La Matrice de Transfert du Modèle d’IsingPrédoctorat (Épreuve Orale)

Alexi MORIN-DUCHESNE

Centre de Recherches MathématiquesUniversité de Montréal

20 Janvier 2010

Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising

Introduction

Le modèle d’Ising en une dimension

N

2

1 Sur chaque site i , un spin σi , ∈ {+1,−1}, quiinteragit avec ses voisins immédiats uniquement ;

Conditions aux frontières périodiques : σN+1 = σ1 ;

L’énergie d’une configuration est donnée parE (σ) = −J∑〈i ,j〉 σiσj où 〈i , j〉 indique que i et jsont plus proches voisins ;

La fonction de partition : Z =∑

σ e−E(σ).

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Introduction

La matrice de transfert en une dimension

L’interaction entre spins est décrite par une matrice de transfert :

entre spins voisins :(

eJ e−J

e−J eJ

)T(J) =

+

−

+ −

.,entres spins quasi-voisins :

(e2J + e−2J 2

2 e2J + e−2J

)T2(J) =

+

−

+ −

=(T(J)

)2,

entre spins distants de N : TN(J) =(T(J)

)N. N

2

1

ZN = T (J)N+,+ + T (J)

N−,− = Tr

(T (J)N

)= λN1 + λ

N2 .

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Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions

Le modèle d’Ising en deux dimensions

K

L

Sur le réseau carré, chaque spin aquatre (4) voisins immédiats ;

Nous travaillons sur un ruban, avec desconditions aux frontières périodiquesdans une direction, libre dans l’autre ;

Anisotropie (K , L) des intéractions ;

E (σ) = −K ∑(K)〈i ,j〉 σiσj − L∑(L)〈i ,j〉 σiσj ;

Z =∑

σ e−E(σ).

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Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions

Transition de phase et température critique

Il y a une transition de phase lorsque sinh(2K ) sinh(2L) = 1.

I

IIIII

K

L

I II III

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Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions

Matrice de transfert en deux dimensions

La matrice de transfert TN(K , L), de dimensions 2N × 2N :

ξ0 ξ1

σ1

σ ′1

ξ2

σ2

σ ′2

ξ3

σ3

σ ′3

ξ4

σ4

σ ′4

K

K

L

L

K

K

L

L

K

K

L

L

K

K

L

L

ϕ

φ

φ ′

T4(K, L)

Comme une dimension, la fonction de partition s’écrit :

ZN,M(K , L) = Tr((

TN(K , L))M)

=∑2N

i=1 ΛMi (K , L).

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Chapitre 1 Solution du modèle d’Ising en deux dimensions

Résultats en deux dimensions

Dans la suite de ce chapitre, nous faisons un long calcul ettrouvons :

Toutes les valeurs propres au point critique ;

Le comportement de l’énergie libre par spin lorsque N →∞ ;Le comportement asymptotique de la fonction de partition :

ZN,M(u) = Λ0∏

n∈2Z+1(1 + qn) où

- u est l’anisotropie au point critique ;- Λ0(N) est la valeur propre maximale ;

- q = exp[−MNπ sin(4u)

2 ].

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Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins

L’algèbre de Temperley-Lieb AN(√

2)

Soit l’ensemble des graphes reliant deux rangées de 2N points,sans croisements :

, , , , ,

L’algèbre de Temperley-Lieb, AN(√

2), est l’ensemble descombinaisons linéaires de ces connectivités, avec ce produit :

=√

22

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Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins

Une représentation matricielle de AN(√

2)

L’ensemble, BN , des façons de relier 2N points (par le haut) :

B2 =

{

, , , , ,

}

L’action de AN(√

2) sur l’espace qu’engendre BN

=√

2

nous donne une représentation de cette algèbre :

ρ

( )=

0 0 0 0 0 0√2 1 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0√

2 1 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

.

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Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins

La matrice double-ligne DN(√

2, u)

D2(√

2, u) =

u u u u

π4 − u

π4 − u

π4 − u

π4 − u

où u = sin(π4 − u) + sin(u)

Résultat du chapitre 2 : avec la matrice double-ligne on peutcalculer la fonction de partition :

ZN,M(u) = Tr(TMN (u)) = Tr

(Q × ρ

(DMN (√

2, u)))

Q =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 −1

ρ(D2) =

a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a260 0 a33 a34 a35 a360 0 a43 a44 a45 a460 0 a53 a54 a55 a560 0 0 0 0 a66

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Chapitre 2 Les modèles de boucles et leur relation avec les modèles de spins

La matrice double-ligne DN(√

2, u)

D2(√

2, u) = ... +√

22

sin(u)3 sin(π4 − u)5 +...

où u = sin(π4 − u) + sin(u)

Résultat du chapitre 2 : avec la matrice double-ligne on peutcalculer la fonction de partition :

ZN,M(u) = Tr(TMN (u)) = Tr

(Q × ρ

(DMN (√

2, u)))

Q =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 −1

ρ(D2) =

a11 a12 a13 a14 a15 a16a21 a22 a23 a24 a25 a260 0 a33 a34 a35 a360 0 a43 a44 a45 a460 0 a53 a54 a55 a560 0 0 0 0 a66

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Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro

Les transformations conformes

Dans la limite N → ∞, il sembley avoir une invariance conforme ! Lestransformations conformes (dans leplan complexe) peuvent être :

globales : translations, rotations,dilatations, SCTs ;

locales :

� f (z , z̄) = f (z) = ∑k∈Z ckzk� f (z , z̄) = f (z̄) = ∑k∈Z dk z̄k

générées par :

� Li = z i+1 ddz� L̄i = z̄ i+1 ddz̄

z

f(z) = ln(z)

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Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro

Tableau comparatif

Atome de H Modèle d’Ising

Invariances Rotations 3D Transf. conformes 2DGénérateurs Lz , L+, L−

(su(2)

)Li , i ∈ Z

(Virasoro

)

Hamiltonien ∼ L2 ∼ L0Vecteur de p.h.p. |l ,−l〉 vh

l

l − 1

−l + 1

−l

.

.

.

L−

L+

h

h + 1

h + 2Li0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Représentationgraphique

Z∑∞

l=0(2l + 1)ql(l+1) χh=0(q

2) + χh= 12(q2)

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Chapitre 3 Les représentations irréductibles de l’algèbre de Virasoro

Les caractères des représentations irréductibles

Le caractère d’une représentation R d’un opérateur L :

χR(L)(z) =∑

i

zλR(L),i

Les caractères (de L0) des trois représentations irréductibles,unitaires de l’algèbre de Virasoro sont :

χh=0(q2) = 12

(∏n impair (1 + q

n) +∏

n impair (1− qn))

χh= 12(q2) = 12

(∏n impair (1 + q

n)−∏n impair (1− qn))

χh= 116

(q2) = (q2)1

16∏

n pair (1 + qn)

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Conclusions

Retour et ouverture

Les principaux résultats exposés dans le mémoire sont :

Le spectre de la matrice de transfert en deux dimensions aupoint critique ;

Le lien entre le modèle de boucles et celui de spins ;

Les caractères des représentations irréductibles de l’algèbre deVirasoro, qui reproduisent la fonction de partition du modèlede boucles.

Des questions encore ouvertes :

Diagonaliser DN(β, u) et comprendre sa forme de Jordan ;

Comprendre les représentations non unitaires et lesreprésentations non diagonalisables de l’algèbre de Virasoro etcomment elles interviennent dans DN(β, u).

Alexi MORIN-DUCHESNE La Matrice de Transfert du Modèle d’Ising

IntroductionIntroduction

Chapitre 1Chapitre 1

Chapitre 2Chapitre 2The Standard Model of Linear Space

Chapitre 3Chapitre 3The Standard Model of Linear Space

ConclusionsConclusions