Trigonométrie

Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Sinus Cosinus Tangente

Elle est très utilisée dans différents domaines; notons, entre autre :

La géodésie, la topographie, l’arpentage, l’astronomie, les techniques de communication, le système de position global ( GPS ), etc.

La trigonométrie est une partie des mathématiques qui s’intéresse à la triangulation, c’est-à-dire aux situations que l’on peut étudier à l’aide des triangles.

Plusieurs de ces sciences travaillent à partir de deux dimensions principales:

l’horizontalité et la verticalité

Sachant que ces deux dimensions sont nécessairement perpendiculaires une à l’autre, le triangle rectangle est donc un outil très utilisé.

La trigonométrie s’intéresse donc aux relations entre les côtés et les angles dans les triangles.

Avant d’aborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir nommer les côtés d’un triangle rectangle.

Hypoténuse (c’est le plus grand des côtés, c’est aussi le côté opposé à l’angle droit). Côté opposé à l’angle.

Côté adjacent à l’angle.

Attention

Côté adjacent à l’angle.Hypoténuse

Côté opposé à l’angle.

Les mots sinus, cosinus et tangente représentent des rapports entre les côtés d’un triangle rectangle.

A B

C

Sinus d’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l’angle sur la mesure de l’hypoténuse.

Sin A :m CB

m AC

3

4

5

3

5= = 0,6

Cosinus d’un angle: le rapport de la mesure du côté adjacent à l’angle sur la mesure de l’hypoténuse.

Cos A : m AB

m AC

4

5= = 0,8

Tangente d’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l’angle sur la mesure du côté adjacent à l’angle.

Tan A : m CB

m AB

3

4= = 0,75

Relations entre les côtés

ypoténuse

Pour t’aider à les retenir, utilise ce petit truc : Soh Cah Toa

A B

C

S o h inus : pposé

ypoténuse

C a h osinus : djacent

djacent

T o a angente : pposé

De quel rapport s’agit-il ?

a

b

ca

b: tangente

a

c: sinus

b

c: cosinus

a

b

c

a

c: cosinus

b

a: tangente

b

c: sinus

Quel rapport représente :

a

b

c

b

atangente :

b

csinus :

a

ccosinus :

a

bc

a

btangente :

a

csinus :

b

ccosinus :

Que valent les rapports suivants :

8

6

10

16

1220

6

8tangente :

sinus :

cosinus :

tangente :

sinus :

cosinus :

ou 0,75

6

10ou 0,6

8

10ou 0,8

16

12ou ≈ 1,3333

16

20ou 0,8

12

20ou 0,6

Le rapport tangente est le seul qui peut être plus grand que 1.

Remarque:

Les cathètes étant plus petites que l’hypoténuse, les rapports sinus et cosinus sont toujours < 1.

3

4

5

A

B

C

Sin A :3

5

4

5Cos A :

Sin B :4

5

3

5Cos B :

3

4Tan A : 4

3Tan B :

le rapport sinus en fonction de l’angle A.

le rapport sinus en fonction de l’angle B.

Relations avec les angles

Il existe une relation étroite entre les côtés et les angles d’un triangle.

Observe

la longueur du côté face à l’angle est influencée par la grandeur de l’angle.

Conséquemment, l’autre angle aigu diminue à mesure que le premier augmente.

11

1

et le côté qui lui fait face diminue aussi.

Pour une même longueur d’hypoténuse,

À l’inverse, on pourrait créer plusieurs triangles rectangles sans changer la mesure de l’angle aigu.

300

10,5

2

1

3

1,5

Tous ces triangles sont semblables par la propriété AA.

Donnons-leurs des mesures.

Tous les rapports SINUS sont égaux à : 1

20,5

1

12

1,5

3= =

Donc un rapport sinus de ou 0,5 signifie que l’angle mesure12

300.

Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté faisant face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

Dans les triangles

semblables, les rapports

des côtés homologues

sont proportionnels.

Les rapports entre les côtés

Il en est de même pour tous les triangles rectangles ayant des angles homologues isométriques.

sinus, cosinus et tangente vont donc nous aider à

déterminer la mesure des angles qui leurs sont associés.

Exemples:

tous les triangles rectangles ayant un angle de 450

auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente.

tous les triangles rectangles ayant un angle de 600

auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente.

450

600

Anciennement, il fallait utiliser

une table de rapports

trigonométriques.

Cette table indiquait la valeur des angles associés à chaque rapport trigonométrique.

Exemples:

Pour connaître la mesure de l’angle associé à un rapport sinus de :

0,5 300m =

0,7071 450m =

0,8660 600m =

Aujourd’hui, on utilise l’ordinateur, la calculatrice scientifique ou la calculatrice à affichage graphique.

Attention

Il faut préparer la calculatrice.

Par défaut, la calculatrice est programmée pour déterminer les angles en utilisant une autre unité de mesure, soit le radian.

Le radian est une unité de mesure utilisée pour évaluer les angles dans le cercle trigonométrique.

Dans les triangles, nous utilisons le degré ( 0 ) pour évaluer les angles.

Il faut donc en changer le réglage.

Pèse sur le bouton Mode

Dans le menu qui apparaît, sélectionne degré à l’aide des flèches bleues.

Pèse sur pour confirmer. ENTER

Attention

Si tu réinitialises: 0 3 22nd

la calculatrice reviendra en mode radian.

Donc avant de commencer un travail de trigonométrie, assure-toi d’être en mode degré.

Repère les touches

sin cos tan ce sont les touches à utiliser.

Calculons la valeur de l’angle associé à un sinus de 0,5.

Voici la séquence:

1) Pèse sur la touche 2nd puis sur la touche sin

La fenêtre d’affichage inscrira sin-1 ;

cela signifie qu’elle est prête à donner la valeur de l’angle.

2) Inscris la valeur du sinus : 0,5

et pèse sur ENTER

La calculatrice indiquera 30 soit 300 .

Détermine les mesures d’angles associés aux rapports trigonométriques suivants:

Tan A = 0,7211 m A =

35,795373350 ≈ 35,80

Remarque: Pour les besoins de nos calculs, un chiffre après la virgule est suffisant.

Tan-1 0,7211

Cos B = 0,4226 m B =

65,001154480 ≈ 650Cos-1 0,4226

Sin A = 0,4848 m A =

28,999369790 ≈ 290Sin-1 0,4848

Tan A = 6,3138 m A ≈

810Tan-1 6,3138

Quelles sont les mesures des angles du triangle suivant ?

A B

C

3

4

5

Sin A = 35

= 0,6 Sin-1 0,6 ≈ 36,90

Remarque:

Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante:

Sin-1 ( 3 ÷ 5 ) ENTER ≈ 36,90

Remarque:

Tu aurais pu déterminer la mesure de l’angle A en utilisant n’importe quel rapport.

Cos-1 ( 4 ÷ 5 ) ≈ 36,90 Tan-1 ( 3 ÷ 4 ) ≈ 36,90

car les rapports entre les côtés ne sont pas les mêmes mais l’angle associé, oui.

36,90

A B

C

3

4

5

36,90

Quelle est la mesure de l’angle C?

Ici encore, on pourrait utiliser n’importe lequel des trois rapports sinus, cosinus ou tangente pour déterminer la mesure de l’angle C.

Mais, on peut aussi le déterminer en utilisant soit l’axiome:

« La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .››

donc m C = 1800 - ( 900 + 36,90 ) ≈ 53,10

soit l’axiome:

« Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.››

donc m C = 900 - 36,90 ≈ 53,10

Détermine la mesure des angles de ce triangle.

4,1

7,2

D

E F

À partir des informations fournies, il faut utiliser le rapport tangente.

Soit Tan F :

Tan-1 ( 4,1 ÷ 7,2 ) ≈ 29,70

Soit Tan D :

Tan-1 ( 7,2 ÷ 4,1 ) ≈ 60,30

et m D = 900 - 29,70 ≈ 60,30m F = 29,70

et m F = 900 – 60,30 ≈ 29,70m D ≈ 60,30

4,1

7,2

7,2

4,1

Remarque:

Les rapports trigonométriques ne sont définis que pour les angles aigus d’un triangle rectangle,

car, comme le triangle est rectangle, on connaît déjà l’angle de 900 .

et avec cet angle les rapports sinus, cosinus et tangente n’ont pas vraiment de signification.

hypoténuseSinus : côté opposé hypoténuse

hypoténuse

Cosinus :hypoténuse

côté adjacent lequel ?

Tangente: côté opposé

côté adjacent lequel ?

hypoténuse ?

Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de l’angle θ ?

6 cm

4,8 cm

θ

A B

CRemarque :

est la huitième lettre de l’alphabet grec.

Elle se prononce et s’écrit thêta.

Elle sert souvent de symbole pour identifier un angle : m θ.

θ

Selon les informations, il faut utiliser le rapport cosinus.

Cos θ = 4,8

6

m θ = Cos-1 ( 4,8 ÷ 6 ) ≈ 36,90 .

70 m65 m

A B

C

Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de l’angle A ?

Selon les informations, il faut utiliser le rapport sinus.

Sin A = 65

70

m A = Sin-1 ( 65 ÷ 70 ) ≈ 68,20 .

Quelle est la mesure de l’angle d’élévation d’un segment ayant une pente de 23% ?

23100

Remarque: est toujours déterminée enfonction sur l’horizontalité.de la verticalité

Une pente de 23% veut donc dire 23100

L’angle d’élévation peut donc être calculer avec le rapport tangente.

Tan A = 23

100

m A = Tan-1 ( 23 ÷ 100 ) ≈ 130 .

La pente ou l’inclinaison d’un segmentL’angle d’élévation est l’angle du regard vers le haut.

L’angle de dépression est l’angle du regard vers le bas.

Remarque :

Conclusion

Les rapports trigonométriques SINUS, COSINUS ET TANGENTE sont des outils très utilisés pour résoudre des situations triangulaires.

Nous venons de voir comment, avec la calculatrice et ces rapports, nous pouvons déterminer les angles d’un triangle rectangle.

Exemple: Sinus θ :côté opposé à l’angle

hypoténuseSin-1 = m θ

La calculatrice permet aussi de déterminer le rapport trigonométrique associé à un angle.

Exemple : Que vaut le rapport sinus d’un angle de 480 ?

Démarche: Pèse sur la touche Sin1) la calculatrice affiche sin.

2) Inscris la mesure de l’angle et pèse sur ENTER

La calculatrice affiche 0,7431448255, c’est le rapport entre les côtés.

La calculatrice sera très utile pour résoudre des triangles.