la physique classique : descriptions générales du mouvement

8/14/2019 la physique classique : descriptions gnrales du mouvement

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A

B

F I G U R E 86 Quelle forme de rampe

permet la pierre noire de glisser le

plus rapidement du point A au point

infrieur B ?

F I G U R E 87 Le mouvement peut-il tre

dfini de la mme manire pour tous les

observateurs?

.

, *.

Pompe

P

sur la Terre mme en Australie les gens remarquent que lesierres tombent vers le bas . La promulgation de la loi universelle de la gra-

vitation a t facilite par cette constatation ancestrale. Pour le dcouvrir, tout ce quily eut faire fut de rechercher une description de la gravit qui ft valide au niveaugnral. La seule remarque complmentaire qui doit tre faite an de dduire la formulea = GMr est que la gravit varie avec la hauteur.

En rsum, le fait de rchir globalementnous aide rendre notre description dumouvement plus prcise. Comment pouvons-nous dcrire le mouvement de la manirela plus gnrale possible ? Il apparat quenous avonssixmaniresdaborder cettequestion,chacune delles nous sera utile sur notre chemin vers le sommet de la Montagne Mouve-

ment. Nous commencerons par une vue densemble, puis nous explorerons les dtails dechaque approche.

La premire approche globale du mouvement mane du caractre limit de ce quenous avons appris jusqu prsent. Lorsque nous dduisons le mouvement dune par-ticule partir de son acclration en cours, nous sommes en train dutiliser la des-cription du mouvement la plus locale possible. Par exemple, toutes les fois que nousutilisons une quation dvolution, nous utilisons en fait lacclration de la particuleen un lieu et un instant donns pour dterminer sa position et son mouvementjusteaprs cet instant et au voisinage immdiatde cet endroit.

Les quations dvolution ont donc un horizon imaginaire de rayon zro.Lapproche oppose est illustre dans le clbre problme de la Figure . Le d

est de trouver le trajet qui permet de raliser le mouvement de glissade le plus rapidepossible depuis un point lev jusqu un point distant plus bas. Pour rsoudre cela,Dfi 329 dnous avons besoin de considrer le mouvement comme un tout, pour tous les instants

* Navigare necesse, vivere non necesse (Naviguer est ncessaire, mais il nest pas ncessaire de vivre). Gnaeus Pompeius Magnus ( . J.-C. ), cit par Plutarque (v. v. ).Rf. 139

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ChristophSchillerNovembre1997Octobre2007

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roue de

vlocorde

F I G U R E 88 Que se

passe-t-il lorsquune corde

est coupe ?

a

a

b b

b b

C PF

F I G U R E 89 Comment dessiner une ligne

droite laide dun compas ? Fixez un

point F, posez un crayon la jointure P et

dplacez C avec un compas le long dun

cercle.

et toutes les positions. Lapproche globale requise par des interrogations comme celle-ci nous mnera tout droit une description du mouvement qui est simple, prciseet sduisante : le dnomm principe de paresse universelle, galement connu sous lenom de principe de moindre action.

La deuxime approche globale du mouvement merge lorsque nous comparons lesdiverses descriptions du mme systme fournies par des observateurs distincts. Parexemple, les observations dune personne qui chute dune falaise, dun passager demontagnes russes, et dun observateur debout sur le plancher des vaches seront g-nralement direntes. Les relations entre toutes ces observations nous conduisent une description gnrale, valide pour tout le monde. Cette mthode nous mne lathorie de la relativit.

La troisime approche globale du mouvement consiste explorer le mouvement descorps tendus et rigides, plutt quecelui desmasses ponctuelles. Le rsultatnonintuitifde lexprience de la Figure montre que le jeu en vaut la chandelle.

Pour pouvoir concevoir des machines, il est indispensable de comprendre com-ment les corps rigides dun groupe interagissent. Comme exemple, le mcanisme dela Figure associe le mouvement des points C et P. Il dnit tacitement un cercle detelle faon que nous ayons toujours la relation rC = rP entre les distances de C et deP son centre. Pouvez-vous trouver ce cercle ?Dfi 330 ny

Un autre excellent challenge consiste inventer une charrette en bois, dote den-Rf. 140grenages qui relient une che aux roues de telle manire que, quel que soit litinraireque la charrette emprunte, la che pointe toujours vers le sud (voir la Figure ).Dfi 331 dComme nous le verrons, la solution ce problme est utile pour mieux apprhenderla relativit gnrale.

Un autre exemple intressant pour le mouvement rigide est le fait que les mouve-ments humains, tel le dplacement dun bras en gnral, sont constitus dun petit

nombre de mouvements lmentaires. Tous ces exemples sont tirs du domaine capti-Rf. 141 vant de la technique ; malheureusement, nous aurons trop peu de temps pour explorerce sujet durant notre excursion.

La quatrime manire gnrale daborder le mouvement est ltude des corps tendusnon rigides. Par exemple, la mcanique des uides tudie lcoulement des uides (telsque le miel, leau ou lair) autour de corps solides (tels des cuillres, des bateaux, des

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F I G U R E 90 Une charrette pointant vers le sud.

? ou ?

F I G U R E 91 Comment et o un conduit de chemine en brique

qui chute se brise-t-il ?

voiles ou des ailes). La mcanique des uides tente donc dexpliquer comment volentles insectes, les oiseaux et les avions*, pourquoi les voiliers peuvent naviguer en sap-puyant sur le vent, ce qui se passe quand un uf dur est mis en rotation sur une neRf. 142couche deau, ou comment une bouteille pleine de vin peut tre vide de la manire laplus rapide possible.Dfi 332 n

linstar des uides, nous pouvons tudier le comportement des solides dfor-mables. Ce domaine de recherche est appel la mcanique des milieux continus. Elletraite des dformations et des oscillations des structures tendues. Elle cherche expli-quer, par exemple, pourquoi les cloches sont faites selon une forme particulire, com-

ment de grands corps comme des conduits de chemine en chute libre se brisentDfi 333 n lorsquils subissent une contrainte, et comment les chats peuvent se retourner toutseuls de faon adquate pendant quils chutent. Tout au long de notre voyage, nousrencontrerons plusieurs reprises des problmes concernant ce domaine, qui empitemme sur la relativit gnrale et sur le monde des particules lmentaires.

La cinquime approche globale du mouvement concerne ltude du mouvement dunnombre colossal de particules. Celle-ci est dnomme la mcanique statistique. Lesconcepts quincessitent de dcrire les gaz, comme la temprature et la pression(voir laFigure ), constitueront notre premire tape vers la comprhension des trous noirs.

La sixime approche globale du mouvement concerne tous les points de vue mention-ns ci-dessus en mme temps. Une telle avance est primordiale pour comprendre

* Les mcanismes du vol des insectes constituent toujours une discipline de recherches actives. Tradition-nellement, la mcanique des uides tait focalise sur les grands systmes, comme les bateaux, les navireset les avions. En fait, le plus petit objet conu par lhomme capable de voler de manire contrle disons,un avion ou un hlicoptre radiocommand est beaucoup plus grand et plus lourd que de nombreux tres

volants que lvolution a engendrs. Il savre que commander le vol de petits corps ncessite davantage deconnaissances et plus dastuce que commander le vol dobjets plus grands. Vous pouvez en apprendre plussur ce sujet la page ??.

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F I G U R E 92 Pourquoi les ballons

emplis dair chaud restent-ils

gonfls ? Comment pouvez-vous

mesurer le poids dun cycliste en

utilisant uniquement une rgle ?

F I G U R E 93

Quest-ce qui

dtermine le

nombre de ptales

dune marguerite ?

lexprience quotidienne, et la vie elle-mme. Pourquoi une eur possde-t-elle un

nombre particulier de ptales ? Comment un embryon se direncie-t-il dans lut-rus ? Quest-ce qui fait battre nos curs ? Comment les crtes montagneuses et les sil-houettes des nuages mergent-elles ? Comment les astres et les galaxies voluent-ils ?Comment les vagues de locan sont-elles faonnes par le vent ?

Tous ces cas sont des exemples dauto-organisation ; les chercheurs en sciences dela vie parlent simplement de croissance. Quelle que soit la dsignation utilise pour cesprocessus, ils sont caractriss par lapparition spontane de motifs, de formes et decycles. Ces processus constituent un sujet commun de recherche travers un grandnombre de disciplines, incluant la biologie, la chimie, la mdecine, la gologie et lessciences de lingnieur.

Nous allons maintenant donner une courte introduction ces six approches globales du

mouvement. Nous allons commencer avec la premire, savoir la description gnraledes objets, assimils des points, en mouvement. La mthode lgante dcrite ci-dessousfut le rsultat de plusieurs sicles deorts collectifs, et constitue le point culminant de lamcanique. Elle fournit galement les bases pour toutes les descriptions supplmentairesdu mouvement que nous rencontrerons plus tard.

M

Le mouvement peut tre dcrit par des nombres. Pour une unique particule, les rela-tions entre les coordonnes spatiales et temporelles dcrivent le mouvement. La prise deconscience que des expressions telles que

(x

(t

) y

(t

) z

(t

))peuvent tre employes pour

retracer litinraire dune particule en mouvement fut une tape dcisive dans le progrs

de la physique moderne.Nous pouvons aller encore plus loin. Le mouvement est une forme de changement.Et ce changement peut lui-mme tre utilement dcrit par des nombres. En ralit, lechangement peut tre quanti par un nombre unique. Cette dcouverte constitua ltapecruciale suivante. Il fallut aux physiciens prs de deux sicles deorts pour dvoiler lamanire de dcrire le changement. En consquence, la quantit quimesure le changement

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possde un nom trange : elle est appele action (physique)*. Pour se rappeler le rapportqui existe entre l action et le changement, pensez simplement un lm dHollywood :quand il y a beaucoup daction, il y a aussi une grande quantit de changements.

Imaginez que nous prenions deux clichs dun systme des instants dirents. Com-ment pourriez-vous dnir la quantit de changement qui se produit entre les deux ?

quels moments les choses changent-elles beaucoup, et quand changent-elles seulementun petit peu ? Primo, un systme qui possde beaucoup de mouvement tmoigne dunegrande quantit de changement. Il parat donc logique que laction dun systmeconstitude sous-systmes indpendants doive tre la somme des actions de ces sous-systmes.

Secundo, le changement saccumule souvent mais pas toujours au cours du temps ;dans dautres cas, un changement rcent peut compenser un changement antrieur. Lechangement peut ainsi augmenter ou diminuer avec le temps.

Tertio, pour un systme dans lequel le mouvement est stock, transform ou transfrdun sous-systme un autre, le changement est infrieur celui dun systme pourlequelce nest pas le cas.

Les proprits mentionnes impliquent que la mesure naturelle du changement estlcart moyen entre lnergie cintique et potentielle multipli par le temps coul. Cettequantit possde toutes les bonnes proprits : elle est (habituellement) la somme desquantits correspondantes pour tous les sous-systmes si ceux-ci sont indpendants, elleaugmente gnralement avec le temps ( moins que lvolution ne compense quelquechose qui est survenu auparavant), et elle diminue si le systme transforme du mouve-ment en nergie potentielle.Dfi 334 e

Ainsi laction (physique) S, mesurant le changement dans un systme, est dnicomme

S = L (tf ti) = TU (tf ti) = tfti(TU) dt= tf

tiL dt , ()

o Treprsente lnergie cintique, U lnergie potentielle que nous connaissons dj, LPage 108

est la dirence entre eux, et la barre suprieure indique une moyenne temporelle. Laquantit L sappelle le lagrangien (ou fonction lagrangienne) du systme** et dcrit ce qui

* Remarquez quecette action nestpas identique l action quiapparat dans desformulations telles que chaqueaction possde une raction gale et oppose . Ce dernier usage, initi par Newton, na pas rsist ;par consquent ce terme a t rutilis. Aprs Newton, le terme action fut tout dabord utilis pour unesignication intermdiaireavant dtrenalement adopt dans son sens moderneemployici. Cettederniresignication est la seule qui est utilise dans ce texte.

Un autre emploi qui a t recycl est le principe de moindre action . Dans les livres anciens, il tait em-ploy dans un contexte dirent de celui de ce chapitre. Actuellement, il se rfre ce quil estdusage dappe-ler le principe de Hamilton dans le monde anglo-saxon, bien quil soit (principalement) d dautres person-nalits, particulirement Leibniz. Les anciennes signications et dnominations sont tombes en dsutudeet ne sont pas maintenues ici.

Derrire ces mutations terminologiques se cache lhistoire longue de deux sicles de tentatives ernespour dcrire le mouvement laide desprincipes variationnels ou extrmaux : lobjectif tait de perfectionneret dachever le travail initi par Leibniz. Ces principes nont aujourdhui quun intrt historique, parce quilssont tous des cas particuliers du principe de moindre action dcrit ici.Rf. 143** Celle-ci est baptise daprs Giuseppe Lodovico Lagrangia (n. Turin , d. Paris ), plus connu sousle nom de Joseph-Louis Lagrange. Il fut le plus important mathmaticien de son poque, commena sacarrire Turin, puis travailla pendant ans Berlin, et nalement pendant ans Paris. Il travailla

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TABLEAU 23 Quelques valeurs daction pour des changements observs ou imaginaires.

C V

Le plus petit changement mesurable , Js

Exposition dune pellicule photographique , Js Js

Battement daile dune drosophile (mouche) env. pJs

Ouverture dune eur au lever du jour env. nJs

Avoir les joues rouges env. mJs

Verre tenu par rapport un verre lch , Js

Arbre courb par le vent dun ct lautre Js

Faire disparatre un lapin blanc par de la vraie magie PJs

Dissimuler un lapin blanc env. , Js

Changement crbral maximum en une minute env. Js

Rester en lvitation m pendant une minute env. kJs

Accident de voiture env. kJs

Naissance env. kJs

Changement provoqu par une vie humaine env. EJs

Arrt dun vhicule pendant le clignement dun il kJs

Grand tremblement de terre env. PJs

Disparition dune voiture pendant le clignement dun il ZJs

Lever du soleil env. , ZJs

Une source de sursaut gamma avant et aprs lexplosion env. Js

Lunivers aprs quune seconde sest coule indni et indnissable

est ajout au cours du temps, chaque fois que les choses changent. Le signe est un

S tir, pour somme , et est prononc intgrale de . En termes intuitifs il dsignelopration (appele intgration) dadjonction des valeurs dune quantit variant au coursdintervalles innitsimaux de temps dt. Les instants initial et nal sont nots, respective-ment, en bas et en haut du signe intgrale . La Figure clarie cette ide : lintgralereprsente simplement laire de la zone sombre situe sous la courbe L(t).

Mathmatiquement, lintgrale de la courbe L(t) est dnie comme suitDfi 335 e

tf

tiL(t) dt= lim

t

fm=i

L(tm)t= L (tf ti) . ()En dautres termes, lintgrale est la limite, lorsque les intervalles de temps deviennenttrs petits, de la somme des aires des bandes rectangulaires distinctes qui approchent lafonction*. Puisque le signe reprsente galement une somme, et puisquun intervalleentre autres sur la thorie des nombres et la mcanique analytique, pour laquelle il dveloppa la majeurepartiede larsenalmathmatique utilisde nosjours dans lescalculsen mcanique classique et en gravitationclassique. Il appliqua cela avec succs de nombreux mouvements observs dans le Systme solaire.* Pour plus de dtails sur lintgration, voir l??.

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L

tti tf

tm

moyenne L

t

intgrale

temps coul

L(t)dt

L(t) = T U

F I G U R E 94 Dfinition de leffet total comme une

accumulation (addition ou intgrale) de petits effets

au cours du temps.

de temps tinnitsimal est not dt, nous pouvons comprendre la notation utilise pourlintgration. Lintgration est une somme de toutes les tranches. Cette notation fut dve-loppe par Gottfried Leibniz pour souligner prcisment cette remarque. Physiquementparlant, lintgrale du lagrangien mesure leet que L accumule au cours du temps. Enfait, laction est appele eet dans certaines langues, comme lallemand.

Joseph Lagrange.

En rsum, laction est lintgrale du lagrangien sur un inter-valle de temps. Lunit de laction, et donc du changement phy-sique,est lunit de lnergie (le joule, J), multipli par lunit dutemps (la seconde). Ainsi, le changement est mesur en Js. Une

valeur importante signie un grand changement. Le Tableaumontre quelques valeurs approximatives dactions.

Pour comprendre plus prcisment la dnition de laction,nous allons commencer avec le cas le plus simple : un systmequi possde une nergie potentielle nulle, telle une particulese dplaant librement. Bien videmment, une grande nergiecintique implique quil y a beaucoup de changement. Si nousobservons la particule deux instants donns, plus la distancespatiale entre ces deux points est grande et plus le changementest important. En outre, le changement observ est plus grand si la particule se dplaceplus rapidement, cest--dire si son nergie cintique est plus importante. Tout cela parattrivial.

Ensuite, observons une unique particule se dplaant dans un potentiel. Par exemple,une pierre qui chute perd de lnergie potentielle en change dun gain en nergie cin-tique. Plus il y a dnergie change, plus il y a de changement. Cela explique le signemoins (la dirence) dans la dnition de L. Si nous examinons une particule qui estdabord jete en lair puis qui retombe, la courbe de L(t) est dabord situe en dessous delaxe du temps, et ensuite au-dessus. Nous remarquons que la dnition de lintgration

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F I G U R E 95 La tangente

au point minimal dune

courbe possde une

pente nulle.

nous amne comptabiliser laire de la surface grise situe sous laxe du temps commetant ngative. Le changement peut ainsi tre ngatif, et peut tre, comme prvu, com-pens par un changement ultrieur.

Pour quantier le changement dans un systme constitu de plusieurs parties ind-

pendantes, nous ajoutons simplement toutes les nergies cintiques et nous dfalquonstoutes les nergies potentielles. Cette mthode nous permet de dnir des actions pourdes gaz, des liquides et de la matire solide. Mme si les constituants interagissent, nousobtenons toujours un rsultat sens. En bref, laction est une quantit additive.

Laction physique mesure donc, laide dun nombre unique, la quantit du change-ment observ dans un systme entre deux instants donns du temps. Lobjet de lobserva-tion peut tre nimporte quoi : une explosion, une caresse aective ou un changement decouleur. Nous dcouvrirons plus tard que cette ide est galement applicable en relativitet dans la thorie quantique. Nimporte quel changement se produisant dans nimportequel systme de la nature peut tre mesur laide dun seul nombre.

L

Nous dtenons dornavant une mesure prcise du changement, qui, comme nous al-lons le voir, permet une description simple et puissante du mouvement. Dans la nature,le changement qui se produit entre deux instants est toujours le plus petitpossible. La na-ture minimise laction*. De tous les mouvements possibles, la nature choisit constammentcelui pour lequel le changement est minimal. Examinons-en quelques exemples.

Dans le cas lmentaire dune particule libre, lorsque aucun potentiel nest impliqu, leprincipe de laction minimale entrane que la particule se dplace selon une ligne droiteavec une vitesse constante. Tous les autres chemins conduiraient des actions plus impor-tantes. Pouvez-vous le vrier ?Dfi 336 e

Lorsque la gravit entre en jeu, une pierre lance vole le long dune parabole (ou, plusprcisment, le long dune ellipse) parce que nimportequelle autre trajectoire, disons unepour laquelle la pierre eectue une boucle en lair, devrait ncessiter une action plus im-portante. Une nouvelle fois, vous devez certainement avoir envie de le vrier par acquitde conscience.Dfi 337 e

* En fait, dans certaines situations particulires laction est maximale, de telle sorte que la forme la plusgnrale du principe est que laction est stationnaire , ou extrmale , signiant par l minimale oumaximale. La condition dannulation de la variation, donne ci-dessous, recouvre les deux cas la fois.

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Toutes les observations soutiennent cette constatation simple et lmentaire : leschoses se dplacent toujours de la manire qui engendre la quantit daction la plus petitepossible. Cette armation sapplique au chemin tout entier et chacun de ses segments.Bertrand Russel lavait appele la loi de la paresse universelle .

Il est dusagedexprimer cettenotion du changement minimal dune manire dirente.

Laction uctue lorsque la trajectoire varie. La trajectoire relle est celle dont laction estla plus petite. Vous vous souviendrez que vous avez appris lcole que la drive dunefonction sannule son minimum : un minimum possde une tangente horizontale. Dansle cas prsent, nous ne faisons pas varier une quantit, mais une trajectoire entire, parconsquent nous ne parlons pas dune drive ou dune pente, mais dune variation. Ona coutume de noter S la variation de laction. Le principe de moindre action tablit doncque :

La trajectoire relle entre des points extrmaux donns vrie la relation S = ()Les mathmaticiens appellent cela un principe variationnel. Remarquez que les pointsextrmaux doivent tre xs : nous devons comparer des mouvements ayant les mmestats initiaux et naux.

Avant de discuter de ce principe plus en dtail, nous pouvons vrier quil est qui-valent lquation dvolution*. Pour ce faire, nous pouvons mettre en uvre une pro-

* Pour ceux qui sont intresss, nous donnons ici quelques commentaires sur lquivalence entre les qua-tions lagrangiennes et dvolution. Pour commencer, les lagrangiens ne sont pas dnis pour des systmesnon conservatifs, ou dissipatifs. Nous avons vu quil nexiste pas de potentiel pour chaque mouvement com-Page 141portant du frottement(et plus dune seule dimension), par consquent il ny a pas daction dans ces circons-tances. Une approche possible pour surmonter cette restriction consiste utiliser une formulation gnrali-se du principe de moindre action. chaque fois quil y a absence de potentiel, nous pouvons exprimer la

variation du travail W entre des trajectoires xi distinctes comme

W

= i

m i xix i . ()

Le mouvement est alors dcrit de la manire suivante :

La trajectoire relle satisfait la relation tf

ti

(T+ W)dt= sachant que x(ti) = x(tf) = .()La quantit qui est intgre na pas de nom, elle reprsente une notion gnralise du changement. Vouspourriez essayer de vrier que cela mne bien aux quations dvolution appropries. Ainsi, bien que desDfi 338 nydescriptions lagrangiennes adquates existent uniquement pour des systmes conservatifs, ce principe peuttre extrapol aux systmes dissipatifs et rester ainsi ecace.

De nombreux physiciens prfreront une autre approche. Ce quun mathmaticien nomme une gnrali-sation, un physicien lappelle un cas particulier : le principe ()masquelefaitque toutfrottement rsulte duprincipe habituel de laction minimale, si nous incorporons tous les dtails microscopiques. Il nexiste aucunfrottement dans le monde microscopique. Le frottement est une notion macroscopique approximative.

Nanmoins, des points de vue mathmatiques supplmentaires sont opportuns. Par exemple, ils nous im-

posent des contraintes intressantes dans lutilisation des lagrangiens. Ces limites, qui ne sappliquent que silon conoit le monde de manire purement classique ce qui nest pas vrai , furent dcouvertes il y a envi-ron une centaine dannes. cette poque les ordinateurs ntaient pas encore disponibles, et lexplorationde nouvelles techniques calculatoires tait importante. Nous en donnons un aperu succinct.

Les coordonnes utilises en relation avec les lagrangiens ne sont pas ncessairement des coordonnescartsiennes. Des coordonnes gnralises sont particulirement utiles lorsque le mouvement subit descontraintes. Cest le cas pour un pendule, dans lequel la masse doit toujours se trouver la mme distance du

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cdure courante, qui est une partie intgrante de ce que lon appelle le calcul des varia-tions. La condition S = implique que laction, cest--dire laire sous la courbe de laFigure , est minimale. Avec un peu de rexion, on voit que si le lagrangien est de laforme L

(xn vn

) =T

(vn

)U

(xn

), alorsDfi 339 ny

ddt Tvn = Uxn ()

o n dnombre toutes les coordonnes de toutes les particules*. Pour une unique parti-cule, ces quations de Lagrange du mouvementse rduisent Dfi 340 e

ma = U . ()Cest lquation dvolution : elle indique que la force qui agit sur une particule est le gra-dient de lnergie potentielle U. Le principe de moindre action engendre donc lquationdu mouvement. (Pouvez-vous montrer linverse ?)Dfi 341 n

point de suspension, ou pour un patineur sur glace, chez qui les patins doivent se dplacer dans la directionvers laquelle ils pointent. Des coordonnes gnralises peuvent mme tre un amalgame de positions et deRf. 144quantits de mouvement. Elles peuvent se diviser en plusieurs types gnriques.

Des coordonnes gnralises sont dnommes holonomiquessclronomiques si elles sontlies aux coor-donnes cartsiennes de manire xe, indpendamment du temps : des systmes physiques dcrits par detelles coordonnes incluent le pendule et une particule dans un potentiel. Des coordonnes sont appelesholonomiquesrhonomiques si la dpendance est aussi temporelle. Un exemple dun systme rhonomiquepourrait tre un pendule dont la longueur varie dans le temps. Les deux termes rhonomique et sclrono-mique sont dus Ludwig Boltzmann. Ces deux cas, qui concernent des systmes qui ne sont dcrits que parPage 251leur gomtrie, sont regroups ensemble dans les systmes holonomiques. Lexpression est de Heinrich Hertz.Page ??

La situation la plus gnrale est dnomme anholonomique, ou non holonomique. Les lagrangiens fonc-tionnent bien uniquement pour des systmes holonomiques. Malheureusement, la signication du terme non holonomique a t modie. Maintenant, ce terme est aussi utilis pour dsigner certains systmesrhonomiques. Lusage modernequalie de non holonomique toutsystme qui prenden compte des vitesses.

Donc,un patineursur glace ou un disque en rotationest frquemment quali de systmenon holonomique.Il faut donc rester trs prudent avant de dcider de ce que lon entend par non holonomique dans chaquecontexte particulier.

Mme si lusage des lagrangiens, et de laction, possde des limitations, ceux-ci ne nous ennuient plusau niveau microscopique, puisque les systmes microscopiques sont toujours conservatifs, holonomiqueset sclronomiques. Au niveau fondamental, les quations dvolution et les lagrangiens sont en ralit qui-

valents.* La forme la plus gnrale pour un lagrangien L(qn , qn , t), utilisant les coordonnes holonomiques gn-ralises qn, conduit aux quations de Lagrange de la forme

d

dt L

qn = L

q n. ()

An de dduire ces quations, nous avons aussi besoin de la relation q

=d

dt

(q

). Cette relation est

valable uniquement pour les coordonnes holonomiques introduites dans la note de bas de page prcdenteet illustre leur importance.Nous devons aussi souligner que le lagrangien dun systme en mouvement nest pas unique, cependant,

ltude de la manire selon laquelle les divers lagrangiens dun systme donn en mouvement sont relis neconstitue pas une partie de notre promenade.Rf. 145

Dailleurs, les indices q pour la position et p pour la quantit de mouvement furent introduits en physiquepar le mathmaticien Carl Jacobi (n. Potsdam , d. Berlin ).

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En dautres termes, tous les systmes voluent dune manire telle que le changement estaussi petit que possible. La nature est parcimonieuse. Elle est donc lexact oppos dunthriller hollywoodien, dans lequel laction est maximale. La nature sapparente plus une

vieille dame circonspecte qui fait le minimum dactions.Le principe de laction minimale tablit galement que la trajectoire relle est celle

pour laquelle la moyenne du lagrangien sur le chemin tout entier est minimale (voir laFigure ). La nature est un Dr DoLittle*. Pouvez-vous le vrier ? Ce point de vue nouspermet de dduire directement les quations de Lagrange ().Dfi 342 ny

Le principe de moindre action direncie la trajectoire relle de toutes les autres tra-jectoires imaginaires. Cette observation a conduit Leibniz** sa clbre interprtationque le monde rel est le meilleur des mondes possibles ***. Nous pourrions cartercela comme des spculations mtaphysiques, mais nous devrions rester capables de fasci-nation pour ce problme. Leibniz tait vraiment excit propos du principe de moindreaction parce que ctait la premire fois que des observations relles taient distinctes detoutes les autres possibilits imaginables. Pour la premire fois, la qute des raisons pourlesquelles les choses sont telles quelles sont devenait une partie intgrante de linvestiga-tion physique. Le monde pourrait-il tre dirent de ce quil est ? Dans le principe demoindre action, nous avons un indice de rponse ngative. (Quen pensez-vous ?) La r-Dfi 343 nponse nale ne fera surface que dans la dernire partie de notre aventure.

tantunemanire de dcrire le mouvement, le lagrangien prsente plusieursavantagespar rapport lquation dvolution. En premier lieu, le lagrangien est gnralement plusconcis que lcriture des quations dvolution correspondantes. Par exemple, nous navonsbesoin que dun seullagrangien pour dcrire un systme unique, bien quayant de nom-breuses particules. Nous faisons moins derreurs, en particulier des erreurs de signe, demme que nous apprenons plus rapidement raliser les calculs. Essayez simplement dedvelopper les quations dvolution dune chane de masses relies par des ressorts, com-parez alors ce labeur celui dune drivation en utilisant un lagrangien. (Ce systme seDfi 344 nycomporte comme une chane datomes.) Nous rencontrerons bientt un autre exemple :David Hilbert neut besoin que de quelques semaines pour dduire les quations du mou-

vement de la relativit gnrale en utilisant un lagrangien, alors quAlbert Einstein avaitplanch pendant dix ans les rechercher directement.

De plus, la description laide dun lagrangien est valable avec nimporte quelensemblede coordonnes dcrivant lobjet tudi. Les coordonnes ne doivent pas ncessairementtre cartsiennes, elles peuvent tre choisies comme nous le voulons : cylindriques, sph-riques, hyperboliques, etc. Ces coordonnes gnralises, telles quon les appelle, nous per-mettent de calculer rapidement le comportement de nombreux systmes mcaniquesqui sont en pratique trop complexes tudier par le truchement des coordonnes car-tsiennes. Par exemple, pour programmer le mouvement des bras dun robot, les anglesau niveau des articulations fournissent une description plus claire que les coordonnescartsiennes des extrmits des bras. Les angles sont des coordonnes non cartsiennes.

* Cest--dire quelle en fait le moins possible, tel que Phileas Fogg dans Le Tour du monde en jours, deJules Verne : Phileas Fogg tait de ces gens mathmatiquement exacts, qui, jamais presss et toujours prts,sont conomes de leurs pas et de leurs mouvements [N..T.].** Tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles. Leibniz [N..T.].*** Cette ide fut ridiculise par le philosophe franais Voltaire () dans ses crits clairvoyants,notamment dans le livre perspicace Candide, rdig en , et toujours largement disponible.

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Elles simplient considrablement les calculs : lopration de recherche du chemin le plusconomique pour mouvoir la main dun robot dun point un autre peut tre rsoluebeaucoup plus facilement laide de variables angulaires.

De manire plus importante, le lagrangien nous permet de dduire rapidement les pro-prits essentielles dun systme, savoir ses symtries etses quantits conserves.Nousd-

velopperons cette ide fondamentale prochainement, et nous lutiliserons rgulirementPage 190tout au long de notre promenade.

Finalement, la formulation lagrangienne peut tre gnralise pour embrasser tous lestypes dinteractions. Puisque les concepts dnergie cintique et potentielle sont gnraux,le principe de moindre action peut tre utilis en lectricit, en magntisme et en optiqueaussi bien quen mcanique. Le principe de moindre action est primordial en relativitgnrale et en thorie quantique, et nous permet dassocier aisment ces deux domaines la mcanique classique.

Au fur et mesure que le principe de moindre action sest rpandu, les gens lont ap-pliqu un nombre toujours croissant de problmes. Aujourdhui, des lagrangiens sontRf. 143utiliss partout depuis ltude des collisions de particules lmentaires jusqu la program-mation du mouvement des robots en intelligence articielle. Toutefois, nous ne devonspas oublier que, malgr sa simplicit remarquable et son intrt, la formulation lagran-gienne est quivalente aux quations dvolution. Elle nest ni plus gnrale ni plus spci-que. En particulier, elle ne donne pas une explication pour nimporte quel type de mou-Dfi 345 n

vement, mais simplement une image de celui-ci. En ralit, la recherche dune nouvelle loi physique du mouvement se rsume simplement la recherche dun nouveau lagran-gien. Cest logique puisque la description de la nature requiert toujours la description duchangement. Le changement dans la nature est invariablement reprsent par des actionset des lagrangiens.

Le principe de moindre action formule que laction est minimale lorsque les pointsextrmaux du mouvement, et en particulier le temps coul entre eux, sont gs. Il estmoins bien connu que le principe rciproque est galement valable : si laction reste xe,Rf. 146le temps coul est maximum. Pouvez-vous le montrer ?Dfi 346 ny

Bien que le principe de moindre action ne soit pas une explication du mouvement,dune manire ou dune autre il en appelle une. Cependant, nous devons nous armer depatience. Pourquoi la nature obit au principe de moindre action et commentelle le faitdeviendront limpides lorsque nous examinerons la thorie quantique.

Ne confondez jamais le mouvement aveclaction.

Ernest Hemingway

Rf. 147

P - ?

Loptimiste pense quil est dans le meilleur desmondes possibles, et le pessimiste est conscient

de cela.Robert Oppenheimer

En regardant autour de nous sur Terre et dans le ciel, nous observons que la matire nestpas uniformment distribue. La matire est attire par dautre matire : elle samasse enagrgats. Quelques exemples majeurs dagrgats sont donns dans la Figure et dansRf. 148

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le Tableau . Dans le diagramme massetaille de la Figure , les deux chelles sontlogarithmiques. Nous notons la prsence de trois lignes droites : une ligne m l qui seprolonge vers le haut depuis la masse de Planck* jusqu lunivers lui-mme via les trousnoirs, une ligne m

l qui se prolonge vers le bas depuis la masse de Planck jusqu

lagrgat le plus n possible, et la ligne classique de la matire m

l, qui se prolonge vers

le haut depuis les atomes, en passant par la Terre et le Soleil. La premire de ces lignes, lalimite du trou noir, est interprte par la relativit gnrale, les deux dernires, la limitedes agrgats et la ligne classique de la matire, le sont par la thorie quantique**.

Les agrgats qui ne sont pas situs sur la ligne classique de la matire montrent ga-lement que plus linteraction qui maintient les constituants ensemble est forte, plus lesagrgats sont petits. Mais pourquoi la matire est-elle principalement rencontre dansdes amas?

Avant tout, des agrgats de matire se forment cause de lexistence dinteractions at-tractives entre les objets. Deuximement, ils se forment cause des frottements : lorsquedeux constituants se rapprochent, un agrgat peut tre cr uniquement si lnergie li-bre peut se transformer en chaleur. Troisimement, les agrgats possdent une taillenie cause des eets rpulsifs qui empchent les objets de scrouler compltement. Deconcert, ces trois facteurs assurent que le mouvement ni est beaucoup plus courant quele mouvement libre , sans limite.

Trois types seulement dattraction conduisentauxagrgats : la gravit, lattraction entrecharges lectriques et linteraction nuclaire forte. De faon similaire, trois types seule-ment de rpulsion sont observs : la rotation, la pression et le principe dexclusion dePauli (que nous rencontrerons plus tard). Des neuf combinaisons possibles dattractionPage ??et de rpulsion, toutes napparaissent pas dans la nature. Pouvez-vous relever lesquellessont absentes partir de la Figure et du Tableau , et pourquoi?Dfi 347 n

De faon coordonne, lattraction, le frottement et la rpulsion impliquent que le chan-gement et laction sont minimiss quand des objets se rencontrent puis restent ensemble.Le principe de moindre action engendre donc la stabilit des agrgats. Par ailleurs, lhis-toire de la formation du monde explique galement pourquoi tant dagrgats tournent.Pouvez-vous dire pourquoi ?Dfi 348 ny

Mais nalement, pourquoi le frottement existe-t-il ? Pourquoi des interactions attrac-tives et rpulsives existent-elles ? Et pourquoi comme cela devrait se manifester daprsce qui a t dit la matire ne sest-elle pas trouve sous forme dagrgats certainespoques recules ? Dans le but de rpondre ces questions, nous devons tout dabordanalyser une autre proprit gnrale du mouvement : la symtrie.

TABLEAU 24 Quelques agrgats principaux rencontrs dans la nature.

A T N C

( ) .

agrgats gravitationnellement lis

* La masse de Planck est donne par mPl = cG = , ()g.Page ??** La Figure suggre que des domaines situs au-del de la physique puissent exister, nous dcouvrironsplus tard que ce nest pas le cas puisque la masse et la taille ne sont pas dnies dans ces domaines.

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A T N C

( ) .

amibe m molcules

la plus grande (nerf de ba-

leine, plantes uni-

m molcules

cellulaires)

molcules : atomes

H pm atomes

ADN (humain) m (total par cel-lule)

atomes

atomes, ions pm pm lectrons et noyaux

agrgats lis par linteraction faible c

aucun

agrgats lis par linteraction forte c

noyau > m nuclons

nuclon (proton, neutron) m quarks

msons m n.a. quarks

toiles neutrons : voir ci-dessus

a. Ce nest quen que fut mise en vidence la premire pice conviction sur le fait quil existe des objetsqui tournent autour dtoiles autres que notre Soleil. Sur plus de plantes extrasolaires dtectes jusquprsent, la plupart se trouventautourdtoiles de classe F, G et K (les lettres dsignent le type spectralde lastre.Cest la classication de Harvard qui attribue un type spectral une toile, elle correspond globalement

une chelle de temprature [N..T.]), y compris des toiles neutron. Par exemple, trois corps encerclentle pulsar PSR +, et un anneau de matire entoure ltoile Pictoris. Ces corps apparaissent commeRf. 149tant des astres sombres, des naines brunes ou dnormes plantes gazeuses comme Jupiter. En raison desrestrictions dues aux dispositifs dobservation, aucun des systmes dcouverts jusqu prsent ne constitueun systme solaire du mme type que celui dans lequel nous vivons. En ralit, seul un petit nombre deplantes similaires la Terre ont t dtectes jusqu maintenant.b. Le Soleil se situe parmi les % dtoiles les plus brillantes. De toutes lestoiles, % sont des naines rougesde classe M, % sont des naines orange de classe K, et % sont des naines blanches de classe D : elles sonttoutes trs ples. Presque toutes les toiles visibles dans le ciel nocturne appartiennent aux % brillantes.Quelques-unes dentre elles proviennent de la rare classe O de couleur bleue ou de la classe B bleueblanche(comme lpi, Rgulus et Rigel), , % constituent la classe A blanche et lumineuse (comme Sirius, Vgaet Altar), % sont de la classe F jauneblanche (comme Canopus, Procyon et ltoile polaire), , % sontde la classe G jaune (comme Alpha du Centaure, Capella ou le Soleil). Les exceptions incluent les quelquesgantes visibles de la classe K, comme Arcturus et Aldbaran, et les rares supergantes de classe M, comme

Btelgeuse et Antars. Nous en dirons plus sur les toiles un peu plus loin.Page ??c. Pour plus de dtails sur les agrgats microscopiques, voir la table des constituants dans l??.

d. On estime quil y a environ astrodes (ou plantodes) dau moins km de large et environ qui

psent au moins kg. Par ailleurs, aucun astrode situ entre Mercure et le Soleil les hypothtiquesRf. 150

Vulcanodes na t dtect jusqu prsent.

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10-20

10-40

100

1020

100

taille [m]

masse[kg]

1020

a

u-deldelascience:indtermin

au-deldelascience:au-deldelalimitedelalongueur

dePlanck

1040

lectron

neutrino

muon

univers

agrgatle plus lgerimaginable

galaxie

hydrogne

Soleil

cellule

ADN

uranium

homme

montagne

Terre

amas stellaire

toile neutrons

proton

noyaulourd

10-40

10-60

10-20

masse de Planck

trous

noirs

Particuleslmentaires

Agrgats

au-del

dela

scien

ce:

au-del

dela

limite

dutro

unoir

limitelagrgatm

icroscopique

ligne

de

la

mati

reo

rdin

air

e

F I G U R E 96 Les agrgats dans la nature.

C

Lorsque Lagrange publia son livre Mcanique analytique, en , celui-ci constitua unpoint culminant de lhistoire de la mcanique. Il tait er davoir rdig un expos syst-matique de la mcanique sans un seul dessin. videmment louvrage tait dicile lireet ne connut pas un rel succs. Cependant, sa mthode se gnralisa le temps dune g-nration.

* *

En partant du principe que laction est la quantit lmentaire qui dcrit le mouvement,nous pouvons dnir lnergie comme tant laction par unit de temps, et la quantit demouvement comme laction par unit de distance. Lnergie dun systme dcrit donc saquantit de changement au cours dun certain laps de temps, et la quantit de mouvement

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sa quantit de changement sur une certaine distance. Que reprsentent alors la quantitde mouvement angulaire et lnergie rotationnelle ?Dfi 349 n

* *

Dans la nature, la tlpathie ou la prire nont aucun eet possible, puisque dans la plu-

part des cas le changement lintrieur du cerveau estnettement infrieur au changementrevendiqu dans le monde extrieur. Cet argument est-il correct?Dfi 350 n

* *

En physique galilenne, le lagrangien est la dirence entre lnergie cintique et lnergiepotentielle. Plus tard, cette dnition sera gnralise dune faon telle quelle aiguiseranotre comprhension de cette dichotomie : le lagrangien devient la dirence entre uneexpression reprsentant des particules libres et une expression due leurs interactions.En dautres termes, le mouvement dune particule est un compromis ininterrompu entrece que la particule ferait si elle tait libre et ce que les autres particules veulent lui fairefaire. cet gard, les particules se comportent beaucoup comme des tres humains.

* *

Expliquez ceci : pourquoi T+U est-il constant, alors que TU est minimal ?Dfi 351 ny

* *

Dans la nature, la somme T+Udes nergies cintiqueet potentielle est constante pendantle mouvement (pour des systmes isols), tandisque la moyennede la dirence TUestminimale. Est-il envisageable den dduire, en combinant ces deux faits, que les systmestendent vers un tat dnergie potentielle minimale ?Dfi 352 ny

* *

Il existe un principe de moindre eortdcrivant la croissance des arbres. Lorsquun arbre une phanrophyte monopodiale* crot et produit des feuilles, entre % et % de lamassedont il estconstitu, savoir de leau et des minraux, doit tre dplace du solversle haut**. Par consquent, un arbre obtient le plus grand nombre possible de branchesle plus haut places en consommant la plus petite quantit dnergie. Cest la raison pourlaquelle toutes les feuilles ne se situent pas au plus haut sommet dun arbre. Pouvez-vousdduire dautres conclusions sur les arbres partir de ce principe ?Dfi 353 ny

* *

Un autre principe de minimisation peut tre utilis pour comprendre la conception ducorps des animaux, particulirement leur taille et les proportions de leurs structuresinternes. Par exemple, la pulsation du cur et la frquence de respiration varient en-Rf. 151semble avec la masse animale m comme m, et la puissance dissipe varie comme

m

. Il savre que de tels exposants dcoulent de trois proprits des tres vivants. Pre-mirement, ils transportent de lnergie et de la matire travers leur organisme par le

* Phanrophyte : vgtal prenne dont les bourgeons sont situs plus de cm du sol pendant le reposvgtatif (arbres, arbustes). Monopodial : dont la croissance se fait principalement partir des bourgeonsterminaux (la plante est peu ramie). [N..T.]** Le reste de la masse provient du CO de lair.

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.

air

eau

F I G U R E 97 La rfraction de

la lumire est due

loptimisation du trajet

temporel.

truchement dun rseau rami de vaisseaux : quelques-uns sont grands et beaucoupdautres sont petits. Deuximement, ces vaisseaux possdent tous la mme taille mini-male. Et troisimement, ces rseaux sont optimiss an de minimiser lnergie requisepour le transport. Ensemble, ces relations expliquent de nombreuses autres lois dchelle,elles devraient galement expliquer pourquoi lchelle de lesprance de vie animale estcomme m , ou pourquoi la plupart des mammifres ont approximativement le mmenombre de battements de cur de leur vivant.

Une explication concurrente, utilisant un principe de minimisation dirent, stipulequun quart de la puissanceproduite dans nimporte quel rseau est utilis an que le uxrejoigne la destination par le chemin le plus direct.Rf. 152

* *

Le principe de minimisation pour le mouvement de la lumire est encore plus lgant :la lumire emprunte toujours le chemin qui ncessite le plus petit temps de trajet. Onsavait depuis longtemps que cette ide dcrivait exactement comment la lumire changede direction lorsquelle passe de lair leau. Dans leau, la lumire se dplace plus lente-ment, le rapport entre la vitesse dans lair et celle dans leau est appel lindice de rfractionde leau. Lindice de rfraction, gnralement not n, dpend de la matire traverse. Sa

valeur pour leau est denviron ,. Ce rapport des vitesses, associ au principe du tempsminimal, conduit la loi de la rfraction, qui snonce comme une simple relationentre les sinus des deux angles. Pouvez-vous la dduire ? (En fait, la dnition exacte deDfi 354 nlindice de rfraction est en rapport avec le vide, et non avec lair. Mais cette dirence estngligeable : pouvez-vous imaginer pourquoi ?)Dfi 355 n

Pour le diamant, lindice de rfraction est de ,. Cette valeur leve reprsente uneexplication possible de lclat des diamants lorsquils sont taills avec faces tincelantes.

Pouvez-vous imaginer quelques autres raisons?Dfi 356 n

* *

Pouvez-vous conrmer que chacun de ces principes de minimisation est un cas parti-culier du principe de moindre action ? En ralit, cest le cas pour tous les principes deDfi 357 nminimisation connus dans la nature. Chacun dentre eux, comme le principe de moindre

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F I G U R E 98 Le myosotis (Boraginaceae), aussi dnomm Ne

moubliez pas dans de nombreuses langues. ( Markku

Savela)

action, est un principe de moindre changement.

* *

En physique galilenne, la valeur de laction dpend de la vitesse de lobservateur, maisnon de sa position ou de son orientation. Mais laction, lorsquelle est correctement d-nie, ne devraitpas dpendre de lobservateur. Tous les observateurs devraienttredaccordsur la valeur du changement observ. Ce nest quavec la relativit restreinte que lexigencedune action qui doit tre indpendante de la vitesse de lobservateur sera satisfaite. Com-ment laction relativiste sera-t-elle dnie ?Dfi 358 n

* *

Mesurer tout le changement qui se produit dans lunivers prsuppose que lunivers est unsystme physique. Est-ce vraiment le cas ?Dfi 359 n

* *

Un mouvement pour lequel laction est particulirement bien minimise dans la naturenous est cher : la marche. De vastes eorts de recherche tentent de concevoir des robotsRf. 153qui reproduisent le fonctionnement et le contrle de loptimisation de lnergie dans lesjambes humaines. Pour un exemple, consultez le site Web de Tao Geng sur http://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.html.

M

La seconde manire de dcrire globalement le mouvement est de le dcrire de telle sorteque tous les observateurs saccordent.Un objet situ sous le feu des projecteurs estqualide symtrique sil apparat sous le mme aspect lorsquil est observ depuis direntespositions. Par exemple, une eur de myosotis, dont la Figure en donne une image, estsymtriqueparce quelleprend uneapparenceidentique ds quon la tournesurelle-mme

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http://-/?-http://-/?-http://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.htmlhttp://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.htmlhttp://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.htmlhttp://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.htmlhttp://www.cn.stir.ac.uk/~tgeng/research.htmlhttp://-/?-http://-/?-


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de degrs. De nombreuses eurs darbres fruitiers ont la mme symtrie. Nous disonsgalement que, sous un changement de position, la eur possde uneproprit invariante, savoir sa forme. Si de telles positions possibles sont nombreuses, alors nous parlonsdune haute symtrie, sinon dune basse symtrie. Par exemple, un tre quatre feuillespossde une plus haute symtrique quun trois feuilles, plus courant. Des perspectives

direntes impliquent des observateurs distincts. En physique, ces points de vue sontgnralement nommsdes rfrentiels (physiques) et sont mathmatiquement dcrits pardes systmes de coordonnes*.

Une haute symtrie signie que de nombreux observateurs font la mme observation. premire vue, peu dobjets ou dobservations symtriques semblent exister dans la na-ture. En fait, cest une erreur. Au contraire, nous pouvons dduire que la nature tout en-tire est symtrique par le simple fait que nous pouvons tous parler de celle-ci, que nousen avons tous le mme point de vue ! Qui plus est, la symtrie de la nature est considra-Dfi 360 nblement plus haute que celle dune eur de myosotis. Nous nous apercevrons que cettehaute symtrie est la base de la clbre formule E = mc .P - ?

Lharmonie dissimule est beaucoup plusprofonde que celle qui est apparente.

Hraclite dphse, environ . J.-C.

Rf. 154

Pourquoi pouvons-nous comprendre quelquun lorsquil parle de lunivers, mmesi nousne sommes pas dans ses chaussons? Nous le pouvons pour deux raisons : parce que laplupart des choses ont une apparence similaire sous des angles dirents, et parce quenous avons eu pralablement, pour la plupart, des expriences similaires.

Similaire signie que ce que nous observons et ce que les autres observentconcordedune manire ou dune autre. En dautres termes, de nombreux aspects des observationsne dpendent pas du point de vue. Par exemple, le nombre de ptales dune eur esttoujours identique pour tous les observateurs. Nous pouvons donc dire que cette quantitpossde la plus haute symtrie possible. Nous verrons ci-dessous que la masse en est unautre exemple semblable. Les observables qui ont la plus haute symtrie possible sontappeles des scalaires en physique. Dautres aspects varient dun observateur lautre. Parexemple, la taille apparente uctue avec la distance de lobservation. Cependant, la taillerelle est indpendante des observateurs. En termes gnraux, nimporte quelle formedindpendance des points de vue est un modle de symtrie, et le fait que deux individusobservant la mme chose depuis des positions direntes puissent se comprendre lunet lautre dmontre que la nature est symtrique. Nous allons commencer analyser lesparticularits de cettesymtrie dans cettesection et nous poursuivronspendant la plupartdu reste de notre promenade.

Dans le monde qui nous entoure, nous remarquons une autre proprit gnrale : non

seulement le mme phnomne apparat comme similaire des observateurs dirents,mais aussi des phnomnes dirents apparaissent comme similaires au mme observa-teur. Par exemple, nous savons que si le feu brle lesdoigts dans la cuisine, il fera de mme

* Plus prcisment, en physique, un rfrentiel est un systme de coordonnes de lespace-temps, composde trois coordonnes despace et dune coordonne de temps, utilis pour dnir les notions de position, de

vitesse et dacclration [N..T.].

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lextrieur de la maison, et galement dautres endroits et dautres moments. La na-ture exhibe laptitude la reproductibilit. La nature ne rserve aucune surprise. En fait,notre mmoire et notre pense ne sont possibles que grce cette proprit lmentairede la nature. (Pouvez-vous le conrmer?) Comme nous le verrons, la reproductibilitDfi 361 nnous conduit de fortes restrictions supplmentaires sur la description de la nature.

Sans lindpendance des points de vue et la reproductibilit, parler aux autres ou soi-mme serait impossible. Plus important encore, nous dcouvrirons que lindpendancedes points de vue et la reproductibilit permettent beaucoup plus que de rendre tout sim-plement possible le fait de pouvoir discuter : elles xent galement le contenu de ce quenous pouvons nous dire. En dautres termes, nous verrons que notre description de lanature dcoule logiquement, de manire pratiquement indpendante, du simple fait quenous pouvons parler de la nature nos amis.

P

La tolrance... est le soupon que lautre pourraitavoir raison.Kurt Tucholski (), crivain allemand.

La tolrance une force que nous souhaitonsprincipalement aux adversaires politiques.

Wolfram Weidner (n en ), journalisteallemand.

Lorsque le petit dhomme commence rencontrer dautres personnes durant son en-fance, il saperoit rapidement que certaines expriences sont partages, alorsque dautres,comme les rves, ne le sont pas. Apprendre eectuer cette distinction est une des aven-tures de la vie humaine. Dans ces pages, nous nous focalisons sur une partie des exp-riences du premier type : les observations physiques. Toutefois, mme parmi celles-ci,des distinctions doivent tre eectues. Dans la vie quotidienne, nous sommes habitus reconnatre que les poids, les volumes, les longueurs et les dures sont indpendants

du point de vue de lobservateur. Nous pouvons parler de ces quantits observes qui-conque, et il ny a aucun dsaccord propos de leurs valeurs, partir du moment o ellesont t correctement mesures. Pourtant, dautres quantits doivent dpendre de lobser-

vateur. Imaginez quevous parliez un amiaprs quil a saut dun des arbres qui jalonnentnotre chemin, au moment o il est en train de chuter vers le sol. Il armera que le solde la fort se rapproche grande vitesse, bien que vous-mme prtendrez que ce sol eststationnaire. Manifestement, la dirence entre ces armations est due leurs points de

vue discordants. La vitesse dun objet (dans cet exemple celle du sol de la fort ou cellede votre ami lui-mme) est ainsi une proprit moins symtrique que le poids ou la taille.Tous les observateurs ne saccordent pas sur sa valeur.

Dans le cas des observations dpendantes du point de vue, la comprhension restetoujours possible si lon se donne un peu de peine : chaque observateur peut s imaginer

observer partir de la position de lautre, et vriersi le rsultat imagin concorde aveclarmation de lautre*. Si cette armation ainsi imagine et la vritable armation de

* Les hommes dveloppent lge denviron quatre ans la capacit dimaginer que dautres peuvent se trou-ver dans des situations direntes de la leur. Par consquent, avant cet ge, les hommes sont incapables deRf. 155concevoir la relativit restreinte, aprs ils le peuvent.

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lautre observateur concident, ces observations sont cohrentes, et les dirences dansles formulations ne sont dues qu des points de vue dirents. Sinon, la dirence estfondamentale et ils ne peuvent pas se mettre daccord ou se parler. En utilisant cette ap-proche, vous pouvez mme dire si les sentiments, les jugements ou les gots des hommesproviennent de dirences fondamentales ou non.Dfi 362 n

La distinction entre des quantits indpendantes du point de vue (invariantes) etdautres dpendantes du point de vue est une distinction primordiale. Des quantits in-

variantes, telles que la masse ou la forme, dcrivent des proprits intrinsques, et desquantits qui dpendent de lobservateur modlisent ltat du systme. Par consquent,nous devons imprativement rpondre aux questions suivantes an de trouver une des-cription complte de ltat dun systme physique :

Quels points de vue sont possibles ? Comment les descriptions se transforment-elles dun point de vue un autre ? Quelles observables ces symtries admettent-elles ? Quest-ce que ces consquences ont nous dire propos du mouvement?

Jusqu prsent, dans la discussion, nous avons tudi des pointsde vue qui dirent selonla position, lorientation, le temps et, encore plus important, selon le mouvement. Parrapport chacun dentre eux, des observateurs peuvent se trouver au repos, se dplacer

vitesse constante ou acclrer. Ces changements concrets de points de vue sont ceuxque nous tudierons en premier. Dans ce cas, la ncessit de cohrence des observationsfaites par des observateurs dirents est appele le principe de relativit. Les symtriesPage 70associes ce type dinvariance sont nommes des symtries externes. Elles sont listesdans le Tableau .Page 195

Une deuxime classe de changements fondamentaux des points de vue concerne leschangements abstraits . Des points de vue peuvent direr selon la description math-matique utilise : de tels changements sont appels des changements de jauge. Ils serontintroduits pour la premire fois dans la section sur llectrodynamique. nouveau, il est

exig que toutes les formulations soient cohrentes travers les direntes descriptionsmathmatiques. Cette exigence de cohrence est appele leprincipe dinvariance de jauge.Les symtries associes sont nommes symtries internes.

La troisime classe de changements, dont limportance ne peut pas apparatre imm-diatement dans la vie de tous les jours, est celle du comportement dun systme souslchange de ses parties. Linvariance associe est appele symtrie de permutation. Cestune symtrie discrte, et nous la rencontrerons dans la seconde partie de notre aventure.

Les trois conditions de cohrence dcrites ci-dessus sont appeles principes parceque ces formulations lmentaires sont si profondes quelles dterminent presque com-pltement les lois de la physique, comme nous le verrons bientt. Un peu plus tardnous dcouvrirons que le fait de chercher une description complte de ltat des objetsproduira galement une description complte de leurs proprits intrinsques. Mais nous

avons eu assez dintroduction : allons directement au cur du sujet.

S

Puisque nous sommes la recherche dune description exhaustive du mouvement,nous avons besoin de comprendre et de dcrire lensemble complet des symtries de la na-

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ture. On dit quun systme estsymtrique, ou quil possde une symtrie, sil apparat sousune forme identique lorsquil est observ sous dirents angles. Nous disons galementque ce systmepossdeune invariance par rapport au changement dun point de vue unautre. Les changements de points de vue sont appels oprations de symtrie ou transfor-mations. Une symtrie est donc une transformation ou, plus gnralement, un ensemble

de transformations. Toutefois, elle est beaucoup plus que cela : lapplication conscutivede deux oprations de symtrie est une autre opration de symtrie. Pour tre plus prcis,une symtrie est un ensemble G = {a b c } dlments, les transformations, combinavec un oprateur binaire appel concatnation ou multiplication et prononc suivide ou fois , dans lequel les proprits suivantes sont vries pour tout lment a, bet c :

associativit, cest--dire (a b) c = a (b c)existence dun lment neutre e tel que e a = a e = a

existence dun lment inverse a tel que a a

=a a

=e . ()

Tout ensemble qui vrie ces trois proprits dterminantes, ou axiomes, est appel ungroupe (mathmatique). Historiquement, la notion de groupe fut le premier exempledune structure mathmatique dnie dune manire totalement abstraite*. Pouvez-vousdonner un exemple dun groupe choisi dans la vie quotidienne ? Comme nous le verrons,Dfi 363 nles groupes apparaissent frquemment en physique et en mathmatiques, parce que lessymtries sont prsentes presque partout**. Pouvez-vous donner la liste des oprationsRf. 156de symtrie qui apparaissent dans les motifs de la Figure ?Dfi 364 n

R

En observant un systme symtrique et compos tel que celui de la Figure , nousremarquons que chacunede ses parties, par exemple chaque motif rouge, appartient unDfi 365 e

ensemble dobjets identiques, gnralement appel un multiplet. Considr dans son en-semble, le multiplet possde (au moins) les proprits de symtrie du systme tout entier.Pour certains des motifs colors de la Figure , nous avons besoin de quatre objets pourconstituer un multiplet complet, bien que pour dautres deux susent, ou un seulement,comme dans le cas de ltoilecentrale. En ralit, dans chaquesystme symtrique, chaquepartie peut tre classe selon le type de multiplet auquel elle appartient. Lors de notre as-

* Ce terme est d variste Galois (), cette structuration Augustin-Louis Cauchy () etcette dnition axiomatique Arthur Cayley ().** En principe, lesgroupes mathmatiques ne ncessitent pas forcment dtre dnis comme des groupes desymtrie,mais nous pouvons dmontrer quetous lesgroupes peuventtre considrs comme des groupesdetransformation dansun certain espacemathmatique convenablement choisi. Ainsidonc en mathmatiques

nous pouvons utiliser les termes groupe de symtrie et groupe de manire indirente.Un groupe est dit ablien si son opration de concatnation est commutative, cest--dire si a b = b apour tout couple dlments a et b. Dans cette condition, la concatnation est parfois appele addition. Lesrotations forment-elles un groupe ablien ?

Un sous-ensemble G G dun groupe G peut lui-mme tre un groupe ; nous parlons alors de sous-groupe et nous disons souvent abusivement que G est plus grand que G ou que G est un groupe de plushaute symtrie que G.

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puisque chaque point (x y) est transformen (y x) lorsquil est multipli par la matriceD(r). Par consquent, pour un mathmaticien, une reprsentation dun groupe de sy-Dfi 366 emtrie G est une aectation dune matrice D(a) chaque lment a du groupe telle quela reprsentation de la concatnation de deux lments a et b est gale au produit de lareprsentation D de chaque lment :

D(a b) = D(a)D(b) . ()Par exemple, la matrice de lquation (), ainsi que les matrices associes toutes lesautres oprations de symtrie possdent cette proprit*.

Pour chaque groupe de symtrie, la construction et la classication de toutes les repr-sentations possibles constituent une activit importante. Celle-ci correspond la classi-cation de tous les multiplets possibles quun systme symtriquepeut comporter. De cettefaon, la comprhension de la classication de tous les multiplets et toutes les parties quipeuvent apparatre dans la Figure nous informera sur la manire darranger toutes lesparties possibles qui peuvent composer un objet ou un exemple de mouvement !

Une reprsentation D est qualie dunitaire si toutes les matrices D

(a

)sont uni-

taires**. Presque toutes les reprsentations qui surgissent en physique, lexception seule-ment dune poignedentre elles, sont unitaires : cette propritest la plus restrictive, puis-quelle prcise que les transformations correspondantes sont des applications injectives etquelles sont inversibles, ce qui signie quun observateur ne verra jamais plus ou moinsde choses quun autre. videmment, si un observateur peut discuter avec un second, ledeuxime observateur peut galement parler au premier.

Lultime proprit importante dun multiplet, ou dune reprsentation, concerne sa

* Il y a quelques conditions accessoires videntes, mais importantes, pour une reprsentation : les matricesD(a) doivent tre inversibles, ou non singulires, et loprateur identit de G doit tre associ la matriceunit. En langage beaucoup plus concis, nous disons quune reprsentation est un homomorphisme de Gdans le groupe des matrices inversibles ou non singulires. Une matrice D est inversible si son dterminant

det D nest pas nul.En gnral, si une fonction f dun groupe G un autre groupe G satisfait la relation

f(a G b) = f(a) G f(b) , ()alors elle est appele homomorphisme. Un homomorphisme f qui est la fois injectif et surjectif est appelun isomorphisme. Si une reprsentation est galement injective, elle est qualie de dle, exacte ou juste.

De la mme faon que pour les groupes, des structures mathmatiques plus complexes comme les an-neaux, les corps et les algbres associatives peuvent galement tre reprsentes par des classes appropriesde matrices. Une reprsentation du corps des nombres complexes en est donne dans l??.**La transpose ATdune matrice A estdnielment parlment par(AT)ik = Aki . La conjugue complexeA dune matrice A est dnie par (A)ik = (Aik). La matrice adjointe A dune matrice A est dnie parA = (AT). Une matrice est qualie de symtrique si AT = A, dorthogonale si AT = A , dhermitienneou auto-adjointe (les deux sont synonymes dans toutes les applications physiques) si A

=A (les matrices

hermitiennes ontdes valeurs propresrelles),et unitaires siA

= A

.Lesmatricesunitairespossdentdesva-leurs propres de norme un. La multiplication par une matrice unitaire est une application injective, puisquelvolution temporelle des systmes physiques est une application dun instant vers un autre, lvolution esttoujours dcrite par une matrice unitaire. Une matrice relle respecte A = A, une matrice antisymtriqueou symtrique par rapport la diagonale est dnie par AT = A, une matrice anti-hermitienne par A = Aet une matrice anti-unitaire par A = A . Toutes les applications dcrites par ces types particuliers dematrices sont injectives. Une matrice est singulire, cest--dire non injective, si detA = .

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structure. Si un multiplet peut tre vu comme tant constitu de sous-multiplets, il estquali de rductible, sinon dirrductible. Le mme vocabulaire sapplique aux reprsen-tations. Les reprsentations irrductibles ne peuvent videmment pas tre dcomposes.Par exemple, le groupe de symtrie (approximatif) de la Figure , communmentappelD, possde huit lments. Il est associ la reprsentation matricielle gnrale exacte,

unitaire et irrductibleDfi 367 e

cos n sin n sin n

cos n

n =

()

Cette reprsentation est un octet. La liste exhaustive de toutes les reprsentations irrduc-tibles possibles du groupe D est donne par des singulets,des couples et des quadruplets.Pouvez-vous tous les reprer ? Ces reprsentations permettent la classication de toutesDfi 368 nyles bandes noires et blanches qui apparaissent dans la gure, ainsi que celle des motifscolors. Les lments les plus symtriques sont les singulets, les moins symtriques tantles membres des quadruplets. Le systme complet constitue toujours un singulet.

laide de ces concepts nous sommes prts discuter du mouvement avec une

meilleure prcision.

S,

Chaque jour, nous faisons lexprience que nous sommes capables de nous parler lesuns aux autres propos du mouvement. Il doit donc tre possible de dcouvrir une quan-tit invariante qui le dcrit. Nous la connaissons dj : cest laction. Craquer uneallumetteest un changement. Cest le mme changement quelle soit allume ici ou l-bas, dans unedirection ou une autre, aujourdhui ou demain. En fait, laction (galilenne) est une quan-tit dont la valeur est la mme pour chaque observateur au repos, indpendamment deson orientation ou de linstant auquel il ralise son observation.

Danslecasdesmotifsarabesdela Figure , lasymtrienouspermetdedduirelaliste

des multiplets ou des reprsentations qui peuvent constituer ses lments de base. Cettemthodedoit aussi tre possible pour le mouvement. Nous dduisons la classication desbandes de lornement arabe en singulets, couples, etc. partir des divers angles dobserva-tion possibles. Pour un systme en mouvement, les lments de base, correspondant auxbandes, sont les observables. Puisque nous considrons que la nature est symtrique sousdirents changements de points de vue, nous pouvons cataloguer toutes les observables.Pour ce faire, nous avons besoin de dresser la liste de toutes les transformations de pointsde vue et den dduire linventaire de toutes leurs reprsentations.

Notre exprience quotidienne montre que le monde reste inchang aprs des chan-gements de position, dorientation et dinstant de lobservation. Nous parlons galementdinvariance par translation dans lespace, dinvariance par rotation et dinvariance partranslation du temps. Ces transformations sont direntes de celles du modle arabe sur

deux points : elles sont continues et elles sont illimites. Ainsi, leurs reprsentations serontgnralement continment variables et sans frontires : elles seront des quantits ou desgrandeurs. En dautres termes, des observables seront confectionnes laide de nombres.De cette manire nous avons justi pourquoi des nombres sont ncessaires pour toute

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TABLEAU 25 Correspondances entre les symtries dun ornement, dune fleur et de la nature tout

entire.

S M L A

F M

Structure etcomposants

ensemble de bandes etde motifs

ensemble deptales, tige

trajectoire du mouvement etobservables

Symtrie du

systme

symtrie des motifs symtrie de la eur symtrie du lagrangien

Descriptionmathmatique dugroupe desymtrie

D C en relativit galilenne :position, orientation,instant et variations de

vitesse

Invariants nombre dlments dunmultiplet

nombre de ptales nombre de coordonnes,grandeur des scalaires,

vecteurs et tenseurs

Reprsentationsdes composants

types de multipletsdlments

types de multipletsde composants

tenseurs, y compris scalaireset vecteurs

Reprsentation laplus symtrique

singulet partie de symtriecirculaire

scalaire

Reprsentationdle la plussimple

quadruplet quintuplet vecteur

Reprsentation lamoinssymtrique

quadruplet quintuplet aucune limite (tenseur derang inni)

description du mouvement*.Puisque des observateurs peuvent avoir une orientation dirente, la plupart des re-

prsentations seront des objets possdant une direction. En bref, la symtrie sous le chan-gement de position, dorientation ou dinstant de lobservation a pour consquence quetoutes les observables sont soit des scalaires , soit des vecteurs ou plus gnralementdes tenseurs **.

Un scalaire est une quantit observable qui demeure identique pour tous les observa-teurs : elle correspond un singulet. Des exemples en sont la masse ou la charge dunobjet, la distance entre deux points, la distance lhorizon, et beaucoup dautres. Leurs

valeurs autorises sont (gnralement) continues, illimites et sans direction. Le potentiel

en un point et la temprature en un point sont dautres exemples de scalaires. La vitesse

* Contrairement aux vecteurs et aux tenseurs dordre plus lev, seuls les scalaires peuvent tre des quantitsqui ne peuvent prendre quun ensemble discret de valeurs, comme + ou seulement. Plus brivement,seuls les scalaires peuvent tre des observables discrtes.Dfi 369 e** Plus tard, les spineurs seront ajouts, et complteront, cette liste.

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nest videmment pas un scalaire, pas plus que la coordonne dun point. Pouvez-voustrouver dautres exemples et contre-exemples ?Dfi 370 n

Lnergie est une observable nigmatique. Cest un scalaire si lon considre unique-ment des changements de lieu, dorientation et dinstant de lobservation. Mais lnergienest plus un scalaire si des changements de vitesse de lobservateur sont pris en compte.

Personne na jamais recherch une gnralisation de lnergie telle quelle soit une gran-deur scalaire galement pour les observateurs mobiles. Cest seulement Albert Einsteinqui la dcouvert, compltement par hasard. Nous reviendrons sur ce sujet bientt.

Toute quantit qui possde une grandeur et une direction et qui reste identique par rapport lenvironnement aprs un changement de point de vue est un vecteur. Parexemple, la che qui relie deux points xes situs sur le sol est un vecteur. Sa longueurest la mme pour tous les observateurs, sa direction varie dun observateur lautre, maispas par rapport son environnement. Dun autre ct, la che qui relie un arbre au lieuo un arc-en-ciel touche la terre nest pas un vecteur, puisque ce lieu ne reste pas g parrapport au milieu environnant lorsque lobservateur change.

Les mathmaticiens disent que les vecteurs sont des entits orientes qui restent inva-riantes sous des transformations de coordonnes. Les vitesses des objets, les acclrationset la force exerce par un champ en un point sont des exemples de vecteurs. (Pouvez-vousle conrmer ?) La grandeur dun vecteur est un scalaire : elle est la mme pour tout ob-Dfi 371 eservateur. Dailleurs, un rsultat clbre et dconcertant des expriences ralises au dix-neuvime sicle montra que la vitesse de la lumire nest pas un vecteur pour les transfor-mations galilennes. Ce mystre sera rsolu un peu plus tard.

Les tenseurs sont des vecteurs gnraliss. Comme exemple, prenez le moment diner-tie dun objet. Il spcie la dpendance du moment cintique par rapport la vitesseangulaire. Pour tout objet, le fait de doubler la grandeur de la vitesse angulaire permetPage 72de doubler la grandeur du moment cintique ; pourtant, ces deux vecteurs ne sont pasparallles lun lautre si lobjet nest pas une sphre. En gnral, si les grandeurs de cesPage 97deux vecteurs sont proportionnelles, dans le sens o le fait de doubler la grandeur dun

vecteur double la grandeur de lautre, mais sans que ces deux vecteurs soient parallleslun lautre, alors le facteur de proportionnalit est un tenseur (du second ordre).Comme tous les facteurs de proportionnalit, les tenseurs ont une grandeur. En plus, lestenseurs possdent une direction et une forme : ils dcrivent les correspondances quiexistent entre les vecteurs auxquels ils sont associs. Puisque les vecteurs sont les quan-tits les plus simples dotes dune grandeur et dune direction, alors les tenseurs sont lesquantits les plus simples dotes dune grandeur et dune direction qui dpend dune se-conde direction choisie. Les vecteurs peuvent tre visualiss comme des ches orientes,les tenseurs peuvent ltre comme des ellipsodes orients*. Pouvez-vous citer un autre

* Un tenseur de rang n est le facteur de proportionnalit situ entre un tenseur de rang , cest--dire unvecteur, et un tenseur de rang

(n

). Les vecteurs et les scalaires sont des tenseurs respectivement de rang

et de rang . Les scalaires peuvent tre imagins comme des sphres, les vecteurs comme des ches et lestenseurs de rang comme des ellipsodes. Les tenseurs de rang plus lev correspondent des formes deplus en plus complexes.

Un vecteur possde la mme longueur et la mme direction pour tous les observateurs, un tenseur (derang ) possde le mme dterminant, la mme trace (en algbre linaire, la trace dune matrice carreest dnie comme tant la somme de ses lments diagonaux [N..T.]) et la mme somme de ses sous-dterminants diagonaux pour tous les observateurs.

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exemple de tenseurs ?Dfi 373 nRetournons la description du mouvement. Le Tableau indique que, dans des sys-

tmes physiques, nous devons toujours discerner la symtrie du lagrangien tout entier correspondant la symtrie du modle complet de la reprsentation des observables correspondantaux multiplets des rubans. Puisque laction doit tre un scalaire, et puisque

toute observable doit tre un tenseur, les lagrangiens contiennent des sommes et des pro-duits de tenseurs uniquement dans des combinaisons qui forment des scalaires. Les la-grangiens renferment donc seulement des produits scalaires ou des gnralisations deceux-ci. En rsum, les lagrangiens apparaissent toujours sous la forme

L = a ib i + cjk djk + e lmn flmn + ()o les indices aects aux variables a, b, c, etc. sur lesquelles les additions sont eectuessont toujours rpts (ainsi en gnral, les symboles de sommation sont tout simplementomis). Les lettres grecques reprsentent des constantes. Par exemple, laction dune parti-cule ponctuelle libre en physique galilenne tait donne par

S = L dt= m v dt ()qui est en ralit de la forme mentionne plus haut. Nous rencontrerons de nombreuxautres cas pendant notre tude du mouvement*.

Un vecteur est dni mathmatiquement par une liste dlments, un tenseur (de rang ) est dcrit parune matrice dlments. Le rang ou lordre dun tenseur dtermine ainsi le nombre dindices que possdelobservable. Pouvez-vous montrer cela ?Dfi 372 e* Par ailleurs, la liste classique des points de vue dobservation possibles savoir les positions direntes,les instants dobservation dirents, les orientations direntes, et les vitesses direntes est-elle galementexhaustive pour laction () ? De faon surprenante, la rponse est non. Un des premiers qui remarqua cette

particularit fut Niederer, en . En tudiant la thorie quantique des particules ponctuelles, il saperutRf. 157 que mme laction dune particule ponctuelle libre galilenne est invariante sous certaines autres transfor-mations. Si les deux observateurs utilisent les coordonnes (t, x) et (, ), laction () est invariante sousles transformationsDfi 374 ny

= Rx+ x +vtt+ et = t+t+ avec RTR = et = ()

o R dcrit la rotation de lorientation dun observateur par rapport celle de lautre, v la vitesse relativeentre les deux observateurs, et x le vecteur qui pointe entre les deux origines linstant zro. Ce grouperenferme deux cas particuliers importants de transformations :

Le groupe de Galile, connexe et statique = Rx+ x +vt et = tLe groupe de transformation SL(,R)

=x

t+ et

=t

+

t+ . ()

Le deuxime groupe, trois paramtres, inclut le renversement despace, les dilatations, la translation dutemps et un ensemble de transformations dpendantes du temps tel que = xt, = t appeles expan-sions. Les dilatations et les expansions sont rarement cites puisquelles sont des symtries des particulesponctuelles seulement, elles ne sappliquent pas aux objets et systmes ordinaires. Elles rapparatront plustard cependant, sous un jour encore plus important.

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la physique classique : descriptions générales du mouvement