2016-2018 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 1 sur 8

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2016-2018 18/11/2016

Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé. Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 : taux et mathématiques financières (6 points) Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes : elles représentent trois exercices différents.

1) Une baguette de pain valait en moyenne 0,80 € à une date « d » et on a constaté que ce prix moyen est

monté à 0,85 € un an plus tard (date « d+1 »). a. Calculer le taux de variation de ce prix de la date d à la date d+1. 1 pt

b. Quel devrait être le taux de variation du prix, de la date d+1 à la date d+2, pour que le prix à la date

d+2 revienne à 0,80 € ? 1 pt

c. En fait, on a constaté une augmentation de 15% du prix de la baguette, de la date d à la date d+2.

Quel est donc le prix constaté à la date d+2 ? 1 pt

NOM, Prénom : Groupe :

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2) Un capital initial de 800 € placé sur un compte rémunéré en intérêts composés a rapporté 200 €

d’intérêts en trois ans et demie. Quel était le taux du placement ? 1,5 pt

3) M. Carl Heurt, artisan, doit rembourser un emprunt de 3 000 € contracté auprès de sa banque. Il a été

convenu d’un remboursement en quatre annuités, sous le mode des amortissements constants. Le taux d’intérêts annuel est fixé à 7%. Former et compléter le tableau d’amortissement de l’emprunt. 1,5 pt

Exercice 2 : programmation linéaire (6 points) De nouvelles normes environnementales imposent à une commune de planter au moins 100 arbres. Cette commune peut choisir parmi des bouleaux et des platanes, autant qu’elle veut de chaque sorte, pourvu que le total atteigne ou dépasse 100. Pour ces futures plantations, la surface disponible s’élève à 80 ares (1 are = 100 m²) ; or un bouleau occupe 20 m² et un platane 100 m². En outre, la commune ne veut pas dépenser plus de 30 000 € en tout, alors qu’un bouleau lui reviendra à 320 € et un platane à 200 €.

1) En appelant x le nombre de bouleaux et y le nombre de platanes que l’on 1 pt va planter, montrer de façon détaillée que l’écriture des contraintes liées au nombre total d’arbres, à la surface disponible et à la dépense donne le système ci-contre.

y x

y x

y x

≥ − + ≤ − + ≤ − +

100

0,2 80

1,6 150

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2) Représenter ci-dessous la zone du plan solution de ce système (échelles : 1 cm pour 10 arbres). 2 pts

y

140

120

100

80

60

40

20

0 x

0 20 40 60 80 100 120

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3) La commune se verra allouer une subvention de 120 € par arbre planté, si bien que la subvention totale

accordée peut être écrite en fonction des quantités x et y de la sorte : S = 120x + 120y. L’objectif pour la commune est de choisir le nombre d’arbres à planter, de chaque essence, pour maximiser la subvention tout en respectant ses contraintes. a. Montrer que sous forme réduite on peut écrire y = -x + S/120. 0,5 pt

b. Tracer sur le graphique au-dessus la droite correspondant à une subvention de 13 000 €. 0,5 pt

c. Déterminer alors graphiquement (et justifier grâce à la question 3a) la droite d’iso-subvention donnant

la plus forte subvention que la commune puisse toucher compte tenu de ses contraintes. 1 pt

d. Conclure (en justifiant par des calculs) : combien d’arbres de chaque essence doit-elle planter et

combien vaudra alors la subvention accordée ? 1 pt

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Exercice 3 : second degré (3 points)

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1) Étudier le signe du polynôme 3x² – 2x – 1 , puis donner les coordonnées du sommet de sa parabole

représentative. 1,5 pt

2) On donne le polynôme x² + bx + 1 où b est un paramètre que l’on peut choisir dans l’ensemble des

nombres réels. À quelle condition sur b ce polynôme est-il de signe constant ? 1,5 pt

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Exercice 4 : fonction (5 points)

Une entreprise peut fabriquer, en un mois, un nombre x de téléviseurs LCD, variable, compris entre 0 et 1000.

Le coût de production dépend de cette quantité ; on le note ( )C x et il se calcule par la formule suivante :

( )C x x x= + +0,05 2 15 (coût obtenu en milliers d’euros)

1) Montrer que si ces téléviseurs sont vendus 200 € pièce, alors le bénéfice réalisé sur la production et la

vente de x unités peut s’exprimer (en milliers d’euros) par : ( )B x x x= − −0,15 2 15 . 1 pt

2) a. Donner l’expression ( )B x′ de la dérivée du bénéfice. 1 pt

b. Montrer alors que le bénéfice augmente avec x pour toute valeur x supérieure à 100. 1 pt

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3) On souhaite connaître la valeur de x à partir de laquelle le bénéfice est positif. On peut remarquer que si

on note « X » le nombre x , alors le bénéfice vaut , 20 15 2 15X X− − .

a. Étudier le signe du polynôme précédent, en fonction de X. 1 pt

b. Conclure alors sur la réponse à apporter à la question 3. 1 pt

____________________ FIN DU SUJET ____________________

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IUT - TC Mathématiques - Formulaire « Calcul et analyse »

Mathématiques financières

Capital de départ : C0 ; taux d’intérêts périodique (ex : annuel) : t ; nombre de périodes (ex : d’années) : n

Intérêts simples Intérêts composés

Valeur acquise au bout

de n années C0(1 + nt) ( )n

nC C t= +0 1

Intérêts au bout de n

années i = C0×t×n i = Cn – C0

Remboursement par annuités constantes : ( )−

×=− +

0

1 1n

C ta

t

Second degré : P(x) = ax² + bx + c

P(x) est du signe de a, sauf si x se trouve entre ses racines (si elles existent).

les racines de P(x) sont les valeurs de x qui le rendent nul.

Pour déterminer les racines de P(x) :

1. Calculer le discriminant du polynôme : il s’agit du nombre ∆ = b² - 4ac

2. Regarder le signe de ∆ pour en déduire le nombre et la valeur des racines :

Si ∆ < 0 : P(x) n’admet pas de racine réelle.

Si ∆ = 0 : P(x) admet une seule racine réelle : 2

x′ = − b

a. (racine « double »)

Si ∆ > 0 : P(x) admet deux racines réelles : et2 2

x x− − ∆ − + ∆′ ′′= =b b

a a.

Étude de fonctions

f(x) f ’(x) f(x) f ’(x) f(x) f ’(x)

a 0 1

x

x−

2

1

ln(x)

1

x

x 1

ax + b a

x

1a

a

a

x +−1

ln(u(x)) ( )( )

u x

u x

′

x2 2x

x3 3x2

x x

1

2

xa a×xa-1

Opérations sur les dérivées :

f f ’ f f ’ f f ’

u + v u’ + v’

u o v v’ × u’ o v

k.u k.u’

u.v u’.v + u.v’

un n.u’.un-1

( ) ( )' .

e

e

x

u xu x( )

x

u x

e

e

. .u u v u v

v v

′ ′−2

v

v v

′−

2

1