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Lagrangian and Eulerian
descriptions of motion
Thomas Gomez
LML
2016-2017
// [email protected] 1/47
Outline I
1 ConceptsRéférentiels et repèreConfiguration du systèmeObjectivité
2 Description LagrangienneDéfinitionHypothèses de continuitéAffaiblissement des hypothèses de continuitéInterprétation physique de la description lagrangienne : trajectoiresLignes d’émissionVitesse d’une particule
3 Description EulerienneDéfinitionDétermination des trajectoiresLignes de courantMouvements stationnaires (ou permanents)Mouvements semi-permanents
4 Dérivées particulaires// [email protected] 2/47
Outline II
Représentation LagrangienneReprésentation Eulérienne
5 Conclusion
6 Exemples
// [email protected] 3/47
Référentiel
DéfinitionLa notion de référentiel est liée à celle d’observateur : le référentiel estpour ainsi dire "l’espace euclidien entraîné par l’observateur".
Choisie, une fois pour toutes, la chronologie, c’est-à-dire l’échelle dutemps (mécanique classique) valable pour tous les observateurs.On appelle alors référentiel l’ensemble des points de l’espace euclidienanimés du mouvement de corps rigide (isométrie directe fonction dutemps) de l’observateur.Le référentiel, noté R, est dit lié à l’observateur.
ExempleRéférentiel Galiléen
Concepts/Référentiels et repère/ [email protected] 4/47
Repère
Un repère R
Permet de repérer les positions spatiales des particules du système dans unréférentiel R.
Souvent orthonormé d’origine O.Considéré comme matérialisant le référentiel R lorsque celui-ci estanimé d’un mouvement de corps rigide.Dans R, changer de repère R pour le repère R0, consiste à effectuer àchaque instant la même transformation de coordonnées
Changement de repère dans R
R3
21
R0
30
20
10
R
OO0
Concepts/Référentiels et repère/ [email protected] 5/47
Repère
Un repère R
Permet de repérer les positions spatiales des particules du système dans unréférentiel R.
Dans un référentiel donné, les grandeurs physiques sont indépendantesdu repère choisi : vecteurs, tenseurs.
Concepts/Référentiels et repère/ [email protected] 6/47
Changement de référentiel
() Changement d’observateurPermet de repérer les positions spatiales des particules du système dans unréférentiel R.
Matérialisé en choisissant dans le référentiel R un repère R et dans leréférentiel R? un repère R? qui soient en coïncidence à un instant
donné.R et R? sont distincts.La correspondance entre R et R? évolue au cours du temps en suivantle mouvement d’entraînement (de corps rigide) d’un référentiel parrapport à l’autre.
Changement de Référentiel
Concepts/Référentiels et repère/ [email protected] 7/47
Configuration du système
DéfinitionConfiguration du système
t
: état du système S à l’instant t dansun référentiel R.Décrite par l’ensemble des positions de ses particules repérées dans leréférentiel R.0
: Configuration de référence à un temps initial t0
.
Configuration t
x
X
1
3
RM0
⌦0
M
⌦t
@⌦0
@⌦t
0 t
2
R
Concepts/Configuration du système/ [email protected] 8/47
Objectivité
DéfinitionEn mécanique, le caractère intrinsèque vis-à-vis du changement deréférentiel est appelé, l’objectivité d’une grandeur, d’une équation ou
d’une loi.
Pour une grandeur scalaire : deux observateurs mesurent la mêmevaleur dans leurs référentiels respectifs à l’instant t.Pour un vecteur : les expressions dans les repères R et R? des valeursde la grandeur mesurée par chaque observateur dans son référentielsont liées par la formule de changement de repère qui exprime lacorrespondance entre les repères R et R? à l’instant t, càd lemouvement rigidifiant du référentiel R? par rapport au référentiel R.Pour une équation : son écriture ne permet pas à deux observateursde discerner leurs référentiels respectifs à partir des mesures qu’ils yeffectuent. Les expressions sont liées par les formules de changementde repères.Exemple : Le PFD est une loi non-objective, car il n’y acorrespondance qu’en référentiel Galiléen.
Concepts/Objectivité/ [email protected] 9/47
Objectivité
ExempleLe vecteur joignant les positions géométriques à l’instant t de deuxparticules est objectif.La vitesse à l’instant t d’une particule n’est pas une grandeurobjective : 2 observateurs mesurent dans leur référentiels respectifs Ret R? des vecteurs qui ne sont pas liés par la formule de changementde repère.
Poinçonnement d’un massif pulvérulent 2D (Bonnet et Moriot 1972)
Concepts/Objectivité/ [email protected] 10/47
Description Lagrangienne
DéfinitionConsiste à
Identifier des particules constitutives du système par leur positiongéométrique dans une configuration de ce dernier prise commeréférence et notée
0
, càd par la variable X.Exprimer la valeur de toute grandeur physique dans la configurationactuelle en fonction de la particule à laquelle elle est attachée et del’instant actuel, càd en fonction des variables X et t.
Description Lagrangienne/Définition/ [email protected] 11/47
Description Lagrangienne
Correspondance géométrique ���(X, t)
Le vecteur position OM = x de la particule située initialement en M0
dans 0
est donné parx = ���(X, t) ,
��� est une fonction vectorielle définie sur ⌦0
, 8t et qui vérifie
���(X, 0) = X .
La grandeur physique attachée à cette particule est donné par
B = B(X, t) ,
B est une fonction tensorielle d’ordre quelconque vérifiant une formuleanalogue à t = 0.
Description Lagrangienne/Définition/ [email protected] 12/47
Description Lagrangienne
Correspondance géométrique ���(X, t)
La fonction ��� décrit ainsi la correspondance géométrique entre lesconfigurations (spatiales)
0
et t
.C’est donc toute l’évolution du système S, càd son mouvement qui estainsi donnée.
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Hypothèse de continuité
Hypothèses��� est une bijection de ⌦
0
sur ⌦t
et est la bijection réciproque :
8t, 8M0
2 ⌦0
, x = ���(X, t)()
8t, 8M 2 ⌦t
, X = (x, t)
��� et sont continues par rapport à l’ensemble des variables
d’espace et de temps
��� et supposées de classe C1 voir C2.Grandeur physique B : la fonction B supposée continue en général declasse C1 voir C2 par rapport aux variables X et t.
Description Lagrangienne/Hypothèses de continuité/ [email protected] 14/47
Conséquences des hypothèses
=) Validité de la modélisation par comparaison avec l’expérience1 2 particules infiniment proches dans
0
restent infiniment prochesdans toute configuration.
2 Des particules qui occupent dans 0
un domaine connexe, occupentdans
t
un domaine connexe de même ordre (volume, surface, courbe)=) concept de domaine matériel = domaine transporté par le
mouvement
3 Particules à l’intérieur d’une surface fermée dans 0
restent àl’intérieur de la surface transportée 8t.=) La frontière d’un volume matériel est une surface matérielle.
4 =) Une surface matérielle est toujours constituée des mêmes
particules.
Description Lagrangienne/Hypothèses de continuité/ [email protected] 15/47
Conséquences des hypothèses
Continue différentiabilitéSoit J(X, t) le déterminant jabobien de ��� à l’instant t en(X1, X2, X3) :
J(X, t) =D(x1, x2, x3)
D(X1, X2, X3)
��� et étant continues et continûment dérivables par rapport Xet t
=) J(X, t) est continu par rapport à X et t
De plus J(X, t) ne peut être ni nul ni infini, puisque les jacobiennesde ��� et doivent être inversibles.Rmq : J(X, t) conserve donc un signe constant sur ⌦
0
et au cours dumouvement.
Description Lagrangienne/Hypothèses de continuité/ [email protected] 16/47
Conséquences des hypothèses
Interprétation physique : Dilatation VolumiqueAu temps initial
���(X, 0) = X =) J(X, 0) = 1 8M0
2 ⌦0
.
J(X, t) est positif et fini 8M0
2 ⌦0
, 8t
=) 0 < J(X, t) < +1
J(X, t) : Dilatation volumique dans le mouvement entre lesconfigurations
0
et t
en suivant la particule de M0
à M :
d⌦t
= J(X, t) d⌦0
d⌦0
: volume d’un domaine matériel élémentaire au point M0
,d⌦
t
: volume du domaine transporté en M dans la configuration t
.
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Pertinence du modèle
ExemplesMécanique de la rupture, surface de jet en méca flu =) conservation de laproximité entre 2 points au cours de l’évolution trop contraignante :
discontinuité de ��� permisent au franchissement de certaines surfaces.
Onde de chocs : ��� continu mais ses dérivées spatiales et temporelle doiventadmettre des discontinuités au franchissement de la surface d’onde.
Affaiblissement des hypothèsesOn n’impose plus que la continuité et la continue différentiabilité de ��� par
morceaux.Des discontinuités de la fonction ��� et/ou de ses dérivées sont permises aufranchissement d’une infinité dénombrable de surfaces dans IR3.
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Discontinuités
Exemple : ��� discontinue
Figure: Poinçonnement asymétrique d’un bloc de plasticine (INPG),application à la tectonique de l’est de l’Asie
Description Lagrangienne/Affaiblissement des hypothèses de continuité/ [email protected] 19/47
Discontinuités : ��� discontinue
Exemple
Figure: Onde de choc (NASA) ; densité et vitesses discontinues.
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Discontinuités : ��� discontinue
Exemple
Figure: Plaque plane (ONERA).
Description Lagrangienne/Affaiblissement des hypothèses de continuité/ [email protected] 21/47
Interprétation physique
TrajectoiresRéalité expérimentaleParticule identifiée par sa position X =) description de sa trajectoireparamétrée en fonction du temps dans le référentiel R
x = ���(X, t) où X est fixé.
Description Lagrangienne = description par trajectoires
Expérimentalement en méca flu ou solide : on marque une particule àun instant t
0
et on fait une prise de vue en pose.
Description Lagrangienne/Interprétation physique de la description lagrangienne : trajectoires/[email protected] 22/47
Ligne d’émission
Position des particules dans ROn marque chaque particule passant par le point P de coordonnéesxi
P
dans R à partir du temps t0
; on observe à un instant T > t0
, lespositions de ces particules dans R : La courbe géométrique
correspondante est la ligne d’émission du point P observée àl’instant T .Vitesse de la particule dans le référentiel R identifiée par sa positionX dans
0
:x = ���( (x
P
, t0), T ) pour t0 2 [t, T ].
xp = ���(X, t0)
t
X
0 x = ���(X, T )
P
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Ligne d’émission
Exemple
Figure: Ligne d’émission dans un vortex (ESPCI)
Description Lagrangienne/Lignes d’émission/ [email protected] 24/47
Visualisation des écoulements aérodynamiques
Analogie hydraulique en tunnel hydrodynamique avec émission de traceurscolorés
Figure: Extrados du concorde en phase d’atterissage (ONERA)
Description Lagrangienne/Lignes d’émission/ [email protected] 25/47
Visualisation des écoulements aérodynamiques
Analogie hydraulique en tunnel hydrodynamique avec émission de traceurscolorés
Figure: Tourbillon de bout d’aile (ONERA)
Description Lagrangienne/Lignes d’émission/ [email protected] 26/47
Visualisation des écoulements aérodynamiques
Nappe lumineuse transverse : Traceurs colorés + Bulles d’air
Figure: Vue arrière du Concorde en phase d’atterissage, écoulement à bassevitesse(ONERA)
Description Lagrangienne/Lignes d’émission/ [email protected] 27/47
Tunnel hydrodynamique
Traceurs colorés
Figure: Allée de Von Kármán : Tourbillons alternés du sillage d’une plaque mince(ONERA)
Description Lagrangienne/Lignes d’émission/ [email protected] 28/47
Vitesse d’une particule
Dans le référentiel RVitesse de la particule dans le référentiel R identifiée par sa positionX dans
0
:
U(X, t) =@���(X, t)
@t.
Le vecteur vitesse U(X, t) dans R est tangent à la trajectoire de laparticule dans R au point x = ���(X, t).Accélération de la particule :
a(X, t) =@2���(X, t)
@t2.
Description Lagrangienne/Vitesse d’une particule/ [email protected] 29/47
Description Eulérienne du mouvement (L. Euler 1707–1789)
DéfinitionConsiste à prendre à chaque instant la configuration actuelle commeconfiguration de référence pour décrire l’évolution infinitésimale entret et (t+ dt).Défini l’état du système par la donnée, à chaque instant t, de lavitesse U
t
de la particule située au point géométrique M dans t
8t, 8M 2 ⌦t
,U = Ut
(x, t) .
Rmq : Fonction de 4 variables scalaires mais les variables d’espacex1, x2, x3 sont relatives à la configuration actuelle et non plus à laconfiguration de référence : plus d’identification au cours du temps.Toute grandeur physique est définie de même sur
t
8t, 8M 2 ⌦t
,B = b(x, t) .
Convention : Minuscules pour les fonctions relatives à la descriptionEulérienne (x) / Majuscule pour la Lagrangienne (X) sauf pour lavitesse.
Description Eulerienne/Définition/ [email protected] 30/47
Détermination des trajectoires
Description Eulérienne de l’évolution d’un système SImmédiate lorsque l’on connait la description Lagrangienne :
(U
t
(x, t) = U(X, t) = U( (x, t), t)
b(x, t) = B(X, t) = B( (x, t), t)(1)
Rmq : Ut
est continue et continûment différentiable par morceaux si��� est C2
par morceaux.
Description Eulerienne/Détermination des trajectoires/ [email protected] 31/47
Détermination des trajectoiresDescription Eulérienne de l’évolution d’un système S
Inversement la description Eulérienne permet de reconstruire lafonction ���.Résoudre (
@�
�
�(X,t)
@t
= Ut
(���(X, t), t) ,
���(X, 0) = X , condition initiale.
Sous forme différentielle(dx = U
t
(x, t) dt ,
x|t=0
= X , condition initiale.
Solution unique pour chaque condition initiale sous la forme
x = ���(X, t) ,
sous réserve de conditions de régularité sur la fonction Ut
Ensemble des trajectoires dans R = Famille de courbes à 3paramètres Xi (coordonnées de M
0
).
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Détermination des trajectoires
Description Eulérienne de l’évolution d’un système SL’expression lagrangienne de la valeur d’une grandeur physique Battachée à la particule située en x à l’instant t
B = B(X, t) = b(���(X, t), t) ,
par inversion de (1).
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Lignes de courant
Famille de courbes géométriquesA un isntant donné T , on appelle lignes de courant du mouvementdans le référentiel R, les lignes enveloppes du champ de vecteursvitesses U
t
(x, T ).Lignes définies dans R par le système différentiel :
dx1
U1
t
(x, T )=
dx2
U2
t
(x, T )=
dx3
U3
t
(x, T ),
système différentiel de 2 équations en x1, x2, x3.
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Lignes de courant
Famille de courbes géométriquesLes lignes de courant dans R à l’instant T constituent une famille de
courbes géométriques à 2 paramètres :
M 0
M
Ut(x, T )
Ut(x0, T )
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Mouvements stationnaires (ou permanents)
Famille de courbes géométriquesLe mouvement est dit stationnaire (ou permanent) dans un référentielR si, dans sa description Eulérienne, U
t
(x, t) est indépendante de t etn’est fonction que des coordonnées du point géométrique M .
Ut
(x, t) ⌘ U(x) =) dx1
U1(x)=
dx2
U2(x)=
dx3
U3(x).
Les trajectoires forment alors une famille de courbes géométriques à 2
paramètres, identique à la famille des lignes de courant qui deviennent
dans ce cas, indépendantes du temps.
Description Eulerienne/Mouvements stationnaires (ou permanents)/ [email protected] 36/47
Ligne de courant
Exemple
Figure: Ecoulement autours d’un cylindre (ONERA).
Description Eulerienne/Mouvements stationnaires (ou permanents)/ [email protected] 37/47
Ligne de courant
Exemple
Figure: Ecoulement autours d’une aile Delta en incidence (ONERA).
Description Eulerienne/Mouvements stationnaires (ou permanents)/ [email protected] 38/47
Mouvements semi-permanents dans un référentiel R
DéfinitionPropriété caractéristique
Ut
(x, t) = �(t)U(x) .
Lignes de courant indépendantes du temps.
Trajectoires = famille de courbes géométriques à 2 paramètres ⌘lignes de courant.La ligne d’émission d’un point P : identique à la partie aval de latrajectoire passant par ce point.
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Dérivées particulaires
Représentation LagrangienneGrandeur (scalaire, vectorielle, tensorielle) attachée à une particule :
B = B(X, t)
Dérivée particulaire : dérivation partielle par rapport au temps
B =@B
@t
Rmq : B(X, t) supposée continue et continûment différentiable parrapport à t.
Dérivées particulaires/Représentation Lagrangienne/ [email protected] 40/47
Dérivées particulaires
Représentation EulérienneLes grandeurs sont définies en fonction des positions géométriquesdans la configuration
t
, et du temps t
B = b(x, t)
La grandeur B s’écrit en description lagrangienne :
B = b(x, t) = b(���(X, t), t) = B(X, t)
On doit dériver ces fonctions par rapport au temps en suivant laparticule
B =@b
@t+ (rb) · @�
��
@t
=) B =db(x, t)
dt=@b
@t(x, t) +U(x, t) ·rb(x, t)
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Dérivées particulaires
Représentation EulérienneAccélération d’une particule en description eulérienne :
a(x, t) =dU(x, t)
dt=@U
@t(x, t) +U(x, t) ·rU(x, t)
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Conclusion
CommentaireMarquage d’une particule unique pas réalisable.Techniques expérimentales : volume de matière.Modélisation ⌘ forme mathématique =) prédiction.
Conclusion// [email protected] 43/47
