IV - Programme détaillé par matièreFac\T\LMD\M\ANALYSE ET MODELISATION MAT… · • H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, ... • Y. Tpaert, Leçon et application

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Etablissement : Centre Universitaire de MédéaAnnée universitaire: 2008/2009

Intitulé du master: Analyse et Modélisation Mathématique

IV - Programme détaillé par matière



Intitulé de l’UEF1.1: Analyse fonctionnelle

Semestre : 1

Contenu de la matière :

• Espaces vectoriels normés : applications linéaires, théorèmes de Hahn-Banach,théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.Espaces de Hilbert : théorème de projection sur un convexe fermé non vide, dualité,supplémentaire topologique, théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram, baseshilbertiennes,

• Compacité dans les espaces de Banach : théorème de Riesz, théorème d'Ascoli.Topologie faible et topologie faible* : théorèmes de Banach-Aloaglu-Bourbaki et deKakutani et application aux espaces fonctionnels. Convexité, uniforme convexité,réflexivité et leurs conséquences. Opérateurs compacts : alternative de Fredholm,spectre d'un opérateur compact, diagonalisation d'un opérateur compact, auto-adjointsur un espace de Hilbert (exemple : équations intégrales de type Fredholm et Volterra).

Mode d’évaluation :

• Contrôle continu

• Une Epreuve écrite

Références

• H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.

• W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 1998.

• W. Rudin, Analyse fonctionnelle, Ediscience, 1995.



Intitulé de l’UEF1.2: Distributions

Semestre : 1


• Eléments sur la notion de distributions (dérivée faible, convergence de suites dedistribution, ordre, support).

• Notion de distributions tempérées et calcul de transformées de Fourier.

• Espaces de Sobolev (hilbertiens) et applications. Equation aux dérivées partielles,classification de Hadamard, propriétés qualitatives (équation de Laplace, des ondes, dela chaleur).


• Un Contrôle continu


Références• H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.

• Fr. Demengel et G. Demengel, Mesures et distributions : Théorie et illustration parles exemples, Ellipses, 2000.

• M. Willem, Analyse harmonique réelle, Hermann, 1995.

• Cl. Zuily, Distributions et équations aux dérivées partielles, Hermann, 1994.



Intitulé du UEF1.3: Graphes et modélisation

Semestre : 1


• Principes et définitions.

• Modes de représentation.

• Etude de la connexité.

• Parcours eulériens et hamiltoniens.

• Méthode de recherche de chemins.

• Arbres et arborescences (réseaux, réseaux de transport et problème de flotscouplages).

• Problèmes d’ordonnancement.Références

• C.Berge, Graphes et hypergraphes, Paris, Dunod , 1970 .

• G.Chartrand et L.Lesniak, Graphs and digraphs, third edition, Chapman & Hall, 1996.

Intitulé du UEM1.1: Analyse numérique matricielle



Semestre : 1


• Rappels et compléments sur les matrices (Norme de matrices, Orthogonalité, valeurspropres, …).

• Méthodes directes de résolutions de systèmes linéaires.

• Méthodes itératives de résolutions des systèmes linéaires.




Références

• P.G. Ciarlet, Introduction à l’Analyse numérique matricielle, édition Masson, 1990.

• G.H.Golub et G.A.Meurant, Résolution numérique des grands systèmes linéaires,CEA-EDF, école d’été d’analyse numérique, 1984.



Intitulé de l’UEM2.1: Programmation Matlab ou Scilab

Semestre : 1

Objectifs de l’enseignementL'objectif de ce module est d'introduire les notions nécessaires pour mener des calculsscientifiques dans un langage impératif, dédié à la programmation mathématique (Matlab,ou Scilab), de montrer l'implémentation spécifique d'algorithmes en programmationmatricielle, et d'aborder un grand nombre de concepts de base de l'informatique.

Connaissances préalables recommandées éléments de programmation






Intitulé du UED1.1: Eléments d’analyse tensoriel

Semestre : 1


• Continuums et systèmes de coordonnées.

• Transformation de coordonnées.

• Notion de tenseurs.

• Notation matricielle de certains tenseurs.

• Tenseurs apparents et tenseurs cartésiens.

• Tenseurs à symétries.

• Tenseurs à composantes invariantes.

• Algèbre tensoriel




Références

• C. Jeanperrin, Initiation progressive au calcul tensoriel, Ellipses, 1987.



Intitulé de l’UET : Anglais Scientifique

Semestre : 1,2


• Traduction et rédaction de textes mathématiques (théorèmes, article, …)

• Expression orale (brefs exposés enregistrés).

Mode d’évaluation : Contrôle continu et une épreuve écritRéférences :Le support sera constitué d’un fascicule de rappels de cours et de conseils méthodologiques,accompagnés d’exercices. Un accès à internet est vivement conseillé.



Intitulé de l’UEF2.1 : Equation aux dérivées partielles

Semestre : 2


• Problèmes de Cauchy : méthode de Fourier, équation de la chaleur et équation desondes, solutions fondamentales, principe de maximum, comparaison.

• Problèmes mixtes : équation de la chaleur, problèmes mixtes de Cauchy-Dirichlet etCauchy-Neumann ; l’opérateur de la chaleur, solution formelle, solution forte, solutionfaible, formule variationnelle.

• Introduction à la théorie des semi-groupes : semi-groupes de contractions, théorèmede Hille-Yosida ; application à l’étude de quelques problèmes de Cauchy et mixtes ;étude d’une équation non linéaire.




Références• H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.

• Peter V. O'neil, Beginning Partial Differential Equations, Wiley-interscience, 2008.



Intitulé de l’UEF2.2 : Groupes et représentations

Semestre : 2

Contenu de la matière :• Groupes, actions de groupes : exemples.

• Représentations des groupes finis, représentations irréductibles, lemme de Schur,transformation de Fourier, théorème de Peter-Weyl, caractères.

• Groupes compacts : mesure de Haar, théorème de Peter-Weyl.

• Groupes linéaires et algèbres de Lie. Correspondance de Lie. Différentielle d'unereprésentation de groupe linéaire.

• Les groupes SO(3) et SU(2), leurs représentations irréductibles.

• Représentations de SU(3) et les quarks




Références

• Yvette Kosmann-Schwarzbach , Groupes et symétries, groupes finis, groupes etalgèbres de Lie, représentations, Edition de l’école Polytechnique, 2006.



Intitulé de l’UEF2.3 : Géométrie différentielle

Semestre : 2

Contenu de la matière :• Variétés, sous-variété, application différentiables de variétés.

• Espace tangent, vecteur tangent,

• Fibrés, champs de vecteurs, dérivée de Lie.

• Formes différentielles, formes différentielles sur une variété, différentielle extérieure.

• Intégration sur les variétés, Théorème de Stokes.

• Introduction aux variétés riemanniennes, géodésiques et équation d’Euler, Métriques,connexion et courbure riemanniennes,

• Tenseur de Ricci, équation d'Einstein,




Références

• M.Spivak Calculus on manifolds, a modern approach to classical theorems, NewYork:Westview Press, 1965.

• J.Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, EDP Sciences,

• Y. Tpaert, Leçon et application de géométrie différentielle et de mécanique analytique,Edition CEPADUES, 1993.



Intitulé de l’UEM2.1 : Analyse convexe et optimisation

Semestre : 2

Contenu de la matière• Eléménts d’analyse convexe (Ensemble convexe, théorème de séparation de Hann-

Banach).• Fonctions convexes, théorème de Fenchel-Moreau.• Compléments sur les fonctions convexes et fonctions s.c.i. (Gamma-régularisée,

conjuguée).• Calcul sous-différentiel.• Minimisation des fonctions convexes.• Dualité en optimisation convexe (relation d’extrémalité, problème normale et

problème stable.• Applications en calcul des variations.

Références• I. Ekland et R.Temam, Analyse convexe et problème variationnels, Gauthier-Villars,

Dunod, 1973.• J.P.Aubin, Explicit methods of optimization, Gauthier-Villars, 1984.



Intitulé de l’UEM2.2 : LATEX

Contenu de la matière

• Principe de fonctionnement du Latex.• Création d’un document simple.• Mise en page.• Formules Mathématiques• Insertion d'images• Personnalisation de LATEX, en-têtes améliorés, etc.• Création de références bibliographiques, d'index, etc.• Grandes lignes de l’installation, sous Windows, d’une distribution LATEX.

Références

• C.Rolland, Latex par la pratique, Editions O’Reilly, 1999.



Intitulé de l’UED2.1: Analyse des données et modélisation

Semestre : 2


• Analyse des données (Analyse descriptive, méthodes de classification, modélisation etinférence statistique,…)

• Régression (simple et multiple)

• Analyse en composantes principales, analyse AFC, analyse canonique, analyse deredondance

• La régression PLS univariée, régression PLS multivariée, analyse canonique PLS,approche PLS.




Références• M.Jambu, Méthodes de base de l’Analyse des Données. Paris, Eyrolles, 1999.

• P. Bertier et J.-M. Bouroche, Analyse des données multi-dimensionnelles, Paris,Presses Universitaires de France, 1975.

• Gilbert Saporta, Probabilités, analyse des données et statistique, Edition Technip,1990.

• M.Tenenhaus, La régression PLS: Théorie et pratique, Edition Technip, 1998.

Intitulé de l’UEF3.1: Analyse multivoque et applications



Semestre : 3


• Systèmes dynamiques

• Introduction aux applications multivoques

• Concepts de continuité pour les applications multivoques

• Théorème d’existence de sélection

• Equations différentielles multivoques

• Opérateurs multivoques maximaux monotones

• Application aux EDM de type monotone

• Inclusions différentielles




Bibliographie :

• J.P Aubin, Initiation à l'analyse appliquée, Masson ,1984.

• J.P Aubin, Differential inclusions. Set valued maps and viability Theory, SpringerVerlag, 1984.

• G.SmirnovV, Introduction to the theory of differential Inclusions, AMSciety. 2001



Intitulé de l’UEF3.2: Analyse variationnelle et Gamma-convergence

Semestre : 3


• Formulation variationnelle (problème de Dirichlet, Neumann, théorème de Lax-Miligram)

• Gamma-convergence, définition, premiers exemples

• Relaxation de fonctionnelles intégrales en calcul des variations

• Homogénéisation de fonctionnelles intégrales par Gamma-convergence.

• Mesures de Young et applications




Bibliographie :

H. Attouche, G. Buttazzo et G. Michaille, Variational Analysis in Sobolev and BV Space,applications to PDEs and Optimisation, 2006.

Braides et Defranceschi, Homogenization of multiple integrals, Oxford Lecture Series inMathematics and its Applications, Oxford University Press, New York, 1998.

G.Dal Maso, A Introduction to Gamma-convergence, Birkhauser, 1993.



Intitulé de l’ UEF3.3 : Equations elliptiques

Semestre : 3

Contenu de la matière : Équations elliptiques

• Quelques théorèmes de point fixe et applications aux EDP elliptiques non linéaires( théorème de point fixe de Brouwer et de Schauder, ainsi que diverses variantes,résolution d'un problème elliptique semilinéaire modèle par point fixe).

• Opérateurs de superposition ( continuité forte, continuité faible, mesures de Young,les troncatures, trace au bord.

• La méthode de Galerkin (résolution du problème elliptique modèle par la méthodede Galerkin, résolution d'un modèle ultra-simplifié des équations de Navier-Stokesstationnaires par la méthode de Galerkin).

• Éléments de théorie des opérateurs elliptiques linéaires et applications (Principe dumaximum fort, principe du maximum faible, résultats de régularité elliptique,utilisation du principe du maximum et de la régularité elliptique, résolution deproblèmes semilinéaires par la méthode des sur et sous-solutions).

• Calcul des variations et points critiques (la condition de Palais-Smale et le lemmed'Ekeland, le lemme de déformation, le principe du min-max et le lemme du col,application à la résolution de problèmes elliptiques semilinéaires).

• Opérateurs monotones et inéquations variationnelles (Exemples d'opérateursmonotones, résolution d'inéquations variationnelles, astuce de Minty, opérateurspseudo-monotones, opérateurs de Leray-Lions.)






Intitulé du UEM3.1 : Approximation numérique des EDP

Semestre : 1

Contenu de la matière

• Approximation variationnelle de problèmes aux limites (Théorie abstraite etapplication aux problèmes aux limites en dimensions 1 et 2).

• Notions sur les schémas pour les problèmes hyperboliquesEléments finisFormulation faible et forte. Projection et méthode de Galerkin. Meilleure approximation dansH1.Volumes finisFormulation, discrétisation des flux. Résolution de l'équation de Navier Stokes 2D par schémasimple

Travaux pratiquesConsiste à programmer un schéma numérique pour 1 problème de dimensions 1 et 2

Bibliographie :

• P.G.Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation, EditionMasson, 1990.



Intitulé de l’UEM3.2: Domination dans les graphes

Semestre : 3

Contenu de la matière :• Rappels de notions de théorie des graphes.• La domination dans les graphes.• Problèmes étudiés dans la domination• Applications de la domination.• Conditions sur la domination.• Variétés de domination.• Graphes critiques.• Aspects algorithmiques de la domination.•




Bibliographie :

• Teresa W. Haynes, Stephen T. Hedetniemi and Peter J. Slater, Fundamentals ofdomination in graphs, Marcel Dekker Inc., New York (1998).

• Teresa W. Haynes, Stephen T. Hedetniemi and Peter J. Slater, Domination ingraphs advanced topics, 1998.

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