[R5.06.01] Réduction de modèle en dynamique linéaire et non-linéaire

  • Published on
    05-Jan-2017

  • View
    216

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 1/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    Rduction de modle en dynamique linaire et non-linaire : Mthode de RITZ

    Rsum :

    Ce document prsente le principe de rduction de modle par projection sur base rduite (mthode de Ritz). La base le plus couramment utilise est la base modale.

    Les problmes de troncature dus l'utilisation d'une base rduite sont voqus. Des corrections de troncaturesont proposes.

    La description et les proprits des algorithmes de rsolution du systme d'quations diffrentielles du secondordre obtenue en analyse transitoire sont prsentes dans le document [R5.06.04].

    Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 2/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    Table des Matires1 Introduction........................................................................................................................... 32 Mthodes de rduction de Ritz en linaire............................................................................3

    2.1 Description gnrale......................................................................................................32.1.1 Formulation continue.............................................................................................32.1.2 Approximation lments finis................................................................................4

    2.2 Projection sur base rduite.............................................................................................42.3 Projection sur base modale............................................................................................42.4 Erreur de troncature modale..........................................................................................62.5 Corrections de la troncature modale..............................................................................8

    2.5.1 Correction statique a posteriori.............................................................................82.5.2 Adjonction de modes statiques la base..............................................................9

    3 Extension des mthodes de rduction de Ritz en non-linaire.............................................113.1 Problme gnral...........................................................................................................113.2 Indication de l'erreur de projection.................................................................................12

    4 Utilisation dans Code_Aster..................................................................................................125 Bibliographie......................................................................................................................... 136 Description des versions du document.................................................................................13

    Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 3/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    1 IntroductionA partir dune description de la gomtrie et des matriaux des structures, la mthode des lmentsfinis permet de crer un modle prcis et fiable mais de grandes dimensions. Dans le cas dunproblme de dynamique, on souhaite calculer la rponse dun systme pour diffrents instants(analyse transitoire) o pour diffrentes frquences (analyse harmonique). La taille du modlelments finis obtenu est souvent inconciliable avec le nombre de calculs ncessaires pour obtenirtous les rsultats voulus. Pour un ensemble restreint de sollicitations dynamiques, il existe gnralement un sous-espace defaible dimension permettant de dcrire le comportement dynamique de la structure sous dessollicitations spcifiques. La projection du modle sur une base restreinte est appele mthode de Ritz ou Rayleigh-Ritz.

    Ce document comporte les points suivants :

    une prsentation des mthodes de Ritz, leur utilisation en linaire, un dtail des possibles corrections de troncature, la gnralisation en non linaire des mthodes de Ritz, deux exemples simples dillustration.

    2 Mthodes de rduction de Ritz en linaire2.1 Description gnrale 2.1.1 Formulation continue

    La mthode de Ritz consiste projeter le dplacement sur une base restreinte de fonctions vrifiantles conditions cinmatiques du problme :

    uM ,t =i=1

    n

    i t iM q 2.1.1-1

    Le dplacement est dcrit par une srie de formes indpendantes { i M ; i=1n } multipliespar des amplitudes fonctions du temps { i t ; i=1n} . La difficult consiste dfinir cette famille de forme {i M ; i=1n } qui contrairement auxfonctions de forme de la mthode des lments finis sont non nulles sur la plus grande partie de lastructure.La qualit de lapproximation est lie au fait que les dplacements obtenus ont une bonneapproximation dans le sous-espace engendr par Vect { iM , i=1n } .

    Projection sur base modaleOn sait que les modes propres {iM ;i=1} engendrent lespace des champscinmatiquement admissibles. Le dplacement se dcompose selon :

    u M , t =i=1

    i t iM q 2.1.1-2

    Loption la plus couramment utilise pour la mthode de Ritz consiste alors prendre comme base deprojection les n premiers modes :

    u M , t =i=1

    n

    i t iM q 2.1.1-3

    Le dplacement obtenu est une approximation du dplacement rel. Il peut tre intressant dajouter au n premiers modes, dautres formes (voir [2.6.2]).

    Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 4/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    2.1.2 Approximation lments finis

    Dans le cas dune approximation du dplacement par lments finis le dplacement est dj approchdans lespace des fonctions de formes :

    uhM ,t =i=1

    Nh

    qi t N iM q 2.1.2-1

    On note U le vecteur des degrs de libert du dplacement : U t =[ q1 t , q2 t ,qNh t ] ;

    Mthode de Ritz en dimension finie Si nNh , la mthode de Ritz applique au champ u M , t vient alors comme une secondeapproximation :

    U t =i=1

    n

    i t i q 2.1.2-2

    avec {i ,i=1n } la base des n vecteurs indpendants et cinmatiquement admissibles. On pose

    =[ 1 , 2 ,3, ,n ] . Do lcriture matricielle : U= q 2.1.2-3

    2.2 Projection sur base rduite Considrons le systme diffrentiel suivant obtenu par une mthode d'lments finis :

    M UCUU=F U RNh q 2.2-1

    La solution recherche sous la forme [q 2.1.2-3]. En considrant la mme forme pour le dplacementvirtuel, il vient :

    TM TC TK = TF Rn q 2.2-2

    o : est le vecteur des dplacements gnraliss, K= TK et M= TM sont appelesrespectivement matrices de raideur et de masse gnralises.

    Le systme [q 2.2-2] est gnralement un systme diffrentiel coupl, les matrices gnralises quile composent sont dans le cas gnral pleines mme si au dpart les matrices M et K taientcreuses. On perd donc la structure particulire au profit d'une taille de problme beaucoup plusrduite nn .

    Dans le cas gnral, le systme [q 2.2-2] ne fournit qu'une solution approche du systme [q 2.2-1].L'erreur que l'on commet est appele erreur de troncature.

    On n'a aucune information sur la valeur de cette erreur. Elle peut tre trs grande si le sous-espace deprojection est mal choisi. On sait seulement que cette erreur diminue quand la taille de la base deprojection augmente.

    Si l'on dispose d'information a priori sur la forme de la solution, on peut choisir de faon efficace labase de projection de faon minimiser cette erreur. Par exemple, si l'on sait que la solution nestconstitue que de mouvements de corps solide, on peut restreindre 6 la dimension de l'espace.

    Par la suite, on choisit la base des modes propres comme base de projection.

    2.3 Projection sur base modale

    Modes propresLes modes sont dfinis comme les couples { hi ,hi i=1Nh } solutions de lquation :

    Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 5/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    K2 M =0 q 2.3-1

    Remarque : Il convient de vrifier que les modes calculs par approximation lments finis sontsuffisamment reprsentatifs : hi ,hi i ,i . On peut considrer quelapproximation lments finis est correcte lorsque les dformes modales prsentent unelongueur donde suprieure la taille des mailles du maillage (la notion de longueur dondeest une gnralisation de la notion dfinie sur lquation des ondes, on peut la dfinir commedeux fois la longueur entre deux nuds de la dforme modale). Par la suite on omet, lindice h correspondant lapproximation lments finis.

    Quotient de Raleigh : interprtation nergtique Les pulsations et formes propres peuvent tre dfinies comme les solutions du problme deminimisation suivant :

    i[ 1,Nh ] : i minimise dans le sous espace RNhVect { j , j[ 0,i1 ] } la fonctionnelle :

    R X = Xt KX

    X tMXon pose : i

    2= it K iit M i

    =Ri q 2.3-2

    Mthode de rductionUne mthode de rduction trs largement employe pour les problmes linaires est la mthode derecombinaison modale. Elle consiste choisir comme base de projection les n premiers modespropres de la structure {i ,i=1n } .

    U t =i=1

    n

    i t i q 2.3-3

    Considrons toujours le systme diffrentiel suivant :M UCUKU=F URNh q 2.3-4

    Les modes propres {i ,i=1Nh } ont la proprit d'tre M et K orthogonaux, c'est--dire qu'on ales relations suivantes :

    iTM j=miij

    iTK j=k iij

    est le symbole de KRONECKERmi est appele masse modale ou masse gnralise du mode ik i est appele rigidit modale ou rigidit gnralise du mode i

    Les matrices projetes de M et K sur la base des modes propres sont donc diagonales ; c'est undes avantages qui a motiv l'emploi de la base modale comme base de projection. Le systme[q 2.3-4] projet sur la base des premiers modes propres du systme s'crit :

    0 00 mi 00 0 T C 0 00 k i 00 0 =T Fext q 2.3-5

    La projection de la matrice C n'a aucune raison en toute gnralit d'tre galement diagonale. Si lesystme est fortement amorti (prsence d'amortisseurs sur la structure), cette matrice ne sera pasdiagonale.

    Remarque :Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 6/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    Contrairement ce que font beaucoup de logiciels, Code_Aster permet dans ce casd'intgrer le systme d'quations modales couples sans diagonalisation de la matriced'amortissement gnralis. La mthode d'intgration est dans ce cas une mthode implicitede NEWMARK ou explicite EULER.

    Par contre, si le seul amortissement entrant en jeu est un amortissement structurel (dissipation internedu matriau pour une structure homogne) il est alors licite de faire l'hypothse d'un amortissementproportionnel, encore appel hypothse de BASILE, dans ce cas C s'exprime comme combinaisonlinaire de M et K (amortissement de RAYLEIGH), et sa projection sur les modes propres estdiagonale(cf doc [R5.05.04] sur la modlisation de lamortissement).

    Dans ce cas, le systme [q 2.3-4] se scinde en p quations diffrentielles linaires du second ordredcouples. La rponse du systme est alors la recombinaison de la rponse de p oscillateurs simplesassocis aux modes propres, d'o l'expression de "superposition modale" utilise couramment.

    Chaque quation diffrentielle s'crit mi :

    mi ici ik i i= f i q 2.3-6

    ou encore en divisant par la masse modale :

    i2ii ii2 i=

    f imi

    q 2.3-7

    avec :

    i amortissement modal rduit =ci

    ccritique=

    c i2 mi .i

    Cette quation peut tre rsolue trs simplement dans le domaine frquentiel :

    i=f i

    mi . 22 .iii2 q 2.3-8

    o reprsente la transforme de FOURIER et la frquence d'excitation.

    Des mthodes numriques particulires telles l'intgrale de DUHAMEL permettent de passer cetteexpression du domaine frquentiel au domaine temporel. (voir par exemple doc [R5.05.01] sur unemthode dintgration temporelle).

    2.4 Erreur de troncature modaleDans le cas de la recombinaison modale avec amortissement proportionnel, on peut mettre envidence l'erreur de troncature que l'on commet en projetant sur la base des premiers modes propresdu systme. En effet, si l'on considre la base complte des n modes propres du problme discrtis,il y a quivalence entre le problme initial et le problme projet. Donc la solution exacte du problmediscrtis par lments finis s'crit :

    U=i

    Nh

    ii

    o les coordonnes gnralises sont solution de :

    i2ii ii2 i=

    f imi

    la sommation s'tendant sur tous les modes propres du systme (de taille finie).Manuel de rfrence Fascicule r5.06: Dynamique en base modale

    Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 7/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    En rsolvant le problme avec un nombre rduit de modes propres, nNh . La solution obtenue estla suivante :

    U=i=1

    n

    ii

    L'erreur commise en tronquant la base de reprsentation de la solution est donc :

    E=U U= i=n1

    Nh

    i i q 2.4-1

    Dans le domaine frquentiel l'expression de l'erreur est :

    E = UU=

    i=n1

    Nh it F mi

    . 1i

    222ji i.i q 2.4-2

    la sommation s'effectue sur tous les modes ngligs du systme.

    tudions la rponse relative /statique d'un oscillateur une excitation purement sinusodale defrquence variable (schma ci-dessous), avec statique les coefficients de la rponse statiquecorrespondant une force statique. On peut distinguer trois intervalles dans le spectre o l'oscillateura un comportement diffrent. En basse frquence

  • Code_Aster VersiondefaultTitre : Rduction de modle en dynamique linaire et non-l[...] Date : 26/11/2013 Page : 8/17Responsable : ALARCON Albert Cl : R5.06.01 Rvision :

    248074cd67fb

    Dans ce cas, pour reprsenter correctement la rponse du systme linaire, il faut assurmentprendre en compte tous les modes ayant une pulsation infrieure max , car ces derniers vontrpondre de faon dynamique l'excitation.

    Par contre, les modes tels que i >>max ont quand mme une contribution statique la rponsedu systme. Ce sont souvent ces modes que l'on ne prend pas en compte.

    En faisant un dveloppem...

Recommended

View more >