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Lajustement linaire et le coefficient de corrlation linaire

La fonction dajustement est dtermine de sorte que les valeurs de y, obtenues par la fonction (valeurs ajustes), soient les plus proches possible des valeurs relles de y observes au cours dune priode donne.

La fonction dajustement, y = f(x), permet ensuite deffectuer des prvisions partir des valeurs de la variable x.

A) Lajustement linaire par la mthode des moindres carrs

La mthode des moindres carrs permet de dterminer les paramtres a et b de lquation dune fonction dajustement de type linaire :

y = a.x + b (droite dajustement, droite de rgression, tendance, trend) avec :

)(

))((

1

1

=

=

=n

ii

n

iii

xx

yyxxaaaa Pente ou coefficient directeur de la droite

(n : nombre de donnes de la srie)

n

x

x

n

ii

=

=1

n

yy

n

ii

=

=1

Moyennes arithmtiques des x et des y

xay =bbbb

(Valeur de lordonne lorigine i.e. valeur de y pour x = 0)

(Les moyennes des x et des y vrifient lquation de la droite).

Ventes (y)

Dpenses publicitaires (x)

Fonction (droite) dajustement :

y = a.x + b

Nuage de points (xi ; yi) avec un ajustement linaire

b

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B) Le coefficient de corrlation linaire

Le coefficient de corrlation permet de mesurer le degr de corrlation linaire entre les deux variables (i.e. la pertinence dun ajustement linaire) :

==

=

=n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxx

11

1

)()(

))((rrrr

r est toujours compris entre - 1 et + 1.

Plus r est proche de 1 ou de - 1, plus la corrlation linaire entre les deux variables est forte (les valeurs observes de y sont proches des y ajusts i.e. des y obtenus avec lquation de la droite : Cf. graphique : le nuage de points est allong en ligne droite).

Si r = 1 ou - 1, la corrlation linaire est parfaite (tous les points du nuage sont sur la droite !).

Plus r est proche de 0, plus la corrlation est faible !

Si r est positif, les deux variables varient dans le mme sens ; si r est ngatif, elles varient en sens inverse.