OLYMPIADES DE PHYSIQUE 2006-2007

LA MECANIQUE

DE LA PLUIE

ESCOLA Célia, LAPORTE Romain, LUX François-Xavier, MOURGUES Lucie

Responsables du projet Christophe Lagoute, Evelyne Cancellara

Lycée Bellevue, Toulouse

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SOMMAIRE

I. Recueillir les gouttes de pluie

1. Impact d’une goutte d’eau sur une surface 2. Produire des gouttes de différents volumes 3. Dispersion des tailles des gouttes à l’impact

II. La chute d’une goutte d’eau

1. Mesure de la vitesse de chute 2. Dynamique de la chute 3. Relation volume/étalement pour un impact à vitesse limite 4. Modélisation du mouillage des gouttes 5. Relation diamètre / étalement des gouttes pour un impact à vitesse limite 6. Confirmation expérimentale du modèle de mouillage

III. Etude expérimentale d’une ondée

1. Dispositif expérimental 2. Dépouillement des plaques 3. Calcul des grandeurs physiques 4. Distribution des gouttes 5. Caractéristiques de la pluie sous le stratus du 14 septembre 2006

IV. Essai d’une théorie de la pluie

1. Hypothèse sur l’origine de l’eau de pluie 2. Hypothèses sur l’évolution de gouttes 3. Théorie d’évolution de la distribution des gouttes du nuage jusqu’au sol

Annexes

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INTRODUCTION

Dans une voiture à l’arrêt, quand la pluie commence à tomber, on observe la multiplication des impacts des gouttes d’eau sur le pare-brise.

Si l’on regarde attentivement, on constate que toutes les gouttes n’ont pas la même taille. On observe des « petites » et des « grosses » gouttes (Figure 1, flèches blanche et rouge). Pourquoi ? Nous avons cherché à comprendre la raison, ou les raisons, de cette diversité de taille de gouttes dans la pluie. Ce phénomène naturel en apparence banal, semble dissimuler des phénomènes physiques intéressants.

À partir de ces observations, qui sont le point de départ de notre travail, nous avons voulu décrire les gouttes de pluie. En résumé, nous avons essayé de répondre à la question suivante :

Que nous apprennent les gouttes de pluie sur la plu ie elle-même ?

Figure 1

4

I – Recueillir des gouttes d’eau

Pour étudier les gouttes de pluie, nous avons d’abord cherché à les recueillir. Il a été nécessaire de trouver un système permettant de les collecter plus adapté qu’un pare-brise de voiture. L’inclinaison de ce dernier par rapport au plan horizontal ne facilite pas la mesure des diamètres des gouttes après impact. Nous avons cherché une surface optimale afin de faciliter nos mesures. Le dispositif simple retenu est une plaque de surface plane et régulière, que l’on présente à la pluie sous incidence normale.

I.1 Impact d’une goutte d’eau sur une surface plane

Intéressons-nous à la forme d’une goutte qui s’écrase sous incidence normale sur différentes

surfaces planes. Pour produire des gouttes d’eau au laboratoire, on utilise une burette sous laquelle nous avons placé différentes surfaces. Avant chaque manipulation, nous avons nettoyé les surfaces à l’eau savonneuse afin d’éliminer toute poussière grossière, empreintes digitales etc.

Figure 2

La figure 2 est la photographie de notre montage expérimental. Sur la figure 3 nous observons

l’étalement de gouttes colorées sur le fond d’un tain de miroir (peinture métallique contenant de l’étain), sur du plexiglas, sur un miroir …

5

Figure 3

La figure 4 permet d’observer plus précisément les formes des gouttes d’eau étalées sur ces

différentes surfaces. Le matériau utilisé pour recueillir une goutte de pluie semble déterminer la régularité du contour d’une goutte écrasée.

On remarque que la forme la plus circulaire et la plus régulière est obtenue sur le fond d’un tain de

miroir. D’autres surfaces auraient pu être testées, mais nous avons retenu pour la suite de nos expériences cette dernière, constituée de peinture métallique, car elle présentait les propriétés de régularité recherchées. Nous n’avons pas étudié les propriétés de surface de notre plaque collectrice, car elle n’a été utilisée que dans le but de remonter aux dimensions et au nombre des gouttes de pluie dans l’air.

Figure 4

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I.2 Produire des gouttes de différents volumes

Après avoir observé des petites et des grosses gouttes de pluie lors d’ondées, nous avons essayé à notre tour de produire des gouttes de différents volumes. Nos observations nous ont montré que la dimension des gouttes produites par une burette, ne dépendait pas du diamètre intérieur de l’embout, mais de son diamètre extérieur. La goutte reste « accrochée » grâce aux forces de tension superficielles, tant que son poids et donc son volume restent insuffisants pour la décrocher.

Nous avons alors fabriqué des embouts de burette de différents diamètres en étirant des tubes de

verre chauffés à la flamme à environ 800 à 900°C. La figure 5 est une photographie prise lorsque nous fabriquions ces différents embouts. La figure 6 représente les embouts fabriqués et protégés dans une boîte adaptée en raison de leur fragilité. Nous les avons différenciés en utilisant une nomenclature basée sur des lettres mais aussi sur des chiffres lorsqu’il nous a été nécessaire d’ajouter des embouts intermédiaires tout au long de nos expériences. Cette nomenclature classe les embouts selon le volume décroissant des gouttes qu’ils produisent : le plus gros correspond à la lettre A, le plus fin à la lettre F.

Figure 5 Figure 6

I.3 Dispersion des tailles des gouttes à l’impact

Nous avons voulu savoir si des gouttes identiques s’étalaient de manière identique sur la plaque retenue pour recueillir les gouttes d’eau.

Sur la figure 7, on observe le résultat de plusieurs impacts de gouttes produites par un même embout de burette. En mesurant leur diamètre, on cherche à préciser la dispersion des tailles obtenues.

7

Figure 7

I.3 a) Embouts « fins »

Figure 8

Avec nos embouts « fins », c’est-à-dire ceux qui produisent des gouttes de volume inférieur à

typiquement 50 µL et pour une hauteur de chute de 150 cm, on obtient le résultat de la figure 8.

Typiquement, les gouttes écrasées ont des diamètres caractéristiques égaux en moyenne à 4,15 mm, ce qui conduit à une variation relative des mesures d’environ :

∆d / d = 0,1 / 4 = 2,5 %

où d représente le diamètre d’une goutte écrasée sur la plaque.

Cette dispersion, assez faible, va nous permettre de considérer que des gouttes étalées provenant d’un même embout, ont des diamètres d’étalement identiques. On peut donc supposer que le mécanisme d’étalement des gouttes est reproductible d’une goutte à l’autre. Si ce n’était pas le cas, la dispersion des diamètres d’étalement serait plus importante.

8

I.3 a) « Gros » embouts

Figure 9

Les résultats des tests d’impacts faits avec les « gros » embouts sont représentés sur la figure 9

(volumes supérieurs à typiquement 50 µL), pour une hauteur de chute de 150 cm.

On observe que les grosses gouttes éclatent et se fractionnent. Les formes obtenues sur une plaque sont irrégulières. Le diamètre d’étalement devient particulièrement difficile à mesurer dans ces conditions. Heureusement, les gouttes des pluies que nous avons étudiées par la suite ne sont pas aussi grosses. Elles ne se fractionnent pas. Le cas de l’éclatement n’aura donc pas à être étudié.

I.4 Relation Volume-Etalement

Afin d’étudier les propriétés des gouttes de pluie, nous devons être en mesure de relier la dimension caractéristique d’une goutte sur la plaque collectrice, par exemple son diamètre d’étalement, au volume d’une goutte dans l’air (figure 10). Pour essayer d’établir la relation entre ces deux quantités, il nous a fallu :

• calibrer les embouts, c'est-à-dire mesurer le volume des gouttes qu’ils produisent • mesurer les diamètres d’étalement des gouttes produites par plusieurs embouts et pour

plusieurs hauteurs de chute.

Figure 10

9

I.4 a) Calibrage des embouts

Pour calibrer chaque embout, on utilise un chrono capteur branché à un compteur, une burette remplie d’eau distillée avec l’embout à calibrer et une balance de précision au centième de gramme près comme le montre la photo du montage (figure 11). Il est important de travailler avec de l’eau distillée car exempte de poussières susceptibles d’obstruer les embouts fins. Il nous est arrivé de devoir renoncer à un embout « intéressant », car produisant de très fines gouttes d’eau, suite à des problèmes d’obstruction par des poussières.

Figure 11

La masse volumique de l’eau, ρ = 1 000 kg m-3 varie peu avec la température, autour de 20°C. On

peut donc en déduire le volume V d’une goutte produite par un embout en mesurant la masse m d’un grand nombre n de gouttes (1000 gouttes par exemple) à l’aide de la relation suivante :

V = m / (n ρeau)

Le tableau 1 donne les valeurs obtenues. Nous sommes donc en mesure de produire des gouttes variant entre 5,3µL et 86µL.

Embouts B C1 C2 C3 D E F V (µL) 86 16 9,9 8,8 8 6,7 5,3 m (g) 0,086 0,016 0,0099 0,0088 0,008 0,0067 0,0053

Tableau 1

I.4 b) Mesure des diamètres d’étalement

Nous avons mesuré les diamètres d’étalement des gouttes après impact sur la plaque collectrice pour plusieurs hauteurs de chute : 15, 40, 90, 150 et 800 cm et pour nos différents embouts calibrés. On obtient les résultats regroupés dans le tableau 2. Les cases qui ne sont pas remplies correspondent à des embouts fabriqués tardivement, pour étudier spécifiquement l’étalement à grande hauteur de chute.

10

Diamètre d’étalement (mm) Hauteur de

chute (cm) B C1 C2 C3 D E F 15 11 5,5 4,4 6 3,1 40 11,5 6,2 5,07 4 90 12,8 6,84 5,85 4,4 150 12,5 7,23 6,13 4,6 800 8,3 7,2 6,9 5,8 5,1 5

Tableau 2 À partir du tableau 2, on peut tracer les courbes donnant l’évolution du diamètre d’étalement en

mm, en fonction de la hauteur de chute en cm (figure 12).

Figure 12

On observe que les courbes données par les embouts D, C1 et C2 sont très régulières. Ces embouts

produisent des gouttes qui, à l’impact, s’écrasent en prenant une forme régulière et circulaire. Nous distinguerons cette situation d’écrasement, de celle d’éclatement des gouttes à l’impact, qui correspond à ce que l’on observe sur la courbe de l’embout B (grosses gouttes, de 86 µL) au-delà d’une certaine hauteur (ici 90 cm). L’éclatement donne lieu à un problème complexe. Nous ne l’avons pas étudié, car nous nous sommes rendu compte, avec soulagement, que dans les pluies que nous avons observées et mesurées in situ, les gouttes n’éclataient pas à l’impact.

On remarque que le diamètre d’étalement des gouttes qui s’écrasent (sans éclater), dépend de leur hauteur de chute, donc de la vitesse d’impact. Pour certains embouts, nous avons mesuré le diamètre d’étalement obtenu pour des hauteurs importantes, 8 m, dans la cage d’escalier du plus haut bâtiment du lycée. Les résultats sont reportés sur la figure 13.

Le tableur Excel offre par défaut la possibilité d’ajuster les points de mesure par une loi

logarithmique. On remarque qu’une loi de ce type ajuste assez bien la relation entre le diamètre d’étalement et la hauteur de chute. Néanmoins, nous ne savons pas si cette loi correspond à la réalité, ni

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quelle est son origine.

Figure 13

I.4 c) Influence de la vitesse d’impact

Puisque le diamètre d’étalement des gouttes sur la plaque collectrice dépend de la vitesse

d’impact, nous avons décidé d’étudier l’évolution de la vitesse d’une goutte de volume donné, au cours de sa chute dans l’air. Notamment en se demandant si les elle atteignait le sol avec une vitesse limite.

En cas de réponse affirmative à cette question, nous aurions la possibilité de résoudre la difficulté d’avoir plusieurs diamètres d’étalement d’une même goutte, un pour chaque hauteur de chute (figure 13). II – Etude de la chute d’une goutte d’eau

II.1 Mesure de la vitesse de chute

Pour déterminer la vitesse d’une goutte d’eau qui chute dans l’air d’une hauteur h, nous avons utilisé une burette et deux chronocapteurs. La goutte parcourt donc une distance h dans l’air, hauteur qui sépare la burette des détecteurs (figure 14). Les chronocapteurs mesurent la durée de passage de la goutte entre les deux détecteurs, distants de e. La vitesse de passage de la goutte devant les capteurs s’obtient par la relation :

V(h) = e/T

Ainsi, nous avons pu déterminer la vitesse d’une goutte à l’issue d’une chute de hauteur donnée.

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Figure 14 Figure 15

Expérimentalement, nous avons pu accéder jusqu’à des hauteurs de chute de 10 m, en fixant la

burette en haut des cages d’escalier d’un bâtiment de plusieurs étages (figure 15).

Figure 16

Nos données expérimentales nous ont permis d’établir la courbe représentative de la variation de

la vitesse en fonction de la hauteur de chute pour l’embout B, produisant des gouttes d’un volume de 86 µL. On observe que la goutte atteint une vitesse limite d’environ 9 m/s dès 8 à 9 mètres de hauteur de chute. Nous avons dès lors supposé que pour toutes les gouttes de pluie il existait une vitesse limite.

Nous allons maintenant chercher à déterminer théoriquement cette vitesse limite afin de pouvoir

accéder ultérieurement au nombre volumique de gouttes de pluie.

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II.2 Dynamique de la chute

II.2 a) Inventaire des forces

Figure 17

Nous allons supposer que les gouttes d’eau de pluie sont de forme sphérique. Trois forces s’exercent sur une goutte lors de sa chute :

• son poids P = m g = ρeau V g ez • la poussée d’Archimède A = - ρair V g ez • la résistance de l’air ou traînée T

La poussée d’Archimède est négligeable devant le poids de la goutte puisque ρair / ρeau = 1,3 / 1000. La poussée d’Archimède représente donc seulement 0,13 % du poids.

La force de traînée T, dépend du diamètre 2R de la goutte, de sa vitesse v et de la viscosité ν = 1,5x10-5 m2/s de l’air. Selon le livre de Mécanique [1] que nous avons consulté, il existe un nombre Re, appelé nombre de Reynolds, qui détermine l’expression de T :

Re = 2Rv / ν

Si Re < 1, alors T est donnée pour une sphère, par une loi de proportionnalité à la vitesse :

T = - 6 π ρair ν R v ez

Si Re > 2 000, alors T est donnée pour une sphère, par une loi de proportionnalité au carré de la vitesse :

T = - Cx S ρair v2 / 2 ez

avec pour une goutte sphérique, Cx = 0,25 et S = π R2.

Pour une goutte de rayon d’environ 2 mm, de vitesse environ 10 m s-1, on obtient un nombre de Reynolds :

Re = 2 x 2 x 10-3 x 10 / (1,5 x 10-5) ≈ 2 700

On utilisera donc un modèle de traînée en v2.

II.2 b) Equation différentielle du mouvement de la goutte

La deuxième loi de Newton : m a = P + T où a = dv/dt ez

donne : dv/dt + v2 / L = g avec L = 2Vρeau / (Cx S ρair)

S est reliée au volume V d’une goutte selon :

V = (4/3) π R3 donc R = [3 V/ (4 π)]1/3 et S = π R2 = [3 √ π / 4]2/3 V2/3

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II.2 c) Résolution numérique par la méthode d’Euler

L’équation différentielle du mouvement obtenue est non linéaire. Bien qu’il existe des méthodes pour la résoudre, nous avons opté pour une approche numérique que nous connaissons, la méthode d’Euler. Avec un tableur, on calcule les accroissements successifs de la vitesse et de la distance parcourue. On peut écrire :

dv/dt ~ ∆v / ∆t et v(t+∆t) = v(t) + ∆v

d’où l’accroissement de la vitesse :

∆v = (g - v2 / L) ∆t

et celui de la distance parcourue Z :

Z(t+∆t) = Z(t) + v(t) ∆t

Avec le tableur Excel, nous avons superposé aux valeurs expérimentales la courbe théorique d’évolution de la vitesse en fonction de la hauteur de chute. On observe que le modèle d’une traînée en v2 sur une sphère de 83 µL fonctionne bien jusqu’à 4 m (figure 18). Après, il surévalue la vitesse limite.

Figure 18

II.2 c) Vitesse limite donnée par le modèle

La vitesse limite du modèle s’obtient lorsque dv/dt = 0 :

dv/dt + v2 / L = g donne v2 / L = g donc :

vlim = (Lg)1/2 = [2gVρeau / (CxSρair)]1/2

Pour expliquer la surévaluation de la vitesse limite donnée par le modèle par rapport à celle que l’on mesure expérimentalement, nous avançons l’hypothèse que le facteur Cx varie au cours de la chute, mais nous n’avons pas exploré plus avant les écarts entre notre modèle et les mesures expérimentales.

Dans le tableau 3, nous avons reporté quelques mesures de vitesses limites ainsi que les vitesses limites théoriques issues de notre modèle.

Pour une hauteur de chute de 9 m, on atteint vlim avec des gouttes de volume V < 86 µL. Pour des raisons de commodités, il nous a été pratique de travailler avec h = 8 m. Le tableau montre la décroissance rapide de la vitesse limite avec la diminution du volume des gouttes. On peut donc raisonnablement supposer qu’avec des gouttes de volume V < 16 µL, la vitesse limite est atteinte dès une

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hauteur de chute de 8 m. On mesure alors le diamètre d’étalement que l’on supposera obtenue avec une vitesse d’impact égale à vlim.

Embout Volume (µL) Vitesse (m/s) modèle

Vitesse (m/s) mesure

B 86 14,9 9,5 B2 66 14,2 9,3 C1 16 11,2 < 9,3 C2 9,9 10,4 < 9,3 C3 8,8 10,2 < 9,3 D 8 10 < 9,3 E 6,7 9,7 < 9,3 F 5,3 9,3 < 9,3

Tableau 3

II.3 Relation Volume-Etalement pour un impact à vit esse limite

En mesurant des diamètres d’étalement sur la plaque collectrice pour des gouttes de différents volumes, on obtient les points expérimentaux reportés sur la figure 19. Les points sont dispersés, mais il semble qu’une relation existe. Nous allons essayer d’établir cette relation mathématique en remarquant que la courbe obtenue passera par l’origine, étant donné que, lorsque le volume de la goutte tend vers zéro, le diamètre d’étalement également.

Figure 19

II.4 Modélisation du mouillage des gouttes

Nous avons trouvé dans des livres de physique [2] que la propriété qui détermine les caractéristiques d’une goutte déposée sur une surface est le mouillage : c’est la propriété qu’ont les liquides de ne pas s’étaler complètement sur un support. Le mouillage est caractérisé par un angle appelé « angle de mouillage », noté ici θ, angle entre le plan tangent à la goutte au niveau du contact et le plan du support. Cet angle est indépendant du volume de liquide déposé sur la surface. Il dépend seulement de la nature du liquide, du support et du gaz ambiant, l’air. Notre but est de trouver un angle de mouillage convenable qui nous permette d’ajuster nos points à peu près convenablement, afin d’établir une relation entre le diamètre d’étalement d’une goutte et son diamètre « en l’air ». Nous en déduirons finalement le volume de la goutte. Pour cela, supposons qu’une goutte s’étale (à sa vitesse limite) en prenant la forme d’une calotte sphérique (figure 20).

Remarquons que fait qu’une goutte s’étale avec sa vitesse limite de chute va nous permettre d’associer à une goutte de volume donné, un seul diamètre d’étalement et non plusieurs. Si les gouttes de même volume arrivaient sur la plaque avec différentes vitesses de chute, nous aurions une dispersion du

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diamètre d’étalement pour des gouttes identiques, ce qui aurait compliqué considérablement le dépouillement des plaques.

Figure 20

Le volume d’une calotte sphérique est donné par :

V = π [2- cos θ (3– cos2 θ)] R3 / 3

En utilisant la relation d = 2R sin θ, on obtient l’expression du volume d’une goutte en fonction du diamètre d’étalement et de l’angle de mouillage θ :

V = π [2- cos θ (3– cos2 θ)] d3 / (24 sin3 θ)

Donc V et d suivent une loi cubique :

V = K(θ) d3 avec K(θ) = π [2- cos θ (3– cos2 θ)] / (24 sin3 θ) En essayant plusieurs valeurs de θ, les points expérimentaux sont mieux ajustés pour θ = 20° (figure 21). La relation donne alors, en exprimant V en µL et d en mm :

V = 0,035 d3

Figure 21

II.5 Relation Diamètre – Etalement des gouttes pour un impact à vitesse limite

Si Dg est le diamètre d’une goutte, alors :

V = (4 π / 3) (Dg/2)3 = 0,035 d3 et donc Dg = 0,4 d ou encore d = 2,5 Dg

Par exemple, une goutte de diamètre Dg = 2 mm provoque un étalement de diamètre d = 5 mm.

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II.4 Confirmation expérimentale du modèle de mouill age

Nous avons pu mesurer directement l’angle de mouillage d’une goutte sur la plaque collectrice, en utilisant un montage optique de projection d’une goutte étalée sur un écran (Figure 22).

Figure 22 Figure 23

L’image obtenue (Figure 23 haut) présente un aspect lenticulaire à cause de la réflexion de l’image de la goutte sur la plaque collectrice elle-même. Sur la figure 23 bas, on voit que l’angle de mouillage correspond bien à la valeur de 20°, ce qui confirme la validité de notre modèle de mouillage, et donc notre loi cubique V = K(θ) d3.

III – Etude expérimentale d’ondées

Nous avons étudié deux ondées sous des nuages de type stratus : la première le 15 juin et la seconde le 14 septembre pour laquelle nous avons effectué deux mesures à 30 minutes d’intervalle.

III.1 Dispositif expérimental

Nous avons tout d’abord mis en place un pluviomètre, constitué d’une éprouvette graduée et d’un entonnoir. Nous l’avons laissé exposé à la pluie durant 10 minutes (figure 24).

18

Figure 24 Figure 25

Ensuite, nous avons exposé une plaque parfaitement sèche et plane, pendant une durée chronométrée de quelques secondes (figure 25), afin de recueillir les impacts des gouttes de pluie. La figure 26 est une photographie de la plaque collectrice exposée durant 3 secondes à la pluie.

Figure 26

III.2 Dépouillement des plaques

Nous avons procédé au dépouillement des plaques, en mesurant la taille des gouttes à la règle graduée directement sur l’ordinateur. En connaissant la taille réelle de la plaque et le facteur d’échelle utilisé, nous avons pu en déduire le diamètre réel des gouttes.

Sur les photos des figures 27 et 28, les points rouges matérialisent les gouttes déjà recensées. On observe sur la première photographie que les plus petites gouttes ont un diamètre réel de l’ordre de 0,3 mm alors que les plus grosses sont de l’ordre de 5 mm.

19

Le dépouillement des plaques est très long. La plaque de 756 gouttes a nécessité environ 8 heures de travail.

Figure 27

Figure 28

20

III.3 Calcul des grandeurs physiques

Nous avons consigné les résultats précédents dans une feuille de calcul d’un tableur (figure 29).

Figure 29

L’analyse de la pluviométrie nous a donné un résultat remarquable. Avec le pluviomètre, nous

avons obtenu des précipitations de 0,1441 µL/cm²/s, alors qu’avec la plaque collectrice, à l’aide de notre modèle de mouillage, c’est-à-dire de notre loi cubique, nous obtenons une pluviométrie de 0,1443 µL/cm²/s, soit une erreur de 0,14% entre les deux valeurs ! Notre modèle de mouillage est donc conforté.

Convertie en unité traditionnellement employée par les météorologues, la précipitation valait pour cette pluie 5,2 mm.m-3.h-1.

Le tableau de la figure 29 recense les gouttes selon leur diamètre d’étalement mesuré sur l’ordinateur. La deuxième colonne donne leur diamètre d’étalement réel, la suivante donne le volume de la goutte dans l’air avant son impact sur la plaque, calculé à l’aide de notre modèle de mouillage. La dernière colonne indique le diamètre des gouttes dans l’air, avant l’impact.

III.4 Distribution des gouttes

En utilisant ces données, on a pu construire les histogrammes des distributions en diamètre d’étalement et en volume des gouttes (figure 30). La première colonne présente les résultats d’une ondée du 15 juin 2006 et les deux suivantes, deux ondées du 14 septembre 2006 mesurées à une demi-heure d’intervalle.

Les durées d’exposition de la plaque collectrice n’ont été mesurées que pour l’ondée du 14 septembre. Elles valent respectivement 3 et 6 secondes pour les mesures de 16h25 et 16h55.

On observe la présence d’un creux dans les premiers et derniers histogrammes alors que dans ceux de la deuxième colonne, le creux parait moins profond. Mais du fait qu’il soit présent dans l’étude des deux autres ondées, on suppose qu’il existe réellement.

Nous obtenons donc un résultat surprenant : la distribution des gouttes de pluie semble présenter « deux bosses » !

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Figure 30

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III.5 Caractéristiques de la pluie sous le stratus du 14 sept 2006 – 16h55

Figure 31

Les données obtenues vont nous permettre de caractériser mieux la pluie sous le stratus (figure 31) du 14 septembre 2006 au lycée Bellevue.

III.5 a) Distribution volumique des gouttes

Figure 32

Grâce à notre modèle de vitesse de chute d’une goutte dans l’air, nous avons pu déterminer une caractéristique importante du milieu à savoir le nombre volumique de gouttes, c’est-à-dire, le nombre de gouttes contenues dans un volume de 1 m3.

Pour l’obtenir, on doit connaître le nombre de gouttes dans un volume dont la hauteur h doit contenir toutes les gouttes de pluies qui vont s’écraser sur la surface, pendant la durée d’exposition (figure 32). Or, h = v T, en prenant comme vitesse v, la vitesse limite établie selon notre modèle. On en déduit le nombre volumique de gouttes n selon :

n = N / (S v T)

Mais il faut préciser que le nombre volumique de gouttes est sous-évalué dans cette relation puisque la vitesse limite établie par notre modèle a été elle, surévaluée.

Finalement, on obtient l’histogramme de la figure 31 : le nombre volumique des gouttes de pluie en fonction de leur diamètre.

On peut représenter l’histogramme de la distribution des gouttes de pluie en fonction de leur diamètre Dg. en reprenant les résultats de l’étude d’ondée du 14 septembre à 16h55.

Et en sommant les nombres volumiques pour les différents diamètres de gouttes, on obtient un total de 505 gouttes de pluie par mètre cube. Ce résultat reste sous-évalué, puisque la vitesse limite est surévaluée dans notre modèle.

23

Figure 33

III.5 b) Variation des diamètres des gouttes

Sur la figure 33, on voit que les diamètres des gouttes, varient de 0,1mm à environ 2 mm, ce qui entraîne une variation globale des tailles d’un facteur 1 à 20.

III.5 c) Distance moyenne entre deux gouttes

La présence de 500 gouttes par mètre cube ramène à 1/500 m3 le volume occupé par une goutte. Converti en dm3, on obtient environ 2 dm3 par goutte de pluie, soit un cube de 21/3 = 1,3 dm de côté. En ordre de grandeur, on obtient une distance moyenne entre deux gouttes d’environ 10 cm.

La figure 34 résume ces différents résultats. Notons qu’il s’agissait d’une pluie assez « drue », sous un stratus. Sous d’autres types de nuages, nous n’aurions peut-être pas obtenu les mêmes résultats et ainsi des conclusions différentes.

Figure 34

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IV – Essai d’une théorie de la pluie Pourquoi la distribution des gouttes de pluie comporte-t-elle deux bosses ? Nous avons essayé

d’interpréter cette observation en construisant une théorie rudimentaire de la pluie.

IV.1 Hypothèse sur l’origine de l’eau de pluie

Nous avons supposé que la vapeur d’eau forme des gouttelettes d’eau, dans un nuage, par condensation d’un air humide transporté en altitude par un courant ascendant.

IV.2 Hypothèses sur l’évolution des gouttes

Dans notre modèle, nous avons tenu compte de 4 effets :

• La condensation • Les collisions • L’évaporation • Le balayage du milieu par les grosses gouttes

IV.2 a) Effet des collisions

Lorsque deux gouttes de volumes V1 et V2 entrent en collision, elles forment une goutte plus grosse, de volume V3 = V1 + V2 (figure 35).

Figure 35 Figure 36

IV.2 b) Effet du balayage du milieu par les grosses gouttes

Nous appelons balayage du milieu, la disparition d’un grand nombre de très petites gouttes suite à leur absorption par des très grosses (figure 36). Le balayage doit être causé par deux populations de gouttes ayant des vitesses très différentes. C’est le cas des très grosses gouttes vis-à-vis des plus petites. En effet, on voit sur la figure 37, qui représente l’évolution de la vitesse limite des gouttes dans l’air en fonction de leur diamètre, que l’écart relatif des vitesses varie d’un facteur 5 ou 6, entre les très petites gouttes et les très grosses.

Figure 37

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IV.3 Théorie d’évolution de la distribution des gou ttes, du nuage jusqu’au sol

Nous avons construit un ensemble d’histogrammes retraçant l’évolution du volume des gouttes au cours du temps en tenant compte de ces 4 effets : condensation, collisions, évaporation, balayage (Figure 38).

1. On commence par supposer que les gouttes se forment toutes par condensation, avec la même taille.

2. Les collisions entre ces gouttes vont former des gouttes de volume double et l’on va voir le nombre de grosses gouttes augmenter. Pour les petites gouttes, la condensation va faire croître leur nombre, alors que les collisions vont produire l’effet inverse.

3. De nouvelles collisions entre les gouttes de volumes différents vont former des gouttes de plus en plus grosses. On peut imaginer que la condensation de l’eau autour des petites gouttes les fasse grossir un peu. À ce stade, nous avons une distribution qui présente une seule bosse. Tant que les gouttes ne sont pas assez grosses, leur vitesse limite de chute (par rapport à l’air) n’est pas assez importante pour leur donner un mouvement descendant par rapport au sol ; la vitesse ascensionnelle de l’air étant plus importante que la vitesse limite de chute des gouttes par rapport à ce dernier référentiel.

4. Quand les gouttes sont assez grosses, elles finissent par chuter (par rapport au sol) et le mécanisme de collision va produire des gouttes de plus en plus grosses. L’évaporation va éventuellement décaler la distribution vers les petites gouttes.

5. Au fur et à mesure que l’on se rapproche du sol, la vitesse ascensionnelle de l’air diminue, jusqu’à tendre vers zéro. Il y a donc abaissement du volume limite de chute.

6. À ce stade, on obtient toujours une distribution qui ne présente qu’une seule bosse. Mais il nous reste à tenir compte du balayage du milieu par les très grosses gouttes. L’efficacité du balayage est d’autant plus importante que l’écart de vitesse entre les très grosses et très petites est important. Les toutes petites gouttes sont beaucoup plus affectées que les gouttes de tailles moyennes. En abaissant les trois premières barres sans toucher aux autres, on peut envisager qu’il se forme un creux dans la distribution.

Notre modèle simplifié produit une distribution à 2 bosses. La première correspondrait aux gouttes formées dans le nuage, le creux au balayage du milieu par les grosses gouttes. Enfin, la décroissance de la deuxième bosse serait due aux collisions des gouttes entre le nuage et le sol.

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Figure 38 CONCLUSION :

• Voici les résultats scientifiques que nous avons obtenus dans notre travail : - La loi de traînée en v2 surestime la vitesse limite - La relation Volume-Etalement fonctionne bien pour un angle de mouillage de 20° - Notre modèle de mouillage restitue la pluviométrie avec une précision remarquable

- Les différentes tailles de gouttes s’expliqueraient par les collisions - La distribution en taille des gouttes de pluie comporterait « 2 bosses », ce qui pourrait être expliqué par le balayage du milieu par les grosses gouttes. Néanmoins, il faudrait mettre notre théorie de la pluie en équations et peut être la modéliser avec un ordinateur, mais nous sommes pour le moment, limités par nos connaissances informatiques et mathématiques.

• En conclusion plus personnelle, nous avons rencontré des spécialistes de la pluie qui ont conforté la théorie des collisions, ce qui a été comme une récompense pour notre travail. De plus, nous pouvons dire que nous ne regardons plus la pluie de la même manière, on conçoit à présent que derrière un phénomène simple et évident comme celui de la pluie il peut se cacher des problèmes scientifiques plus complexes. Ce qui est réconfortant, c’est que cette complexité semble accessible. En tout cas, nous avons eu plaisir à essayer de percer certains mystères de la pluie…

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Bibliographie : [1] Mécanique, J-Ph Pérez, Dunod 2001 [2] Thermodynamique, J-Ph Pérez, Dunod 2001 Contacts extérieurs : Mr Soulan, Météo France, Toulouse Laboratoire d’aérologie, Observatoire Midi-Pyrénées

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Annexes