L1-S1 2017-2018

PHYS 102 :

PHYSIQUE EXPERIMENTALE OPTIQUE

Arc-en-ciel Mirage supérieur

Le télescope spatial Hubble Faisceau de fibres optiques

Université Paris-Sud, Centre scientifique d'Orsay

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Orsay, juin 2017. Ne pas reproduire ce poly sans autorisation.

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Introduction générale au module Phys102 :

Le module Phys102 comprend des cours, TD et TP intégrés. Il s’agit d’une introduction à l’optique de base. Il est organisé sur deux principes :

• Il est axé sur l’expérimentation, l’idée étant que vous découvrirez d’abord les notions par vous-mêmes à travers les expériences que vous réaliserez, puis interpréterez. Dans la mesure du possible, des expériences qualitatives sont proposées avant les expériences quantitatives correspondantes. La complémentarité entre les notions de cours introduites et les expériences proposées est aussi développée que possible.

• Le cours est le plus ouvert possible sur la vie quotidienne, tant pour les expériences proposées (fibres optiques, mirages, couleurs des objets, fonctionnement de l’œil, etc.) que pour les ouvertures suggérées tout au long, documents à l’appui (fibres optiques et télécommunications, arc-en-ciel, télescope Hubble, etc.).

Ce module comprend une séance de cours et introduction au module (S0), 5 séances de cours-TP (séances impaires), 5 séances de cours-TD (séances paires), et une séance d’examen de TP (S11). L’organisation de ces 12 séances est décrite page suivante. Ce polycopié sera votre outil essentiel en séance. Il est prévu pour être complété au fur et à mesure : un certain nombre de questions vous sont posées, des schémas sont à remplir, etc. Une version PDF en couleur de ce polycopié est disponible sur DOKEOS. De plus, un cours interactif en ligne a été développé spécifiquement pour ce module. Vous y trouverez des compléments par rapport au poly, notamment des figures en couleur et des animations permettant d’illustrer les différents phénomènes et de mieux les comprendre. Vous le trouverez sur DOKEOS :

http://formation.u-psud.fr (Entrez votre identifiant et votre mot de passe)

Dans ce poly, les références aux animations apparaissant dans le cours interactif en ligne sont indiquées par le symbole (A). Des corrigés d’exercices, des annales d’examen, des QCM se trouvent également sur DOKEOS et vous permettront de travailler ce qui a été vu en séance.

PENSEZ A VOUS MUNIR DU MATERIEL SUIVANT POUR CHAQUE SEANCE (cours-TP ou TD): règle, crayon à papier, calculatrice, rapporteur, ainsi que ce poly ! RANGER LE MATÉRIEL SUR VOTRE TABLE À LA FIN DES SEANCES DE COURS-TP. Pour vous aider dans cette tâche, un inventaire du matériel correspondant à la salle où vous êtes se trouve au début de chaque chapitre.

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ORGANISATION DES SEANCES :

Séance Durée Salle Contenu Evaluation

S0 1H30 Amphi Introduction du module Phys102 Cours chap. 1 §1 : nature de la lumière

S1 3H30 030 ou 039

Cours-TP chap. 1 §2 : réflexion et réfraction

Séance pour compte-rendu 1

S2 3H Cours-TD chap. 5 : incertitudes Exercices du chap. 1 : réflexion et réfraction

Rendre compte-rendu 1

S3 3H30 100 ou 102

Cours-TP chap. 2 : miroirs & dioptres

S4 2H Exercices sur le chap. 2 : miroirs & dioptres

S5 3H30 041 ou 043

Cours-TP chap. 3 §1 : lentilles Séance pour compte-rendu 2

S6 1H30 Exercices sur le chap. 3 : lentilles I Rendre compte-rendu 2

S7 3H30 100 ou 102

Cours-TP chap. 4 : spectroscopie & couleurs

S8 1H30 Exercices sur le chap. 4: spectroscopie & couleurs

S9 3H30 041 ou 043

Cours-TP chap. 3 §2 et §3 : l'œil humain et association de lentilles

S10 2H Exercices sur le chap. 3 : lentilles II

S11 1H Examen de TP Examen de TP

Salles : La séance S0 est une séance d’introduction qui aura lieu dans un amphithéâtre. Les séances S1 à S11 auront lieu dans les salles de TP du bat. 333, au RDC ou au 1er étage. Reportez-vous à votre emploi du temps pour plus de précision.

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EVALUATION : 3 ECTS

Note finale (1ère session) = 10 % Contrôle Continu + 50 % TP + 40 % Examen écrit Contrôle Continu : 1 interrogation écrite 10 % TP :

2 comptes-rendus de TP (des séances S1 et S5) 10 % pour chaque CR Examen de TP en décembre (séance S11) 30 %

Examen écrit en janvier : 40 %

Si la note finale et la moyenne générale sont inférieures à 10 => 2e session (en juin)

Note finale (2e session) = 50 % Note de 1ère session + 50 % Examen de 2e session Attention : La note de l’examen de 1ère session sera toujours comptée dans la note finale et pourra être difficilement rattrapable si elle est mauvaise.

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SOMMAIRE :

CHAPITRE 1 : LES BASES DE L'OPTIQUE 7

CHAPITRE 2 : IMAGES OPTIQUES 39

CHAPITRE 3 : LENTILLES, ŒIL 65

CHAPITRE 4 : SPECTROSCOPIE ET COULEURS 99

CHAPITRE 5 : MESURES PHYSIQUES, INCERTITUDES ET MODELISATION 133

EXERCICES DES CHAPITRES 1 A 4 148

ANNEXES 179

INDEX 186

BIBLIOGRAPHIE 188

Les points difficiles sont signalés par un astérisque. Les mots apparaissant dans le texte comme soulignés sont rassemblés dans l'index à la fin de ce poly.

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CHAPITRE 1 : LES BASES DE L'OPTIQUE

Mirage supérieur (Cantal, 1900)

Faisceau de fibres optiques

Salles : « laser » 030 ou 039

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SOMMAIRE DU CHAPITRE 1 : LES BASES DE L’OPTIQUE

1. NATURE DE LA LUMIERE 10 1.1 La nature de la lumière : une longue histoire 10 1.2 Le modèle ondulatoire aujourd'hui 11

a) La lumière : cas particulier des ondes électromagnétiques (A) 11 b) Particularités de la propagation de la lumière 11 c) Le modèle des rayons et surfaces d'onde 12 d) Propagation dans un milieu matériel 14 e) Retour sur le rayon lumineux 15 f) Retour inverse de la lumière 15

1.3 La lumière corpusculaire ? 15

2. REFLEXION ET REFRACTION DE LA LUMIERE 17 2.1 Expériences qualitatives 17 2.2 [CR] [EXAMTP] Étude quantitative de la loi de la réfraction 17

a) Dispositif et réglages 18 b) Expériences sur la réflexion et la réfraction 18

2.3 Les lois de Snell-Descartes 20 2.4 Interprétation de la réfraction en termes de propagation d'onde (A) 22 2.5 [CR] [EXAMTP] Etude quantitative de la réflexion totale 23 2.6 [CR] [EXAMTP] Le prisme 24

a) Expériences 24 b) Interprétation, et troisième détermination de l'indice de l'altuglas (A) 26

2.7 [CR] Bilan des différentes mesures de l'indice de l'altuglas 27 2.8 Synthèse sur les lois de Snell-Descartes 28

a) Réfraction dans le cas n1 < n2 28 b) Réfraction dans le cas n1 > n2 (A) 28

3. EXEMPLES D’APPLICATIONS 29 3.1. La réflexion totale ; application au guidage de la lumière 29 3.2 Les mirages 33

a) Propagation de la lumière dans un milieu inhomogène 33 b) Interprétation (A) 33

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Matériel à votre disposition par table • 1 laser

• 1 plateau tournant gradué

• Divers objets en altuglas : hémicylindre, couronne, ensemble de prismes, barreau

• 1 fibre optique

• Structure et pièces en bois pour bloquer le faisceau laser

• 1 lampe de table

Matériel pour l'enseignant

• 1 Laser (cylindrique) + pince + support à tige

• 1 grande cuve en plexiglas remplie d’eau + fluorescéine

• 1 longue cuve en plexiglas pour expérience mirage

• Sucre en poudre

• Support élévateur (« boy »)

• Vaporisateur d’eau

• (1 récipient avec une lame en verre plongée dans du glycérol)

Les dangers du laser Le faisceau laser constitue un moyen très performant pour transporter une grande densité d’énergie sur d’assez grandes distances. Les risques liés au faisceau sont donc surtout des risques d’incendie ou de brûlure. Ces risques dépendent en particulier de la puissance. Les lasers très puissants peuvent brûler les tissus vivants (certains sont utilisés comme bistouris, ou pour la découpe de métaux).

La plupart des lasers, même de faible puissance, peuvent provoquer de graves lésions dans l’œil. En effet, un faisceau parallèle qui atteint l’œil est focalisé sur la rétine. Toute la puissance est ainsi concentrée sur quelques cellules seulement. Les lésions provoquées dépendent alors de la puissance du laser et peuvent aller jusqu’à la destruction complète des cellules de la rétine, laissant alors définitivement aveugles les zones atteintes. Ainsi, même pour un laser de faible puissance (inférieure à 1 mW, laser dit de classe II) tel que ceux que vous utilisez en TP, il est encore plus dangereux et dommageable pour l’œil de regarder le faisceau dans l’axe que de regarder le soleil en face ! Il convient donc d’observer quelques règles de sécurité lors de vos manipulations :

NE REGARDEZ JAMAIS LE FAISCEAU DANS L’AXE. Evitez les risques de réflexions parasites : prenez soin, avant de manipuler, d’enlever tout objet métallique ou vitreux (montre, bagues, bracelets..) qui pourraient les provoquer.

Un obturateur mécanique vous permet d’occulter le faisceau sans éteindre le laser. Utilisez-le chaque fois que vous modifiez les éléments placés sur le parcours du faisceau.

Ne cherchez pas à enlever ou modifier les rideaux noirs disposés autour de votre table.

Ne luttez pas contre le réflexe de fermeture des paupières.

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1. Nature de la lumière

1.1 La nature de la lumière : une longue histoire1 Jusqu'au XVIIe siècle, l'optique se développe sans chercher à connaître la nature de la lumière. C’est ce qu’on appelle aujourd’hui l’optique géométrique. En effet, celle-ci est basée sur le principe de propagation rectiligne de la lumière dans le vide ou dans un milieu transparent homogène, et sur les lois de la réflexion et de la réfraction. Celles-ci sont tirées de l'expérience par Ptolémée puis par Snell2. On construit des instruments d’optique : télescope et lunette astronomique pour observer les étoiles, microscope pour observer des micro-organismes3… Mais la nature de la lumière n'est pas en question. Le premier modèle est proposé par Newton qui considère la lumière comme des corpuscules matériels soumis à la gravitation universelle. Il explique la réfraction comme l'effet de l'attraction de la matière : lorsque la lumière passe, par exemple, de l'air à un milieu dense, elle serait attirée par le milieu - donc accélérée - et irait alors plus vite dans un milieu plus dense. Parallèlement, il s'intéresse à la question des couleurs et conclut de ses expériences avec le prisme que la lumière du Soleil est composée de différentes lumières correspondant à des couleurs différentes qui, combinées ensemble, donnent la lumière blanche. Contemporain de Newton, Huygens défend un autre modèle : la lumière se propagerait de proche en proche par le jeu des "chocs" de particules très proches : la lumière se propagerait donc comme une onde mécanique. Une différence essentielle avec les prédictions de Newton, était le fait que dans le modèle de Huygens, la vitesse de la lumière devait être plus faible dans le verre que dans l'air. Vers 1800, Young interprète l’existence des couleurs observées sur une couche d’huile en faisant une analogie avec le son. Il modélise la lumière par une onde progressive périodique et introduit l’idée que de la lumière ajoutée à de la lumière peut donner de l’obscurité ! Il appelle ce phénomène interférences lumineuses et met ensuite au point une nouvelle expérience pour tester son hypothèse. Obtenant une source quasiment ponctuelle en éclairant un petit trou, il fait passer la lumière dans un système constitué de 2 trous voisins. A la sortie du système, il observe bien des franges alternativement claires et sombres dans la tache lumineuse résultant de la superposition de la lumière provenant de chacun des trous. Si Young peut interpréter l’apparition des franges, il ne peut expliquer le fait que la lumière éclairant les trous est déviée à leur passage. C’est Fresnel qui interprète ce phénomène appelé diffraction en combinant le principe des ondes-enveloppes de Huygens et le principe de superposition des ondes périodiques de Young. Plus tard, Fresnel montre que l'analogie avec le son a des limites. Il faut en effet considérer l’onde lumineuse comme une onde transversale et non comme une onde longitudinale pour expliquer les effets de polarisation. C'est en 1862 que Léon Foucault, expérimentateur de génie, parvient à estimer la vitesse de la lumière sur un parcours de quelques mètres seulement : il a montré que la lumière allait plus vite dans l'air que dans l'eau, et donc que la vision de Huygens était la bonne4... En 1864, James Clark Maxwell synthétise les lois de l'électricité et du magnétisme en les ramenant à 4 relations fondamentales : les équations de Maxwell de l'électromagnétisme. De ces équations, il tire une conséquence extraordinaire : les champs électrique et magnétique 1 De nombreux problèmes ont en effet, durant des décennies, suscité interrogations et controverses ! Voir encadrés pages suivantes. 2 Ptolémée n'avait trouvé qu'une loi de proportionnalité pour les petits angles. La "loi des sinus" a été découverte par le Hollandais Snell, mais publiée par… Descartes. Elle est ainsi appelée en France (uniquement !) "loi de Descartes" et partout ailleurs "loi de Snell". 3 Voir l’encadré sur les instruments d’optique à la fin du chap. 3. 4 Pour la mesure effectuée par Fizeau, voir l'encadré correspondant. Pour la mesure de Foucault, voir l'ex. 1.6.

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peuvent se combiner pour donner lieu à une "perturbation" qui se propage, et la vitesse de propagation est précisément celle de la lumière. Le modèle de l'onde électromagnétique de la lumière était né.

1.2 Le modèle ondulatoire aujourd'hui

a) La lumière : cas particulier des ondes électromagnétiques (A) Les ondes électromagnétiques sont désormais détectées et utilisées dans un très large domaine de fréquence. Celles-ci vont en effet des bien connues "ondes radio", et micro-ondes des fours modernes, aux rayons X et rayons gamma de très haute énergie. Le terme de "lumière" désigne en fait la gamme de fréquence des ondes électromagnétiques pour lesquelles l'œil est sensible.

Les ondes électromagnétiques

b) Particularités de la propagation de la lumière Deux particularités sont essentielles pour les ondes électromagnétiques et en particulier la lumière :

• Contrairement aux ondes mécaniques (ondes acoustiques, ondes sismiques, ondes à la surface de l'eau, etc.), la lumière possède la particularité de ne pas avoir besoin de support matériel pour se propager : la lumière se propage dans le vide !

• La célérité de la lumière dans le vide, traditionnellement notée c, est la même quelle que soit la fréquence et quel que soit le référentiel (galiléen) : la lumière qui se propage à la célérité c dans une fusée en mouvement, se propage à la même célérité vue de la Terre !

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Encadré : Un peu de métrologie.

La valeur de la célérité de la lumière, est de 299792,458 km.s-1. Cette valeur a été fixée par décret en 1983 comme "valeur exacte".

Elle sert depuis à définir le mètre dans le système international d’unités : le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458 de seconde.

La seconde est définie par ailleurs à partir de transitions électroniques de l'atome de césium 133.

c) Le modèle des rayons et surfaces d'onde En fait, comme l'histoire l'a montré, dans de nombreux phénomènes, il n'est pas nécessaire de connaître la nature électromagnétique de la lumière. Il suffit de modéliser la lumière comme un onde progressive périodique. Sa périodicité est fixée par sa fréquence (associée aux couleurs de l'arc-en-ciel) et sa célérité dans le vide est égale à c, quelle que soit sa fréquence.

A toute onde périodique, on peut donc également associer une longueur d'onde dans le vide :

Une onde lumineuse comprenant une seule fréquence (ou de manière équivalente, une seule longueur d'onde et donc une seule couleur) est appelée monochromatique. Les sources de lumière sont en général polychromatiques (voir chapitre 4). La lumière d'un laser peut être considérée dans de nombreuses applications comme quasiment monochromatique. Cette onde se déplace dans tout l'espace, c'est-à-dire en 3 dimensions. Tout en gardant à l'esprit que la lumière se propage dans le vide, on peut imaginer le "front" d'une onde émise par une source ponctuelle comme progressant à la manière d'une bulle que l'on gonfle. L’ensemble des points de l’espace atteints au même instant par le front est appelé surface d’onde. Dans le cas d’une onde périodique, nous avons une succession de telles surfaces en expansion à la célérité c et qui sont séparées par une longueur d’onde. Pour se faire une idée de la façon dont les surfaces d’onde s’agrandissent dans l’espace, on peut regarder les ondes à la surface de l'eau.

On voit que la forme de l’onde est telle qu’en tout point, une surface d'onde est normale à la direction de propagation. S'il n'y a pas d'obstacle, l'onde se propage à la même célérité à partir du point d'émission de l'onde : les surfaces d'onde sont donc des cercles, et les directions de propagation sont les rayons.

λ0=cf

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On peut également faire des vagues "planes". La direction de propagation est alors représentée par des droites parallèles.

Surfaces d'onde circulaires (gauche) ou planes (droites) ; cliché expérimental représentant des vagues

à la surface de l’eau (dans une cuve à ondes).

Les éléments en pointillés représentent des surfaces d'onde et les flèches les directions de propagation, perpendiculaires à celles-ci. Sur la figure de gauche, les surfaces d'onde sont circulaires et les flèches sont selon les rayons des cercles. Sur la figure de droite, les surfaces d'onde sont rectilignes et les flèches sont parallèles entre elles. Pour une onde lumineuse monochromatique, on peut définir de façon équivalente un tel front d'onde et les directions de propagation s'appellent les... rayons. Un faisceau de lumière émis par un point source pourra se représenter par une onde sphérique (on dessinera un arc de cercle) et les rayons "proviennent" du point.

représentation dans l'espace représentation dans un plan (image en 2D)

Si la source est très éloignée, les rayons qui nous parviennent sont quasiment parallèles : on dit que le faisceau est parallèle et que l'onde est une onde plane.

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Source éloignée Source à l’infini : onde plane

d) Propagation dans un milieu matériel Un milieu dans lequel la lumière peut se propager est un milieu transparent. Un tel milieu, s'il a les mêmes propriétés en tout point est dit homogène ; s'il a les mêmes propriétés pour toute direction de propagation de la lumière, il est dit isotrope ; la propagation de la lumière dans un tel milieu peut se décrire de la même manière que dans le vide. Toutefois, on sait depuis Foucault que la célérité n'est pas la même : elle est toujours plus faible que dans le vide.

Le milieu est alors caractérisé par son indice optique. Si on note v la célérité dans le milieu,

l'indice optique est défini par :

Remarques importantes :

• La célérité dans le vide étant une valeur maximale, l'indice est donc toujours supérieur ou égal à 1.

• L'indice de l'air est très voisin de 1 : il est égal à 1,000 292 6 dans les conditions normales de température et de pression ; cet indice dépend de la masse volumique de l'air, et sa variation est continue entre des couches d'air de températures différentes. Ce dernier effet permet d'expliquer les mirages (voir à la fin de ce chapitre).

• La célérité dans un matériau dépend en général de la fréquence : dans le verre par exemple, le "rouge" se déplace plus vite que le "bleu". Ceci sera essentiel pour comprendre la dispersion de la lumière (chapitre 4).

• Attention à l'expression "longueur d'onde" souvent utilisée en optique : elle désigne de façon implicite la longueur d'onde dans le vide. En effet, la longueur d'onde d'une onde est une conséquence de la célérité, donc elle dépend du milieu.... En toute rigueur, il ne faudrait utiliser pour caractériser une onde que sa fréquence. C’est cette grandeur qui ne change pas lorsque l’onde change de milieu de propagation.

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Quelques valeurs d'indices mesurées dans différents matériaux (pour λ = 589,3 nm) :

Matériau Indice

Air (0 °C, 101 325 Pa) 1,000293

Eau (20°C) 1,3330

Verre ordinaire entre 1,51 à 1,53

Diamant 2,4173

Une dernière remarque : en y réfléchissant un peu, on se rend compte que les milieux transparents sont plutôt rares parmi les matériaux qui nous entourent…Au chapitre 4, nous comprendrons un peu mieux pourquoi les matériaux sont plutôt opaques, et colorés.

e) Retour sur le rayon lumineux En fait, le modèle du rayon lumineux correspond à la plus ancienne description de la lumière. Il traduit le fait que, dans un milieu homogène et isotrope, la lumière "se propage en ligne droite", ceci provenant de l'observation des ondes portées, qui permet d'expliquer les éclipses, etc. En résumé, un rayon lumineux est une modélisation mathématique. Les technologies modernes, en particulier le laser, permettent de faire des faisceaux très étroits. On les appelle des pinceaux lumineux, mais souvent, par abus de langage, on parle de "rayon laser".

f) Retour inverse de la lumière La trajectoire de la lumière dans un milieu homogène et isotrope est une ligne droite, et ce, indépendamment du sens de propagation de la lumière.

1.3 La lumière corpusculaire ? Malheureusement (ou peut-être heureusement pour le renouveau de la physique !), un certain nombre de phénomènes se sont avérés très difficiles à interpréter avec le modèle ondulatoire de Maxwell. Il s'agissait en particulier de l'effet photoélectrique, c'est-à-dire de la possibilité d'éjecter des électrons d'un métal simplement en l'éclairant ! Encore fallait-il que la fréquence de la lumière soit adéquate... C'est Einstein qui montra en 1905 que si l'on modélise la lumière comme des paquets d'énergie (licht quantum) on pouvait expliquer ces propriétés étranges de l'effet photoélectrique. Cette hypothèse fut confirmée sur d'autres phénomènes et le concept de photon fut ainsi inventé. Albert Einstein obtint le prix Nobel de physique pour sa contribution à la théorie de l'effet photoélectrique en 1921. Le photon est considéré en physique quantique comme une particule tout à fait particulière : de masse nulle, elle possède de l'énergie et se déplace à la vitesse c. Le photon est aussi considéré comme la particule "porteuse" de l'interaction électromagnétique.

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Encadré : Fizeau et la mesure directe de la vitesse de la lumière.

Hippolyte Fizeau (1819-1896) réalise en 1849 la première mesure directe de la vitesse de la lumière. Le principe de sa mesure repose sur l’utilisation d’une roue dentée en rotation à grande vitesse, et est illustré par le schéma ci-dessous :

Pendant le temps que met la lumière pour faire l'aller-retour entre L1 et L2, la roue dentée a légèrement tourné. Pour certaines valeurs de la vitesse de la roue, elle aura tourné d'un nombre entier d'échancrures, et la lumière réfléchie pourra bien être observée par l'expérimentateur (dans le cas d'un nombre demi-entier, le point lumineux disparaît!)

Le dispositif de renvoi de la lumière est constitué de deux lunettes astronomiques en regard. La lumière d’une source très intense située en S pénètre dans la lunette L1 perpendiculairement à son axe. Une lame semi-réfléchissante inclinée à 45° renvoie le faisceau dans l’axe de la lunette. Le faisceau émergent, après passage par la roue dentée et parcours d'une distance d'environ 8 km, traverse l’objectif de la lunette L2, au foyer de laquelle Fizeau a placé un miroir. La lumière est réfléchie et parcourt un trajet analogue à celui de l’aller, entrant cette fois par l’objectif de L1. L’image de la source est observée à l’oculaire de L1.

La lunette L1 est placée à Suresnes sur la terrasse de la maison de Fizeau et L2 sur la terrasse d’un ami à Montmartre à 8633 mètres de L1. La roue dentée a 720 dents, et la vitesse la plus faible pour laquelle le point lumineux réapparaît est de 25.2 tours/s.

On trouve ainsi (vérifiez-le!) une vitesse de 313274 km.s-1, en accord avec les mesures astronomiques. Une détermination plus précise de 298000 km.s-1 sera donnée par Foucault en 1862 avec l’expérience à miroir tournant.

Une version modernisée de l'expérience de Fizeau a été montée en 2005 dans le cadre de l'exposition "c à Paris", à l'Observatoire de Paris. Dans ce cadre, un laser vert a été tiré entre l'Observatoire et Montmartre (photo ci-contre) pour mesurer la vitesse de la lumière.

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2. Réflexion et réfraction de la lumière

Le Compte-Rendu de TP ne portera que sur les sections marquées [CR] : sections 2.2, 2.5, 2.6, et 2.7.

2.1 Expériences qualitatives

La réfraction de la lumière est responsable d'effets bien connus comme celui du "crayon brisé" (cf. chapitre 2). Le mot provient d'ailleurs du mot fracture qui correspond au trajet "brisé" de la lumière : celle-ci change de direction lors du passage d'un milieu à un autre.

Expérience 1 (à réaliser par l'enseignant) : montrer ce qu'il advient d'un faisceau laser à l'interface air/eau (utiliser une grande cuve remplie d'eau). Faire un schéma légendé avec les termes suivants: faisceaux incident, réfléchi, réfracté. Dioptre, normale au dioptre, plan d'incidence. Angles d'incidence, de réflexion et de réfraction.

Interface air / eau

L’objectif du travail qui vous est demandé est de déterminer un encadrement de la valeur de l'indice n de l'altuglas (milieu transparent) après exploitation et confrontation des résultats obtenus par les 3 méthodes détaillées dans les sections 2.2-2.3, 2.5 et 2.6.

2.2 [CR] [EXAMTP] Étude quantitative de la loi de la réfraction Il s’agit de réaliser les mesures des angles d'incidence et de réfraction, aussi proprement que possible, de façon à retrouver les lois de Snell-Descartes pour le dioptre air-altuglas5.

5 L’altuglas est une marque déposée par la société Altulor pour désigner une matière plastique disponible sous la forme de plaques de polymétacrylate de méthyle.

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a) Dispositif et réglages Vous disposez sur votre table d’un dispositif expérimental prévu pour l’étude de la réflexion et la réfraction d’un faisceau laser. Il s’agit d’une platine munie d’une couronne d’altuglas rouge, pouvant tourner sur son socle. Elle est également munie d’une graduation permettant des mesures d’angles.

Platine tournante. A gauche, la platine munie de la couronne d’altuglas. A droite, schéma de principe montrant la platine munie de l’hémicylindre d’altuglas correctement positionné par rapport à la

source laser

Le principe du réglage est le suivant : Allumez le laser. Positionnez, en le glissant sur la table, le plateau tournant afin de faire passer le faisceau au-dessus des graduations 0 et 180 de la graduation, puis faites tourner le plateau afin de vérifier que le faisceau passe toujours bien par le centre.

Obturez le faisceau laser, puis placez l’hémicylindre d’altuglas dans la partie centrale de la couronne. Positionnez-le de façon à superposer sa face plane avec les graduations 90 et 270 de la platine.

Cet hémicylindre permet d’étudier ce qu’il advient d’un rayon lors d’un changement de milieu : on peut ainsi étudier le passage air-altuglas ou altuglas-air. Le dispositif ainsi réglé, vous pouvez tourner la platine sur elle-même. La face plane de l’hémicylindre constitue le dioptre plan qui sera étudié dans cette séance. La normale est ainsi repérée par la graduation 0 de la platine ; la lecture de l’angle d’incidence est donc immédiate.

Quel est l’intérêt de la couronne d’altuglas ? (∗)

b) Expériences sur la réflexion et la réfraction [CR] Expérience 2 : Passage air → altuglas

Que devient le faisceau laser lors d’un passage air → altuglas ? S'éloigne-t-il ou se rapproche-t-il de la normale (par rapport à la direction du faisceau incident) ?

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Repérez les différents faisceaux présents et nommez-les. Complétez le schéma ci-après.

Observez-vous toujours un faisceau réfléchi ? Observez-vous toujours un faisceau réfracté ?

Faites varier l’angle d’incidence i entre 0 et 90°, et mesurez à chaque fois l’angle de réfraction r correspondant. Estimez les incertitudes notées δi et δr sur chaque mesure (l’incertitude peut varier d’un point à un autre). Complétez les colonnes correspondantes du tableau ci-dessous.

i (°) δ i (°) r (°) δ r (°) sini δ(sini) sinr δ(sinr)

0°

15°

30°

45°

60°

Indiquez comment vous avez estimé les incertitudes sur i et r :

Pour les colonnes δ(sini) et δ(sinr), appliquez la formule suivante qui sera discutée lors de la séance S2 (méthode de la dérivée, chap.5 p.138) : 𝛿𝛿(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠) = |𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠| × 𝛿𝛿𝑠𝑠 Attention 𝛿𝛿𝑠𝑠 doit être en radians.

Tracez un graphique en portant sini en fonction de sinr sur un papier millimétré. Reportez-vous à l’annexe 2 pour des recommandations sur la manière de tracer votre graphe. Représenter également les barres d'erreur associées à chaque point, c’est-à-dire les croix représentant les intervalles [sinr − δ(sinr) ; sinr + δ(sinr)] et [sini − δ(sini) ; sini + δ(sini)]. D’après votre graphique, quelle relation simple pouvez-vous établir entre sini et sinr ?

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2.3 Les lois de Snell-Descartes On appelle dioptre la surface séparant deux milieux transparents. Si la lumière se propage en ligne droite dans un milieu transparent homogène et isotrope, elle est déviée lors du passage d'un dioptre : il y a réfraction. De façon générale, il y a à la fois réfraction et réflexion : une partie de la lumière est réfléchie à la surface du dioptre et l'autre partie est réfractée lors de son passage dans l'autre milieu. Le changement de direction au niveau du dioptre est décrit par les lois de Snell-Descartes qui fondent l'optique dite « géométrique ». Ces lois peuvent se représenter graphiquement en les appliquant à un rayon unique - dit incident - interceptant le dioptre en un point dit point d'incidence. On considère un rayon se propageant dans un milieu transparent homogène et isotrope d'indice de réfraction n1, et arrivant sur une surface séparant ce milieu d’un deuxième milieu d’indice n2. Le plan d'incidence est le plan qui contient le rayon incident et la normale à la surface au point d'incidence. L'angle d'incidence est l'angle entre le rayon et la normale à la surface.

Les lois de Snell-Descartes sont au nombre de 3, et s'énoncent ainsi : 1. Les rayons lumineux réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence. 2. L'angle de réflexion (angle entre le rayon réfléchi et la normale au dioptre au point d’incidence) est égal à l'angle d'incidence. 3. Le rayon lumineux transmis est tel que l'angle de réfraction (angle entre le rayon réfracté et la normale au dioptre au point d’incidence) est lié à l'angle d'incidence par la formule : n1 sin(θ1) = n2 sin(θ2) (loi de la réfraction) où n1 est l'indice du milieu d'incidence, n2 celui du milieu de réfraction, θ1 l'angle d'incidence et θ2 l'angle de réfraction.

(A)

Réfraction avec un indice n2 > n1

[CR] Interprétation de l’expérience 2 : Faites le lien avec le graphique que vous avez tracé et en déduire une estimation de l'indice n de l'altuglas ?

Méthode : pour mesurer la pente d'une droite avec le maximum de précision, il faut prendre les coordonnées de deux points situés aux extrémités du segment tracé. Ces points ne sont pas forcément des points de mesure.

21

n ≈

La détermination de l'incertitude sur cette mesure de n n’est pas demandée ici.

Remarque 1 : la réfringence est la propriété d'un milieu de réfracter la lumière. La réfringence d'un milieu optique est mesurée par l'indice de réfraction. On parle ainsi de milieu « plus ou moins réfringent » suivant la valeur de l'indice (un milieu plus réfringent est un milieu d’indice plus grand). Celui-ci est introduit de manière empirique dans les lois de Snell-Descartes. Nous avons vu au §1 que l'indice pouvait aussi être défini par le rapport des célérités de la lumière (n = c/v). Remarque 2 : La photo ci-contre montre une lame de verre plongée dans un liquide (du glycérol, par exemple). Comment peut-on interpréter ce qu'on voit (la photo n'est pas truquée!)?

Remarque 3 : Lois de Snell-Descartes et surfaces courbes (voir le chapitre 2 et 3) Les lois de Snell-Descartes s'appliquent même lorsque les surfaces sont courbes. Pour chaque rayon, il faut considérer la normale à la surface en chaque point d'incidence. L'application des lois de la réflexion et de la réfraction permet alors de tracer les rayons réfléchis et réfractés, donnant ainsi des informations sur la géométrie du faisceau réfléchi et du faisceau réfracté. La figure ci-contre donne un exemple dans le cas d'un dioptre concave, où le milieu de réfraction (à droite) est plus réfringent que le milieu d'incidence.

Remarque 4 : D’où viennent les lois de Snell-Descartes ? En optique dite « géométrique » (c’est le cadre de ce cours), elles sont posées par hypothèse. En électromagnétisme, ce qui est posé, ce sont les équations de Maxwell, et on peut à partir de là démontrer les lois de Snell-Descartes. Notons que l’on peut également démontrer la loi de la réfraction à partir du principe de Fermat (voir exercice 1.9) ; c’est alors celui-ci qui est posé…

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2.4 Interprétation de la réfraction en termes de propagation d'onde (A) On considère une onde plane qui se propage dans un milieu transparent donné, et qui arrive sur un milieu dans lequel la vitesse de l'onde est plus faible que dans le premier milieu. On peut alors comprendre pourquoi l'onde est déviée grâce au raisonnement suivant. Lorsqu'une partie du front d'onde atteint le milieu où la célérité est plus faible, cette partie progresse moins vite que celle qui est encore dans le premier milieu. Le schéma ci-contre représente ainsi plusieurs fronts d'ondes (ou un même front d'onde qui s'est déplacé) sous forme de droites en pointillés (il faut imaginer les plans vus en coupe). Se déplaçant moins vite, les fronts d'onde qui en résultent dans le second milieu ont donc subi un "changement de cap" : une déviation. On peut alors dessiner un rayon (parmi d'autres) comme perpendiculaire aux fronts d'onde (trait continu avec une flèche). La déviation correspondante est évidemment la même pour le rayon.

On peut également voir le phénomène du point de vue de la longueur d'onde. En effet la

longueur d'onde, définie par , où v désigne la célérité de l'onde dans le milieu, sera plus

faible dans le milieu de célérité moindre. Si l'on interprète le schéma ci-dessus, en considérant que les droites en pointillés représentent les surfaces d'onde séparées par la longueur d'onde λ1 dans le premier milieu, alors on constate bien que la longueur d'onde λ2 dans le second milieu est plus faible. Et comme une célérité plus faible correspond à un indice plus grand... Ce modèle permet aussi d'interpréter le cas "inverse" où la lumière passe d'un milieu à un autre milieu moins réfringent, et en particulier la réflexion totale : dans le cas, contraire à celui traité ci-dessus, d'une onde arrivant d'un milieu d'indice plus élevé vers un milieu d'indice plus faible (il suffit de retourner le dessin ci-dessus de 180°), il existe un angle d'incidence tel que les fronts d'onde de l'onde transmise sont perpendiculaires à l'interface, et donc l'onde transmise se propage parallèlement à celle-ci. Remarque : pour l’onde réfléchie, elle a nécessairement la même longueur d’onde que l’onde incidente (étant dans le même milieu que celle-ci) ; elle est donc symétrique de l’onde incidente par rapport à la normale à l’interface.

λ1

λ2

23

2.5 [CR] [EXAMTP] Etude quantitative de la réflexion totale [CR] Expérience 3 : passage altuglas → air

Que devient le faisceau laser lors d’un passage altuglas → air ? S'éloigne-t-il ou se rapproche-t-il de la normale ?

Repérez les différents faisceaux présents et nommez-les. Complétez le schéma ci-après.

Observez-vous toujours un faisceau réfléchi ? Observez-vous toujours un faisceau réfracté ?

Repérer la valeur de l'angle d'incidence ilim à partir duquel vous n'observez plus de réfraction. Noter celle-ci sous forme d'un encadrement représentant l'incertitude de votre estimation.

< ilim <

Déterminer ensuite la relation entre ilim et l’indice n de l’altuglas.

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L’appliquer afin d’en déduire une estimation de n, en encadrant cette valeur.

Valeur de n :

< n <

Appliquez maintenant la formule suivante (méthode de la dérivée, chap.5 p.138, discutée lors de la séance S2) pour déterminer directement l’incertitude δn sur n en fonction de l’incertitude δilim sur ilim : 𝛿𝛿𝑠𝑠 = � 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙� × 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑙𝑙𝑑𝑑𝑙𝑙

Attention δilim doit être en radians. Vérifiez que les deux méthodes donnent bien le même résultat.

ilim = ±

δilim =

n =

δ n =

n = ±

2.6 [CR] [EXAMTP] Le prisme Un prisme est un milieu homogène limité par deux dioptres plans non parallèles, appelés les faces d'entrée et de sortie du prisme (toutes les deux sont polies). Leur intersection forme l'arête du prisme, caractérisée par un angle A. Les deux propriétés principales des prismes sont de dévier et de disperser la lumière. La dispersion signifie la séparation d'un rayonnement polychromatique en ses différentes composantes et sera étudiée au chapitre 4. Ici, nous nous intéresserons à la déviation d'un faisceau monochromatique par un prisme.

a) Expériences Dans la pratique, la propriété qu'ont les prismes de dévier la lumière est utilisée dans de nombreux instruments d'optique, souvent dans le but de réduire la taille du système optique, en le "pliant".

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[CR] Expérience 4 : observation

Envoyer le faisceau laser sur un des prismes à votre disposition et observer la déviation du faisceau engendrée par le prisme.

Compléter le schéma ci-dessous en fonction de ce que vous observez. Définissez sur votre dessin l'angle de déviation D du faisceau (angle formé par les directions du faisceau avant et après le prisme).

Quel est l'intérêt d'un prisme par rapport à un dioptre plan unique ?

Existe-t-il toujours un faisceau émergent de la face de sortie du prisme ? Sinon, dans quelles conditions ce faisceau n'existe-t-il plus? Interpréter ce phénomène.

[CR] Expérience 5 : observation du minimum de déviation (A)

Tourner le prisme sur lui-même et constater l'existence d'un minimum de l'angle de déviation.

Pour mesurer cet angle de déviation sans erreur, on veillera à ce que le faisceau laser passe bien par le centre de la platine graduée et à ce que le sommet du prisme soit également au centre de la platine : ainsi, les points d’incidence sur les faces du prisme sont quasiment confondus et au centre de la platine. On visualise alors le faisceau incident rasant le prisme, le faisceau dévié par le prisme, et l’angle lu sur la platine graduée entre ces deux rayons correspond bien à l’angle de déviation du prisme.

Mesurer la valeur de la déviation minimale (Dm) :

Dm = ±

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b) Interprétation, et troisième détermination de l'indice de l'altuglas (A) On peut calculer la déviation d'un rayon en utilisant les lois de Snell-Descartes au passage de chacun des deux dioptres. La différence ici vient évidement de ce que les deux dioptres forment un angle (noté traditionnellement A) qui intervient dans la réfraction sur le second dioptre.

Complétez le schéma ci-dessus avec les notations suivantes : • i est appelé angle d'incidence, c'est l’angle entre le rayon incident et la normale à la

face d’entrée du prisme, au point J. • r est l’angle entre le rayon dans le prisme et la normale à la face d’entrée du prisme au

point J. • r’ est l’angle entre le rayon dans le prisme et la normale à la face de sortie du prisme

au point J’ (point de la face de sortie par lequel le rayon sort du prisme). • i’ est l’angle entre le rayon émergeant du prisme et la normale à la face de sortie du

prisme au point J’. On montrera en TD (ex. 1.5) que l'indice du prisme s'exprime comme suit : En considérant que l'incertitude sur l'angle A est négligeable devant celle sur la mesure de Dm, déterminer l'incertitude δn sur l'indice n, en fonction de δDm. En déduire une nouvelle estimation de l'indice n avec l'incertitude associée :

𝑠𝑠 = sin(𝐴𝐴+𝐷𝐷𝑙𝑙2 )

sin(𝐴𝐴2) =

δn = cos(𝐴𝐴+𝐷𝐷𝑙𝑙2 )

2 sin(𝐴𝐴2) × δDm =

n = ±

27

2.7 [CR] Bilan des différentes mesures de l'indice de l'altuglas

Méthode Valeur obtenue

Expérience 2 :

Mesure de la pente à partir du graphique représentant : sin(i) = n sin(r)

n ~

Expérience 3 :

Mesure de l'angle de réfraction limite altuglas/air :

n = ±

Expérience 5 :

Mesure de l'angle de déviation minimale Dm

n = ±

Des résultats sont dits compatibles ou cohérents si les intervalles formés par les incertitudes se recouvrent. Une méthode est d’autant plus précise qu’elle donne des résultats avec une faible incertitude. Commentez les résultats obtenus.

28

2.8 Synthèse sur les lois de Snell-Descartes Reprenons ici les différents cas vus expérimentalement.

a) Réfraction dans le cas n1 < n2

Dans ce cas on a sin 𝑠𝑠2 = 𝑑𝑑1𝑑𝑑2

sin 𝑠𝑠1 < sin 𝑠𝑠1 , puisque n1 < n2

Donc : i2 < i1 quel que soit i1 entre 0 et 90°. L'angle i2 étant toujours défini, le rayon réfracté dans le milieu 2 existe toujours. Le rayon réfléchi existe également toujours.

b) Réfraction dans le cas n1 > n2 (A)

Ici sin 𝑠𝑠2 = 𝑑𝑑1𝑑𝑑2

sin 𝑠𝑠1 > sin 𝑠𝑠1 car n1 > n2

Donc cette fois : i2 > i1 (schéma).

L'angle i2 est défini pour sin 𝑠𝑠2 ≤ 1 ,

soit 𝑑𝑑1𝑑𝑑2

sin 𝑠𝑠1 ≤ 1

soit encore sin 𝑠𝑠1 ≤ 𝑑𝑑2𝑑𝑑1

Soit ilim la valeur particulière de i1 telle que 𝑑𝑑1𝑑𝑑2

sin 𝑠𝑠lim = 1 . L'angle i2, et donc le rayon réfracté dans le milieu 2, est défini pour 𝑠𝑠1 ≤ 𝑠𝑠lim (la fonction sinus est croissante sur [0:π/2]). Pour i1 > ilim le rayon réfracté n'est plus défini. Seul le rayon réfléchi existe: c'est la réflexion totale. ilim est appelé angle limite de réflexion totale. A l’interface séparant deux milieux transparents, il y a donc toujours réflexion, mais pas toujours réfraction.

i1

i2

n1 < n2

n2

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3. Exemples d’applications

3.1. La réflexion totale ; application au guidage de la lumière Le phénomène de réflexion totale est utilisé pour le guidage de la lumière dans les fibres optiques, très utilisées dans le domaine des télécommunications (voir l’encadré correspondant, ainsi que l’exercice 1.8). Comment est-il possible de guider la lumière ? La théorie des fibres optiques est complexe, nous aborderons ici leur fonctionnement uniquement du point de vue de l’optique géométrique6. Tout d’abord, nous allons montrer que la lumière peut être guidée par une simple règle en altuglas.

Expérience 6 : guide de lumière dans l’altuglas

Faites entrer le faisceau laser par un bout de la règle en altuglas à votre disposition. En orientant convenablement celle-ci par rapport au faisceau, que constatez-vous ? Quel phénomène est responsable de la propagation du faisceau dans la règle ? Représentez ci-dessous ce que vous observez sur un schéma aussi précis que possible.

6 Ceci est valable tant que le diamètre de la fibre est très grand devant la longueur d'onde de la lumière.

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Que pouvez-vous dire de l’intensité du faisceau à la sortie de la règle par rapport à l’entrée ? Cela veut-il dire qu’il n’y a pas réflexion totale ? Quel processus physique est à l’origine de ces pertes (cf. l’encadré « réfraction, diffraction, et diffusion » et la question de l’expérience 2) ?

Expérience 7 : fibre optique

Faites entrer le faisceau laser par un bout de la fibre en optimisant l’orientation de la fibre par rapport au laser. Qu’observez-vous ? Expliquez. Que pouvez-vous dire de l’intensité en sortie de fibre ? Quelles sont à votre avis les difficultés rencontrées lorsqu’on veut transmettre de la lumière par fibre optique ?

Une autre application du phénomène de réflexion totale est : les prismes à réflexion totale, qui remplacent parfois les miroirs (en effet les prismes sont moins onéreux) dans les systèmes optiques, comme par exemple dans un périscope (voir ci-dessous), ou encore dans des jumelles. Schéma de principe d’un périscope (en réalité, on trouve un

certain nombre de lentilles entre les deux prismes, non représentées ici).

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Encadré : les applications des fibres optiques

Faisceau de fibres optiques

On utilise des fibres optiques en verre pour le transport d’information depuis les années 1950 environ. C’est surtout quand le laser est apparu dans les années 1960 que l’utilisation de la lumière pour le transport d’information (plutôt que d’autres ondes électromagnétiques de plus basse fréquence, comme les micro-ondes) s’est beaucoup répandue.

Aujourd’hui, 2/3 des communications mondiales s’effectuent par câble, contre 1/3 seulement par satellite. Les fibres optiques sont utilisées dans les communications terrestres : elles sont présentes le long des autoroutes, des voies ferrées, et sous nos pieds lorsque nous marchons sur les trottoirs des villes. Elles sont également enfouies dans les océans : 200 000 km de câbles sont posés chaque année dans tout ce que la planète compte de mers et d’océans.

Avant d’utiliser des fibres optiques, des câbles en cuivre avaient été posés, par exemple sous l’Atlantique ; le premier avait été posé en 1956, et ne permettait de transporter que 51 conversations simultanées. Le premier câble transatlantique à fibre optique a été installé au fond de l’océan en 1988, et permet de transporter 40000 conversations téléphoniques simultanées. Comme le signal s’atténue au fur et à mesure de sa propagation le long de la fibre, il est nécessaire de l’amplifier régulièrement. Dans ce but, des répéteurs sont disposés tous les 50 km environ. Le câble est posé à deux mètres sous terre et jusqu’à 2000 m de profondeur. C’est la seule méthode pour le protéger des filets de pêche et des ancres des bateaux…

On utilise également les fibres optiques sous forme de faisceau de fibres bien parallèles entre elles. Un tel faisceau permet de transporter point par point une image. C’est ce principe qui est utilisé par exemple dans les endoscopes (pour explorer les organes du corps humain, détecter d’éventuelles tumeurs), ou pour aller voir dans le cœur d’un réacteur nucléaire.

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Encadré : Une application de la réflexion totale

L’essor des nouvelles technologies a amené les constructeurs à développer de nouvelles façons d’interagir avec les systèmes informatiques. On connaissait les souris, les claviers, les tablettes graphiques, les « trackpads » (désormais de série sur tous les ordinateurs portables), etc. Depuis quelques années cependant, se développent des technologies permettant de rapprocher d’avantage l’utilisateur du support virtuel qu’il manipule. Nous vivons aujourd’hui l’avènement des technologies tactiles et « Multi-touch ».

Plusieurs techniques existent et l’une d’elles est le FTIR (pour « Frustrated Total Internal Reflection » ou « réflexion totale interne frustrée » - voir par exemple http://lowres.ch/ftir/ pour construire votre écran multi-touch maison !). Elle utilise le principe de réflexion totale et la diffusion d’onde au contact d’un obstacle. Son principe est simple : On utilise une plaque de plexiglas dans laquelle va se propager de la lumière infrarouge. Cette lumière est créée à partir de diodes spéciales disposées tout autour de la tranche de la plaque. Une partie de ces ondes lumineuses va être guidée dans la plaque par réflexion totale (voir schéma).

Au contact d’un ou plusieurs doigts sur la plaque de plexiglas, la lumière va être diffusée par la peau dans toutes les directions et certains rayons vont traverser la plaque. Une caméra infrarouge (ou une webcam modifiée) est chargée de filmer toute la surface de la plaque. Après numérisation de l’image et une détection des formes est effectuée (les doigts apparaissent comme des boules brillantes en infrarouge). La liaison avec un programme dédié permet d’associer la position des doigts et leurs mouvements à des actions spécifiques (rotation, agrandissement de photos, musique, dessin, etc.).

Image vue par la caméra IR Manipulation de photos sur en « multi-touch »

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3.2 Les mirages a) Propagation de la lumière dans un milieu inhomogène

Expérience 8 (à faire par l’enseignant) : courbure d’un faisceau lumineux

On dispose du sucre en poudre au fond d’une cuve (sur une épaisseur de 3 mm environ) que l’on remplit doucement d’eau (en versant l’eau le long des bords de la cuve). Après environ une heure d’attente, on envoie un faisceau laser à travers la cuve, légèrement incliné soit vers le haut, soit vers le bas.

Qu’observez-vous ? Faire un schéma.

b) Interprétation (A) On voit ici que le principe de propagation rectiligne n’est pas toujours valide. Il n’est vrai qu’en milieu homogène. En milieu inhomogène, les rayons lumineux sont courbes. Essayons de comprendre pourquoi les rayons lumineux sont courbes dans un milieu inhomogène, à l’aide d’un modèle ondulatoire. Le fait que le milieu soit inhomogène signifie que l’indice n’est plus uniforme : sa valeur varie d’un point à un autre du milieu. Supposons que cette variation d’indice soit assez « douce ». Par exemple, dans le cas de l’eau sucrée, l’indice augmente continûment entre celui de l’eau (1.33) et celui de l’eau saturée en sucre (environ 1.5), suivant un axe vertical orienté vers le bas.

On coupe le milieu en « tranches » horizontales, en considérant que l’indice est uniforme à l’intérieur d’une tranche, et qu’il varie d’une petite quantité δn (>0 dans le cas du schéma ci-dessus) entre une tranche donnée et celle située immédiatement en-dessous d’elle. On effectue le même type de dessin que pour l’interprétation de la loi de la réfraction (2.5). On trouve que la direction de la lumière dévie à chaque fois qu’on passe d’une tranche à la tranche du dessous. Le faisceau se courbe donc. On a traité ici le cas où l’indice augmente au fur et à mesure que la lumière avance. Dans le cas où l’indice diminue le long du trajet de celle-ci, on trouve que le faisceau doit se courber dans l’autre sens.

• C’est ce phénomène qui se produit lors des mirages que l’on observe facilement en été. D’une manière générale, les mirages se produisent à cause d’une variation de l’indice de l’air induite par une variation de la température (voir encadré ci-dessous).

nn+δn

n+2δn

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• L’atmosphère terrestre est inhomogène en température et en densité, et donc son indice optique varie également suivant la hauteur. Ceci est à la base du fait que le soleil apparaisse plus haut sur l’horizon qu’il n’est en réalité.

• Dans les fibres optiques à gradient d’indice, les rayons lumineux sont également courbés.

Encadré : les mirages

Le mirage inférieur

Quand la température de l’air diminue lorsqu’on s’éloigne d’une surface chauffée par le soleil (asphalte, sable..), il se produit le phénomène de mirage inférieur (ou « mirage du désert »). La densité de l’air augmente quand on s’éloigne de la surface chauffée, et l’indice aussi. On peut alors montrer que les rayons lumineux provenant du ciel sont courbés vers le haut. L’œil d’un observateur perçoit le reflet du ciel comme si le sol se comportait comme un miroir : c’est le mirage de l’oasis des Dupondt dans l’album de Hergé « Tintin au pays de l’or noir ». La figure suivante montre les trajets réel (2) et apparent (3) des rayons lumineux dans le cas d’un mirage inférieur (le trajet 1 correspondrait au cas d’un milieu homogène).

Principe du mirage inférieur Exemple (W. Tape, 1985)

Le mirage supérieur

Au contraire du « mirage du désert », il se produit lorsque la surface est plus froide que l’air au-dessus d’elle. Les rayons lumineux sont alors déviés vers le sol. Ce second type de mirage est observé plus rarement que le premier. C’est ce phénomène qui explique qu’on puisse parfois voir le Canigou (sommet des Pyrénées) depuis Cassis (près de Marseille).

Principe du mirage supérieur Le Canigou vu de Cassis

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Encadré : réfraction, diffraction, et diffusion : des notions à ne pas confondre !

Les mots réfraction et diffraction ont en commun de contenir l’idée de fracture.

Dans le cas de la réfraction, un faisceau de rayons parallèles arrivant sur un dioptre plan est dévié en passant dans le second milieu, de telle sorte que tous les rayons soient déviés de la même façon.

Dans le cas de la diffraction, un faisceau parallèle arrivant par exemple sur un trou assez petit (de taille pas trop grande devant la longueur d’onde du rayonnement lumineux) sera diffracté : à la sortie du trou, les rayons sont dirigés dans toutes les directions.

Le terme de diffusion signifie qu’un rayonnement incident est dévié dans de multiples directions (« éparpillé » en quelque sorte), en général par une particule ou une assemblée de particules. Citons quelques exemples :

• Diffusion de la lumière par de fines particules (poussière par exemple) : c’est ce qui permet de voir un faisceau laser, ou la lumière sous un nuage.

• Diffusion de la lumière par les molécules de l’atmosphère. Il se trouve qu’elle dépend de la fréquence de l’onde lumineuse (le bleu étant nettement plus diffusé que le rouge), c’est donc ce phénomène qui explique que le ciel nous apparaisse lumineux, et bleu (sans atmosphère, le ciel serait noir, comme celui qu’on voit sur la Lune).

La diffraction n’est qu’un cas particulier de la diffusion : on parle de diffraction lorsque l’élément diffuseur a une structure régulière (ex : grille), et de diffusion lorsqu’il est irrégulier ou aléatoire (ex : poussières en suspension).

Milieu 1

Milieu 2

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Encadré : un modèle microscopique pour expliquer la réflexion de la lumière (∗)

Dans tout ce qui précède, on a admis l’existence de l’onde réfléchie et de l’onde réfractée. Mais quelle est leur origine physique ? Ici, on tente d’expliquer l’existence des ondes réfléchies en se basant sur un modèle microscopique simple.

Considérons un milieu matériel homogène à l’état solide. Il est constitué d’atomes dont la taille (de l’ordre de 0.1 à 1 nm) est très petite par rapport à la longueur d’onde de la lumière (0.5 µm environ). Que se passe-t-il quand une onde plane arrive sur un atome ? L’onde lumineuse est absorbée par l’atome, puis réémise dans toutes les directions de l’espace ; on dit qu’elle est diffusée (voir l’encadré précédent). L’onde réémise par un atome est donc une onde sphérique.

Maintenant que se passe-t-il si l’on considère, non plus un seul atome, mais une assemblée d’atomes constituant un milieu dense ?

Le très puissant principe de Huygens répond à cette question : « chaque point d’une surface d’onde S atteinte par la lumière à l’instant t0 peut être considéré comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques. A l’instant t postérieur à t0, la surface d’onde S est l’enveloppe des surfaces d’ondes émises par les sources secondaires convenablement réparties sur S. »

Considérons le cas d’une onde lumineuse se propageant dans l’air et qui arrive en incidence oblique sur la surface d’un milieu dense homogène (cf. schéma ci-contre). En pratique, seule une mince couche d’atomes située à la surface contribue à l’onde réfléchie. Intéressons-nous donc uniquement à cette couche d’atomes. On a représenté sur la figure ci-contre les positions successives du front d’onde lorsqu’il arrive sur les différents atomes de la surface (la flèche indique la direction de propagation de la lumière : c’est le rayon lumineux). Entre deux positions successives s’écoule une période temporelle de l’onde : le front d’onde s’est donc déplacé d’une longueur d’onde λ. Chaque atome de la surface réémet à tour de rôle une onde sphérique dont il est et reste le centre. Cette onde se propage à la vitesse de la lumière dans le milieu incident. L’enveloppe des ondes sphériques réémises par tous les atomes est un nouveau front d’onde, symétrique du front d’onde incident : c’est le front d’onde de l’onde réfléchie ; et le rayon réfléchi est perpendiculaire à ce front d’onde.

Remarque : plus les atomes seront serrés, plus le front d’onde sera plan. En pratique, la distance interatomique étant beaucoup plus petite que la longueur d’onde (dans le domaine optique), l’onde peut être considérée comme plane.

Question : Sauriez-vous expliquer le caractère rectiligne de la propagation de la lumière à l’aide de ce principe (dans un milieu homogène, bien sûr) ? Et la réfraction ? Et la diffraction ? Et la diffusion ? (cf. encadré page précédente pour une définition de ces termes)

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Résumé du chapitre 1 Le terme de lumière désigne la gamme de fréquence des ondes électromagnétiques pour lesquelles l’œil est sensible. La valeur de la célérité (vitesse dans le vide) de la lumière, est de 299792,458 km.s-1 Soit environ 300 000 km.s-1 dans la conversation courante.

A toute onde lumineuse, on peut associer une longueur d’onde dans le vide : ,

La fréquence d’une onde lumineuse ne varie pas mais seule sa longueur d’onde varie quand elle traverse des milieux différents Le milieu est alors caractérisé par son indice optique. Si on note v la célérité dans le milieu,

l’indice optique est défini par :

.

L’onde est caractérisée par des surfaces d’onde perpendiculaires aux rayons.

Réflexion et réfraction : les lois de Snell-Descartes : On appelle dioptre la surface séparant deux milieux transparents. De façon générale, au passage d’un dioptre, il y a à la fois réfraction et réflexion : une partie de la lumière est réfléchie à la surface du dioptre et l’autre partie est réfractée lors de son passage dans l’autre milieu. • Les rayons lumineux réfléchis sont dans le plan d’incidence, et tels que l’angle de réflexion

est égal à l’angle d’incidence. • Les rayons lumineux transmis sont dans le plan d’incidence, et tels que l’angle de réfraction

est lié à l’angle d’incidence par la formule n1 sin(θ1) = n2 sin(θ2)

où n1 est l’indice du milieu d’incidence, n2 celui du milieu de réfraction, θ1 l’angle d’incidence et θ2 l’angle de réfraction.

Réfraction avec un indice n2 > n1

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Réflexion totale Il existe toujours un rayon réfléchi, mais pas toujours un rayon réfracté. Si les deux conditions suivantes sont satisfaites, alors le rayon réfracté n’existe pas : 1) n1 > n2 : le milieu d’incidence est plus réfringent que le milieu de réfraction (ex : de l’eau à l’air)

2) θ1 > θlim : l’angle d’incidence dépasse l’angle limite de réflexion totale θlim = sin-1(n2/n1) Dans ce cas, toute l’énergie du faisceau incident se retrouve sans perte dans le faisceau réfléchi. On parle de réflexion totale.

39

CHAPITRE 2 : IMAGES OPTIQUES

Un miroir à un carrefour

Salles : « images» 100 ou 102

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SOMMAIRE DU CHAPITRE 2 : IMAGES OPTIQUES

1. IMAGES EN OPTIQUE GEOMETRIQUE 42 1.1 Images et images optiques 42 1.2. Image géométrique et stigmatisme 43 1.3 Nature de l’image, nature de l’objet 45

a) Image réelle 45 b) Image virtuelle 45 c) Objet virtuel ou réel 46

2. MIROIRS 47 2.1 Miroir plan 47

a) Expérience 47 b) Interprétation ; stigmatisme du miroir plan (A) 48

2.2 Miroirs sphériques 48 a) Définitions 48 b) Expériences 49 c) Stigmatisme rigoureux et approché ; conditions de Gauss 50 d) Modélisation des miroirs sphériques dans les conditions de Gauss 50

3. DIOPTRES 55 3.1 Dioptre plan 55

a) Expériences 55 b) Interprétation (A) 56

3.2. Dioptres sphériques 56 a) Définitions 56 b) Expérience 57 c) Modélisation des dioptres sphériques dans les conditions de Gauss 58

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Matériel à votre disposition par table

• Source de lumière blanche

• 1 écran

• 1 boîte de rangement grande

• 2 ampoules (dont une pouvant s’allumer) + une pile

• 1 petite plaque plexi + support pour la faire tenir verticalement

• 1 petit miroir plan

• 1 miroir sphérique (avec surfaces réfléchissantes cotés concave et convexe)

• 1 lampe de table

Matériel pour l’enseignant

• Dispositif de démonstration avec source laser multi-faisceaux (laserbox) + panneau métallique + kit optique magnétique (avec miroirs et dioptres sphériques)

• 1 jeu de 3 miroirs (concave, convexe et plan)

• 1 gobelet opaque avec une pièce au fond

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1. Images en optique géométrique

1.1 Images et images optiques Parmi les cinq sens dont dispose l’être humain pour appréhender le monde, la vision est sans doute un des plus essentiels. La possibilité de voir le monde est due au fait que notre œil forme des images des objets qui l’entourent7 (pourvu que ces objets soient éclairés par de la lumière). Le cerveau enregistre ces informations et nous pouvons nous faire l'image de certains lieux, de certaines personnes. Le miroir, inventé au XIIIe siècle (constitué de feuilles d'étain fixées derrière des plaques de verre), et perfectionné au XVIe siècle (par Roger Lembrechet), permet chaque jour de voir sa propre image. Mais l’homme a également cherché à créer des images durables, et ce depuis très longtemps : dès la préhistoire, il a inventé l'art pictural. Plus tard, pour obtenir des représentations les plus exactes possibles, certains artistes utilisaient pour le dessin un dispositif avec un miroir (décrit par Léonard de Vinci vers 1515).

Dispositif à miroir utilisé par les artistes La première photographie, par N. Niepce (1822), intitulée “Point de vue de la fenêtre”

En 1822, Nicéphore Niepce a inventé la photographie : avec du bitume de Judée déposé sur une plaque de verre, et une chambre noire8, il réalise la première image photographique. Lorsque nous prenons une photographie, projetons une diapositive, etc., nous réalisons des images (sur la pellicule, sur l'écran, etc.) grâce à des instruments d'optique (appareil photographique, projecteur). On réalise aujourd'hui des images par des techniques qui ne reposent pas sur l'optique : Doppler, IRM, etc (voir l'encadré sur les images "non optiques", à la fin de ce chapitre). Pour terminer, remarquons que le terme "image" dans le langage courant signifie "information présentée de manière bidimensionnelle" et possède donc un sens très large. Un tableau abstrait, un plan de métro ou une carte météorologique entrent dans cette catégorie. Une image optique possède un sens plus restreint, celui de "reproduction homothétique d'un objet formée à partir de la lumière qu'il émet", et obtenue par un jeu de miroirs, lentilles, etc. Remarquons enfin que l'image optique d'un objet est définie indépendamment de la possibilité de la voir ou de l'obtenir sur un support ! Et pourtant, elle se forme toujours à un endroit précis…

7 Nous verrons comment au chapitre suivant. 8 Une chambre noire est simplement constituée d'un petit trou percé dans une boîte. C'est le dispositif le plus simple pour obtenir des images. Essayez par vous-mêmes! Elle a longtemps été utilisée par les artistes…

43

1.2. Image géométrique et stigmatisme Un objet lumineux est constitué d'un ensemble de points lumineux, c'est-à-dire émettant de la lumière dans tout un ensemble de directions. Une lampe (ou le Soleil) est un objet produisant lui-même la lumière qu'il émet : on l'appelle source primaire. Les objets qu'elle éclaire sont également des objets lumineux au sens de l'optique : ils réémettent une partie de la lumière qu'ils reçoivent par diffusion. On les appelle sources secondaires (la Lune en est une).

Dessin d'un point-source et d'un objet étendu.

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à l'image d'un des points lumineux constituant l'objet étendu. Ce point est un point-objet que nous qualifierons de "réel" et que nous noterons A. On dispose maintenant sur le trajet de la lumière issue du point A un système optique qui est, de manière générale, un ensemble constitué de miroir(s) et/ou de lentille(s). Si, à la sortie de ce système optique, les rayons issus de A convergent en un point unique A', ce point est appelé image de A (par le système optique). On dit alors qu’il y a stigmatisme pour le système optique considéré et le couple de points A et A’.

Cas où il y a stigmatisme : l’image de chaque point A de l’objet est un point. Dans ce cas, l’image

obtenue est nette, et l’on parle en optique d’image.

Mais est-ce toujours le cas ? En fait non… La propriété de stigmatisme est en fait rare (cf. figure ci-après ; voir aussi l'exercice 2.1).

Cas où l'on n'a pas stigmatisme : les rayons issus de A, après traversée du système optique, ne convergent pas en un point. L'image obtenue est floue. On considère en optique qu’il n’y a pas d’image.

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Remarque importante : Attention au sens du mot « image » en optique par rapport à celui de la vie de tous les jours ! En effet, on ne parle d’image optique que lorsqu’il y a stigmatisme. Sinon, on considère qu’il n’y a pas d’image (en réalité, il y a une image dans le sens courant du terme, et elle est floue). Remarque : Pourquoi suffit-il de faire se croiser des rayons pour dire que c'est là qu'il y a la lumière qui se concentre ?… Nous avons vu au chapitre précédent comment les rayons représentaient les lignes de propagation d'une onde lumineuse étendue dans l'espace :

vue dans l'espace vue "en coupe"

Le dessin qui définit le point A' peut ainsi être repris en faisant apparaître les surfaces d'onde, comme suit:

Remarque: la condition de stigmatisme n'est pas suffisante pour que l'image ressemble bien à l'objet. Si l'on prend l'exemple d'un miroir déformant, il est approximativement stigmatique, mais l'image est distordue par rapport à l'objet. Si l'on veut que l'image ressemble à l'objet, il faut en plus que l'image soit homothétique de l'objet…

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1.3 Nature de l’image, nature de l’objet On se place maintenant dans les conditions du stigmatisme.

a) Image réelle Reprenons le cas vu au 1.2, où les rayons issus du point A, après traversée du système optique, convergent en un point A’. A’ est dans ce cas l’image réelle de A.

Il y a de l'énergie lumineuse au point A', ce que l'on peut mettre en évidence en y plaçant par exemple, un écran, une plaque photographique... Notons également que l'image réelle se trouve alors en aval du système optique. La notion d’amont ou d’aval est bien entendu à comprendre en fonction du sens de propagation de la lumière. Elle est mal adaptée au cas des miroirs.

b) Image virtuelle Il est possible que les rayons sortant du système optique divergent à nouveau après traversée du système, en paraissant provenir d'un point unique A". Il y a encore stigmatisme, mais ce point est alors appelé image virtuelle de A. La différence essentielle avec le cas précédent est qu'il n'y a pas d'énergie lumineuse en A".

Pourquoi est-ce quand même l'image de A? Supposons qu'on place l'œil derrière le système optique comme indiqué sur le schéma ci-dessus. Il reçoit des rayons qui semblent provenir de A" ; il ne fait donc pas la différence avec un objet réel qui serait situé en ce même point. Notons qu'une image virtuelle se trouve toujours en amont du système optique.

A’

A

46

c) Objet virtuel ou réel Une notion un peu plus subtile est celle d'objet virtuel. Elle intervient si l'on place un deuxième système optique S2 à droite du premier (sur les dessins, la lumière va toujours conventionnellement de la gauche vers la droite). Si S2 est à droite de A', A' est un objet réel pour S2 (voir fig. de gauche ci-dessous). Mais A" (fig. ci-dessous, droite) est également un objet réel pour S2, bien qu'il n'y ait pas de lumière en A"! On peut le voir de la manière suivante : S2 ne fait pas la différence entre les prolongements de rayons qui viennent d'un point (A") et des rayons qui viennent véritablement de ce point (à méditer…). Enfin, si S2 est intercalé entre S et A', dans ce cas A' est un objet virtuel pour S2 (voir figure page suivante).

A' est objet réel pour le système optique S2. A" est objet réel pour le système optique S2.

A' est objet virtuel pour le système optique S2.

En résumé : Si l'objet est situé en amont du système optique, il est réel pour ce système optique. S'il est situé en aval de ce système optique, il est virtuel. Remarque importante concernant les constructions géométriques : Les rayons lumineux sont représentés en traits pleins. Leurs prolongements sont indiqués en pointillés. Un objet ou une image réelle est représenté(e) en trait plein, un objet ou une image virtuel(le) en trait pointillé.

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2. Miroirs

Le miroir plan est certainement l’élément optique le plus utilisé dans la vie courante, mais on utilise également des miroirs "courbes" dans de nombreuses situations : miroirs de toilette, rétroviseurs de voiture, fond des blocs optiques des phares de voiture, miroirs à certains carrefours, etc. La forme donnée à ces miroirs dépend de leur utilisation. Suivant les cas, ils pourront être sphériques, cylindriques ou paraboliques. Un miroir sphérique est une portion de sphère dont on a couvert la surface d’une couche totalement réfléchissante, en général composée d’un dépôt métallique. Remarque : Un miroir cylindrique (respectivement parabolique) est une telle surface mais il est constitué d'une portion de cylindre (respectivement de parabole). Le miroir est donc un objet de notre quotidien auquel nous sommes habitués. Mais comment caractériser l'image que nous voyons de nous-même ou d'un objet dans un miroir? Où est-elle située et quelle est sa nature ?

Un miroir à un carrefour

Miroir cylindrique ou sphérique

2.1 Miroir plan a) Expérience

Expérience 1 : image dans un miroir plan

Posez un objet sur la table et placez le miroir verticalement, à une vingtaine de centimètres. Regardez l’image de l’objet. Où vous paraît-elle située ?

Prenez maintenant la plaque de plexiglas et mettez-la à la place du miroir. Utilisez comme objet une petite ampoule, et observez l’image par réflexion de cette lampe. Utilisez une seconde lampe identique mais éteinte, et tentez de la superposer à l’image de la première. Où se trouve alors la lampe éteinte ? Pouvez-vous maintenant préciser où se trouve l’image de la lampe allumée, de même que l’image de l’objet dans le miroir plan (expérience précédente) ?

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Caractériser l’image : dans quel sens est-elle9 ? Est-elle réelle ou virtuelle ? Est-elle nette ?

b) Interprétation ; stigmatisme du miroir plan (A) Tracer au moins trois rayons issus du point A de l’objet et venant se réfléchir sur le miroir : effectuer le tracé avec précision en tenant compte des lois de Snell-Descartes. Faire de même avec 3 rayons issus du point B.

Cette construction permet-elle de retrouver les caractéristiques de l’image précédemment établies ?

Le miroir plan est-il un système rigoureusement stigmatique ? Si oui, pour quels points de l'espace possède-t-il cette propriété ?

2.2 Miroirs sphériques a) Définitions

Un miroir sphérique est une portion de sphère dont on a couvert la surface d’une couche totalement réfléchissante. De tels miroirs sont caractérisés par un axe optique, un centre et un rayon de courbure. Suivant le sens de la courbure, le miroir sera dit concave ou convexe10.

Miroir-

boule sur la place Stanislas de Nancy

Sur les deux schémas ci-dessous, la lumière arrive conventionnellement par la gauche. Les

9 Le sens d’une image est à comprendre par rapport à la verticale : une image droite a « la tête en haut » et une image inversée (ou renversée) a « la tête en bas ». 10 Comment retenir ces deux termes? Un moyen mnémotechnique possible est le suivant : concave évoque "cave" donc l'idée de quelque chose de creusé : voir l'allure du miroir concave. Sinon, trouvez le vôtre!

A

B

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miroirs sont représentés par leur coupe selon un plan vertical. C est le centre de courbure du miroir, et S est appelé le sommet. L’axe en pointillé est l’axe optique, axe de symétrie de révolution de miroir.

b) Expériences

Expérience 2 (à réaliser par l’enseignant) : (A) Utiliser le dispositif "laserbox" pour montrer comment se réfléchissent un ensemble de "rayons" parallèles à l'axe optique d'un miroir concave. Incliner le miroir sur son axe. Que constatez-vous?

Le miroir sphérique est-il un système rigoureusement stigmatique en tout point comme le miroir plan ? Dessinez le trajet de quelques rayons pour justifier votre réponse.

C S

miroir concave

CS

miroir convexe

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c) Stigmatisme rigoureux et approché ; conditions de Gauss Comme on l’a vu, le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de l’espace. On vient de voir que le miroir sphérique n'est pas stigmatique, mais qu’on peut le rendre stigmatique en limitant le faisceau lumineux.

De manière générale, un système optique présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A' si l'on peut limiter un faisceau tel que tout rayon de ce faisceau issu de A passe au voisinage de A' après avoir traversé le système. Dans le cas particulier d'un système optique dit centré, c'est-à-dire présentant un axe de symétrie de révolution (axe optique), on définit les conditions de Gauss, qui correspondent à une limitation du faisceau de lumière dans les conditions suivantes : les rayons lumineux doivent être 1) proches de l'axe et 2) peu inclinés par rapport à celui-ci. On peut alors montrer qu'un système optique centré utilisé dans les conditions de Gauss :

• présente un stigmatisme approché (ceci sera fait au paragraphe suivant, d).

• est aplanétique : ceci signifie que l'image d'un petit objet plan perpendiculaire à l'axe optique est également plane et perpendiculaire à cet axe (pour vous en convaincre, voir l'exercice 2.1). Cette propriété est essentielle pour les constructions géométriques de la suite.

Stigmatisme approché

d) Modélisation des miroirs sphériques dans les conditions de Gauss • Image d'un point par un miroir sphérique dans les conditions de Gauss On cherche l’image A’ d’un point A situé sur l’axe optique du miroir, dans les conditions de Gauss. Nous allons chercher la position du point A’, en utilisant la loi de la réflexion. Le dessin est fait dans le cas d'un miroir concave, mais la démonstration est valable aussi pour un miroir convexe. Les conventions et notations sont définies sur la figure ci-dessous :

• Les distances sont algébriques, l’axe optique étant orienté vers la droite.

• Les angles sont également algébriques, orientés dans le sens trigonométrique. Pour trouver l’image de A, on trace deux rayons particuliers issus de A.

51

Le premier est confondu avec l’axe optique : il se réfléchit sans être dévié. Le second est un rayon quelconque issu de A incident sur le miroir en J. Ce rayon forme un angle i avec la normale au miroir en J, qui passe nécessairement par le centre de courbure C. Suivant la loi de la réflexion, il est réfléchi en formant le même angle i avec cette normale. Le rayon réfléchi intersecte l'axe optique au point A', l'image cherchée. On a dans AJC :

α + i + π - α0 = π

Soit :

α + i = α0

De même, dans A'JC :

α0 + i = α' En soustrayant ces deux équations, on obtient :

α + α' = 2α0

Dans le cadre de l’approximation de Gauss, la première approximation est de considérer tous les angles (α, α’, α0 et i) comme suffisamment petits pour assimiler sinus et tangente d'un angle à la valeur de l'angle (en radians !).

𝛼𝛼 ≈ tan𝛼𝛼 =𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐴𝐴𝐻𝐻����

𝛼𝛼′ ≈ tan𝛼𝛼′ =𝐻𝐻𝐻𝐻����

𝐴𝐴′𝐻𝐻�����

𝛼𝛼0 ≈ tan𝛼𝛼0 =𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐶𝐶𝐻𝐻����

La seconde hypothèse est que les rayons sont proches de l'axe. Ceci signifie, entre autres, que l'on peut confondre H et S on a donc :

𝛼𝛼 ≈𝑆𝑆𝐻𝐻 ����

𝐴𝐴𝑆𝑆����

𝛼𝛼′ ≈𝑆𝑆𝐻𝐻 ����

𝐴𝐴′𝑆𝑆����

CSA A'

α α'α0+

+iiJ

H

52

𝛼𝛼0 ≈𝑆𝑆𝐻𝐻 ����

𝐶𝐶𝑆𝑆����

D'où :

Soit encore : 1𝑆𝑆𝐴𝐴′���� +

1𝑆𝑆𝐴𝐴����

=2𝑆𝑆𝐶𝐶����

On voit ainsi que, dans les conditions de Gauss :

• A et A' sont bien reliés par une relation biunivoque, appelée relation de conjugaison (avec origine au sommet).

• le seul paramètre pertinent est le rayon de courbure algébrique 𝑆𝑆𝐶𝐶���� du miroir. Les miroirs sont alors schématisés de la façon suivante :

miroir concave miroir convexe

Représentation symbolique d’un miroir sphérique concave ou convexe, utilisé dans les conditions de Gauss. L'axe optique est orienté vers la droite (sens de propagation de la lumière).

• Foyers et distance focale

Foyer image L'expérience 2 vous a montré que si on envoie un faisceau de lumière parallèle à l'axe optique sur un miroir concave dans les conditions de Gauss, les rayons convergent en un point : le foyer image noté F'. Ce point est défini de manière générale (dépassant le cas particulier du miroir sphérique) comme suit : On considère des rayons incidents sur le miroir, parallèles à l'axe optique. Ceci correspond à un point A situé à l'infini sur l'axe. Le point A' correspondant sera le point F', ce que l'on peut résumer par :

Dans le cas du miroir sphérique, on peut trouver la position du foyer image en utilisant la définition ci-dessus, et la formule de conjugaison du miroir sphérique, avec 𝑆𝑆𝐴𝐴���� → -∞, et l'on obtient :

𝑆𝑆𝑆𝑆′����� = 𝑆𝑆𝐶𝐶����2

C S S C

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Foyer objet La définition générale du foyer objet d'un système optique centré est symétrique de celle du foyer image : les rayons issus du foyer objet, noté F, doivent, après passage par le système optique, être parallèle à l'axe optique. On peut résumer ceci par :

On obtient ici :

𝑆𝑆𝑆𝑆���� = 𝑆𝑆𝐶𝐶����2

Dans ce cas particulier, foyers image et objet sont donc confondus, en un point que nous noterons F. Ceci peut se comprendre grâce à la loi de retour inverse de la lumière …

On peut donc réécrire la relation de conjugaison :

1𝑆𝑆𝐴𝐴′���� +

1𝑆𝑆𝐴𝐴����

=1𝑆𝑆𝑆𝑆����

La distance 𝑆𝑆𝑆𝑆���� est appelée distance focale du miroir sphérique. Attention, il s'agit d'une grandeur algébrique, comme toutes les grandeurs apparaissant dans les relations de conjugaison. 𝑆𝑆𝑆𝑆����< 0 pour un miroir concave, et 𝑆𝑆𝑆𝑆���� > 0 pour un miroir convexe. La figure ci-dessous résume la définition des foyers dans le cas d'un miroir concave ou convexe dans les conditions de Gauss. Le dessin a été fait dans le cas où F apparaît comme le foyer image. Pour le voir apparaître comme le foyer objet, il suffit d'inverser le sens des flèches.

miroir concave miroir convexe

Expérience 3 : "télescope"

Choisir un objet très éloigné : cet objet doit être suffisamment lumineux. On peut ouvrir la fenêtre et prendre un objet de l'extérieur (le bâtiment d'en face…), à condition que la luminosité soit suffisante.

Réaliser l’image de cet objet sur le mur ou sur un écran, en utilisant le miroir sphérique concave dont vous disposez sur votre table. Quelle est la nature de cette image?

L’image est-elle nette partout ? Commenter.

Expliquer pourquoi on peut déduire de cette expérience une estimation de la distance focale du miroir, et mesurer cette distance focale. Comparer avec les tables voisines.

CSF

S CF

54

Pourquoi cette expérience modélise-t-elle (grossièrement, bien sûr…) le fonctionnement d'un télescope (voir l'encadré en fin de chapitre sur le télescope de Hubble)?

Expérience 4 : images par les miroirs convexes et concaves

Regardez votre image dans les miroirs concave et convexe à votre disposition, en faisant varier la distance entre le miroir et vous. Décrire ce que vous observez.

• Constructions géométriques de l'image d'un objet par des miroirs sphériques : voir en TD (exercices 2.1 et 2.2). (A)

55

3. Dioptres

Aquarium-boule

Effet grossissant d'une goutte d'eau sur une feuille

Vous avez vu dans le chapitre 1 ce qu'on appelle un dioptre : la surface de séparation de deux milieux d'indices différents. La surface calme d'un plan d'eau, par exemple, constitue un dioptre plan. Mais la surface bombée d'une goutte d'eau, d'un aquarium-boule constituent aussi des dioptres, mais des dioptres courbes. Nous étudierons ici le cas des dioptres sphériques.

3.1 Dioptre plan En regardant un plan d'eau, on peut y apercevoir le fond - dont les cailloux semblent à portée de main - ou une branche qui plonge et semble cassée au niveau de la surface de l'eau. Nous allons tenter d'expliquer - à l'aide des lois de Snell-Descartes - pourquoi nous pouvons observer de tels phénomènes. Nous allons également voir si la notion de stigmatisme s'applique au cas du dioptre plan.

a) Expériences Les deux expériences qui suivent peuvent être soit faites individuellement par chaque étudiant, soit montrées à l'ensemble de la classe par l'enseignant.

Expérience 5 : le bâton brisé

Utiliser un petit aquarium à faces parallèles rempli à moitié d'eau ; y plonger un crayon, une baguette verticale et regarder par une face (placer les yeux au niveau de l'aquarium) ; observer et dessiner le crayon en vous décalant vers la droite, puis vers la gauche. Interpréter.

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Expérience 6 : placer au fond d'une tasse opaque (gobelet de café…) un petit objet (une pièce de monnaie, par exemple) de telle sorte qu'il n'apparaisse pas à la vue ; verser de l'eau progressivement et observer. Décrire ce que vous avez constaté, et interpréter.

b) Interprétation (A) Voir en TD (exercice 2.7) : on montrera notamment qu'un point objet n'a pas une image unique par un dioptre plan. On comprendra également pourquoi l'œil voit quand même une image nette, et aussi que cette image dépend de la position de l'observateur.

3.2. Dioptres sphériques a) Définitions

Un dioptre sphérique est une surface de séparation courbée entre deux milieux d’indices n et n’ pour laquelle on peut définir un centre C et un rayon de courbure. Un exemple en est la surface de l’œil. En effet, la lumière arrivant sur notre œil rencontre tout d’abord une surface pratiquement sphérique constituée d’un milieu transparent qui sépare l’air extérieur (d’indice 1) de l’humeur aqueuse d’indice 1,33. Les dioptres sphériques sont aussi à la base de la construction des lentilles (minces ou épaisses, convergentes ou divergentes, voir le chapitre 3) qui sont des éléments de base pour la formation des images. Comme pour les miroirs sphériques, on a deux sortes de dioptres sphériques : concaves et convexes (relativement à l'arrivée de la lumière, par convention : de la gauche).

Sur les deux représentations ci-dessus, la lumière se propage de la gauche vers la droite. L’axe optique représenté en pointillés est orienté conventionnellement positivement vers la droite. Le rayon de courbure algébrique du dioptre est défini par R= . Il est positif dans le cas d’un dioptre convexe, négatif dans le cas d’un dioptre concave.

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b) Expérience Expérience 7 (à réaliser par l’enseignant) : à l'aide du dispositif "laserbox", éclairer un dioptre sphérique par un faisceau de lumière parallèle à l’axe du dioptre. Observer les rayons réfractés. Faire un schéma.

Le dioptre sphérique est-il un système rigoureusement stigmatique ? Préciser (et dessiner) ce que vous observez. (A)

Interpréter qualitativement l’expérience précédente grâce à la loi de la réfraction, en complétant les deux schémas suivants :

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c) Modélisation des dioptres sphériques dans les conditions de Gauss • Relation de conjugaison On cherche l’image A’ d’un point A situé sur l’axe optique du dioptre, dans les conditions de Gauss. Nous allons chercher la position du point A’, en utilisant la loi de la réfraction. La relation de conjugaison liant les positions de A et A’ ne dépend pas du type de dioptre étudié. Nous l’établirons dans un cas particulier : un dioptre sphérique convexe avec n < n’.

Les conventions et notations sont définies sur la figure ci-dessus :

• Les distances sont algébriques, l’axe optique étant orienté vers la droite.

• Les angles sont également algébriques, orientés dans le sens trigonométrique. Pour trouver l’image de A, on trace deux rayons particuliers issus de A : l’un est l’axe optique lui-même, l’autre est un rayon quelconque issu de A incident sur le dioptre en I avec un angle i, réfracté avec un angle r < i (car n’ > n) et intersectant l’axe optique en A’, l’image cherchée.

Dans le cadre de l’approximation de Gauss, tous les angles (α, α’, ω, i et r) sont petits. La loi de la réfraction s’écrit donc :

n i = n’ r (1) On a dans AIC :

α + ω + π - i = π

D’où :

i = ω + α

De même, dans A’IC :

α’ + r + π - ω = π

D’où :

r = ω - α’ ce qui donne à partir de (1)

n’α’ + nα = (n’- n) ω (2)

Pour trouver l’expression de ω, α et α’, on utilise l’approximation des petits angles et, comme pour le miroir sphérique, on confond H et S et on assimile les angles à leurs tangentes :

𝛼𝛼 ≈ tan𝛼𝛼 ≈ +𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐴𝐴𝐻𝐻����

≈ +𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐴𝐴𝑆𝑆����

≈ −𝐻𝐻𝐻𝐻����𝑆𝑆𝐴𝐴����

CS

n < n' n'

A A'

i

rα α'ω

I

H

+

59

𝛼𝛼′ ≈ tan𝛼𝛼′ ≈ −𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐴𝐴′𝐻𝐻����� ≈ −

𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐴𝐴′𝑆𝑆����� ≈ +

𝐻𝐻𝐻𝐻����

𝑆𝑆𝐴𝐴′����

𝜔𝜔 ≈ tan𝜔𝜔 ≈ +𝐻𝐻𝐻𝐻����𝐻𝐻𝐶𝐶����

≈ +𝑆𝑆𝐻𝐻�

𝑆𝑆𝐶𝐶����

On remplace α, α’ et ω par ces expressions dans (2), qui devient donc : 𝑠𝑠′

𝑆𝑆𝐴𝐴′����� −𝑠𝑠𝑆𝑆𝐴𝐴����

=𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠𝑆𝑆𝐶𝐶����

Cette relation est la relation de conjugaison du dioptre sphérique (avec origine au sommet), et on peut montrer qu’elle est tout à fait générale dans la limite des conditions de Gauss. Remarque : à partir de cette relation, on peut retrouver la relation de conjugaison pour le dioptre plan (dans les conditions du stigmatisme approché), en faisant tendre le rayon de courbure SC vers l’infini. On obtient en effet :

𝐻𝐻𝐴𝐴′�����

𝐻𝐻𝐴𝐴����≈𝑠𝑠′𝑠𝑠

Les dioptres sont alors schématisés de la façon suivante :

Dioptre concave Dioptre convexe

Représentation symbolique d’un dioptre sphérique concave ou convexe, utilisé dans les conditions de Gauss.

• Foyers Il suffit d'appliquer la définition des foyers objet/image en utilisant la relation précédente pour trouver leur position.

Ainsi, le foyer image F’ est le point conjugué d’un point A « à l’infini » ( ), on obtient :

Le foyer objet est le point conjugué d’un point image A’ à l’infini ( ) :

Par exemple, dans le cas particulier de la figure précédente, et n < n’, donc et : F’ est à droite du dioptre et F à gauche.

On voit que dans ce cas, les foyers image et objet ne sont pas confondus, contrairement au cas du miroir sphérique. Ils ne sont pas non plus symétriques par rapport au point S (il n'y a

n'SF'

= n'− nSC

− nSF

= n'− nSC

S C

n n’

S C

n n’

60

d'ailleurs aucune raison pour qu'ils le soient !) La figure ci-dessous résume la définition des foyers dans le cas d'un dioptre convexe avec n<n’ et dans les conditions de Gauss.

Enfin, la figure ci-dessous illustre la définition des foyers à l'aide du modèle en termes de surfaces d'onde vu au chapitre 1.

Le milieu de gauche est de l'air (d'indice 1), celui de droite est un milieu matériel quelconque, d'indice >1. L'onde va plus vite dans l'air que dans le matériau. Figure de gauche : Les ondes planes sont transformées en ondes sphériques à la traversée du dioptre sphérique, et convergent au foyer image F'. Figure de droite : les ondes sphériques provenant du foyer objet F sont transformées en ondes planes à la traversée du dioptre sphérique. Réfléchissez afin d'interpréter le mieux possible ces deux dessins…

S C

n < n’ n’

F F’

61

Encadré : le télescope spatial Hubble

Le télescope aurait été inventé par Newton au XVIIe siècle.

Principe du télescope de Newton Le télescope spatial Hubble

Le télescope spatial Hubble fonctionne sur le même principe que le premier télescope de Newton. Ce principe est le suivant : un miroir concave de grande taille forme une image de l’astre observé dans son plan focal. Cette image est ensuite généralement renvoyée sur un oculaire à l’aide d’un petit miroir plan. Ce télescope a été mis sur orbite en avril 1990. Il a permis de progresser dans la réponse à des questions telles que : à quelle vitesse l’Univers se dilate-t-il ?

Dès le début, les astronomes se sont rendu compte que les images qu’ils réalisaient comportaient une grossière aberration : certains rayons lumineux sortent des conditions de Gauss ; en conséquence, les rayons provenant d’un même point ne convergent pas tous au même endroit, et « l’image » obtenue est floue (voir figure de gauche ci-dessous). En 1993, des astronautes de la navette spatiale Endeavor ont réussi à corriger ce défaut (voir figure de droite ci-dessous) en installant une nouvelle caméra comprenant sa propre optique corrective.

.

Images de la galaxie M-100 prises par le télescope spatial Hubble avant (gauche) et après (droite) réparation de l’aberration « de sphéricité ».

62

Encadré : quelques images « non optiques »

Au cours du XXe siècle, de nouvelles méthodes pour obtenir des images homothétiques des objets, mais qui ne sont pas basées sur l’optique, ont été inventées. Ces nouvelles méthodes permettent d’explorer le monde à une échelle plus petite (par exemple, de « voir » les atomes), ou d’observer ce qui est caché à notre œil (l’intérieur du corps humain, par exemple).

• On peut réaliser des images à l’aide d’ondes électromagnétiques dans une autre gamme de longueur d’ondes que l'optique, par exemple avec des rayons X dont la longueur d’onde est comprise entre 10 nm et 1 pm (10-12 m). Les radiographies du corps humain sont ainsi obtenues grâce à des rayons X (voir figure a).

• On peut obtenir des images grâce à des ondes mécaniques ultrasonores, c’est le principe de l’échographie (voir figure b).

• Des particules constitutives de la matière, comme les électrons ou les neutrons, peuvent servir à réaliser des images. La microscopie électronique (par réflexion, par transmission ou à balayage - MEB), très utilisée notamment en biologie, est sans doute l’exemple le plus connu (figures c, d et e).

• Il existe enfin des techniques particulières pour « voir » les surfaces à l’échelle atomique ; citons la microscopie à effet tunnel (STM) qui permet d’imager des surfaces conductrices (figure g), et la microscopie à force atomique (AFM) qui permet d’obtenir des images de surfaces isolantes (figure f).

a) b)

a) Une « radio » des poumons ; b) Une échographie d’un fœtus

c) d) e)

c) Image MEB d’une crevette ; d) Image MEB de microcristaux de cuivre (de taille quelques µm) ; e) Soies d’abeille et grains de pollen (la taille d’un grain est de l’ordre de 10 µm) en MEB

f) g)

f) Image AFM d’un nanotube de carbone (la largeur du tube est de 50 nm environ) ; g) Image STM d’atomes de phosphore, ordonnés à droite, désordonnés à gauche.

63

Résumé du chapitre 2 On appelle image optique la reproduction homothétique d’un objet formée, à partir de la lumière qu’il émet, par un système optique composé de miroirs, lentilles … Un objet situé en amont du système optique est réel pour ce système optique. S'il est situé en aval de ce système optique, il est virtuel. Si les rayons issus d'un point – objet convergent vers (ou semblent provenir d') un point, celui-ci est appelé image géométrique (point – image) et on dit qu'il y a stigmatisme (pour ce couple de points). Si l'image est en aval du système optique, elle est réelle pour ce système optique. Si elle est en amont du système optique, elle est virtuelle pour ce système. Il y a vraiment de la lumière à l'endroit où est une image réelle. Ce n'est pas le cas pour une image virtuelle. Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points de l’espace. Un système optique présente un stigmatisme approché pour un couple de points A et A' si l'on peut limiter un faisceau tel que tout rayon de ce faisceau issu de A passe au voisinage de A' après avoir traversé le système. Un système optique est dit centré s'il possède un axe de symétrie de révolution appelé axe optique. Les conditions de Gauss correspondent à une limitation du faisceau de lumière dans les conditions suivantes : les rayons lumineux doivent être proches de l'axe et peu inclinés par rapport à celui-ci. On peut alors montrer qu'un système optique utilisé dans les conditions de Gauss présente un stigmatisme approché, et est aplanétique. Miroir sphérique, on peut écrire une relation de conjugaison entre la position d’un point A et celle de son image A’, dans les conditions de Gauss :

1𝑆𝑆𝐴𝐴′���� +

1𝑆𝑆𝐴𝐴����

=2𝑆𝑆𝐶𝐶����

où S est le sommet du miroir, C son centre de courbure et F son foyer. Dioptre sphérique : un dioptre sphérique est une surface de séparation courbée entre deux milieux d’indices n et n’ pour laquelle on peut définir un centre C et un rayon de courbure. Dans les conditions de Gauss la relation de conjugaison s’écrit :

𝑠𝑠′

𝑆𝑆𝐴𝐴′����� −𝑠𝑠𝑆𝑆𝐴𝐴����

=𝑠𝑠′ − 𝑠𝑠𝑆𝑆𝐶𝐶����

65

CHAPITRE 3 : LENTILLES, ŒIL

Une représentation de Sherlock Holmes, muni de son indispensable loupe

Salles : « lentilles» 041 ou 043

66

SOMMAIRE DU CHAPITRE 3 : LENTILLES, ŒIL

1. LENTILLES OPTIQUES : NATURE, EFFET, MODELISATION 68

1.1 Petit historique 68 1.2 Effet d’une lentille sur un faisceau parallèle 68 1.3 Interprétation par les lois de la réfraction 69 1.4 Le modèle des lentilles minces 69

a) Formule de conjugaison avec origine au sommet 69 b) Foyers et plans focaux 70

1.5 Constructions géométriques avec le modèle des lentilles minces 72 a) Comment construire une image? (A) 72 b) Lien entre construction géométrique et relation de conjugaison 73 c) Notion de grandissement et grossissement 73 d) Images par une lentille convergente d'un objet réel (A) 74 e) Images par une lentille divergente d'un objet réel 76

1.6 [CR] [EXAMTP] Comment déterminer expérimentalement la nature d’une image ? 77 1.7 [CR] [EXAMTP] Mesures de la distance focale d'une lentille convergente 77 1.8 [CR] [EXAMTP] Réalisation de l'image d'une fente 79 1.9 [CR] [EXAMTP] Mesure d'une distance focale à partir de la relation de conjugaison 80 1.10 [CR] Bilan comparatif des différentes mesures 81

2. L'ŒIL HUMAIN ET LES CORRECTIONS DE LA VISION 82

2.1 Découverte du fonctionnement de l’œil humain 82 2.2 Anatomie de l'œil 83

a) Structure 83 b) Accommodation (A) 84

2.3 [EXAMTP] Défauts de l'œil 85

3. ASSOCIATION DE LENTILLES, INSTRUMENTS D'OPTIQUE 91

3.1 [EXAMTP] Lentilles accolées 91 3.2 Lentilles non accolées : exemple du téléobjectif 92

67

Matériel à votre disposition par table

• 1 banc d’optique gradué + 6 pieds

• Source de lumière blanche + 1 ensemble {pièce cylindrique + support diapo}

• 1 écran

• 1 lentille convergente de courte focale

• 1 lentille convergente de grande focale

• 1 lentille divergente

• 1 jeu de diapositives dans une boîte (œuvres d’art, monuments de Paris, figures géométriques …)

• 1 petit miroir plan

• 1 fente de largeur variable

• 1 manip « œil» Jeulin simple (avec 2 lentilles correctrices)

• 1 plaque percée

• 1 verre dépoli

• 1 carton 24x36 mm pouvant être collé sur l’écran

• 1 grande boîte de rangement

• 1 lampe de table

Matériel pour l'enseignant

• Dispositif de démonstration avec source laser multifaisceaux (laserbox) + panneau métallique +

lentilles convergentes et divergentes magnétiques de différentes courbures

• 1 manip « œil» Jeulin avec accommodation + objet + lampe de table

• mouchoirs ou chiffons

68

1. Lentilles optiques : nature, effet, modélisation

Le compte-rendu de TP portera sur les sections marquées [CR] : sections 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 et 1.10.

1.1 Petit historique On raconte qu'en l'an 57, Néron observa les combats de gladiateurs au travers d’une émeraude montée sur bague : correction de myopie ou lunettes de soleil ? Les pierres précieuses et autres verres étaient connus pour leurs vertus optiques depuis l’Égypte pharaonique : « Une écriture mince et embrouillée paraît plus grosse et plus distincte à travers une boule remplie d’eau » (Sénèque). Ce n'est qu'au XIe siècle que la loupe, constituée d'une lentille de verre épais, fait son apparition. Les copistes s'en servent pour mieux voir les caractères des livres qu'ils reproduisent. À la fin du XIIIe siècle, le physicien florentin Salvino Degli Armati découvre que, si on amincit la lentille ou si on change sa courbure, on voit nettement les objets situés à une certaine distance. Au XVIe siècle, le microscope et la lunette astronomique ont été inventés en Hollande. Dans les deux cas, il s’agit d’une association de plusieurs lentilles. Depuis, de nombreux dispositifs optiques comprenant des lentilles ont été inventés, qu’il s’agisse du projecteur de cinéma, de l’appareil photo, de la caméra, etc. La lentille est ainsi devenue un élément essentiel en optique.

1.2 Effet d’une lentille sur un faisceau parallèle

Expérience 1 (à réaliser par l’enseignant) (A) : visualisation du trajet des rayons d’un faisceau parallèle incident sur une lentille concave ou convexe.

Grâce à la « laser ray box » montrer le trajet de quelques rayons parallèles à la traversée d’une lentille concave ou convexe.

Faire le schéma correspondant à votre observation. Que peut-on dire du stigmatisme de la lentille ?

69

1.3 Interprétation par les lois de la réfraction Une lentille est un corps transparent homogène d’indice n, limité par deux dioptres dont l’un au moins n'est pas plan, l’autre face pouvant être plane ou sphérique.

Lors du franchissement du second dioptre, on a r> i. Le rayon qui est alors sous la normale est "rabattu" vers l'axe.

Lors du franchissement du second dioptre, r > i. Le rayon qui est alors au-dessus de la normale est "dévié vers l'extérieur".

Chaque rayon passant successivement les deux dioptres subit deux réfractions suivant les lois de Snell-Descartes. On peut ainsi tracer assez facilement les rayons lors du franchissement d'une lentille plan/convexe ou plan/concave par un faisceau parallèle à l'axe. L'application des lois de la réfraction pour chaque rayon montre que le faisceau à la sortie est convergent ou divergent (on peut aussi le voir en termes de surfaces d'onde, cf. chapitre précédent, 2.2.c). En termes d'onde, on retrouve le même phénomène si on se souvient que l'onde se déplace plus vite dans l'air.

La partie de l'onde qui est sortie en premier, c'est-à-dire sur les bords de la lentille, a bien progressé plus loin que celle passée par le milieu.

Ici, c'est la partie qui est passée par le milieu qui est sortie d'abord et a donc pu progresser plus loin.

En résumé, on voit donc que convexe → convergente et concave → divergente.

1.4 Le modèle des lentilles minces

a) Formule de conjugaison avec origine au sommet Si nous considérons le cas de lentilles minces (c’est-à-dire dont l’épaisseur peut être considérée comme négligeable devant le diamètre de la lentille), utilisées dans les conditions de Gauss étudiées dans le chapitre 3, on peut alors trouver la relation donnant la position de l'image A' d'un point objet A en appliquant deux fois la relation de conjugaison d'un dioptre. La démonstration ci-dessous considère le cas d'une lentille constituée de deux dioptres sphériques.

70

Soit A" le conjugué de A par le premier dioptre sphérique de centre C1 et de sommet S1 (non représenté sur le dessin ci-dessus11). On a (d’après la relation de conjugaison pour le dioptre sphérique vue au chapitre précédent) :

(1)

Soit A’ le conjugué de A" par le second dioptre sphérique de centre C2 et de sommet S2. On a : (2)

Comme la lentille est mince, on néglige son épaisseur, et on confond donc S1 et S2 qu’on note désormais O, et qu'on appelle centre optique de la lentille. En additionnant (1) et (2), on obtient ainsi :

Ceci constitue la formule de conjugaison des lentilles minces, avec origine au centre (O). Elle est en fait vraie quel que soit le type de lentille, plan/convexe, biconvexe, plan/concave ou biconcave, pourvu que la lentille soit mince et les conditions de Gauss soient vérifiées. Remarque : Attention au caractère algébrique de cette relation!!

b) Foyers et plans focaux • Le foyer image F’ est le conjugué d’un point objet A situé à l’infini sur l'axe optique, soit :

Il est donc donné par :

(A)

où est la distance focale (image) de la lentille.

On voit facilement que :

pour une lentille convergente (plan/convexe ou biconvexe). F' est donc à droite de O.

pour une lentille divergente (plan/concave ou biconcave). F' est donc à gauche de O.

11 D'ailleurs, où serait A" sur ce dessin?

71

• Le foyer objet F est le conjugué d’un point image A’ situé à l’infini sur l'axe optique :

Il est donné par :

pour une lentille convergente (plan/convexe ou biconvexe). F est donc à gauche de O.

pour une lentille divergente (plan/concave ou biconcave). F est donc à droite de O. Remarque 1 : pour une lentille mince, les foyers objet et image sont symétriques par rapport au centre optique O de la lentille. Il n'y a donc qu'une seule distance focale (contrairement au cas du dioptre sphérique). Que peut-on dire de son ordre de grandeur ? Remarque 2 : les foyers objet et image ne sont pas conjugués entre eux !12

Les schémas ci-dessous synthétisent les définitions précédentes des foyers dans le cas de lentilles minces, et introduisent au passage les symboles représentant respectivement les lentilles minces convergentes et divergentes :

On peut simplifier la relation de conjugaison des lentilles minces, avec origine au centre :

12 Erreur classique…

72

1𝑂𝑂𝐴𝐴′����� −

1𝑂𝑂𝐴𝐴����

=1𝑓𝑓′

• Les plans perpendiculaires à l'axe optique passant par les foyers F et F' sont appelés le plan focal objet et le plan focal image de la lentille mince.

Intérêt du plan focal image : un objet éloigné, considéré à l’infini, aura son image dans le plan focal image d'une lentille (convergente ou divergente). Intérêt du plan focal objet : un objet situé dans le plan focal objet d’une lentille émettra des rayons qui seront parallèles entre eux à la sortie de la lentille.

1.5 Constructions géométriques avec le modèle des lentilles minces

a) Comment construire une image? (A) Lors des expériences qualitatives du début de ce chapitre, vous avez réalisé l'image d'un objet réel par une lentille convergente. On obtient suivant les cas, soit une image réelle qui peut être visualisée sur un écran, soit une image virtuelle, seulement visible à l'œil. Dans tous les cas, l’image d’un point est bien un point, et on a bien une véritable image au sens de l’optique géométrique. La position de cette image peut être trouvée par simple construction géométrique. En effet, nous avons vu que :

• Un rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par le foyer image F’ ;

• Un rayon incident et passant par le foyer F émerge parallèlement à l’axe optique. À celles-ci, on peut ajouter :

• Un rayon lumineux passant par le centre O de la lentille n’est pas dévié. Ces trois propriétés sont résumées sur la figure ci-dessous :

Nous allons maintenant chercher à construire l'image d'un objet réel dans différents cas possibles, pour une lentille convergente ou divergente. Nous allons modéliser l'objet réel par un segment AB, représenté par une flèche de A vers B, A étant situé sur l’axe optique, B en dehors de cet axe, et AB étant perpendiculaire à l’axe optique (voir schéma suivant). Comme la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss, la propriété d'aplanétisme (voir chap. 3) est vérifiée : l'image de AB est également plane et perpendiculaire à l'axe optique. Par conséquent, nous nous contenterons de trouver géométriquement l'image B' du point B. L'image A' de A sera automatiquement sur l'axe, à la verticale de B'. Par définition, l’image de B est un point B', tel que tout rayon issu de B passe par B' après avoir

73

traversé la lentille. Il suffit donc de tracer deux rayons particuliers : le point B' cherché sera à l'intersection des deux rayons émergents. Deux des trois rayons particuliers indiqués ci-dessus peuvent alors servir pour trouver B' par construction géométrique. On obtient par exemple le résultat ci-dessous :

Pour les constructions d'images d'objets virtuels, voir l'exercice 3.2 associé à ce chapitre, et le §3 sur les associations de lentilles.

b) Lien entre construction géométrique et relation de conjugaison Comme nous allons le démontrer ci-dessous, la géométrie simple du modèle des lentilles minces respecte bien la relation de conjugaison. Si l'on reprend le schéma de construction de l'image réelle d'un objet réel (ci-dessus) et que l'on considère les triangles semblables OAB et OA'B', on trouve : 𝐴𝐴′𝐵𝐵′

������

𝐴𝐴𝐵𝐵����= 𝑂𝑂𝐴𝐴′�����

𝑂𝑂𝐴𝐴����

De même, en considérant les triangles semblables centrés en F et en F’, on trouve :

𝐴𝐴′𝐵𝐵′������

𝐴𝐴𝐵𝐵����=𝑆𝑆′𝐴𝐴′�����

𝑆𝑆′𝑂𝑂�����=𝑆𝑆𝑂𝑂����

𝑆𝑆𝐴𝐴����=𝑂𝑂𝐴𝐴′�����

𝑂𝑂𝐴𝐴����

d'où la relation suivante, dite de relation de conjugaison avec origines aux foyers, ou relation de Newton:

𝑆𝑆𝐴𝐴����.𝑆𝑆′𝐴𝐴′����� = 𝑆𝑆𝑂𝑂����.𝑆𝑆′𝑂𝑂����� = −𝑓𝑓′2 En combinant avec la relation précédente, on peut écrire :

𝑆𝑆′𝑂𝑂�����.𝑂𝑂𝐴𝐴′����� = 𝑂𝑂𝐴𝐴����.𝑆𝑆′𝐴𝐴′����� = 𝑂𝑂𝐴𝐴����. (𝑆𝑆′𝑂𝑂����� + 𝑂𝑂𝐴𝐴′�����) = 𝑂𝑂𝐴𝐴����.𝑆𝑆′𝑂𝑂����� + 𝑂𝑂𝐴𝐴����.𝑂𝑂𝐴𝐴′�����

En divisant par 𝑂𝑂𝐴𝐴����.𝑂𝑂𝐴𝐴′�����.𝑂𝑂𝑆𝑆′�����, on obtient bien : 1𝑂𝑂𝐴𝐴′����� −

1𝑂𝑂𝐴𝐴����

=1𝑂𝑂𝑆𝑆′�����

c) Notion de grandissement et grossissement Ces notions permettent de caractériser une image et sont particulièrement utiles pour les instruments d’optique.

Le grandissement 𝛾𝛾 de l’image par rapport à l’objet est une grandeur algébrique qui renseigne sur le sens et la taille de l’image par rapport à l’objet. Il est défini par :

𝛾𝛾 =𝐴𝐴′𝐵𝐵′������

𝐴𝐴𝐵𝐵����=𝑂𝑂𝐴𝐴′�����

𝑂𝑂𝐴𝐴����

𝛾𝛾 > 0 Image droite (même sens que l’objet) |𝛾𝛾| > 1 Image plus grande que l’objet

𝛾𝛾 < 0 Image renversée 0 < |𝛾𝛾| < 1 Image plus petite que l’objet Le grossissement G obtenu avec un instrument est défini par le rapport des angles (orientés)

74

sous lequel est vu un objet avec (𝛼𝛼′) et sans instrument (𝛼𝛼) :

𝐺𝐺 =𝛼𝛼′𝛼𝛼

d) Images par une lentille convergente d'un objet réel (A) Nous allons maintenant réaliser des constructions géométriques dans un certain nombre de cas, pour un objet réel. Faites à chaque fois l'expérience correspondante.

• Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF < f'

Caractériser l'image obtenue :

Image réelle ou virtuelle ?

Sens de l’image par rapport à celui de l'objet (image droite ou renversée) ?

Taille de l’image par rapport à celle de l'objet (image agrandie ou rétrecie) ?

Donner une application concrète correspondant à ce cas.

• Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF > f' Compléter le schéma ci-dessous. Caractériser l'image obtenue et donner une application concrète correspondant à ce cas.

• Objet réel placé à gauche du foyer objet, tel que AF = f'

75

Compléter le schéma ci-dessous. Caractériser l'image obtenue et donner une application concrète correspondant à ce cas.

• Objet réel placé entre F et la lentille

Compléter le schéma ci-dessous. Caractériser l'image obtenue.

• Objet réel placé en F Ce cas est un cas particulier important. Que peut-on dire de l'image obtenue ? Comparer avec la situation précédente. Laquelle des deux est la plus confortable pour l'œil ? Donner une application concrète correspondant à ce cas.

76

• Objet réel placé à l’infini Ce cas est un cas particulier important : le point objet A est situé sur l’axe optique et l’objet AB est observé sous un angle α depuis la lentille.

Tracez le faisceau parallèle de lumière issu de A. Où converge-t-il ? Faire de même pour le faisceau parallèle issu de B.

Donnez l’expression de la taille A’B’ de l’image en fonction de la distance focale f’ de la lentille et de l’angle d’observation α.

e) Images par une lentille divergente d'un objet réel

Compléter le schéma ci-dessous. Caractériser l'image obtenue. Faites éventuellement d'autres schémas (correspondant à d'autres cas possibles), et concluez sur la nature de l'image d'un objet réel par une lentille divergente.

Axe optique F’

Vers A

O

77

1.6 [CR] [EXAMTP] Comment déterminer expérimentalement la nature d’une image ?

Expérience 2 : nature, sens et taille des images produites par les lentilles

En touchant les lentilles présentes sur votre table à travers un chiffon, identifiez les lentilles concaves et convexes.

Faites les observations nécessaires pour compléter le tableau ci-dessous avec :

• la nature de l'image : réelle ou virtuelle

• le sens de l'image : droite ou inversée

• la taille de l'image : plus grande ou plus petite que l'objet

Une image est réelle si et seulement si elle peut être projetée sur un écran. Vous pouvez utiliser le papier calque comme écran. Pour les objets éloignés, choisir un objet bien éclairé : à l'extérieur, ou un de vos camarades bien éclairé par le néon du tableau.

Objet proche (quelques cm) Objet éloigné (quelques m)

Lentille concave

Lentille convexe

1.7 [CR] [EXAMTP] Mesures de la distance focale d'une lentille convergente

Dorénavant, on utilisera les lentilles sur support placées sur le banc d'optique.

78

Les sources de lumière blanche dont vous disposez comprennent une LED et une lentille convergente appelée "condenseur" qui permet de mieux collecter la lumière à la sortie de l'ampoule. Une tirette située à l'arrière de la lampe permet de faire plus ou moins converger le faisceau à la sortie de la lampe. Sur le schéma ci-dessous, placer la LED, le condenseur. Tracer l’allure du faisceau issu de la LED (considérée comme ponctuelle) avant et après la traversée du condenseur.

Expérience 3 : mesure grossière de la distance focale d’une lentille convergente à partir de l’image d'un objet éloigné

Pourquoi le fait d'obtenir l'image d'une source éloignée (image sur le sol d'une lampe de plafond, par exemple) permet-il de déterminer la distance focale d'une lentille ? Faites l'expérience avec la lentille L2. Estimer grossièrement l'incertitude.

Pourquoi cette méthode est-elle moins adaptée à une lentille de plus grande distance focale ?

Expérience 4 : mesure précise de la distance focale par auto-collimation

Il s'agit d'une méthode simple permettant une détermination plus précise que la précédente de la distance focale d'une lentille convergente : l'idée est de réaliser, grâce à un miroir plan, l'image d'un objet sur l'objet lui-même. Vous utiliserez comme objet une lettre éclairée par la source blanche. Placez alors dans le prolongement la lentille L2 que vous venez d'utiliser. Placez le miroir plan immédiatement derrière la lentille. Déplacer l’ensemble {lentille + miroir plan} le long du banc jusqu’à obtenir dans le plan de la diapositive une image nette et de même taille que celle-ci (pour voir cette image, il est nécessaire d'incliner légèrement le miroir). La distance focale est obtenue par mesure de la distance entre la lentille et l’objet. Noter la distance focale trouvée, avec son incertitude.

79

Interpréter l’expérience précédente en complétant le schéma ci-après. Chercher séparément l'image A’ du point A, et B’ du point B de l'objet. Considérer que le miroir est pratiquement collé sur la lentille. Caractériser l'image trouvée.

Les 2 méthodes que vous venez de voir sont-elles adaptées pour mesurer la distance focale d’une lentille divergente ? Pourquoi ?

1.8 [CR] [EXAMTP] Réalisation de l'image d'une fente Réaliser la projection de l'image d'une fente de lumière sur un écran est un savoir-faire indispensable en optique, notamment pour la spectroscopie.

Expérience 5 : Réalisation de l’image d’une fente sur un écran

Placer une fente de largeur réglable bien en face de la lampe. Réglez la tirette de façon à éclairer complètement la fente.

Placez la lentille L2 à une distance suffisante de la fente. Déplacez l'écran jusqu’à obtenir l’image nette de la fente sur l'écran (l'image de la fente est nette quand vous arrivez à distinguer les entailles du métal).

Vous pouvez modifier la taille de l'image en rapprochant ou en éloignant la lentille de la fente, puis en recherchant la netteté en déplaçant l’écran.

Soigner l’alignement vertical et latéral de l’ensemble des éléments présents : il peut être nécessaire d’ajuster aussi les hauteurs avec les pieds à vis de la fente ou de la lentille. En effet, pour obtenir une belle image non déformée et sans irisation, il est indispensable de se placer dans les conditions de Gauss : le faisceau lumineux doit passer par le centre de la lentille.

80

Expérience 6 : Règle des 4f’

Placez maintenant l'écran à 50 cm de la fente. Interposez la lentille L2 entre la fente et l'écran. Déplacez la lentille de manière à obtenir une image nette de la fente sur l'écran. Y arrivez-vous ?

Vérifiez qu’il faut une distance minimale de 4f’ entre l'écran et l’objet lumineux (la fente) pour obtenir une image nette sur l’écran.

Vérifiez qu'il existe alors deux positions de la lentille qui donnent une image nette (on pourra par exemple choisir une distance D = 1m50 entre la fente et l’écran).

En résumé, et en vous aidant des constructions effectuées au 1.5, dressez la liste des 3 conditions nécessaires à l’obtention d’une image réelle sur un écran à partir d’un objet réel :

* Nature de la lentille :

* Distance minimale objet – lentille :

* Distance minimale objet – écran :

1.9 [CR] [EXAMTP] Mesure d'une distance focale à partir de la relation de conjugaison

Expérience 7 : mesures quantitatives

Utiliser comme objet une diapositive. Utiliser la lentille L2 pour en former une image réelle.

Réaliser ainsi plusieurs mesures des distances objet-lentille et lentille-écran correspondante. Compléter le tableau ci-dessous (prendre une dizaine de points).

81

Représenter ensuite les mesures ci-dessus dans un graphique . En déduire une autre mesure de la distance focale de la lentille utilisée, avec l’incertitude associée (méthode : Ch5 §3.1). Expliquez en détail votre méthode dans le compte-rendu.

1.10 [CR] Bilan comparatif des différentes mesures

Compléter le tableau ci-dessous avec les différentes mesures de la distance focale de la lentille L2 et leurs incertitudes associées :

Image d'un objet éloigné Auto-collimation

Commentez l’accord ou le désaccord des mesures.

82

2. L'œil humain et les corrections de la vision

2.1 Découverte du fonctionnement de l’œil humain Vers l'an 1000, AlHazen (au Caire) a décrit l'œil humain comme étant constitué de trois régions : aqueuse, cristalline et vitreuse. Kepler en 1604 émit l'idée que la vision est due au fait que "l'image du monde extérieur est projetée sur la rétine". Cette idée fut confirmée par une expérience spectaculaire réalisée en 1625 par Scheiner (un jésuite allemand), au cours de laquelle il observa sur la rétine d'un animal (une grenouille) une image inversée de la scène extérieure.

Encadré : les yeux des différents animaux

• Les plus rudimentaires fonctionnent avec un simple petit trou sans lentille, sur le principe de la chambre noire. C'est le cas du serpent à sonnette ou de la seiche.

• D'autres animaux comme la langouste ou certains insectes ont un œil "multifacetté" constitué par un arrangement de multiples petites lentilles (voir l'image ci-contre), chacune effectuant l'image d'une portion de l'espace, le cerveau se chargeant d'en réaliser la synthèse.

• Enfin, la pieuvre, certaines araignées et les vertébrés (dont l'être humain) possèdent des yeux qui fonctionnent comme une seule lentille convergente, formant une seule image réelle sur un écran sensible, la rétine.

image d'œil de mouche (microscope

électronique)

83

2.2 Anatomie de l'œil a) Structure

La pupille agit comme un diaphragme de diamètre variable (2 à 8 mm) afin de contrôler la quantité de lumière entrant dans l’œil. L'œil peut en première approximation être modélisé par un simple dioptre sphérique (voir l’exercice 2.8) : les indices de la cornée, du cristallin et de l'humeur vitrée sont en effet tous voisins de 1,33 (l'indice de l'eau!). La seule courbure de la cornée permet bien d'expliquer la convergence d'un faisceau parallèle. L'ensemble {cornée + cristallin + humeur vitrée} donne alors d’un objet une image renversée sur la rétine (cf. expérience de Scheiner citée plus haut). Remarque : Pour simplifier les raisonnements, on considère souvent que l'œil est équivalent à une lentille convergente située à une distance fixe de la rétine (~22 mm). En effet, on peut montrer que l'œil est assimilable à une lentille mince convergente un peu particulière: elle sépare deux milieux différents, avec des distances focales objet et image différentes… La rétine est constituée de cellules photosensibles : les cônes et les bâtonnets (voir le chapitre 4 pour plus de détails sur les cônes). L’ensemble {rétine + nerf optique} code l’image sous forme d’influx nerveux et le transmet au cerveau qui l’interprète : retournement de l’image, et impression de relief grâce aux informations transmises par les deux yeux. L’endroit où arrive le nerf optique est dépourvu de cellules réceptrices et constitue donc une zone aveugle de la rétine.

Expérience 8 : la tache aveugle

Nous vous proposons maintenant une expérience amusante permettant de prendre conscience de l'existence de votre nerf optique.

Fermez l'œil gauche, et regardez fixement la croix. Éloignez et rapprochez la feuille de votre œil. Pour une certaine position de la feuille, le cercle doit disparaître de votre champ de vision, et réapparaître quand on éloigne ou rapproche la feuille.

84

b) Accommodation (A) L’œil normal au repos ne voit nets que les objets situés à l’infini (punctum remotum, point le plus éloigné en latin) : la distance focale de l’œil est alors égale à 22 mm (soit la distance lentille-rétine). Lorsque l’objet se rapproche, le cristallin augmente sa courbure (et ainsi, devient plus convergent) par un jeu de muscles, pour maintenir une image nette au niveau de la rétine (voir le dessin ci-dessous) : l’œil accommode. Cette augmentation de convergence est limitée, et on note δ la distance à l’œil du point le plus proche que l’on peut voir net (punctum proximum, point le plus proche). La distance δ varie beaucoup avec l’âge : quelques centimètres pour un enfant, de l’ordre de 25 cm pour un adulte, plus d’un mètre pour les personnes âgées. Mesurez le vôtre (avec et sans lunettes si vos yeux sont corrigés).

Expérience 9 (à réaliser par l’enseignant) : modélisation de l’accommodation de l’œil

Utiliser l’un des « modèles d’œil avec accommodation » de Jeulin pour simuler :

• un œil qui regarde un objet à l’infini (pas d’accommodation)

• un œil qui regarde un objet situé à distance finie (accommodation).

85

2.3 [EXAMTP] Défauts de l'œil

Les principaux défauts de la vision sont les suivants :

• La myopie : elle est causée par un œil légèrement trop long ou un cristallin trop convergent. On a alors un décalage du punctum proximum vers les courtes distances, et le punctum remotum se retrouve à distance finie : le myope ne voit bien que de près. La myopie se corrige à l’aide de lentilles divergentes (voir ci-dessous).

• L’hypermétropie : elle est causée par un œil légèrement trop court ou un cristallin pas assez convergent. On a alors un décalage du punctum proximum vers de plus grandes distances (tandis que le punctum remotum devient virtuel...). Les hypermétropes voient de loin, mais en accommodant (ce qui fatigue l’œil), et voient flou de près. L'hypermétropie se corrige à l’aide de lentilles convergentes (voir ci-dessous).

œil myope œil myope corrigé

œil hypermétrope œil hypermétrope corrigé

• L’astigmatisme : l’œil n’a pas la symétrie de révolution autour de son axe. Donc même en faisant un effort d'accommodation, l'image d'un point ne peut pas être obtenue.

• La presbytie : c’est une réduction avec l’âge de la souplesse des muscles du cristallin. Le punctum proximum s’éloigne, alors que le punctum remotum reste inchangé.

Expérience 10 : modélisation des défauts de l’œil

Prendre le « modèle d’œil simple » de Jeulin et simuler :

• un œil myope qui regarde un objet éloigné, sans correction

• un œil myope qui regarde un objet éloigné, avec correction

Faire de même dans le cas d’un œil hypermétrope.

86

Expérience 11 :

Si vous avez un défaut de vision et que vous portez des lunettes, déterminer si vos verres sont convergents ou divergents (grâce à la méthode utilisée jusqu’à présent pour reconnaître les lentilles convergentes et divergentes) et vérifiez que la connaissance que vous avez de votre défaut visuel est compatible avec les explications qui précèdent.

Expérience 12 :

Si vous êtes myope, regardez sans vos lunettes à travers un petit trou.

Que constatez-vous et comment l'expliquer?

Encadré : l’histoire des lunettes

Depuis un peu plus de 700 ans, l'être humain est en mesure d'améliorer sa vision. Dans l'Antiquité (comme le rapporte Pline l'Ancien), des "pierres de lecture" telle que l'émeraude furent utilisées comme loupes. Ce n'est que vers la fin du 13ème siècle, date à laquelle des inventeurs vénitiens mirent sur le marché des "bésicles clouantes", que les aides visuelles eurent un écho croissant (au départ, elles étaient surtout répandues chez les érudits, les philosophes et les médecins). Les lunettes sous leur forme actuelle furent inventées en Angleterre autour de 1850.

87

Encadré : La photographie

Photographier signifie de manière étymologique « dessiner avec la lumière ». Avant la naissance de la photographie (1827), la seule manière de produire des images passait par la main de l’homme ou de l’artiste. La photographie a créé une petite révolution dans les techniques d’art et de représentation des images, car elle utilise comme ingrédient principal la lumière, la main de l’homme étant beaucoup moins indispensable. De nos jours, la photographie, grâce à l’évolution technologique de l’appareil photo, est devenue une activité accessible à tous, elle s’est « démocratisée », et pas besoin d’être un artiste ou un professionnel de la photographie pour faire des « photos ». Notre société moderne est devenue un monde d’images où la photographie est très présente (par exemple c’est une fonction intégrée dans notre téléphone portable), et cependant les notions d’optiques qu’elle implique ne sont pas toujours complètement assimilées.

L’appareil photo

Un appareil photographique est constitué d’un objectif (association de lentille(s) permettant de former l’image et qui peut se déplacer par rapport au capteur pour placer cette image sur le capteur et avoir alors une image nette) et d’un boitier dans lequel se trouve le capteur qui produira la photographie (Fig. 1). Les premiers capteurs étaient constitués d’un support photosensible à base de nitrate d’argent (photographie argentique) et ont été remplacés progressivement par des capteurs silicium dopés permettant de transformer les photons en électrons (Charge-Coupled Device ou CCD). Le détecteur est constitué d’un assemblage de ces capteurs miniaturisés (quelques µm de dimension) pour former une matrice. Chaque capteur représente un pixel de l’image (il y a plutôt 3 capteurs par pixel, pour le rouge, le vert, et le bleu, cf chap. 4). Cette évolution de la microélectronique a permis de rendre la production d’images plus rapide et efficace (plus besoin des bains chimiques pour le développement des photos), de pouvoir stocker les images de manière informatique pour finalement passer à l’ère du numérique.

En conclusion, on peut schématiser un appareil photo, du point de vue de l’optique géométrique, par l’association d’une lentille mince de focale f’ (qui correspond à la focale de l’objectif), d’un diaphragme pour simuler l’ouverture de l’objectif et d’un écran de dimension fini pour modéliser le capteur (Fig. 1). Pour la mise au point, généralement l’objectif peut se déplacer par rapport au capteur ce qui permet d’avoir des images nettes que le sujet soit proche (quelques mètres) ou à l’infini.

Figure 1 : Schéma simplifié de l’appareil photographique.

88

Champ visuel et photographie

Notre vision est basée sur la mesure d’angle et non pas sur la mesure de dimension ou de distance d’un objet. Par exemple, lorsqu’on regarde un objet de hauteur H positionné à une certaine distance, nous voyons cet objet sous un angle α1 = arctan(H/D) (Fig. 2). Si l’objet est 2 fois plus proche, on verra l’objet plus gros (il occupera plus de place dans notre champ visuel) sous un angle α2 = arctan(2H/D) mais la dimension H de l’objet ne change pas. Le grossissement peut alors se définir par le rapport des 2 angles α2 /α1.

Figure 2 : Angle sous lequel on voit un objet en fonction de sa distance.

Rapidement, l’appareil photographique s’est développé pour retranscrire la réalité (c’est à dire ce que nous voyons avec nos yeux ou proche de notre champ visuel). Les standards de la photographie ont donc défini la focale normale qui correspond à peu-près au champ visuel que notre œil peut nous donner si l’appareil était placé au même endroit que l’œil pour faire la photographie.

Figure 3 : Objectif 50 mm et champ visuel

Pour un format de capteur standard (24mm x 36mm) utilisé dans les boitiers d’appareil reflex, la focale normale est de 50 mm, ce qui correspond au champ visuel couvert par une photo de 10 cm x 15 cm observée à 20 cm (Fig. 3). Dans ce cas, l’image obtenue respectera les perspectives de notre vision (α≈0.45 rad, proche de arctan(24/50)). Cet objectif est généralement utilisé pour réaliser des portraits, car il ne déforme pas trop les proportions des visages.

89

Notion de téléobjectif et grand angle

Les objectifs à longues focales (téléobjectifs) sont des objectifs avec une focale supérieure à 50 mm. Dans ce cas, l’angle sous lequel on voit notre objet, α’=arctan(24/f’), est plus petit que pour une focale normale (car f’>50mm), ce qui correspond à voir notre objet plus gros sur l’image du capteur (Fig. 4 et 5). On constate que c’est bien la distance objectif-capteur qui définit le champ angulaire. Dans ce cas, le grossissement est défini par le rapport du champ angulaire de l’objectif de 50 mm sur le champ angulaire de l’objectif (α50mm/αobj). Plus l’objectif est longue focale, plus le grossissement est fort et plus les effets de perspectives sont diminués (moins d’effets de distorsion). On peut trouver dans le commerce des téléobjectifs avec une focale de 600 mm (grossissement 12) mais ce sont les objectifs les plus chers qui existent.

Figure 4 : Comparaison objectif 50 mm et objectif 100 mm

Les objectifs à courtes focales (< 50 mm) correspondent aux objectifs « grand angle » (Fig. 5). En effet, on comprend par exemple qu’un objectif 24 mm possède un angle de vue plus grand qu’un objectif 50 mm (α’>α). Avec ce type d’objectif, on pourra facilement faire des prises de vue d’un paysage, d’un bâtiment ou d’un monument en entier. Par contre, les effets de distorsion seront très prononcés sur les bords de l’image provoquant parfois des effets de perspective amusants.

Figure 5 : Comparaison de photos prises avec des objectifs de différentes distances focales

Dans tous les cas, quelle que soit la focale (longue, normale, courte), les objectifs permettent d’obtenir une image sur le capteur qui sera toujours plus petite que l’objet photographié, c’est à dire que le grandissement (taille image/taille objet) sera toujours plus petit que 1 (à ne pas confondre avec le grossissement qui correspond à un rapport d’angle comme on vient de le voir). On peut imaginer la taille du capteur pour qu’une personne soit représentée en entier si le grandissement était égal à 1. Il existe un seul type d’objectif capable d’avoir un grandissement égal à 1 (ou supérieur), c’est l’objectif macro.

90

La macrophotographie

La macrophotographie, plutôt connue sous le terme macro, est la technique permettant de photographier des objets avec un grandissement de 1 à 10 c’est à dire avec un rapport de 1:1 jusqu’à 10:1 (où le premier chiffre correspond à la taille image et le deuxième chiffre à la taille objet). D’une manière générale, les objectifs macro sont capables de faire des photographies normales (avec un grandissement < 1 comme expliqué précédemment) grâce aux réglages de la mise au point et peuvent aller jusqu’à un rapport de 1:1 maximum. Très peu de marque propose des objectifs allant à un rapport de 10:1. D’ailleurs plus le grandissement est grand plus la distance objectif-capteur est grande ce qui pose rapidement un problème d’encombrement et de lourdeur de l’appareil. De plus, pour faire une image avec un rapport 1:1, il faut que l’objectif soit à 2f’ de l’objet, par exemple pour un 50 mm, il faut approcher à 100mm (Fig. 6), ce qui n’est pas toujours facile lorsqu’on veut photographier des insectes ou petites bêtes qui sont vites effrayés quand on approche. Pour un grandissement de 2, on diminue la distance d’approche à 1.5 f’ et l’encombrement de l’appareil passe à 3f’. On imagine facilement comment il sera difficile avec un grandissement de 10 d’approcher à quelques millimètres une abeille ou un papillon sans le faire partir.

Figure 6 : Schéma optique d’un objectif macro avec un rapport 1:1 et 2:1

91

3. Association de lentilles, instruments d'optique

La plupart des instruments d'optique sont constitués d'une association d'un certain nombre de lentilles convergentes ou divergentes, sur un même axe optique. Bien sûr, nous nous plaçons toujours dans les conditions de Gauss. Il existe de multiples possibilités d'associations de lentilles, suivant que les lentilles sont convergente(s), divergente(s), suivant la distance entre les lentilles… En guise d'introduction au sujet, nous étudierons seulement ici deux cas particuliers.

3.1 [EXAMTP] Lentilles accolées

Expérience 13 : deux lentilles convergentes accolées

Accoler deux lentilles convergentes dont vous connaissez les distances focales. Le système est-il convergent ou divergent? Commenter.

On peut montrer (voir l'exercice 3.5) que, pour un système de deux lentilles minces L1 et L2 accolées utilisées dans les conditions de Gauss, on a :

1𝑓𝑓′

=1𝑓𝑓1′

+1𝑓𝑓2′

où f' est la distance focale image du doublet de lentilles, et f'1 (resp. f'2) est la distance focale image de L1 (resp. L2).

Mesurer la distance focale du doublet et vérifier la relation ci-dessus. Préciser la méthode utilisée.

Expérience 14 : mesure de la distance focale d'une lentille divergente

Déduire de ce qui précède une méthode de mesure de la distance focale d'une lentille divergente, et l'appliquer à celle de votre table.

Méthode :

Résultat :

f' = ±

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Expérience 15 (facultative)

Si vous portez des lunettes, mesurez la focale de l’un de vos verres. Déduisez-en la vergence, définie par : 𝐶𝐶 = 1

𝑓𝑓′. Elle s’exprime en dioptries (δ), unité équivalente à m-1, f’

étant en mètre.

3.2 Lentilles non accolées : exemple du téléobjectif

Nous allons voir ci-dessous un exemple, qui est celui du principe du téléobjectif. Celui-ci est utilisé en photographie et en cinématographie pour obtenir un grossissement important d'un objet éloigné, avec un encombrement raisonnable.

Expérience 16 : téléobjectif (∗)

Nous allons ici simuler un téléobjectif. Faites l'expérience qualitativement afin de comprendre son principe de fonctionnement et faites les mesures quantitatives (d, A’B’, d’, e et A’’B’’, cf tableau récapitulatif p. 95) afin de pouvoir montrer l’intérêt d’un téléobjectif par rapport à un objectif simple.

1) Dans un premier temps, nous allons simuler un objet "à l'infini" que l’on pourra ensuite observer à l’œil, avec un objectif, ou avec un téléobjectif.

Choisir une diapositive représentant une peinture ou une photo. Prendre la lentille convergente de plus courte focale (notée L1).

• Où doit-on placer l'objet (noté AB) par rapport à la lentille L1 pour que l’ensemble {AB+L1} simule un objet à l'infini ?

• Faire ci-dessous le schéma correspondant à l'expérience.

Ne plus toucher à ce montage pour la suite, il modélisera l’objet à l’infini.

Eventuellement, pour visualiser le champ de vue par l’œil de cet objet simulé à l’infini, vous pouvez observer en plaçant votre œil juste derrière L1 (attention : pour ne pas être trop ébloui, placer un verre dépoli derrière la diapositive). Dessinez approximativement ci-contre le champ de vue de l’œil en regardant au travers de L1 (en respectant les proportions de l’image dans le champ de vue, l’image ne doit normalement pas remplir tout le champ de vue). Pensez à ensuite enlever le verre dépoli.

93

2) Un objectif photographique simple est équivalent à une seule lentille convergente.

Dans un premier temps, prendre la deuxième lentille convergente (notée L2, on notera sa focale f'2) pour simuler cet objectif et réaliser l'image A’B’ sur l'écran de l'objet à l'infini précédemment constitué. Attention à placer L2 près de L1 pour que ce ne soit pas le diamètre de L2 qui limite le champ de vue.

• Faire ci-dessous le schéma de cette expérience.

Encombrement de l’objectif simple : L'encombrement de l’objectif simple, noté d, est la distance entre l’objectif L2 et le capteur de l’appareil photo (= l’écran dans votre cas).

• Mesurer d. Que vaut-il par rapport à f'2 la distance focale de L2 ?

d =

Lien entre champ de vue et distance focale de l’objectif simple :

• Représenter sur le schéma α, l’angle sous lequel l’objet à l’infini est vu avec l’appareil photo (angle que font les rayons provenant de B avec l’axe optique). Exprimer α en fonction de f’2 et A’B’.

• En déduire que, dans l’approximation des petits angles, la taille de l’image A’B’ est proportionnelle à la distance focale de l’objectif.

• Mesurer une taille caractéristique A’B’ sur l’image formée par l’objectif simple.

A’B’ =

Le champ de vue est la portion d’espace qui est saisie par l’appareil photo et délimité par le cadre de la photo. Il dépend de 2 paramètres : la distance focale de l’objectif et la taille du capteur de l’appareil photo. En effet, suivant la distance focale f'2 de l’objectif, l’image d’un objet lointain sera plus ou moins grande. Dans un appareil photo, la taille du capteur est fixe et délimite le champ de vue de la photo.

Plus la focale d’un objectif est grande, plus l’image formée sera grande, plus le champ de vue délimité par le capteur sera petit et resserré sur une zone de détails de l’image, et plus le grossissement sera important (cf Fig. 5 de l’encadré p. 89).

Placer un bout de carton de dimension 24 mm x 36 mm sur l’écran. Ce carton simule le capteur de l’appareil photo (24x36mm est la dimension standard des capteurs d’appareil photo reflex, cf encadré sur la photographie). Dessiner ci-contre le champ de vue de la photo qui serait obtenue sur le capteur avec cet objectif simple de distance focale f'2.

94

3) Un moyen d’avoir un fort grossissement de l'image (et donc un champ de vue resserré), tout en ayant un encombrement plus faible que celui obtenu avec un objectif simple à grossissement équivalent, consiste à intercaler entre L2 et l'écran une lentille divergente notée D (dont vous connaissez la focale f'D pour l'avoir mesurée précédemment).

• Placer la lentille D après L2 telle qu'on ait une image nette sur l'écran (déplacer l'écran!).

Placer le bout de carton de dimension 24 mm x 36 mm simulant le capteur de l’appareil photo et dessiner ci-contre le champ de vue obtenu avec ce téléobjectif.

• Faire ci-dessous le schéma de cette expérience.

Encombrement du téléobjectif : L'encombrement du téléobjectif est défini par la distance entre L2 et l'écran, notée d’.

• Mesurer cette distance d’ entre L2 et l'écran.

• Mesurer également la distance entre les lentilles L2 et D, notée e.

d’ = e =

Comparaison du téléobjectif avec l’objectif simple (à faire en TD avec l’ex 3.7 si temps insuffisant) :

• Que constatez-vous concernant l’image formée avec ce téléobjectif par rapport à celle formée à l’objectif simple ?

• Pour quantifier l’augmentation du grossissement et de la taille de l’image obtenue avec le téléobjectif que vous avez construit par rapport à l’objectif simple de l’étape précédente, mesurer la longueur caractéristique A’’B’’ sur l’image et calculer le rapport A’’B’’/A’B’.

• Cela semble-t-il cohérent avec les champs de vue dessinés ci-dessus avec l’objectif simple et le téléobjectif ?

A’’B’’ = A’’B’’/A’B’ =

95

L’image obtenue avec le téléobjectif a été agrandie d’un facteur A’’B’’/A’B’ par rapport à celle obtenue avec l’objectif simple.

• De combien aurait-il fallu augmenter la distance focale f’2 de l’objectif simple pour obtenir la même photo qu’avec le téléobjectif ?

• Quel aurait alors été l’encombrement d’un tel objectif simple ? Comparer cette valeur à l'encombrement d’ du téléobjectif et conclure sur l'intérêt du téléobjectif.

Tableau récapitulatif :

Objectif simple Téléobjectif

f'2 = f'D =

d = d’ = e =

A’B’ = A’’B’’ =

=> « zoom » du téléobjectif par rapport à l’objectif simple :

A’’B’’/A’B’ =

Encombrement et distance focale d’un objectif simple pour obtenir le même grossissement/taille d’image qu’avec le téléobjectif : f' =

Voir l'exercice 3.7 pour compléter l'interprétation de cette expérience. (A)

96

Encadré : les instruments d’optique (A) Il s’agit d’objets construits par l’homme permettant de réaliser des images optiques. On les classe en deux catégories :

• les instruments visuels : ils fournissent une image virtuelle regardée par l’œil. Ils servent soit à la vision rapprochée (loupe, microscope), soit à la vision d’objets éloignés (jumelles, lunette, télescope)

• les instruments de projection : ils forment une image réelle sur un écran ou sur un détecteur (vidéoprojecteur, objectif d’appareil photo).

Pour comparer ces instruments entre eux, on utilise les notions de :

• grandissement: donne la taille de l’image par rapport à celle de l’objet

• grossissement : compare l’angle sous lequel on voit l’objet à l’œil nu quand il est placé au punctum proximum avec celui sous lequel on voit son image donnée par l’instrument

• champ : définit la portion de l’espace visible à travers l’instrument

Ils peuvent être composés soit d’une seule lentille (loupe), soit d’associations de lentilles (lunette, microscope), soit de miroirs uniquement (télescope), soit d'association lentille(s)/miroir(s)….

• Le microscope aurait été inventé en Hollande à la fin du XVIe siècle. Au XVIIe, Leeuwenhoek est le premier à observer des cellules et des micro-organismes avec un microscope. Un microscope comprend deux lentilles : un objectif de courte focale (typiquement de l’ordre du cm) qui forme une image fortement agrandie de l’objet. Cette image est par construction dans le plan focal objet de l’oculaire, qui en donne donc une image à l’infini (donc que l’œil peut regarder sans accommoder). Lorsqu’on fait la mise au point, on déplace l’ensemble (objectif + oculaire) de telle sorte à amener l’objet « au bon endroit » pour que son image intermédiaire par l’objectif soit bien dans le plan focal objet de l’oculaire. Le chiffre indiqué sur l’objectif est le grandissement de l’objet lorsqu’il est situé à cette position particulière.

principe du microscope photo d’un microscope

F1 F'1F2 F'2

AB A'

B'objectif

oculaire

97

• La lunette aurait été inventée en Hollande également, au début du XVIe siècle, et utilisée pour la première fois par Galilée à des fins d’observations astronomiques. Elle est formée également d’une association de deux lentilles. Elle fonctionne un peu à l’inverse du microscope : comme elle sert à regarder des objets très éloignés, la première lentille (objectif) est de grande focale et la deuxième (oculaire) de courte focale. C’est un système afocal : ceci signifie que le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire. Ainsi, l’image d’un objet très éloigné est située dans le plan de ce foyer commun à l’objectif et à l’oculaire, et l’image résultante est à l’infini, ce qui évite là aussi à l’œil d’accommoder.

principe de la lunette photo d’une lunette

Essayez de fabriquer une lunette avec les lentilles à votre disposition, afin d’observer un objet éloigné !

• Le télescope : voir l'encadré du chapitre 2, et l’expérience 3 du chapitre 2.

• L’appareil photo : à l’époque de la Renaissance les peintres utilisaient la chambre noire (simple petit trou percé dans une paroi, permettant de projeter l’image d’une scène extérieure). Son principal inconvénient était le manque de luminosité. Puis on eut l’idée d’utiliser une lentille, qui améliore considérablement la luminosité. Le problème devint alors de fixer l’image, ce qui fut réussi par Niepce en 1822. Depuis quelques années le support pour enregistrer l’image est non plus argentique mais le plus souvent numérique (voir encadré « La photographie »).

Dans un appareil photo, l’objectif est équivalent à une seule lentille convergente. On peut mettre en évidence la profondeur de champ en utilisant un diaphragme accolé à une lentille mince convergente. Faites-le !

98

Résumé du chapitre 3

Lentilles Une lentille est un corps transparent homogène d’indice n, limité par deux dioptres dont l’un au moins n'est pas plan, l’autre face pouvant être plane ou sphérique. Dans le cas de lentilles minces utilisées dans les conditions de Gauss on peut trouver la relation donnant la position de l'image A' d'un point objet A en appliquant deux fois la relation de conjugaison d'un dioptre, en appelant O le centre de la lentille, F le foyer objet et F’ le foyer image :

1𝑂𝑂𝐴𝐴′����� −

1𝑂𝑂𝐴𝐴����

=1𝑓𝑓′

(relation de conjugaison avec origine au sommet)

𝑆𝑆𝐴𝐴����.𝑆𝑆′𝐴𝐴′����� = 𝑆𝑆𝑂𝑂����.𝑆𝑆′𝑂𝑂′������ = −𝑓𝑓′2 (relation de conjugaison avec origines aux foyers, dite de Newton)

On définit également le grandissement (linéaire) de l’image par rapport à l’objet :

𝛾𝛾 ≝𝐴𝐴′𝐵𝐵′������

𝐴𝐴𝐵𝐵����=𝑂𝑂𝐴𝐴′�����

𝑂𝑂𝐴𝐴����

Pour un système de deux lentilles minces L1 et L2 accolées utilisées dans les conditions de Gauss, on a :

1𝑓𝑓′

=1𝑓𝑓1′

+1𝑓𝑓2′

où f' est la distance focale image du doublet de lentilles.

L’œil humain L'œil peut en première approximation être modélisé par un simple dioptre sphérique. Pour simplifier, on considère que l’œil fonctionne comme une seule lentille convergente de focale variable, située à une distance fixe de la rétine (environ 22 mm). L’œil normal au repos ne voit nets que les objets situés à l’infini. Lorsque l’objet se rapproche, le cristallin augmente sa courbure (et ainsi, devient plus convergent). Les principaux défauts de la vision sont les suivants : la myopie, l’hypermétropie, l’astigmatisme et la presbytie.

99

CHAPITRE 4 : SPECTROSCOPIE ET COULEURS

arc-en-ciel

Salles : « images» 100 ou 102

100

SOMMAIRE DU CHAPITRE 4 : SPECTROSCOPIE ET COULEURS

1. INTRODUCTION : COULEURS ET NATURE DE LA LUMIERE 102

2. DISPERSION 104 2.1 [EXAMTP] Dispersion de la lumière blanche par un prisme 104

a) Expériences 104 b) Interprétation de la dispersion (A) 105

2.2 Couleur et longueur d'onde du physicien 106 2.3 Et l'arc-en-ciel ? 107

3. SPECTROSCOPIE 109 3.1 Définition 109 3.2 [EXAMTP] Spectres de raies 110

4. LA COULEUR DES OBJETS 114 4.1 De quoi dépend la couleur d'un objet ? 114 4.2 Les sources de lumière 114

a) Les lampes à incandescence 114 b) Les lampes à raies ou lampes basse pression 115 c) L’émission de fluorescence 115 a) Autres origines physiques : électroluminescence, chimiluminescence, bioluminescence 117

4.3 Interaction lumière-matière : absorption 117 a) [EXAMTP] Spectre de transmission d’un filtre coloré 117 b) Caractérisation de l’absorption de la lumière par un objet 119

4.4. L'œil et la vision des couleurs 121 4.5 Synthèse des couleurs 123

a) Synthèse additive (A) 123 b) Synthèse soustractive 126

101

Matériel à votre disposition par table

• 1 Source de lumière blanche

• 1 écran

• 1 petit miroir plan

• 2 plateaux supports

• 1 prisme + boite de rangement en plastique

• 1 fente de largeur variable

• 1 lentille convergente

• 1 support diapo

• 6 pieds

• 1 jeu de filtres colorés (bleu, rouge, vert, cyan, jaune, magenta)

• 1 réseau

• 2 petites cuves

• 1 lampe Hg

• 1 lampe Cd

• 1 lampe « X »

• 1 grande boîte de rangement

• 1 lampe de table

Matériel pour l'enseignant

• 1 Source lumineuse blanche puissante (lampe à filament)

• Sphère transparente ou « goutte »

• 1 poster avec les spectres de raies de différents éléments

• 1 spectromètre numérique + fibre optique + ordinateur portable + étalons blanc et noir + 1 jeu de papiers de couleur

• 1 Rétroprojecteur + 1 « plaque » synthèse additive + 1 « plaque » synthèse soustractive + dispositif avec 3 miroirs orientables sur pied

• (1 dispositif « disque de Benham »)

102

1. Introduction : couleurs et nature de la lumière

Pendant près de vingt siècles, physiciens et philosophes se sont interrogés sur la nature de la lumière et ont tenté d’expliquer les couleurs (voir l'encadré page suivante). Le philosophe latin Sénèque avait déjà noté, au début de notre ère, que les couleurs de l’arc-en-ciel étaient les mêmes que celles obtenues en faisant passer la lumière du soleil à travers un morceau de verre taillé de façon à comporter trois angles : on a là l’une des premières utilisations du prisme pour l’étude des couleurs. Le prisme sera utilisé par de grands savants comme Descartes ou Grimaldi, au XVIIe siècle, mais il faudra attendre Isaac Newton et ses expériences historiques d’analyse de la lumière pour comprendre que la lumière « blanche » est composée de « lumières élémentaires homogènes ». La notion de couleur est reliée à l'effet perçu par l'œil, c'est une notion complètement subjective et spécifique à l’espèce humaine. On appelle couleur la combinaison de l’intensité détectée par les photo-récepteurs de la rétine en fonction de la fréquence optique et de l’interprétation qui en est réalisé par notre cerveau. C'est une notion perceptive : nous y reviendrons dans ce chapitre. Dans une première partie, nous allons nous intéresser au phénomène de dispersion par un prisme. Nous verrons ensuite les couleurs de la lumière liée à la dispersion, telle qu'elles nous apparaissent dans l'arc-en-ciel ou dans le jeu de la lumière sur des verres ou d'autres corps transparents. Dans une deuxième partie, nous nous intéresserons à la spectroscopie qui est une méthode qui consiste à étudier l’intensité lumineuse détectées, en émission ou en réflexion, en fonction de la longueur d’onde. Enfin, nous étudierons le phénomène de couleur. Nous verrons qu’il s’agit d’un phénomène qui fait intervenir trois partenaires (la source lumineuse, l’objet et l’œil) et nous verrons comment chacun a une influence sur la couleur perçue des objets. Enfin, nous verrons quelques applications de la couleur dans la vie courante.

103

Encadré : les couleurs au fil du temps Une question qui a longtemps préoccupé les philosophes et scientifiques est celle de savoir d’où proviennent les couleurs observées dans le ciel lors de l’apparition d’un arc-en-ciel.

Dans l’Antiquité, Aristote (384-322 av JC) avance une théorie qui perdura pendant de nombreux siècles, celle de la modification de la lumière blanche. Cette théorie consiste à dire qu’une lumière colorée est un mélange de lumière blanche et d’ombre, la quantité d’ombre incorporée augmentant avec l’épaisseur de matière traversée. Les couleurs étaient ainsi classées en fonction de l’impression subjective de plus ou moins grande luminosité sur un axe allant du blanc au noir (qui sont des couleurs à part entière), en passant par le jaune, le rouge, le vert, le bleu et le violet.

Cette théorie de la modification de la lumière blanche fut aussi utilisée pour expliquer l’apparition des couleurs créées lors du passage de la lumière à travers un prisme (de Dominis, 1611). Le prisme est perçu comme un élément qui introduit de l'opacité : ainsi les couleurs obtenues à la sortie du prisme correspondent chacune à une épaisseur traversée différente (et effectivement, le rouge est plus proche du sommet du prisme que le bleu…).

Newton cherchant à construire une théorie "atomique" de la lumière a l'idée que la réfraction d'un rayon peut dépendre de sa couleur. Pour le vérifier, il réalise plusieurs expériences avec des prismes13.

Il obtient les différentes couleurs à l'aide d'un premier prisme, et il a l’idée de recevoir « les rayons purement rouges » sur un second prisme (figure ci-dessous, gauche). Il n’apparaît pas d’autre couleur que le rouge! Il opère de même avec le bleu : les « rayons purement bleus (y) subissent vraiment une plus grande réfraction avec le deuxième prisme que les rouges ». La théorie de la modification, qui prévoit un changement de couleur puisque l’épaisseur de verre traversé est plus grande, est mise en défaut. Il prend alors plusieurs prismes et fait tomber sur eux autant de rayons de lumière blanche : il observe que le rouge est toujours moins dévié, le bleu toujours plus. Dans la zone de l’écran où se superposent les couleurs, il observe du blanc (fig. ci-dessous, droite)

Expériences de Newton

Il est ainsi le premier à comprendre (même si cela nous paraît "évident" aujourd'hui…) que "La blancheur de la lumière solaire résulte de toutes les couleurs primitives mêlées dans une juste proportion.

13 Ces expériences cruciales pour l'optique furent réalisées au cours d'un séjour forcé à la campagne en 1665. Il a en effet été obligé d'interrompre ses études à Cambridge à cause de la peste qui s'était abattue sur la ville.

104

2. Dispersion

Newton a fait de nombreuses expériences avec des prismes de verre. En effet, certains verres permettent d'obtenir une dispersion des couleurs, et la forme du prisme permet de faire des études quantitatives. Nous avons déjà vu la déviation des rayons lumineux par un prisme dans le cas d’une lumière monochromatique dans le chapitre précédent ; nous allons ici voir le comportement d’un faisceau de lumière blanche lorsqu’il traverse un prisme.

2.1 [EXAMTP] Dispersion de la lumière blanche par un prisme a) Expériences

Expérience 1 (à réaliser par l’enseignant) : Décomposition par un prisme de la lumière blanche émise par une lampe à filament.

Quelle est la couleur la plus déviée ? La couleur la moins déviée ?

Dans cette expérience, on observe deux phénomènes : la déviation et la dispersion de la lumière. Définir ces deux termes.

Expérience 2 : Décomposition par un prisme de la lumière émise par une LED « blanche »

Allumez la source de lumière blanche. Placez une fente de largeur réglable à la suite et assurez-vous qu’elle est bien en face de la lampe. Réglez la tirette de façon à éclairer complètement la fente.

Placez la lentille mise à votre disposition à distance de la fente. Placez alors un écran à la suite et déplacez-le jusqu’à obtenir l’image nette de la fente sur l'écran. Vous pouvez jouer sur la taille de celle-ci en rapprochant ou en éloignant la lentille de la fente, et en recherchant la netteté en déplaçant l’écran. Soignez à chaque fois l’alignement de l’ensemble des éléments présents : il peut être nécessaire d’ajuster aussi les hauteurs avec les pieds à vis de la fente ou de la lentille.

Interposez alors, entre la lentille et l’écran, un prisme placé sur un plateau sur pied, de façon à ce qu’une de ses faces soit dans le faisceau incident. Ajustez la hauteur si nécessaire. Tournez le prisme et recherchez le faisceau émergent en déplaçant l’écran autour du prisme. Quelle différence observez-vous avec le spectre de la lumière blanche émise par une lampe à filament ? Reproduisez (en couleur) ce que vous voyez sur l’écran.

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Tourner le prisme sur lui-même autour d'un axe vertical et constater l'existence d'un minimum de déviation. Est-ce que le minimum de déviation est le même pour toutes les couleurs ?

Élargir la fente, puis la rétrécir. Quel est l’effet sur le spectre ? Quel est l’intérêt d’utiliser une fente fine pour la spectroscopie ?

b) Interprétation de la dispersion (A) Par ses expériences, Newton a montré que les couleurs à la sortie du prisme n'étaient pas créées par le prisme qui aurait "modifié" la lumière, mais celui-ci avait "simplement" séparé les différentes composantes contenues dans la lumière du Soleil.

Voyez-vous quelle(s) expérience(s) parmi celles illustrées précédemment (voir l'encadré) pouvai(en)t effectivement le montrer?

Sur le schéma ci-dessous, tracez la propagation des rayons rouge et bleu.

Faisceau de lumière blanche

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La séparation des couleurs, si vous l'avez obtenue avec un prisme, vient de ce qu'à chaque dioptre il y a une séparation des composantes chromatiques. Le jeu des deux dioptres formant un angle permet en quelque sorte, d'amplifier le phénomène du fait des deux réfractions successives à l’entrée et à la sortie du prisme. Cela signifie donc que l'angle de réfraction dépend de la couleur. De manière plus rigoureuse d’un point de vue physique, on peut donc dire que l'indice de réfraction dépend de la fréquence de l'onde14. En effet, toutes les longueurs d’onde qui compose le faisceau de lumière blanche arrivent sur le prisme avec le même angle d’incidence sur le dioptre et sont dispersées en sortie de ce dernier.

Montrer que cela implique nécessairement pour les indices que nBleu > nRouge (faites un dessin). Voir aussi l'exercice 4.2.

Si l'on regarde les valeurs d'indice mesurées avec précision, cette dépendance est faible dans le cas d'un prisme standard de verre, comme le montre le tableau ci-dessous.

Longueur d'onde dans le vide (nm)

Indice

400 1.5242

600 1.5095

800 1.5043

Pour utiliser des prismes pour l'étude de la dispersion, on utilise des verres spéciaux appelés "crown".

2.2 Couleur et longueur d'onde du physicien Nous avons vu précédemment qu’un prisme disperse les différentes longueurs d’onde qui compose une source blanche. Chaque longueur d’onde15 est déviée d’un angle différent et nous retrouvons ainsi les couleurs de l’arc-en-ciel (le cas de l’arc-en-ciel est abordé en détail dans le paragraphe suivant). A chaque angle de déviation, il est possible d’associer une longueur d’onde, à laquelle nous associons une couleur perçue par notre système de vision. Il s’agit dans ce cas de couleurs monochromatiques, dans le sens où chaque couleur est associée à une longueur d’onde.

14 Attention à la phrase classique "l'indice dépend de la longueur d'onde", car elle sous-entend qu'on parle de la longueur d'onde dans le vide, c'est pourquoi nous préférons ici parler de dépendance en fréquence, qui est sans ambiguïté. 15 Il s’agit de la longueur d’onde dans le vide. En toute rigueur, il vaut mieux parler de fréquence (cf. p. 14)

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Le tableau ci-dessous donne les noms des couleurs "pures" associées à différents intervalles de longueur d'onde du visible (couleurs de l'arc-en-ciel) :

Couleurs fréquences (1014 Hz) longueurs d'onde dans le vide (nm)

Rouge 4,05 - 4,8 ~ 625-740

Orange 4,8 - 5,08 ~ 590-625

Jaune 5,08 - 5,31 ~ 565-590

Vert 5,31 - 5,77 ~ 520-565

Bleu 6 - 6,67 ~ 450-500

Indigo 6,67 - 6,97 ~ 430-450

Violet 6,97 - 7,89 ~ 380-430

Toutefois, il est important de retenir que, dans le cas général, une couleur perçue n’est pas associée à une longueur d’onde unique. Il est même extrêmement rare d’observer des couleurs monochromatiques. En particulier la couleur des objets qui nous environnent résulte d’un mélange d’un grand nombre de longueur d’onde. Nous allons voir par la suite comment caractériser et mesurer ce mélange.

2.3 Et l'arc-en-ciel ? Expérience 3 (à réaliser par l'enseignant)

Envoyer un faisceau parallèle de lumière blanche sur une balle de jonglage en plexiglas transparent. Observer la lumière renvoyée vers la source. Faire le schéma ci-dessous de l'expérience, en notant bien l'ordre des couleurs que vous observez sur l'écran.

Le phénomène que vous observez est à la base des arcs-en-ciel. C'est Descartes qui en a donné le premier une interprétation satisfaisante. Celui-ci apparaît quand la lumière du soleil tombe sur des gouttes de pluie, le soleil étant derrière l'observateur (vérifiez-le par vous-même !). Descartes s'est rendu compte que la forme de l'arc ne dépendait pas de la taille des gouttes, il a donc étudié le passage de la lumière à travers une seule grosse goutte (cf. expérience précédente). Son expérience lui permit de conclure que la lumière entrant dans la goutte d'eau sphérique était réfractée, réfléchie sur la paroi interne de la goutte, puis réfractée à nouveau pour sortir de la goutte. Tout comme pour le prisme, il existe pour la goutte un minimum de déviation. C’est dans la direction de ce minimum de déviation que la lumière sera la plus intense, donnant ainsi naissance à l’arc-en-ciel (cf. exercice 4.3)

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Par la suite, c'est Newton qui a expliqué la présence des différentes couleurs : c'est lui en effet qui a compris que la lumière blanche était un mélange de couleurs (cf. plus haut l’encadré « les couleurs au fil du temps »), et que les gouttes d'eau agissaient comme des prismes en dispersant les différentes couleurs pour former l'arc-en-ciel.

Pour expliquer pourquoi on voit bien les couleurs dans la myriade de gouttes qui nous renvoient de la lumière, et pourquoi il en résulte une forme en arc, il faut une analyse détaillée qui sera faite à l’exercice 4.3.

Les autres arcs Au-delà de l’arc primaire décrit précédemment, il est également possible d’observer parfois un arc secondaire. Celui-ci présente la particularité d’avoir l’ordre des couleurs inversé par rapport à l’arc primaire. Il trouve son origine dans une deuxième réflexion dans la goutte d’eau.

Entre ces deux arcs on peut observer une bande sombre, appelée bande d’Alexandre, du nom d’Alexandre d’Aphrodise, philosophe grec. Elle est due à un déficit de lumière dans cette zone qui se situe au-delà du minimum de déviation du rouge par les gouttes d’eau.

Enfin, on peut noter la présence d’arcs surnuméraires. Sous l'arc-en-ciel primaire on peut parfois observer une alternance de franges violettes et vertes. Ces arcs surnuméraires sont des figures créées par interférence sur des gouttes d'eau de taille semblable (~ 1 mm). On les observe principalement au sommet de l'arc primaire.

Pour en savoir plus : http://www.atoptics.co.uk/rainbows/supers.htm Pour une présentation historique de la polémique scientifique sur l'origine des arcs surnuméraires, lire l'article « L'arc-en-ciel de la discorde » (Les Génies de la science N°26 - février - mai 2006).

B

R

R B

Bande sombre

Intérieur lumineux (blanc) de l’arc-en-ciel

La lumière bleue est plus déviée que la lumière rouge. L’arc bleu provient donc de gouttes qui sont plus basses que celles qui nous donnent à voir l’arc rouge !

Dispersion de la lumière par une goutte : un pinceau de lumière blanche peut être décomposé en ses différentes couleurs. (A)

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3. Spectroscopie

3.1 Définition Comment connaît-on la composition chimique des étoiles, des planètes, etc. ? Comment

a-t-on su, par exemple, qu'il y avait de l'eau sur Mars ou qu'il y en a sur certains satellites de Jupiter, avant d'y envoyer des sondes (dans le cas de Mars)?

Comment un chimiste analyse-t-il les molécules produites par une réaction? Comment caractérise-t-on quantitativement les couleurs afin d’être certain de les

reproduire exactement dans le cadre d’une production industrielle ? Cette question est au centre des préoccupations de la fabrication des peintures et de nombreux produits cosmétiques, mais aussi dans les industries agroalimentaire et textile…

Il est possible de répondre à ces questions en décomposant la lumière, qu’elle soit émise ou réfléchie. La spectroscopie est une technique optique qui consiste à décomposer un rayonnement suivant ses différentes fréquences. On représente alors cette information sous la forme d'un spectre : un graphique qui présente l'intensité lumineuse reçue, en fonction de la fréquence ou de la longueur d'onde. En astrophysique, la lumière que les objets célestes nous envoient transporte beaucoup d’information sur les conditions physiques qui y règnent. Il ne s'agit pas seulement de lumière visible mais aussi de lumière couvrant d'autres domaines du spectre des ondes électromagnétiques (radio, infrarouge, ultraviolet, X, gamma, etc. C'est ce qu'on appelle de la spectroscopie d'émission.

Spectre d'émission dans le domaine infrarouge-submillimétrique : intensité lumineuse en fonction de la longueur d'onde entre 200 et 660 microns, mesurée par le satellite Herschel. Le spectre observé en direction de la nébuleuse d'Orion (cf. image de droite dans le domaine visible) montre de nombreux pics : ce sont des raies d’émission caractéristiques des molécules de monoxyde de carbone en rotation sur elles-mêmes. On observe également les raies d’un de ses isotopes, plus faible car moins abondant. La composante continue de l'émission correspond à l'émission thermique des poussières interstellaires chauffées à des températures de l’ordre de 20-50 K par le rayonnement émis par les étoiles.

En chimie de laboratoire, on fait passer de la lumière (ou des ondes électromagnétiques dans une autre gamme de fréquences) à travers la solution dont on souhaite déterminer la composition, et on analyse la lumière transmise par cette solution. C'est de la spectroscopie d'absorption. Elle est aussi utilisée en astrophysique : on utilise alors des sources de lumière intenses situées derrière le milieu que l’on veut sonder.

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Spectre en transmission d’une solution de molécules organiques. C’est le nombre d’onde σ =1/λ qui est indiqué en abscisse. Les bandes d’absorption observées, caractéristiques des liaisons chimiques, permettent d’identifier chaque espèce chimique en solution, et de mesurer leur concentration.

Dans l’industrie textile ou dans l’industrie graphique, la lumière est envoyée sur la surface à étudier : peinture ou autre revêtement de surface, encres d’impression. La lumière renvoyée par cette surface (par réflexion diffuse) est décomposée puis analysée. C’est la spectroscopie de réflexion.

3.2 [EXAMTP] Spectres de raies Parmi les lampes qui permettent l'obtention de lumières colorées, vous avez sans doute remarqué les éclairages jaune-orangé utilisés pour l’éclairage public au-dessus des carrefours ou dans les tunnels. Il s'agit de lampes dont l'ampoule contient un gaz (dans ce cas du sodium) et dont l'excitation va produire un rayonnement particulier. Vous avez à disposition sur votre table, des lampes dites "spectrales basse pression" : il s’agit de cylindres montés sur pied et reliés à un boîtier d’alimentation via un cordon.

Expérience 4 : Utilisation du prisme en spectroscopie

Choisir la lampe spectrale connue Hg (mercure). L'allumer, et attendre quelques minutes pour qu’elle se stabilise en température.

À l'aide du même montage que précédemment (prisme et l’association d’une fente et d’un écran), réaliser le spectre de la lampe choisie sur l'écran. Le décrire. Comme toujours en spectroscopie, on se placera au minimum de déviation.

Élargir la fente, puis la rétrécir. D'après ces observations, la fente vous semble-t-elle utile ? Expliquer son rôle dans le cas de la spectroscopie.

Quel est l’intérêt de se placer au minimum de déviation ?

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Est-ce le spectre attendu pour cette espèce chimique ?

Remplacer désormais la lampe à mercure par la lampe « X » dont on souhaite identifier la composition à partir de sa signature spectrale. Décrire le spectre obtenu. Pouvez-vous identifier l’espèce chimique qui la compose.

Expérience 5 (à réaliser par l’enseignant) : utilisation d’un spectromètre numérique

Nous allons désormais utiliser un spectromètre numérique pour effectuer les spectres des différentes sources de lumière. Ce spectromètre est calibré en longueur d’onde et le résultat de la mesure est l’intensité (non calibrée), émise ou réfléchie en fonction de la configuration expérimentale, en fonction de la longueur d’onde. Le résultat de la mesure (le spectre d’émission de la source) est directement affiché sur l’ordinateur.

Le spectre de la lampe à mercure est alors de nouveau mesuré à l’aide du spectromètre numérique. Correspond-il à ce que vous aviez observé dans la partie précédente ?

Détermination qualitative d'un élément inconnu :

Mettre maintenant de nouveau la lampe "X" pour une caractérisation précise de son spectre d’émission. Grâce à l'observation de son spectre, et au poster affiché dans la salle donnant les spectres de différents éléments chimiques, essayer de trouver quel élément se trouve dans cette lampe.

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Lampe à mercure

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Lampe inconnue « X »

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Pour faire de la spectroscopie de manière quantitative, il est indispensable d’étalonner le spectromètre. Pour cela on utilise des éléments connus dont on connaît les longueurs d’onde des raies d’émission. Ensuite, après calibration, on peut mesurer des longueurs d'onde émises par une source contenant des éléments à déterminer. On peut ainsi retrouver quels éléments sont dans cette source (trouver de l'eau sur Mars, de l'hélium dans le Soleil, etc.)

Encadré : Spectres de raies et structure de l’atome

La principale différence que vous avez dû observer entre le spectre de la lumière blanche et celui d'une lampe spectrale quelconque est que celui de la lumière blanche est continu (toutes les longueurs d'onde y sont présentes en proportions variables), alors que celui d'une lampe spectrale est discret : on parle aussi de spectre de raies.

Spectre d’émission d’un gaz

En effet, dans le cas d’une lampe spectrale contenant un gaz donné, il y a une émission d’un rayonnement à certaines longueurs d’onde spécifiques qui sont caractéristiques de l'élément chimique contenu dans la lampe.

En physique quantique, les niveaux d’énergie d’un atome sont quantifiés (discrets), ce qui signifie qu’un atome ne peut pas avoir n’importe quelle valeur d’énergie ; l’énergie ne peut prendre que certaines valeurs bien précises, et il en est donc de même pour les énergies libérées ou absorbées par un atome.

On peut illustrer ce fait sur le schéma suivant :

Sur le dessin ci-dessus, E1 et E2 représentent deux des niveaux d’énergie possibles d’un atome. Le point jaune est un électron qui peut avoir soit l’énergie E1 soit l’énergie E2. Pour que l’électron passe du niveau E1 au niveau E2 (E2 > E1), il faut lui fournir de l’énergie, par exemple thermiquement (en chauffant) ou électriquement (en appliquant une décharge). Une fois sur le niveau E2 (état dit excité), l’électron se « désexcitera » tout seul, en émettant un photon (un quantum d'énergie lumineuse) d’énergie h = E2 – E1, où h est une constante appelée constante de Planck. Ainsi l’énergie est restituée sous forme de lumière dont la longueur d’onde, qui dépend de l’énergie, a alors une

valeur bien précise , où c est la vitesse de la lumière. On voit ici que l’émission de

lumière ne peut se faire qu’à une seule longueur d’onde imposée par la structure électronique de l’atome. Cela correspond à une raie dans les spectres de raies en émission. L’émission (ou l’absorption) de lumière est ainsi spécifique de chaque atome qui va présenter une structure électronique distincte.

Dans le cas d'une lampe spectrale, la lumière est émise par les atomes excités d'une vapeur métallique (mercure, cadmium, deutérium par exemple). Il existe plusieurs niveaux excités accessibles par les électrons. Les atomes peuvent alors se désexciter depuis ces différents niveaux d’énergie. La lumière émise est donc en général constituée d’émissions de plusieurs longueurs d’onde distinctes, formant les différentes raies du spectre observées.

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Le processus d’émission de lumière décrit ci-dessus est appelé émission spontanée. Il existe un autre processus à la base du fonctionnement des lasers appelé émission stimulée (voir l'encadré "Les lasers et leurs applications" à la fin de ce chapitre).

Spectre d’absorption d’un gaz

La lumière, lorsqu’elle interagit avec la matière, peut être absorbée. S’il s’agit d'un gaz atomique (comme dans une lampe spectrale, ou dans une étoile gazeuse), on constate expérimentalement que l’absorption a lieu selon les mêmes longueurs d’onde que celles correspondant à l’émission : si l'on éclaire le gaz considéré par une lumière blanche dont le spectre est continu, la lumière transmise présente des raies sombres montrant que la lumière correspondante a été absorbée (voir l'encadré sur l'hélium).

Grâce à la faible densité du gaz, on peut considérer que les atomes le constituant sont indépendants les uns des autres. On peut ainsi raisonner sur un seul atome comme suit : dans le modèle quantique, un atome dans un état de basse énergie , peut absorber un quantum de rayonnement ayant la

valeur nécessaire pour passer de l’état à l’état . Il effectue alors une transition et passe dans un état excité. La longueur d'onde de la lumière absorbée par un atome est donc la même que celle qu'il peut émettre par désexcitation.

Piste d'interprétation de l’interaction lumière-matière :

Le cas d'un solide ou d'un liquide est plus compliqué que celui d'un gaz. Dans un solide ou un liquide, les atomes sont très proches les uns des autres, et on ne peut plus les considérer comme indépendants les uns des autres. Il en résulte que les énergies accessibles à l'atome ne sont plus discrètes comme pour un atome mais sont des bandes continues, éventuellement séparées par des "bandes interdites"…

Encadré : Hélium, du grec ηλιος (soleil)

Savez-vous que le nom d'hélium donné au gaz rare correspondant vient du grec (Hélios) qui signifie Soleil ? Et savez-vous pourquoi ? C'est simplement parce que c'est dans le Soleil que l'on a d'abord découvert la présence de cet élément, et ce, en étudiant finement le spectre de la lumière solaire. C'est Fraunhofer qui, dès 1814, a relevé le premier les raies sombres dans le spectre de la lumière solaire, raies qui portent désormais son nom. Kirchoff, en 1859, a démontré que les longueurs d’onde correspondant à ces raies noires dans le spectre solaire coïncident avec les longueurs d’onde d’émission de lumière observées en laboratoire dans un certain gaz de faible densité et chauffé à haute température (l'hélium!). Il en déduisit que chaque élément produit son propre spectre de raies, caractéristique de sa nature.

Ainsi, les raies noires du spectre solaire ne sont autres que les raies d'absorption de l'hélium qui constitue l'essentiel de la couronne solaire. La lumière en provenance du cœur du Soleil traverse cette atmosphère et les atomes d'hélium qui s'y trouvent absorbent les composantes correspondant aux transitions d'énergie possibles.

114

4. La couleur des objets

4.1 De quoi dépend la couleur d'un objet ? Comme il a été dit dans l’introduction de ce chapitre, la notion de couleur n’a pas de réalité physique. Il s’agit d’un attribut perceptif traité par le système visuel. Dans le phénomène de couleur, trois partenaires interviennent et qui vont chacun influencer la perception finale que nous aurons de la couleur. Ces trois partenaires sont:

• la source de lumière, qui génère un rayonnement composé dont le spectre16 est caractéristique de la source (ex: corps noir, laser, lampes spectrales).

• le matériau. La lumière incidente va interagir avec le matériau par absorption et par diffusion principalement. En absorbant certaines bandes de fréquences qui lui sont propres, le matériau va modifier le spectre de la lumière incidente. Cette interaction lumière-matière est à l’origine de la couleur perçue des matériaux.

• l’observateur perçoit le rayonnement renvoyé par le matériau. La couleur perçue est ainsi fonction de :

• la sensibilité spectrale de nos photo-récepteurs qui composent la rétine humaine (trois types de cônes pour la vision des couleurs de jour et les bâtonnets pour la vision nocturne) et de leurs éventuels défauts (cf. encadré sur le daltonisme).

• du traitement cérébral de l’information reçue en provenance des photo-récepteurs. • des sociétés humaines.

Cette partie va reprendre un à un les rôles optiques de ces trois acteurs afin de montrer comment chacun joue un rôle sur la perception finale de la couleur par l’observateur.

Schéma représentant les trois acteurs qui interviennent dans la vision des couleurs.

4.2 Les sources de lumière L’émission de lumière peut avoir différentes origines physiques. Sans entrer dans les détails des phénomènes physiques, nous allons voir différents types de sources lumineuses et nous allons étudier plus particulièrement les caractéristiques spectrales de ces sources.

a) Les lampes à incandescence Le spectre d’émission de ce type de source lumineuse est déterminé par la température du filament : plus il est chaud, plus la source paraitra « blanche », c’est-à-dire qu’elle couvrira

16 Le spectre d’une source est le contenu de son rayonnement en fréquences. On le représente sous forme d’un graphe qui porte l'intensité d'une composante lumineuse en fonction de sa fréquence (ou longueur d'onde), cf. 4.1.

115

l’ensemble du spectre visible. La loi qui relie la température d’un corps avec son spectre d’émission est appelée loi de Planck ou loi du corps noir (cf. encadré ci-dessous). Les lampes halogène paraissent plus blanches car dans ce cas le filament est porté à plus haute température que les lampes à filament traditionnelles17. Allure du spectre d’émission : on peut remarquer que dans le cas d’une lampe à incandescence le spectre d’émission est continu. Le maximum du spectre d’émission est généralement dans l’infrarouge (pour la plupart des lampes à incandescence) mais peut être décalé dans les longueurs d’onde du visible à très haute température. C’est le cas par exemple du soleil, qui est un autre corps incandescent, qui présente une température externe autour de 5500 °C.

Spectres d’émission d’un corps incandescent en fonction de la température à laquelle il est porté.

b) Les lampes à raies ou lampes basse pression Nous avons caractérisé dans la partie précédente les spectres d’émission de ce type de lampe. Allure du spectre d’émission : les lampes à raies, comme leur nom l’indique, ne présente que quelques raies dans leurs spectres d’émission. Les spectres d’émission sont donc discrets. (cf. partie 3.3).

c) L’émission de fluorescence Dans ce cas, les atomes sont excités par absorption de photons issus d’un rayonnement suffisamment énergétique (généralement dans l’ultraviolet ou dans les basses longueurs d’onde du domaine du visible). On observe alors une désexcitation radiative qui est émettrice de photons. La lumière émise est moins énergétique et donc à des longueurs d’onde plus élevée que le rayonnement initial excitateur. L’émission de fluorescence se fait donc toujours à une longueur d’onde plus grande que la longueur d’onde de la lumière excitatrice18. Ce phénomène est également utilisé dans le cadre des tubes fluorescents et des lampes à économie d’énergie19. Allure du spectre d’émission. Le principe de ces tubes est d’excité un gaz, du mercure, comme dans le cas d’une lampe à raies. L’émission de lumière du mercure dans l’ultraviolet va alors exciter les différents types de fluorophores déposés sur toute la surface interne de la lampe

17 Ces sources de lumière sont globalement faiblement efficaces d’un point de vue énergétique car une grande partie de l’énergie est convertie en chaleur. C’est pourquoi aujourd’hui ces ampoules à filament sont interdites au profit des tubes fluorescents, également appelés lampes à économie d’énergie (cf. partie suivante sur la fluorescence) 18 Les lampes « noires » utilisées dans les soirées sont en fait des tubes fluorescents émettant dans les longueurs d’onde les plus courtes du domaine visible (d’où l’aspect violet de ces lampes). Ce rayonnement est absorbé par les vêtements (en particulier les vêtements blancs) et réémis à des longueurs d’onde plus grandes. 19 Ces sources de lumière tirent leur nom de leur plus grande efficacité énergétique par comparaison aux lampes à incandescence.

116

fluorescente afin d’émettre de la lumière à différentes longueurs d’onde du visible. Le spectre d’émission présente des pics liés aux fluorophores présents dans les tubes.

Spectre d’émission d’un tube fluorescent

Encadré : le corps noir

Lorsqu’un corps solide est porté à incandescence, il émet un rayonnement possédant toutes les longueurs d’onde. Vous connaissez les expressions « chauffé au rouge » ou « chauffé à blanc » en parlant du fer que l’on veut forger, par exemple. Ces expressions indiquent que la lumière émise par le corps chauffé dépend de sa température. La quantité de rayonnement émis par longueur d’onde est distribuée suivant une courbe, dite de Planck.

Tête de chat dans l’infrarouge20

La longueur d’onde à laquelle un maximum d’énergie est émise, λm, décroît lorsque la température augmente, selon la loi de déplacement de Wien :

𝜆𝜆𝑙𝑙 =2900 µ𝑚𝑚.𝐾𝐾

𝑇𝑇΄

où T est la température du corps chauffé. Cette dépendance est illustrée sur les spectres de la page précédente. Le rayonnement émis par le corps chauffé, et décrit par la courbe de Planck, caractérise ainsi la température du corps en question. Ainsi, le Soleil, qui se trouve à une température de surface d’environ 5500° C environ, a une longueur d’onde au maximum d’émission qui se situe à environ 500 nm. Le corps humain, et celui des mammifères en général (cf. image ci-dessus) qui est à 37° C, correspond à une longueur d’onde au maximum d’émission située dans l’infrarouge.

On appelle corps noir un tel corps, c'est-à-dire un corps chauffé dont le rayonnement suit la courbe de Planck. Le Soleil et le corps humain ne sont qu’approximativement des corps noirs. Pourquoi appeler le soleil "corps noir" alors qu'il est blanc ?(!) Ce terme signifie qu'il émet, mais également qu'il absorbe à toutes les fréquences, d'où l'idée qu'il est "noir".

La puissance émise par unité de surface du corps noir émetteur, en W.m-2, ne dépend que de la température de celui-ci, et est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann :

W = σT4

où la constante dite de Stefan.

20 http://www.astrosurf.org/lombry/seti-polymorphisme9.htm : les couleurs sont évidemment de fausses couleurs (l'image a été colorisée avec un jeu de teinte permettant de distinguer les zones chaudes et froides)

117

a) Autres origines physiques : électroluminescence, chimiluminescence, bioluminescence

Enfin, il existe d’autres phénomènes qui sont à l’origine de l’émission de lumière. Les diodes électroluminescentes (DEL ou LED en anglais) sont des semi-conducteurs qui émettent de la lumière lorsqu’elles sont parcourues par un courant électrique. Ces sources sont de plus en plus répandues car elles consomment moins d’énergie que les sources de lumière traditionnelles (lampe à filament ou lampe halogène). Dans le cas de la chimiluminescence, une réaction chimique est à l’origine de l’émission de lumière. C’est par exemple le cas des bâtons lumineux qu’il faut briser pour mélanger deux liquides qui par réaction chimique vont émettre de la lumière. On peut également citer la bioluminescence lorsque la lumière est émise par les animaux (vert luisant, certains poissons).

4.3 Interaction lumière-matière : absorption Le phénomène d’absorption est la principale cause de la couleur. En effet, la plupart des objets qui nous environnent absorbent une partie de la lumière incidente tandis qu’une autre partie est renvoyée (par réflexion et/ou par diffusion) par l’objet. C’est cette composante qui va participer à la perception de couleur.

a) [EXAMTP] Spectre de transmission d’un filtre coloré Expérience 6 : spectres de transmission d’un filtre coloré avec un prisme

Reprendre la source de lumière blanche et régler correctement la fente pour qu’elle soit projetée sur l’écran comme vous l’avez appris en début de séance. Intercalez sur le trajet des filtres colorés suivant la disponibilité.

Reproduire en couleur le parcours des rayons de la source à l’écran et expliquer ce que vous observez. Précisez la couleur du filtre utilisé.

Comment expliquez-vous la couleur observée ? Que deviennent d’après vous les radiations qui ont disparu ?

Placez le filtre avant puis après le prisme. Quelle l’influence de la position du filtre (avant ou après le prisme) ?

118

Expérience 7 (à réaliser par l’enseignant) : spectres de transmission d’un filtre coloré avec un spectromètre

Utilisation du spectromètre numérique. La lumière issue d’une lampe halogène filtrée par les filtres de couleurs précédents est désormais analysée par le spectromètre numérique afin de caractériser précisément le spectre. Tracer ci-dessous les spectres de la source de lumière initiale (ampoule à incandescence) et ensuite filtrée par 5 filtres distincts.

Indiquer à partir des spectres obtenus les bandes spectrales transmises pour chacun des filtres.

Interprétation : Interprétation :

Interprétation : Interprétation :

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Lumière blanche

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Nom du filtre :

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Nom du filtre :

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Nom du filtre :

119

b) Caractérisation de l’absorption de la lumière par un objet Afin de caractériser optiquement cette interaction, on utilise un spectromètre qui permet de mesure le spectre de réflexion (ou de transmission) de l’objet étudié. Le spectromètre, en tant que détecteur, est caractérisé par une sensibilité spectrale homogène sur l’ensemble du domaine visible. La mesure de spectroscopie va nous permettre de connaître le spectre de la lumière réfléchie qui fait intervenir le spectre d’émission de la source lumineuse et le spectre de réflexion diffuse de l’objet. Afin de remonter aux propriétés spectrales de l’objet, il est donc nécessaire de s’affranchir des propriétés de la source lumineuse. Cette opération est effectuée en mesurant le spectre d’un blanc de référence (échantillon diffusant qui possède la propriété de réfléchir de manière équivalente l’ensemble des longueurs d’onde du domaine du visible). La réponse spectrale détectée par le spectromètre est alors normalisée par le spectre de la source. On mesure ainsi le spectre de réflexion d’un objet en pourcent :

𝑅𝑅(𝜆𝜆) = 100 𝐿𝐿échantillon

𝐿𝐿blanc de référence

avec L la luminance qui mesure l’intensité de lumière par unité de surface.

Expérience 8 (à réaliser par l’enseignant) : spectres de réflexion d’objets colorés caractérisés par le spectromètre numérique Le spectromètre numérique est maintenant utilisé pour observer les spectres de réflexion de divers objets colorés. L’objet est éclairé par une source de lumière blanche. Comme la contribution de la source lumineuse n’est pas équivalente pour chaque longueur d’onde les spectres de réflexion sont normalisés par un blanc de référence qui permet de prendre en compte le spectre d’émission de la source lumineuse.

Interpréter la couleur observée visuellement par rapport aux spectres mesurés (bandes spectrales absorbées et réfléchies par l’objet).

Interprétation : Interprétation :

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

« Couleur » de l’objet :

0

25

50

75

100

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

« Couleur » de l’objet :

0

25

50

75

100

120

Expérience 9 (à réaliser par l’enseignant) : spectres de réflexion d’objets colorés caractérisés par le spectromètre numérique en fonction de la source de lumière utilisée.

Interpréter la couleur observée visuellement par rapport aux spectres mesurés.

Sensation visuelle : indiquer la couleur de la source colorée l’objet éclairé en lumière blanche l’objet éclairé avec la source filtrée

Spectroscopie

Interprétation : Sensation visuelle : indiquer la couleur de la source colorée l’objet éclairé en lumière blanche l’objet éclairé avec la source filtrée

Spectroscopie

Interprétation :

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Spectre de la source filtrée

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

Spectre de réflexion de l’objet éclairé en lumière blanche

0

25

50

75

100

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

Spectre de réflexion de l’objet éclairé avec la source filtrée

0

25

50

75

100

longueur d’onde (nm)

intensité (unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Spectre de la source filtrée

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

Spectre de réflexion de l’objet éclairé en lumière blanche

0

25

50

75

100

longueur d’onde (nm)

Coefficient de réflexion (%)

380 480 580 680 780

Spectre de réflexion de l’objet éclairé avec la source filtrée

0

25

50

75

100

121

4.4. L'œil et la vision des couleurs Comment fonctionne notre vision des couleurs? La réponse à cette question a été suggérée par Young, médecin et physicien anglais de génie au XIXème siècle, connu en physique pour ses études sur les interférences. Il a suggéré que notre vision des couleurs était basée sur l'existence de trois types de détecteurs différents dans notre œil. Grossièrement, l'œil fonctionne comme une chambre noire en photographie. La cornée et le cristallin jouent le rôle d’une lentille qui permet d’effectuer une image de la scène extérieure sur un "écran" situé au fond de l'œil, la rétine (cf. chapitre 3). Sur la rétine, sont disposées des cellules photoréceptrices de deux sortes : les cônes et les bâtonnets, qui tirent leur nom de leur forme. La rétine humaine comporte environ 120 millions de bâtonnets et 5 millions de cônes, soit 70% des récepteurs de notre organisme, ce qui souligne l’importance des yeux et de l’information visuelle. Les cônes et les bâtonnets assurent deux fonctions différentes dans la vision humaine.

• Les bâtonnets sont plus sensibles à la lumière que les cônes. Ce sont eux qui interviennent dans la vision nocturne ou vision scotopique. Ils ont la particularité d’être tous identiques et ils ne permettent pas de distinguer les couleurs. La vision nocturne se fait donc en noir et blanc, d’où le fait que « la nuit tous les chats sont gris ».

• Les cônes permettent la reconnaissance des couleurs mais requièrent davantage de lumière. Ils permettent donc la vision de jour ou vision photopique

La vision des couleurs chez l’homme repose sur trois types de cônes, sensibles à des longueurs d’onde différentes, il s’agit d’une vision trichromatique :

- les cônes "bleus" absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 455 nm - les cônes "verts" absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 530 nm - les cônes "rouges" absorbent le mieux les longueurs d’onde autour de 575 nm.

Courbes de réponse des cônes de la rétine : de gauche à droite : pour les "bleus", les "verts" et les "rouges" et sensibilité spectrale d'un capteur CCD commercial

La figure ci-dessus montre les courbes de réponse des cônes en fonction de la longueur d’onde en comparaison avec la sensibilité spectrale d'un capteur CCD. Les intervalles de longueurs d’onde caractérisant la sensibilité de chacun des types de cônes ne sont pas séparés les uns des autres mais se chevauchent. Une combinaison complexe des informations issues des trois types de cônes permet de retrouver l’information spectrale. Ainsi, une lumière bleuâtre autour de 500 nm stimule principalement les cônes verts, mais aussi les rouges et les bleus dans une moindre mesure. La perception d’une lumière jaune autour de 575 nm stimule à peu près également les cônes verts et rouges. Si tous les cônes sont stimulés de manière égale, nous voyons du blanc.

122

L’interprétation des couleurs passe enfin par une étape de traitement de l’information. Les cellules rétiniennes effectuent tout d’abord un travail considérable de pré-traitement de l’information détectée par les photo-récepteurs. En effet, le nerf optique est constitué de seulement 1,2 millions d’axones, alors que l’information initiale est collectée par 125 millions de photo-récepteurs. Le nerf optique transmet alors l’information jusqu’au cortex visuel où est réalisé le traitement cérébral. Cette zone est constituée de différentes sous-régions fonctionnelles qui vont traiter les informations provenant des voies visuelles (couleurs, formes, mouvements…). C’est cette étape qui nous permet de reconnaître et de nommer les couleurs. Les capteurs CCD monochromatiques ont un maximum de sensibilité dans le rouge et l'infrarouge proche jusqu'à environ 900 nm. Cette sensibilité dans l'infrarouge peut être facilement observée quand on filme le signal issu d'une télécommande de téléviseur avec un caméscope ou un téléphone portable récent (essayez!). Par contre, dans le cas de caméras couleurs, des filtres colorés sont placées devant chacun des pixels. Trois types de filtres sont utilisés pour retrouver une information trichromatique qui permet ensuite de remonter à rendu complet des couleurs (cf. la suite de ce chapitre).

Encadré : le daltonisme

Dans le cas d'un œil daltonien, un des trois types de cônes est déficient.

Le plus souvent, il s'agit des cônes verts. Dans ce cas, il est impossible de distinguer le rouge du vert. C'est la forme la plus commune de daltonisme, celle-là même dont John Dalton (chimiste et physicien britannique, 1766-1844, auteur de la théorie atomiste de la matière) était atteint.

Les autres formes de daltonisme sont nettement plus rares, comme la confusion du bleu et du jaune, la plus rare de toutes étant la déficience totale de vision des couleurs (achromatopsie), où le sujet ne perçoit que des nuances de gris.

(a) (b) (c) (d)

(a) : drapeau multicolore vu par une personne non atteinte de daltonisme. (b) : le même drapeau vu par une personne qui présente une déficience des cônes sensibles aux

longueurs d’onde dans le rouge. (c) : le même drapeau vu par une personne qui présente une déficience des cônes sensibles aux

longueurs d’onde dans le vert. (b) : le même drapeau vu par une personne qui présente une déficience des cônes sensibles aux

longueurs d’onde dans le bleu

Test ophtalmologique pour la détection du daltonisme.

123

Encadré: Le disque de Benham (« Benham top ») Ce disque composé uniquement de noir et de blanc nous apparaît pourtant avec des couleurs pâles bleues et jaunes lorsqu'il est mis en rotation. Les couleurs sont plus ou moins marquées selon la vitesse de rotation du disque. Lorsque le sens de rotation est inversé, la position des couleurs varie. Dans cette expérience, la perception (l’illusion ?) de couleurs est due à la réponse temporelle des différents photo-récepteurs de la rétine. Le disque de Benham reste un sujet de recherche en physiologie. Plus d'information + applet Java reproduisant l'effet : http://www.michaelbach.de/ot/col_benham/index.html

4.5 Synthèse des couleurs

a) Synthèse additive (A) Principe de la synthèse additive La synthèse additive consiste à additionner trois flux lumineux provenant de sources dites couleurs primaires. On constate qu’il est alors possible de reproduire presque l’ensemble des couleurs à partir de ces couleurs primaires en jouant sur la quantité de chacun de ces flux. Les trois couleurs primaires généralement utilisées sont le vert, le rouge et le bleu.

Expérience 10 (à réaliser par l’enseignant) : synthèse additive

Réaliser l’addition des trois couleurs primaires (rouge, vert et bleu), en superposant trois faisceaux. Utiliser pour cela le dispositif tout fait de Jeulin avec rétroprojecteur, ou additionner les faisceaux de trois lampes suivies d'un filtre respectivement rouge, vert et bleu.

Complétez le schéma ci-dessous en indiquant les couleurs observées.

Synthèse additive : Jaune : addition de rouge et de vert en proportions égales

Cyan = addition de bleu et de vert en proportions égales Magenta = addition de rouge et de bleu en proportions égales

124

Quelles conditions doivent remplir les trois faisceaux pour obtenir du blanc par mélange des faisceaux ?

L'expérience précédente montre qu'on peut construire une nouvelle couleur par superposition de plusieurs couleurs. En jouant sur l’intensité de chacun des faisceaux indépendamment, il est possible de faire varier les couleurs obtenues. En effet, on peut construire toutes les couleurs par mélange de trois couleurs dites "primaires" dans des proportions variables. Le choix de ces couleurs primaires est assez arbitraire, chacune d'entre elles devant couvrir une bande de fréquences donnée du domaine optique, avec des recouvrements entre les trois bandes de manière à restituer tout le domaine optique.

Interprétation de la synthèse additive Du point de vue spectral, la synthèse additive consiste à additionner les composantes spectrales des différentes sources initiales. Ainsi, une lumière bleue possède un spectre d’émission dans les plus basses longueurs d’onde du visible. Une lumière rouge est caractérisée par une émission dans les plus hautes longueurs d’onde du visible. Lorsque ces deux faisceaux lumineux sont projetés sur un écran blanc, le spectre résultant de ces deux faisceaux de lumière correspond à l’addition de ces deux spectres. Il s’agit du magenta. Ceci est valable si les intensités des deux faisceaux sont équivalentes. Le principe de la synthèse additive est représenté sur la figure ci-dessous.

Spectres d’émission modélisés pour une lumière bleue, rouge et pour la synthèse

additive de ces deux sources de lumière

Le même raisonnement peut être réalisé pour l’obtention du cyan à partir de la synthèse additive du bleu et du vert. De même pour obtenir du jaune à partir de la synthèse additive du rouge et du vert

Spectres d’émission modélisés pour une lumière bleue, verte et pour la synthèse

additive de ces deux sources de lumière

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Bleu

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Rouge

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Magenta

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Bleu

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Vert

125

Spectres d’émission modélisés pour une lumière verte, rouge et pour la synthèse

additive de ces deux sources de lumière

Applications de la synthèse additive Les écrans sont sans doute aujourd’hui l’application la plus répandue de la synthèse additive. Le but de ces écrans (écrans plats, tablette, téléphone portable, affichage21) est de recréer une palette des couleurs la plus large possible afin d’afficher des images en couleurs qui se veulent le reflet de la réalité. En fait ces écrans sont constitués de trois types de pixels distincts : rouge, vert et bleu, dont la taille est suffisamment petite pour que notre œil ne soit pas capable de les résoudre individuellement. Ainsi, notre œil va faire la synthèse des différents signaux reçus, c’est le principe de la fusion optique. La couleur obtenue correspond donc à la synthèse additive des différents pixels dans une zone de l’écran. En modulant de l’intensité de ces différents pixels, il est ainsi possible de recréer une palette complète de couleur. Ainsi le système RVB, pour Rouge-Vert-Bleu (RGB en anglais pour Red-Green-Blue) est à la base de la colorimétrie pour l’ensemble des systèmes numériques. La perception des couleurs par notre système visuel est également basée sur la synthèse additive. En effet, nos photo-récepteurs intègrent l’ensemble de l’information provenant d’une zone de notre champ de vue. L’utilisation des lumières sur une scène de spectacle afin de recréer des ambiances colorées est également basée sur la synthèse additive. En effet, les composantes spectrales des différents spots de lumière vont se composer pour donner lieu à la couleur finale sur scène. Enfin, dans l’histoire de l’art, un mouvement artistique a également utilisé le principe de la synthèse additive pour le rendu final des œuvres d’art. Il s’agit du pointillisme. Dans ces œuvres, l’observateur placé à une certaine distance de l’œuvre, ne peut pas séparer chacun des points. L’information perçue par notre système visuel correspond à la fusion des composantes spectrales des différents points. C’est le principe de la fusion optique.

21 Attention, il est important de noter que si tous ces écrans utilisent le même principe de synthèse additive pour reproduire les couleurs, les technologies qui les composent sont très variées. Par exemple, parmi les écrans plats, les technologies les plus courants sont les écrans plasma, écrans à diodes (LED ou OLED) et les écrans LCD

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Vert

longueur d’onde (nm)

intensité émise(unité arbitraire)

380 480 580 680 780

Rouge

126

b) Synthèse soustractive Principe de la synthèse soustractive La synthèse soustractive consiste à soustraire au spectre visible certaines composantes spectrales. Généralement, le principe consiste à partir d’un fond uniforme blanc. Dans ce cas, le spectre de réflexion d’un tel support est plat sur l’ensemble du spectre visible. Certaines couleurs sont appliquées sur ce support. Chaque couleur va absorber une partie du rayonnement initial. Ainsi la couleur résultante correspond à la soustraction liée aux différents composants colorés appliqués. C’est le principe utilisé par les peintres sur leur palette dans le mélange des couleurs pour obtenir la teinte recherchée. Le jeu de couleurs primaires utilisé pour la synthèse soustractive est différent de celui présenté précédemment pour la synthèse additive. Cette fois-ci les trois couleurs primaires utilisées dans la synthèse soustractive sont le cyan, le jaune et le magenta.

Interprétation de la synthèse soustractive Du point de vue spectral, la synthèse soustractive consiste à soustraire à un spectre plat représentant le blanc les composantes spectrales de la couleur étudiée. Le point de départ est donc un spectre plat qui présente un facteur de réflectance égal à 100 % sur l’ensemble du spectre visible. Le cyan correspond au spectre du blanc auquel on a ôté les plus hautes longueurs d’onde

(correspondant au rouge). Autrement dit le cyan est une couleur composée du mélange des longueurs d’onde correspondant au bleu et au vert.

Le jaune correspond au spectre du blanc auquel on a ôté les plus basses longueurs d’onde (correspondant au bleu). Autrement dit le jaune est une couleur composée du mélange des longueurs d’onde correspondant au vert et au rouge.

Le magenta correspond au spectre du blanc auquel on a ôté les longueurs d’onde intermédiaires du spectre visible (correspondant au vert). Autrement dit le magenta est une couleur composée du mélange des longueurs d’onde correspondant au bleu et au rouge.

Spectres de réflexion modélisés des trois couleurs primaires utilisées dans la synthèse soustractive : cyan, magenta et jaune

Applications de la synthèse soustractive La synthèse soustractive est bien connue des peintres. En effet, toutes les couleurs obtenues sur la palette du peintre le sont par synthèse soustractive. En mélangeant deux peintures les pigments de chacune d’elle va absorber certaines longueurs d’onde. La lumière réfléchie correspond aux longueurs d’onde qui ne sont absorbées par aucun des deux peintures. Cette synthèse est utilisée pour les impressions couleurs. On utilise dans ce cas le système CYMK (pour cyan, yellow, magenta, black en anglais). Le mélange bien dosé des trois couleurs va permettre de reconstituer la palette complète des couleurs lors d’une impression et le noir permet de compléter cette palette pour les couleurs les plus sombres.

longueur d’onde (nm)

380 480 580 680 780

MagentaCoefficient de réflexion (%)

0

25

50

75

100

127

Encadré : Les autres origines physiques de la couleur

La diffraction Vous avez vu en Terminale, que le passage de la lumière dans une fente très fine entraînait la formation d'une tache étalée sur un écran. La largeur de la tache centrale de diffraction dépend de la distance D, de la largeur a de la fente et de la longueur d’onde λ.

Tache de diffraction d'un faisceau laser par une fente

C'est cette propriété qui est exploitée dans la fabrication de réseaux de diffraction : on n'obtient pas l'effet d'une seule fente, mais d'un très grand nombre de fentes très serrées.

Schématiquement, un réseau (dit "par transmission") est constitué d'un grand nombre de fentes identiques et parallèles de très faible largeur. La distance entre deux fentes est appelée « pas du réseau ». La lumière qui est envoyée sur le réseau est alors diffractée et l'angle à la sortie dépend de la longueur d'onde. On utilise alors les propriétés spectrales de ce type de réseau dans le cadre d’un spectromètre numérique tel que celui utilisé dans ce chapitre pour les expériences de TP.

C'est ce type de phénomène que vous observez chaque jour avec un cédérom : dans ce cas, c'est l'ensemble des cuvettes de l'enregistrement numérique qui fait office de "réseau".

Les interférences Le phénomène d’interférence peut avoir lieu lorsque la lumière est transmise ou réfléchir par un film mince dont l’épaisseur est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde. Dans ce cas, le rayonnement de certaines longueurs d’onde disparaît par interférences destructives et celui d’autres longueurs d’onde est préservé par interférences constructives. Ce phénomène est observé par exemple à la surface d’une bulle de savon (film d’eau de très faible épaisseur) ou en présence d’une tache d’huile sur un sol mouillé (film d’huile).

128

Ce phénomène physique est également à l’origine de la couleur de certains animaux. En particulier les ailes de papillon ou les plumes de certains oiseaux présentent des micro-structurations spatiales à l’échelle de la longueur d’onde. La couleur ainsi observée n’est pas liée à un phénomène d’absorption mais à des interférences constructives et destructives en fonction de la longueur d’onde.

La couleur des ailes de papillon et de certaines plumes d’oiseau est liée à leur structure.

La diffusion de la lumière La diffusion de la lumière a lieu en présence d’objets dont la taille est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde ou bien plus petit. De plus ces objets sont répartis spatialement de manière aléatoire, il n’y a donc pas de phénomène d’interférences. On distingue deux régimes de diffusion

La diffusion de Rayleigh

Dans ce cas les particules diffusantes sont plus petites que la longueur d’onde (au moins un ordre de grandeur plus petite). La lumière est alors diffusée dans toutes les directions (diffusion isotrope) et dépend fortement de la longueur d’onde. C’est par exemple le cas de la lumière du soleil qui est diffusée par les molécules présentes dans l’atmosphère. Le bleu est davantage diffusé que le rouge, ce qui explique la couleur bleue du ciel. Par contre, au moment du coucher du soleil, la lumière issue du soleil traverse une plus grande épaisseur d’atmosphère. Les plus basses longueurs d’onde bleues étant plus fortement diffusées que les plus hautes, le rayonnement issu du soleil nous apparaît rouge.

La diffusion de Mie

Ce régime de diffusion a lieu lorsque la taille des particules diffusantes est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde. La lumière est alors diffusée principalement vers l’avant et la direction de diffusion dépend peu de la longueur d’onde. La lumière du soleil est ainsi diffusée par les gouttelettes d’eau qui constituent les nuages, ceux-ci nous apparaissent ainsi blanc.

129

Le blanc des nuages et le bleu du ciel sont liés à deux régimes de diffusion de la lumière distincts

D’autres origines Sans entrer dans les détails on peut citer d’autres origines physiques de la couleur de certains matériaux. Certains objets présentent en effet des impuretés ou des défauts à l’échelle de leur structure cristalline. C’est le cas en particulier des pierres précieuses. La couleur des métaux conducteurs (cuivre, argent, or, aluminium) est quant à elle liée à leurs structures électroniques particulières

Encadré : Les lasers et leurs applications

a) b) c)

a) Spectacle son et lumière utilisant des lasers ; b) laser à semi-conducteur (la monture fait 9 mm de diamètre) ; c) découpage de pièces métalliques par laser

Le mot « laser » vient de l'acronyme LASER qui signifie « light amplification by stimulated emission of radiation », soit « amplification de lumière par émission stimulée de rayonnement ».

Principe :

Reprenons le modèle d’atome quantique avec ses niveaux d’énergie discrets.

Nous avons vu le principe de l’émission de lumière, dite spontanée. C’est sur ce principe que fonctionnent les lampes spectrales.

Les lasers fonctionnent, eux, sur le principe de l’émission stimulée : dans ce cas, un photon émis par émission spontanée va désexciter un électron excité au niveau E2, et le forcer à retomber sur le niveau E1, en émettant un deuxième photon identique au premier. Pour cela, il faut qu’il y ait en

130

permanence plus d’électrons sur le niveau E2 que sur le niveau E1, ce qui n’est pas naturel (il faut réaliser ce que l’on appelle un « pompage optique »). En effet, un photon d’énergie hν = E2 – E1

arrivant sur un électron se trouvant sur le niveau E1 a exactement la bonne énergie pour pouvoir être absorbé par l’atome, et réémis. Dans ce cas, il n’y a pas « production » de photons. Pour que ce soit le cas, il faut qu’il y ait plus d’électrons sur le niveau E2 que sur le niveau E1.

Ensuite, on amplifie cette lumière émise par émission stimulée : pour cela, les photons émis font des aller-retours dans une cavité réfléchissante contenant les atomes utiles ; ainsi, un même photon sert un grand nombre de fois à stimuler des émissions de photons par ces atomes.

Historique

Le principe de l’émission stimulée a été trouvé en premier par A. Einstein en 1917. Le premier maser (i.e. un laser, mais à micro-ondes au lieu d’être dans le domaine de l’optique) a été fabriqué aux USA en 1953 par Ch. Townes (prix Nobel de physique 1964). Le premier véritable laser a été fabriqué par Th. Maimann en 1960.

Les différents types de lasers :

Il existe des lasers émettant de la lumière continûment, ou au contraire par impulsions. Les atomes qui sont successivement excités et désexcités sont à l’état gazeux, liquide ou solide.

Lasers à gaz : on peut citer le laser He-Ne utilisé en TP (rouge), le laser à CO2 (infra-rouge, puissant), le laser à argon qui peut émettre du vert à l’ultra-violet et qui est utilisé dans les spectacles « son et lumière ».

Laser à solide : le YAG est un laser très intense émettant dans l’infra-rouge, permettant de découper des métaux, des diamants..

Les lasers à semi-conducteurs, plus récents, sont de petite taille et peu intenses ; ils sont utilisés dans les lecteurs de CD, les imprimantes laser, comme pointeurs lasers, comme sources de lumière dans les fibres optiques.. Au départ ils émettaient dans le rouge uniquement, mais on sait maintenant en fabriquer qui émettent dans le bleu, le vert, ou l’infra-rouge.

Laser à liquide : les lasers à colorants produisent un rayonnement puissant, par impulsions. Leur intérêt est qu’on peut émettre une longueur d’onde au choix dans une large gamme.

Quelques applications :

En médecine, ils sont utilisés pour détruire des cellules, traiter des cancers, établir des diagnostics, positionner précisément un patient…

Pour faire des mesures : ils servent à mesurer des distances très précisément (hauteur d’un hélicoptère, mesure de la distance Terre-Lune...) ; voir exercice 1.1

Dans le domaine de la communication : le transport d’information se fait de plus en plus via de la lumière laser qui se propage dans une fibre optique.

Remarque finale : On sait maintenant faire des lasers à atomes. Il s’agit bien d’un faisceau d’atomes et non plus de lumière ! Les premiers à l’avoir réalisé sont Andrews, Mewes et Ketterle (USA) en 1997. Ketterle a eu le prix Nobel de physique en 2001 pour cette découverte22.

22 C’est également l’un des domaines de recherche poursuivi par l’équipe du Pr Alain Aspect à l’Institut d’Optique de l’Université Paris-Sud, Orsay (voir http://atomoptic.iota.u-psud.fr)

131

Résumé du chapitre 4: Un matériau dont l’indice de réfraction du matériau dépend de la longueur d’onde disperse la lumière blanche : cela signifie qu’il dévie chaque radiation d’un angle qui est fonction de la longueur d’onde. L’eau et les verres sont des matériaux dispersifs qui dévient plus le bleu que le rouge. Si les arcs-en-ciel existent, c’est parce qu’une goutte d’eau sphérique possède un minimum de déviation qui dépend de la longueur d’onde, mais pas de la taille de la goutte d’eau. La spectroscopie est l’étude d’un rayonnement lumineux (provenant d’une source lumineuse ou d’un objet en réflexion) par sa décomposition en ses différentes fréquences au moyen de prismes ou réseaux de diffraction. En spectroscopie, un prisme s’utilise au minimum de déviation. Il existe des rayonnements à spectres continus, (rayonnement thermique dit de corps noir comme celui émis par les corps incandescents) ou à spectres discrets (comme les spectres de raies des lampes à basse pression). La couleur est une notion subjective liée à chaque observateur. La notion de couleur fait intervenir trois partenaires.

• la source lumineuse • l’objet • l’œil de l’observateur et le traitement cérébral de l’information effectuée a posteriori.

La couleur perçue dépend de la composition spectrale de la source lumineuse, des bandes de longueurs d’onde absorbées par l’objet et de la sensibilité spectrale de l’œil de l’observateur. La rétine de l’œil humain est constituée de deux types de photo-récepteurs : les bâtonnets, très sensibles, mais qui ne différencient pas les couleurs, et 3 sortes de cônes, sensibles à des bandes spectrales distinctes correspondant au bleu, au vert, ou au rouge.

spectre d’émission de la source lumineuse

spectre de réflexion de l’objet éclairé en lumière blanche

longueur d’onde (nm)

380 nm 780 nm

Intensité (u.a.)

longueur d’onde (nm)380 nm 780 nm

Intensité (u.a.)

spectre de réflexion de l’objet éclairé avec la source lumineuse

longueur d’onde (nm)380 nm 780 nm

Intensité (u.a.)

132

Synthèses additive et soustractive La couleur observée peut être le résultat de l’addition de plusieurs émissions lumineuses (synthèse additive) comme par exemple dans le cas des écrans plats ou de l’addition de plusieurs sources.

La couleur observée peut également être le résultat de l’absorption (soustraction) de certaines longueurs d’onde à partir d’un rayonnement blanc incident comme dans le cas des peintures ou des impressions en couleur (synthèse soustractive).

133

CHAPITRE 5 : MESURES PHYSIQUES, INCERTITUDES ET MODELISATION

134

SOMMAIRE DU CHAPITRE 5 : INCERTITUDES

1. INTRODUCTION A LA MESURE 135 1.1 La mesure en physique 135 1.2 L’erreur de mesure : une grandeur inaccessible 135 1.3 Erreur aléatoire et erreur systématique 136 1.4 L’incertitude : une estimation de l’erreur 137

a) Intervalle de confiance 137 b) Incertitude absolue 137 c) Incertitude relative 137

1.5 Chiffres significatifs 137

2. COMMENT CALCULER UNE INCERTITUDE A PARTIR DES MESURES ? 138 2.1 Cas d'une grandeur mesurée directement 138

a) Méthode statistique 138 b) Evaluation directe 139

2.2 Cas d'une grandeur mesurée indirectement (reliée à une grandeur mesurée par une loi connue) 139

a) La méthode par encadrement 140 b) La méthode de la dérivée 140

2.3) Méthodes de calcul pour une grandeur fonction de plusieurs variables 141 a) Cas général 141 b) Cas d’une loi de puissance : dérivée logarithmique 142

3. MODELISATION ET DETERMINATION DE PARAMETRES 143 3.1. Premier cas : on connaît les incertitudes sur chaque valeur 143 3.2. Second cas : on ne connaît pas les incertitudes sur les mesures 144

EXERCICES DU CHAPITRE 5 146

135

1. Introduction à la mesure

1.1 La mesure en physique Commençons par signaler qu'on confond l'action de mesurer avec le résultat de cette action en un même terme, celui de mesure. En sciences expérimentales, il n’existe pas de mesures exactes. Si l’on répète plusieurs fois la mesure d’une grandeur, dans des conditions apparemment semblables, on obtient en général des résultats différents, caractérisés par une certaine dispersion sur ces résultats. Par dispersion, on veut dire que les mesures se répartissent sur un intervalle plus ou moins grand autour de la valeur moyenne, comme montré sur les figures ci-dessous.

Mesure d’une résistance : dispersion sur la mesure de la résistance et sur celle de la température à laquelle la mesure a été faite.

Histogramme des mesures de la période d’un pendule pesant de 190 cm (1006 mesures). La dispersion des mesures est de l’ordre de 0.1 s.

La dispersion des mesures a des origines multiples :

• La grandeur mesurée peut fluctuer de manière incontrôlée, comme c'est le cas par exemple pour la pression ou la température (cf. figure de gauche ci-dessus).

• L’instrument de mesure n'est jamais parfait. Il a un certain temps de réponse, et il est plus ou moins précis et/ou sensible.

• Enfin, l'expérimentateur lui-même joue un rôle. Par exemple, les graduations de lecture sont plus ou moins épaisses, la netteté d’une image sur un écran pas toujours facile à apprécier, les réflexes variables (cas de la figure de droite ci-dessus où il faut déclencher le chronomètre lors du passage du pendule à la verticale).

La dispersion des mesures étant inhérente à toute mesure physique, elle n’est jamais nulle, quelle que soit la méthode expérimentale employée. Mais on peut la réduire en prenant les précautions expérimentales nécessaires.

1.2 L’erreur de mesure : une grandeur inaccessible On cherche à mesurer la valeur d'une grandeur physique x, valeur que nous appellerons valeur de référence et que nous noterons xref. D'après ce qui précède, on conçoit que la valeur mesurée, valeur expérimentale notée xexp, sera toujours a priori différente de la valeur de référence xref, et que cette valeur de référence est, et restera, inconnue. Par définition l'erreur de mesure est : e = xexp – xref.. Elle peut être positive ou négative. Comme xref nous est inconnue, l’erreur effectuée à chaque mesure nous est inaccessible.

Période du pendule (s)

Histogramme

136

1.3 Erreur aléatoire et erreur systématique La dispersion obtenue sur les résultats de mesure résulte de phénomènes aléatoires (c'est-à-dire qui sont en partie le fruit du hasard). La grandeur que l'on cherche à mesurer est donc modélisée par une variable aléatoire. Lorsque la dispersion des résultats de mesure est faible, on parle de mesure précise. Lorsqu’elle est élevée, on parle de mesure bruitée. Mais attention, dire qu'une mesure est précise ne signifie pas pour autant que le résultat obtenu est proche de la valeur de référence ! En effet, il peut exister un écart reproductible entre la valeur mesurée et la valeur cherchée : on parle alors d’erreur systématique, ou de biais. Par exemple, un appareil peut être mal étalonné : le zéro peut être mal réglé, l’échelle peut être mal graduée, il peut y avoir une erreur de conversion etc. L'erreur systématique est donc une erreur de méthode (due au matériel, ou à l’expérimentateur). Il convient donc de distinguer deux types d’erreur : l’erreur aléatoire (la dispersion) et l’erreur systématique (le biais). L’erreur de mesure est la somme des deux : e = ealéa + esys. • L’erreur aléatoire commise à chaque mesure est par nature imprévisible. Mais ses propriétés

statistiques sont accessibles. Par définition, l’erreur aléatoire est nulle en moyenne, et sa dispersion est celle des mesures.

• L’erreur systématique est quant à elle constante à chaque mesure. Elle n’a donc aucun effet sur la dispersion. Elle ne fait que décaler, biaiser, l’ensemble des mesures. Elle peut être nulle en principe, mais c’est rarement le cas, et surtout, il est difficile de le savoir.

Les erreurs aléatoires et systématiques sont indépendantes : une mesure peut être précise mais biaisée, imprécise et biaisée, imprécise et non biaisée, ou encore précise et non biaisée (cas souhaité !). L’exemple ci-dessous en fournit une illustration. A la fête foraine, on s’exerce au stand de tir. Si l'on donne un bon fusil à un bon tireur…

Qualifiez dans chaque cas l’erreur aléatoire et l’erreur systématique (faible ou forte).

Cette présentation est en partie artificielle : dans la réalité, on ne connait pas la valeur réelle xref de la grandeur mesurée (la cible est invisible, c’est tout le problème !). On ne connait que xexp (l’impact du tir) qui fluctue à chaque mesure. Il est donc beaucoup plus facile d'estimer les erreurs aléatoires que les erreurs systématiques.

Erreur aléatoire

Erreur systématique

137

1.4 L’incertitude : une estimation de l’erreur Par définition, l'incertitude est une estimation de la valeur absolue moyenne de l'erreur. A la différence de l'erreur, l'incertitude est toujours positive. On la note δx. La connaissance de l’incertitude de mesure est aussi importante que celle de la mesure elle-même. Sans l’incertitude associée, il est impossible d’avoir confiance dans une mesure, de confronter les résultats de deux expériences, ou d’une expérience et d’une théorie.

a) Intervalle de confiance Une fois qu'on a évalué l’incertitude, on peut définir un intervalle de confiance à l'intérieur duquel on espère que la valeur de référence xref doit se trouver, avec une certaine probabilité. On traduit ceci de la manière suivante : on estime que la valeur cherchée xref vaut xexp à δx près, ce que l'on note : xref = xexp ± δx. Cette écriture signifie que la valeur cherchée xref a une probabilité importante (par exemple 68%) de se situer dans l'intervalle dit de confiance [xexp - δx ; xexp + δx].

b) Incertitude absolue L'incertitude δx est appelée incertitude absolue. Elle a la même dimension que la grandeur mesurée. C’est souvent elle que l’on évalue dans une mesure directe, mais elle n’est pas forcément une bonne indication de la précision de la mesure. En effet, mesurer une distance de 1 km à 1 cm près est intuitivement beaucoup plus précis que mesurer 1 m à 1 cm près.

c) Incertitude relative On définit donc la notion d’incertitude relative, qui est tout simplement le rapport de l’incertitude absolue à la grandeur mesurée, soit δx/xexp. Ce rapport forme un nombre sans dimension que l’on écrit souvent comme un pourcentage (car les incertitudes usuelles sont souvent de l’ordre de quelques pourcents). Ainsi, si l’on reprend les deux exemples précédents :

• 1 km à 1 cm près : l’incertitude relative vaut 10-5 = 0.001% • 1 m à 1 cm près : l’incertitude relative vaut 10-2 = 1%

1.5 Chiffres significatifs Comme vous l'avez déjà vu au lycée, les chiffres significatifs d'un nombre sont ceux dont on est certain, sauf le dernier.

• Un résultat donné sans incertitude, mais avec un certain nombre de chiffres significatifs, donne en fait implicitement une indication sur la valeur de cette incertitude : ainsi, on considère généralement que l'incertitude porte sur le dernier chiffre. Par exemple, si l'on écrit d = 3,523 cm, on sous-entend que l'incertitude sur la mesure de d vaut environ δd= 0,001 cm. Les écritures 3 cm, 3,0 cm et 3,00 cm ne sont donc pas équivalentes…

• Dans le cas où l'on s'est donné le mal d'estimer l’incertitude (!), il convient : - de conserver le bon nombre de chiffres significatifs pour l'incertitude elle-même. Celle-ci est rarement connue avec une grande précision. On l’arrondit donc en général à 1 ou 2 chiffres significatifs. - d'ajuster le nombre de chiffres du résultat trouvé en ne conservant pour sa valeur que les chiffres dont on peut être certain, compte tenu de l’incertitude.

Par exemple, si on trouve x = 8,02137 ± 0,057 m On écrira x = 8,02 ± 0,06 m

138

2. Comment calculer une incertitude à partir des mesures ?

2.1 Cas d'une grandeur mesurée directement a) Méthode statistique

L'incertitude étant reliée à la dispersion des résultats expérimentaux, on peut, à partir d'un grand nombre de mesures réalisées dans des conditions supposées identiques, effectuer une analyse statistique de ces mesures. On détermine ainsi quantitativement la dispersion des mesures, et on exprime ensuite l'incertitude en fonction de la marge de confiance souhaitée. En principe, vous avez dû voir cette méthode au lycée. Si l'on a fait N mesures xi de la grandeur X (i allant de 1 à N), la valeur moyenne des mesures est par définition :

< 𝑥𝑥 > = 1𝑁𝑁�𝑥𝑥𝑑𝑑

𝑁𝑁

1

L'écart-type σ de l'échantillon, ou sa variance σ2, donne une estimation de la dispersion des mesures :

𝜎𝜎 = �1

𝑁𝑁 − 1�(𝑥𝑥𝑑𝑑−< 𝑥𝑥 >)2𝑁𝑁

𝑑𝑑=1

C’est une mesure de l’erreur aléatoire, pas de l’erreur systématique. Si l’erreur systématique est négligeable, la valeur moyenne < 𝑥𝑥 > s’approche de la valeur recherchée xref en ~ 1/√𝑁𝑁. Si les erreurs aléatoires de mesure suivent une statistique gaussienne, alors le tableau suivant donne la probabilité que la vraie valeur xref de x soit comprise dans des intervalles de confiance de plus en plus grands centrés sur la valeur moyenne < 𝑥𝑥 > : La

figure ci-dessous montre comment on calcule cette probabilité : c’est la surface comprise sous la gaussienne, intégrée sur l’intervalle de confiance considéré (ici < 𝑥𝑥 > = 0 et σ = 1). Attention cependant, la précision croissante de l’estimation de xref par la moyenne statistique

Intervalle de confiance Probabilité de trouver xref dans cet intervalle

[ < 𝑥𝑥 > - σ ; < 𝑥𝑥 > + σ ] 68,20%

[ < 𝑥𝑥 > - 2σ ; < 𝑥𝑥 > + 2σ ] 95,45%

[ < 𝑥𝑥 > - 3σ ; < 𝑥𝑥 > + 3σ ] 99,73%

[ < 𝑥𝑥 > - 5σ ; < 𝑥𝑥 > + 5σ ] 99,99994%

139

< 𝑥𝑥 > repose sur deux hypothèses : − la statistique des erreurs aléatoires est gaussienne : ce n'est pas toujours le cas. − l'erreur systématique de mesure est nulle (la mesure est non biaisée) : cette hypothèse,

souvent non vérifiée, devient critique quand l'erreur aléatoire diminue.

b) Evaluation directe La méthode précédente est rigoureuse mais également fastidieuse…Souvent en physique on ne prend pas, ou on n'a pas le temps de répéter un grand nombre de fois une mesure donnée, notamment pour des mesures effectuées "à la main". C’est notamment le cas en Phys102.

Comment alors évaluer expérimentalement l’incertitude δx lors d’une unique mesure directe de la grandeur x étudiée ? Il s'agit bien d'une évaluation, la seule méthode rigoureuse étant celle du 2.1.a…

α) Si la mesure implique un appareil de mesure, on peut se reporter à la notice de celui-ci qui indique souvent les incertitudes à prendre en compte (le travail statistique décrit au paragraphe précédent a été fait par le constructeur de l'appareil…)

β) Si l'instrument de mesure est simple, ou si on ne trouve pas la notice de l'appareil (!), on prend généralement une graduation du dernier chiffre (cf. chiffres significatifs). Ainsi, pour un appareil à affichage numérique, on prendra comme incertitude une unité du dernier chiffre affiché (sauf évidemment si on observe que les trois derniers chiffres fluctuent…). Pour une mesure impliquant une lecture de graduations (règle, vernier), on prendra également une unité (ou une demi-unité, suivant les cas) de la dernière graduation.

γ) Une troisième méthode consiste à surestimer l'incertitude. On peut en effet effectuer, non pas un grand nombre de mesures identiques, mais seulement 3 ou 4. On évalue alors une valeur maximale de l'incertitude en prenant la différence des valeurs extrêmes divisée par deux :

𝛿𝛿𝑥𝑥 = �𝑥𝑥𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑙𝑙𝑑𝑑𝑑𝑑

2�

Cette méthode s'applique notamment lorsque la mesure implique un jugement de l'expérimentateur. Par exemple, celui-ci doit apprécier la netteté d'une image (chapitre 3, TP S5 et S7). Si l'on veut déterminer la position de l'écran où l'image est considérée comme nette, il existe une certaine plage de positions de l'écran où l'observateur considèrera que l'image est nette. On peut alors déterminer les deux positions extrêmes de l'écran où l'image peut encore, à la limite, être considérée comme nette, et prendre comme incertitude la différence et diviser par deux le résultat. Lorsque vous donnerez une valeur expérimentale avec son incertitude, expliquez toujours comment vous avez déterminé cette incertitude!

2.2 Cas d'une grandeur mesurée indirectement (reliée à une grandeur mesurée par une loi connue)

Nous traiterons ici le cas d'une grandeur y, non plus mesurée directement, mais reliée à une grandeur x que l'on mesure via une fonction connue y = f(x). Par exemple, on veut déterminer le volume d'un cube (une pièce par exemple), et on mesure, non pas directement ce volume (!), mais le côté du cube : on trouve une valeur x0, à δx près. Bien entendu, le volume du cube peut être estimé par x0

3, mais à combien près? En d'autres

termes, que vaut l'incertitude δy ?

140

a) La méthode par encadrement Sauf cas particulier, la méthode la plus simple est de calculer à partir des valeurs extrémales (xinf et xsup) de la grandeur mesurée, les valeurs extrémales correspondantes ymin et ymax de la valeur calculée (en faisant attention à l'ordre...).

Calcul Exemple 1 : on mesure le côté d'un cube et on trouve 1 m, à 1%, 10% ou 25%. Que vaut l'incertitude sur le volume du cube dans les trois cas? Exemple 2 : soit un angle α mesuré à 30° avec une incertitude de ± 2°. Quelle est l'incertitude sur sin α, sur cos α ? Avec une calculette, il est facile de remplir la suite d'encadrements :

angle : 28° < α < 32° ou bien : α = 30 ± 2°

sinus : 0.47 < sin α < 0.53 ou bien : sin α = 0.50 ± 0.03

cosinus : 0.84 < cos α < 0.88 ou bien : cos α = 0.86 ± 0.02 Là encore, seuls les chiffres considérés comme significatifs sont à conserver.

Représentation graphique Cette méthode peut être généralisée à une relation dont la fonction est compliquée ou inconnue, mais dont on dispose d'une représentation graphique (obtenue par une méthode informatique par itération, type méthode d'Euler). Sur l'exemple ci-contre, on a tracé la courbe reliant les grandeurs x et y. Si la mesure de x donne une valeur comprise entre xinf et xsup, alors on peut déterminer l'incertitude qui en résulte sur la valeur de la grandeur y.

b) La méthode de la dérivée

Une méthode qui peut ensuite se généraliser, repose sur l'utilisation de la dérivée.

Calcul

Vous avez vu que, par définition : 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) = lim𝑚𝑚→𝑚𝑚0

𝑓𝑓(𝑚𝑚)−𝑓𝑓(𝑚𝑚0)𝑚𝑚−𝑚𝑚0

Ceci permet de considérer que, si l'intervalle ∆x = x - x0 est suffisamment petit (c'est-à-dire que la dérivée ne varie pas beaucoup sur cet intervalle), on a :

𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) ≈ ∆𝑓𝑓∆𝑚𝑚

soit encore ∆𝑓𝑓 ≈ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥0) ∆𝑥𝑥

En général, les incertitudes constituent ainsi de faibles intervalles. Si l'on utilise la notation δ introduite précédemment, en tenant compte de ce que les incertitudes sont des valeurs absolues, on peut donc résumer :

Si δx représente l'incertitude sur une valeur x0 de la grandeur x, alors on peut estimer l'incertitude correspondante δy sur la valeur de la grandeur y telle que y0 = f(x0) :

𝛿𝛿𝛿𝛿 = |𝑓𝑓′(𝑥𝑥0)| 𝛿𝛿𝑥𝑥

X

xinf xsup

Y

yinf

ysup

y = f(x)

141

Représentation graphique La représentation graphique correspondante repose sur l'interprétation graphique de la dérivée en un point. Comme vous l'avez vu au lycée, la valeur de la dérivée en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point. La relation ci-dessus revient donc à considérer les points non plus sur la courbe mais sur la tangente au point considéré. Exemples : 1- Incertitude sur le calcul du volume d'un cube de côté x.

Si δx représente l'incertitude sur la mesure du côté, alors, l'incertitude sur le volume V = x3 est : δV ≈ 3x2 δx

Reprendre l'exemple où l'on trouve pour le côté du cube : 1 m, à 1%, 10% ou 25%. Que vaut l'incertitude sur le volume du cube dans les trois cas? Comparer au résultat obtenu précédemment par la méthode par encadrements. 2- Incertitude sur l'accélération lors d'un glissement sur un plan incliné.

Si α représente l'angle du plan incliné et δα son incertitude, alors l'incertitude sur l'accélération a = g.sinα est égale à δa = g.cosα. δα (à condition d'utiliser "l'unité" d'angle des mathématiciens : le radian !!)

Et, pour être cohérent, on ne garde bien sûr que les chiffres significatifs !

2.3) Méthodes de calcul pour une grandeur fonction de plusieurs variables a) Cas général

De façon générale, connaissant les mesures xexp et yexp des grandeurs x et y, et connaissant les incertitudes δx et δy de ces mesures, on cherche à connaître l'incertitude sur la grandeur dérivée G(x,y). La méthode par encadrement est toujours applicable, mais fastidieuse.

Soit G une fonction de 2 grandeurs x et y. L'incertitude absolue δG se calcule à partir des incertitudes absolues de mesure δx et δy, et des dérivées partielles de la fonction G aux points de mesure xexp et yexp:

𝛿𝛿𝐺𝐺 = �𝜕𝜕𝐺𝐺𝜕𝜕𝑥𝑥

�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒,𝛿𝛿𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒�� 𝛿𝛿𝑥𝑥 + �𝜕𝜕𝐺𝐺𝜕𝜕𝛿𝛿

�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒,𝛿𝛿𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒�� 𝛿𝛿𝛿𝛿

La dérivée partielle de G par rapport à x s'obtient en considérant que y, ou plus généralement, toutes les variables autres que x, sont constantes. Exemple : on veut connaître l'incertitude sur la vitesse v d'un mobile, mesurée de manière indirecte par la mesure de la distance l et du temps t de parcours. La vitesse v est la grandeur G cherchée. C’est une fonction de l et t : v = G(l,t) = l / t Pour cela on a mesuré le temps t = 10 ± 1 s qu’il met pour parcourir une distance l = 12.0 ± 0.5 cm. On a donc texp =10 s, lexp =12.0 cm, δt = 1 s et δl = 0.5 cm. La valeur expérimentale vexp de la vitesse est donnée par : vexp = lexp / texp = 1.2 cm/s.

X x0 +δx

Y

yinf

ysup

x0 - δx x0

142

Pour calculer l’incertitude sur v on calcule les dérivées partielles de la fonction G(l,t)= l / t

𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝑙𝑙

= 1𝑡𝑡 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑡𝑡= − 𝑙𝑙

𝑡𝑡2

L’incertitude sur la vitesse sera donnée par :

𝛿𝛿𝛿𝛿 = �𝜕𝜕𝛿𝛿𝜕𝜕𝜕𝜕�𝜕𝜕𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒, 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒�� 𝛿𝛿𝜕𝜕 + �

𝜕𝜕𝛿𝛿𝜕𝜕𝑡𝑡�𝜕𝜕𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒, 𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒�� 𝛿𝛿𝑡𝑡

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 1𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒

𝛿𝛿𝜕𝜕 + 𝜕𝜕𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒2 𝛿𝛿𝑡𝑡

d’où 𝛿𝛿𝛿𝛿 = 110

0.5 + 12102

0.2 = 0.17 cm/s.

On écrira finalement: v =1.2 ± 0.2 cm/s. Remarque : Nous n’avons pas écrit v = 1.2 ± 0.17 cm/s. Pourquoi ?

b) Cas d’une loi de puissance : dérivée logarithmique Si la grandeur G s'exprime sous forme d'un produit de puissances de x et y, 𝐺𝐺 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑙𝑙 𝛿𝛿𝑑𝑑, il est plus facile de calculer l'incertitude relative δG/|G| que l'incertitude absolue δG. L'incertitude relative δG/|G| s'écrit simplement comme la somme des incertitudes relatives des grandeurs mesurées, pondérée par les puissances :

𝛿𝛿𝐺𝐺|𝐺𝐺| = 𝑚𝑚

𝛿𝛿𝑥𝑥|𝑥𝑥| + 𝑠𝑠

𝛿𝛿𝛿𝛿|𝛿𝛿|

Elle est indépendante de la constante k. Démonstration: Prenons le logarithme népérien de la fonction G :

ln𝐺𝐺 = ln𝑘𝑘 + 𝑚𝑚 ln 𝑥𝑥 +𝑠𝑠 ln 𝛿𝛿 Exprimons l'incertitude absolue sur ln (G) en dérivant cette expression :

𝛿𝛿(ln𝐺𝐺) =𝛿𝛿𝐺𝐺|𝐺𝐺| = 𝑚𝑚

𝛿𝛿𝑥𝑥|𝑥𝑥| + 𝑠𝑠

𝛿𝛿𝛿𝛿|𝛿𝛿|

La constante k a disparu ! Elle n'intervient pas dans le calcul de l'incertitude relative δG/|G|, mais seulement dans celle de l'incertitude absolue δG. Exemple 1: reprenons l’exemple précédent et calculons l’incertitude relative δv/|v| sur la vitesse du mobile. Les incertitudes relatives sur les quantités mesurées sont : δl/l = 4% et δt/t = 10%.

On a : 𝛿𝛿𝜕𝜕|𝜕𝜕| = 𝛿𝛿𝑙𝑙𝑙𝑙

+ 𝛿𝛿𝑡𝑡𝑡𝑡

donc δv / |v| = 14%.

On vérifie que δv = δv/|v| ×|v| = 14 ×1.2 = 0.17 cm/s, qui est bien le résultat que nous avions obtenu précédemment. Exemple 2 : Si l'arête d'un cube est mesurée avec une incertitude relative de 3%, on montre que l'incertitude relative sur la surface d'une face du cube est de 6% et l'incertitude relative sur son volume de 9%, et ce quelle que soit la longueur de l'arête. Ce résultat est aussi applicable à une sphère dont on mesurerait le diamètre.

143

3. Modélisation et détermination de paramètres

Dans d'autres cas, on réalise une série de mesures de deux grandeurs pour étudier la relation qui les relie. Vous avez ainsi tracé des graphes U=f(I) en électricité, v=f(t) en mécanique, etc. Il s'agit de tester un modèle, de retrouver une loi physique, et éventuellement d'en déduire la valeur d'un paramètre. On effectue alors une série de mesures en faisant varier l'une des grandeurs : mesures de I en faisant varier U, mesure d'allongement d'un ressort en faisant varier le poids accroché, etc.

L'analyse de telles mesures repose sur la représentation graphique des couples de mesures (xi, yi) dans un graphe (x, y). Seule cette méthode permet le contrôle de la modélisation et des calculs scientifiquement valides.

Ci-après, on ne considère que le cas où les points ainsi obtenus correspondent à un modèle affine ou linéaire, qui sera représenté par une droite d'équation y = ax + b, où a et b sont des paramètres inconnus à déterminer.

3.1. Premier cas : on connaît les incertitudes sur chaque valeur Dans un certain nombre de cas, on connaît les incertitudes sur chacune des valeurs mesurées xi et yi : incertitude liée à l'appareil ou à la qualité du repérage, incertitude mesurée ou calculée (voir partie précédente). Pour chaque valeur xi, on a donc un ± δxi (idem pour yi).

• La première étape consiste à reporter les incertitudes sur les valeurs représentées. Pour ce faire, on peut tracer des "croix" dont la taille représente les incertitudes "en x" et "en y" : largeur 2δxi et hauteur 2δyi

On parle de barres d'erreur. Remarque : dans certains ouvrages, on trace un rectangle dit "rectangle d'incertitude".

• Dans une seconde étape, le modèle attendu étant linéaire ou affine, on trace les droites de pentes extrêmes (pente minimale et pente maximale) passant par les croix ainsi tracées.

Ces deux droites fournissent chacune une valeur des paramètres a (pente) et b (ordonnée à l'origine).

On en déduit donc un encadrement pour les valeurs des paramètres cherchés. On écrira par exemple pour la pente :

amin < a < amax

bmin < b < bmax

X xi +δxi

Y

yi

xi - δxi

xi

yi - δyi

yi + δyi

X

Y

amin

amax

bmax bmin

144

Remarque importante : les croix ne sont pas nécessairement toutes de la même taille ! Ainsi l'incertitude peut être plus importante sur les points "éloignés" de l'origine (cas du dessin ci-dessus) : les points mesurés avec plus de précision ont une croix plus petite. Le fait de faire passer la droite par ces croix, va donc faire que l'on va en général passer plus près des points dont on est le plus sûr ! Ce qui est logique ! Cas particulier : si on connaît la valeur de la pente (par exemple parce qu’elle est fixée par la loi), on peut déterminer de manière plus fine l’incertitude sur l’ordonnée à l’origine en traçant les droites parallèles de bonne pente et d’ « ordonnées à l’origine extrêmes ». Celles-ci coupent l’axe des ordonnées aux points d’ordonnée bmin et bmax.

3.2. Second cas : on ne connaît pas les incertitudes sur les mesures On trace alors une droite moyenne qui passe "au mieux" par l'ensemble des points : on essaie d'équilibrer le nombre de points au-dessus et le nombre de points au-dessous. Remarques : 1- Les "petites croix" tracées ici ne représentent pas les incertitudes. 2- Il se peut que la droite ne passe par aucun point expérimental! 3- Ceci effectué, tout point de la droite constitue alors une meilleure estimation des mesures, puisque la droite tient compte de tous les points expérimentaux, et fait donc bien une sorte de moyenne sur l'ensemble. Donc, si l'on conserve tous les points expérimentaux, et que l'on estime la droite comme représentative des mesures, alors cela signifie que l'on considère que le fait que des points ne soient pas sur la droite est dû aux incertitudes de mesure. De plus, ayant considéré de la même façon tous les points, on suppose implicitement que l'incertitude est la même pour tous (Cf. remarque précédente). L'écart le plus grand entre un point et la droite est donc représentatif des incertitudes pour tous les points.

X

Y

X

Y a

bmax bmin

145

La figure ci-dessous (à gauche) est un zoom sur la partie du graphique ci-dessus où l'un des points est le plus éloigné de la droite. Si l'on suppose que les incertitudes sont essentiellement sur la grandeur Y, alors, on a l'estimation de δy (figure de droite). Cette incertitude peut alors être reportée sur tous les points et l'on est ramené au cas précédent. Remarques importantes : 1- La méthode repose ici sur l'hypothèse que l'incertitude est négligeable sur la grandeur portée en abscisse (mais l'on pourrait généraliser en traçant les perpendiculaires à la droite). 2- La méthode suppose que les incertitudes sont les mêmes pour tous les points. C'est ce qui permet d'interpréter la dispersion des points de part et d'autre de la droite moyenne comme représentative des erreurs aléatoires, donc des incertitudes. 3- On a ici maximisé l'incertitude sur y, en prenant l'écart maximum entre un point et la droite. La méthode "correcte" pour ne pas surestimer cette incertitude consiste à prendre l'écart moyen entre les points et la droite (moyenné sur l'ensemble des points). C'est ce que fait une régression linéaire…

δy

146

Exercices du chapitre 5

1. Volume d’une bille

On mesure le diamètre D d’une bille d’acier à l’aide d’un pied à coulisse au de mm près.

On lit D = 10,02 mm. Ecrire D avec son incertitude absolue sous la forme D =… ±… Quel est le volume V de la bille, avec son incertitude ? Ecrire le résultat sous la forme

V =…±…

2. Incertitude sur le sinus d’un angle Connaissant l'incertitude sur i (en degrés), quelle est l’incertitude sur sin i? Application numérique : compléter le tableau ci-contre.

i (°) i (rad) δi (°) δi (rad) sin i cos i δ(sin i)= ?

2,5 1

35 1,5

40 2,5

3. Réfractomètre de Godat Un réfractomètre permet de déterminer la valeur de l’indice de réfraction n d’un fluide à partir de la mesure de l’angle de déviation D d’un fin faisceau de lumière parallèle. On connaît l’indice N du prisme constituant le réfractomètre, ainsi que son angle d’inclinaison α par rapport à la verticale. Le dispositif expérimental, appelé réfractomètre de Godat, est tel qu’il existe une relation simple entre

ces quatre variables, à savoir n=N- . On suppose que les valeurs de N et de α, sont connues avec une incertitude négligeable par rapport à celle correspondant à la mesure de D.

Déterminer la valeur de l’indice de réfraction n. On écrira le résultat sous la forme n=… … et on déterminera la précision de la mesure. Données :

N=1.768, α=10.00°, D= 3.2°, valeur mesurée avec une précision de 3%.

150

Dα

±

147

4. Puissance dissipée dans une résistance électrique Une résistance R soumise à un courant électrique I délivre une puissance P donnée par la relation supposée P = RI². Pour vérifier celle-ci, un étudiant applique différents courants à une résistance inconnue immergée dans de l’eau dont l’augmentation de température renseigne sur la puissance dissipée. Les résultats sont reportés sur le graphe ci-joint. Les incertitudes sur I et I2 sont négligeables.

a) Les points de mesures vous semblent-ils en accord avec la relation attendue ? Pourquoi ? b) On cherche à ajuster les mesures par une droite. Que représente la pente de cette droite ?

En quelle unité s’exprime-t-elle ? c) Utiliser le graphe ci-joint pour déterminer la pente de la droite ajustant au mieux les

mesures. Quelle est l’incertitude sur la valeur de la pente ? Exprimer le résultat sous la forme x ± δx.

148

EXERCICES DES CHAPITRES 1 A 4

149

SOMMAIRE DES EXERCICES DES CHAPITRES 1 A 4 :

EXERCICES DU CHAPITRE 1 150 1.1 Temps de parcours de la lumière. 150 1.2 Longueur d'onde dans un milieu d'indice n>1 150 1.3 Angles de réfraction et de réflexion 150 1.4 Indice de réfraction d'un liquide 150 1.5 Réfractions successives par un prisme 151 1.6 Mesure de l’indice d’un liquide 152 1.7 Détecteur de pluie 154 1.8 Fibre optique à saut d’indice 155 1.9 Le principe de Fermat et le problème du sauveteur (∗) 156

EXERCICES DU CHAPITRE 2 157 2.1 Stigmatisme et conditions de Gauss 157 2.2 Constructions de l'image d'un objet réel par des miroirs sphériques 157 2.3 Objets/images réel(le)s/virtuel(le)s avec un miroir plan 158 2.4 Deux miroirs 158 2.5 Champ d'un miroir plan ou convexe 159 2.6 Image de la Lune par un télescope 160 2.7 Où le pêcheur voit-il le poisson ? 160 2.8 Modélisation de l'œil par un dioptre sphérique 161 2.9 Image dans un verre à saké 162 2.10 Image de la Lune par la surface des océans 164

EXERCICES DU CHAPITRE 3 165 3.1 Image d'une diapositive sur un écran par une lentille convergente 165 3.2 Image d'un objet virtuel par une lentille convergente ou divergente 166 3.3 Vision à l’aide d’une loupe 166 3.4 Correction d'un œil myope 166 3.5 Système de deux lentilles minces accolées 167 3.6 Association de deux lentilles minces convergentes 167 3.7 Téléobjectif (suite de la partie cours) 167 3.8 Système optique afocal : la lunette de Galilée 167 3.9 Pouvoir séparateur de l'œil 169 3.10 Mesure de l’indice d’un liquide à l’aide d’un réfractomètre 170

EXERCICES DU CHAPITRE 4 172 4.1 Couleurs de drapeaux 172 4.2. Dispersion par un prisme 172 4.3 Arc-en-ciel 173 4.4 Fabrication d’une lumière blanche à partir de diodes électroluminescentes 176 4.5 Mesure par spectroscopie de la vitesse de récession d’une galaxie 177

150

EXERCICES DU CHAPITRE 1

Assimilation du cours

1.1 Temps de parcours de la lumière. a) Temps mort entre deux téléphones cellulaires : Deux personnes discutent entre elles via leurs téléphones cellulaires. Chaque téléphone cellulaire envoie ces informations sous forme d’ondes électromagnétiques à un satellite en orbite géostationnaire, c'est-à-dire à une altitude de 36000 km. On suppose ici que les deux personnes sont séparées d'une distance négligeable devant la distance entre la surface de la Terre et le satellite. Quel est le temps mort, c'est-à-dire le temps entre le moment où la personne commence à parler et où son interlocuteur commence à entendre la phrase prononcée ? b) Distance Terre-Lune : En 1969, lors de la mission Apollo XI, Neil Armstrong et Edwin Aldrin ont déposé, à la surface de la Lune un réflecteur laser. Ce réflecteur laser permet de renvoyer vers la Terre des faisceaux d’impulsions laser tirés de centre d’études comme le CERGA près de Grasse ou la station Mac Donald au Texas. Une impulsion laser est un signal lumineux très bref. On mesure avec une grande précision la durée mise par cette impulsion pour effectuer un aller-retour Terre-Lune. Lors d’un tir d’impulsion laser, le temps de parcours d’une impulsion pour un aller-retour Terre-Lune est 2,65s. Déterminer la distance Terre-Lune au moment de la mesure.

1.2 Longueur d'onde dans un milieu d'indice n > 1 Le maillot de bain rouge que porte une personne réfléchit principalement, dans l’air, une longueur d’onde de 750 nm. On rappelle que, quand on parle de longueur d’onde associée à une couleur, on se réfère en fait à la longueur d’onde dans le vide, λ0

a) Quelle est la relation qui relie la longueur d’onde λ dans un matériau d’indice n et la longueur d’onde dans le vide, notée traditionnellement λ0?

b) L’indice de l’air nair étant pratiquement égal à 1, justifier le fait que la longueur d’onde dans l’air est assimilée à la longueur d’onde dans le vide, λ0. On note donc λ0 = 750nm.

c) L’indice de l’eau neau étant de 1.33, calculer la valeur de λ, longueur d’onde dans l’eau. d) Comment explique-t-on que la couleur du maillot soit perçue comme identique, qu’il soit vu dans l’air ou sous l’eau ?

1.3 Angles de réfraction et de réflexion a) Quel est l'angle de réflexion dans le cas d'un rayon tombant perpendiculairement sur une surface plane ? b) Quel est l'angle de réfraction dans le cas d'un faisceau tombant perpendiculairement sur l'interface air-verre ?

1.4 Indice de réfraction d'un liquide a) Un faisceau de lumière tombe sur l'interface air-liquide sous une incidence de 55°. L'angle

151

du rayon réfracté dans le liquide est alors 40°. Quel est l'indice du liquide ? b) Un liquide remplit un petit récipient (voir figure ci-dessous). On trouve que le bord arrière du fond du récipient est juste visible sous un angle de 20,0° avec l'horizontale. Quel est l'indice de réfraction du liquide ?

Problèmes

1.5 Réfractions successives par un prisme Un prisme est un milieu homogène limité par deux dioptres plans non parallèles, appelés les faces d'entrée et de sortie du prisme (toutes les deux sont polies). Leur intersection forme l'arête du prisme, caractérisée par un angle A. Les deux propriétés principales des prismes sont de dévier et de disperser la lumière. La dispersion signifie la séparation d'un rayonnement polychromatique en ses différentes composantes et sera étudiée au chapitre 4. Ici, nous nous intéresserons à la déviation d'un faisceau monochromatique par un prisme. Les angles i et r seront comptés positivement dans le sens trigonométrique ; les angles i’, r’ et D’ seront comptés positivement dans le sens inverse.

Un faisceau de lumière monochromatique est envoyé sur une face latérale d'un prisme de sommet S, d'angle au sommet A, et d'indice de réfraction n pour la longueur d'onde considérée. 1) Reproduisez en grand le schéma ci-dessus. Tracez l'allure du trajet du faisceau lumineux à travers le prisme. Complétez le schéma avec les notations suivantes :

œil

20 cm

15 cm

20°

152

• i est appelé angle d'incidence, c'est l’angle entre le rayon incident et la normale à la face d’entrée du prisme, au point J.

• r est l’angle entre le rayon dans le prisme et la normale à la face d’entrée du prisme au point J.

• r’ est l’angle entre le rayon dans le prisme et la normale à la face de sortie du prisme au point J’ (point de la face de sortie par lequel le rayon sort du prisme).

• i’ est l’angle entre le rayon émergeant du prisme et la normale à la face de sortie du prisme au point J’.

2) En utilisant la loi de la réfraction aux points J et J', trouver une relation entre i et r, et entre i' et r'. 3) A l'aide d'un raisonnement dans le triangle SJJ', trouver une relation entre r, r' et A. 4) Déviation 4-a) Exprimer, à l'aide des angles i et r, la déviation D1 subie en J par le rayon incident. 4-b) Exprimer, à l'aide des angles i' et r', la déviation D2 subie par le rayon incident en J’, et en déduire la déviation totale D. 5) Minimum de déviation 5-a) Montrer par des arguments qualitatifs que le minimum de déviation correspond nécessairement à la situation symétrique telle que i = i' et r = r'. 5-b) On admettra que la déviation passe par un minimum lorsque la condition suivante sur les angles est remplie :

cos i' cos r = cos i cos r' En utilisant les relations trouvées dans les questions précédentes, en déduire que le minimum de déviation a lieu pour r = r' = A/2

5-c) En déduire que l'indice du prisme s'exprime par 𝑠𝑠 = sin(𝐴𝐴+𝐷𝐷𝑙𝑙)

2�

sin𝐴𝐴 2� .

1.6 Mesure de l’indice d’un liquide Un récipient dont le fond est réfléchissant (figure ci-dessous) contient un liquide d’indice n

que l’on souhaite mesurer. Pour cela, deux sources lumineuses M et N supposées ponctuelles sont placées à la surface du liquide. Elles sont séparées d’une distance a supposée parfaitement connue.

Une lunette, située au bord du récipient, permet à un observateur de récolter certains rayons provenant de la surface du liquide. Pour que la lumière puisse pénétrer dans la lunette, nous supposerons que le rayon doit passer par le point O, symbolisant l’entrée de la lunette. La hauteur h du liquide est un paramètre que l’observateur ajuste pour pouvoir déterminer l’indice n. Les sources ponctuelles M et N peuvent envoyer des rayons dans toutes les directions.

153

Figure 3 : Dispositif de mesure de l’indice n d’un liquide

B-1 Un observateur, dont l’œil est situé derrière la lunette, regarde le point N directement. Sur le schéma ci-dessus, représenter le rayon qui va directement de N au point O. Tracer la normale à la surface en N. On appelle l’angle entre la normale en N et ce rayon. Indiquez cet angle sur votre schéma. B-2-a) Représenter le rayon particulier qui part de M vers le fond du récipient et qui, après réflexion sur le fond, traverse la surface du liquide en N. Soit H le point sur le fond du récipient où est réfléchi ce rayon. Comment est situé le point H par rapport aux points M et N ? Placer ce point sur votre schéma. Représenter le rayon issu de H réfracté en N. On note i l’angle d’incidence en H, r l’angle de réfraction dans l’air en N (pour l’instant, le rayon réfracté en N ne passe pas forcément par O, c’est à dire que les angles r et ne sont pas forcément égaux). Indiquer i et r sur votre schéma. B-2-b) L’observateur regarde en même temps le point N et l’image du point M après réflexion sur le fond du récipient et traversée de la surface liquide-air. Il ajuste la hauteur h du liquide pour que l’image de M soit vue dans la même direction que le point N. Quelle relation a-t-on alors entre r et ? Dans ces conditions, écrire la troisième loi de Snell-Descartes pour le rayon provenant du fond de la cuve et réfracté en N. Montrer que dans ces conditions, on a . B-2-c) On donne a = 5 cm, =45°. On admet qu’il n’y a pas d’incertitude sur ces valeurs. L’observateur mesure h = (4.3 ± 0.1) cm lorsqu’il voit les images de M et de N dans la même direction. Quelle est l’incertitude relative sur la hauteur h ? Calculer la valeur n de l’incertitude sur l’indice n par deux méthodes :

• la méthode de la dérivée.

• la méthode par encadrement. Ces deux méthodes sont-elles équivalentes ?

154

1.7 Détecteur de pluie Certains véhicules sont équipés d’un détecteur de pluie qui commande la mise en route des essuie-glaces. Placée à l’intérieur du véhicule, une diode électroluminescente émet un rayon lumineux qui vient frapper la face externe du pare-brise en verre sous un angle d’incidence de 45°. Données : indice du verre nv = 1,5 ; indice de l’eau ne = 1,33. I-1) Question préliminaire On considère un rayon lumineux incident avec l’angle i sur un dioptre plan séparant deux milieux transparents homogènes d’indice n1 et n2. A quelle condition sur les indices n1 et n2 peut-il y avoir réflexion totale ? Exprimer l’angle limite de réflexion totale ilim en fonction de n1 et n2. I-2) Etude en présence de pluie Le schéma de fonctionnement du dispositif en présence de pluie est présenté ci-dessous. Compléter ce schéma en indiquant l’angle d’incidence et, s’ils existent, le rayon réfléchi, le rayon réfracté, ainsi que les angles réfléchi et réfracté correspondants. Justifier votre réponse.

I-3) Etude en l’absence de pluie Le schéma de fonctionnement du dispositif en l’absence de pluie est présenté figure 2 page 4. Compléter ce schéma en indiquant l’angle d’incidence et, s’ils existent, le rayon réfléchi, le rayon réfracté, ainsi que les angles réfléchi et réfracté correspondants. Justifier votre réponse. I-4) Principe de la détection de pluie Une photodiode récupère dans les deux cas la lumière réfléchie. Elle est reliée au système de commande des essuie-glaces.

− Si l’intensité de cette lumière est forte, le détecteur bloque les essuie-glaces.

− Si l’intensité de cette lumière est faible, le détecteur provoque le déclenchement automatique des essuie-glaces.

a) Où faut-il placer la photodiode ? L’indiquer sur les schémas ci-dessus. b) Expliquer le fonctionnement du détecteur, en présence et en l’absence d’eau sur le pare-brise.

155

1.8 Fibre optique à saut d’indice

On considère une fibre optique de section cylindrique placée dans l’air. Cette fibre de rayon R et de longueur L est constituée de deux cylindres concentriques, un cœur de rayon r et d’indice n1 entouré d’une gaine d’indice n2.

a) Quelle inégalité sur n1 et n2 doit être vérifiée pour qu’il puisse y avoir réflexion totale à l’interface cœur/gaine ? Dans la suite, nous supposerons que cette condition est toujours vérifiée. b) On considère un rayon lumineux arrivant sur le cœur de la fibre au point O sous un angle d’incidence θ. Ecrire les relations reliant les différents angles du schéma ci-dessus à chacune des interfaces air/cœur et cœur/gaine. c) Pour quelles valeurs de θ, le rayon entrant dans la fibre se propage-t-il le long de cette fibre par réflexion totale à l’interface cœur/gaine ? d) Calculer numériquement la valeur extrémale de θ, θ0 pour que le rayon se propage dans la fibre. On donne n1 = 1,5 et n2 = 1,49. e) Supposons que le faisceau à l'entrée de la fibre ait une certaine ouverture angulaire θ1>θ0. Ceci signifie que le faisceau comprend tous les angles de valeur comprise entre 0 et θ1>θ0. Représenter le trajet suivi dans la fibre par différents rayons de ce faisceau. f) Quel rayon de ce faisceau effectue le trajet le plus court entre l'entrée et la sortie de la fibre? Que vaut la distance qu'il parcourt? En déduire son temps de parcours entre l'entrée et la sortie de la fibre, noté τmin. g) Quel rayon de ce faisceau effectue le trajet le plus long entre l'entrée et la sortie de la fibre? Que vaut la distance qu'il parcourt? En déduire son temps de parcours entre l'entrée et la sortie de la fibre, noté τmax

h) En prenant L = 10 km et les valeurs de n1 et n2 précédentes, calculer numériquement la quantité Δt = tmax - tmin. Que représente cette quantité?

z

R

rgaine, indice n2

coeur, indice n1θα

iO

156

Pour aller plus loin

1.9 Le principe de Fermat et le problème du sauveteur (∗) Le principe de Fermat établi en 1658 par Pierre de Fermat s’énonce de la manière suivante : « Pour aller d’un point à un autre, la lumière suit, parmi toutes les trajectoires possibles, celle dont le temps de parcours est extrémal. » À partir de ce principe on montre que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène, et on peut aussi démontrer les lois de la réflexion et de la réfraction. Ici, on se propose de faire une analogie mécanique du principe de Fermat. Un sauveteur (S) situé sur une plage aperçoit un nageur (N) en difficulté dans l’eau. Il se porte à son secours, et souhaite bien sûr mettre le minimum de temps pour atteindre le nageur. Quel chemin doit-il alors suivre, sachant qu'il nage moins vite qu'il ne court sur la plage ? On modélise cette situation réaliste par un front de mer rectiligne en supposant que le sauveteur court et nage à vitesses vs et ve constantes respectivement.

a) Montrer par un raisonnement qualitatif que la ligne droite SN n'est pas le "meilleur chemin". b) Compléter le schéma ci-dessus en positionnant le point H sur le front de mer que le sauveteur atteindrait s'il courait perpendiculairement à celui-ci. Placer, de même, le point K sur le front de mer dans le cas où le sauveteur nagerait perpendiculairement au front de mer. c) Montrer, de nouveau par un raisonnement qualitatif, que ces deux trajets SHN et SKN ne sont pas les meilleurs. d) Placer un point I sur la berge, représentant le point où le sauveteur arrive dans l'eau de façon "satisfaisante". e) Écrire l'expression de la durée t mis par le sauveteur pour aller ainsi de S à N en fonction de x = HI. On notera L = HK, ds = HS et de = KN. f) Comment écririez-vous, mathématiquement, le fait que cette durée t soit minimale? g) Montrer que la relation ainsi obtenue peut s'écrire sous une forme analogue à la loi de réfraction de l'optique géométrique.

N

S

157

EXERCICES DU CHAPITRE 2

Assimilation du cours

2.1 Stigmatisme et conditions de Gauss Le but de cet exercice est de tester la modélisation d'un miroir sphérique dans les conditions de Gauss. Pour le faire, il est nécessaire d'avoir un compas ou un rapporteur. On prendra un miroir sphérique concave de rayon de courbure 4 cm. On placera un objet réel AB perpendiculairement à l'axe optique du miroir, à la position telle que 𝐴𝐴𝐶𝐶���� = +2 cm. 1) La hauteur de AB est de 1.5 cm. Réaliser deux constructions de l'image de AB (voir les figures ci-dessous) : a) La construction utilisant la modélisation du miroir dans les conditions de Gauss (figure de gauche ci-dessous) b) La "vraie" construction sans utiliser cette modélisation (figure de droite ci-dessous) 2) Recommencer les deux constructions précédentes après avoir diminué de moitié la taille de l'objet, et conclure.

2.2 Constructions de l'image d'un objet réel par des miroirs sphériques 1) On rappelle la relation de conjugaison avec origine au sommet pour un miroir sphérique de centre C et de sommet S utilisé dans les conditions de Gauss : 1

𝑆𝑆𝐴𝐴′����� + 1𝑆𝑆𝐴𝐴����

= 2𝑆𝑆𝑆𝑆����

. Retrouver rapidement la position des foyers objet et image. 2) Réaliser les constructions géométriques nécessaires pour trouver l'image d'un objet réel AB (perpendiculaire à l'axe optique du miroir) par un miroir concave de rayon donné utilisé dans les conditions de Gauss dans les cas suivants :

• AB à gauche de C

• A confondu avec C

• AB entre C et F

• A confondu avec F

• AB entre F et S On peut éventuellement réaliser toutes les constructions sur une seule figure, en attribuant le même numéro à la position de l'objet et à celle de l'image lui correspondant.

158

a) Dans chaque cas, donner la nature de l'image (réelle ou virtuelle, droite ou inversée, plus grande ou plus petite que l'objet). Donner, le cas échéant, les applications correspondantes. b) Retrouver la condition sur la nature réelle ou virtuelle de l'image en utilisant la relation de conjugaison. 3) Mêmes questions pour un miroir convexe de même rayon de courbure (en valeur absolue) que le miroir concave précédent, en plaçant l'objet réel AB à différents endroits. Vérifier le résultat obtenu à l'aide de la relation de conjugaison. Quelles sont les applications des miroirs convexes?

2.3 Objets/images réel(le)s/virtuel(le)s avec un miroir plan

On considère un faisceau convergent en un point A provenant d'un système optique précédent, non représenté. A est donc l'image d'un point objet (non représenté) par ce système optique. 1) De quelle nature est l'image A? 2) On intercale un miroir plan à l'endroit marqué d'une flèche. a) A est maintenant un objet pour ce miroir plan. De quelle nature est cet objet? b) Le miroir est perpendiculaire à l'axe en pointillés. Réaliser la construction géométrique afin de trouver l'image A' de A par le miroir plan. De quelle nature est-elle? c) Le miroir est incliné à 45° par rapport à l'axe en pointillés. Répondre aux mêmes questions qu'en b)

2.4 Deux miroirs On considère un ensemble de 2 miroirs plans M1 et M2 formant un angle droit (schéma ci-dessous). Un petit objet lumineux A est placé dans l'angle formé par les miroirs.

1) Combien l'objet A a-t-il d'images ? Combien d'images un observateur peut-il en apercevoir? 2) Placer avec précision les images du point A.

A

159

3) Représenter les trajets des rayons lumineux (1) et (2) dans le système. 4) Compléter le schéma en faisant apparaître les faisceaux de lumière arrivant dans l'œil de l'observateur et les images qu'il peut alors voir. 5) On reprend le même schéma en ajoutant un axe Ox le long de M2 et un axe Oy le long de M1 a) Soit un rayon lumineux L qui vient frapper le miroir M2. Les composantes dans le plan (Oxy) du vecteur unitaire colinéaire et de même sens que le rayon sont Lx et Ly. Donner les composantes de ce vecteur après réflexion dans le miroir M2. b) Soit un rayon lumineux K qui vient frapper le miroir M1. Les composantes du vecteur unitaire colinéaire et de même sens que le rayon sont Kx et Ky. Donner les composantes de ce vecteur après réflexion dans le miroir M1. c) Que se passe-t-il si le rayon K après avoir été réfléchi par M1 vient frapper M2 ?

Application du cours

2.5 Champ d'un miroir plan ou convexe

Une personne est placée à une distance D d’un miroir plan. Avec son chapeau, elle mesure 1,80 m, ses yeux étant à 1,50 m du sol. Le champ d’un miroir est la région de l’espace vue par un observateur à travers un miroir. 1.a) Déterminer graphiquement le champ du miroir pour que cette personne se voie entièrement dans le miroir. En déduire à quelle hauteur H du sol doit être le miroir, et quelle doit être sa hauteur h. b) Tracer entre le miroir et le personnage les rayons lumineux extrêmes vers le haut et vers le bas vus par le personnage. Indiquer sur le dessin l’angle d’ouverture entre ces rayons. c) Tracer les rayons extrêmes arrivant sur le miroir et vus par le personnage. Quel est l’angle qu’ils forment ? 2. On remplace le miroir plan par un miroir convexe de rayon R et de même taille que le miroir plan précédent. Prendre pour axe optique de ce miroir l'axe horizontal passant par le centre du miroir plan de la question précédente. Tracer les rayons extrêmes arrivant sur le miroir et vus par le personnage. Quel est l’angle qu’ils forment ? L'indiquer sur le dessin, et le comparer qualitativement avec l’angle obtenu précédemment avec un miroir plan. Conclure sur le champ d'un miroir convexe par rapport à celui d'un miroir plan.

160

2.6 Image de la Lune par un télescope Les grands télescopes sont munis d'un collecteur concave, de forme sphérique ou parabolique. Ils sont utilisés pour réaliser des images d'objets lointains. Nous prenons ici comme exemple d'objet la Lune, dont le point inférieur A est sur l'axe et le point supérieur B au-dessus de l'axe avec un angle d'inclinaison α . Les points A et B sont tous deux considérés pratiquement à l'infini. Que peut-on dire sur les rayons reçus par le télescope et issus du point A? Même question pour ceux issus du point B. En déduire l'image A' de A et l'image B' de B par construction géométrique. Où est l'image A'B' de la Lune? Exprimer sa taille en fonction de la distance focale du télescope et de l'angle α

Pour un télescope de focale 1 m, la taille de l'image obtenue est de 1 cm environ. En déduire l'angle sous lequel on voit la Lune.

2.7 Où le pêcheur voit-il le poisson ? Le but de cet exercice est d'interpréter l'expérience 6 du chapitre 2 du poly de cours/TP. Il nécessite l'usage d'un rapporteur. Le schéma ci-dessous représente un point objet A (un point d’un poisson par exemple) dans de l’eau d’indice n = 1,33. Au-dessus, on trouve de l’air d’indice 1 (milieu dans lequel se trouve le pêcheur). 1) Un point-objet a-t-il une image par un dioptre plan? Tracer plusieurs rayons issus de A, ainsi que leur devenir après traversée du dioptre : réaliser ces tracés précisément, avec les valeurs numériques des angles (utiliser un rapporteur). Tracer alors les prolongements arrière des rayons situés dans l’air. Semblent-ils tous provenir d'un même point ? Peut-on parler d’image géométrique du point A ? Que peut-on dire sur le stigmatisme du dioptre plan ?

161

2) Pourquoi voit-on néanmoins une image (nette)? Reprendre la construction ci-dessus en ne considérant que les rayons pouvant atteindre l’œil de l’observateur. Quelle conclusion en tirez-vous ? L’ « image » dépend-elle de la position de l’observateur ?

3) On se place dans le cas particulier où le pêcheur regarde le poisson quasiment à la verticale de celui-ci. A quelle profondeur apparente lui apparaît-il par rapport à sa profondeur réelle? Faire l'A. N.

Problème

2.8 Modélisation de l'œil par un dioptre sphérique

œil réduit L'œil est constitué de plusieurs milieux transparents permettant à la lumière d'atteindre la rétine : cornée, humeur aqueuse, cristallin et humeur vitrée. Ces milieux ont des indices voisins de celui de l'eau. La modélisation de l'œil la plus simple consiste alors à considérer l'ensemble comme un seul milieu d’indice moyen égal à 1,35. On parle du modèle de "l'œil réduit". L’œil est alors équivalent à un seul dioptre sphérique qui sépare l'air d'un milieu d'indice n' = 1,35. Le rayon de courbure est alors celui de la cornée égal à 6 mm. 1. Distances focales

a) Etablir l’expression des distances focales 𝑆𝑆𝑆𝑆���� et 𝑆𝑆𝑆𝑆′���� du dioptre sphérique, distances définies à partir du sommet S du dioptre, en fonction des données n, n' et 𝑆𝑆𝐶𝐶����.

162

b) Dans le cas de l’œil réduit qui nous intéresse ici, calculer les valeurs numériques des distances focales 𝑆𝑆𝑆𝑆���� et 𝑆𝑆𝑆𝑆′���� (cette distance focale image correspond à la valeur de la profondeur de l’œil). On vérifiera que, pour un dioptre sphérique, les segments FS et CF’ sont symétriques par rapport au milieu du segment SC, et que 𝑆𝑆𝑆𝑆′

�����

𝑆𝑆𝑆𝑆����= −𝑑𝑑′

𝑑𝑑

2. Dans quelles conditions la relation de conjugaison pour un dioptre sphérique est-elle valable ? La pupille constitue un diaphragme qui limite, à l’entrée de l’œil, le faisceau de rayons utiles à la formation de l’image finale sur la rétine. La pupille a en moyenne un rayon de 2 mm. Quand on observe un objet à l’infini, on peut considérer qu’un rayon incident parallèle à l’axe optique et situé à une distance de 2 mm de cet axe, arrive au point F’. Faire un schéma, et en déduire l’angle moyen sous lequel on voit un objet à l’infini pour justifier a posteriori que l’on est dans les bonnes conditions. 3 – On suppose maintenant que l’objet AB que l’on regarde n’est plus à l’infini, mais s’est rapproché de l’œil. Le point A se trouve à une distance de 25 cm du sommet S. a) Où se trouverait l’image A' correspondante ? Qu’en conclure ? b) En fait, l’œil accommode : sous l’action des muscles auxquels il est attaché, le cristallin se déforme. Justifier qualitativement pourquoi, si l’on veut voir nettement l’image d’un objet qui se rapproche de l’œil, le cristallin doit être plus convergent. c) Dans le modèle d’œil réduit que nous prenons ici en considération, l’accommodation se traduit par un déplacement du centre de courbure, noté maintenant C’, le sommet S du dioptre et la rétine demeurant fixes. Déterminer la valeur du nouveau rayon de courbure 𝑆𝑆𝐶𝐶′���� qui permet que l’image de l’objet A' soit de nouveau sur la rétine.

2.9 Image dans un verre à saké Une lentille épaisse en verre (n = 1,5) plan-convexe est constituée d’un dioptre plan D1, de sommet S1, et d’un dioptre sphérique D2 de sommet S2 et de centre C2. Dans tout cet exercice, on se place dans les conditions de Gauss et on prendra 𝑆𝑆1𝑆𝑆2������ = +2 cm. On rappelle la relation de conjugaison entre un point objet A et son image A’ par un dioptre sphérique de sommet S et de centre C:

où n1 est l’indice du milieu incident et n2 celui du second milieu (milieu dans lequel est transmis le rayon réfracté). Les longueurs 𝑆𝑆𝐴𝐴����, 𝑆𝑆𝐴𝐴′����et 𝑆𝑆𝐶𝐶���� sont algébriques.

1) Enoncez les conditions de Gauss. Pourquoi est-il important de se placer dans ces conditions pour former l’image d’un objet par un système optique centré ?

2) Image par une lentille épaisse plan-convexe On place cette lentille sur un banc optique et on éclaire sa face plane (perpendiculaire à l’axe optique) avec un faisceau de rayons incidents parallèles à l’axe (Figure 1). La lentille est entourée d’air d’indice nair = 1. On constate que les rayons émergeant de la lentille se coupent en un point F’ de l’axe tel que 𝑆𝑆1𝑆𝑆′������ = +4,5 cm.

n2

SA'−

n1

SA=

n2− n1

SC

163

Figure 1

2-a) Où est située la source de lumière A0 qui éclaire le dioptre D1 avec un faisceau de rayons parallèles à l’axe ? Où est située son image A1 par D1 ? Justifier. 2-b) Où est située A2, image de A1 par D2 ? Justifier. 2-c) Ecrire la relation de conjugaison pour le dioptre D2. A l’aide de cette relation, vérifier que le rayon de courbure de ce dioptre vaut 𝑆𝑆2𝐶𝐶2������ = −1,25 cm. 2-d) Sur la Figure 1, prolonger les rayons incidents dans le verre, puis dans l’air, pour indiquer leur trajet à travers la lentille. Que représente le point F’ ? On place maintenant la lentille étudiée ci-dessus au fond d’un verre au-dessus d’une cavité remplie d’air. Une photo est collée au fond de la cavité. Son centre A0 est à la distance 𝐴𝐴0𝑆𝑆1������ =+4/3 cm de S1. On cherche à comprendre comment une image du point A0 se forme si le verre contient du saké, et disparaît lorsque le verre est vide. 3) Cas du verre vide (Figure 2)

Figure 2

3-a) Le dioptre plan D1 peut être considéré comme un cas particulier de dioptre sphérique de sommet S1 et de centre C1 pour lequel le rayon de courbure 𝑆𝑆1𝐶𝐶1������ tend vers l’infini. A partir de la relation de conjugaison d’un dioptre sphérique rappelée au début de cet exercice, écrire la relation de conjugaison pour D1. En utilisant cette relation, calculer la position 𝑆𝑆1𝐴𝐴1������ de l’image A1 de A0 par le dioptre D1.

3-b) Calculer 𝑆𝑆2𝐴𝐴1������, position de l’image A1 par rapport au point S2 . 3-c) En utilisant la relation de conjugaison écrite pour le dioptre D2 à la question 2-c, calculer la position 𝑆𝑆2𝐴𝐴2������ de l’image A2 de A1 par le dioptre D2.

164

3-d) Un observateur O situé à la distance 𝑆𝑆2𝑂𝑂����� = +25 cm de S2 regarde le fond du verre. Cet observateur voit-il une image nette de A0 ? On rappelle que l’œil de l’observateur, supposé sans défaut de vision, peut voir net un objet situé entre 25 cm et l’infini devant son œil. 4) Cas du verre plein (Figure 3)

Figure 3

Le verre est maintenant rempli d’une épaisseur L d’un liquide d’indice n’= 4/3. La lentille a donc de l’air du côté de sa face d’entrée et ce liquide du côté de sa face de sortie. D’un point de vue optique, cela revient à ajouter un dioptre plan D3 après la lentille. D3 est un dioptre plan liquide/air de sommet S3 tel que 𝑆𝑆2𝑆𝑆3������ = 𝐿𝐿 > 0. 4-a) Ecrire la nouvelle relation de conjugaison pour le dioptre sphérique D2 en tenant compte du fait que le second milieu est maintenant un liquide d’indice n’.

4-b) Calculer la nouvelle position 𝑆𝑆2𝐴𝐴2������ de l’image A2 de A1 par le dioptre D2. On utilisera la valeur 𝑆𝑆2𝐴𝐴1������ = −4 cm pour la position de l’image A1 de A0 par le dioptre D1, exprimée par rapport au point S2.

4-c) Calculer, en fonction de L, la position 𝑆𝑆3𝐴𝐴2������ de A2 par rapport au sommet S3 du dioptre plan D3 formé par la surface du liquide. 4-d) Ecrire la relation de conjugaison du dioptre plan D3 de sommet S3.

4-e) Calculer en fonction de L la position 𝑆𝑆3𝐴𝐴3������ de l’image A3 de A2 par le dioptre D3.

4-f) Un observateur O est situé à la distance 𝑆𝑆3𝑂𝑂����� = +25 cm de la surface du liquide et regarde vers le fond du verre. En considérant le signe de 𝑆𝑆3𝐴𝐴3������, l’image A3 de A0 par l’ensemble des dioptres (D1 , D2 , D3) est-elle visible par l’observateur ?

Pour aller plus loin

2.10 Image de la Lune par la surface des océans La surface des océans se comporte pour la Lune comme un gigantesque miroir sphérique. Déterminez graphiquement et par le calcul la nature, la position et la taille de l’image de la Lune. Peut-on se rendre compte que la Terre est sphérique en mesurant la taille angulaire de cette image ?

165

EXERCICES DU CHAPITRE 3

Assimilation du cours

3.1 Image d'une diapositive sur un écran par une lentille convergente On s'intéresse à la situation où une lentille convergente donne sur un écran l'image d'un objet lumineux (diapositive, par exemple).

I. Introduction a. Qualifier l'objet et l'image. b. Faire un schéma de la situation en utilisant le modèle des lentilles minces.

II. Étude qualitative On note D la distance de l'objet à l'écran, f ' la distance focale de la lentille. a. Montrer à l’aide de schémas qu'il existe une valeur minimale Dmin de D en deçà de laquelle on ne peut plus obtenir l'image de l'objet et ce, quelle que soit la position de la lentille. Quelle est cette valeur ? b. Vous avez vu en TP que si D > Dmin, il existe 2 positions de la lentille permettant de former l'image de l'objet sur l’écran. Illustrez cette observation à l’aide de schémas (utiliser le principe du retour inverse de la lumière).

III. Étude analytique O désignant le centre optique et A le point de l'objet sur l'axe, on pose 𝑥𝑥 = 𝑂𝑂𝐴𝐴����.

a. Montrer que les positions de l'objet et de l'écran sont alors telles que 𝑥𝑥2 + 𝐷𝐷𝑥𝑥 + 𝐷𝐷𝑓𝑓′ = 0 b. Déduire de cette relation l'expression de la distance minimale Dmin. c. En déduire également que, lorsque D > Dmin est fixée, il existe bien 2 positions de la lentille. Préciser lesquelles.

IV. Application à la mesure de la distance focale d’une lentille On appelle d la distance entre ces deux positions. La méthode de mesure de Bessel consiste à mesurer d pour différentes valeurs de D, et à en déduire une mesure de f'. a. Montrer que les grandeurs d, D et f' sont reliées par la relation : 4Df' = D2- d2. Le tableau ci-dessous rassemble les mesures effectuées. δd, l'incertitude sur d, prend en compte l'incertitude sur la position de l'image dans l'intervalle de netteté. δD, l'incertitude sur D, est négligeable devant δd et sera considérée comme nulle.

D (cm) d (cm) δd (cm) D2-d2 (cm2) δ(D2-d2) (cm2)

100 32 7,5 9,0 . 103

120 61 4,5 10,7 . 103

140 83 3 12,7 . 103

160 107 2,5 14,2 . 103

180 128 2 16,0 . 103

200 147 2 18,4 . 103

166

b. Compléter la dernière colonne de ce tableau. On utilisera la méthode de la dérivée pour calculer les incertitudes sur D2 - d2. c. Tracez le graphe représentant D2 – d2 en fonction de D, avec les barres d'incertitudes associées. d. Déduire de ce graphe une mesure de f' et de son incertitude. On expliquera précisément la méthode choisie et on indiquera les coordonnées des points de mesure utilisés pour les calculs.

3.2 Image d'un objet virtuel par une lentille convergente ou divergente Penser à représenter l'objet virtuel en pointillés sur vos constructions…

I. Image d'un objet virtuel par une lentille convergente a. Construire géométriquement l'image d'un objet virtuel par une lentille convergente. De quelle nature est cette image? Existe-t-il plusieurs cas possibles suivant la position de l'objet virtuel? b. Retrouver le résultat précédent en utilisant la relation de conjugaison.

II. Image d'un objet virtuel par une lentille divergente Répondre aux mêmes questions pour une lentille divergente

Application du cours

3.3 Vision à l’aide d’une loupe Un timbre poste est observé à travers une lentille convergente, de centre O, de distance focale f’=+8 cm, faisant office de loupe. Le timbre de dimensions (3 cm x 2 cm) est situé à 6 cm de la lentille supposée mince. La grande dimension du timbre est disposée verticalement. 1) Faites sur votre copie un schéma à l’échelle 1/2 (1 cm réel correspond à 0,5 cm sur votre copie) comportant la lentille, son axe, ses foyers objet et image, le timbre poste que l’on représentera sous la forme d’un objet AB perpendiculaire à l’axe. 2) Sur ce schéma, tracez l’image A’B’ de AB par la loupe. 3) Rappelez la relation de conjugaison d’une lentille mince. Dans quelles conditions cette relation est-elle applicable ? 4) Calculez la position de l’image du timbre. De quelle nature est cette image ? 5) Rappelez l’expression du grandissement par la lentille, γ. Calculez les dimensions de l’image du timbre. L’image est-elle droite ou renversée (justifier) ?

3.4 Correction d'un œil myope Un œil myope est représenté par une lentille mince convergente L2 de distance focale au repos f'2 = +2 cm. Elle est trop courte d'une distance de 2 mm pour que l'image d'un objet à l'infini se forme sur la rétine. Pour corriger l'œil, on place un verre correcteur constitué d'une lentille mince L1 de distance focale f'1. a) Le verre correcteur est un verre de lunettes placé 1 cm en avant de l'œil. Donner la valeur de f'1. b) Le verre correcteur est une lentille accolée à l'œil. Donner la valeur de f'1.

167

3.5 Système de deux lentilles minces accolées On considère deux lentilles minces accolées L1 (de distance focale f'1) et L2 (de distance focale f'2). Montrer que la distance focale de la lentille équivalente est donnée par :

1𝑓𝑓′

=1𝑓𝑓1′

+1𝑓𝑓2′

3.6 Association de deux lentilles minces convergentes On effectue une image réelle A"B" d'un objet réel AB à l'aide d'une première lentille convergente L1. Réaliser la construction géométrique correspondante. On cherche maintenant à voir ce qu'on obtient lorsqu'on met une deuxième lentille convergente L2 à la suite de L1, en fonction de la position de L2. On appellera A'B' l'image finale obtenue par le système des deux lentilles. Comment doit-on placer L2 pour que l'image finale soit (attention, le sens est défini par rapport à celui de AB) :

• réelle droite?

• réelle inversée?

• virtuelle inversée? Réaliser les constructions correspondant à chaque cas, et préciser de quelle nature est l'objet A''B'' pour la lentille L2.

Problème

3.7 Téléobjectif (suite de la partie TP) 1) Reprendre le principe du téléobjectif vu en cours-TP et faire le schéma correspondant (si on a toutes les données nécessaires, on peut faire un schéma à l'échelle). Ce schéma doit comporter:

• l'objet AB et la lentille L1 (convergente) qui forment un objet à l'infini pour les éléments suivants du montage (indiquer l’angle α sous lequel est vu l’objet à l’infini).

• Intercaler L2 (convergente) et trouver l'image A’B’ qu'elle forme de l'objet à l'infini.

• Ajouter D (divergente) à la suite de L2. A’B’ est pour elle un objet. Sachant qu'on veut qu'elle en forme une image réelle, comment doit-elle être placée? De quelle nature est l'objet A’B’ pour D ? Ajouter D sur le schéma, et former l'image A’’B’’ de A’B’.

2) Le grossissement d’un objectif d’appareil photo est défini comme le rapport du champ de vue angulaire de l’œil23 αœil ~ 0,45 rad ~ 26° et du champ de vue angulaire obtenu avec l’appareil photo : G =αœil / αobj. Le champ de vue angulaire d’un appareil photo est l’angle α maximum pour lequel l’image se forme encore sur le capteur. Ainsi, plus le champ de vue obtenu avec un objectif est petit, plus la photographie sera « zoomée » sur une zone de détail de l’image, et plus le grossissement sera important.

23 défini ici comme l’angle sous lequel est vue une photo tirée en 10*15 cm observée au punctum proximum (cf encadré sur la photographie)

168

Grossissement de l’objectif simple

a. L’angle αobj, le champ de vue angulaire de l’appareil photo avec l’objectif simple, est l’angle α sous lequel est vu l’objet lorsque l’image A’B’ occupe tout le capteur (A’B’ = Lcapteur = 24 mm). Montrer que le champ de vue angulaire de l’objectif simple est : αobj = arctan (Lcapteur/f’2).

b. Exprimer Gobj en fonction de αoeil, Lcapteur et f’2 (approximation des petits angles) et calculer sa valeur. Vous pouvez constater que cette valeur est cohérente avec les champs de vue dessinés en TP.

Grossissement du téléobjectif c. En raisonnant dans les triangles ODA’B’ et ODA’’B’’, quelle est la relation liant A’B’,

A’’B’’, d, d’, et e ? L’angle α étant toujours l’angle sous lequel l’objet à l’infini est vu avec

l’appareil photo, montrer que 𝛼𝛼 = tan−1 �𝑓𝑓′2−𝑒𝑒

𝑑𝑑′−𝑒𝑒× 𝐴𝐴′′𝐵𝐵′′

𝑓𝑓′2�.

d. Ainsi, le champ de vue angulaire du téléobjectif peut être calculé à partir des mesures

effectuées en TP : 𝛼𝛼𝑡𝑡é𝑙𝑙é𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 = tan−1 ��𝑓𝑓′2−𝑒𝑒

𝑑𝑑′−𝑒𝑒�× 𝐿𝐿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑓𝑓′2�. Calculer 𝛼𝛼𝑡𝑡é𝑙𝑙é𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 le champ de vue

angulaire de votre téléobjectif et en déduire son grossissement 𝐺𝐺𝑡𝑡é𝑙𝑙é𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜.

e. En utilisant l’expression de Gobj de la question 2)b, déduire la focale (et donc l’encombrement) d’un objectif simple pour obtenir le même grossissement. Conclure sur l’intérêt du téléobjectif.

3.8 Système optique afocal : la lunette de Galilée Un système optique est dit afocal si tout faisceau parallèle entrant dans ce système optique ressort en faisceau parallèle. Les lunettes astronomiques ou terrestres ainsi que les télescopes sont des systèmes afocaux. Le microscope ne l’est pas. Une lunette de Galilée est composée d’une lentille L1 convergente de centre O1 et de grande focale f’1 = 16,0 cm, appelée objectif, et d’une lentille divergente L2 de centre O2 et de courte focale focale f’2 = -2,8 cm, appelée oculaire. On considère une étoile double composée de deux étoiles très proches E1 et E2. Comme indiqué sur le schéma ci-dessous, E1 est alignée sur l’axe optique de la lunette, tandis que les rayons provenant de E2 arrivent sous un angle α par rapport à l’axe optique. 1) Où se situent les images E’1 et E’2 des étoiles E1 et E2 données par l’objectif L1 ? Quels sont la nature et le sens de ces images ? Justifiez vos réponses. Positionnez E’1 et E’2 sur le schéma en faisant les constructions graphiques nécessaires. 2) Où doit-on placer l’oculaire L2 pour que les images respectives E’’1 et E’’2 de E’1 et E’2 données par l’oculaire soient situées à l’infini ? Justifiez votre réponse. 3) Placez l’oculaire sur le schéma, en indiquant la position de ses foyers objet F2 et image F’2. Veillez à respecter l’échelle du schéma. Quelle vaut la taille d = O1O2 de cette lunette ? 4) E’1 et E’2 sont des objets pour l’oculaire. Quelle est leur nature (réelle ou virtuelle) pour l’oculaire ? Justifiez votre réponse. 5) Sur le schéma, tracez la propagation à travers la lunette du faisceau parallèle (les 3 rayons déjà tracés) en provenance de E2. 6) L’image vue par l’œil à travers cette lunette est-elle droite ou inversée par rapport au ciel

169

étoilé ? Justifiez votre réponse. Quel est l’intérêt pour un œil normal d’observer à l’oculaire des images situées à l’infini ? 7) On note α’ l’inclinaison par rapport à l’axe optique des rayons émergents de L2 en provenance de E’2. A partir des relations trigonométriques dans les triangles O1E’1E’2 et O2E’1E’2, déterminez l’expression du grossissement angulaire G = |α’/α| de la lunette en fonction de f’1 et f’2. On fera l’approximation des petits angles : tan α ~ sin α ~ α, où α est exprimé en radians. En déduire la valeur du grossissement angulaire G de cette lunette de Galilée.

Pour aller plus loin

3.9 Pouvoir séparateur de l'œil Dans la pratique, on sait qu’on peut distinguer l’épaisseur d’un cheveu : on dit que le pouvoir séparateur de l’œil correspond à l’épaisseur d’un cheveu. En fait, le pouvoir séparateur de l’œil est un angle : par définition, c’est l’angle le plus petit sous lequel on arrive à distinguer deux points. On se propose de retrouver ce résultat dans le cadre du modèle où l’œil, de profondeur 22 mm, est assimilé à une lentille convergente. Quand on veut distinguer deux points extrêmes d’un objet AB dans les meilleures conditions possibles, on place spontanément cet objet au punctum proximum (PP), qui, pour un œil normal, se situe à environ 25 cm de l’œil. On considère alors que pour pouvoir séparer les images de deux points A et B, il faut que ces images A’ et B’ impressionnent deux cônes séparés par au moins un cône intermédiaire. Les cônes qui tapissent la rétine ont un diamètre d’environ 4 microns. 1) Faire un schéma montrant la situation (objet AB situé au PP, œil assimilable à une lentille convergente, image A’B’ supposée formée sur la rétine). 2) Quelle doit être la distance minimale qui sépare les deux points images A' et B' ? En déduire l'angle sous lequel est vu l'objet AB. 3) Quelle est la distance qui sépare les deux points objets A et B ? Comparer la valeur obtenue à celle de l'épaisseur d'un cheveu. Note : le pouvoir séparateur de l'œil correspond au diamètre d'un cheveu au punctum proximum mais cela n'empêche pas de voir un cheveu même s'il est nettement plus éloigné, à un ou deux mètres par exemple, à condition que le contraste soit suffisant.

α

L1

Vers E2

Vers E1 F’1

O1

170

3.10 Mesure de l’indice d’un liquide à l’aide d’un réfractomètre Une source lumineuse ponctuelle est placée sur l’axe d’une lentille convergente de focale f’. La lentille peut se déplacer parallèlement à son axe, la source lumineuse restant fixe. 1) Question préliminaire : autocollimation La méthode d’autocollimation consiste à renvoyer sur lui-même, à l’aide d’un miroir plan ou d’une surface réfléchissante plane, le faisceau de rayons issu de l’ensemble source+lentille. Lorsque l’image de la source, après réflexion sur le miroir et retraversée de la lentille, se forme exactement sur la source ponctuelle, on dit que l’autocollimation est réalisée. Que vaut la distance source-lentille dans ce cas ? Représenter sur un schéma soigné la source, la lentille, le miroir. Tracer les trajets de deux rayons issus de la source ponctuelle à travers la lentille, puis leur trajet retour après réflexion sur le miroir plan. 2) Principe du réfractomètre Un réfractomètre destiné à l’étude des liquides est composé d’une cuve dont les parois verticales sont des lames de verre transparentes à faces planes et parallèles. A l’intérieur de cette cuve, on place un prisme ABC en verre (flint) d’indice nF, d’arêtes verticales, dont l’une des faces, AB, est argentée. Ce prisme peut tourner autour d’un axe vertical (voir Figure 1). Son angle au sommet en A est noté α.

On place devant la face ab de la cuve l’ensemble lentille+source lumineuse décrit à la question IV-1. La distance source-lentille est celle obtenue à la question IV-1 lorsque l’autocollimation est réalisée. L’axe de la lentille est normal à la paroi verticale ab de la cuve. Un cercle gradué permet de mesurer l’angle i entre la normale à la face AC du prisme et l’axe de la lentille. On remplit la cuve d’un liquide organique dont on veut mesurer l’indice N. On suppose N>nF. On tourne le prisme de manière à ce que l’image de la source, après réflexion sur la face AB du prisme et retraversée de la lentille, se forme sur la source elle-même. On mesure alors l’angle il, valeur de l’angle i pour cette situation.

Figure 1 : Réfractomètre

Remarque : dans tout cet exercice, on considèrera que ab constitue un dioptre air-liquide (on négligera donc la présence de la paroi en verre de la cuve).

171

2-a) Les rayons issus de la source arrivent sur la cuve en incidence normale. L’angle d’incidence d’un rayon sur le dioptre ab est donc nul. Quel est l’angle de réfraction de ce rayon transmis dans le liquide ? En déduire l’angle d’incidence du rayon lumineux sur la face AC du prisme. 2-b) Dans quelle direction le rayon lumineux ressort-il de la cuve lorsque l’autocollimation est réalisée (voir question 1) ? En déduire l’angle d’incidence sur la face réfléchissante AB du rayon ayant pénétré dans le prisme. 2-c) Déduire de la question précédente l’angle de réfraction du rayon pénétrant dans le prisme par la face AC. 2-d) Représenter sur la figure ci-dessus le trajet des deux rayons issus de la source lumineuse à travers la lentille, la cuve et le prisme et leur trajet après réflexion sur la face AB du prisme. Représenter les angles d’incidence et de réfraction que font ces rayons avec la normale à la face AC du prisme aux points d’incidence. 3) Mesure de l’indice N du liquide dans la cuve 3-a) En utilisant la troisième loi de Snell-Descartes, exprimer l’indice N du liquide en fonction de nF, α et il.

3-b) Faire l’application numérique avec nF = 1,559, α = 30°, il = 27,4°.

3-c) On suppose que α et nF sont parfaitement mesurés et que l’incertitude sur la mesure de il est δi=0.5°. Calculez l’incertitude δN associée à la mesure de N.

3-d) Exprimer les résultats des questions 3-b et 3-c sous la forme N + δN.

172

EXERCICES DU CHAPITRE 4

Assimilation du cours

4.1 Couleurs de drapeaux On considère les drapeaux suivants de la France et de l’Italie qui sont composés de trois bandes verticales :

1) Indiquer sur un schéma l’allure des spectres de réflexion diffuse de chacun des bandes colorées lorsque ces drapeaux sont éclairés par une lumière blanche. 2) De quelle couleur apparaissent les bandes de ces drapeaux éclairés avec une lumière bleue ? Une lumière rouge ? 3) Faire le même raisonnement avec les drapeaux du Mali (vert-jaune-rouge) et de la Belgique (noir-jaune-rouge)

Application du cours

4.2. Dispersion par un prisme Reprendre les résultats déjà obtenus dans l'exercice 1.5 du chapitre 1. 1) En reprenant l'expression de l'angle de déviation D, montrer que D ne dépend que de l'angle d'incidence i, de l'indice de réfraction n et de l'angle au sommet A. D'après la séance de cours, la déviation dépend également de la fréquence : ce paramètre est donc "caché" dans i, n ou A. En se référant à l'expérience réalisée en cours, en déduire que l'indice de réfraction dépend de la fréquence. 2) On donne l'indice du verre ordinaire pour différentes longueurs d'onde dans le vide:

Couleur λ (nm) Indice n

UV proche 361 1.539

bleu sombre 434 1.528

bleu-vert 486 1.523

jaune 589 1.517

rouge 656 1.514

rouge sombre 768 1.511

Calculer l'angle de déviation minimum pour ces différentes couleurs, dans le cas d'un prisme d'angle au sommet 60°. Quel est l'ordre des couleurs en sortie du prisme ? 3) On éclaire le prisme par un faisceau incident parallèle de lumière blanche. En supposant que l'on est au minimum de déviation pour le jaune, calculer la déviation des autres rayons.

bleu

blanc

rouge

Drapeau français

vert

blanc

rougeDrapeau italien

173

Problèmes

4.3 Arc-en-ciel Pour modéliser un arc-en-ciel, nous allons décrire la réfraction et la réflexion de la lumière dans une seule goutte d’eau assimilée à une sphère transparente d’indice optique n. 1) Trajet d'un rayon a) Un rayon lumineux pénètre dans une goutte d’eau en un point I, formant un angle i avec la normale à la surface en I. Représenter sur la figure 1 le rayon incident et le rayon réfracté ainsi que l’angle r que fait le rayon réfracté avec la normale en I.

b) Indiquer sur la figure 1 la déviation d’un rayon lumineux se réfractant à l’entrée de la goutte d’eau, définie comme l’angle entre le rayon réfracté et le prolongement du rayon incident. Calculer en fonction des angles i et r.

c) Le rayon traverse la goutte pour atteindre la surface opposée en I’. Exprimer l’angle r’ que forme ce rayon avec la normale à la surface en I’. Exprimer en fonction de r la déviation subie par le rayon pour une réflexion à l’intérieur de la goutte d’eau (voir figure 2)

d) Le rayon ressort de la goutte en étant réfracté une nouvelle fois à sa surface (figure 3). Montrer que la déviation D du rayon ressortant de la goutte par rapport à la direction du rayon incident vaut .

174

2) Trajet de l'ensemble de la lumière qui éclaire la goutte Bien entendu, la lumière qui arrive sur la goutte ne se limite pas à un seul rayon. Il faut donc comprendre ce qu'il advient d'un faisceau parallèle large (la lumière provenant du Soleil). a) Calculer la dérivée dD/di en fonction de dr/di. Montrer, en utilisant la loi de la réfraction, que l’angle D passe par un extremum Dm (on admettra qu’il s’agit d’un minimum) pour une valeur de l’angle d’incidence vérifiant la relation . Calculer numériquement et pour n=1,33.

Remarque : comment vérifier simplement qu'il s'agit bien d'un minimum (et non d'un maximum) de déviation? b) A l'aide du résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la lumière renvoyée par la goutte se situe dans un "cône arrière" limité, comme illustré par la figure ci-dessous.

3) Dispersion des couleurs Vous avez pu observer expérimentalement (cf. expérience vue en cours) que ce cône arrière est blanc, sauf au bord où il est coloré. a) Expliquer pourquoi on ne voit les couleurs qu'au bord b) On donne ci-dessous la valeur de l'indice de l'eau pour différentes fréquences (on donne en fait les longueurs d'onde dans le vide correspondantes)

175

Violet Bleu Jaune Rouge

λ (µm) 0,434 0,486 0,589 0 ,656

n 1,3404 1,3372 1,3330 1,3312

On définit l'angle α = π - Dm. Calculer α pour les couleurs ci-dessus. Vérifier qu'on retrouve bien l'ordre des couleurs observé sur l'écran lors de l'expérience. c) Arc observé à l'œil, provenant de nombreuses gouttes

Géométrie : Un observateur placé en O (figure ci-dessus) tourne le dos au soleil. Les rayons issus du soleil sont considérés parallèles entre eux et se propagent suivant la direction Soleil – Observateur. Expliquer pourquoi seules les gouttes d’eau vues par l’observateur sous l’angle α = 180 - Dm correspondent à l'arc-en-ciel observé. Quelle est la symétrie de cet arc-en-ciel (justifier) ? Quel est l’axe de symétrie ? Couleurs : quel est l'ordre des couleurs observé à l'œil? Remarque : l’arc décrit ici est le plus lumineux (arc primaire). Quand le phénomène est suffisamment lumineux, on arrive parfois à distinguer un arc secondaire nettement moins intense, à des valeurs d’angle plus élevées, et dont la séquence des couleurs est inversée par rapport à l’arc primaire. Cet arc secondaire s’interprète en considérant non pas une mais deux réflexions des rayons lumineux à l’intérieur de la goutte d’eau.

176

4.4 Fabrication d’une lumière blanche à partir de diodes électroluminescentes24 Les diodes électroluminescentes (Light Emitting Diodes (LED) en anglais) sont largement utilisées pour l’affichage. Avec l’évolution de cette technologie, un grand nombre de diodes couvrant l’ensemble du spectre de l’ultraviolet à l’infrarouge sont disponibles. On souhaite ici réaliser une source dans le visible à partir d’une association de ces diodes. Pour cela, nous disposons des diodes avec les caractéristiques suivantes (on considère que les spectres sont représentés par une gaussienne et la largeur spectrale indiquée correspond à la largeur à mi-hauteur de la gaussienne) :

1) Quelles sont les diodes qui peuvent permettre de réaliser une source de lumière visible ? Tracer les différents spectres sur un même graphique. Quelle sera la couleur de la source de lumière issue de la combinaison de ces diodes ? Quelle synthèse des couleurs est ici mise en œuvre pour prédire la couleur obtenue ? 2) On propose de réaliser le montage optique ci-dessous pour réaliser cette source.

Un miroir dichroïque a la propriété de réfléchir certaines longueurs d’onde et d’en transmettre d’autres. On dispose de deux miroirs dichroïques dont on connaît les propriétés spectrales d’après les spécifications du fabricant.

3) Malheureusement, les références des miroirs ont été perdues, l’utilisateur doit donc les identifier visuellement. Indiquer, d’après les spectres du fabricant, quelle couleur doit apparaître chacun des miroirs en réflexion éclairé par une source de lumière blanche. Cette couleur est-elle identique en transmission ? Si non, indiquez de nouveau la couleur pour chacun 24 L’ensemble des spécifications des diodes et des miroirs sont tirées du catalogue du fabricant de composants optiques Thorlabs (www.thorlabs.com).

Nom D1 D2 D3 D4 D5 D6Longueur d'onde

centrale 365 nm 465 nm 525 nm 635 nm 850 nm 1050 nm

Largeur à mi-hauteur du spectre d'émission

15 nm 25 nm 35 nm 15 nm 40 nm 55 nm

Diode a

Diode b

Diode c

Miroir dichroïque a

Miroir dichroïque b

177

des miroirs observé en transmission. 4) Indiquer comment les diodes et les miroirs doivent être placés dans le montage précédent, connaissant leurs propriétés spectrales, afin d’obtenir à la sortie du montage une lumière qui s’approche d’une lumière blanche.

5) Une fois le montage réalisé, on essaie d’éclairer différents objets pour vérifier que les trois diodes fonctionnent bien et pour observer le rendu des couleurs. On constate qu’une pomme rouge et un citron jaune apparaissent tous les deux rouge à l’observateur. Quelle est la diode défectueuse dans le montage précédent ?

Pour aller plus loin

4.5 Mesure par spectroscopie de la vitesse de récession d’une galaxie On sait depuis le début du XXème siècle que l’Univers est en expansion. C’est Edwin Hubble qui a fait cette découverte, à partir d’une analyse spectroscopique de la lumière émise par les galaxies lointaines. Celles-ci, tout comme notre Galaxie la Voie Lactée, sont composées principalement d’hydrogène. Les raies de l’hydrogène atomique de la série de Balmer sont bien connues depuis le XIXè siècle. La figure de gauche ci-dessous donne le spectre de l’hydrogène tel qu’il est mesuré en laboratoire. La figure de droite montre le spectre d’une galaxie lointaine : TGS153Z170.

Spectre de l’hydrogène réalisé en laboratoire Spectre de la galaxie TGS153Z170.

1) Ces spectres sont-ils des spectres d’émission ou d’absorption ? Justifier. Dans quel domaine de longueur d’onde ont-ils été mesurés ? 2) Les longueurs d’ondes de la série de Balmer mesurées en laboratoire et en provenance de la galaxie sont-elles les mêmes ? 3) On appelle effet Doppler-Fizeau le changement de fréquence d’une onde lumineuse quand la source lumineuse est en mouvement par rapport à l’observateur. Si la vitesse v de l’émetteur, mesurée dans le référentiel de l’observateur, est faible devant la célérité de la lumière dans le vide, on montre que le rapport entre la longueur d’onde 𝜆𝜆𝑟𝑟𝑒𝑒ç𝑢𝑢𝑒𝑒 mesurée dans le référentiel de l’observateur et la longueur d’onde 𝜆𝜆é𝑙𝑙𝑑𝑑𝑚𝑚𝑒𝑒 mesurée dans le référentiel de l’émetteur suit la loi :

434 486 656

178

𝜆𝜆reçue𝜆𝜆émise

= 1 +𝛿𝛿𝑐𝑐

Montrez à l’aide d’un graphe que, si l’on tient compte de l’effet Doppler-Fizeau, les transitions électroniques de la série de Balmer ont bien les mêmes longueurs d’ondes, ici et dans la Galaxie TGS153Z170. On expliquera bien sa méthode. 4) En déduire une mesure de la vitesse v de la galaxie TGS153Z170. La galaxie TGS153Z170 se rapproche-t-elle ou s’éloigne-t-elle de la Voie Lactée ? Le décalage en fréquence est-il un décalage vers le rouge ou vers le bleu ? 5) Si la galaxie est suffisamment lointaine, la vitesse de la galaxie est dominée par l’expansion de l’Univers dans son ensemble, et non par le mouvement propre de la galaxie. Le décalage Doppler-Fizeau est alors un décalage vers le rouge (redshift en anglais) d’autant plus important que la galaxie est lointaine. La loi de Hubble donne la relation entre la vitesse v de la galaxie et sa distance D, mesurées par rapport à la Terre :

𝛿𝛿 = 𝐻𝐻0𝐷𝐷 H0 est la constante de Hubble. Selon les derniers résultats du satellite Planck (2013), 𝐻𝐻0 =67,3 ± 1,2 km/s / Mpc. Le Mega-parsec (Mpc) est l’unité adaptée aux mesures de distance en cosmologie. Les galaxies les plus proches, comme Andromède, sont situées à une distance de l’ordre du Mpc. On donne : 1 pc = 3,1.1016 m. Calculer la distance D de la Galaxie en Mpc.

179

ANNEXES

180

SOMMAIRE DES ANNEXES

1. CONSEIL A LA REDACTION D’UN COMPTE-RENDU DE TP 181 1.1 Règles générales 181 1.2 Structure du compte-rendu 181

2. TRACER UN GRAPHE Y = F(X) SUR DU PAPIER MILLIMETRE 182 2.1 Présentation du graphe 182 2.2 Choix de l’échelle 182 2.3 Tracé des points de mesure 182 2.4 Tracé de la courbe 182

3. LES GRANDEURS ALGEBRIQUES 183 3.1 Grandeurs scalaires, vectorielles, algébriques 183 3.2 Distances algébriques 183 3.3 Lois algébriques 184

4. COMPETENCES EXPERIMENTALES A ACQUERIR POUR L'EXAMEN DE TP 185

181

1. Conseil à la rédaction d’un compte-rendu de TP

1.1 Règles générales Votre TP doit être compréhensible par un étudiant de votre année qui n’aurait pas fait le TP.

• Vous devez rédiger l’ensemble des réponses dans un tout cohérent qui s'enchaîne de manière fluide. Ne vous contentez pas de répondre aux questions l’une après l’autre. Faites attention à l’orthographe, à la propreté de la présentation : soulignez ou encadrez vos résultats.

• Vos mesures et résultats doivent TOUJOURS être accompagnés de leurs incertitudes et écrits avec le bon nombre de chiffres significatifs. N’oubliez pas les unités !

• Vos tableaux doivent avoir un titre, les bordures doivent être tracées à la règle. • Vos courbes doivent avoir un titre, ainsi que leurs axes. Faites attention aux échelles,

vous devez occuper au maximum les feuilles de papier millimétré. • Evitez les jugements subjectifs («cette mesure est bizarre», «n=1.2, ceci semble assez

faible»). Utilisez plutôt du vocabulaire précis. N’imputez pas au matériel des résultats aberrants : il s’agit bien souvent d’erreurs de manipulation ou de calcul !

1.2 Structure du compte-rendu

A) Une introduction : contexte scientifique + objectif du TP + plan.

B) Plusieurs parties et sous-parties Pour chaque expérience, présentez : 1) La méthode expérimentale :

• schéma + légende + notations pour les grandeurs physiques utilisées. • Expliquez ce que vous mesurez et comment vous le faites. • Expliquez comment vous estimez vos incertitudes.

2) Les résultats : • Tableau de mesures (valeurs + incertitudes), et graphe si besoin • Demandez-vous si vos résultats ont un sens. • Mettez ces résultats de mesure en relation avec des prévisions théoriques, des

valeurs de référence, ou d’autres mesures déjà effectuées, toutes accompagnées de leurs incertitudes associées.

3) Une discussion : • Les éventuels désaccords entre théorie et mesure, ou entre différentes

mesures, sont-ils compatibles avec les incertitudes estimées pour chacun ? 4) Une conclusion : une phrase de conclusion sur l’expérience.

C) Une conclusion générale Prenez du recul. Résumez les questions posées en introduction et les réponses apportées : présentez les résultats marquants du TP. Vous pouvez compléter votre compte-rendu par des informations qui ne vous ont pas été données et qui vous semblent pertinentes (citez vos sources), et formuler d’autres questions qui restent ouvertes en suggérant des moyens pour y répondre.

NB : une conclusion bâclée ou absente laisse une très mauvaise impression au correcteur…

182

2. Tracer un graphe Y = f(X) sur du papier millimétré

2.1 Présentation du graphe Votre graphe Y = f(X) doit comporter :

− une graduation régulière des deux axes (ne pas reporter vos mesures sur les axes) ;

− les grandeurs écrites au bout de chaque axe, suivies de leurs unités entre parenthèses ;

− un titre.

2.2 Choix de l’échelle Comment choisir une échelle adaptée à chaque axe pour maximiser la taille du graphe ?

− Calculez l'écart entre les valeurs minimale et maximale de chaque grandeur X et Y à tracer : ΔX, ΔY.

− Comptez le nombre de carreaux dont vous disposez pour chaque axe : nX, nY.

− Arrondissez ΔX/nX à la valeur supérieure la plus commode à utiliser : ce sera votre échelle sur l’axe X. Faîtes de même pour l’axe Y.

Vous pouvez aussi changer l’orientation de votre feuille (Portrait, Paysage) si cela permet d’avoir un graphe plus grand.

Exemple : Tracer D2 - d2 = f(D)

• ΔΧ = 100 cm ; ΔY ~ 10 x103 cm2

• Nombre de carreaux selon X : nX = 18 ; selon Y : nY = 28

• ΔΧ / nX = 100/18 = 5.5 cm / carreau;

• ΔΥ / nY = 10 x103 / 28 = 0.36x103 cm2 / carreau

On peut choisir :

• axe X : 1 carreau 10 cm

• axe Y : 1 carreau 0.5 (x103) cm2

2.3 Tracé des points de mesure Représentez vos points de mesure par des croix (+), accompagnées de barres d’erreur dont la hauteur et la largeur correspondent aux intervalles de confiance [x-δx:x+δx] et [y-δy:y+δy] (cf. chapitre 5).

2.4 Tracé de la courbe Ne jamais joindre les points de mesure par des segments de droite. Si les mesures sont compatibles avec une relation linéaire (c.à.d. s’il existe au moins une droite qui passe par toutes les barres d’incertitudes), tracer la droite moyenne à la règle. Sinon, tracer une courbe régulière à main levée, quitte à ne pas passer par toutes les barres d’incertitudes.

D (cm) D2-d2 (cm2)

100 9,0 . 103

120 10,7 . 103

140 12,7 . 103

160 14,2 . 103

180 16,0 . 103

200 18,4 . 103

183

3. Les grandeurs algébriques

3.1 Grandeurs scalaires, vectorielles, algébriques Parmi les grandeurs physiques, on rencontre des grandeurs scalaires positives (comme la distance, l'énergie, la masse, la température) mais aussi des grandeurs vectorielles (la quantité de mouvement, la force, le moment cinétique) et des grandeurs algébriques (les angles, les distances algébriques). La manipulation des grandeurs scalaires positives ne pose aucun problème particulier. Par contre, la manipulation des vecteurs et des distances algébriques est source d'erreurs fréquentes en mécanique et en optique. La combinaison des grandeurs vectorielles est bien connue et obéit aux relations de Chasles, que ce soit à 2 ou 3 dimensions :

𝐴𝐴𝐶𝐶�����⃗ = 𝐴𝐴𝐵𝐵�����⃗ + 𝐵𝐵𝐶𝐶�����⃗ Les grandeurs algébriques obéissent à des relations similaires.

3.2 Distances algébriques Les distances algébriques sont des grandeurs mesurées sur une droite munie d'une origine, d'une orientation (symbolisée par une flèche), et d'une unité de mesure. A la différence des distances, les distances algébriques peuvent être aussi bien positives que négatives. Pour les différencier des distances, on les note avec une barre supérieure : 𝐴𝐴𝐵𝐵���� est la distance algébrique de A à B. Si on munit la droite d'une origine O, on appelle position algébrique du point A la distance algébrique 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 𝑂𝑂𝐴𝐴����. Exemple : considérons 3 points A, B et C sur une droite orientée munie d'une origine O.

• Avec la convention d'orientation choisie ici : 𝐴𝐴𝐵𝐵���� < 0,𝐵𝐵𝐶𝐶���� > 0,𝐴𝐴𝐶𝐶���� > 0 • Avec l'origine O choisie ici : 𝑥𝑥𝐴𝐴 < 0, 𝑥𝑥𝐵𝐵 < 0, 𝑥𝑥𝑆𝑆 > 0 • Avec la convention inverse d'orientation, nous aurions : 𝐴𝐴𝐵𝐵���� > 0,𝐵𝐵𝐶𝐶���� < 0,𝐴𝐴𝐶𝐶���� < 0.

Seuls les signes changent, les valeurs absolues restant les mêmes.

Les distances algébriques ont les propriétés suivantes : • La valeur absolue d'une distance algébrique est égale à la distance simple : |𝐴𝐴𝐵𝐵����| = 𝐴𝐴𝐵𝐵 • Comme pour les vecteurs, nous avons : 𝐵𝐵𝐴𝐴���� = −𝐴𝐴𝐵𝐵���� • Les distances algébriques obéissent aussi aux relations de Chasles sur la droite orientée :

𝐴𝐴𝐶𝐶���� = 𝐴𝐴𝐵𝐵���� + 𝐵𝐵𝐶𝐶���� • La distance algébrique entre deux points A et B peut être calculée à partir des positions

algébriques des deux points : 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 ! Attention à l'ordre des points dans cette formule.

• D'après la relation de Chasles, la distance algébrique entre deux points A et B est indépendante du choix de O : 𝐴𝐴𝐵𝐵���� = 𝑥𝑥𝐵𝐵 − 𝑥𝑥𝐴𝐴 = 𝑂𝑂1𝐵𝐵����� − 𝑂𝑂1𝐴𝐴����� = 𝑂𝑂2𝐵𝐵����� − 𝑂𝑂2𝐴𝐴�����

C

B A

O A B C

184

3.3 Lois algébriques

L'utilisation des grandeurs algébriques est essentielle en optique : si le caractère algébrique (ou vectoriel) de certaines lois est ignoré, ces lois deviennent tout simplement fausses. En optique géométrique, la relation de conjugaison des lentilles s'écrit à l'aide de distance algébriques (f' est aussi une distance algébrique) :

1𝑂𝑂𝐴𝐴′����� −

1𝑂𝑂𝐴𝐴����

=1𝑓𝑓′

La relation suivante, qui ignore le caractère algébrique des distances, est fausse :

1𝑂𝑂𝐴𝐴′

−1𝑂𝑂𝐴𝐴

=1𝑓𝑓′

Exemples : • la position et la nature de l'image n'est pas la même si f' = 10 cm (lentille convergente)

ou si f' = -10 cm (lentille divergente). • La nature de l'image n'est pas la même si l'objet est réel (𝑂𝑂𝐴𝐴���� < 0) ou virtuel (𝑂𝑂𝐴𝐴���� > 0).

Un conseil : écrivez toujours le signe d'une distance algébrique, même s'il est positif. Ex : 𝑂𝑂𝐴𝐴���� = +2 cm, 𝑂𝑂𝐴𝐴′����� = −7.5 cm En mécanique, la conservation de la quantité de mouvement au cours d'un choc s'écrit de manière générale sous forme vectorielle (pour un mouvement à 2 ou 3 dimensions), et sous forme algébrique quand le choc se passe sur un banc à coussin d'air (mouvement unidimensionnel). Dans ce dernier cas, la quantité de mouvement n'est conservée que si le signe des vitesses est pris en compte.

185

4. Compétences expérimentales à acquérir pour l'examen de TP

Compétences expérimentales Chapitres concernés

Estimer une incertitude de mesure à partir de ses propres mesures. 1-3

Mesurer l'indice de réfraction d'un matériau transparent. 1

Réaliser l'image d'une fente. 3

Mesurer la distance focale d'une lentille, convergente ou divergente 3

Réaliser un faisceau parallèle. 3

Réaliser l'image d'un objet réel sur un écran. Mesurer la position et le grandissement, avec leurs incertitudes.

3

Régler et corriger les défauts d'un œil artificiel. 3

Réaliser une image nette dans les conditions de Gauss. 3

Réaliser la dispersion de la lumière blanche au minimum de déviation par un prisme.

4

Réaliser le spectre d'émission d'une lampe basse pression par un prisme. 4

Réaliser le spectre d'absorption d'une substance translucide par un prisme. 4

Cette liste est indicative. L'examen de TP pourra également porter sur des montages expérimentaux non étudiés pendant l'année, mais pour lesquels vous aurez les connaissances nécessaires.

186

INDEX

Les numéros indiqués renvoient aux numéros des pages

A

aberration · 61 accommoder · 96, 97, 162 angle

d'incidence · 20 de réflexion · 20 de réfraction · 20 limite de réflexion totale · 28, 38

aplanétique · 50, 63 appareil photographique · 93, 97 arc secondaire · 108 arcs surnuméraires · 108 astigmatisme · 85 axe optique · 48, 49, 50, 63, 72

B

bande d’Alexandre · 108 bâton brisé (expérience du) · 17, 55 bâtonnets · 83, 114, 121

C

CCD · 121, 122 célérité · 14, 37 chambre noire · 42, 82, 97 champ · 96 conditions de Gauss · 50, 52, 63 cônes · 83, 114, 121 cornée · 83, 121, 161 corps noir · 116 couleur · 103

d’un objet · 114, 117, 120 fréquences · 106 perception · 102, 121, 122, 123 primaire · 123, 126 synthèse · 123, 126

cristallin · 83, 98, 121, 161

D

daltonisme · 122 déviation · 22, 104, 151, 172, 173 diffraction · 10, 35, 127 diffusion · 32, 35, 128 dioptre · 20, 37, 55

plan · 55 sphérique · 56, 63

dispersion · 104 distance focale · 53 Doppler-Fizeau · 177

E

effet photoélectrique · 15 émission

spontanée · 113, 129 stimulée · 129

F

fibres optiques · 29, 31 foyer

image · 52, 59 objet · 53, 59

G

grandeur algébrique · 53, 73, 183 grandissement · 73, 74, 96, 98 grossissement · 96

H

humeur · 161 hypermétropie · 85

I

image · 42 non optique · 62 optique · 42, 44, 63 réelle · 45, 63 virtuelle · 45, 63

indice optique · 14, 37 interférences · 10, 127, 128

L

lampe à émission de fluorescence · 115 à incandescence · 114 à raies · 115 basse pression · 115

laser · 129 lentilles · 98

accolées · 91, 98, 167 minces · 69, 71, 98

longueur d'onde · 14, 22, 36, 37 dans le vide · 12

lunette astronomique · 68, 97

187

M

microscope · 68, 96 milieu

homogène · 14 inhomogène · 33, 34 isotrope · 14 transparent · 14

minimum de déviation de l’arc-en-ciel · 108, 174 du prisme · 152, 172 en spectroscopie · 110

mirages · 33, 34 miroir

concave · 48 convexe · 48 plan · 47, 63 sphérique · 47, 48, 63

monochromatique · 12 Multi-touch · 32 myopie · 85

N

nerf optique · 83 normale au dioptre · 20

O

objectif · 16, 93, 96, 97 objet

lumineux · 43 réel · 43, 46, 63 virtuel · 46, 63

oculaire · 16, 61, 96, 97 oeil

anatomie de l' · 83 au repos · 84, 98 des animaux · 82 réduit · 98, 161

onde plane · 13 sphérique · 13

P

photon · 15 plan d'incidence · 20 plan focal · 61, 72, 96 point

conjugué · 59, 70, 71 d'incidence · 20

polychromatique · 12, 151 pouvoir séparateur de l’œil · 169 presbytie · 85 principe

de Huygens · 10, 36

de propagation rectiligne de la lumière · 10, 33 prisme · 151 punctum proximum · 84, 85, 96, 169 punctum remotum · 84, 85 pupille · 83

R

rayon de courbure · 52, 56, 59 incident · 20 lumineux (modèle) · 13, 15

réflexion · 20 réflexion totale · 28, 32, 38

prisme à · 30 réfraction · 20, 35 réfringence · 21 relation de conjugaison · 52, 63

des lentilles minces, origine au sommet · 98 des lentilles minces, origine aux foyers · 73, 98 du dioptre sphérique · 59 du miroir sphérique · 53

réseaux de diffraction · 127, 131 rétine · 82, 83

tache aveugle · 83 retour inverse de la lumière · 15, 53

S

Snell-Descartes (lois de) · 20, 21, 37, 69 source

primaire · 43 secondaire · 43

spectre d'absorption · 113, 117 d'émission · 110, 112 de raies · 110 de réflexion · 119

spectroscopie · 109 d'absorption · 109 d'émission · 109 de réflexion · 110

stigmatisme · 43, 44, 63 approché · 50, 63 rigoureux · 48, 63

surface d’onde · 12, 36, 37, 44 synthèse

additive · 123 soustractive · 126

système optique · 43 centré · 63

T

téléobjectif · 92, 94, 167 télescope · 53, 61, 160

188

BIBLIOGRAPHIE

Ouvrages :

• Physique, E. Hecht (voir les chapitres d’optique), ed. De Boeck Université (1999)

• Optique, E. Hecht, ed. Pearson Education (2005)

• Optique, une approche expérimentale et pratique, Sylvain Houard, ed. De Boeck (2011)

• Cours de physique, Optique, J-P Parisot, P. Segonds et S. Le Boiteux, ed. Dunod (2003)

• Optique, fondements et applications, J-P Pérez, ed. Masson (1994)

• Optique, G. Bruhat, ed. Dunod (2004)

• Lumières, Une introduction aux phénomènes optiques, P. Léna et A. Blanchard, ed. Intereditions (1990)

• Optique, collection H-Prépa, ed. Hachette (1995)

• Les instruments d'optique, L. Dettwiller, ed. Ellipses (1997)

Sites Internet :

• http://www.wikipedia.fr/

• http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/mnoptigeo.html

• http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo/co/optigeo.html et bien d’autres que vous trouverez par vous-mêmes…

Cours interactif en ligne pour le Phys102 (DOKEOS) : http://formation.u-psud.fr (entrez votre identifiant et votre mot de passe)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Téléchargez ce polycopié en pdf (et en couleurs !) sur DOKEOS à l’adresse suivante : http://formation.u-psud.fr/courses/OPT000/