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La Transformée de Fourier :
un outil mathématique pour la physique
1768 - 1830
Joseph Fourier
La Transformée de Fourier :
Plan
- Introduction, Historique
- La fonction « delta » de Dirac
- La transformée de Fourier
- La transformée de Fourier inverse
- Application :
la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
- Conclusion
un outil mathématique pour la physique
1768 - 1830
Joseph Fourier
Introduction
1768 - 1830
Joseph Fourier
cT
fT
f fT T
I
L
Conduction de la chaleur
L
TSkH T
Loi de la conduction
Q c m T TT
c k Tt
équation de diffusion
cos ( )x dx
?
cos ( )L
L
x dx
2L
cos( )x1
x
2L
cos( )x1
x
cos ( )L
L
x dx 1
sin( )L
Lx
1
[sin( ) sin( )]L L
sin( )2
L
sin( )
2LL
L
2 sinc( )L L
sin( )sinc( )
xx
x
0lim 1x
x
x
0 0
sin( )lim sinc( ) limx x
xx
x
Sinus cardinal
0 x
zero à l’
cos ( )L
L
x dx 1
sin( )L
Lx
1
[sin( ) sin( )]L L
sin( )2
L
sin( )
2LL
L
2 sinc( )L L
sin( )sinc( )
xx
x
Sinus cardinal
0 x
cos ( ) 2 sinc( )L
L
x dx L L
/ L0
/ L
2Lzero à l’
/ L0
/ L
cos ( )L
L
x dx 1
sin( )L
Lx
1
[sin( ) sin( )]L L
sin( )2
L
sin( )
2LL
L
2 sinc( )L L
sin( )sinc( )
xx
x
cos ( ) 2 sinc( )L
L
x dx L L
2L
2L
cos( )x
1
x
cos ( )L
L
x dx 1
sin( )L
Lx
1
[sin( ) sin( )]L L
sin( )2
L
sin( )
2LL
L
2 sinc( )L L
sin( )sinc( )
xx
x
cos ( ) 2 sinc( )L
L
x dx L L
/ L0
/ L
2L
2L
cos( )x
1
x
/ L0
/ L
cos ( )L
L
x dx 1
sin( )L
Lx
1
[sin( ) sin( )]L L
sin( )2
L
sin( )
2LL
L
2 sinc( )L L
sin( )sinc( )
xx
x
cos ( ) 2 sinc( )L
L
x dx L L
2L
2L
cos( )x0
1
/ L0
/ L
cos ( ) 2 sinc( )L
L
x dx L L
2L
2L
0/ L/ L
augmentation de L
2L
/ L / L0
diminution de L
2 sinc( ) ?L L
L
20
L
lim cos ( ) lim 2 sinc( )L
L LL
x dx L L
20
L
2L
sin( )sinc( )
axax dx dx
ax a
2
( ) lim sinc( )L
LL
( ) 1d
2 sinc( ) 2LL d LL
2 21
Fonction de Dirac :
1902 - 1984
lim 2 sinc( ) 2L
L L d
2 ( )
lim cos ( ) lim 2 sinc( )L
L LL
x dx L L
2L
( ) lim sinc( )L
LL
( ) 1d
Fonction de Dirac :
1902 - 1984
cos ( ) 2 ( )x dx
20
L
2 ( )
Fonction de Dirac :
1902 - 1984
lim cos ( ) lim 2 sinc( )L
L LL
x dx L L
2L
( ) lim sinc( )L
LL
( ) 1d
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) ( ) ?f dx
20
L
cos( )x1
x
cos ( )x dx
0 0
Fonction de Dirac :
1902 - 1984
lim cos ( ) lim 2 sinc( )L
L LL
x dx L L
2L
( ) lim sinc( )L
LL
( ) 1d
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) ( ) ?f dx
20
L
cos( )x1
x
cos ( )x dx
0
lim cos ( ) lim 2 sinc( )L
L LL
x dx L L
2L
( ) lim sinc( )L
LL
( ) 1d
Fonction de Dirac :
1902 - 1984
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) ( ) ?f dx
( )
( )f
0(0) ( )f d
20
L
( ) ( ) (0)f dx f
0
(0)f
1
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) ( ) (0)f dx f
0
( ) Résumé :
( ) 1d
( ) ( )i xf x e dx F
La Transformée de Fourier
exemple :
si( )
0 si
a x Lf x
x L
( )f xa
2L
xL L
( )L
L
i xTF f a e dx
1
L
L
i xa ei
( )TF f
1( ) i iL LTF f a e e
i
sin( )2
La
sin( )
2L
aLL
( ) 2 sinc( L)TF f aL
exemple :
si( )
0 si
a x Lf x
x L
( ) ( )i xf x e dx F
( )TF f
( )f xa
2L
xL L
( )L
L
i xFT f a e dx
1
L
L
i xa ei
1( ) i iL LTF f a e e
i
sin( )2
La
sin( )
2L
aLL
( ) 2 sinc( L)TF f aL
/ L0
/ L
2aL( ) ( )TF f F
TF
La Transformée de Fourier
( ) ( )i xf x e dx F
( )TF f
La Transformée de Fourier inverse :
( ) ?i xF e d
( ) xx iif x e x e dd
( )g x
( ) ( ) i xF f x e dx
La Transformée de Fourier
( ) ( )i xf x e dx F
( )TF f
( ) ?i xF e d
( ) xx iif x e x e dd
( )g x
)( () ii x xf x d dxeeg x
( )i x xe d
cos[ ( )] sin[ ( )]x x d i x x d
La Transformée de Fourier inverse :
La Transformée de Fourier
( )i x xe d
cos[ ( )] sin[ ( )]x x d i x x d
( ) ( ) ?f dx
20
L
sin( )x1
x
sin ( )x dx
0 0
( )i x xe d
cos[ ( )] sin[ ( )]x x d i x x d
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) ( ) ?f dx
20
L
sin( )x1
x
sin ( )x dx
0 0
( ' )x x
( )i x xe d
cos[ ( )] sin[ ( )]x x d i x x d
cos ( ) 2 ( )x dx
( ) cos[ ( )]i x xe d x x d
2 ( ' )x x
x0
( )x x
x
( )f x
0
( )
( ' )x x
x0
( )x
( )f x
La transformée de Fourier inverse : récapitulatif
( ) ?i xF e d
( ) xx iif x e x e dd
( )g x
)( () ii x xf x d dxeeg x
( )i x xe d
cos[ ( )] sin[ ( )]x x d i x x d
( )i x xe d
2 ( ' )x x
( ) (( ) 2 )f x x xx dg x
( ) 2 ( )g x f x( ) i xF e d
( )TF f
( )f x
x0
( )x x
x
( )f x
( ) 2 ( )i xF e d f x
( ) ( )i xf x e dx F
( )TF f
Transformée de Fourier inverse
1 1( ) ( ) ( )
2i xTF F F e d f x
Résumé :
1[ ( )] ( )TF TF f f x
Transformée de Fourier
1[ ( )] ( )TF TF f f x
( )TF f F
( )TF g F
La Transformée de Fourier est une bijection dans l’espace des fonctions
f F
TF
g G
1 1( )TF TF g TF F f
1 1( )TF TF f TF F f
g
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
0 0( )( , ) ik z i tE z t a e e
Laser : onde monochromatique
( ) ( )k k nc
z( , ) ?E z t
Laser
0
0 1 0 1 0
Laser : onde monochromatique
modulateur
( ) ( )k k nc
z( , ) ?E z t
1 1( ) ( ) ( )
2i tTF F F e d f t
( ) ( ) ( )i tTF f f t e dt F
TF temporelle :
( ) [ (0, )]A TF a t
spectre
Laser
0 0( )( , ) ik z i tE z t a e e
0
0(0, ) (0, ) i tE t a t e 0
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
0 1 0 1 0
modulateur
( ) ( )k k nc
z( , ) ?E z t
1 1( ) ( ) ( )
2i tTF F F e d f t
( ) ( ) ( )i tTF f f t e dt F
TF temporelle :
( ) [ (0, )]A TF a t
spectre
Laser
0 0( )( , ) ik z i tE z t a e e
0
0(0, ) (0, ) i tE t a t e 0
0(0, )
0
a for t Ta t
for t T
(0, )a t0a
2T t
0/T/T
( )A 0[ (0, )]T
T
i tTF a t a e dt
( )A 0[ (0, )] 2 sinc( )TF a t a T T
Laser : onde monochromatique
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
0 1 0 1 0( ) ( )k k n
c
z( , ) ?E z t
1 1( ) ( ) ( )
2i tTF F F e d f t
( ) ( ) ( )i tTF f f t e dt F
TF temporelle :
( ) [ (0, )]A TF a t
spectre
Laser
0 0( )( , ) ik z i tE z t a e e
0
0(0, ) (0, ) i tE t a t e 0
1(0, ) [ ( )]a t TF A
Laser : onde monochromatique
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
modulateur
0 1 0 1 0
modulateur
( ) ( )k k nc
z( , ) ?E z t
( ) [ (0, )]A TF a t
spectre
Laser
0 0( )( , ) ik z i tE z t a e e
0
0(0, ) (0, ) i tE t a t e 0
1(0, ) [ ( )]a t TF A
01
( )2
(0, ) i t i tE t eA e d
0( )1( )
2(0, ) i tA eE t d
Somme d’ondes monochromatiques 0
Laser : onde monochromatique
Application : la propagation d’impulsions lumineuses en fibre optique
00 ( )1( )
2(0, ) (0, ) i it tAE t a e dt e
Paquet d’ondes :
1
-1/3
1/5
-1/7
t
tt
t
(0, ) cos( )n n nE t A t
00 ( )1( )
2(0, ) (0, ) i it tAE t a e dt e
(0, )a t
0a
2T t0
/T/T
( )A
Propagation
z
( , ) ?E z t ( ) ( )k k n
c
monochromatique : 0( )(0, ) ( ) i ta t A e
0 0( ) ( )( , ) ( ) ik z i ta z t A e e
( )A
Laser
0
modulateur
0
Paquet d’ondes :
Propagation
z
( , ) ?E z t ( ) ( )k k n
c
monochromatique :
0 0( ) ( )1)
2, ) (( ik z i tA eE dtz e
00 ( )1( )
2(0, ) (0, ) i it tAE t a e dt e
0( )(0, ) ( ) i ta t A e
0 0( ) ( )( , ) ( ) ik z i ta z t A e e
Paquet d’ondes :
0 0 0( ) ( )1( , ) ( )
2i k k z i tE z t A e e d
0 0( ) ( )1)
2, ) (( ik z i tA eE dz t e
0 0 0( ) ( ) ( )k k k approximation d’ordre 1:dk
kd
0 001
( , ) ( )2
ik z i tik z i tE z t A e e d e e
0k 0k
00 ( )1( )
2(0, ) (0, ) i it tAE t a e dt e
0 00( )1( , ) ( )
2ik z i ti t k zE z t A e d e e
Paquet d’ondes :
0 00( )1( , ) ( )
2ik z i ti t k zE z t A e d e e
1(0, ) ( )
2i ta t A e d
0(0, )a t k z
0 00(0,( , )) ik z i ta t k e eE z t z
( ) ( )k nc
(0, )a t
t0
z
( , )E z t
0
0(0, )a t k z
t0 0k zT
g
zv
T
0
1
k
0
1dk
d
Conclusion
1768 - 1830
Joseph Fourier
La Transformée de Fourier est un outil mathématique puissant
naturellement adapté à la description de la nature
- Optique et électromagnétisme
- Thermodynamique
- Mécanique quantique
- Dynamique des fluides
- Théorie de l’information
- etc…
0
( )A
Laser
0
modulateur
