Josèphe Flavius

Règle générale pour les deux tours:

Dans un paquet de cartes, nous supprimons une carte sur deux sachant que la première est épargnée.

Premier tour:

Choisir un nombre de cartes entre 10 et 20:

Quelle sera la survivante?

Comment procéder pour connaître la dernière carte survivante?

n= nombre de cartesJ(n)= numéro de la carte survivante dans le paquet

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20

J(n) 5 7 9 11 13 15 1 3 5 7 9

Explication par les puissances de 2

De manière générale:• Soustraire la plus grande puissance de 2• Multiplier par 2• Ajouter 1

En binaire:Cela revient à déplacer le premier 1 pour le mettre en dernière place.

Le BinaireQu'est-ce que c'est?C'est l'écriture des nombres décomposés en puissance de 2Tout nombre s'écrit à l'aide des chiffres 0 et 1.Exemple: 11001 = 1x2 + 1x2 + 0x2 + 0x2 + 1x2 = 16 + 8 + 1 = 25

014 3 2

Prenons un paquet de 25 cartes. Quelle sera la carte survivante?

• 25 - 16 = 11• 11 x 2 = 22• 22 + 1 = 23J(25) = 23

En binaire:25 = 11001 => 10011 = 23

Second tourPrenons un tas de 8 cartes ordonnées et numérotées de 1 à 8.

( 1 2 3 4 5 6 7 8 )

( 1 5 7 3 9 6 4 2 )

( 1 9 4 7 2 6 3 5 )

L'explication mathématique

On représente les déplacements effectués, la permutation à l'aide de la notation suivante où chaque colonne montre la valeur d'une carte avant et après battage:( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 1 5 7 3 8 6 4 2 ) Le 1 et le 6 ne bougent pas.Le 2, 5 et 8 échangent leur position entre eux ainsi que le 3, 7 et 4.Ce sont deux permutations circulaires.

Combien de fois devons-nous mélanger les cartes pour revenir à l'ordre de départ?

Prendre le plus petit commun multiple (PPCM) des permutations circulaires.Exemples: Pour 8 cartes: PPCM = 3

Pour 10 cartes : PPCM = 21( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) ( 3 10 5 9 1 8 4 7 2 6 )