R3

On parle de géométrie euclidienne lorsque on utilise un produit scalaire : c’est à dire une fonction qui àdeux vecteurs associe un réel ayant certaines propriétés :

3.1 Produit scalaire

Définition 3.1 < ; > est un produit scalaire si :

1. ∀−→u ;−→v < −→u ;−→v >=< −→v ;−→u >

2. ∀−→u ;−→v ;−→w < −→u + α−→w ;−→v >=< −→u ;−→v > +α < −→w ;−→v >

3. ∀−→u < −→u ;−→u >≥ 04. ∀−→u < −→u ;−→u >= 0 ⇐⇒ −→u = 0

Remarque 3.1 Dans la pratique nous utiliserons principalement le produit scalaire canonique deRn que l’onnote souvent avec un point entre les vecteurs:

1. (x1; y1) · (x2; y2) = x1x2 + y1y2

2. (x1; y1; z1) · (x2; y2; z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2

Il est clair que ces deux fonctions vérifient bien les propriétés d’un produit scalaire.

Définition 3.2 Si <;> est un produit scalaire alors on définit la norme associée par

‖−→u ‖ =√< −→u ;−→u >

Proposition 3.1 Une norme‖ ‖ associée à un produit scalaire vérifie les propriétés suivantes :

1. ‖−→u ‖ = 0 ⇐⇒ −→u = 02. ‖α−→u ‖ = |α| ‖−→u ‖3. ‖−→u +−→v ‖ ≤ ‖−→u ‖+ ‖−→v ‖

Preuve :Les deux premiers points sont immédiats. Pour le troisième on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwartz: | < −→u ;−→v > | ≤ ‖−→u ‖‖−→v ‖ qui se démontre en étudiant le discriminant, qui doit être négatif, du polynômeent suivant :

< −→u + t−→v ;−→u + t−→v >= ‖−→v ‖2t2 + 2 < −→u +−→v > t+ ‖−→u ‖2

Il reste juste à dire que ce trinôme est toujours positif, son discriminant est donc négatif.

Définition 3.3 On dit que les vecteurs −→u et −→v sont orthogonaux si < −→u ;−→v >= 0 et l’on note alors−→u ⊥ −→v .

29

3.1. PRODUIT SCALAIRE A.Mizrahi

Proposition 3.2 : Théorème de PythagoreSoient−→u et−→v deux vecteurs,−→u et−→v sont orthogonaux si et seulement si

‖−→u +−→v ‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2

Preuve :‖−→u +−→v ‖2 =< −→u +−→v ;−→u +−→v >= ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 + 2 < −→u ;−→v >

Remarque 3.2 On peut définir à l’aide du produit scalaire ce qu’est une rotation, puis définir la notion d’anglede deux vecteurs et enfin utiliser les fonctions connues sinus et cosinus. On a alors la relation importantesuivante :

−→u · −→v = ‖−→u ‖‖−→v ‖ cos(−̂→u ;−→v )

Définition 3.4 Soit A une partie non vide de R3 on note A⊥ l’ensemble des vecteurs orthogonaux àtous les vecteurs de A. A⊥ = {−→u ∈ R3/−→u · −→a = 0, ∀−→a ∈ A}Deux parties A et B sont orthogonales si tout vecteur de A et orthogonal à tout vecteur de B.

Remarque 3.3 importante :

1. Dans l’espaceR3, si −→u est un vecteur non nul alors(−→u )⊥ est un plan vectoriel. En effet si−→u =(xu; yu; zu) alors (−→u )⊥ = {(a; b; c)/xua + yub + zuc = 0} donc (−→u )⊥ n’est autre que le pland’équationxux+ yuy+ zuz = 0. Réciproquement le plan vectoriel d’équationax+ by+ cz = 0 n’estautre que l’ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur(a; b; c) carax+by+cz = (a; b; c) ·(x; y; z).

2. De même dans le planR2 l’ensemble des vecteurs orthogonaux au vecteur(a; b) sont les vecteurs decoordonnées(x; y) avecax+ by = 0.

Proposition 3.3 DansR3, siA est une partie non vide,A⊥ peut être le vecteur nul; une droite, un plan, ouR3 tout entier. De façon plus générale siA⊥ est un sous espace vectoriel.

Exemple 3.1 Montrer que les droitesD : ax+ by + c etD′ : a′x+ b′y + c′ = 0 sont perpendiculaires si etseulement siaa′ + bb′ = 0. On cherchera à définir la notion de droites perpendiculaires à l’aide de vecteursdirecteurs.

Définition 3.5 1. La distance entre deux points A et B ou la longueur du segment [AB] est lanorme du vecteur

−→AB: ‖−→AB‖.

2. Soit P une partie de R3 et A un point de R3 la distance de A à P se définit comme la borneinférieure de l’ensemble des distance de A à un point de P :

d(A;P ) = inf{‖−−→AM‖/M ∈ P}

Exemple 3.2 1. Sur la droite siA = 2 etP =]5; 7] alorsd(A;P ) = 3.

2. Dans l’espace siA = (5; 2; 3) etP le plan d’équationx = 0 alorsd(A;P ) = 5.

Proposition 3.4 Si F est un sous espace vectoriel de dimension finie et−→u un vecteur, il existe un uniquevecteurPF

−→u deF tel que

∀−→w ∈ F ‖ −→u − PF−→u ‖≤‖ −→u − w ‖

On dit quePF−→u est le projeté orthogonal de−→u surF De plus on a :

∀−→v ∈ F ; (−→v = PF−→u ⇐⇒ −→u −−→v ∈ F⊥)

Proposition 3.5 Dans le plan soient une droiteD : ax+ by + c = 0 et un pointM0(x0; y0). Alors

d(M0;D) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2


3.2. REPÈRE ORTHONORMAL A.Mizrahi

Preuve : Deux preuves sont possibles en utilisant le projeté orthogonal ou en déterminant le minimum de ladistance. On suppose quea 6= 0 et quitte à diviser para on peut considérer que l’équation de la droite estx+ by + c = 0,D = {(−by − c; y)/y ∈ R} posons alorsf(y) le carré de la distance deM(−by − c; y) àA.

f(y) = (−by − c− x0)2 + (y − y0)2 = (1 + b2)y2 + 2(bc+ bx0 − y0)y + ((c+ x0)2y20)

Cette fonction polynôme de degré deux possède un minimum en

α = −2(bc+ bx0 − y0)2(1 + b2)

La valeur de ce minimum est donc

f(α) =(bc+ bx0 − y0)2

(1 + b2)− 2

(bc+ bx0 − y0)2

(1 + b2)+ ((c+ x0)2y2

0)

on peut faire les calculs mais on peut aussi remarquer astucieusement quef ′(α) = 0 et donc que

2b(bα+ c+ x0) + 2(α− y0) = 0

on a donc

f(α) =1b2

(α− y0)2 + (α− y0)2 =1 + b2

b2(α− y0)2

on a donc bien la distance deD àA qui vaut :

d(A;D) =√f(α) =

√1 + b2

b

∣∣∣∣−2(bc+ bx0 − y0)− 2y0 − 2b2y0

2(1 + b2)

∣∣∣∣ = |x0 + by0 + c|√(1 + b2)

Le cas oub = 0 se fait directement en remarquant queα = y0 :

f(α) = (c+ x0)2

d’ou le résultat, le casa = 0 se traite de la même façon.

3.2 Repère orthonormal

Définition 3.6 On dit qu’une base est1. orthogonale si les vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux.2. orthonormale si elle est orthogonale et les vecteurs de la base sont de norme 1.

On dit qu’un repère est :1. orthogonal si la base du repère est orthogonale.2. orthonormal si la base du repère est orthonormale.

Exemple 3.3 La base canonique deR3 est une base orthonormale pour le produit scalaire canonique.

Proposition 3.6 SoientB = {−→i ;−→j ;−→k } une base orthonormale deR3 et−→u un vecteur alors les coordon-nées de−→u dansB sont(−→u · −→i ;−→u · −→j ;−→u · −→k )

Preuve : Il existe(a; b; c) tel que−→u = a−→i + b

−→j + c

−→k on a alors

−→u · −→i = a−→i · −→i + b

−→j · −→i + c

−→k · −→i = a

De même en calculant−→u · −→j et−→u · −→k pour les autres coordonnées.

Proposition 3.7 SoientB = {−→i ;−→j ;−→k } une base orthonormale deR3 et−→u un vecteur de coordonnées(a; b; c) dansB alors

‖−→u ‖ =√a2 + b2 + c2

Remarque 3.4 Ecriture matriciellesoit B une base orthonormale et−→u ,−→u′ des vecteurs de matrice coordonnéesU et U ′ dans la baseB, alors< −→u ;

−→u′ >= tUU ′. Pour vérifier ce résultat il suffit de


3.3. UN EXEMPLE DE PRODUIT SCALAIRE EN DIMENSION INFINI A.Mizrahi

3.3 Un exemple de produit scalaire en dimension infini

on peut définir un produit scalaire en dimension infinie. Par exemple si on noteE l’espace des fonctioncontinues sur [0;1], on pose

∀f,g ∈ E < f ; g >=∫ 1

0f(t)g(t)dt

<; >est un produit scalaire surE. Les fonctions 1 etx− 0,5 sont orthogonales car leur produit scalaire est nul.Ceci est intéressant pour projeter une fonction sur un espace de fonctions.

3.4 Cercle dansR2

Définition 3.7 On appelle cercle de centre A(xA; yA) et de rayon R > 0 l’ensemble des points M duplan tel que la distance de A à M soit égale à R, on notera CA;R cet ensemble.

Remarque 3.5 Un pointM(x; y) appartient au cercleCA;R ssi ‖−−→AM‖ = R. Ce qui s’écrit encore(x −xA)2 + (y − yA)2 = R2. Cette équation est une équation cartésienne du cercleCA;R.


Chapitre 4

Matrices symétriques et matricesorthogonales

4.1 Matrice symétrique

Définition 4.1 Une application linéaire f est symétrique si pour tout vecteur −→u et −→v on a

< f(−→u ),−→v >=< −→u ,f(−→v ) >

Une matrice M est symétrique si tM = M .

Exemple 4.1

M =(

1 52 3

)6=(

1 25 3

)= tM

doncM n’est pas symétrique.

Proposition 4.1 Pour deux matrices que l’on peut multiplier on at(tM) = M , t(MN) = tN tM ett(M−1) = ( tM)−1

Preuve : t(MN) = t(∑

k Mi,kNk,j)i,j = (∑

k Mj,kNk,i)i,j = (∑

k(tM)k,j

t(N)i,k)i,j = tN tM . On endéduit immédiatement le résultat pour l’inverse.

Proposition 4.2 SoitB une base orthonormale,f une application linéaire etM la matrice def dans la baseB. On a l’équivalence des trois propriétés suivantes :a)M est symétrique.b) Pour toutes matrices colonnesU etV on a tUMV = tVMU .c) f est symétrique.

Preuve :On noteU etV les matrices coordonnées de−→u et−→v dansB f(−→u ) a pour matrice coordonnéeMUet donc< f(−→u ),−→v >= t(MU)V = tU tMV de même< −→u ,f(−→v ) >= tU(MV ). Or tout réel est égal àsa transposée donctU tMV = t( tU tMV ) = tVMU . Doncf est symétrique si et seulement si

∀U,V tUMV = tVMU

Or si l’on prend pourU une matrice colonne avec que des 0 et un 1 à la lignei, le produit detU parM donnela ième ligne de la matriceM . Si l’on prend pourV la matrice colonne avec que des 0 et un 1 à la lignej leproduit de la ième ligne deM parV donne exactement l’élément se trouvant à la jème colonne c’est à direMi,j . Donc sif est symétrique alorsM est symétrique.Réciproquement siM est symétrique alorstUM = (

∑i UiMi,j)j et donc

tUMV =∑i,j

UiMi,jVj =∑i,j

VjMj,iUi = tV (MU)

33

4.2. MATRICES ORTHOGONALES A.Mizrahi

Proposition 4.3 SiM est une matrice symétrique à coefficients réels alorsM ne possède pas de valeur proprecomplexe non réel.

Preuve :SiX est un matrice à coefficient complexe, on noteX la matrice ou chaque coefficient a été remplacépar son conjugué

Par exemple

(1 + i 5 + 2i2i 3

)=(

1− i 5− 2i−2i 3

)Soit λ une valeur propre deM réelle ou complexe etX un vecteur propre associé (à coefficient réel oucomplexe). On a

tXMX = tX(λX) = λ tXX

Si l’on transpose et que l’on conjugue les deux termes extrêmes de cette égalité on obtient, compte tenu quetM = M etM = M carM est à coefficient réel:

tXMX = λ tXX

doncλ = λ et doncλ est réel.

Proposition 4.4 Soit M une matrice symétrique etλ1 et λ2 deux valeurs propres distinctes alors les sousespaces propres associés à ces deux valeurs propres sont orthogonaux.

Preuve :SoientX1 etX2 des vecteurs propres associés àλ1 etλ2. On a

t(MX1)X2 = t(λ1X1)X2 = λ1tX1X2 et t(MX1)X2 = tX1MX2 = tX1 (λ2X2) = λ2 tX1X2

or λ1 6= λ2 donc tX1X2 = 0 ce qui revient à dire que les vecteurs sont orthogonaux.

Théorème 4.1 (admis)Soit f une application linéaire symétrique,f est diagonalisable et il existe un base orthonormale de vecteurspropres.

4.2 Matrices orthogonales

Définition 4.2 Une matrice M est orthogonale si M tM = I c’est à dire si M−1 = tM .

Exemple 4.2 La matriceA =(

cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)est orthogonale, il suffit de calculerAtA.

Proposition 4.5 SoientB une base orthonormale etB′ une base,P la matrice de passage deB àB′. B′ estune base orthonormale si et seulement siP est une matrice orthogonale.

Preuve : La ième colonneCj deP correspond aux coordonnées du ième vecteur deB′ dans la baseB. leproduit scalaire du ième vecteur deB′ et du jème est donc égal àtCiCj c’est aussi l’élémenti,j de la matricetMM . DonctMM = I si et seulement si les vecteurs deB′ sont deux à deux orthogonaux et normés.

Théorème 4.2SoitS une matrice symétrique, il existe une matriceD diagonale et une matriceP orthogonaletelles que :

S = PDP−1 = PD tP

Preuve : C’est une conséquence immédiate du théorème 4.1 appliqué à l’application linéaire définie parf(X) = SX, la matrice def dans la base canonique estM , doncf est symétrique, il suffit alors de prendre


4.3. IMAGE D’UNE MATRICE SYMÉTRIQUE PAR UNE APPLICATION RÉELLE A.Mizrahi

pourP la matrice de passage de la base canonique à la base orthonormale de vecteurs propres, d’après laproposition précédente cette matrice est orthogonale.

Exemple 4.3M =(

1 22 3

)PM (λ) = (1−λ)(3−λ)− 4 = λ2− 4λ− 1, il y a donc deux valeurs propres distinctes2 +

√5 et2−

√5 on

cherche des vecteurs propres associés ils seront obligatoirement orthogonaux, il suffit donc de les normer. On

obtientM = PDP−1 avectP = P−1.D =(

2 +√

5 00 2−

√5

)etP =

2√10+2

√5

2√10−2

√5

1+√

5√10+2

√5

1−√

5√10−2

√5

4.3 Image d’une matrice symétrique par une application réelle

Définition 4.3 Soit f : R → R et M une matrice symétrique, il existe P inversible et D diagonaletelles que M = PDP−1 on pose alors f(M) = Pf(D)P−1 avec f(D) la matrice diagonale dont leséléments sont les f(Di,i).

Exemple 4.4M =(

2 11 0

)etf(t) = et

PM (λ) = (2− λ)(0− λ)− 1 = λ2 − 2λ− 1, il y a donc deux valeurs propres distinctes1 +√

2 et1−√

2on cherche des vecteurs propres associés et on trouve par exemple(−1; 1−

√2) et (−1; 1 +

√2). donc on a

D =(

1 +√

2 00 1−

√2

)etP =

(−1 −1

1−√

2 1 +√

2

)on a alors

f(M) = eM = P

(e1+

√2 0

0 e1−√

2

)P−1


Index

aire, 22application linéaire, 12

base, 10, 19bijective, 15

Cauchy-Schwartz, 29cofacteur, 23colinéaires, 4, 5comatrice, 23combinaison linéaire, 19combinaison linéaire dégénérée, 19coordonnées, 10coplanaires, 9

diagonalisable, 26Diagonalisation, 26direction, 7, 8distance, 30droite affine, 5, 8droites vectorielles, 5, 8Déterminant, 22développement par rapport à une ligne, 24

Ecriture matricielle d’un ps, 31équation cartésienne, 6

famille libre, 20

homothétie, 17

image, 19inverse, 15

libre, 19longueur , 30

matrice, 12Matrice carrée, 15matrice dans une base, 13matrice de passage, 11matrice des coordonnées, 11matrice identité, 14matrice orthogonale, 34matrice relativement aux bases, 13matrice symétrique, 33

matrice unité, 14multiplicité, 27

norme associée, 29noyau, 19

origine, 10orthogonaux, 29

parallèles, 6, 9parallèles (plans), 8perpendiculaires, 30plan affine, 7plan vectoriel, 7polynôme caractéristique, 27produit scalaire, 29produit scalaire canonique, 29projection, 18projeté orthogonal, 30

représentation paramètrique, 7, 8représentation paramétrique, 6repère, 10Repère orthonormal, 31

SEV, 19sous espace propre, 20système d’équations cartésiennes, 8

trace, 21Transposition, 21

valeur propre, 20valeur propre de matrice, 26vecteur propre, 20vecteur propre de matrice, 26vecteur propre de propre, 26vecteurs directeurs, 5

36

Documents

IUP génie civil, première année Version sans dessin