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La relation de PythagoreTriangle rectangle :Un triangle est rectangle lorsque
l’un des angles du triangle mesure 90°.
Rappel : La somme des mesures des angles
intérieurs d’un triangle est toujours de
180°.
a
b
c
Cathètes
Hypoténuse
B
AC
Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de l’angle de 900.
Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle formant l’angle droit.
Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est le plus long des trois côtés du triangle.
philosophe et mathématicien grec, aPythagore,
établi la relation suivante dans les
triangles rectangles.
3
4
5
Avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités,
on construit des carrés avec chacun des côtés.
On constate que la somme des aires des deux carrés formés avec les cathètes est égale à l’aire du carré formé avec l’hypoténuse.
On calcule l’aire de chacun.9
16
25
9 + 16 = 25
32 + 42 = 52soit
a
b
ca2
b2
c2
En remplaçant par des lettres
Relation de Pythagore :
Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes.
c2 = a2 + b2
a
b
c
c2 = a2 + b2
Si on cherche la mesure de l’hypoténuse ( le plus long côté ) :
Si on cherche la mesure d’une cathète :
a2 = c2 - b2
b2 = c2 - a2
Attention: Une fois le calcul terminé, il faut extraire la racine carrée de la réponse.
Exemples d’application :
Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants:
c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 42
c2 = 9 + 16
c2 = 25
c = 5
Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.
Ici, on cherche l’hypoténuse.
a
b
c
1)
3
4
?
33,15 cm
2) A
B
C
18,42 cm
?
b2 = c2 - a2
b2 = 33,152 - 18,422
b2 = 1098,9225 - 339,2964
b2 = 759,6261
b ≈ 27,5613
Réponse: m AC ≈ 27,56 cm
Ici, on cherche une cathète.
a
b
c
Comment vérifier si un triangle est rectangle en connaissant uniquement la mesure des trois côtés?
Par la relation de Pythagore.
Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les triangles forment un triangle rectangle.
1) 11cm, 61cm, 60cm 2) 63dm, 33dm, 56dm
Hypoténuse
c2 = a2 + b2
612 = 112 + 602
3721 = 121 + 36003721 = 3721
c2 = a2 + b2
632 = 332 + 562
3969 = 1089 + 31363969 ≠ 4225
Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.
Remarque : B
AC b
acLa relation de Pythagore peut
s’écrire
soit c2 = a2 + b2
soit (m AB) = (m BC) + (m AC) 2 2 2
300
600
D
C
E
A
BCette écriture est un peu plus longue, mais plus précise pour une figure complexe.
Un triangle est rectangle seulement si le problème le mentionne ou si tu es capable de le prouver.
Remarques :
La relation de Pythagore n’est vraie que dans les triangles rectangles.
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