Université des Sciences Sociales de Toulouse

Année universitaire 2008 - 2009

Licence d’Économie 2e Année

Microéconomie 2.2

TD N°3

— L’oligopole —

B - L’oligopole non-coopératif

Exercice 1 (Un duopole de Cournot symétrique)

Soit un oligopole composé de deux firmes, la firme 1 et la firme 2, produisant un bienhomogène. Les deux firmes ont une fonction de coût identique : c(yi) = y2

i , pour i = 1, 2.La demande de marché dépend de la quantité totale de bien sur le marché ; la fonction dedemande inverse est de la forme : p(y1 + y2) = 10− (y1 + y2). On s’intéresse ici à l’équilibrede Cournot : les deux firmes décident de leur output simultanément.

1. Quels problèmes d’optimisation la firme 1 et la firme 2 résolvent-elles respectivement ?La firme 1 et la firme 2 cherchent à déterminer l’output qui maximise leurs profits.Cependant, chaque fonction de profit dépend de l’output de l’autre firme. La firme1 doit ainsi prendre sa décision en fonction de son anticipation ya

2 sur l’output dela firme 2. La firme 2 agit de manière analogue de son côté. L’équilibre est atteintlorsque les anticipations des deux firmes sont correctes, c’est-à-dire lorsque ya

2 est égaleà la quantité y2 effectivement choisie par la firme 2 et ya

1 est égale à la quantité y1

effectivement choisie par la firme 1.

Remarque. L’équilibre de Nash correspond à la situation pour la quelle chaque firmechoisie sa stratégie optimale étant donné la stratégie d’équilibre de l’autre firme.Le lien avec l’explication qui vient d’être proposée est que lorsque l’anticipationest correcte le comportement anticipé est précisément le comportement d’équilibre.Cela signifie qu’il est équivalent de dire que l’entreprise maximise son profit étantdonné son anticipation du comportement de l’autre firme—qui est correcte, et direque l’entreprise maximise son profit étant donné le comportement d’équilibre del’autre firme.

1

Remarque. L’équilibre de Nash est ainsi plus généralement associé à l’idée selonlaquelle à l’équilibre de Nash les agents se coordonnent sur un certain vecteurde stratégies dont ils ne souhaitent pas s’écarter. De fait, l’équilibre est la situa-tion pour laquelle les meilleures réponses de chacun sont compatibles (stabilité dela situation d’interaction au sens où personne n’a intérêt à changer sa stratégie).

2. Déterminer l’équilibre de Cournot (prix pC , quantités yC1 , yC

2 ). Quels sont les profits(πC

1 , πC2 ) des firmes à l’équilibre ? Commenter.

La firme 1 cherche la quantité y1 qui maximise son profit compte tenu de son antici-pation ya

2 sur la quantité choisie par la firme 2 :

maxy1

π1(y1, ya2) = (10− y1 − ya

2)y1 − y21.

La solution de ce problème vérifie la CPO suivante, qui correspond à l’égalisation de larecette marginale et du coût marginal :

−4y1 + 10− ya2 = 0.

donc la firme 1 en déduit sa fonction de réaction :

y1 = f1(ya2) =

5

2− 1

4ya

2 .

Cette fonction peut être représentée par une droite dans le repère (O, y1, y2). La firme2 procède de manière analogue et en déduit sa fonction de réaction :

y2 = f2(ya1) =

5

2− 1

4ya

1 .

Cette fonction peut aussi être représentée par une droite. L’équilibre de Cournot—c’estl’équilibre de Nash du jeu—est atteint lorsque ya

2 = y2 et ya1 = y1 (les anticipations des

firmes s’avèrent correctes). Donc, par substitution, à l’équilibre les quantités (yC1 ,yC

2 )choisies par les firmes sont solution du système de deux équations à deux inconnues :{

y1 = f1(y2)y2 = f2(y1)

,

soit : yC1 = yC

2 = 2. Le prix de marché est : pC = 6, les profits sont : πC1 = πC

2 = 8. Onremarque que la situation est ici totalement symétrique : les deux firmes choisissentles mêmes quantités et obtiennent le même profit, ce qui est normal puisqu’elles ontles mêmes fonctions de coût. La situation sera différente si les décisions des deuxfirmes sont séquentielles (cf. l’équilibre de stackelberg—voir plus loin—puisque dans cecas le leader de Stackelberg produit plus et obtient un profit plus élevé qu’à l’équilibrede Cournot, alors que le suiveur produit moins et obtient un profit moins élevé qu’àl’équilibre de Cournot).Graphiquement, l’équilibre de Cournot est atteint au point d’intersection des deuxdroites représentatives des fonctions de réaction des firmes.

2

10

y1

y2

Fonction de réaction de l'entreprise 1 (y2=f-1

1(y1))

Fonction de réaction de l'entreprise 2 (y2=f2(y1))

5/2

5/2 102

2

3. La concurrence parfaite. Les pouvoirs publics estiment que ce marché n’est pas suffi-samment concurrentiel et décident de réguler le duopole. Chaque firme devra renoncerà son pouvoir de marché et choisir le volume de production correspondant à l’équilibrede concurrence parfaite. Déterminer ces quantités (y∗1, y∗2), le prix du marché p∗ et lesprofits des firmes (π∗1, π∗2). Commenter.En concurrence parfaite, chaque firme prendrait le prix comme une donnée, ce qui laconduirait à choisir la quantité qui égalise le prix à son coût marginal (Il suffit de lerevérifier pour la firme 1 par exemple, dont le profit est π(y1) = py1 − C1(y1)). Lesfirmes se voient donc ici contraintes à tarifer au coût marginal. La firme 1 et la firme2 ont respectivement pour coût marginal Cm1(y1) = 2y1 et Cm2(y2) = 2y2. Leursfonctions d’offre individuelles sont donc respectivement yO

1 (p) = p/2 et yO2 (p) = p/2,

et la fonction d’offre globale est donc Y O(p) = p. La fonction de demande inverse estp = 10 − y1 − y2 = 10 − Y D(p), donc l’égalité de l’offre et de la demande du marchéentraîne p∗ = 5 < pC = 6, donc y∗1 = y∗2 = 2, 5 > yC

1 = yC2 = 2, et les profits sont

π∗1 = π∗2 = 25/4 = 6, 25 < πC1 = πC

2 = 8.Par rapport à l’équilibre de Cournot, on note que les quantités produites sont plusélevées, le prix et les profits sont plus faibles. Ce n’est pas surprenant : l’équilibre deCournot correspond à une situation de concurrence, mais cette concurrence n’est pasextrême que dans le cas de la concurrence parfaite, ce qui implique que les firmespeuvent améliorer leur situation en profitant de leur pouvoir de marché.

Exercice 2. (Lien entre l’équilibre de Cournot et la concurrence parfaite)

On considère un marché sur lequel interviennent N firmes identiques. Elles produisenttoutes le même bien et ont la même fonction de coût. Cette fonction, pour une firme quel-conque i, est donnée par C(yi) = y2

i + 10yi, où yi désigne la quantité produite par la firme i.La demande du marché est donnée par la relation p(Y ) = −Y + 20, où Y désigne la quantitétotale produite : Y =

∑Ni=1 yi.

3

1. On suppose que la concurrence entre les firmes est de type Cournot. Déterminer laquantité d’équilibre yC

i , le prix d’équilibre pC et le profit d’équilibre πCi de chaque

firme i.Considérons par exemple la firme 1. Elle choisit l’output y1 qui maximise son profit surla base des quantités Y−1 = y2 + ...+ yN =

∑Ni=1,i 6=1 yi choisies par les autres firmes :

maxy1

π1(y1, Y−1) = (20− y1 − Y−1)y1 − y21 − 10y1.

Le choix de la firme 1 est obtenu en prenant la CPO de ce problème de maximisation,et en tire sa fonction de réaction à la quantité choisie par les autres firmes :

y1 = f1(Y−1) =5

2− Y−1

4.

De plus, comme les firmes sont identiques, on sait qu’à l’équilibre (on pourrait le mon-trer), elles choisiront toutes la même quantité yC (c’est toujours le cas dans un problèmesymétrique). Cette quantité vérifie donc l’équation :

yC =5

2− N − 1

4yC ,

ce qui implique :

yC =10

N + 3.

Donc la quantité totale offerte sur le marché est :

Y C =10N

N + 3,

le prix du marché est :

pC =10N + 60

N + 3,

et le profit de chaque firme i est :

πC =200

(N + 3)2.

2. Comment varient les valeurs obtenues dans la question précédente lorsque N tend versl’infini ? Commenter.On observe que limN→∞ y

C = 0, limN→∞ pC = 10, limN→∞ π

C = 0. On constate queces montants correspondent aux montants d’équilibre observés en concurrence parfaite.En effet, en concurrence parfaite, le prix d’équilibre est égal au coût marginal. Or il estfacile de vérifier que c’est bien le cas ici. En effet, le coût marginal de chaque firmei est Cm(yi) = 2yi + 10, la quantité produite tend vers 0, donc le coût marginal tendvers 10, ce qui est bien égal à la valeur vers laquelle le prix tend. CQFD.Ce résultat montre que l’équilibre de concurrence parfaite peut être vu comme un casparticulier (limite) de l’équilibre de Cournot quand le nombre de firmes tend vers l’in-fini. Ce résultat est très intuitif : lorsque l’on considère un marché où règne une ’con-currence à la Cournot’ chaque firme est consciente que ses décisions ont un impact non

4

négligeable sur le prix du marché... du moins tant que le nombre de concurrents ne tendpas vers l’infini ! Si c’est le cas, alors chaque firme a un impact négligeable sur le prixdu marché, ce qui correspond précisément à la définition d’un marché en concurrenceparfaite.

Exercice 3 (L’équilibre de Stackelberg dans un modèle de Cournot symétrique )

Nous reprenons l’énoncé de l’exercice 1 mais nous supposons désormais que les deuxentreprises décident de leur niveau de production séquentiellement : la firme 1 choisit d’abordson niveau d’output y1 et ne le modifie plus. La firme 2 observe y1 et décide ensuite de sonniveau de production y2.

1. Quels problèmes d’optimisation la firme 1 et la firme 2 résolvent-elles respectivement ?Comment peut-on qualifier respectivement la firme 1 et la firme 2 ?La firme 2 choisit le niveau de production y2 qui maximise son profit en connaissantl’output y1 de la firme 1 et en le prenant comme une donnée. Elle peut donc êtreconsidérée comme un suiveur de Stackelberg.La firme 1 choisit le niveau de production y1 qui maximise son profit, en anticipant lecomportement de suiveur de la firme 2. Elle détermine donc la fonction de réaction dela firme 2 et l’intègre dans son calcul. Elle peut être considérée comme un leader deStackelberg.

2. Déterminer l’équilibre de Stackelberg (prix pS, quantités yS1 , yS

2 ). Quels sont les profitsπS

1 et πS2 des firmes à l’équilibre ? Commenter.

Le leader prend sa décision en premier ; cependant, il intègre dans son calcul le pro-gramme du suiveur. Ce type de problème se résout donc en sens inverse de l’ordrechronologique.On commence donc par le suiveur. La firme 2 choisit la quantité y2 qui maximise sonprofit en prenant la quantité observée y1 comme une donnée :

maxy2

π2(y1, y2) = (10− y1 − y2)y2 − y22.

La solution de ce problème satisfait la condition du premier ordre (CPO) :

10− y1 − 4y2 = 0.

(Il peut être utile de rappeler une fois en passant que la CPO ne donne un maximumque si la solution est intérieure—strictement positive ici—et si la condition du secondordre est vérifiée—dérivée seconde strictement négative.) La CPO correspond en faità l’égalité entre la recette marginale et le coût marginal. Elle permet de déterminer lafonction de réaction de la firme 2 :

y2 = f2(y1) =5

2− 1

4y1.

On observe que cette fonction est décroissante en y1, ce qui est normal : si la firme 1produit plus, le prix du marché diminue, donc la production devient moins rentable, cequi conduit la firme 2 à réduire son output.

5

Passons ensuite au problème du leader (firme 1). Celui-ci cherche la quantité y1 quimaximise son profit, compte-tenu du programme de maximisation du suiveur, c’est-à-dire compte-tenu de sa fonction de réaction :

maxy1

π1(y1, y2) = (10− y1 − y2)y1 − y21 sous y2 =

5

2− 1

4y1,

soit, par substitution :

maxy1

π1(y1) =

(10− y1 − (

5

2− 1

4y1)

)y1 − y2

1.

Cela conduit à la CPO :−7

2y1 +

15

2= 0.

donc finalement la quantité optimale est : yS1 = 15/7 ≈ 2, 14.

La firme 1 choisit donc effectivement cette quantité à la période 1, puis la firme 2observe cet output et choisit de produire en période 2 : yS

2 = 55/28 ≈ 1, 96. Le prix dumarché est alors pS = 165/28 ≈ 5, 89. Les profits sont respectivement πS

1 = 225/28 ≈8, 04 et πS

2 = 3025/392 ≈ 7, 72.On remarque que le leader produit plus et obtient un profit supérieur au suiveur. Cettespécificité est, en partie liée au fait que les deux firmes ont des fonctions de coûtsidentiques, et donc que le leader peut profiter de sa position pour produire plus et inciterle suiveur à produire moins. On remarque également que contrairement à l’équilibre deCournot les deux firmes ont des stratégies asymétriques. Le leader de Stackelberg produitplus et a un profit plus élevé qu’à l’équilibre de Cournot. Le suiveur produisait moinset avait un profit moins élevé qu’à l’équilibre de Cournot

3. Question indépendante : est-il possible qu’un leader obtienne dans un équilibre deStackelberg un profit inférieur à celui qu’il obtiendrait dans un équilibre de Cournot ?Réponse : Non. En effet, rien n’empêcherait le leader de Stackelberg de choisir le volumede production yC

1 correspondant à l’équilibre de Cournot s’il le souhaitait. S’il ne le faitpas, c’est qu’il obtient un profit plus élevé en choisissant le volume de production yS

1

correspondant à l’équilibre de Stackelberg...

Exercice 4 (Un duopole asymétrique)

Soit un duopole constitué des firmes 1 et 2 produisant toutes deux un bien homogène.La fonction de demande inverse est la suivante : p(y1 + y2) = 100− y1− y2. Les fonctions decoût des firmes 1 et 2 sont respectivement : C1(y1) = y2

1 et C2(y2) = 5y2.

1. Les deux firmes adoptent un comportement de type Stackelberg, la firme 1 étant leleader et la firme 2 le suiveur. Déterminer les quantités (yS

1 , yS2 ), le prix (pS) et profits

d’équilibre (πS1 , πS

2 ).La méthode étant strictement identique à celle de l’exercice précédent, on se contenterade donner aux étudiants les résultats et la conclusion : l’équilibre vérifie yS

1 = 17, 5,yS

2 = 38, 75, pS = 43, 75, πS1 ≈ 459, 37, πS

2 ≈ 1501, 56. On remarque que, comme c’estle cas ici, le leader peut très bien avoir un profit plus faible que celui du suiveur.

6

2. Les deux firmes adoptent un comportement de type Cournot. Déterminer les quantités(yC

1 , yC2 ), le prix (pC) et profits d’équilibre (πC

1 , πC2 ). Comparer avec l’équilibre de

Stackelberg.Là encore, on procède de manière identique à l’exercice 1. Chaque firme détermine laquantité qui maximise son profit compte tenu de son anticipation sur la quantité del’autre firme. Les décisions des firmes sont simultanées. Chaque firme détermine safonction de réaction à la quantité anticipée de l’autre firme. La fonction de réaction dela firme 1 est :

y1 = f1(y2) = 25− 1

4y2.

Celle de la firme 2 :

y2 = f2(y1) =95

2− 1

2y1.

Les quantités d’équilibre sont solution de ce système de deux équation, et donc lesquantités d’équilibres sont yC

1 = 15 < yS1 = 17, 5, yC

2 = 40 > yS2 = 38, 75 ; le prix

est pC = 45 et les profits πC1 = 450 < πS

1 = 459, 37, πC2 = 1600 > πS

2 = 1501, 56.On observe que la firme 1 produit moins et obtient un profit plus faible à l’équilibre deCournot que lorsqu’elle est leader de Stackelberg, et l’inverse est vérifié pour la firme2.

Exercice 5 (Barrière à l’entrée)

Soit le marché d’un bien dont la fonction de demande inverse est p(Y ) = 3 − Y , où Ydésigne la demande totale. Deux firmes, les firmes 1 et 2, sont en concurrence sur ce marché.Elles ont respectivement pour fonctions de coût :

C1(y1) = y21

etC2(y2) =

{34

+ 13y2

2 si y2 > 00 si y2 = 0

.

1. Dans cette question, on suppose que les firmes décident simultanément de leur volumede production.

(a) Déterminer les fonctions de réaction f1(y2) et f2(y1) de chacune des firmes et lesreprésenter dans le repère (O, y1, y2).[Attention, une firme ne produit que si son profit est positif ou nul ; par soucide commodité, on supposera même dans cet exercice qu’une firme ne produit quesi son profit est strictement positif.]Par la méthode habituelle, on détermine les fonctions de réaction des firmes. Lafonction de réaction de la firme 1 est alors :

y1 = f1(y2) =3

4− 1

4y2,

et celle de la firme 2 :

y2 = f2(y1) =9

8− 3

8y1.

7

Cependant, dans cet exercice, la fonction de réaction de la firme 2 n’est pas toutà fait égale à cette expression. Cela provient du coût fixe 0, 75 qui est présentdans cet exercice. En effet, une firme ne souhaite normalement produire que sison profit est positif (strictement dans cet exercice). Or il est facile de voir que leprofit de la firme 2 n’est pas toujours positif selon la valeur de y1 : en prenant encompte la fonction de réaction de la firme 2, on peut écrire son profit en fonctionde y1 : π2(y1) = (3/16)(3 − y1)

2 − (3/4), ce qui implique que la firme ne produitque si y1 < 1. La véritable fonction de réaction de la firme 2 est donc :

y2 = f2(y1) =

{98− 3

8y1 si y1 < 1

0 si y1 ≥ 1.

Pour la représentation, ce reporter au graphiaue joint à la question b.En revanche on vérifie aisément que le profit le la firme 1 est toujours positif ounul, quelle que soit la valeur de y2 : π1(y2) = (1/8)(3− y2)

2. Il n’est nul que dansle cas où y2 = 3, mais alors on sait déjà que y1 = 0 à partir de la fonction deréaction.Voir le graphique ci-dessous.

Remarque : on n’a pas effectué cette vérification dans les exercices précédentsmais il n’y avait pas de problème. C’est souvent la présence d’un coût fixe qui peutentraîner ce type de complication, or il n’y avait pas de coût fixe.

(b) Déterminer les quantités (yC1 , yC

2 ), le prix du marché (pC) et les profits des firmes(πC

1 , πC2 ) à l’équilibre de Cournot. Représenter graphiquement l’équilibre dans le

repère (O, y1, y2).La détermination de l’équilibre de Cournot ne soulève pas de difficulté. On a deuxcas à examiner. Si y1 ≥ 1, alors y2 = 0, donc y1 = 3/4, ce qui n’est pas possible.Si y1 < 1, l’équilibre vérifie le système d’équations :{

y1 = 34− 1

4y2

y2 = 98− 1

8y1

,

8

ce qui donne : yC1 = 15/29 ≈ 0, 52, yC

2 = 27/29 ≈ 0, 93, pC ≈ 1, 55, πC1 =

450/841 ≈ 0, 54, πS2 = 1365/3364 ≈ 0, 41.

Placer l’équilibre sur le graphique.

2. On suppose dans cette question que les firmes ne prennent plus les décisions simultané-ment, mais que la firme 1 fixe son volume de production avant la firme 2. Déterminer lesquantités (yS

1 , yS2 ), le prix du marché (pS) et les profits (πS

1 , πS2 ) des firmes à l’équilibre

de Stackelberg. Commenter le résultat (s’aider du titre de l’exercice...).Le leader (firme 1) anticipe la fonction de réaction de la firme 2. Il en déduit sa fonctionde profit qui peut donc prendre deux expressions :

π1(y1) =

{(3− y1 − (9

8− 3

8y1))y1 − y2

1 si y1 < 1(3− y1)y1 − y2

1 si y1 ≥ 1,

soit :π1(y1) =

{158y1 − 13

8y2

1 si y1 < 13y1 − 2y2

1 si y1 ≥ 1.

Cette fonction est discontinue en y1 = 1 : il faut l’étudier séparément sur les intervalles[0, 1[ et [1, 3] (la demande maximale sur le marché est égale à 3).Sur l’intervalle [0, 1[, cette fonction est d’abord croissante puis décroissante (calcul dela dérivée), et atteint son maximum pour y1 = 15/26 (là où la dérivée s’annule). Leprofit est alors égal à 0, 54 environ.Sur l’intervalle [1, 3], la fonction est strictement décroissante, et est donc maximalequand y1 = 1. Le profit vaut alors 1.Il en découle que la firme 1 choisit de produire yS

1 = 1, donc yS2 = 0, pS = 2, πS

1 = 1,πS

2 = 0.La firme 2 ne produit donc pas à l’équilibre : le leader choisit une quantité suffisammentélevée pour dissuader le suiveur d’entrer sur le marché. Il s’agit là d’un exemple debarrière à l’entrée sur un marché. Cette barrière à l’entrée repose en fait sur la croyance

9

du suiveur en l’irréversibilité de la décision de production du leader. En effet, si lesuiveur doutait de cette irréversibilité, il anticiperait que le leader, seul sur le marché,choisirait finalement la quantité qui maximise son profit de monopole (3− y1)y1 − y2

1,soit y1 = 0, 75, et aurait donc intérêt à entrer sur le marché !Si l’on observait ce marché de l’extérieur sans connaître sa structure, on serait amenéà conclure qu’il est monopolistique. Pourtant, la firme 1 ne se comporte pas comme unmonopole, car si c’était le cas, elle produirait comme on vient de le voir y1 = 0, 75.Elle ne le fait pas car à ce niveau de production la firme 2 déciderait d’entrer sur lemarché avec une production importante. La menace d’entrée de la part de la firme 2limite donc le pouvoir de monopole de la firme 1.

Exercice 6 (Duopole en prix avec biens légèrement différenciés)

Sur un marché de duopole, deux entreprises, “Acoustic Research” et “B&W”, produisentdes chaînes hi-fi. Leurs coûts sont respectivement CA(yA) = y2

A pour Acoustic Researchet CB(yB) = 2y2

B pour B&W. Elles produisent des biens différenciés, et bénéficient doncchacune d’une demande propre. La demande qui s’adresse à Acoustic Research est donnéepar : yA(pA, pB) = 100−3pA +2pB, et celle qui s’adresse à B&W est donnée par yB(pA, pB) =100 + pA − 2pB.

1. Au vu de la forme des fonctions de demande, comment les deux biens sont-ils perçusaux yeux des consommateurs ?Supposons que le prix du bien A augmente. Alors sa demande diminue puisque yA(pA, pB)est décroissante en pA. Mais la demande en bien B augmente puisque yB(pA, pB) estcroissante en pA. Le même raisonnement peut être fait si le prix du bien B augmente.Donc les consommateurs perçoivent les deux biens comme des biens substituables.

2. Les deux firmes sont supposées fixer leur prix simultanément. Déterminer les fonctionsde réaction du duopole et les représenter dans le repère (O, pA, pB).Le problème se résout ici de manière identique au modèle de Cournot mis à part que lesvariables de décision sont les prix. Plaçons-nous dans la position de la firme AcousticResearch. Elle choisit le prix pA qui maximise son profit compte tenu de son anticipationpa

B sur le tarif pratiqué par son concurrent :

maxpA

(100− 3pA + 2paB)pA − (100− 3pA + 2pa

B)2.

En dérivant par rapport à pA et en égalisant à 0, on obtient la CPO, ce qui aboutit àla fonction de réaction suivante :

pA = fA(paB) =

350 + 7paB

12.

Une méthode analogue permet de déterminer la fonction de réaction de B&W :

pB = fB(paA) =

900 + 9paA

20.

On remarque que les pentes des courbes correspondantes à ces fonctions sont positives,à l’inverse des pentes des courbes de réaction dans le cas de l’équilibre de Cournot. Cela

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peut être interprété intuitivement : supposons par exemple que la firme A anticipe quela firme B va augmenter son prix ; alors elle en déduit que la demande qui va s’adresserà elle va augmenter, et peut donc, à la marge, augmenter son prix. La fonction fA doitdonc bien être croissante. De même pour la fonction fB.

3. Déterminer l’équilibre : prix pA et pB, quantités yA et yB, et profits πA et πB.A l’équilibre, les anticipations sont vérifiées. On obtient donc un système de 2 équationsdont les prix sont les deux inconnues. Les solutions sont pA = 13300/177 ≈ 75, 14,pB = 4650/59 ≈ 78, 81. Les quantités sont alors yA ≈ 32, 20, yB ≈ 17, 51, et lesprofits πA ≈ 1382, 74, πB ≈ 766, 86. On peut aussi calculer les coûts marginaux :

¯CmA ≈ 64, 40 < pA ≈ 75, 14, ¯CmB ≈ 70, 04 < pB ≈ 78, 81. On observe qu’ils sontinférieurs aux prix comme à l’équilibre de Cournot. En effet, lorsque les biens sontdifférenciés, la concurrence en prix est une situation de compétition, mais pas aussiextrême que la concurrence parfaite ou la concurrence à la Bertrand : l’équilibre obtenu“ressemble” donc à un équilibre de Cournot.

Exercice 7 (Leadership en prix avec frange concurrentielle)

Soit le marché d’un bien homogène produit par une grande entreprise (le leader) et 100petites entreprises qui individuellement ne peuvent influencer la position du leader. Le leaderdécide d’abord de son prix de vente. Les autres firmes sont trop petites pour influencer ce prix,donc elles le prennent comme donné : on dit qu’elles forment une “frange concurrentielle”.Le leader est conscient de sa position dominante, aussi, connaissant les fonctions de coûtdes petites firmes, il est en mesure d’anticiper leurs offres. Cela lui permet d’en déduire la“demande résiduelle” du marché, sur laquelle il peut compter pour écouler sa production.

Remarque. On peut noter qu’il ne s’agit pas à proprement parler d’un modèle de “concur-rence en prix”, car les décisions des petites firmes portent sur les quantités et non passur des prix.

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La fonction de demande du marché est donnée par Y (p) = 1600 − p. Les fonctions de coûtdu leader (Cl) et de chaque petite firme (Cp) sont respectivement Cl(yl) = 0, 25y2

l + 100yl etCp(yp) = 50y2

p + 100yp. Le leader a des coûts de production moins élevés du fait de sa tailleplus importante.

1. Déterminer la fonction d’offre yp(p) d’une petite firme, et en déduire l’offre agrégéeYp(p) de la frange concurrentielle.Chaque petite firme détermine le niveau de production yp qui maximise son profit, enprenant le prix du marché choisi par le leader comme une donnée. Formellement, elle secomporte comme sur un marché en concurrence parfaite. Son profit est donc maximalquand son coût marginal est égal au prix, soit Cmp(yp) = 100yp + 100 = p. La fonctiond’offre individuelle est donc : yp(p) = (1/100)p−1, ce qui n’est possible que si p ≥ 100.Si p < 100, alors yp(p) = 0.L’offre agrégée de la frange concurrentielle est donc :

Yp(p) = 100yp(p) =

{p− 100 si p ≥ 1000 si p < 100

.

2. En déduire la fonction de demande résiduelle yR(p) que la firme dominante prend encompte. La représenter graphiquement. Ecrire son profit en fonction de p. En déduirel’équilibre de ce marché.La firme dominante prend en compte la fonction d’offre de la frange concurrentiellepour déterminer la demande résiduelle qui s’adresse à elle. Si p < 100, alors Yp(p) = 0,donc elle bénéficie de l’ensemble de la demande du marché : yR(p) = Y (p) = 1600− p.Si p ≥ 100, alors yR(p) = Y (p) − Yp(p) = 1700 − 2p, mais ce n’est possible que sip ≤ 850. Si p > 850, alors la frange concurrentielle accapare tout le marché, donc lademande résiduelle est nulle : yR(p) = 0. La courbe de demande résiduelle de la firmedominante est donc “cassée”. Voir le graphique ci-dessous.

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Etant donnée sa fonction de demande résiduelle, le leader se comporte comme un mo-nopole. La fonction de profit du leader est :

πl(yl) = p(yl)yl − Cl(yl), avec yl = yR(p)

donc πl(p) = pyR(p)− Cl(yR(p)), qui a donc plusieurs expressions selon p.

Si p < 100, alors yR(p) = 1600−p, donc le profit est : πl(p) = p(1600−p)−0, 25(1600−p)2 − 100(1600− p). La maximisation de ce profit conduit à p = 1000, ce qui aboutit àune contradiction avec la condition p < 100. Il n’y a donc pas de solution pour p < 100.Si 100 ≤ p ≤ 850, alors yR(p) = 1700 − 2p, donc la maximisation du profit conduitalors à p = 600. Le profit est alors 187 500.Si p > 850, alors yR(p) = 0, donc le leader ne produit rien. Le profit est alors nul.Clairement, la meilleure stratégie du leader est donc de choisir un prix de 600. Il offrealors une quantité de yl = yR(600) = 500. L’offre de la frange concurrentielle estYp(600) = 600 − 100 = 500 (Le fait que Yp = yl est une coincidence), donc chaquepetite firme produit yp = 5. On vérifie bien qu’au prix de 600, la demande totale dumarché (1600− 600 = 1000) est égale à l’offre totale (500 + 500 = 1000).

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