La géométrie tropicaleprésentée par

Le lycée d'Altitude de Briançon

Le lycée Saint-Louis de Stockholm

Le collège Fontreyne de Gap

On définit deux nouvelles opérations :

a b = min{a;b} a b = a+b

Par exemple :

Les propriétés des Les propriétés des opérations tropicalesopérations tropicales

II/ Les éléments neutres/ Les éléments neutres

Exemple : a×1=a

Pour la multiplication tropicale,

a b = a+b

II/ Les éléments neutres/ Les éléments neutres

Pour l'addition tropicale,

a b = min{a;b}

IIII/ La multiplication tropicale/ La multiplication tropicale

a b = a+b

On peut changer l'ordre des facteurs d'un produit.

Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on peut placer des parenthèses où on veut.

IIIIII/ L'addition tropicale/ L'addition tropicale

a b = min{a;b}

On peut changer l'ordre des termes d'une somme.

a b =b a

Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut placer des parenthèses où l'on veut.

(a b) c = a b c)

IVIV/ La division tropicale/ La division tropicale La division tropicale correspond à la soustraction que l'on connaît.

On ne peut pas changer l'ordre des nombres dans une division.

S'il y a plusieurs divisions successives, on ne peut pas mettre des parenthèses où l'on veut.

VV/ La soustraction tropicale/ La soustraction tropicale

La soustraction tropicale n'existe pas.

VII/ Les fractions tropicalesVII/ Les fractions tropicales

ab = a+b

VIII ) Les carrés et les identités remarquables de la géométrie tropicale

Nous prendrons d’abord le carré tropical : x ’²’

x’²’ = x x ⊗ x’²’ = x + x = 2x

Exemple : 4’²’ = 4 4 ⊗ 4’²’ = 4 + 4 = 8

A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:

PROPRIETE : soit n un entier naturel

x ’n’ = x x … = x + x … = nx⊗

n fois n fois

VIII ) Les identités remarquables de la géométrie tropicale

Voyons l’identité remarquable (a+b)²

(a b)’²’ = min {a ; b} min ⊗ {a ; b} = min {a ; b} + min {a ; b} = 2 x min {a ; b}

A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale:

PROPRIETE : soit n un entier naturel

(a b)’n’ = an bn

VIII ) Les racines n- ièmesOn sait que : x '^' 2 = 2 × x

VIII ) Les racines n- ièmes Si on prend un entier naturel n : on a 'RACINEn'( x '^' n ) = x. Donc 'RACINEn'(x) = x / n.

Représentations graphiques : 1er et 2nd degré

1er degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax) b

Droite en deux morceauxÉquivalent à y = min { a + x ; b }

Morceau constant

Morceau croissant

Point De Cassage

1er degré - Partie Croissante

Le morceau croissant correspond à la partie de l’équation y = a + x tant que x ≤ b-a

La droite a un coefficient directeur de 1

1er degré - Point de Cassage

Le point de cassage est le point où la fonction devient constante

On peut déterminer les coordonnées de ce point. En effet, son abscisse est solution de l’équation a+x=b. Or a+x=b x = b-a.On en déduit donc les coordonnées de ce point : (b – a ; b).

1er degré - Partie Constante

La fonction est constante

1er degré – Aspect algébriqueOn peut déterminer les solutions de l’équation : y = axb qui équivaut à y = min{a+x ; b}

Le résultat sera a+x si a+x < b pour x Є ] -∞ ; b-a[

Le résultat sera b si a+x > b pour x Є [ b-a ; +∞[

(b - a ; b)(b - a ; b)= (3 – 2 ; 3)= (3 – 2 ; 3) = (1 ; 3)= (1 ; 3)

Exemple : (2 x) 3

2nd degré - Les 2 sortes de droitesPour le 2nd degré, il existe deux sortes de

courbes : une en deux morceaux et une en trois morceaux.

Nous avons cherché à savoir quand nous avions deux morceaux et quand nous en avions trois.

Nous avons donc décomposé une équation du type y = (ax²)(bx) c en trois parties : ax² ; bx et c.

2nd degré – Exemple 1 : y = (3x²)(5x) 10

2 Points de Cassage,

Il y a trois morceaux

2nd degré – Exemple 2 : y = (3x²)(5x) 7

1 Point de Cassage,

Il y a un deux morceaux

2nd degré – Nombres de morceauxNous avons trouvé que lorsque les deux

premières droites se coupent en un point dont l’ordonnée est supérieure ou égale à b il y aura 2 morceaux , sinon il y aura trois morceaux.

2 morceaux 3 morceaux

L’ordonnée L’ordonnée est inférieure est inférieure à bà b

L’ordonnée L’ordonnée est supérieure est supérieure ou égale à bou égale à b

2nd degré – Représentation graphique Cas général : y = (ax2)(bx) c

Droite en 3 parties

Équivalent à y = min ( a+2x ; b+x ; c )

PartieConstante

Point de Cassage 2

Point de Cassage 1

Partie croissante 1 Partie croissante 2

2nd degré –Partie croissante 1

Correspond à la partie de l’équation y = a+2x tant que x>b-a

Son coefficient directeur est 2

2nd degré – Point de Cassage 1

Ses coordonnées sont ( c-a ; b-a)

2nd degré – Partie croissante 2

Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a<x<c-b

Son coefficient directeur est 1

2nd degré – Point de Cassage 2

Ses coordonnées sont (c - b; b)

2nd degré – Droite constante

La fonction est constante

Loi générale sur les polynômesSi on a le polynôme tropical : P(x)= (an xn) (an-1 xn-1) … (a1 x) a0

Il équivaut à : P(x) = min {an + nx ; an-1 + (n-1)x ; … ; a1 + x; a0}

Graphiquement, on obtient unesuccession de droites avec des pentes décroissantes de n à 0.

Premier problème de géométrieSoit une droite d et un point A extérieur à la

droite d. Peut-on tracer une droite parallèle à d passant par A ?

Deuxième problèmeSi on prend deux points du plan. Peut-on

tracer une droite passant par ces deux points ?

Si le point B est dans une zone verte, il n'existe pas de droite (tropicale) passant par A et B

Si le point B est sur une des droites bleues, il existe une infinité de droites (tropicales) passant par A et B

Si le point B est dans une zone jaune, il existe une droite (tropicale) passant par A et B