la Fonction a (Un & Deux) Variables Réelles

7/28/2019 la Fonction a (Un & Deux) Variables Relles

1/94

MATHEMATIQUES ANALYSE

Ralis par le professeur :M.REDOUABY

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Pour votre autoformation en conomie et

gestion.

ANALYSE

Contenu du cours :

A. Fonctions une variable relle

B. Fonctions deux variables relles

Sance n 1


2/94

A. Fonctions une variable relle

1.Introduction

a) Notion de fonction

b) Notion dinjectionc) Notion de surjection

d) Notion de bijection

e) Bijection et bijection rciproque

a) Notion defonction

Dfinition

Une fonctionest une relation entre deux

ensembles Eet F telle que :

Chaque lment de E(ensemble des

antcdents)aau plus une image dans F

(ensemble des images)

X1

X2X3

.

.

.

.

.

.

Xn

Y1

Y2

Y3.

.

.

.

..

Ym

E Ff

E = ensemble de dpart, contient n lments :

X1 ; X2 ; X3; . ; Xn ,Ce sont les antcdents

F = ensemble darrive, contient m lments :Y1 ; Y2 ; Y3; ., Ym

Ce sont les images

Nous avons : ; ; ;

.. ;

11 y)x(f

32 y)x(f

23 y)x(f

mn y)x(f


3/94

Y1estlimagede X1; X1estlantcdent de Y1Y3estlimagede X2; X2estlantcdent de Y3

Ymestlimagede Xn; Xnestlantcdent de Ym

Pour que fsoit une fonction,

chaque lment de E doit avoirau plus une image dans F

Exemple

x

IR

x

1

IRf

I

fest une fonction car :

, x a une image et une seule, sauf 0 quina pas dimage

IRx

Ainsi, par une fonction, unlment de E ne peut jamais avoirplus dune image dans F

Exemple 1

f


; ;1y)1x(f

X1

X2X3

Y1

Y2

Y3

E F

2y)2x(f 2y)3x(f


4/94

Exemple 2

f


; ; na pas dimage

Chaque lment de E a au plus une image

1y)

1x(f

X1

X2X3

Y1

E F

1y)

2x(f 3

x

Exemple 3

f

f nest pas une fonction car :

a deux images et1x

X1

X2X3

Y

1Y2

E F

1Y

2Y

Remarque Importante

Fonction et Application

Une application est une fonction particulire.

Cest une fonction telle que chaque antcdenta exactement une image(sil y a un antcdent

qui nas pas dimage alors cest simplement unefonction et non une application)

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3Y4

E Ff

Exemple 1

Chaque antcdent a une image et une seul, festdonc mieux quune fonction, cest une application


5/94

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3Y4

E Ff

Exemple 2

na pas dimage dans F, donc fnest pas uneapplication, mais simplement une fonction

3x

Exemple 3

x

IR

x

1

IRf

I

fest simplement une fonction car et non une application

car0nas pas dimage

Exemple 4

xIR

2xIR

f

I

fest une application car chaque lment de IR admetune image et une seule exactement une image

b) Notion dinjection

fonction injective

Dfinition

f est une fonction de E vers F. f est diteinjective lorsque chaque lment de F a au

plus un antcdent dansE : un antcdent ou

rien


6/94

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3Y4

E Ff

Exemple 1

Chaque lment de F a au plus un antcdent, fest

donc une fonction injective

X1

X2X3

Y1

Y2

Y3

Y4

E Ff

Exemple 2

Chaque lment de F a au plus un antcdent, fest

donc une fonction injective

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

Y4

E Ff

Exemple 3

f nest pas une fonction injective car :

a deux antcdents : et1

Y2

x1

x

Exemple 4

x

IR

2x

IRf

I

fnest pas injective car :par exemple 1 a deux antcdents +1 et -1

.

.10

.

.

.

.

.

.+10

-1.

.

.

IR IRf


7/94

Par contre

x

IR

2x

IRg

I

g est injective car :

Si Y est ngatif , alors Y na pas dantcdent

Si Y est positif ,Y a un seul antcdent : Y)0Y(

)0Y(

A retenir

2x

1x)

2x(f)

1x(f:E

2x;

1x

fest une fonction deEvers F. fest injective sielle vrifie :

Cest--dire : deux antcdents ont la mmeimage si et seulement si ils sont gaux

Remarque

f est une fonction de E vers F. Si f est

injective alors : Card E Card F

Card E = nombre des lments de E

E = : Card E = n

X1

X2X3

.

.

.

.

.

.

Xn

Remarque

Mthode de la rgle : Voir TD


8/94

c) Notion de surjection

fonction surjective

Dfinition

f est une fonction de E vers F. f est ditesujective lorsque chaque lment deF a au

moins un antcdent dans E : un antcdentou plusieurs antcdents

fonction surjective

f est surjective si et seulement si :

y)x(f/ExFy

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

E Ff

Exemple 1

Chaque lment de F a au moins un antcdent, f

est donc une fonction surjective

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

E Ff

Exemple 2

Chaque lment de F a au moins un antcdent, f

est donc une fonction surjective


9/94

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

Y4

E Ff

Exemple 3

fnest :ni injective : a deux antcdents et

ni surjective : na pas dantcdent

4x

1x

4y

1y

Remarque

f est une fonction de E vers F. Si f est

surjective alors : Card E Card F

Card E = nombre des lments de E

Remarque

Mthode de la rgle : Voir TD

d) Notion de bijection

fonction bijective

Dfinition

fest une fonction bijective (ou une bijection)de

Evers F si et seulement fest une applicationqui est la foisinjective et surjective

Cest--dire chaque lment de E a une imageet une seule et chaque lment de F a un

antcdent et un seul


10/94

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

Y4

E Ff

Exemple 1

fest une bijection de E vers F : fest injective

fest surjective

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

E Ff

Exemple 2

fnest pas bijective de E vers F :

fnest pas surjective cary5na pas dantcdent

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

E Ff

Exemple 3

fnest pas une bijection de E vers F : fnest pas injective fnest pas surjective

X1

X2X3X4

Y1

Y2

Y3

E Ff

Exemple 4

fnest pas une bijection de E vers F car :

fnest pas une application : x3na pas dimage


11/94

Remarque

fest une fonction deEvers F.

Si fest bijective alors :

Card E = Card F

e) bijection et bijection rciproque

E Ff

f-1

X1

X2

X3.

.

.

.

.

.

Xn

Y1

Y2Y3.

.

.

.

.

Yn

E Ff

f-1

x yf

f-1

bijection et bijection rciproque

Comment passer de f f-1 et inversement :

x)y(fy)x(f 1


12/94

X1

X2X3

.

.

.

.

.

.

Xn

Y1

Y2

Y3.

.

.

.

.Yn

E Ff

Ainsi si:

X1

X2X3

.

.

.

.

.

.

Xn

Y1

Y2

Y3.

.

.

.

.

Yn

EFf-1

alors:

Relation fondamentale entrefetf-1

E F

f

f-1

yxf

f-1

x)x(ff:Ex 1 y)y(ff:Fy 1 et

Exemple

2x

IRf

Ix

IR

x

IR

I

f-1

xx2x)x(f1fIRx

x

IR

x2)x()x(1ffIRx

On a :

et :

Exemple Remarque


13/94

Exemple

xln

IRf = ln

Ix

IR*

x

IR

xe

IR*

I

f-1 =exp

xxlne)x(f1f*IRx

xxeln)x(1ffIRx

On a :

et :

Sance n 2

RemarqueRelation entre

la courbe de fet la courbe de sa rciproque f-1

A retenir : La courbe de f Cf et la courbe

de sa fonction rciproque f-1 Cf-1 sont

symtriques par rapport la 1re bissectrice

(la droite dquation y = x)

Y = xY

x45

1

1

1re bissectrice

2me bissectrice

Exemple Exemples


14/94

Exemple

Y = x

la courbe de ln logarithme nprien et la

courbe de sa rciproque exp exponentielle

sont symtriques par rapport la droite y = x

Cln

Cexp

A. Fonctions une variable rel

2. Domaine de dfinition

x

IR f

)x(f

IR

I

x\IRxfD admet une image

)x(f\IRx est dfinie on peut

la calculer

Exemples

1. Fonctions polynmiales :

fonction polynmiale (ou polynme) de degr n

01n axa....nxa)x(f

IRDf

Fonctions polynmiales

Exemples :

;

;

;

Pour toutes ces fonctions :

5xx3)x(f2

15xxx7)x(f 23

[;]IRDf

24xxx7)x(f 245

Exemples Exemples


15/94

Exemples

2. Fonctions rationnelles :

P(x) et Q(x) sont deux polynmes

)x(Q)x(P)x(f

0)x(Q\IRxD

f

Exemple :

Car , ainsi :

012x0)12x)(12x(0)x(Q )1x)(1x(

1x2)x(f

22

[;1][1;1][1;]Df

Fonctions rationnelles

012x

1x1x0)x(Q 2

1IRDf

Exemples3. Fonctions racines (nmes) :

;n

est un entier naturel non nul

n= 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; .

A retenir :

Si n est pair :

Si n est impair :

n

)x(u)x(f

0)x(u\IRxDf

uDDf

Fonctions racines (nmes)

Exemples :

racine carre :

On doit avoir :

racine cubique :

dfinie quelque soit x donc

1x2)x(f

3 1x2)x(f

1x2)x(u

[;2/1[D2/1x01x2f

[;]IRuDDf

Exemples Fonctions puissances


16/94

Exemples4. Fonctions puissances :

; est un nombre rationnel

m et n sont deux entiers naturels non nuls

On crit :

)x(u)x(f

n m)x(u)x(f

n/m

n/1)

m)x(u(

n/m)x(u)x(f

Fonctions puissancesExemples :

1. ici

On a : ; racine impaire,

on regarde alors le domaine de dfinition de

:

est une fonction polynmiale dfinie

sur IR donc :

5/4)1x2()x(f 5/4

5 4)1x2()x(f

4)1x2(

4)1x2(

IRDf

Fonctions puissancesExemples :

2.

On a : ; racine paire,

on doit avoir : et

4/3)1x2()x(f

4 3)1x2(

1)x(f

2/1x01x20)1x2( 3 [;2/1]D

f

0)1x2(3

0)1x2(3

Exemples5. Fonctions logarithmiques :

; dsigne le logarithme nprien

Exemple :

;

or , tableau des signes

))x(uln()x(f ln

)x1ln()x(f 2

0)x(u\IRxD

f

0x1\IRxD 2f)x1)(x1(x1 2

F ti l ith i

Exemples


17/94

Fonctions logarithmiques

Exemple :

Ainsi :

)x1ln()x(f 2

[1;1]Df

x -1 11-x + + 0 -

1+x - 0 + +

1-x2 - 0 + 0 -

Exemple 2 :

Tableau des signes :

Donc :

))5x)(7x2ln(()x(f

0)5x)(7x2(\IRxD

f

x -7/2 5

2x+7 - 0 + +

x-5 - - 0 +

Produit + 0 - 0 +

[;5][2/7;]Df

Exemples6. Fonctions exponentielles :

; alors

lexponentielle est toujours dfinie

Exemples :

;

;

)x(ue)x(f

IR

f

D2xxe)x(f2

u

DDf

IRf

Dxe)x(f

2IR

fDe)x(f )2x/(1


3. Continuit

x

IRI f

)x(f

IR

I

f est une fonction dfinie sur un intervalle I de IR

Exemples


18/94

3. Continuit

a) Continuit en un point a :

a

a droite de aa gauche de a

3. Continuit

a) Continuit en un point a :

Dfinition : f est continue au pointa lorsque :

limite droite = limite gauche = image de a

)a(f)x(fax

lim)x(fax

lim

Exemples

1. ; continuit en 1

On a :

et ; fest donc continue au point 1

]2;1]xsi;x2

]1;0[xsi;x)x(f

11x21x

lim)x(f1x

lim

11x1x lim)x(f1x lim

11)1(f

2. ; continuit en 1

On a :

et ;

fest donc discontinue au point 1

2/3)1(f

]2;1]xsi;x2

[1;0[xsi;1x

)x(f

112x21x

lim)x(f1x

lim

2111x

1x

lim)x(f

1x

lim

2/3)1(f

Continuit sur un intervalle [a ; b]


19/94

3. Continuit

b) Continuit sur un intervalle :

Dfinition :

f est continuesur lintervalle lorsque fest continueen tout point de lintervalle ouvert

; continue gauche de b et continue droite de a.

]b;a[I

[b;a]

f est continue gauche de b lorsque :

f est continue droite de a lorsque :

)b(f)x(f

bx

lim

)a(f)x(fax

lim

a bx

droite de a gauche de b

Continuit sur un intervalle [a ; b]

Exemples

1. ;

fest continue sur lintervalle [0 ; 2] car :

fest continue en tout point de lintervalle]0 ; 2[ (en particulier au point 1),

fest continue a droite de 0 et gauche de 2.

]2;1]xsi;x2

]1;0[xsi;x)x(f

Exemples Proprits des fonctions continues


20/94

Exemples

2. ;

f nest pas continue sur lintervalle [0 ; 2] carelle discontinue au point 1

2/3)1(f

]2;1]xsi;x2[1;0[xsi;1x

)x(f

Sance n 3

Proprits des fonctions continues

Si fet g sont deux fonctions continues sur

un intervalle I alors :

est continue surI

est continue surI ( )

est continue surI

est continue surI ( surI )

gf

gf

g/f

f IR

0g

Consquences

Les fonctions polynmiales sont continues

surIR

Les fonctions rationnelles ; racines nmes ;puissances ; logarithmiques et

exponentielles sont continues sur leurs

domaines de dfinition

Thorme des Valeurs Intermdiaires


21/94

bijection et bijection rciproque

I J

f

f-1

fest une fonction bijective de I vers J.Si festcontinue sur l intervalle I alors sa fonction

rciproque f-1

est continue sur lintervalle J(carles courbes de fet f-1 sont symtriques parrapport la droite dquation y = x)

Remarque

fest continuesur l intervalle I

sa courbe Cf est continue

ne prsente aucune coupure

Voir TD (Exercice 2)

Thorme des Valeurs Intermdiaires

T.V.I

T.V.I : Sifest continue surlintervalle [a; b]

et alors fsannule sur ]a ; b[ ;

Cest--dire : tel que :

0)b(f)a(f

[b;a]c 0)c(f

Interprtation gomtrique

I Ia bc

f(a) < 0

f(b) > 0

Ou


22/94

Ou

I Ia bc

f(b) < 0

f(a) > 0

Exemple

Montrer que la fonction

sannule (au moins une fois) sur [0 ; 2]

La fonction f est une fonction polynomialedonc dfinie et continue surIR, en particulier

sur lintervalle [0 ; 2]. De plus :

Donc daprs le T.V.I :

3xx)x(f 3

03)0(f 07)2(f et

[2;0]c0)c(f tel que


4. Drivabilit

x

IRI f

)x(f

IR

I

f est une fonction dfinie sur un intervalle I

I IIa bx0

a) Drivabilit en un point x0

Dfinition

Ondit que la fonction fest drivable en x0si :

existe.

Cette limite quand elle existe est appele :

drive de fau point x0 et on la note f(x0)

0

0

0xx

)x(f)x(f

xxlim

Ainsi )(f)(f


23/94

Ainsi

0

0

0

0 xx

)x(f)x(f

xx lim)x('f

A retenir :

toutes les formules de drivation quonutilise sont une consquence directe decette dfinition.

Exemples

1. Pourquoi la drive dune constante est

gale 0 ?

On pose : , soitC)x(f IRx0

Ix0IR

0

00 xx

)x(f)x(flim)x('f

0xx

0xxCClim

00xx

,IRx0Ainsi : 0)x('f

0

Ou encore (en notant x au lieu de x0) :

,IRx 0)x('f

Exemples

2. Pourquoi :

On pose : , soit

bax2)'cbxax( 2

cbxax)x(f 2 IRx0

0

00 xx

)x(f)x(flim)x('f

0xx

Ix0

Donc :E l


24/94

Donc :

0

0

2

0

2

xx

)cbxax()cbxax(lim

0xx

0

0

2

0

2

xx

)xx(b)xx(alim

0xx

b)xx(ab)xx(alim 0000

xx

bax20

Ainsi :

,IR0

x bax2)x('f00


,IRx bax2)x('f

finalement :

bax2)x('fcbxax)x(f 2

Exemples

3. Pourquoi :

On pose : , soit

2x

1'

x

1

x

1)x(f *IRx

0

0

00 xx

)x(f)x(flim)x('f

0xx

Donc :

0

0

00 xx

x

1

x

1

lim)x('fxx

0

0

0

0xx

xx

xx

limxx

0000

0

0xx

1

xxlim

)xx(xx

)xx(lim

xx

2

0

02

0x

1)x('f

x

1

finalement :


25/94

2

0x

1)

0x('f ,*IR

0

x


,*IRx2

x

1)x('f

Les formules qui suivront sont aussi

consquence directe de la dfinition

prcdente :

b) Mmento du petit driveur

fonction fonction drive

a

( )

bax

x

x

lnx

Q 1x

x/21

1/x


xe

xSin

tanx xtan1 2

xe

xCos

xCos xSin-

Plus gnral : (u dsigne une fonction)


au

( )

bau

u

u

lnu

Q 1 uu'

u/2u'

/uu'

Exercice


26/94


ue

uSin

tanu u'u)tan(1 2

ueu'

uCosu'

uCos uSinu'-

Sans oublier, lorsque la fonction se prsentesous forme de blocs , quon a :


vu

vu

vu v'v)(u'

v'u'

uv'u'v

u/v 2uv')/v(u'v

Exercice

Calculer les drives des fonctions suivantes :

1. f(x) =

2. f(x) =

3. f(x) =

4. f(x) =

5. f(x) =

)3xxln( 2

Sinxex

5 3)1x( 15/22 )1x(

1xx2

2

c) Drivabilit sur un intervalle

DfinitionUne fonction fest drivable sur lintervalle[a ; b] si elle est drivable en tout point

de [a ; b]

Exemples


27/94

Exemples

1. dfinie et continue sur

dfinie pour

Donc la fonction f nest pas drivable sur

car f nest pas drivable en 0, maisdrivable seulement sur lintervalle

x)x(f

x2

1)x('f [;0]x

[;0[

[;0[ [;0]

Exemples

2. dfinie et continue IR

Question :

f est-elle drivablesur lintervalle [0 ; 2] ?

Cest--dire :

3 1x)x(f

3/2)1x(3

1)x('f3/1

3 )1x(1x)x(f

3 2)1x(31)x('f

donc f nest pas drivable en x = 1, et parconsquent fnest pas drivablesur lintervalle[0 ; 2]

3 2

)1x(3

1)x('f

Remarques

1. fest drivable enx0 fest continue enx0

2. fest drivable sur [a ; b] fest continue

sur [a ; b]

Donc contrapose


28/94

p

3. fest discontinue enx0 fnest pas

drivable enx0

4. fest discontinue sur [a ; b] fnest pasdrivable sur [a ; b]

Contrapose : p q non q non p

la fonction fnestpas drivable en x0car elle estdiscontinue en x0

x0

Sance n 4

Exercice Corrig

Calculer les drives des fonctions suivantes :

1. f(x) =

2. f(x) =

3. f(x) =

3xx

1x2)x'f)3xxln(2

2

SinxCosxexSinxex2

1)x('f

2)1x(

)1x(2)x('f

1x

x22

2

2

Sinxex

Exercice Corrig Interprtation gomtrique


29/94

g

4. f(x) =

5. f(x) =

5/35 3

)1x()1x(

15/22 )1x(

5 2)1x(5

3)x('f

15 132 )1x(15

x4)x('f

Thorme de Rolle

Thorme :Si f est une fonction continue sur lintervalle[a ; b] ; drivable sur lintervalle ouvert ]a ; b[et : alors :

tel que

)b(f)a(f

[b;a]c 0)c('f

a bc

f(c) = 0

I

f(a) = f(b)

Il y a au moins un point de la courbe

o la tangente est horizontale

Remarque

Les hypothses du Thorme de Rolle :

a) fest continue sur[a ; b]

b) fest drivable sur ]a ; b[

c) f(a) = f(b)

sont ncessaires.

Exemple Rponse


30/94

Exemple

Peut-on appliquer le Thorme de Rolle la fonction :

sur lintervalle [0 ; 2] ?

3 2)1x(1)x(f

Rponse

a) : la racine cubique

racine impaire est dfinie sur IR, donc

Df= IR

fest la somme dunefonction constante

1 et dune fonction racine donc continuesur son domaine de dfinition IR,en particulierfestcontinuesur lintervalle [0 ; 2]

3 2)1x(1)x(f

3

)1x(

2

Rponse

b)

ainsi f(0) = f(2)

0112)10(1)0(f 33 0112)12(1)2(f 33

Rponse

c) Drivabilit de fsur lintervalle ]0 ; 2[

fnest pas drivable en x = 1 f(1) nestpas dfinie , donc fnest pas drivablesur lintervalle ]0 ; 2[

3 1x3

2)x('f

3/23 )1x(1)1x(1)x(f 2

Conclusion 2me version T A F


31/94

Conclusion

On ne peut pas appliquerle Thorme de

Rolle la fonction

sur lintervalle [0 ; 2] carlhypothse dedrivabilitnest pas vrifie !!!

Voir Exercice 5, Srie de TD

3 2)1x(1)x(f

Thorme des accroissements finis T.A.F

Thorme : Si fest une fonction :

alors :

a) continuesur[a ; b]

b) drivablesur ]a ; b[

[b;a]c

)c('f)ab()a(f)b(f

tel que :

2 version T.A.F


alors :



[b;a]c

)c('fab

)a(f)b(f

tel que :

3me version T.A.F premier dveloppement limit


alors :



[b;a]c

)c('f)ab()a(f)b(f

tel que :

Remarque : Pourquoi on dit :



32/94

accroissements finis ?

Comme 1re version

Si la drive premire f est une fonction

borne: sur lintervalle considr,

alors on a :

)c('f)ab()a(f)b(f

M)x('f )ab(M)a(f)b(f

Ainsi, si lordre de grandeurde f est fix,les accroissements de la fonction f f(b)-f(a) sont borns finis

Veut dire : Il y a au moins un point de la courbe

o la tangente est parallle au segment AB

[b;a]c )c('f

ab

)a(f)b(f

tel que


a bc

Il y a au moins un point de la courbeo la tangente est parallle au segment

AB

A

B

Consquences Preuve


33/94

fest une fonction continue et drivable surlintervalle [a ; b] :

Si f(x)=0 ( ) alors fest constante

Si f(x) 0 ( ) alors fest croissante

Si f(x) 0 ( ) alors fest dcroissante

sur lintervalle [a ; b]

b][a;x

b][a;x

b][a;x

Preuvex yI I

Soient x et y deux nombres quelconques

de lintervalle [a ; b] tels que : yx Si f(x)=0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :

: fest donc constante surlintervalle [a ; b]

b][a;x

cI

00)xy()c('f)xy()x(f)y(f

aI I

b

)x(f)y(f

Si f(x) 0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :

car : et

fest donc croissante sur lintervalle [a ; b]

b][a;x

0)c('f)xy()x(f)y(f

)x(f)y(f

0xy 0)c('f

Preuve

Si f(x) 0 ( ), dans ce cas ; T.A.F :

car : et

fest donc dcroissante sur lintervalle [a ; b]

b][a;x

0)c('f)xy()x(f)y(f

)x(f)y(f

0xy 0)c('f


La forme indtermine


34/94


5. Calcul de limites

Rgle de lHOSPITAL

Exemple :

Problme : lorsque :

et

?xSinx

0xlim

0x

0Sinx 0x

La forme indtermine

Exemples :

1. ;

2. ;

3. .

?00

xxlim2

0x0xlim

0x

2

x

xlim

0x

x

1lim

0x5x

x5lim0x

La forme indtermine

?00

Nous avons une forme indterminelorsquon ne peut pas prvoir le rsultatdavance.

Les formes indtermines :

; ; ;? ? ?0

La forme indtermine

?

0

0Pourla forme indtermine , on peut

utiliserla Rgle de lHospital :

R-H : Si

alors

?00

)x(fax

lim 0)x(gax

lim

)x(g

)x(fax

lim)x('g

)x('fax

lim

Exemples Exemples


35/94

p

1.

Rgle de lHospital :

?

x

Sinx

0x

lim

x

Sinx0x

lim 10Cos1

Cosx0x

lim

Exemples

2.

Rgle de lHospital :

?1x

xlnxlim

1

1xxln

xlim

111/1

1x/1

xlim

1

p

3.

Rgle de lHospital :

?

x

1xe

x

lim

20

20 x

1xex

lim

0

1

0

ex2xe

xlim

0

0

Remarque

La rgle de lHospital est un outil

puissant pour le calcul des limites.Elle peut tre utilise plusieurs fois

de suite.

Exemples Exemples


36/94

4.

Rgle de lHospital 1re fois :

Rgle de lHospital 2me fois :

?x

1xxexlim

20

x21xe

xlim

0

2

1

2

e2xe

xlim

0

0

Exemples5.

Rgle de lHospital 1re

fois :


?x

xxxsinx

lim4

3

0

3

2

x4x31Cosx

xlim

0

2x12x6Sinx

xlim

0


0

7x24

6Cosxx

lim0

Sance n 5


Exemples


37/94

6. Drives dordre suprieur;Formule de Taylor

Dveloppements limits

Drives dordre suprieur

La drive dordre n(on dit aussi : la

drive n

me

) sobtient en drivant fnfois :

f f f f(3)

f(n)

on

drive

on

drive

on

drive

ondrive

ondrive

1.

;

;

; ;

xln)x(f

x/1)x('f 2x/1)x(''f

3x/2)x(f )3( nx/)!1n()1()x(f 1n)n(

Exemples2.

;

; ;

xe)x(f

xe)x('f xe)x(''f

x)n( e)x(f

Utilisation de la driveInterprtation gomtrique


38/94

seconde f

Convexit & Concavit

f f fondrive

on

drive

Convexit

Dfinition

Une fonction f est dite convexe surlintervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf surlintervalle [a ; b] est au dessus de toutes sestangentes

a b

fonction convexe :

la courbe est au dessus de ses tangentes

Concavit

Dfinition

Une fonction f est dite concave surlintervalle [a ; b] lorsque sa courbe Cf surlintervalle [a ; b] est au dessous de toutesses tangentes

Interprtation gomtriqueConcavit


39/94

a b

fonction concave :

la courbe est au dessous de ses tangentes

Convexit

Thorme

Si ceci , alors

la fonction fest convexesur lintervalle [a ;b]

0)x(''f ]b;a[x

ThormeSi ceci , alors

la fonction fest concavesur lintervalle [a ;b]

0)x(''f ]b;a[x

Exemples

tudier la convexit des fonctionsuivantes sur leurs domaines de

dfinition :

1. ;

2.

xln)x(f

x

e)x(f

1. ;xln)x(f 2. ;xe)x(f


40/94

avec

)(

2x/1)x(''f

x/1)x('fxln)x(f

*f

IRDx

ainsi fDx 0)x(''f on a

La fonction ln estconcave sur *IR


1

lnx

La courbe de ln est concavesur IR*+

ceci

)(

0xe)x(''f

La fonction exp estconvexe sur IR

IRDx f


1

exp

La courbe de exp est convexe sur IR

Exercice Exemple Mto


41/94

tudier la convexit des fonctions suivantessur leurs domaines de dfinition :

1. ;

2. ;

3. ;

4.

x)x(f

x/1)x(f

3 x)x(f 5xx3x)x(f 23

Drives dordre suprieurFormule de Taylor

Question fondamentale en Analyse :

Connaissant la valeur de fau pointa, peut-on

donner une estimation de f(b)???

a b

f(a)

f(b)

p

Connaissant la temprature enregistre Mardi,

peut-on prvoir la temprature de Dimanche

prochain ???

Mardi Dimanche

21

24

Rponse Taylor

On peut donner une valeur approche de f(b),

condition de connatre f(a)mais aussi :

f(a) ; f(a) ; f(3)(a) ; f(4)(a) ; . ; f(n)(a) ;

a b

f(a)

f(b)

A savoir : La fameuse Formule de Taylor

Thorme : Si f est une fonction drivable


42/94

Notre estimation de f(b) est meilleure lorsque :

n est grand

b est proche de a

I Ia b

proches

Exemple Mto

Connaissant la temprature de Mardi, il est

plus simple de prvoir la temprature deMercredi proche de Mardi que celle de

Dimanche loin de Mardi

Mardi Dimanche

21

?

Mercredi

22

Thorme : Si fest une fonction drivable lordren+1 alors :

[b;a]c

)a(''f!2

)ab()a('f)ab()a(f)b(f 2

)a(f!n

n)ab(...)a(f

!3

)ab( )n()3(3

)c(f)!1n(

)ab( )1n(1n

avecI IIa c b

Dveloppements limits : a=0 et b=x

Thorme : Si fest une fonction drivable lordren+1 alors :

[x;0]c

)0(f!3x)0(''f

!2x)0('xf)0(f)x(f )3(

32

)c(f)!1n(

x)0(f

!n

nx... )1n(

1n)n(

avecI Ic x

Notation de Young

Formule de Taylor-Young

Quelques

Dveloppements limits importants


43/94

Formule de Taylor Young

)0(f!3

x)0(''f!2

x)0('xf)0(f)x(f

)3(32

)x(nx)0(f!n

nx... )n(

avec )c(f)!1n(

x)x( )1n(

Remarque1. lorsque

2. nest pas une fonction, cest une

manire symbolique dcrire : quantit quitend vers 0 avec x. Donc :

La diffrence de deux nest pas 0mais un , prendre par exemple

et

Le produit de deux est un

0)x( 0x)x(

)x()x( 2x

3x)x( )x(

1. ; La formule de Taylor-Young

donne :

)x(xe!n

x...e

!2

xxeexe n0

n0

200

Ainsi :

xe)x(f

)x(x!n

x...!2

xx1xe nn2 (D1)

cest--dire : pour x proche de 0

Exemple :

!n

x...

!2

xx1xe

n2

...2

01,01,011,0e

...201,01,011,0e

2. :1)x1(x1

1)x(f

Application : calcul de limites

E l


44/94

La formule de Taylor-Young donne :

;

;

;

;

on obtient ainsi :

1)0(f

1)0('f)1()x1(1)x('f 2

!2)0(''f)1()x1(2)x(''f 3

!3)0()1()( )3(4)3( )1(6 fxxf

!n)0(f... )n(

En remplaant x parx on obtient :

(D2) )x(xx...xxx1x1

1 nn32

)x(xx)1(...xxx1x1

1 nnn32

(D3)

En intgrant D3 on obtient :

)x(xx)!1n(

)1(...

3

x

2

xx 1n1n

n32)x1ln(

(D4)

Exemple :

Calculer

Dveloppement limit lordre 1

x

1

)x1(lim0x

))x(xx(x

1

e)x1ln(ex

1

x

1

)x1(

(D4)

Calcul de limites

Ainsi :

car

e1e))x(1(

elim

0x 0xx

1

)x1(lim

0)x(

x31


45/94

Sance n 6

Calcul de limites Exercice

Calculer :

1. ;

2. ;

)x

x)

x

11(e(xlim

x)x

51(lim

x

3. ;

4. ;

x3)

x

11(lim

x

2

x0x2xx1e

)xsinxcosx(lim

corrig

1.

On a :

Or lorsque alors

?)x

x)

x

11(e(xlim

)x

11ln(x

ex

)x

11(

x 0x1

Or )1(1

2

11)11ln(22

Or pourt proche de 0 ( ) on a :

)(1t

0t


46/94

Or

Remarque :

Cest qui joue le rle de x ici, car

donc est proche de 0

)x

(xx2x

)x

(22

Dveloppement limit lordre 2 !!(D4)

0x

1x

1

x

1

Ainsi :

))x

1(x

1

x2

1

x

1(xex)

x

11(22

)x

1(x

1

x2

11

e

)x1(

x1

x21

ee1

Donc : ( )

)t(tt1t

e

Dveloppement limit lordre 1 !!(D1)

)x

1(x

1

x2

11

)x

1(x

1

x2

1

e

x2/1t

Par consquent :

finalement :

))x

1(x

1

x2

11(ex

)x

11(1

)x1(

x1

x2ee

))x1(

x1

x2e(x)x)

x11(e(x

Cest--dire :

))1

(e

)x)11(e(x Car lorsque05 x


47/94

Conclusion

Car

))x

(2

)x)x

1(e(x

2

e)

x

x)x

11(e(xlim

0)t(0t

lim)x

1(limx

2. :

On a :

Or :

x)x51(lim

x

)

x

51ln(x

ex

)x51(

)

x

1(

x

1

x

5)

x

51ln(

Dveloppement limit lordre 1(D4)

q

Donc :))

x

1(x

1

x

5(x

ex

)x

51(

x

Ainsi :

Car

5e

x

x)

x

51(lim

)x

1(5

ex

)x

51(

Cest--dire :

0)t(0t

lim)x1(limx

3. :x3)x

11(limx

)1(3

x31


48/94

On a :

Or :

x

)x

1

1ln(x3e

x3)x

11(

)x

1(x

1

x

1)x

11ln(

Dveloppement limit lordre 1(D4)

Car lorsque

Donc :))

x1(

x1

x1(x3

ex3

)x

11(

0x

1 x

Ainsi :

Car

3e

x

x3)

x

11(lim

xe

x3)

x

11( Cest--dire :

0)t(0t

lim)x1(lim

x

Remarque

Refaire le calcul des 3 limites

prcdente en posant au dbut :

x

1t

4. :x0x

2xx1e

)xsinxcosx(lim

Or : ;10Cos

00Si0'C


49/94

Nous avons besoin des dveloppements

limits de Cos x et Sin x lordre 3, carle dnominateur montre quil faut

dvelopper la fonction lordre 3

2

x0x xx1e

xe

Dveloppements limits lordre 3

de Cos x et Sin x


lordre 3 donne :

0''Cos!2

x0'xCos0CosCosx2

Cosx)x(f

)x(x0Cos!3

x3

3 )3(

Donc :

Cest--dire :

00Sin0'Cos

10Cos0''Cos

00Sin0Cos )3(

)x(xx0

2

xx01Cosx 33

2

)x(x2

x1Cosx 3

2

De mme pour la fonction Sinus


lordre 3 donne :

0''Sin!2

x0'xSin0SinSinx2

Sinx)x(f

)x(x0Sin!3

x3

3 )3(

Or : ;00Sin

10Cos0'Sin

)x(3/1)x(3x3/3x


50/94

Donc :

Cest--dire :

10Cos0'Sin

000'' SinSin

100)3( CosSin

)x(x1

6

3x0

2

x1x0Sinx 3

2

)x(x6

xxSinx 3

3

Par consquent :

Nous avons utiliser le D. L. de lordre 3

2

x2xx1e

xsinxcosx

)x(3x6/3x

)x(3x)6/3xx()2/2x1(x

xe

Ainsi :

)x(6/1)x(3x6/3x

2

xx1e

)xsinxcosx(lim

2

x0x

2

B. Fonctions deuxvariables relles

2me Partie du Cours

Exemples introductifsI. Une entreprise commercialise 3 produits :

Exemples introductifs


51/94

A, B et C. Le prix de vente unitaire du

produit A est 12 DH, celui du produit B est

15 DH et celui du produit C est 22 DH.

On vend une quantit x du produit A, une

quantit y du produit B et une quantit z du

produit C. La recette R(x ; y ; z) est donne

par :

R(x ; y ; z) = 12x + 15y + 22 zLa recette de cet exemple est une fonction

de 3 variables x, y et z

Exemples introductifsII. Une entreprise fabrique 2 produitsA et B.

Si x dsigne la quantit fabrique de A et

y celle de B, la recette escompte lors de

la vente de x articles de A et de y articlesde B est donne par :

R(x , y) = -3x2 -2y2 +220x +140y

Le cot duneunit de A (respectivementde B) quon note CA (respectivement CB)dpend des quantits x et y comme suit :

CA= 2x +y et CB= x +3y

a. Exprimer en fonction de x et de y le cot

c(x , y) de fabrication de x units de A etde y units de B.

C(x , y) = xCA + y CB= x(2x +y) + y (x +3y)= 2x2 +3y2 +2xy

On obtient une fonctionde 2 variablesx et y

Exemples introductifs

b. Exprimer le bnfice B(x , y) ralis lors de

la vente de x articles de A et de y articles de

B.

B(x , y) = R(x , y) c(x , y)= (-3x2 -2y2 +220x +140y)(2x2 +3y2 +2xy)= -5x2 -5y2 -2xy +220x +140y

le bnfice est une fonctionde 2 variablesx et y

Exemples de fonctions plusieursvariables


52/94

Sance n 7

Exemples de fonctions plusieursvariables

a. : 2 variables

b. : 2 variables

c. : 2 variables

xyeyxe)y,x(f

100x

y

y

x)y,x(f

xy3yx)y,x(f 33

d. : 3 var

e. :3 var

f. :4 var

zyxxyzzyxf 35),,(

)4ln(),,( 22 zyxzyxf

tzyxtzyxf 23),,,(

Remarque

1. Dans le cas de nvariables ( ), onpeut noterles variables :

x1 , x2 , x3, , xn

la fonction fest note dans ce cas :

f(x1 , x2 , x3, , xn)

5n

Remarque


y


53/94

2.On sintresse dans le cadre de ce coursaux fonctions de deux variables x et y

)y,x(fIRIR)y,x(

1. Domaine de dfinition

),( yx

IRIRf

D f

),( yxf

IR

I

Le domaine de dfinition est

un domaine duplanIR2(IR2= IR x IR)

Le plan IR2

y

x


Df

2

IRfD

Exemples

1 2)(f 22

Exemples

2 3)l ()(f 2


54/94

1. :

et on a :

est dfinie (on peut la calculer)

Donc

yx2xyyx)y,x(f 22

IRx IRy

)y,x(f2

f IRIRIRD x y


le plan tout

entier

IRIRDf

2. :

on doit avoir pour que

soit dfinie, donc

3y)yln(x)y,x(f 2

0y )y,x(f

[,0]IRDf

x y


la moiti

suprieure

du plan

Sans laxe Ox

f

D

y

x

Exemples

3 1)l ()l ()(f

Remarque

i


55/94

3. :

On doit avoir : et

pour que soit dfinie

Donc

1)yln()xln()y,x(f

0x

)y,x(f

[,0][,0]Df

0y

x y


du planSans les axes

fD

rviser :

quation dune droite dans le plan IR2

:Une droite partage le plan en3 zones..

quation dun cercle dans le plan IR2 :

Un cercle partage le plan en3 zones..

Voir TD

Exercice

Voir Exercice 1

TD, Partie 2

2. Courbesde niveaux &

SectionsExemple

:2xy)y,x(f


56/94

a) Courbes de niveaux :

Ce sont des sous ensembles du

domaines de dfinition D.

Elles correspondent des coupes

horizontales de la surface z = f(x , y)projetes sur le domaine de dfinition

D.

a) Courbes de niveaux

Dfinition

La courbe de niveau k, note Ck ou Nk,est lensemble des points du domaine dedfinition D tels que leur image f(x , y) est

gale k:

k)y,x(f/D)y,x(kC

La Courbe de niveauk : On cherche lescouples (x , y) du domaine de dfinition IR2

tels que :

y)y(

2

f IRD

k)y,x(f

La Courbe de niveauk est la parabole

dquation :

C0 : (k=0)parabole dquation

C1:(k=1) // //

C-1:(k=-1) // //

kxykxyk)y,x(f 22

kxy2

2xy

1xy 2

1xy 2

b) Sections ou abaques On fixe y : ( y = k ) et on trace la

Sections selon y


57/94

Elles correspondent des coupes

verticalesde la surface z = f(x , y)

On fixe x : ( x = k ) et on trace la

courbe z=f(k , y)dans le plan Oyz

Sections selon x

y

z

On fixe y : ( y = k ) et on trace la

courbe z=f(x , k)dans le plan Oxz

x

z

Exemple :

Domaine de dfinition :

et ou et

)xyln()y,x(f

0x0xy

[,0][,0][0,][0,]f

D

0y 0x 0y


On fixe y : ( y = -1 ) et on trace la

Section selon y = -1


58/94

fD

On fixe x : ( x = 1 ) et on trace la

courbe : z=f(1 , y) = ln y (y>0)

dans le plan Oyz

Section selon x = 1

y

z z=ln y

On fixe y : ( y 1 ) et on trace la

courbe : z=f(x , -1) = ln -x (x


59/94

f(x , y)

Selon x

)y,x(x

f

)y,x(

y

f

: Se prononce d rond

Rgle de baseLes premiers pasdans le calcul diffrentiel

Lorsquon drive par rapport une variable, lautre variable

est supposeconstante

0

000

0

00

),(),(lim),('

xx

yxfyxf

xxyxfx

x est variable et tend vers x0,alors que y est fix : y = y0

Drives partielle premire

par rapport y

0

000

0

00),(),(lim),('

yyyxfyxf

yyyxfy

x est fix : x = x0 alors que y est

variable et tend vers y0

Remarque Exemples

2 )(f 2y


60/94

Lorsquon calcule une drivepartielle, on utilise les rgles dedrivation dune fonction dune

variable relle

car une des deux variable est fixe

Exemples

1. :

Selon x Selon y

3yxyx)y,x(f 42

yx2)y,x('fx 3

y y4x)y,x('f

2. :

Selon x Selon y

yxxe)y,x(f 2y

xy2e)y,x('f yx 2y

y xxe)y,x('f

Exemples

3. :

Selon x Selon y

xy3yx)y,x(f 33

y3x3)y,x('f 2x x3y3)y,x('f 2y


61/94

Sance n 8

Drives partiellespremires

fx (x , y)

f(x , y)

fy (x , y)

Selon x Selon y

fonctions de 2variables

Une drive partielle est unefonction de deux variables xety,

on peut alors la driver son tour!

Schme de drivationf(x , y)

fx(x,y) fy(x,y)

fxx(x,y)

x

x x

y

y y

fxy(x,y) fyx(x,y) fyy(x,y)

quatre drives partielles secondes

f

Drives partielles secondesou dordre 2

1. :x y

yxxyyx3)y,x(f 32

'


62/94

fxx : On drive f2 fois par rapport x

fxy

fyxfyy

: On drive fpar rapport xensuitepar rapport y drive croise

: On drive f2 fois par rapport y

: On drive fpar rapport yensuitepar rapport x drive croise

Exercice Calculer les drives partielles

premires et secondes des

fonctions suivantes :1. ;

2. ;

3. ;

yxxyyx3)y,x(f 32

xlnyylnx)y,x(f

22 yx)y,x(f

x xy y

Remarque :

16),(' 3 yxyyxx

f 133),(' 22 xyxyxyf

yyxxxf 6),(''

236),(''),('' yxyxyxfyxxyf

xyyxyyf 6),(''

''''yxfxyf

2. :x

x x

y

y y

Remarque :

xyyyxxf /ln),(' xyxyxyf ln/),(

'

2/),('' xyyxxxf

yxyxyxfyxxyf /1/1),(''),(''

2/),('' yxyxyyf

''''yxfxyf

xlnyylnx)y,x(f

3. :x y

22),( yxyxf Remarque

b) Une fonction de deux variables


63/94

x

xy

y

22

/),(' yxxyxxf

3)(/'''' 22 yxxyyxfxyf

22

/),('

yxyyxyf

3)(/'' 222 yxyxxf 3)(/'' 222 yxxyyf

Remarquea) Thorme de Schwartz

Sifest une fonctionde classe C2

alorsles drives secondes croises

sont gales :

Toutes les fonctions conomiquesconsidres dans ce cours vrifient leThorme de Sc hwar tz

''''yxfxyf

b) Une fonction de deux variables

admet :

1. 2drives partielles dordre 1 premires 2. 4drives partielles dordre 2

3. 8drives partielles dordre 3

4. 16drives partielles dordre 4 etcn. 2ndrives partielles dordre n

4. Quelques dfinitions

Dfin it ion

festhomogne de degr klorsque :

et

a) Les fonctions homognes :

fDyx ),( 0

),(),( yxfkyxf

Exemples1. :225),( xyyxyxf

3. :55),(

yx

yyxf


64/94

Soit , on a :022 ))(()()(5),( yxyxyxf 23235),( xyyxyxf

),()5( 3223 yxfxyyx

festhomogne de degr 3

2. :

Soit , on a :

22),(yx

xyyxf

0

222222

))((),(

yx

xy

yx

yxyxf

),(0

),(),( yxfyxfyxf


Soit , on a :0

5555554),(

yx

y

yx

yyxf

),(4),( yxfyxf

festhomogne de degr -4

4. :

Soit , on a :

Sion prendparexemple et

On obtient :

1),( yxxyyxf

0

1),(2

yxxyyxf

9)2,2()12,12( ff

fnest pas une fonction homogne

2 1,1 yx

)1,1(2)12,12(4)1,1( fff

Rgle Prat ique

Exemple

225),( xyyxyxf


65/94

Pour montrer que festhomogne (ou nonhomogne), on peut utiliser :

La dfinitionou

Le Thorme dEuler

Thorme dEuler

festhomogne de degr k

),(),(),( '' yxyxyyxx fkyfxf


x y

210),(' yxyyxxf xyxyxyf 25),(' 2

22 315),('),(' xyyxyxyyfyxxxf

),(3),('),(' yxfyxyyfyxxxf

On a :


1. Cas dune fonction dunevariable :

Llasticit de fest par dfinition :

b) Elasticits

)(

)('

),( xf

xxf

xfeE

x

f

Exemple

2)( 2 xxxf

Exemples225),( xyyxyxf

x

1. :


66/94

)(f

Exemple :

On a :

2

2

2

)12(

)(

)('),(

2

2

2

xx

xx

xx

xx

xf

xxfxfe

25)2,( fe

fx (x , y)

f(x , y)

fy (x , y)

2. Cas dune fonction de deuxvariables

),(

),('

),(yxf

yxx

xfxfe

),(

),('

),(

yxf

yxy

yfyfe

Elasticit partielle

par rapport xElasticit partielle

par rapport y

x

210),(' yxyyxxf

22

22

5

10

),(

),('

),( xyyx

xyyx

yxf

yx

x

xf

xfe

225),( xyyxyxf y

22

22

5

25

),(

),('

),(xyyx

xyyx

yxf

yxy

yfyfe

xyxyxyf 25),(' 2

Ainsi225),( xyyxyxf

x y

99,001,0),( yxyxf y


67/94

y

22

22),(

5

10

xyyx

xyyxxfe

22

22),(

5

25

xyyx

xyyxyfe

Exemple : x = 1 ; y = 1

4/9),( xfe 4/3),( yfeet

Exemples99,001,0),( yxyxf x

99,099,001,0),(' yxyxxf

01,001,0

),(

),('

),(99,001,0

99,001,0

yx

yx

yxf

yxx

xfxfe

2. :

y

01,001,099,0),(' yxyxyf

99,099,0),(

),('

),( 99,001,0

99,001,0

yxyx

yxf

yx

y

yf

yfe

Ainsi

x y

99,001,0),( yxyxf

99,0),( yfe01,0),( xfe

Dune manire gnrale



68/94

x y

),( yfe),( xfe

ykxyxf ),(

Sance n 9

c) Diffrentielle totale

dyyxyfdxyxxfdf yx ),('),('

0000),(00

Dfin it ion

La diffrentielle totale de fau point

(x0 , y0) avec les accroissements dxet dyest la quantit :

Exemple

)()( 22 yxxyxyyxyxf

Interprtation

(x0+dx,y0+dy)


69/94

)(),( yxxyxyyxyxf

Calculerla diffrentielle totale de faupoint (20,30) avec les accroissements

dx = 1 et dy = -1

Rponse

Or :

,

,

)1()30,20('1)30,20(')30,20(

yfxfdf

500)1(160012100)30,20( df

2100)30,20('2),(' 2 xx fyxyyxf

1600)30,20('2),(' 2 yy fxyxyxf

(x0,y0)

dxdy

Question :Lorsque x subit une lgre variation dxou (on passe de x0 x0+dx) et y subit

une lgre variation dy ou (on passe dey0 y0+dy) , de combien varie la fonction

f ?

xy

?f

Rponse1. Calcul direct :

2. Valeur approche :

),(),(0000yxfdyydxxff

),(00yx

dff

ExempleSoit la fonction U(appelefonctiondutilit)donne par :

Rponse

2. Valeur approche :


70/94

3/23/1),( yxyxU CalculerU(x,y) pourx=8 et y=1

De combien variela fonction dutilit Usi x augmente de dx=0,1 et y diminue de

dy=0,01

(Utiliserdeuxmthodes)

Rponse1. Calcul direct :

On a :

; ; ;

);();(0000yxUdyydxxUU

)1;8()99,0;1,8( UU

..299,01,8 00511,03 23

80x 1

0y

1,0

dx 01,0

dy

avec les accroissements

)1,8(dUU

01,01,0

dydx

)01,0()1,8('1,0)1,8(')1,8(

yUxUdU

;

;

Donc :

Cest--dire :

On obtient ainsi :

12

1)1,8('3

1),(' 3/23/2 xx UyxyxU

3

4)1,8('

3

2),(' 3/13/1 yy UyxyxU

)01,0(3/4)1,0(12/1)1,8(

dU

005,0)1,8(

dU

005,0U

Quelques Interprtations

Economiques

Le salaire Sdun employ a t

a gment de 5%

Exemple


71/94

Variation &

Variation relative

Le salaire Sdun employ a t

augment de 1300 DH

On parle ici de variation du Salaire :

Le nouveau salaire est :

Exemple

1300' SSSS

1300S

augment de 5% :

On parle ici de variationrelative du

Salaire :

Le nouveau salaire est :

SS

%5

SSSSSS 05,105,0'

%5

S

S

A. Casdune fonction conomique dune variable

0

0

0

0

)()(lim)('

xx

xfxf

xx

xf

Variat ion de f :On rappelle que :

Lorsque ; (fest continue)

On note : et

que lon appelle respectivement diffrentielle

0xx )()( 0xfxf

)()(0

xfxfdf 0

xxdx

En pratique

si la variation que subit x est faible :

la variation subit par la fonction f est faiblex


72/94

q pp p

de fet diffrentielle de x, on a donc :

ou encore

Exemples :

;

.

dxdf

xf )(' dxxfdf )('

dxx

dfxxf2

1)(

dxx

dfx

xf2

11)(

Notations

dx : Variation infinimentpetite de x

: Variation infinimentpetite de f

: Variation trspetite faible de x

: Variation trs petite faible de f

df

x

f

la variation subit par la fonction fest faible

et on a :

Remarque :dans la formule

nous avons remplac :

par et par

xxff )('

dxxfdf )('

dx x df f

Le cot global de la fabrication dun

bien en quantit x est donne par laformule :

Pour une quantit x=10 (par exemple) :

2250)( xxC

150100250)10( C

Exemple

Calculons lcart (de 2 faons diffrentes)rsultant dune augmentation 1x

A retenirSi x subit une faible variation , unex


73/94

1) Calcul direct :

donc

12912125011250)11( 2 C

21150129)10()11( CCC

2) Valeur approche : en appliquant la

formule :

On obtient :

xxCC )('

)1()20(2)(' CxxC

20C

valeur approche de la variation de fest donne par la formule : f

xxff )('

On a :

Llasticit de fau pointx est :

Variat ion relat ive

x

fxfxxff

)(')('

xx

f

f

xfexf

x

fx

xf

xxfxfe

),()()(

)('),(

Elasticit de fau point x :

xf

f

xfe

),( xxfef ),(

Exemple

La quantit distribue baiss de 2%(980 units ont t distribues au lieu de 1000)


74/94

x

x

f

f

x

x

reprsente la variation relative def

reprsente la variation relative dex

xf

Exemplef(x) reprsente une fonction conomique

dpendant de la quantit xdun biendistribu.

On suppose connaitre la valeur de fpourune quantit x=1000 et que llasticit enx=1000 est : e(f,1000) = 5.

(980units ont t distribues au lieu de 1000),

cela entrainera une variation relative de f:

fa baiss denviron 10%

%10%25),(

x

xxfe

f

f

A retenirSi x subit une faible variation relative

, une valeur approche de la

variation relative de fest donne parla formule :

dsigne llasticit de fau point x

xx/

xxxfe

ff ),(

),( xfe

B. Casdune fonction conomique de deux

variables

A retenirSi x subit une faible variationet y subit une faible variation ,

xy


75/94

Variation de f :

Nous avons vu que :

Cest--dire :

),(00

yxdff

dyyxyfdxyxxff ),('),('

0000

En pratique : si la variation que subit

x est faible et la variation que subit

y est faible : la variation subit par la

fonction fest faible et on a :

Voir exemple prcdent paragraphe 4 c) : diffrentielle totale

xy

yyxyfxyxxff ),('),('

0000

une valeur approchede la variationde fest donne par la formule :

y

yyxyfxyxxff ),('),('

0000

On a :

En divisant parf(x,y) :

Variat ion relat ive

yyxy

fxyxx

ff ),('),('

yyxf

yxf

xyxf

yxf

f

f yx ),(

),('

),(

),('

On fait apparatre les variations

relatives de x et de y :

Exemple

f(x,y) reprsente une fonction


76/94

y

y

yxf

yxyf

x

x

yxf

yxxf

f

f yx ),(

),('

),(

),('

y

yyfex

xxfef

f ),(),(

Variation relative de f

f

f

x

x

reprsente la variation relative def

et reprsentent les variations relatives

dexet de y

y

yyfex

xxfef

f ),(),(

y

y

),( xfe ),( yfe et reprsentent les lasticitspartielles par rapport xet y

conomique dpendant de deuxquantits x et y de deux biens fabriqus.

On suppose connaitre la valeur de fpourune quantit x=1000 et y=500. Supposons

aussi que les lasticits partielles en x=1000et y=500sont: e(f, x) = 5 et e(f, y) = 3

Exemple Suite un incident technique, la fabrication

des deux biens a lgrement vari : x a

diminu de 4% et y a augment de 5%.

Quelle variation cela entrainera sur la fonctionconomique f?

la fonction conomique fsubira une baissedenviron 5%

%5%53%)4(5 f

f

A retenirSi x subit une faible variation relative

et y subit une faible variationxx/


77/94

relative , une valeur approchede la variation relative de fest donnepar la formule :

yy/

y

y

yfex

x

xfef

f ),(),(

Suite du Cours

Fin delinterprtation

Economique

Sance n 10

d) Hessien de f


Rappel : dterminantdordre 2

bcaddb

ca

Dfin it ion

Le Hessien de f au point (x y)

x y

32),( xyyxyxf

32),(' yxyyxxf 22 3),(' xyxyxyf


78/94

Le Hessien de f au point (x , y)est la quantit :

),(),(

),(),(),(

''''

''''

yxyx

yxyxyx

f

yyyx

xyxx

ff

ffH

Exemple

Soit la fonction

Calculerle Hessien de faux points (0;0),(1;2) et (-2;1)

32),( xyyxyxf

x xy y

)( yyyxf y

yyxxxf 2),(''

232),(''),('' yxyxyxfyxxyf

xyyxyyf 6),(''

DoncLe Hessien de f au point (x, y) estdonn par :

xyyx

yxyH yxf 632

3222

2),(

Ainsi

;

00000

)0,0( f

H

Remarque

Maximum


79/94

;

;

0014810048

1210

104)2,1(

fH

254924127

72)1,2(

fH

5. Optimisation

Ou

Recherche dExtrema

ExtremaOu

Extrmums

MAX

Minimum

MIN

Ou

Soit f(x , y) une fonction de deux variables

dfinie sur un domaine D

( )

On cherche les couples (x , y)

qui rendent fmaximale ou minimale

2),( IRDyx

Problme

Extrmum local ou globalPlus grand

On checrche les extrmums locaux

a) Extrmumslocaux libres


80/94

Max

local

Max

local

Max

local

Max

global

Minlocal Min

globalMin

local

Plus petit

Un maximum global(sil existe) est

unpoint (x0,y0) du domaine D qui vrifie :

:

Un minimum global(sil existe) est

unpoint (x0,y0) du domaine D qui vrifie :

:

Dyx

),(),(),(

00yxfyxf

Dyx ),( ),(),( 00 yxfyxf

de la fonction fsachant quil n y a aucune

contrainte sur les variables x et y :

on dit que les variables x et y sont

indpendantes ou libres

On parle alors dxtrmums libres

de la fonction fsur le domaine D

Mthode suivre

I. Etape 1 : Recherche des candidats

II. Etape 2

Nature des candidats


81/94

Remarque : On dit aussi points critiques oupoints stationnaires

Ce sont les couples (x , y) solutions dusystme :

S :

0'0'

),(),(

yxyx

y

xff

On doitrsoudre le systme Stape un

peu difficile !et donner ses solutions :

(x0, y0) ;(x1, y1) ;(x2, y2) ;etc...

Les couples (x0, y0) ;(x1, y1) ;(x2,y2) ... sontles candidats ( ...pour treextrmums), ou les points critiques de la

fonction f(on dit aussi :points stationnaires de f)

Max

Min

II. Etape 2Nature des candidats

Point-selleNi Max

Ni Min

II. Etape 2Nature des candidats

ColNi Max

Etape 2 : Nature des candidats

Si Hf(x0 , y0) pas dextrmum en (x0 , y0)0


82/94

Ni Min


On calcule le Hessien de fpourchaquecandidat.

Soit (x0 , y0) un candidat issu de ltape 1 :

),(),(

),(),(

),(0000

0000

00 ''''

''''

yxyx

yxyx

yxf yyyx

xyxx

ff

ff

H

Ni Max ni Min

Il sagit dun Col ou un point-selle en (x0 , y0)

Si Hf(x0 , y0) fprsente un extrmumen (x0 , y0)0

Pour savoir sil sagit dun Maxou dun Min, onregarde le signe de la drive secondepar

rapport x(ou par rapport y) :

Si :fprsente un Maximumen (x0 , y0)

Si :

fprsente un Minimum en (x0 , y0)

0),( 00'' yxxxf

0),(00

'' yxxxf

3me cas : On ne peut pas conclure

Si Hf(x0 , y0) :0

RponseI. Etape 1 : Recherche des candidats

On doit rsoudre le systme :


83/94

Dans ce cas, on ne peut rien conclure

Remarque : Dans ce cas, on peut faire appel

dautres mthodes : Des estimations locales

de la fonction au voisinage du point (x0 , y0)par exemple. VoirTD : Partie 2 - Exercice 3

Exemple 1Soit la fonction :

Trouver les extrmums locaux de

la fonction f

yxxyyxyxf

936934322),(

S :

Nous avons un seul candidat: le couple (7, 9)

0'0'

),(

),(

yx

yx

y

x

f

f

00

9338

6936

xy

yx

9

7

9383

6936

y

x

yx

yx

RponseII. Etape 2 : Nature des candidats

On calcule le Hessien de fau point (7 , 9) :

),(),(

),(),(),(

''''

''''

yxyx

yxyxyx

fyyyx

xyxx

ff

ffH

3983

36),(

yxfH

RponseLe Hessien de fne dpend ici de (x , y), nous

avons alors au point (7 , 9) :

Exemple 2

Soit la fonction :


84/94

fprsente donc un extrmum au point(7 , 9)

Pour savoirsilsagitdunMax ou dunMin, onregarde le signe de la drive seconde par

rapport x :

039)9,7( fH

Rponse

fprsente donc un Max imum local aupoint(7 , 9)

La valeur de ce maximum est :

06)9,7(''6),('' xxxx fyxf

660)9,7( f

Trouver les extrmums locaux de

la fonction f

333),( yxxyyxf



S :

0'0'

),(),(

yxyx

y

x

ff

00

)(3

)(32

2

yx

xy

42)

2(

2

2

2

xxx

xy

yx

xy

Etape 1 : Recherche des candidats

S

22

xyxy

RponseOn regarde le signe de la drive seconde de f

par rapport xau point (1 , 1) :


85/94

Nous avons icideux candidats (0, 0) et (1, 1)

00 )31(4 xxxx

11

002

....

.... 10 yx

yx ou

xouxxy


On calcule le Hessien de faux points (0,0), (1,1) :

pas dextrmumen (0,0)

pas d

Extrmumen (1,1)

y

xyxH

f 63

36),(

0903

30)0,0(

fH

027936

63

36)1,1(

fH

fprsente donc un Max imum local aupoint(1 , 1)

La valeur de ce maximum est :

06)1,1(''6),('' xxxx fxyxf

1)1,1( f

Sance n 11 Dernire Sance

On checrche les extrmums locaux

b) Extrmumslocaux lis z

Surface

z=f(x ,y)

MaxMax

Min


86/94

de la fonction fsachant que les variablesx et y sont lies parune quation

appele contrainte

Contrainte : 0),( yxg

On parle alors dxtrmums de

la fonction fsur le domaine D lis parla

contrainte

Le problme est plus simple que

celui des extrmums libres :

0),( yxg

x

y (x , y) vrifiant la contrainte

Df

x

y

zMax

Max

Min

0),( yxg

Deux mthodes :

I Mth d d b tit ti

Exemple

Chercher les extrmums de la fonction :

223)(f


87/94

I. Mthode de substitutionOu

II. Mthode du multiplicateur

de Lagrange

I. Mthode de substitution

A partirde la contrainte ,on exprime yen fonction de x(ou xen

fonction de y) et on remplace dans lafonction f(x, y)

On obtient alors une fonction dunevariable relle :

on cherche ses extrmums

0),( yxg

Sous la contrainte

223),( yxxyyxf 2yx

On pose :

contrainte

,

on remplace y par sa valeur dans f (x,y) :

2),( yxyxg

Rponse

xyyxg 20),(

Rponse

)2,(),( xxfyxf

22

La fonction hprsente un extrmum en x=1

Rponse

1

1

121

x


88/94

On obtient une fonction dune variable : h(x)

)(4105 2 xhxx

22 )2()2(3 xxxx

On cherche les extrmums de la fonction h(x) :

Rponse

)1(101010)(' xxxh

x 1 h(x)

h(x)

+ 0_

1

Max

Conclusion

La fonction fprsente un seul extrmum sous

la contrainte :un Maximum en(1 , 1)

1121 yxyx

2

yxLa valeur de ce maximum est : 1)1,1( f

Remarque

On utilise la mthode de substitution

lorsque la contrainte g permet dexprimerfacilement y en fonction de x (ou x en

fonction de y)

II. Mthode de Lagrange

On intgre la contrainte dans le

bl id l f i d

Etape 1 : Recherche des candidats

On commence par rsoudre le systme :

0)(' L


89/94

problme en considrantla fonction deLagrange 3 variables suivante :

),(),(),,( yxgyxfyxL

est le multiplicateurde Lagrange

II. Mthode de Lagrange

On cherche alors les extrmums libres de la fonction L :

Deux tapes :

Recherche des candidatsNature des candidats

Problme 3 variables !!

S :

Les solutions (x1, y1, ) ;(x2, y2, ) ...du systme Ssontles cand idats

0),,(

0),,(

0),,(

'

''

yx

yx

yx

L

LL

y

x

1

2


On calcule le Hessien de L pourchaquecandidat.

Soit (x1 , y1 , ) un candidat issu de ltape 11

HL (x1 , y1 , )1

''''''

''''''

)(

LLL

LLL

H

xxyxx

3me cas : On ne peut pas conclure

Si H ( ) 0


90/94

''''''

''''''),,( 111

LLL

LLLyxLH

yx

yyyyx

Calcul au point(x1 , y1 , )1

Si HL (x1 , y1 , )

fprsente un Maximumen (x

1, y

1)

Si HL(x1 , y1 , )

fprsente un Minimum en (x1 , y1)

01

01

Si HL (x1 , y1 , )

Dans ce cas, on ne peut rien conclure

1 0

ExempleSoit la fonction :

Chercherles extrmums de fsous lacontrainte :

5),( yxyxf

122 yx

On pose :

La fonction de Lagrange est donne par :

1),( 22 yxyxg

Rponse Egalit des deux premires quations :

O l d l 3me ti

yxyx 2/12/1


91/94

La fonction de Lagrange est donne par :

),(),(),,( yxgyxfyxL

)1(5 22 yxyx



S :

0100

2221 21

yxyx

0),,(

0),,(

0),,(

'

'

'

yx

yx

yx

L

L

L

y

x

012/1

2/1

22 yx y

x

On remplace dans la 3me quation :

2

2121 222 xxyx

carx=yet

et

2

2

2

2 yx2

2

2

1 x

2

2

2

2 yx2

2

2

1 x

Nous avons doncdeuxcandidats :

a ec)22

(

2

On obtient :

y

xx

y

yyx

LH

22

202

02

222),,(


92/94

avec

etavec

)2,2(

)

2

2,

2

2(

2

2

2


Calcul du Hessien de L :

Endveloppant suivant la 1re

ligne par exemple :

1

022

220

202

),,(

yx

y

x

yxL

H

yy 2202 22 88 xy

)(8 22 yx

Ainsi :

:

Maximum en

:

Minimum en

02

28)

2

2,

2

2(

LH

)2/2,2/2(

02

28)

2

2,

2

2(

LH

)2/2,2/2(

Conclusion

La fonction fprsente deuxextrmums sousla contrainte :122 yx

Exemple

O id l f ti d i bl

Cas simple Une variable


93/94

la contrainte :

Un Maximum en

Un Minimum en

122 yx

)

2

2,

2

2(

)

2

2,

2

2(

6. Fonction compose

On considre la fonction deux variables

suivante :

On pose :

Calculer

223),( yxxyyxf

)2,1()( 2 ttftF

)(' tF

1) Mthode directe :

On calcule puis on drive :

Rponse

)2,1()( 2 ttftF)(tF

2222 )2()1()2)(1(3 tttt

11863 234 tttt81294)(' 23 ttttF

2) Formule de drivation

))()(()( tvtuftFOn pose :

823)(2)(3' 2))(),(( tttutvf tvtux

732)(2)(3' 2))(),(( tttvtuf tvtuy

Ainsi : ,

,


94/94

))(),(()( tvtuftF On pose :avec et

On a alors :

)('))(),(())(),(()(' ')('' tvtvtutvtutF yx ftuf

1)( ttu 2)( 2ttv

Cette formule de drivation fait intervenirles drives partielles de f:

22),(3 yxxy

yxf x y

xyyxfx 23),(' yxyxfy 23),('

On applique la formule :


ttt tt 21)8223( )7322(

81294 23 ttt

A retenir

))(),(()( tvtuftF On considre la fonction une variable

dfinie par :

o fest une fonction de deux variables

notes x et y:(x , y) f(x , y)

On a alors :


Documents

la Fonction a (Un & Deux) Variables Réelles