Joseph Jean­Baptiste FOURIER (1768­1830)

Et ignem regunt numeri

Les nombres régissent le feu

De lacheze Vladimir Das Noël

Sivahary Samson

Introduction : Le nom de Joseph Fourier est l’un des plus communément employés par mathématiciens, les physiciens, les ingénieurs. On parle en effet de séries de Fourier, coefficient de Fourier, intégrales de Fourier, transformée de Fourier, équation de Fourier, analyse de Fourier. Les séries de Fourier ont servi de point de départ ou de banc d’essai à toutes les notions fondamentales de l’analyse mathématique. L’équation de Fourier, qui régit la propagation de la chaleur est l’exemple d’une parfaite modélisation mathématique d’un phénomène physique.

Fourier est donc sans aucun doute l’un des personnages scientifiques les plus importants de ces derniers siècles. C’est également un personnage important du point de vue historique. En effet, il fut spectateur mais également acteur des nombreux évènements qui ont bouleversé la France et qui ont contribué à l’Histoire de notre Pays

C’est pourquoi notre TIPE comportera une importante partie biographique précédé du contexte historique et scientifique du XVIIIe et XIXe siècles. Puis nous présenterons les deux travaux essentiels de Fourier : les séries de Fourier et la Théorie analytique de la chaleur.

I) Contextes

1) Contexte historique

Fourier vécut pendant une période cruciale de l’Histoire de France, à savoir le Siècle des Lumières, la Révolution Française et les campagnes napoléoniennes. En effet, Fourier naquit en 1768 durant le règne de Louis XV (1715-1774). Ce dernier n’a que 5 ans à la mort de son arrière-grand-père, Louis XIV, le pouvoir est confié à un conseil de régence dirigé par le duc d'Orléans. Celui-ci a pris soin de faire casser le testament du roi défunt, qui limitait son pouvoir. L'époque est au relâchement des mœurs, au boom économique, à la spéculation.

Le règne de Louis XV est très brillant sur le plan culturel, avec l'apparition des philosophes des Lumières tels Voltaire, Rousseau, Montesquieu, Diderot et d'Alembert. Le plus grand problème de l'État est alors le déficit budgétaire chronique qui conduit à rendre le roi dépendant des financiers et des manieurs d'argent. Autre source de paralysie des systèmes de gouvernement, l'opposition des parlements, se posant en défenseur des lois du royaume et en

contre-pouvoir. S'opposant à toute tentative de réformes du royaume, elle contribue à la crise de la monarchie absolue sous le règne de Louis XVI.

Le petit-fils de Louis XV, Louis XVI arrive au pouvoir en 1774. Face aux pressions de la cour, des parlements et de la noblesse, il est incapable de prendre les mesures nécessaires pour combler une dette publique et un déficit budgétaire démesurés. Plusieurs autres facteurs expliquent les difficultés de la monarchie absolue. Malgré les tentatives de centralisation administrative, le pays est loin d'être unifié. Tout ceci entrave le développement économique de la France à un moment où l'Angleterre est en plein décollage industriel. Les impôts ne sont pas perçus de la même manière dans tout le pays. C’est pourquoi on parle de l’aube de la Révolution.

La période révolutionnaire commence vers 1787. À cette époque, la monarchie absolue est incapable de conduire les réformes. La période révolutionnaire se termine en 1814-1815, quand l'empereur Napoléon Ier est envoyé en exil d'abord à l'île d'Elbe et ensuite dans l'île de Sainte-Hélène. Napoléon Bonaparte est considéré, aux yeux de ses contemporains, comme le continuateur de la Révolution. Traditionnellement, les historiens distinguent deux temps majeurs pendant la période révolutionnaire : la Révolution française de 1789 à 1799 et la période napoléonienne (Consulat et Premier Empire) de 1799 à 1815.

L’année 1789 est une année riche en événements. Incapable d'établir un impôt universel, Louis XVI a convoqué les États généraux pour le 1er mai 1789 à Versailles. Les députés du tiers état parviennent en deux mois, et sans violence, à mettre fin à la monarchie absolue avec l’aide d'une partie du clergé et de la noblesse. Le 14 juillet 1789, les parisiens exaspérés par la crise économique et l'arrivée de troupes autour de Paris prennent d'assaut la Bastille. Cet événement est à l'origine de deux symboles de la République, la fête nationale et le drapeau tricolore. La Déclaration des Droits de l'Homme et du Citoyen est votée le 26 août 1789. Ce texte reconnaît l'égalité des citoyens devant la loi, consacre la souveraineté nationale et légitime le droit à la résistance à l'oppression. Avec le retour forcé du roi à Paris, les 5 et 6 octobre 1789, la Révolution semble avoir atteint ses buts : faire naître une monarchie parlementaire en rabaissant le prestige du roi.

L'hostilité du roi et d'une immense majorité de la noblesse aux changements est un autre élément fondamental de division. De nombreux nobles émigrent formant à la frontière allemande, une armée d'émigrés prête à intervenir. Louis XVI louvoie, espère la guerre et une défaite française pour retrouver son pouvoir absolu. Celle-ci est déclarée le 20 avril 1792 par la toute nouvelle assemblée législative issue de la Constitution de 1791, la première jamais votée en France. Les défaites des premiers combats et l'invasion du territoire national ont pour conséquence la chute de la monarchie, le 10 août 1792 et la proclamation de la République, le 22 septembre 1792.

À Paris, la nouvelle assemblée élue au suffrage universel pour voter une nouvelle constitution, la Convention, est occupée par le procès du roi à partir de décembre 1792 qui mènera à son exécution le 21 janvier.

Sous la pression des sans-culottes, les Girondins sont chassés de la Convention par les journées révolutionnaires des 31 mai et 2 juin 1793. Les Montagnards qui forment la partie la plus radicale de l'assemblée arrivent au pouvoir. Les Montagnards instaurent un gouvernement révolutionnaire. Le Comité de salut public est dominé par la forte personnalité de Robespierre. C'est aussi la première fois que l'économie nationale est presque entièrement tournée vers l'effort de guerre. Robespierre, qui veut renforcer la Terreur, alors que la situation ne le justifie plus, est renversé le 9 thermidor an II (27 juillet 1794) et exécuté le lendemain.

Les Conventionnels mettent fin à ce régime d'exception qu'a été la Terreur. Le Directoire est une période où les multiples élections et les coups d’État se succèdent.

La lassitude des Français induite par les désordres intérieurs permet au général Napoléon Bonaparte d'être favorablement accueilli, quand par le coup d’État du 18 brumaire (9 novembre 1799), il met fin au Directoire. Celui-ci est en effet très populaire depuis ses éclatantes victoires lors de la campagne d'Italie (1796-1798). Il bénéficie de plus de puissants appuis politiques lui permettant d’établir un régime plus stable, le Consulat.

Bonaparte fait rapidement rédiger une constitution, la Constitution de l'An VIII. Napoléon y est désigné comme premier consul, donc de fait à la tête de l'exécutif. Il a le pouvoir de nommer aux principales fonctions publiques et il a le pouvoir d'initiative des lois et du budget. Le pouvoir personnel de Napoléon Bonaparte est renforcé par la constitution du 16 thermidor an X (4 août 1802). Il est consul à vie et peut nommer son successeur de son vivant.

Napoléon renforce la centralisation administrative. À partir de 1800, il nomme à la tête de chaque département, un préfet et un sous-préfet par arrondissement.

Napoléon Bonaparte rétablit progressivement la stabilité financière. Il crée la Banque de France en 1800. En 1804, les Français acceptent par plébiscite que Napoléon Bonaparte devienne empereur héréditaire sous le nom de Napoléon Ier. Ce n'est qu'après la flamboyante victoire d'Austerlitz le 4 décembre 1805, qu'il envisage de créer un Empire continental.

Sous la domination de Napoléon Bonaparte, la France est presque sans arrêt en guerre, d’où l’expédition militaire et aussi scientifique en Égypte. En tout, près de la moitié de l'Europe est sous influence française. En 1812, pour contraindre la Russie à respecter le blocus continental qu'elle a rompu, Napoléon Ier l'envahit. Il perd 90 % de ses effectifs. Le désastre de la campagne de Russie en 1812-1813 précipite la fin du grand Empire. Une nouvelle coalition se noue contre la France. En octobre 1813, à la suite de la défaite de Leipzig, les Français doivent évacuer l'Allemagne. La Hollande et l'Espagne sont perdues. En 1814, la France est envahie. Napoléon abdique en avril et devient roi de l'île d'Elbe. Le frère du roi, le comte de Provence devient roi sous le nom de Louis XVIII. La France garde ses frontières de 1792. Napoléon Ier s'enfuit de l'île d'Elbe et revient au pouvoir à partir du 20 mars jusqu'au 18 juin 1815, date à laquelle il est définitivement vaincu à Waterloo et envoyé en exil dans l'Atlantique Sud, sur l'île de Sainte-Hélène.

D’autre part, les Bourbons reviennent au pouvoir lors d'une période appelée Première Restauration qui débute le 6 avril 1814. La Restauration est néanmoins abrégée par le retour de Napoléon en mars 1815, qui oblige Louis XVIII à fuir à Gand. Napoléon reprend le pouvoir pour une période de cent jours qui va durer jusqu'à la défaite de Waterloo du 18 juin 1815, puis est envoyé en exil dans l'Atlantique Sud, sur l'île de Sainte-Hélène. Louis XVIII s’installe définitivement sur le trône.

À la mort de Louis XVIII en septembre 1824, son frère Charles X lui succède. En 1830, le ministre Polignac publie quatre ordonnances réactionnaires. La publication de ces ordonnances le 27 juillet 1830 provoque une révolution dite des Trois Glorieuses en juillet 1830.

La révolution de juillet ne constitue pas une rupture avec le régime précédent. Le principal changement est le fait que la souveraineté nationale remplace la souveraineté de droit divin. Ce changement se manifeste dans le titre donné au roi : Louis-Philippe devient roi des Français, c’est-à-dire qu'il détient son pouvoir de la volonté du peuple, alors que ses prédécesseurs portaient le titre de « Roi de France ». Le drapeau tricolore remplace définitivement le drapeau blanc.

2) Contexte scientifique

Aux cours de la vie de Fourier, le dernier tiers du XVIIIe siècle et les trois premières décennies du XIXe siècle, la France a vu naitre et s’exprimer un grand nombre de savants. Ils ont laissé leur nom attaché à un théorème, à une loi, à un principe, à une expérience ou à une observation. De plus, on assiste à la création de nouvelles disciplines scientifiques telles que la chimie (avec Lavoisier), le transformisme (avec Lamarche) et la thermodynamique (avec Sadi Carnot).

A cette époque, il existe déjà sous la royauté, des organisations scientifiques telles que l’Académie des Sciences à Paris et seront créés, pendant la révolution, des établissements d’enseignement scientifiques et de recherche, tel l’Ecole normale ou l’Ecole polytechnique.

Fourier est alors le témoin privilégié de cette révolution des sciences. Il côtoie, au cours de son existence, un grand nombre de mathématiciens tels que Laplace, Monge, Lagrange, Legendre, Cauchy, et également des physiciens comme Coulombs, Haüy, Lazare Carnot et son fils Sadi Carnot, Biot, Ampère, Poisson, Arago et Fresnel.

Voici une description de plusieurs d’entre eux :

Pierre Simon Laplace (1749-1827) : Laplace est à la fois astronome, physicien et mathématicien comme il en fait la démonstration dans son « Exposition du système du monde », qui connait cinq éditions de 1796 à 1824. Il y expose la stabilité du système solaire tout en risquant une hypothèse quant à sa formation par le refroidissement d’une nébuleuse.

La construction toute entière du système solaire est effectivement établie dans « La Mécanique céleste » dont la publication s’étale de 1799 à 1825, c'est-à-dire toute la période d’activité de Fourier.

Savant encyclopédiste, Laplace apporte des contributions majeures à des problèmes aussi différents que la détermination et l’analyse du mouvement des planètes dans leurs détails les plus minutieux, le flux et le reflux des marées, la forme ellipsoïdale du globe terrestre, la détermination de la vitesse du son dans les fluides gaz, la capillarité, la théorie de la lumière, la calorimétrie, la résolution de certaines équations différentielles ou aux dérivées partielles, l’analyse asymptotique, etc.

Il dote les probabilités de leurs théorèmes les plus efficaces, et son interprétation prévaudra durant plus d’un siècle diffusée par un livre « L’essai philosophique sur les probabilités » de 1814, venant deux années après la « Théorie analytique des probabilités».

Vingt sept années plus tôt, il écrivait et résolvait l’équation dite du « potentiel » à laquelle son nom reste attaché, une équation qui attire Fourier à son tour.

Le face à face de Fourier et Laplace est l’un des plus subtils de l’histoire des sciences.

Pierre-Simon Laplace

Antoine Lavoisier (1743-1794) : A côté de travaux de géométrie analytique sur les développées, les rayons de courbure et la génération des surfaces par des équations différentielles, mais aussi des contributions en chimie et métallurgie, Monge rassemble en un corps de doctrine cohérent, des techniques graphiques utilisées par divers corps de métiers, tels que les tailleurs de pierre et les charpentiers.

Antoine Lavoisier

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) : Sa notoriété vient d’abord de recherches en arithmétique, exprimées dans son « Essai sur la théorie des nombres » de 1798, un ouvrage complété vers la fin de sa vie par une « théorie des nombres ».

Il a su aussi attacher son nom à la classification des intégrales elliptiques et les « Eléments de géométries », son manuel de l’an II connut un grand succès en organisant sinon un retour fidèle a Euclide, du moins à un formalisme bien ancré dans la représentation figurée.

Adrien-Marie Legendre

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) : Lagrange à joué un rôle direct dans la vie scientifique française après son installation à Paris en 1787. Un siècle après les « Principia » de Newton, sa « Mécanique analytique » formalise le principe des vitesses virtuelle et parvient à inclure tous les résultats connus. Il a aussi démontré le théorème de Wilson sur les nombres premiers, et un théorème sur la théorie des groupes porte son nom. Il a aussi contribué avec Lavoisier à élaborer le système métrique.

Joseph-Louis Lagrange

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) : Sa notoriété, il la doit autant à la théorie des fonctions d’une variable complexe qu’à la reconstruction de l’analyse. Enoncé dans un article qu’il publie en 1824 « Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires », le célèbre théorème des résidus apporte une manière inattendue de représenter une fonction par une intégrale en offrant de nouvelles perspectives géométrique à l’analyse même. Cauchy s’attache à donner une formulation conceptuellement rigide des nombreuses notations très simplement mais contradictoirement utilisées auparavant telles que fonctions, continuité, dérivée, limite. Il construit la théorie de l’élasticité linéaire, c'est-à-dire la mécanique des milieux continus, et sa présentation reste celle adoptée encore aujourd’hui.

Augustin-Louis Cauchy

L’abbé René-Just Haüy contribue largement, grâce aux mathématiques à l’émergence de la cristallographie qui prolonge la minéralogie. Il établit la liste des seuls axes de symétrie possibles dans un cristal, excluant en particulier les axes d’ordre cinq.

A cette époque charnière de mathématisation, apparaissent deux disciplines dont le développement est considérable : l’électromagnétisme et l’optique. La contribution des savants français se trouve être essentielle, tant sur le plan expérimental que théorique. La loi d’interaction des masses électriques ou magnétiques avait était suggérée par plusieurs d’entre eux au cours du XVIIIe siècle. Mais c’est à Coulomb qu’il revient de l’établir par une série d’expériences d’une remarquable précision, présentée à L’Académie royale des sciences entre 1785 et 1791.

Charles Coulomb

André-Marie Ampère (1775-1836) : Postérieurement aux travaux de Coulomb, surviennent ceux d’Ampère dont le nom est attaché à l’étude des champs magnétiques dus aux courants électriques. Il a commencé sa carrière par quelques contributions dans le domaine des probabilités et des équations aux dérivées partielles, mais il atteint la notoriété grâce à ses travaux en électrodynamique de l’automne et de l’hiver 1820. Il rationalise l’observation faite par Oersted de la création d’un champ magnétique par un courant : il énonce la règle dite « du bonhomme d’Ampère », qui crée une gestuelle géométrique en physique, découvre l’action réciproque de deux fils parcourus par un courant et construit aussi le galvanomètre qui porte son nom. Le « Mémoire sur la théorie des phénomènes électrodynamiques uniquement déduits de l’expérience » parait en 1827.

Ampère n’est pas que physicien et mathématicien car savant encyclopédiste, il porte un grand intérêt à la chimie. Il formule, tout comme l’italien Avogadro l’hypothèse suivant laquelle deux volumes égaux de gaz quelconques placés dans les mêmes conditions de température et de pression contiennent le même nombre de molécules.

André-Marie Ampère

Dans le domaine de l’optique, à côté de Biot, Malus et Arago, savants dont l’œuvre scientifique s’est étendu à bien d’autres domaines, domine Fresnel. Le nom de Malus reste attaché à la polarisation par réflexion découverte en 1809 et ceux de François Arago et de David Brewster à la polarisation chromatique découverte en 1811 qui d’une lame mica observée à travers un cristal de spath d’Islande fait apparaitre deux images colorées de nuances différentes.

Biot établit en 1812 la polarisation rotatoire, c'est-à-dire la particularité de certaines substances cristallines, liquides ou en solution, de provoquer une rotation de plan de polarisation de la lumière.

Jean-Baptiste Biot

Augustin Fresnel (1788-1827) : Fresnel apporte une contribution décisive à la compréhension des phénomènes lumineux. Pour ce faire, il réalise un très grand nombre d’expériences d’interférences et de diffraction, qu’il explique analytiquement par la composition d’ondes. Fresnel donne même des formules relatives à la réflexion et la réfraction des ondes.

Augustin Fresnel

La famille Carnot : La famille Carnot est d’abord représentée par Lazare. Dans ses « Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal » de 1797, ce dernier soulève, sans cependant les résoudre, les nombreuses difficultés de fondation ressenties à propos du calcul différentiel. Avant d’exercer des responsabilités de tout premier ordre, dans les domaines civil et militaire, il avait apporté une contribution à la mécanique par un « Essai sur les machines en général » publié en 1783, où il présentait des principes de fonctionnement très généraux pour les mécanismes les plus divers, en faisant en particulier intervenir la notion qui allait prendre le nom de travail.

Lazare Carnot

Avec Sadi, fils ainé de Lazare Carnot, une nouvelle physique s’installe. Dans son ouvrage « Réflexions sur la puissance motrice du feu » de 1824, Sadi Carnot donne l’une des formulations possible du second principe de la thermodynamique : « La puissance motrice de la chaleur est indépendante des moyens mis en œuvre pour la réaliser; sa quantité est fixée uniquement par la température des corps entre lesquels se fait, en dernier résultat, le transport du calorique ».

Sadi Carnot

II) Biographie

I – Les premières années à Auxerre

Fourier naît le 21 mars 1768, c’est le dixième de la famille Fourier qui comptera au final 13 enfants. Il est issu d’un milieu modeste (son père est artisan) et rien ne semblait alors destiner Fourier à sa grande carrière de mathématicien physicien. Il passe son enfance Auxerre (Yonne). Fourier perd sa mère à 8 ans et 2 jours plus tard son père le confie avec ses frères et sœurs à l’Hôtel de Ville avant de disparaître puis 2 ans plus tard sa mort est rendue publique.

C’est Joseph Pallais, ami de Jean Jacques Rousseau qui recueille le jeune Fourier âgé de 10 ans dans le pensionnat qu’il dirige. Fourier y recevra ces premiers cours de Français et de Latin. Après le collège, Fourier ne rencontre pas de difficultés à intégrer l’Ecole Royale Militaire d’Auxerre (grâce à ses brillants résultats, il parvient à être admis comme pensionnaire gratuit). Il y recevra un enseignement de bon niveau dispensé dans un cadre sévère.

Fourier se révèle un très bon élève aussi doué pour les lettres que pour les disciplines scientifiques, lesquelles se ramenant essentiellement aux mathématiques. En effet, les problèmes mathématiques suscitent chez lui enthousiasme et passion, il prolonge pour des études personnelles les éléments qui lui sont enseignés car les heures réglementaires de travail ne suffisent pas à satisfaire sa curiosité.

Fourier avance rapidement dans ses études. En 1782, à 14 ans, il termine son année de rhétorique. Il recevra plusieurs prix pour les matières suivantes : version latine, amplification latine, versification et musique vocale. Il est alors envoyé au collège Montaigu pour y suivre une seconde année de rhétorique ou il y recevra qu’un enseignement littéraire. Cependant sa réputation d’excellent élève n’est plus la même.

Fourier retourne alors à Auxerre mais pour participer à l’enseignement tant sa vie scolaire est trop courte. Le moment pour lui de décider pour son avenir arrive alors. Pour l’élève brillant qu’il peut être, il n’a le choix qu’entre les Armes ou l’Eglise. Il opte pour les Armes, Génies ou Artillerie cependant seuls les nobles sont autorisés a passer le concours d’entrée.

Il lui reste alors qu’une seule possibilité, entrer dans l’abbaye de Fleury à Saint-Benoît-sur-Loire (près d’Orléans). Il vivra là-bas de 1787 à 1789 ou il enseignera les mathématiques et consacrera ces deux années au travail et à la méditation.

L’année 1789 avance et les événements se précipitent ne laissant pas les institutions monastiques à l’abri des bouleversements que connaît la France. La décision prise par l’Assemblée Nationale de mettre les biens du clergé à la disposition de la Nation force Fourier à quitter l’abbaye et regagner ainsi Auxerre à la fin de l’année. En 1790, il devient professeur au collège d’Auxerre 1790 et à la fin de cette année le 9 décembre, il vient en personne présenter son travail sur les équations algébriques à l’Académie des Sciences de Paris ou sont présent Lagrange, Legendre et Monge (qui appréciera son travail). A 21 ans Fourier vient de finir enfin de se faire connaître du monde scientifique par une première contribution.

II­ Enseignement et engagement révolutionnaire

Si jusqu’en 1793, Fourier se consacre quasi exclusivement à son enseignement et quelques travaux de mathématiques, il n’en manifeste pas moins un intérêt pour la vie culturelle et participe en Avril 1790 avec une dizaine de jeunes gens de la ville issus du collège Auxerre à la création de la Société d’Emulation de la Ville d’Auxerre. On s’y intéresse aux arts, aux lettres mais également à la science. Cependant durera à peine 2 ans c'est-à-dire jusqu’en Juillet 1792. Après avoir enseigner les mathématiques et la rhétorique au collège d’Auxerre, Fourier est transféré à l’abbaye ou il continuera à enseigner la rhétorique, les mathématiques, l’astronomie mais aussi la philosophie et l’Histoire.

La première participation de Fourier au mouvement révolutionnaire d’Auxerre se situe au début de l’année 1793. En effet, prenant conscience des menaces des armées étrangères, Fourier sort du seul domaine des travaux, d’enseignement et de recherches qui a pratiquement constitué tout son univers auxerrois jusqu’à la fin de l’année 1792 et se fait remarquer lors d’une assemblée de la Société Populaire d’Auxerre, en employant toute sa conviction et son éloquence pour que le département de l’Yonne réponde à la levée des hommes demandée par la Convention. Fourier est alors sollicité à en devenir membre puis est nommé commissaire pour le recrutement du contingent que le département de l’Yonne doit fournir à l’armée.

Puis Fourier devient membre du Comité de surveillance (Comité révolutionnaire), il scelle alors son appartenance au mouvement Jacobin. Cependant, Fourier se sent mal à l’aise dans ce nouveau rôle, de plus à partir de Septembre 1793 les membres du Comité de surveillance sont chargés de surveiller non seulement les étrangers mais aussi une certaine liste de suspects. Il présente alors sa démission, celle-ci est refusée (de plus il est par la suite accusé de « terrorisme »). A la fin de l’année 1793, Fourier connaît une période particulièrement difficile. C’est un révolutionnaire engagé dans la France de l’an II ou les difficultés s’aggravent et ou les partisans et adversaire de la Révolution s’affrontent. Fourier,

membre actif de la Société Populaire d’Auxerre, prend résolument parti pour les sans-culottes, c’est devenu un « homme de parti », il est donc en danger. En effet de graves accusations sur le comportement de Fourier sont portées, un mandat d’arrêt est même lancé à son égard. Mais grâce à un remarquable réseau de solidarité qu’il a su tisser, Fourier parvient à s’en sortir et à réintégrer la vie auxerroise. Il reprend en effet ses fonctions d’enseignants mais continue à être membre du Comité révolutionnaire de la ville.

Puis Fourier devient commissaire bibliographe (conservateur de pièce d’arts) et en 1794 il sollicite la place de bibliothécaire toujours à Auxerre. Cependant sa requête n’a pas de suite.

Fourier ne se considère alors plus comme un scientifique mais comme un « homme de lettres », de plus son engagement politique venait de l’écarter pour plusieurs mois de l’enseignement et de ses recherches et a failli le mener à l’échafaud. En effet, en Juin 1794, Fourier est arrêté sur ordre de Comité de sûreté générale mais les solidarités qu’il avait su gagner réapparaissent aussitôt. Une délégation de citoyens auxerrois se rend à Paris pour réclamer la libération de Fourier. Ce dernier croit un passage expéditif devant le Tribunal Révolutionnaire - qui se trouve à ce moment débordé – mais Robespierre est brutalement accusé le 9 Thermidor puis guillotiné. Fourier est alors libéré en Août et reprend son activité au sein du Comité révolutionnaire d’Auxerre puis en Octobre 1794 il demande à être relevé de ses fonctions de membres du Comité révolutionnaire et opte pour la fonction d’instituteur salarié par la Nation.

La Convention décide alors la création d’une école généraliste afin de fournir des cadres techniques aussi bien pour l’armée que pour le civil (création de l’Ecole Normale à Paris). Une voie parisienne vient alors de s’ouvrir à Fourier qui était sans nul doute en période d’isolement scientifique. Fourier quitte donc Auxerre en cette fin d’année 1794 à 26 ans pour suivre les cours de l’Ecole Normale.

III­ De l’Ecole Normale à l’Ecole Polytechnique

On y retrouve comme professeurs de célèbres scientifiques comme Lagrange, Laplace et Monge. Ce dernier appréciera l’élève Fourier car celui-ci sait manier en science la rhétorique classique de plus il a pris l’habitude de la parole dans des sociétés politiques, il contredit alors quelques définitions existantes (celle du cercle par exemple). L’Ecole Normale qui favorise la recherche se nourrit alors de critiques. Grâce à Monge, Fourier apprend la géométrie et se rend compte que les mathématiques ne sont pas qu’une collection de résultats. De plus, Fourier se révèle être un bon élève passionné mais également doué pour les matières littéraires, ses lettres témoignent en effet d’une éloquence pressante, convaincante, révolutionnaire même si pas toujours efficace. Cependant, il ne montre pas d’intérêt particulier pour la rédaction de manuels ni pour l’histoire naturelle.

Son professeur de physique était Haüy, il lui enseignera l’étude des propriétés des solides et à la description des cristaux (cristallographie physique). Fourier découvre alors différents appareils élémentaires comme le thermomètre dont il se servira si souvent. Bien que l’optique, l’électricité et le magnétisme ne soient pas étudiés, une importance est donnée à l’acoustique. Fourier n’est pas un élève comme les autres, il est repéré dans l’auditoire, son nom apparaît à plusieurs reprises dans les journaux qui relatent les évènements liés à l’Ecole Normale. Il intervient dans les débats et porte le titre de « directeur des conférences de mathématiques ». Fourier découvre la technique de calcul de géométrie différentielle qui mesure la courbure, et apprend la géométrie différentielle des surfaces. Il devient alors peu à peu un apprenti chercheur en plus salarié par l’Etat.

Cependant des ratés importants se produisent dans le fonctionnement de l’école. Les cours sont de plus en plus désertés en raison du grand nombre d’étudiant qui se sentent dépassé par les cours ou ils ne parviennent pas à atteindre ce « savoir d’enseignant omniscient ». S’ajoutent à cela les circonstances politiques. L’établissement ferme alors officiellement le 18 Juin 1755.

D’autre part, dans la nuit du 7 au 8 juin 1795, Fourier est arrêté par le chef de la gendarmerie de la section du contrat. C’est le retour à la dure réalité de la politique et du monde révolutionnaire. Il lui faut en effet rendre des comptes au Jacobin. Fourier n’est pourtant ni isolé ni désemparé, il sait que le Tribunal révolutionnaire a été supprimé (le 31 mai 1795) ; de plus il a le soutien de son frère Jean Baptiste. Fourier sera finalement libéré.

En cette année 1795, les deux écoles Normale et Polytechnique ont beaucoup en commun. Cependant, il y a un manque d’enseignant à Polytechnique et on offre donc des postes même au plus jeune, Fourier en profite. En effet le 19 mai, soutenu par Monge, il intègre l’Ecole Polytechnique en tant que substitut, il est chargé de surveiller les élèves répartis dans les salles ou laboratoires et de superviser leurs travaux. Pas plus d’un mois plus tard, il se voit confier un cours d’analyse algébrique. Fourier est donc un enseignant spécialisé en mathématiques. Il fait figure de pionnier dans les leçons polytechniciennes. De plus on reconnaît dans ses cours l’esprit de Laplace et Lagrange. Ses élèves voient en lui un passeur d’idées. Il en profitera également pour publier son tout premier article à 30 ans (l’Analyse se Equation Indéterminées).

IV­ L’expédition d’Egypte : le savant et la politique

A la mi-mars 1798, savants et enseignants sont sollicités à une aventure militaire dirigée par le général Bonaparte à peine de retour de sa campagne victorieuse en Italie. Fourier est alors appelé à cet effet par le Ministre de l’Intérieur, il accepte cette mission et se rend à Toulon - accompagné d’autres scientifiques tels Monge, Arago et de ses élèves - qui est

le point de rencontre de l’expédition. Une fois sur place, l’ampleur et la destination de leur voyage est enfin révélée : l’Egypte.

L’embarquement a lieu le 19 mai 1798. Les savants présents connaissent alors des rivalités intellectuelles mais aussi humaines, Fourier jouera de son ascendant sur les plus jeunes ingénieurs. Cependant, il se crée dans la compagnie un bon esprit de solidarité. Fourier côtoie les jeunes ingénieurs mais également les plus âgés.

A son arrivée en Egypte, Fourier ne sera pas spectateurs des premières batailles puisque Bonaparte l’avait nommé responsable du Courrier de l’Egypte dés Août. De plus occupé par la politique, Fourier n’a plus de temps à consacrer à ses élèves. En effet, il oppose dans un de ses textes, les richesses naturelles de l’Egypte, la qualité de sa population et son antique grandeur à l’Etat actuel, dû à l’abandon des sciences et des lois.

Grâce aux excellentes relations entre savants et officiers, on assiste à de grandes découvertes comme celle du zodiaque de Dendérah. Puis, l’Institut d’Egypte – chargé à la rédaction du Mémoire sur l’Egypte - est constitué le 6 fructidor et Fourier y est nommé Secrétaire perpétuel, il se trouve alors propulsé à une fonction très importante et Bonaparte appréciera « l’esprit positif » de Fourier en plus de son talent d’enseignant, son éloquence dans les discussions et les controverses. C’est au sein de cet Institut que Fourier fera la description publique de son premier mémoire proprement mathématique (mémoire sur la résolution générale des équations algébriques). De plus, il apprend à diriger des recherches et des hommes. Il cherche aussi sa propre voie, sa propre originalité scientifique.

Cependant, Fourier ne poursuit pas plus sa formation qu’à Paris, il oscille d’un sujet à un autre de plus son poste le contraint à travailler sur les relations sociales. Il travaille néanmoins avec Monge sur les développées et les développantes de la Géométrie différentielle. Puis à la fin 1800, il rédige un mémoire sur l’analyse indéterminée. Le 1er Octobre 1800. Il prend également le rôle du « Gouverneur de la Basse Egypte » même si ce titre ne lui fut jamais donné officiellement. Fourier participera également à diverses expéditions archéologiques en Basse et également Haute Egypte comme celles à Gizeh et Sakhara en 1799. Il sera également nommé Président de la Commission des Sciences et des Arts présent au Caire. L’influence de Fourier devient sans aucun doute grandissante. Le 3 Septembre 1801, Fourier embarque de l’Egypte pour la France, il se sent, grâce à toute l’expérience que lui a apporté l’Egypte, capable de nouveauté. Il songe alors à retourner à la géométrie sachant que sa carrière à l’Ecole Polytechnique était désormais tracée.

V­ Grenoble, savant isolé, historien par devoir et préfet par fonction

Fourier débarque à Toulon le 19 novembre 1801, son seul souhait est alors de se consacrer à ses recherches. Bien qu’il soit déçu de ne pas avoir publié ses travaux de mathématiques, Fourier n’exprime aucun regret d’avoir pris part à cette longue expédition en

Egypte (prés de 3 ans) dont il souligne plutôt la grande richesse. Il gagne Paris au début 1802 et souhaite y rester. Il est par ailleurs professeur à plein titre à l’Ecole Polytechnique. Pourtant, en Février 1802, Fourier est désigné par Napoléon préfet de département de l’Isère. Il sera officiellement nommé qu’en fin 1805 après avoir renoncé à sa place d’Instituteur.

Ceci marque une fin de carrière scientifique et un choix définitif à la vie administrative même en politique. Fourier se sent alors exilé à Grenoble loin du centre d’activité scientifique de l’époque, Paris. Cependant, il parviendra à plusieurs reprises à s’absenter de Grenoble pour retourner à Paris afin de mener d’intenses activités scientifiques. Une fois entré en fonction, Fourier s’emploie immédiatement à ses nouvelles tâches. Ses qualités d’administrateur suscitent une certaine admiration de la part de Napoléon. Il a pour but de faire maintenir l’ordre et impulser le développement économique. C’est pourtant dans cette préfecture que Fourier établit l’expression la plus générale de l’équation qui régit le mouvement de la chaleur dans les solides et qu’il introduit le développement d’une fonction à l’aide des séries qui portent aujourd’hui son nom.

Fourier mènera également de grands travaux d’aménagement concernant écoles, manufactures, mines, usines, maisons d’arrêt, hospices et également en particulier le dessèchement des marias de Bourgoin sur lequel il consacre près de 11 années. Il entreprendra même l’aménagement d’une route liant Grenoble à Turin. Pendant l’accomplissement de son mandat préfectoral, Fourier se voit accorder 2 distinctions : la Légion d’honneur en 1804, et le tire de Baron de l’Empire en 1809. Cependant à la différence de Monge et Laplace, Fourier ne connaîtra jamais la richesse.

D’autre part, Fourier consacre jusqu’en 1809 une part importante de son temps à des études historiques mais également à la rédaction d’articles sur l’astronomie égyptienne. Il trouve alors à Grenoble un milieu étranger au devoir qui est sien, dans le domaine des mathématiques, de la physique et de l’égyptologie, auquel il s’est attaché. Il aidera en effet à la rédaction du mémoire La Description de l’Egypte. Fourier ne fait alors plus la différence dans ses manières de travailler comme savant ou comme préfet. Par ailleurs, il devient membre puis Président le 13 Décembre 1805 de la Société des Sciences des Lettres et des Arts de Grenoble.

Fourier participera également à la mise en place à Grenoble de 2 créations essentielles du système éducatif napoléonien, le Lycée et l’Université Impériale ensuite. Il défendra d’abord l’instruction gratuite puis il joue un rôle important dans le choix des professeurs pour l’Université Impériale. L’efficacité de Fourier est alors considérable.

En 1812, Napoléon subit de nombreuses défaites dont celle de Leipzig, de plus la France est occupé par les troupes autrichiennes en 1814. Grenoble subira même 38 jours d’occupation. A la suite de cela Napoléon est exilé à l’Ile d’Elbe. Fourier s’opposera ensuite au retour de l’empereur, la raison pour laquelle il sera révoqué le 3 mai 1815 de son poste de préfet et même menacé d’arrestation. Fourier regagne alors Paris.

VI) La consécration scientifique

Début mai 1815, Fourier décide de s’installer a Paris, accompagné de son serviteur Joseph qui, entré à son service à Grenoble restera à ses côtés jusqu’à sa mort.

Rentré à Paris le 28 juin, Napoléon abdique après le désastre de Waterloo et, le 8 juillet Louis XVIII s’installe à nouveau dans la capitale.

La mort de Lagrange ouvre une nouvelle époque pour la science en France.

Moins d’un an après son installation à Paris, l’occasion est donnée a Fourier de briguer une place à l’académie des Sciences lorsqu’un moi après la nouvelle organisation deux postes d’académicien libre se trouvent à pourvoir. Le 11 avril 1816, Fourier adresse par écrit sa déclaration de candidature au président de la première classe de l’Institut.

Il est ainsi élu le 27 mai 1816 pour le second poste à pourvoir à l’académie.

Un an avant la cinquantaine, Fourier peut enfin s’adonner totalement aux sciences, sans aucune tâche administrative. Il peut satisfaire son plaisir de l’écriture et, avec l’année 1818, fait moisson de publications ; « La Description de l’Egypte » et deux ans plus tard revient sur l’algèbre en publiant dans le « Bulletin de la Société philomathique » un texte « Sur l’usage du théorème de Descartes dans la recherche des limites des racines »

Ce n’est que huit ans après son élection qu’il fera paraître un premier mémoire, simple copie du manuscrit de 1811, et deux ans plus tard un second dont le titre est étonnant puisqu’il concerne la température « des espaces planétaires ».

Pour le volume des Mémoires de l’Académie daté des années 1819 et 1820 il propose un texte intitulé « Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides ». Ironiquement, la « Théorie analytique de la chaleur » paraît avant même la restriction imprimée du mémoire de 1811, ce livre est le titre de gloire de Fourier et il représente l’acmé de tous ses efforts depuis 1807. C’est en 1820 qu’il fait connaître ses résultats sur la chaleur du globe terrestre.

Par ailleurs, Laplace dans son « Exposition du système de Monde » voulait soumettre au calcul la compréhension de l’ensemble des phénomènes naturels.

Fourier aborde l’âge de la Terre d’une manière différente de celle de Buffon, il travaille avec les fonctions chargées d’écrire effectivement le phénomène du refroidissement du globe et conclut que la Terre est un solide en refroidissement. Il atteint ainsi le but qu’il s’était proposé : ramener l’étude d’un phénomène naturel à un problème d’analyse.

Installé à l’Académie, il ne se contente pas d’un siège et vise à accéder à la plus haute dignité : le poste de secrétaire perpétuel de la section mathématique. Après la mort du prédécesseur, composée de Laplace, Arago, Legendre, Rossel, Prony et Lacroix, une

commission est immédiatement désignée pour préparer une liste de candidats. Fourier est donc élu officiellement le 6 janvier 1823 en tant que secrétaire perpétuel. Solitaire, Fourier n’est pas isolé!

Au début de l’année 1823, le savant danois H.C Oersted se rend à Paris et propose d’effectuer avec Fourier un série d’expériences, c’est la seule coopération expérimentale que Fourier ait établie durant son existence. En quelques semaines, la longue série de mémoires qui fondent l’électrodynamique est élaboré notamment par Ampère. Un nouveau domaine de la physique est ouvert- il prendra nom d’électromagnétisme.

Si la vie privée de Fourier est aussi peu intervenue depuis la vie électorale de Grenoble, c’est qu’elle est pratiquement inexistante. A Grenoble, préfet historien et scientifique ; ce sont presque trois vies différentes cumulées en une seule.

Dans la « Théorie analytique », Fourier a totalement évité d’avoir à distinguer les différentes formes de propagation de la chaleur. C’est une fois la théorie faite qu’ultérieurement il porte intérêt à la chaleur rayonnante.

En 1826, Fourier gravit une nouvelle marche sur l’échelle des honneurs, il se porte candidat à l’Académie française et, à la surprise générale, son nom sort de l’urne. Il n’est toutefois pas le seul savant : Laplace et Cuvier y représentent déjà les sciences. On retrouve sur la fin de sa vie, un Fourier ingénieur qui entend faire connaître à l’Académie l’intérêt d’études appliquées.

Le travail d’administration et de coordination scientifique de secrétaire perpétuel l’accapare beaucoup, mais l’âge s’avance et les rhumatismes dont il souffre depuis son retour d’Egypte se font plus douloureux et commence à rendre son existence très pénible. La cause essentielle de ses souffrances est un anévrisme au cœur dont les premiers signes s’étaient manifestés à Grenoble. L’intérêt pour la science demeure chez lui et la maladie ne le tient pas éloigné de la vie académique ; elle est devenue son milieu de vie normale. Plus que de chercher à faire des phrases qui ne pourraient qu’imparfaitement traduire l’amour qu’il a toujours porté à la recherche en physique comme en mathématique, il n’est que de suivre la narration des derniers événements de sa vie.

A la séance du 17 mai 1830, le président annoncera avec émotion la disparition du secrétaire perpétuel.

Au lendemain de sa mort, Fourier est promu prototype du scientifique des temps modernes, savant positif par excellence, homme dont la volonté de connaître parvient à dépasser le progrès routinier pour atteindre à l’universel, et ainsi à l’immortalité.

III) Les travaux de FOURIER

1) Séries/Coefficients de FOURIER

Avec les célèbres « séries de Fourier » (introduites en 1822), Fourier forge l’outil mathématique nécessaire à la résolution de l’équation aux dérivées partielles qu’il a établie. Il jette ainsi les bases de ce qui est désormais connu sous le nom d’analyse de Fourier ; elle donne à écrire une fonction périodique, comme somme de fonctions trigonométriques sinus et cosinus, dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence de la fonction considérée, où elle représente une fonction par une intégrale.

Ainsi l’étude d'une fonction périodique par les séries de Fourier comprend deux volets :

. L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;

. La synthèse, qui permet de retrouver en un certain sens, la fonction à l'aide de la suite de ses coefficients.

Au-delà du problème de la décomposition, la théorie des séries de Fourier établit une correspondance entre la fonction périodique et les coefficients de Fourier. De ce fait, l'analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle façon de décrire les fonctions périodiques. Des opérations telles que la dérivation s'écrivent simplement en termes de coefficients de Fourier. La construction d'une fonction périodique, solution d'une équation fonctionnelle, peut se ramener à la construction des coefficients de Fourier correspondants.

L'expression mathématique

s'appelle une série de Fourier. On peut commencer par définir une expression semblable quand la somme est finie :

Définition. Un polynôme de Fourier (ou polynôme trigonométrique)est une expression de la forme

qui peut s'écrire

Les constantes a0, ai et b i (i=1,..,n), s'appellent les coefficients de Fn (x). Les polynômes de Fourier sont des fonctions - périodiques.

On utilise les identités trigonométriques

pour prouver les formules intégrales

(1)

pour n >0 ou n=0

(2)

pour m et n

(3)

Pour

(4)

pour

En utilisant les formules ci-dessus, on peut en déduire le résultat suivant:

Théorème.

On a

Ce théorème permet d'associer une série de Fourier à une fonction - périodique.

Définition. Soit f une fonction - périodique intégrable sur . On définit

La série trigonométrique

s'appelle la série de Fourier associée à la fonction f . Nous utiliserons la notation

L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction admettant T pour période, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :

avec les coefficients cn(f), appelés coefficients de Fourier de f, définis par la formule :

.

Le premier graphe donne l’allure du graphe d’une fonction périodique ; l’histogramme donne les valeurs des modules des coefficients de Fourier correspondant aux différentes fréquences.

Les séries et intégrales de Fourier constituent l’un des éléments importants de la formation des mathématiciens aussi bien que des physiciens aujourd’hui, et sont une référence constante dans les travaux de recherche les plus avancés. Le nom de Fourier domine les mathématiques contemporaines, encore bien plus qu’au début du XXe siècle. Il n’est guère de domaines de la physique fondamentale ou appliquées, donc de ce qu’il est convenu d’appeler le réel, qui ne fassent aujourd’hui appel à la transformation de Fourier. Elle est d’une utilisation constante en mécanique, optique, électronique, spectroscopie, cristallographie, et de manière générale dans le traitement des signaux.

Maxwell écrivait déjà au milieu du siècle dernier en se restreignant à la seule physique : « Le théorème de Fourier n’est pas seulement l’un des beaux résultats de l’analyse moderne, mais on peut dire qu’il fournit un instrument indispensable dans le traitement de toute question difficile de la physique moderne. »

En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques.

Considérer les coefficients de Fourier, faire la transformée de Fourier, sont des expressions qui font partie du langage courant et quotidien dans de nombreux laboratoires de physique, de

chimie, de biologie et aussi plus récemment de médecine. Tel est le cas par exemple des appareils d’imagerie médicale par résonnance magnétique nucléaire, nouveaux venus basés sur le principe d’une spectroscopie née il y a tout juste cinquante ans.

La transformée de Fourier rapide, utilisable sur ordinateur en permettant un gain considérable de place mémoire et de temps, a considérablement renforcé la vitalité de la transformée de Fourier en des domaines où son utilisation restait limitée.

2) Théorie analytique de la chaleur

Certes, dans une vie qui se déroule de la fin du règne de Louis XV aux derniers jours de celui de Charles X, Jean-Baptiste Joseph Fourier est devenu l’égal de nombres de savants comme ceux évoqués précédemment. Pourtant, on ne peut échapper au fait que le message scientifique qu’il a légué se trouve pratiquement tout entier dans une seule œuvre, « La Théorie analytique de la chaleur » publiée à Paris en 1822. C’est l’un des premiers chapitres de la physique théorique où sont établies les équations fondamentales de la propagation de la chaleur dans les solides, sous la forme qui est celle de leur présentation actuelle.

Fourier reprend l'analyse de Biot sur la nature de la chaleur, publiée en 1804, qui est correcte mais inachevée. Par un raisonnement de physique, Fourier complète ce travail et élabore l'équation différentielle gouvernant ce mécanisme. Il admet que la chaleur se dirige du chaud vers le froid perpendiculairement aux surfaces d'égale température (les isothermes) et ce, d'autant plus intensément que la température décroît plus vite. Dans un langage plus précis, on dit que la densité q du débit de chaleur est proportionnelle au gradient de la température T et à une constante λ appelée conductibilité thermique du matériau concerné.

(1)

La chaleur se propage dans des sortes de tubes (de section variable, mais partout perpendiculaires aux isothermes), comme un liquide dans un tuyau (en bleu foncé dans la figure ci-contre).

surfaces isothermes

Par ailleurs, la quantité de chaleur dQ contenue dans le petit volume est, si on appelle c sa capacité calorifique, égale à

(2)

Supposons ce volume élémentaire bordé par un tube de chaleur et deux fractions d'isothermes dont les surfaces sont respectivement dS1 et dS2 (voir figure ci-contre où ce volume est représenté en jaune).

Il n'y a pas d'échange de chaleur à travers les parois du tube. Seuls entre dans le volume le flux q1 dS1 et il en sort q2 dS2 . La différence entre ces deux flux, si elle n'est pas nulle, accumule de la chaleur dans le volume et fait varier sa température pour maintenir vraie la relation (2).

Or le flux total d'un vecteur à travers une surface fermée entourant un petit volume est égal au produit de ce volume par la différence des flux sortant et entrant. On écrit donc que la variation par unité de temps de la chaleur du volume est :

dQ/dt = q2 dS2 ‐ q1 dS1 = grad q dτ = c (dT/dt) dτ

En remplaçant, dans cette expression, la densité de débit q par sa valeur tirée de l'équation (1) et en remarquant que la divergence du gradient (gradient second) d'un vecteur s'appelle le laplacien (∆) de ce vecteur, on obtient finalement :

(3)

C'est l'équation de base du problème. Elle exprime ceci : en régime dit « permanent », la température du volume est constante, le bilan du flux de chaleur est nul, tout ce qui entre en sort ; on dit que le flux de chaleur est conservatif. L'autre régime est alors dit « variable » ; l'accumulation (ou la perte) de chaleur dans le volume sert à faire varier sa température.

Il s'agit maintenant de trouver la solution de l'équation (3). Celle-ci dépend fortement des conditions aux limites, c'est-à-dire de la forme du milieu propagateur, des températures sur les parois extrêmes ou des pertes sur celles-ci. Fourier trouve des expressions pour plusieurs situations proches de la réalité, ce qu'il vérifie par des mesures. En particulier, il a étudié la propagation de la chaleur dans un anneau métallique, une armille.

Il le chauffait en un point et notait l'évolution des températures dans le temps et en différents points de l'anneau.

Il l'a étudié également dans une barre longue, comme l'avait fait Amontos, un siècle plus tôt.

Un autre cas avait une très grande importance pratique, celui du mur, paroi plus ou moins épaisse destinée à isoler une source de chaleur ou, au contraire, d'assurer l'échange de chaleur entre deux fluides. Ce schéma est, en particulier, celui de l'écorce terrestre, dont la température croît avec la profondeur comme s'il y avait un feu intérieur ; il avait fait mesurer soigneusement ce phénomène dans les mines de la Mure. Mais la Terre s'échauffe également sous l'effet du soleil et on avait pu constater que les variations durant le jour et saisonnières d'ensoleillement se retrouvaient sous terre, mais avec une amplitude très faible et, en plus, avec un déphasage qui allait en croissant : en particulier, dans les caves à bonne profondeur (4 à 6 mètres selon le terrain) le retard est de 6 mois et la cave se trouve légèrement plus chaude en hiver qu'en été. Il en va de même pour l'eau de certaines sources. Tout cela va s'expliquer par la théorie de Fourier et par les solutions de son équation fondamentale.

Ainsi, l'équation ci-dessous donne la solution de l'équation (3) dans le cas d'un mur homogène de conductibilité λ, de capacité calorifique c et si sa face avant (située en x=0), est soumise à la température T(x=0) variant sinusoïdalement dans le temps avec une période angulaire et une amplitude a.

T = T0 + ae –µx sin (ωt –µx) avec µ = et T(x=0) = T0 + a sin ωt

Fourier avait également observé que la variation de la température dans ou derrière un mur était très vite sinusoïdale, quelle que soit l'allure de l'échauffement externe, s'il était périodique. C'était le cas encore dans une expérience simple où la source de chaleur passe cycliquement, mais brusquement, d'une valeur extrême à une autre. Il a été ainsi amené à soupçonner le rôle très important des fonctions trigonométriques et admettre qu'elles pouvaient être les constituants élémentaires de toutes les fonctions périodiques (dans la fig. ci-contre, les températures sont en ordonnées ; le 1er schéma symbolise l'évolution temporelle de la source de chaleur (en x=0) ; le 2e celle de la température à une profondeur x non nulle au sein du mur.)

C'est donc l'étude de la chaleur qui l'a amené à trouver des solutions à ce problème sous forme de séries trigonométriques, puis à faire l'étude de ces

séries pour elles-mêmes et à en trouver ensuite la généralisation, avec l'intégrale (dite de Fourier) s'appliquant même aux phénomènes non périodiques.

Fourier présente sa théorie en 1807 devant l'Académie des sciences, mais Lagrange prétexte d'un manque de rigueur - ce qui n'était pas fauxhttp://joseph.fourier.free.fr/chaleur.htm ‐ notes - pour enterrer le manuscrit et retarder sa publication par l'Académie. L'œuvre de 1807 était pourtant d'une importance considérable. Elle ouvrait un vaste champ d'étude pour les mathématiques et encore plus, pour la physique. Fourier représente à nouveau son travail à l'Académie en 1812 en réponse à un nouvel appel à concours. Cette fois-ci, l'analyse est plus rigoureuse, il utilise comme solutions non plus les séries, mais les intégrales qui portent maintenant son nom et il remporte le prix. Cette fois-ci sera imprimée la publication complète et définitive de sa théorie (1822). Elle porte en exergue la sentence : Et ignem regunt numeri, les nombres régissent le feu. Fourier avait domestiqué, peut-être pas le feu, mais du moins sa chaleur.

Il s'intéressera ensuite à l'équilibre thermique entre corps voisins. Fourier établit la loi dite en cosinus qui, seule, rend l'équilibre permanent et indépendant de la forme des corps en interaction.

Σ= A cosϕ dS dΩ

Le flux de chaleur Σ émis par un point est proportionnel à l'aire dS de l'émetteur, à l'angle solide dΩ dans lequel on mesure ce flux et au cosinus de l'angle sous lequel sont émis les rayons.

Conclusion

Joseph Jean-Baptiste Fourier fut un grand personnage scientifique comme historique, d’une part par ses découvertes tel que la théorie analytique de la chaleur ou encore les séries de Fourier, et d’autre part, par son rôle dans les évènements qui ont marqué un tournant dans l’histoire de la France tel que son activité révolutionnaire, son implication dans les guerres napoléoniennes, ou encore sa recherche du développement des esprits scientifiques lorsqu’il fut professeur à l’Ecole Polytechnique, école qui bénéficie encore d’une très grande renommée. Fourier est encore de nos jours un scientifique reconnu et les transformées de Fourier hantent encore aujourd’hui mathématiciens et physiciens, étudiants et chercheurs.

Buste de Joseph Fourier situé dans le hall d’honneur de l’Ecole Polytechnique

Gravure du nom de Fourier sur la face La Bourdonnais de la Tour Eiffel

Bibliographie/sources

Ouvrage Consulté :

‐FOURIER, Créateur de la Physique‐Mathématique, Jean Dhombres & Jean‐Bernard Robert (1998), Belin.

‐Encyclopédies UNIVERSALIS

Sites Internet :

‐http://revolution‐française.net/

‐http://www.academie‐sciences.fr/

‐http://home.nordnet.fr/

‐wikipedia (pour les illustrations)