La géométrie comparée et la géométrie sacrée

Jean Fouquet (1415/20-1478/81)

Portrait de Charles VII(1450/1455)

Yvo Jacquier -------------------------------------------------------------------------------------

LA GÉOMÉTRIE COMPARÉE -------------------------------------------------------------------------------- Mai 2012 -----

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 1 sur 11

LE TABLEAU----------------------------------------------------------------------

Les documents de l'étude

Portrait de Charles VII, roi de France (1403-1461)Huile sur bois (chêne), 98,8 x 84,5 cm

Surface peinte : 86 x 71 cm

Paris, musée du Louvre, département des Peintures, Inv. 9106

Le fichier d'étude numérique provient de la base de donnée de Wikimedia :

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Jean_Fouquet_008.jpg

Plusieurs comparaisons ont été effectuées avec d'autres fichiers, pour tester

sa fiabilité. L'exercice portant sur la géométrie, la qualité des lumières et des

couleurs du tableau sont des critères secondaires pour ce choix qui cherche

en premier lieu la justesse des formes et la grandeur du fichier.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 2 sur 11

1ÈRE PARTIE - L'EXPOSITION DES VALEURS---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Première observation du tableau

La première opération, nécessaire, consiste à

redresser le tableau de quelques dixièmes de

degrés par rotation pour le mettre au droit.

Les inscriptions calligraphiées montrent que le

cadre a été conçu avec le tableau. Ce fait donne

une grande importance au format peint. Si

géométrie il y a, elle doit concerner les bords

internes de la fenêtre. Les rideaux de ce théâtre

non improvisé pointent quatre repères (ici

marquées d'une flèche blanche). Nous verrons à

quel point ils sont précis et utiles.

Nous désignerons la largeur de cette fenêtre par L, et la hauteur par H.

Le format de la fenêtre

Un grand carré de côté L se construit à la base. Il arrive là où le

chapeau se sépare de la tête du roi. Ses diagonales épousent les plis

des manches et encadrent le col de fourrure. Elles amorcent également

un pentagone irrégulier inversé, avec le bord des rideaux et le haut du

tableau.

Un rectangle de largeur L et de hauteur L/√2 vient se poser au milieu

du grand carré.

Le rapport H/L est de :

[ L/2 + L/√2 ] ÷ [ L ] = 1/2 + 1/√2 = (1+√2)÷2

Les deux grandes valeurs complexes de la géométrie sacrée sont :

(1+√3)÷2 provisoirement appelé nombre de Hac

et (1+√5)÷2 le nombre d'or, noté φ depuis le début du XXème siècle

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 3 sur 11

Ce ratio (1+√2)÷2 (≈ 1,207 101) est constatable par l'infographie :

L = 1 176 px (71,24 cm)

H = 1 419 px (si 86,00 cm)

N.B. : En cinq siècles et demi, l'oeuvre a pu perdre d'avantage en largeur qu'en hauteur,

selon l'orientation verticale des lames du support (bois de chêne).

Les diagonales de ce rectangle n'apportent pas grand chose si ce n'est la coïncidence avec

le bord supérieur de la lèvre appelé “Arc de Cupidon”, à l'aplomb du Philtrum. Ces détails

ne cesseront de prendre de l'importance au fil de l'étude.

http://www.chirurgie-dermatologique.com/public/formation/diapotheque/diapotheque_detail.asp?IDCatDiapo=77

La division par √2

Cette figure est un classique de la céramique. Il suffit de diviser le

côté d'un carré par √2 et de le tourner de 45° pour l'inscrire, et ainsi de

suite. Maintenant, si l'on fait pivoter le carré de degré 2 de 45°, en

position de losange, sa pointe vient chercher le centre du rectangle

supérieur de la fenêtre (L x L/√2).

Ce même carré de degré 2, dont le côté fait L/2, soutient le menton du

roi, coiffe le col de fourrure. Globalement, il couvre le plastron. Le

carré de degré 1 (L/√2) passe par l'oeil gauche du roi, et couvre

globalement ses épaules.

Première division dorée

Il n'y a qu'une façon de construire cette figure. En jaune sur le visuel :

deux rectangles dorés se constituent en croix. Une première

diagonale, descendante, du grand carré, passe par les angles du carré

central à la croix. La seconde diagonale, montante, passe par les

angles des rectangles dorés.

Assurément, Fouquet n'est pas un débutant en géométrie, et il expose

ses mesures avec une clarté toute française !

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 4 sur 11

Cette croix a des vertus particulières, comme le montre ce visuel. Les

expressions algébriques paraissent plus compliquées que la réalité

visuelle. Si l'on considère le carré (C) de la croix et ses pales, la

largeur L fait un carré plus trois pales.

Une pale est le résultat de l'opération :

(φC- C) ÷2 = C/2φAprès calcul : C = 2L/(3φ-1) ≈ 0,519 L

• 1° point. La croix peut alors se placer en quinconce, tout en bas et à

gauche, pour trouver le repère du tableau que nous avions noté à la

première étape. Le système que nous exposons réagit au pixel près, y

compris ce repère (2 pixels d'épaisseur).

Confrontation de φ et √3 - Les sept repères de Charles VII

• 2° point. Gardons à gauche le rectangle jaune, de hauteur C et de

largeur C/φ. Traçons sur la largeur qui reste sur la droite, un rectangle

de proportion √3 (en bleu). Ce rectangle arrive au bandeau rouge qui

orne le haut du tableau.

• 3° point. La verticale qui sépare les deux rectangles jaune (doré) et

bleu (au ratio de √3) tombe en haut sur un des repères du tableau

(rideau de gauche).

• 4° point. Le carré inscrit de ce rectangle bleu mesure C plus une

pale (deux d'entre elles correspondent au rectangle doré). Soit E le

point d'intersection entre le carré inscrit et la diagonale du rectangle

bleu. Le point est sur l'épaule du monarque.

• 5° point. La verticale qui passe par E tombe elle aussi sur un point de repère du tableau

(rideau de droite).

• 6° point. L'ongle de l'index droit de Charles VII, le doigt qui montre, confirme cette

verticale (il joue, selon la tradition, avec les cordes de la composition).

• 7° point. En bas à gauche du rectangle bleu, une fleur dont on voit sept pétales pointe sa

tige en direction de l'angle.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 5 sur 11

N.B. : Le dernier repère que nous avons noté au départ sera lui aussi mis à contribution.

Nous le découvrirons plus tard.

Ainsi sept points du tableau, sept repères d'une précision de deux pixels sur le fichier

s'accordent avec une figure composée avec logique à partir de la largeur du tableau (elle

démarre sur un rectangle doré lui-même harmonique au tableau selon la croix dorée que

nous avons construite). Une telle correspondance ne peut se réclamer du hasard. Une

boutade devient rituelle au fur et à mesure que les articles accumulent des preuves : « Le

hasard n'a pas tant de talent ».

Premières leçons de l'étude

Ce tableau de Fouquet n'en est que plus précieux car les points d'observation ne réclament

pas de compétence particulière en arts plastiques : ils sont constatables à travers tout

logiciel de traitement de l'image, sans interprétation particulière.

Les aspects scientifiques de cette progression à l'intérieur de l'oeuvre réclament un

minimum de familiarité envers la géométrie et la méthodologie qui l'accompagne. Conseil

est donné à ceux qui ne sentent pas à leur aise dans cette démarche de prendre conseil au-

près d'un pédagogue scientifique - un professeur de Mathématiques ou de Physique, par

exemple. Celui-ci ne pourra pas forcément transmettre tous les éléments nécessaires à la

totale maîtrise de ce dossier à la première séance. En revanche, il pourra confirmer

l'évidence des preuves qui y sont apportées, et ce point de confiance est capital.

Ensuite, face à la géométrie que nous découvrons, la question se pose de son

interprétation. Nous devons un minimum de respect face à tant d'effort et d'intelligence.

Nous n'en comprenons pas immédiatement le but parce que le fonctionnement de cet art

n'a rien de trivial. Et il serait précaire de supposer qu'il n'a pas de sens dans la mesure

(très étroite) où nous ne savons pas encore l'interpréter.

La géométrie comparée met des structures géométriques en évidence. Ces authentiques

preuves d'intelligence sont avant tout les outils d'un langage symbolique visuel. En aucun

cas cet art ne peut être assimilé à celui de la décoration (florale) ou de la parade

(militaire). Ce langage mérite le même respect que les écritures mésopotamiennes de la

première heure, toujours irrésolues, et à propos desquelles personne n'oserait prétendre

que leurs signes ne sont que des gribouillis sans queue ni tête ! À ce propos, l'avènement

de écriture a succédé à l'accomplissement d'une géométrie qui a eu l'humilité de se

confier, et sans doute même de produire, à une autre forme d'expression, à savoir

l'écriture, partie complémentaire à laquelle elle ne pouvait se substituer.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 6 sur 11

La figure clé

La rencontre de sept repères sur le tableau, dont trois sur les quatre

mentionnés au départ de l'étude, établit cette figure des deux

rectangles comme la clé du tableau. La rencontre de φ, le nombre d'or,

avec la racine de trois (√3).

Une première considération de calcul accompagne la figure. Elle n'est

pas forcément dans la conscience du peintre qui pratique cette

géométrie avec les yeux. Disons que le calcul vient souligner les

principes que le compas met en oeuvre. Ainsi, le côté du carré mesure

C plus une pale. Son expression, débarrassée de L qui le multiplie en

pixels ou en centimètres au final est :

1÷(4φ-5) = (φ+1)÷(3φ-1) = (2φ+1)÷(2φ+3) = (3φ+1)÷(φ+7) = (4φ+1)÷11

Dans cette suite d'expressions, de gauche à droite, il suffit d'ajouter φ au numérateur et (-

φ+4) au dénominateur. Le résultat est toujours le même :1÷(2√5-3) ≈ 0,679 285

Le bord gauche du tableau et la verticale qui passe par le point E de

l'épaule permettent de développer un rectangle doré. Il coiffe le

chapeau de Charles VII, et sa diagonale passe par le pli nasolabial

(terme aussi ridicule qu'irremplaçable) du visage.

Ainsi, nous assistons à la confrontation gauche-droite de deux grands

rectangles régis par les deux grandes valeurs irrationnelles de la

géométrie sacrée. Le bras porte la main droite de l'action à s'unir à la

main gauche dans la surface partagée des deux rectangles, qui

comprend également le plastron et la tête enchapeautée du souverain.

L'on pourrait entrer dans le détail de cette surface, mais l'essentiel est

dans cette considération : le bras droit est en or quand le bras gauche

qui se réclame du mystère céleste (Pythagore l'a établi avec le vesica

piscis et sa √3) vient poser sa main à l'intérieur de la main droite.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 7 sur 11

La valeur intermédiaire de Hac

(1+√3)÷2 ≈ 1, 366 025 est la valeur intermédiaire entre celle qui régit

le format du tableau (1+√2)÷2 ≈ 1,207 101, et le nombre d'or :

φ = (1+√5)÷2 ≈ 1,618 034...

Elle apparaît de façon claire et vient rejoindre le dernier repère

du rideau de droite. Le nombre, dit "de Hac" pour l'instant, traduit le

rectangle dans lequel un triangle équilatéral développe un cercle en

son sommet de diamètre égal au côté du triangle. Ce rectangle est

posé à l'horizontal et tout en haut du tableau. En l'occurrence, le cercle

de Hac, dont le diamètre fait 2L/(1+√3), a deux points d'intersection

particulièrement intéressants. Il passe par α où les diagonales du

grand carré se croisent et accueillent le rectangle de L x L/√2). Il

passe aussi par β, point où se croisent les diagonales du grand carré et

du rectangle de √3.

Le calcul est ici plus fastidieux qu'indispensable. Il y a fort à parier que les √2 ne feront

pas des √3 au final. Selon quoi cette coïncidence se fait manifestement, comme souvent

en géométrie sacrée, « dans l'épaisseur du trait », avec la précision de 2 pixels maximum

(sans doute moins au regard du fichier). Cette figure confirme la constitution du format

qui n'avait jusque l'ors aucun écho sur l'oeuvre. La géométrie vient au secours de l'oeuvre

qui ne peut pas porter tous les points de repère.

Nous avons vu sur la figure Charles_VII-01bis.jpg que le losange de degré 1 (de côté √2)

passe par l'oeil gauche du souverain. Le triangle équilatéral passe quant à lui par l'oeil

droit. À n'en pas douter, il y a là une prise pour l'interprétation symbolique. La bouche du

roi est également concernée par l'exercice, au croisement d'une diagonale.

Coïncidence de figures - entre Or et Sinople

Le haut de la croix dorée passe par la pointe du triangle équilatéral de

Hac. Le calcul de la hauteur donne :

Hauteur du rectangle doré 2÷(4-φ) ≈ 0,839 643

Hauteur de la pointe du triangle(1+√2)÷2 + 1÷(1+√3) ≈ 0,841 081

La différence est de 1,44‰ et elle s'applique à L par multiplication

(~1 mm). Les coïncidences qui impliquent le nombre d'or ont souvent

ce type de précision.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 8 sur 11

Une deuxième indication vient du tableau : le chapeau du roi se pose

sur une des diagonales du rectangle de Hac. Cela confirme ce

rectangle. Enfin, l'amande des deux cercles jumeaux encadre le

portrait de façon élégante.

Un deuxième développement de φ

C'est le plus classique. Tout carré a son rectangle d'or inscrit. Dans ce

cas, le grand carré initial prend une verticale interne qui touche le

front de Charles VII. La largeur de ce premier rectangle est L/φ.

Le même rectangle se pose à l'horizontal en haut du cadre, où il

produit de part et d'autre deux sous-rectangles dorés de largeur L/φ².

À ce stade, on entre dans la logique d'une division ou à chaque étape,

le rectangle perd son carré inscrit pour libérer un autre rectangle plus

petit, toujours doré. Nous retrouvons fort logiquement la verticale de

la figure précédente, qui touche le front du roi. Cette première trame

n'est pas particulièrement bavarde : elle sert de support à des divisions

plus fines...

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 9 sur 11

Cet artiste aime les déclinaisons ! Revue de Détail... Sur ce

visuel, les divisions successives de L par les puissances de φ, φ²,

φ³, φ⁴,φ⁵, φ⁶, φ⁷ sont représentées par leur numéro, l'indice de

leur puissance 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. La division dorée va en effet

jusqu'à 7 ! Pour preuve, les rectangles dorés de degré 6 sur 7 qui,

en croix, servent de module aux deux frises calligraphiées du

cadre. Il faudrait un fichier de haute définition pour reconstituer

complètement l'exercice de Fouquet, mais déjà l'on comprend

pourquoi l'artiste a comprimé certaines lettres comme le I de

“victorieux”, ou l'espace avec le mot précédent : ”très“.

L'organisation de cette toile d'araignée est impressionnante

de précision. Les points principaux où se recoupent les lignes, notamment les diagonales,

sont marqués de blanc. Le point E de l'épaule est de ceux-là. Il faut regarder attentivement

le visuel pour comprendre la cohérence du propos (et plusieurs fois, jour après jour). Ainsi

l'on comprend que si l'artiste dépasse le cap de la puissance du 3 pour aller jusqu'à 7, c'est

pour reprendre tout le vocabulaire du triangle sacré (3-4-5) et ses valeurs entières.

On ne fait pas ce que l'on veut avec ce type de géométrie. La facilité du virtuose donne

l'impression que toutes les notes sont sur le chemin de ses doigts, comme si elles venaient

lui manger dans la main. Et moins on est musicien, plus on a l'impression que la pratique

du violon est facile... Dans le cas présent, Fouquet démontre en particulier une grande

maîtrise des liens. Ces cordes là sont plus raides à apprivoiser qu'un licol avec son cheval

sauvage au bout.

Le rectangle de niveau 3 et 4 mis en croix trouve sa place aux mains du roi. Leur hauteur

totale mesure L/φ³. Or il est très rare d'aller au-delà de cette division dans la tradition que

l'on dira ‘byzantine’. Fouquet nous ouvre l'espace de la spiritualité, dont le premier

symbole est l'auréole du chapeau, calé à L/φ⁵ sous la ligne rouge.

Cas particulier : le rectangle de degré 4 (terrestre) et 5 (humain) coupé en quatre pour

servir de gabarit à la bouche du roi, final focus de la composition. C'est aussi une demi

pale de la croix qui sert de gabarit aux mains. Les droites qui participent à ce rectangle

sont pleines de sens. La base est au niveau du sommet du col et correspond au pli du

menton. C'est la ligne sui sépare l'action concrète (bas, matériel, étoffe) de la parole (haut,

air). La diagonale descendante croise la croix dorée du chapeau. Elle est de degré 2 et 3, et

le point est au bord de l'oreille. Le 2 de l'inspiration et le 3 céleste trouveraient-ils ce

chemin pour descendre sur Terre ? L'autre diagonale, montante celle-là, vient d'un point

entre étoffe (végétale) et fourrure (animale), et elle se perd la-haut, pile poil à une distance

de la zone rouge qui est de degré 5 (humaine).De façon générale, le peintre a laissé des

indices, notamment dans les plis du vêtement pour ponctuer le passage de ces lignes.

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 10 sur 11

À gauche :

Le centre du rectangle de la bouche est sur la

diagonale descendante du rectangle de Hac, qui

vient du coin supérieur gauche du tableau.

À droite :

Le même centre est également sur le losange de

côté 2 appartenant à la figure du grand carré.

Conclusions de cette première partie

1 - Il fallait de bonnes raisons au peintre Fouquet pour insister de la sorte sur la

bouche de son roi. Charles VII serait mort d'un problème d'abcès à la bouche en 1461,

peut-être aussi d'anorexie par crainte des poisons ! Cependant, son portrait fut peint

bien avant, entre 50 et 55... Il n'est peut-être pas question de bouche “physique”, à

moins qu'elle soit présage... La réflexion qui s'ouvre doit se nourrir d'éléments

biographiques, et approfondir les pistes que les nombres jalonnent.

2 - Fouquet maîtrise la géométrie sacrée. Pour autant, sa façon d'exposer les

valeurs montre de grandes différences avec les écoles de l'est et de la Renaissance, qui

finalement ne font qu'une à travers Byzance (plaque tournante). Un horizon s'ouvre

ainsi à l'ouest. Il faudra définir les influences flamandes de ce qu'il convient d'appeler

désormais à travers ce maître « L'École Française ».

Yvo Jacquier © Géométrie comparée | Le portrait de Charles VII par Jean Fouquet 11 sur 11