This article was downloaded by: [Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg]On: 27 October 2014, At: 04:53Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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K0 d'une limite inductive d'algebresmatriciellesAnnie Vogel aa Institut de Mathématiques , 2 rue de la Houssinière, 44072,NantesPublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Annie Vogel (1987) K0 d'une limite inductive d'algebres matricielles,Communications in Algebra, 15:10, 2157-2177, DOI: 10.1080/00927878708823528

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KO D'UNE LIMITE INDUCTIVE D'ALGEBRES MATRICIELLES

Annie Vogel Institut de Mathematiques

2 rue de la Houssiniere 44072 NANTES Cedex

Soit R un anneau. Alors l'ensemble des classes d'isomorphisme

de R-modules projectifs de type fini definit un cdne dans lLe groupe

de Grothendieck Ko(R). Ce groupe devient donc un groupe ab6lien or-

donne. La classe CRI est un element positif de Ko(R) et tout 816-

ment positif de ce groupe est major6 par un multiple entier de CRI .

On dit que CRI est une unite d'ordre de Ko(R).

I1 est facile de voir que, si K est un corps, et si R est

une K-algsbre matricielle -i.e. un produit fini d'anneaux de matrices

5 coefficients dans K- K (R) est un groupe simplicial, c'est-a-dire

un groupe isomorphe 5 un produit fini de copies de Z ordonne par

l'ordre produit. De plus, on montre que l'anneau R est entierement

determine, a isomorphisme pres, par la donnee du couple (K (R),[R]).

Si l'on suppose maintenant que R est une K-algebre ultramatri-

cielle, i.e. limite inductive d'une suite de K-alggbres ma,tricielles,

alors le resultat precedent se generalise et on montre qu'un groupe

abelien ordonne G est le groupe de Grothendieck d'une K-algebre

ultramatricielle si et seulement si G est limite inductive d'une

suite de groupes simpliciaux [ ~ ] [ 2 ] . On dit alors que G estun groupe

ultrasimplicial.

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Copyright O 1987 by Marcel Dekker, Inc.

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Mais cette condition est en general difficile 2 verifier. I1 est

clair que Q est ultrasimplicial. On montre dgalement que le sous-

groupe Z e I r2 de IR est ultrasimplicial [11[5! mais la demons-

tration ne se generalise pas 2 un sous-groupe quelconque de IR.

Le but de cet article est de donner une caracterisation des

groupes ultrasimpliciaux : on montre qu'un groupe abelien ordonne est

ultrasimplicial si et seulement si il est non perfore, interpolable

et denombrable.

On en deduit par exemple que tout sous-groupe denombrable de IR

est ultrasimplicial et, d'aprgs les resultats sur les c*-algsbres, que

tout groupe abelien ordonne non perfore interpolable denombrable est

le groupe de Grothendieck d'une AF-alggbre, unique 2 isomorphisme

pres CLI [ZI. On donne dgalement une g6neralisation des resultats precedents

dans le cas non denombrable et on montre que, si G est un groupe

abelien ordonne non perfor6 interpolable de cardinal au plus xl , il est le groupe de Grothendieck d'une K-algebre limite inductive

filtrante d'anneaux matriciels 5 coefficients dans K . Soit G un groupe ab6lien ordonne. Pour tout couple (a,b) d'i.18-

ments de G tels que a s b , on note [a,b] = {XEG , a<x<b) .

Rappelons les definitions suivantes : G est dit non perford si

V x c G t t n ~ l N n > o n x t o => x 2 o

G est dit interpolable s'il satisfait les conditions dquivalentes

suivantes [A] :

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ii) V X E G V y c G

Soit u un element de G . On dit que u est une unit6 d'ordre

alors immediatement que, si G possede une unite d'ordre, tout 616-

ment de G est difference de deux elements positifs de G .

On note G+ le cBne des elements positifs de G . LEMME 1.- SoLt G un gfioupe ab&en intehpoLab8e. Soient x eA y

deux ELEmem de G+ e;t q un ent ien natwrel tel que o : ~ x sq y . ALo-zl, -ie e d t e ded lLEmenta ao, . . . ,a de G* teed que

'=I

Demonstrat ion. La demonstration se fait par recurrence sur q . ------------- Si q = l , il suffit de poser a =x = y-x . Supposons la pro-

0

priete vraie pour q b 1 . Soient x et y deux 616rnents de G+ tels

que o s x 5 (q+l) y c'est-A-dire o i x l qy + y . Le groupe G 6tant interpolable, il existe deux 616ments x' et x"

tels que x = X' +x"

0 5x" iy

D'aprSs lthypothSse de recurrence, il existe des elements Bo,B1, ..., Bcl

+ de G tels que

x' = qBo + (q-1) B1+. . .+6q-1+~6q

y = B0+B1+ ...+ 6 9

On a alors oSx" -<Bo+B1+ ... +eq et, d'apres l'hypothese d'interpola-

+ bilite, il existe des 616ments Yo, ... ,Yq de G tels gue

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2160 VOGEL

On en d6duit

x = (q+l) yo+q (8,-yo+yl) + (q-1) (B1-y1+y2) +. . .+ (Bq-l-yq-l+~q)

Y = y0+(y1+Bo-yo) +(y2+B1-yl)+. . .+(yq+Bq-l-~ql)+B -Y q ) ce qui acheve la demonstration du lemme.

LEMME 2 .- S o d it un gtroupe abEfien, nun pe.t~ohE, irtte,tpo&ble.

so ien t x1 ,x2.. . . .xm.y1,. . . 'Y, d e n ELEtnentr de G+ . On buppobe pu'iP

A l o M ; e exinte d e n ELEmentr zl , . . . , z d e G+ eA d u evtt . im n d u -

Demonstration. Le cas m = l , pl =1 ------------- n = l n'est autre que le cas du

lemme 1.

Supposons m = l , p l = l , n quelconque. On note alors n

On a donc o 5 x 5 1 qj y j . Par hypothese, on peut trouver n 616- j=l n

ments xi,. . . ,x, de G+ tels que x = 1 xj et Y j<n Xj 'qjyj. j=1

D'aprGs le lemme 1, il existe une famille a dt616ments de 13

+ G tels que

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LA L I M I T E D E S ALGEBRES M A T R I C I E L L E S

et le lemme est ddmontre dans ce cas.

Cas ----------- general . La demonstration se fait par recurrence sur (p,m), ofi

p = supipi , 16i6m) , Itensemble des couples (~,a) (rant ordonne

par l'ordre lexicographique. n

Supposons m > l . Par hypothese, on a p 1 1 x + . . . + p x 2 C qjYj n j=l

5 T qjyj . D'apres l1hypoth6se de recurrence, il existe d'oC p x j=l +

des elements zl, ..., z de G et des entiers naturels (ak)k<r et

(bjk) 1 < j 6 n 1 5 k 5 r tels que r

'd j s n

V k s r

On a donc

On peut appliquer l'hypothese de recurrence

+ Zlr -.. tZr de G : il existe des elements

aux elements :K l,...tX m-1 ' ul, ..., us de G+ et des

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On a alors : S

n Si m = 1 ; alors on a p x < C

j =I qjyj ' 'Our 4.

l'entier n. par : n.-1 <L n d'oii p x 3 3 P j

n x <C n,y, . D1aprE?s l'hypoth&se, il existe

tout indice j , on definit n

5 C p n y soit j=l j j

des elements x l , ..., x n

DtaprE?s le lemme 1, on peut alors trouver des 6lLments (aij) , +

1 < j <n , 1 <i <n , de G tels que j n

d'oii

Par definition de n , on a pn.-q. Sp-1 . Donc d'aprbs l'hypothise j 3 I

de recurrence, il existe des 6lements zl, ..., z de G+ et des

entiers (ajk) et (bijk) tels que

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On en deduit

Ce qui acheve la demonstration du lemme.

On en dPduit :

C O R O L L A I R E 3.- S a d G un ghaupe ohdonn& non p ~ d o h & inten.pokkble.

teA que m

V i l S i < n x = C aikzk i

k= 1

On a C A.x = C (-Xi)xi . D'aprPs le lemme 1, il existe des 1 i

ic1 i E J +

616ments z l , . . . , zr de G et des entiers naturels (aik)r tels que r

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d'oii W k 1 <k Sr C Xiaik 50 . Soit K = {k,l <k S r i=l

n Pour tout element k de K , on pose c = - Z Aiaik .

i=l

est un entier nature1 et on a :

Or les elements zl, ..., z sontdans G' donc V ~ E K n

d'oii W k E K ck = O donc V k E K C Xiaik = o et le i=l

VOGEL

r Zk f 01

Alors c k

CkZk = O

corollaire

est dernontre.

On rappelle qu'un groupe abelien ordonne est dit simplicia1 de base

Xl,. . . ,Xn si G est un groupe ab6lien libre de base xl, ..., xn et si les Qlements positifs de G sont les combinaisons lindaires 2

coefficients dans N des elements de la base.

On se place desormais dans la categorie suivante :

- Les objets sont les couples (G,u) oii G est un groupe abelien

ordonne et u une unit6 d'ordre de G . - Un morphisme f : (G,u) -t (G1,u') est un morphisme de groupes

croissant et tel que f(u) = u' .

LEMME 4.- Soient G un gnoupe ohdonne non pe~6otE intmpo&bLe e,t u

unc un i t& d104&e de G . Soiertt L un gtoupe n i m p f i c i d , v une

un i t e d lo tche de L CX a un muhphAme de (L,v) dam (G,u) . .%kt a Un g&m&vLt de Ker a . ALohn i.i? ieXiL&? un g4oupe b i m p f i c i d

L' , une uni te d'okche vt de L' , un mohpkiome a t de (L~,V')

dam (G,u) eRunmohphAme f de (L,v) dam (L',v') teh yue Dow

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Soit el, ..., en la base simpliciale ae L . Alors il existe des en- n

tiers strictement positifs p1,p2,.,.,pn tels que v = C piei . I1 i= 1

existe des entiers relatifs Xl, ..., X tels que a = C Aiei . ~lors n i=l --

a(a) = Z X2a (e,) = o . ~'aprgs le corollaire precedent, il existe I I

i=l + des elements z i t . . . ,z de G et des entiers aik 2 o , 1 5 k 5 r ,

r tels que

Soit (L1,v') le groupe simplicia1 de base ( E ~ ) ~ ~ ~ , 051 ::

n on verifie imm6diatement que V kcK C piaik > o et donc v' est

i=l une unit6 d'ordre de L'.

Soit a' l'application de (L' ,v' ) dans (G,u) definie p,ar

Alors a'(vl) = C p a. z = C p.a(e.) = a( C p.e.) = u . De plus i r k k i=l 1 1 1 1 i,k i= 1

a' est croissante. Donc a' est un morphisme.

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2166 VOGEL

Soit f l'application de (L,v) dans (Lt,v') d6finie par

On verifie imm6diatement que f est un rnorphisme. De plus :

n n

Donc a'of = a ce qui achsve la demonstration.

L E M M E 5.- S a L t G un ghoupe ab2LLen nan pehdoht intehpolable. S a a u

une uvLit2 d'otdhe de G . Saient (L,v) un ghvupe b.imp&dd e.2 a

un mohpkinme de (L,v) dam (G,u) . SaLt s sne ppcvttie d inie de G'.

Pour tout entier i , I 5 i n

u = C pixi et, u 6tant une i=l

x de S , il existe un entier

Demonstration. Soit el, ..., e la base simpliciale de L et ------------- n n

p1,p2,...,pn les entiers strictement positifs tels que v = C piei. i=l

sn , on pose a (e. ) = xi . Alors on a unit6 d'ordre de G , pour tout 6Mment

n n tel que o Sx S n C pixi .

i= 1 S 6tant une partie finie de G~ , il existe un entier q tel que

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LA LIMITE DES ALGEBRES MATRICIELLES 2167

Le groupe G dtant interpolable, pour tout element x de S , +

il existe des elements yl, ... lYq

de G tels que

9 x = C yi

i=l n

V i 1 < i < q y i < C x i i=l

Soit C l'ensemble des yi ainsi obtenus, pour tous les elements n

x de S . Alors C est une partie finie de G+ majoree par C x i i=l

et S est contenue dans le cdne positif engendre par C . Posons C = {y I,...,y,) . Soit Eo l'ensemble des x :h '

Supposons avoir construit les ensembles E1,E2, ..., E tels que : P- 1

1

- la somme des 616ments de Ei

- l1e16ment y. defini ci-dessus

- tout element de E. soit somme de deux elements de Ei+l n

soit C xi i= 1

soit une some d16l&ments de E..

Posons E = {xi) . Par hypothese, P-1

des el6ments y ; de G+ tels que

o <y! <x! et I I

Posons alors E = {y! , x!-y!} . On P 3 3 3

on a Yp < C x ' . Donc il existe j

yp = C yj . construit alors par recurrence

une suite Eo, ..., E d'ensembles possedant les propri6tes Qnumerees m

ci-dessus. Par construction, C et donc S , est contenu dans le c6ne

positif engendre par Em - Soit L 1 le groupe abelien libre de base Em , et soit a'

l'application de L' dans G definie de manisre evidentce sur la

base de L' . Soit ei un element de la base de L . Alors a(ei) = x est some i

dtQ1Qments de E . Appelons f(ei) la somme dans L' des mdmes m

elements. On definit ainsi une application croissante de L dans L'

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2168 VOGEL

et en posant v' = f(v) , f est un morphisme de (L,v) dans (L' ,v')

qui a les proprietes demandees

Demonstration. Supposons (G,u) ultrasimplicial. Alors ------------- (G~u) = lim (Lnrun) 06 (Ln,un) est simplicial. Pour tout entier +

n , Ln est ddnombrable, donc G est denombrable.

Les deux autres proprietes sont des consequences immediates

des proprietes correspondantes des groupes Ln . Reciproquement, supposons G d&nombrable, non perfore et interpolable.

Soit {yn , n E Dl} l'ensemble des elements de G+ , y etant 0

l'unite d'ordre de G . Soit ( L ~ , u ~ ) un groupe simplicial isomorphe a (Z,l) . On

pose a. (1) = u . Supposons avoir construit un diagramme commutatif :

oB pour tout i 5n-1 , (Li,u,) est un groupe simplicial, a et fi i

des morphismes tels que

+ tl i S n-1 yi E cci (Li)

'd i 2 n-2 Ker a c Ker fi+l i

Ker cc , sous-groupe de n- 1 Ln-l , est de type fini, engendre par des

elements alp'..ra . P

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D'aprSs le lemme 5, il existe un groupe simplicia1 (L",vt) et

+ des morphismes f et a' tels que y 6 a' (L' ) et le diagramme

commute.

D'aprgs le lemme 4, il existe pour tout entier i < p un groupe

simplicia1 (L;,v;) et des morphismes f; et a' i tels que le dia-

gramme suivant soit commutatif :

et que f! of;-l o ... of(a.) = o . Posons (Lnrun) = (L',v') , P F1

i = f a o o . . . o ii of , a = at . alors yn s a' (L'+) . n P p-1 n P

+ + t, Or a'(L' ) = (a'of'o ... ofi)(Lt ) = an[(fWo ... of;)(^' )I

P P P + +

d'oh a' (L' ) c an(Ln) . D'autre part, pour tout i <p , on a

f (a.) = f' of' o... of; of(ai) = o dl06 Ker a CKer f n I. P P-1 n- 1 n

On construit donc ainsi par recurrence une suite

On en d6duit un morphisme c : lim (Ln,un) -> (G,u) . Soit x un 616ment de G ; G admettant une unit6 d'or'dre, x

est difference de deux 616ments positifs y et yq de G . Par P

construction, x appartient 5 Im a , pour tout entier n>sup(p,q). n

Donc E est surjectif.

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Soit a un element de lim (L ,u ) tel que €(a) = o . Alors a + n n

est reprGsent6 par un element ln de Ln et an(ln) = o . Alors fn+*(Ln) = o . Donc a = o et E est injectif.

Soit x un 616ment de G+ . Alors il existe un entier n tel

+ + que x = y . Par construction x ean(Ln) . D'oii x e ~Clim Lnl . n

Le morphisme E est donc bijectif sur les elements positifs de

(G,u) ; E est un isomorphisme et (G,u) est ultrasimplicial.

THEOREME 7.- Soient G un yhoupe abEfien o.tdonnE eA u une un i t e

d'ohdke de G . A l o a (G,u) at hLtite i ~ d u o t i v e de ghoupen him-

pfieiciaux h i eA neuRernen2 n i G at non peh60~5 eA i n t a p o h b l e .

Demonstration. Supposons (G,u) limite inductive d'un systeme

f iltrant (Li ,ui) iEI de groupes simpliciaux. Alors, on v6rifie

facilement que, les (Li,ui) 6tant non perfores et interpolables, il

en est de m6me de (G,u) . Rdciproquement, supposons (G,u) non perfore et interpolable.

Demontrons tout d'abord le lemme suivant :

LEMME 8.- S o d it un now-ghoupe dPnomb4abLe de G . ALohb, AX

ex io te un now-ghaupe dEnombaable r t de G Ael que

- r c r t

- u Ei-'

- r' non pe~do1~5 e.-t i n t m p o h b l e .

Soit A le sous-ensemble de G3 d6fini par :

3 A = {(x,y,z) E G /O SX o 2 y o < z <x+y)

Pour tout sous-groupe i- de G , on pose

A(r) = { (x,y,Z) E A , X E r , y E r , Z E rl

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LA LIMITE DES ALGEBRES MATRICIELLES

Soit 4 une application de A dans G telle que

Pour tout sous-groupe T de G soit @(T) le sous-groupe de G

engendre par T , u , $ (A(T) ) . Par construction, on a T c @ (T) et

u E @ (T) . Si r est denombrable, alors @ (r) est denombrable.

D'autre part, d'aprgs le choix de $I , on a la propriete suivante :

Soit r ' = u @"(r) . On Qvidemment P c T' , u E T' et r' est nc W

denombrable si r l'est.

D'autre part, soient x , y , z trois Clements de r'+ tels que

0 < z cxty

Alors il existe un entier n tel que x ,y et z soient elements

de a n ( r ) et 11in6galitQ ci-dessus montre que x , y et z appar-

tiennent 2 ACO~(T) 1 . I1 existe donc deux elements x' et y' de

an+' (i") tels que o < x t <x o 2 y' < y z = x'+yt ce qui montre

que T' est interpolable ; T' est evidemment non perfor6 puisque G

l'est. Donc le lemme est d6montr6.

Soit J l'ensemble ordonne des sous-groupes d6nombratbles de G

qui contiennent l'unite d'ordre u , et qui sont interpolables. Le

lemme ci-dessus montre que J estun ensemble filtrant supgrieurement.

Notons ddsormais {r , j E J} cet ensemble avec ri c r <="> i < j . j j

Pour tout Qldment j de J ,.il existe, d'apres le thQor&ne 6, un

systeme inductif de groupes simpliciaux

et m isomorphisme lim (L ) -t (Tj,u) . Quitte 5 extraire, pour -+ n j,ntUj,n D

ownl

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27

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4

2172 VOGEL

chaque j E J , une sous-suite de la suite L , on peut supposer j, n

que l'on a V j E J Ker(L. -> l'.) cKer f. , ,n+l . Posons I = J x N 1rn 3

et definissons sur I la relation suivante : (j ,p) 5 (k,q) si et

seulement si j = k et p <q ou j <k , q 2 1 et il existe un

morphisme 9 rendant le diagramme suivant

commutatif.

Montrons que I est ainsi un ensemble ordonne. La seule proprietd

non immediate est la transitivite de la relation definie ci-dessus

Supposons (j lp) 5 (klq) et (k,q) < (1,r) . Si deux des trois indices j , k et R sont egaux, la conclusion est immediate. Supposons donc

j <k <t . On a alors le diagramme commutatif

et l'application $ ofktq o 9 rend cornmutatif le diagramme voulu.

Pour montrer que I est un ensemble filtrant, il suffit de

v6rifier la propri6t6 suivante : V (j ,p) €1 V k 2 j 4 n E IN 'd q 2 n

(j,p) < (k,q). Soient j et k deux indices tels que j <k et soit

p un entier. On a le diagramme

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LA LIMITE DES ALGEBRES MATRICIELLES 2173

Or L est libre de type fini et admet une base finie qu.i engendre j ,P

le cane de ses elements positifs. come rk est la limite inductive

des groupes ordonnes Lk,q

, il existe un entier n et unse applica-

tion croissante f de L dans L tels que le diagramme j ,P k,n

soit commutatif.

Alors les elements f (uj ) et u ont mgme image u dlans IP k, n rk '

Donc f (u. ) et u ont m&me image dans Lkrn+l . On a donc

1 tP k,n

j p ) 5 k t ) pour tout entier q Zn+l . Soient (j ,p) et (k,d

deux 616ments de I tels que ( j ,p) 5 (k,q) . Si k = 1 , alms P sq

et il y a un morphisme evident (L. ,u. ) + (Lkrqruklq) ., Si j <k, 3rP 3rP

on a le diagramme

Soient $ et 4 ' deux morphismes rendant le diagramme ci-dessus

commutatif. Alors $ - $ I est d'image nulle dans rk donc dans Lk rq

d'aprss l'hypothgse faite pr6c6demment. On en d6duit l'existence d'un

morphisme $ : (Lj ,u -t (LktqrukCq ) . On verifie aisement que ,P ~ P P

le systgme ainsi ddfini est un systeme inductif de groupesl simpli-

ciaux. On a donc un morphisme : l&m (L ,u ) + (G,u) . Le qroupe I j , ~ j ,P

G etant l'union de ses sous-groupes d6nombrables, ce morghisme est

surjectif. On verifie aisement que c'est un morphisme injtectif et

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qu'il est bijectif sur les 616ments positifs de G . Donc c'est un isomorphisme de groupes ordonnes.

D e f i n i t i o n . On appelle anneau hypermatriciel un anneau limite induc- ---------- tive (non nkcessairement denombrable) d'anneaux matriciels.

THEOREME 9.- Suient G un g4oUpe abE&en otdannE nun p & ' L d ~ t E ,

i n t e q o l a b l e e..t u une uni t2 d' atdhe de G . On huppohe Card G <S1.

AL0h.s AX ~eexinte un anneau hqperunazkiciel A tdL que

(KO (A) , [A]) = (G,u) .

Demonstrat ion. La demonstration utilise les lemmes suivants : -------------

LEMME 10.- Soient G un ghoupe abE&en andonnE nan pe/r6vhP, intm-

po&bLe !. u une u&C d'o4dhe de G . I)n huppane Card G 5 hl . ACaa LI, eexinte une 6amLeee ( G ~ ) iEI de n o w gtioupu de G , indexEe

- porn to& i n d i c e i , ci e ~ t un gtaupe a b W e n otdonnE non

Soit (Xi) icI une numerotation de G par I . On pose G =Zu.

0

On definit par induction les groupes Gi . Supposons avoir defini la famille des groupes (G.) pour tout indice j < i . Si i est un

I

successeur, i = j+l . Alors le groupe engendre par G et x est j i

un sous-groupe d6nombrable de G . D'aprgs le lemme 8 , ce groupe est contenu dans un sous-groupe denombrable verifiant les proprietes

voulues. On notera ce groupe Gi . Si i est ordinal limite, le

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groupe engendr6 par u G et x est un sous-groupe ddnombrable j i j<i

de G , contenu d'apr2.s le lemme 8 dans un groupe ddnombrable G

possedant les proprietes voulues.

Par induction, on a {x j 5i) cGi donc G = u G et la famille j' i i ~ 1

(Gi)ieI ainsi construite satisfait les conditions demandees.

LEMME 1 1 .- Soient (r ,u) r u ) deux ghoupen abZ&enb otrdonnZ2

u + u . Soient A eA A' deuxanneaux&amattLicieb

ALoa ik eexioZe un motrphhme d'anneaux 4 de A d a u A I .indLLi-

L'anneau A dtant ultramatriciel, il est l'union d'une suite

croissante d'anneaux matriciels (An)ncm . Pour tout entier n ,

f posons Tn = Ko(An) . Alors r = lim r . On a : ro + r -> T' . Ce

+. n

morphisme de To dans r ' est induit par un morphisme d'anneau f 0

de A. dans A' [?I.

Supposons avoir construit pour tout entier i < n , des morphis-

mes d'anneaux fi

de Ai dans A' tels que

- v i l 5 i 5 n 'ilA = fi-l i- 1

- pour tout entier i < n f. induise l'application cle

dans r ' defini par ri + i- r f . L' anneau An+ I 6tant matriciel, il existe un morphisme

d'anneaux g : An+l 'f A' induisant le morphisme ddfini par

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Par construction, g l ~ n et fn induisent la meme application de r n

dans r ' . Donc il existe un Qlement u de A'* tel que V x €An

g (x) = u f (x)u-' . Posons - 1 fn+l (x) = u g(x1u . Cette famille

n

d'applicationscompatibles (fn)n.cm

induit une application 4 de A

dans A' qui a les propri6tQ.s voulues.

Nous pouvons maintenant ddmontrer le theorhe. Soit G un groupe

&&lien ordonne non perfore interpolable de cardinal < )il . Soit

(Gi) i<I la famille des sous-groupes de G construite par applica-

tion du lemme. On pose A. = K , oh K est le corps de base. Soit i

un ordinal. Supposons construits pour tout ordinal j<i des anneaux

ultramatriciels A et des morphismes d'anneaux f j

jj, Aj -+ Aj, tels

que pour f. =fj,j,, ofjj, , j 5 j ' s j" , fjj = 1 , K (A,) = G et ~ j " 0 J j

f . induit l'inclusion canonique de G dans G. . Le groupe 3j' j 3' Gi

Qtant non perfore, interpolable et ddnombrable est ultrasimplicial.

Donc ilexiste un anneau A, ultramatriciel tel que : K 0 1 (A,) = G i [?I.

Si i est un ordinal successeur, alors i = j +1 . Le lemme 11 0

montre l'existence d'un morphisme d'anneaux A. + Ai induisant l'in- Jo

clusion de G. dans Gi . Pour tout indice j < i , le morphisme 30

f.. A + Ai sera defini par composition. 1.1- j

Si i est un ordinal limite, la famille ( A , j <i) est un j

systeme inductif d'anneaux, la limite inductive (dQnornbrable) de ce

systeme est un anneau ultramatriciel dont le K est la limite 0

inductive de la famille G , j i et est donc contenue dans Gi. 3

D1apr6s le lemrne 11, cette inclusion de groupes est induite

par un morphisme d'anneaux de li+m (A j < i) dans Ai . On a donc j'

ainsi construit un systeme inductif d'anneaux ultramatriciels.

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Posons A = 1$m A . Alors A est un anneau hypermatriciel et i ir I

K (A) = G ce qui ach6ve la demonstration. 0

&+ic+iti~n. Si on admet l'hypothese du continu, (IR,l) satisfait

les hypotheses du theoreme gdonc (IR,l) est le K d'un anneau 0

hypermatriciel.

COROLLAIRE 12.- Sea G un gtioupe abEfien dun5 t o m i o n de c~arrdind

au p U S . Atom G e ~ t Le K~ d'une dggbtre hypehmWcieRee.

En effet, si G est sans torsion, G est inclus dans G Q 1

qui est un Q espace vectoriel de dimension au plus 6gale ih celle

de IR . On en ddduit une injection de G dans IR qui induit sur

G une structure de groupe totalement ordonne. Le groupe G est

alors non perfor6 interpolable.

BIBLIOGRAPHIE

C 11 BRATELLI O. - TnduCtiwe W od @ u X e dimenniond ~*-ai?~ebtrlzn Trans. Arner. Math. Soc. 171(1972)195-234.

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C31 GOODEARL K.R. - V O M Neumann tregdUh hing6. Monographs and studies in Mathematics no 4, Pitman, London (1979).

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Received: May 1986

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