La méthode d’Euler

Objectif : résoudre une équation différentielle de façon numérique

Applications en physique (en Terminale S):- Résoudre une équation différentielle du premier

ordre (radioactivité, charge-décharge condensateur, chute avec frottement, etc.)

- … mais on peut résoudre aussi des équations différentielles d’ordre supérieur (voir TP Mercure)Intérêt : trouver une solution numérique quand la

solution analytique est compliquée ou inaccessible

La méthode d’Euler : l’idéeA partir de la connaissance de la valeur de la fonction

pour une valeur de la variable - ex : pour xi, on connaît yi = f(xi) –

on calcule la valeur suivante en utilisant la valeur de la dérivée

..il faut donc connaître un point (x0,y0) et la dérivée

y

courbe réelle

tangentede pente p = f'(x i)

x i x i+ 1

y i

y i ré e l

y i ca l

y i c a l= y i + (x i+ 1 - x i) * f'(x i)

erreur de la méthode

pas

La méthode d’Euler pas à pas

Au départ, il y a :

- une équation différentielle du premier ordre*y’(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t)

qu’on ne sait pas nécessairement résoudre...

- une condition initiale :c’est à dire une valeur que l’on connaît :

Par exemple : y(0) = y0

* Mais ça marche aussi pour un ordre plus élevé !

Par définition, y’(t) = limDt-->0 ([y(t+Dt) - y(t)]/Dt)

Un peu de math...

En physique, pour un intervalle de temps Dt suffisamment petit (mais fini et défini) :

y’(t) [y(t+Dt) - y(t)]/Dt

d ’où y(t+Dt) y(t) + y’(t).Dt

on note Dy(t) = y(t +Dt) - y(t)

Dy(t) y’(t).Dt

Dy(t) = y(t +Dt) - y(t)

y(t +Dt) = y(t) + Dy(t)

Soit donc :

Tout cela à chaque instant t...

Dy(t) = y’(t).Dt

Attention : quand le mathématicien écrit le physicien écrit =

mais il ne faut pas perdre de vue que le résultat est approché !

Dy(t) = y’(t).Dt

y(t +Dt) = y(t) + Dy(t)

Rappel : on connaît une équation différentielle du premier degré (caractéristique du phénomène

physique étudié) donc...

y’(t) = fonction de y(t)

On connaît aussi a priori une valeur de y(t) :c’est la condition initiale : y(0) = y0

Dy(t) = y’(t).Dt

y(t +Dt) = y(t) + Dy(t)

y’(t) = fonction de y(t)

On connait y(0) => calcul de y’(0)

On a calculé y’(0), => calcul de Dy(0)Soit Dt (« petit »): le pas

On a calculé y(0) et Dy(0)=>calcul y(0+Dt)

On a ainsi y(t1)avec t1 = 0 + Dt

Condition initiale y(0)

On répète les opérations :

y(ti)

y’(ti)

Dy(ti)

y(ti +Dt)

A partir de xi, yi, y’i = f’(xi)

on calcule y(ti+1) avec ti+1 = ti +Dt

Et ainsi de suite …

c’est une méthode itérative

Le mieux est encore d’utiliser un un exemple concret

La décharge d’un condensateur chargé

La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que uC + uR = 0

(avec les conventions du schéma)

soit u C + RC duC/dt = 0

DuC(t) = uC’(t).Dt

y(t +Dt) = y(t) + Dy(t)

uC’(t) = - (1/RC).uC(t)

uC’(0)= - (1/RC).uC(0)

DuC(0) = - (1/RC).uC(0).Dt

Pas : Dt (« petit »)

uC(0+Dt) = uC(0) - (1/RC).uC(0).Dt

t1 = 0 + Dt uC(t1) est connu

Condition initiale uC(0) pas « petit » par rapport à quoi ?

Exigences du baccalauréat :Savoir appliquer la méthode d’Euler

dans différents contextes

- Dans un tableur

- Savoir calculer (avec calculette)

quelques étapes de la méthode

Epreuve expérimentale (E.C.E)

Epreuve écrite