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Cours de maths en 5ème

La symétrie

centrale

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VERS UNE AUTRE SYMÉTRIE

Les figures A,B,C,D, ci-dessous, sont superposables. En partant du dessin A, il s’agit de trouver le procédé utilisé pour construire chacune des figures B,C et D. Conseil : il faut tracer les segments joignant des points correspondants et examiner leurs particularités.

D

C

B A

A B ............................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................

A C ............................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................

A D ............................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................................................................................................

Remarque : en utilisant du papier calque, .............................................................................................................................................................................................................................................

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DE LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE À LA SYMÉTRIE CENTRALE

1) Construis le polygone FGHIJ symétrique du polygone ABCDE par rapport à la droite d. 2) Construis le polygone KLMNP symétrique du polygone FGHIJ par rapport à la droite d’. 3) Trace les segments [AF], [BG], [CH],[DI],[EJ]. Que représente la droite d pour ces segments ? 4) Trace les segments [AK], [BL], [CM], [DN], [EP]. Que représente le point O pour ces segments ? 5) Pouvais-tu construire le polygone KLMNP sans avoir besoin du polygone FGHIJ ?

A

B

C

D

E

d

d'

O

3)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

LA SYMÉTRIE CENTRALE

(SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UN POINT)

- Symétrique d’un pointA

B

I

Le symétrique d’un point A par rapport à un point I est le point B tel que I soit le milieu du segment [AB] On dit que A et B sont symétriques par rapport à I. AI IB=

- Symétriques d’une droite, d’un segment

AB

CD

I

Un point I étant donné. A et B étant deux points donnés, C étant le symétrique de A par rapport à I, D étant celui de B, l’image du segment [AB] par la symétrie de centre I est le segment [CD], parallèle à [AB] et de même longueur. [CD] // [AB] CD = AB Le symétrique d’un segment, par rapport à un point, est un segment parallèle et de même longueur. Remarque : [AB] et [CD] ont des positions inversées La droite (CD) est symétrique de la droite (AB) par rapport au point I. Les deux droites sont parallèles (CD) // (AB) Le symétrique d’une droite, par rapport à un point, est une droite parallèle.

- Symétrique d’un angle

A

I

C Un point I étant donné. Un angle étant donné, A C étant le symétrique de par rapport à I, on a : A

A C= Les angles symétriques ont leurs côtés parallèles deux à deux. Leurs positions sont inversées

- Symétrique d’un cercle

A I

C

M

N

r

r

Un point I étant donné. Un cercle de centre A et de rayon r étant donné. C est le symétrique de A par rapport à I N est le symétrique d’un point M du cercle donné. Les segments [AM] et [CM] ont la même longueur r. Le cercle de centre C et de rayon r est le symétrique du cercle donné. Deux cercles symétriques ont le même rayon.

- Centre de symétrie d’une figure La construction du symétrique d’un point par rapport à un point I donné peut se faire au compas en traçant un demi-cercle de centre le point I. (voir § ).

On passe donc d’un point à son symétrique par un demi-tour autour du centre de symétrie. Un point est centre de symétrie d’une figure si celle-ci coïncide avec elle-même par un demi-tour autour de ce point.

En considérant toutes les propriétés précédentes, on peut aussi dire que pour bien reconnaître qu’une figure possède un centre de symétrie,

il faut que: deux segments correspondants soient bien parallèles qu’ils aient bien la même longueur et que leurs dispositions soient inversées.

Exemple : Parmi les lettres majuscules d’imprimerie, les seules qui admettent un centre de symétrie (représenté par un point rouge) sont :

H I N O S X Z

FIGURES SIMPLES ET SYMÉTRIE

Construis leurs axes de symétrie et leurs centres de symétrie (si elles en ont)

EXERCICES LA SYMÉTRIE CENTRALE

Construis l’image de chaque figure par la symétrie de centre I.

SYMÉTRIE CENTRALE (par rapport au point I)

SYMÉTRIE ORTHOGONALE (par rapport à la droite ∆)

M' est le symétrique du point M par rapport à I

I est le milieu de [MM']

M' est le symétrique du point M par rapport à ∆.

∆ est la médiatrice de [MM'][CD] est le symétrique du segment [AB] par rapport à I

AB = CD et [AB] // [CD] ABCD est un parallélogramme

[CD] est le symétrique du segment [AB] par rapport à ∆

AB = CDABDC est un trapèze isocèle

d' est la symétrique de d par rapport à I d // d'

d' est la symétrique de d par rapport à ∆ d' et d se coupent sur ∆

M

∆

M'

N

N'

∆

M

M'

A

B

I

D

C

M

I

M'

B

ABI

d'

d

d

d'

∆

est le symétrique de par rapport à I A

A B=

B est le symétrique de par rapport à ∆ A A B=

A

I

B

∆

Α

Β

LES DEUX SYMÉTRIES

DEVOIR 1 Nom Prénom:………………………………………………….. Construis le symétrique de la figure (le centre du demi-cercle est le milieu de [AB])

par rapport à la droite (D) par rapport au point I

A

B

C

I

D

DEVOIR 2 CALCULS EN LIGNE - SYMÉTRIES -

Calcule: ( )

( )

a b ca b c aa b a cc b aa b a c

× +

× + −× − ×

× −

+ × +

…sachant que: a = 7; b = 9; c = 4

-

a) Construis le triangle ABC sachant que: AB 5 cm

ABC 58

BAC 83

=

= °

= °

b) Construis la médiatrice ∆ du segment [BC] et le milieu I du segment [AB]. c) Construis le symétrique du triangle ABC par rapport à la droite ∆. d) Construis le symétrique du triangle ABC par rapport au point I.

Devoir 3 Date:……………………………… Prénom NOM :....................……………..............................................................

- Parmi les figures ci-dessous, désigne celles qui ont un centre de symétrie.

Φ ε ……………. ……………… ………………. ………………….. …………….. …………..

- Construis le symétrique, par rapport au point C, du trapèze ABCD.

- On sait que B est le symétrique de C par rapport à un point I.Construis ce point I

Construis ensuite le symétrique du triangle ABC par rapport à I. A

B

C

- Complète le dessin ci-dessous en coloriant un minimum de carrés pour qu’il admette un centre de symétrie.

VERS UNE AUTRE SYMÉTRIE

Les figures A,B,C,D, ci-dessous, sont superposables. En partant du dessin A, il s’agit de trouver le procédé utilisé pour construire chacune des figures B,C et D. Conseil : il faut tracer les segments joignant des points correspondants et examiner leurs particularités.

I

∆

A B Les segments joignant des points correspondants ont la même médiatrice ∆. Cette transformation est la symétrie par rapport à la droite ∆.

A C Les segments joignant des points correspondants ont le même milieu I. Cette transformation est appelée symétrie par rapport au point I.

A D Les segments joignant des points correspondants sont parallèles, de même longueur et vont dans le même sens. Cette transformation est appelée translation ; tu l’étudieras en classe de quatrième.

Remarque : en utilisant du papier calque,

A B . On obtient B par un pliage autour de ∆ A C : On obtient C par un demi-tour autour du point I A D . On obtient C par un glissement le long d’un segment joignant deux points correspondants.

DE LA SYMÉTRIE ORTHOGONALE À LA SYMÉTRIE CENTRALE

1) Construis le polygone FGHIJ symétrique du polygone ABCDE par rapport à la droite d. 2) Construis le polygone KLMNP symétrique du polygone FGHIJ par rapport à la droite d’. 3) Trace les segments [AF], [BG], [CH],[DI],[EJ]. Que représente la droite d pour ces segments ? 4) Trace les segments [AK], [BL], [CM], [DN], [EP]. Que représente le point O pour ces segments ? 5) Pouvais-tu construire le polygone KLMNP sans avoir besoin du polygone FGHIJ ?

A

B

C

D

E

d

d'

O

F

G

H

I

J

K

L

M

N

P

3) La droite d est la médiatrice des segments [AF], [BG], [CH], [DI] et [EJ] 4) O est le milieu des segments [AK], [BL], [CM], [DN] et [EP]. 5) Tu traces les droites (AO), (BO), (CO), (DO) et (EO). Tu reportes sur ces droites les longueurs AO, BO, CO, DO, et EO au-delà du point O. Tu obtiens alors les points K, L, M, N,et P.

FIGURES SIMPLES ET SYMÉTRIE

Construis leurs axes de symétrie et leurs centres de symétrie (si elles en ont)

O

pentagone régulier

triangle (pas d'axe)

parallélogramme (pas d'axe)

cercle de centre Otout diamètre est un axe

triangle isocèle rectangleun axe

carré4 axes

hexagone réguliersix axes

triangle isocèleun axe

triangle équilatéraltrois axes

rectangledeux axes O

un centre

O

OO

un centre

un centre

un centreO

un centre

pas de centre

pas de centre

pas de centre

pas de centre

pas de centre

Les justifications de construction sont représentées en bleu ; les axes sont en rouge. Le centre (quand il y en a un) s’appelle O.

EXERCICES LA SYMÉTRIE CENTRALE

Construis l’image de chaque figure par la symétrie de centre I.

Remarque : les arcs de cercle sont assez approximatifs Mille excuses !

La symétrie centraleVers une autre symétrie (fiche)De la symétrie orthogonale vers la symétrie centrale (fiche)CoursRecherche de centres de symétrie (fiche)Exercices (fiche)Comparaison des deux symétriesDevoir 1 (fiche)Devoir 2Devoir 3Vers une autre symétrie (Corrigé)De la symétrie orthogonale...(Corrigé)Recherche de centres de symétrie (Corrigé)Exercices (Corrigé)