Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Chapitre8–Transformationsduplan1
1. Lasymétrieorthogonale
a) Pliage
Àpartird’unefeuilleA5:
- Plielafeuilleendeuxhorizontalement- Plieensuitelafeuilleendeuxverticalement
- Enayantlesplispositionnésàgaucheetenhaut,dessineunFengras( )- DécoupeceFàtraversles4épaisseursdetafeuillepuisdéplie-la.
CompareentreeuxlesdifférentsFreprésentéssurtafeuille.Quellessontlesdifférences,lesressemblances?
Colleci-dessoustondécoupage:
Pourcommencer,nousallonsnousintéresseraupassagedeF1àF2.
Chapitre8–Transformationsduplan2
b) Avecquadrillage
Danslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Laligneindiqueunpli.Sanseffectuerlepliage,dessinel’emplacementdunouveauGobtenu(commepourleFn°2denotresituationinitiale).
Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:
Chapitre8–Transformationsduplan3
c) Sansquadrillage
OùsetrouveraletriangleABCci-dessoussionplielafeuillesurladroitedindiquée?Tracecetteimage.
Aquoidoit-onêtreattentif?
Vocabulaire
Lestroistransformationsduplanquenousvoyonscetteannées’appellentdesisométries(quisignifie«mêmemesure»)parcequ’ellesconserventleslongueurs(lesobjetsontlamêmetaille).
Lafiguredebaseestappeléefigureinitialetandisquelafigureobtenueaprèsisométrieestappeléeimage.
L’imagedupointAsenotegénéralementA’(celaselit«Aprime»).
Unetraceestunsegment(généralementenpointillé)quirelieunpointàsonimage.
Chapitre8–Transformationsduplan4
d) Synthèse
Symétrieorthogonale
Notation: 𝑺𝒅 𝑨 = 𝑨!quiselit«Aprimeestl’imagedeAparlasymétrieorthogonaled’axed».
Verbed’action:Seretourner
Élémentcaractéristique:unaxedesymétrie(unedroite).
Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureestenvoyéperpendiculairementde
l’autrecôtédel’axeetàlamêmedistancedecelui-ci
Filmdeconstruction:
Constructiondel’imagedupointAparsymétrieorthogonaled’axed.
1. Ontraceuneperpendiculaireàl’axedpassantparlepointA
2. Pourreporterladistance,onmarquel’intersectionentrel’axedetlaperpendiculaireparlepointO.Ontraceunarcderayon[AO]del’autrecôtédel’axed.
3. L’intersectionentrelaperpendiculaireetl’arcdecercleestl’imagedupointAparsymétrieorthogonaled’axed.OnappellecepointA’.
Remarque:ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.
Chapitre8–Transformationsduplan5
Exercice1
Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlasymétrieorthogonaledemandée:
a) 𝑺𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′
b) 𝑺𝒌 𝑨𝑫𝑩𝑪 = 𝑨!𝑫′𝑩′𝑪′
Chapitre8–Transformationsduplan6
c) 𝑺𝑫𝑬 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′
d) 𝑺𝒇 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′
Chapitre8–Transformationsduplan7
e) 𝑺𝑭𝑮 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′
f) 𝑺𝑨𝑫 𝑨𝑩𝑫𝑪 = 𝑨!𝑫′𝑩′𝑪′ABCestuntriangleisocèleenA
Chapitre8–Transformationsduplan8
2. Lasymétriecentrale
a) PliagePourrappel,voiciundessindenotrepliage–découpageinitial:
Nousallonsnousintéresseraumouvementquipermet,enuneseuleétape,depasserduFn°1auFn°3.
Observecemouvementetnotetespremièresobservations:
Chapitre8–Transformationsduplan9
b) AvecquadrillageDanslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Les2lignesindiquentdesplis.Sanseffectuerlespliages,dessinel’emplacementduGobtenuaprèssuccessiondecesdeuxpliages(commeleFn°3delapageprécédente).
Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:
Miseencommun:
Chapitre8–Transformationsduplan10
c) Sansquadrillage
OùsetrouveraletriangleABCs’iltourned’undemi-tourautourdupointRdonné?Tracecetteimage.
Aquoidoit-onêtreattentif?
Chapitre8–Transformationsduplan11
d) SynthèseSymétriecentrale
Notation: 𝑺! 𝑨 = 𝑨!quiselit«Aprimeestl’imagedeAparlasymétriecentraledecentreR».
Verbed’action:Tourner(oupivoter)d’undemi-tour(oude180°)
Élémentcaractéristique:uncentre(unpoint).
Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureestenvoyédel’autrecôtéducentreàla
mêmedistanceducentre.
Filmdeconstruction:
Constructiondel’imagedupointAparsymétriecentraledecentreO.
1. Ontraceunedemi-droite[AO
2. Ontraceunarcdecerclederayon[OA]
3. L’intersectionentrel’arcdecercleetlademi-droiteestl’imagedeAparsymétriecentraledecentreO.OnappellecepointA’.
Remarques:
Ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.
Pourdifférencierunesymétriecentraled’unesymétrieorthogonaledanslanotation,ilfautregarder
cequisetrouveenindicedu«S»:
- Unelettremajuscule=unpoint=symétriecentrale.
- 2lettresmajusculesouunelettreminuscule=unedroite=symétrieorthogonale
Exemples:𝑺! estunesymétrie;𝑺! estunesymétrie
𝑺!"estunesymétrie
Chapitre8–Transformationsduplan12
Exercice2
Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlasymétriecentraledemandée:
a) 𝑺𝑫 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′
b) 𝑺𝑭 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′
Chapitre8–Transformationsduplan13
c) 𝑺𝑰 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′
d) 𝑺𝑿 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′
Chapitre8–Transformationsduplan14
e) 𝑺𝑽 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′𝑬′𝑭′𝑮′𝑯′
f) 𝑺𝑪 𝑨𝑩𝑫𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑫′𝑪′
Chapitre8–Transformationsduplan15
3. Latranslation
a) Pliage
Àpartird’unefeuilleA5
- Plielafeuilleendeuxhorizontalement- Replieensuitelafeuilleendeuxhorizontalement
- Surunedesfaces,dessineunFengras( )- DécoupeceFàtraversles4épaisseursdetafeuillepuisdéplie-la.
Colleicitondécoupage:
NousallonsmaintenantnousintéresseraupassagedeF1àF3.
Chapitre8–Transformationsduplan16
b) Avecquadrillage
Danslequadrillageci-dessous,unGesttracé.Leslignesindiquentdesplis.Sanseffectuerlepliage,dessinel’emplacementdunouveauGn°3obtenu(voirpageprécédente)
Expliqueci-dessouscommenttuasprocédé,ceàquoituasétéattentifpuiscompareavectonvoisin:
Etoùsetrouveralaformeci-dessoussielleeffectueunglissementselonlevecteurdonné?
Chapitre8–Transformationsduplan17
c) Sansquadrillage
OùsetrouveraletriangleABCs’ilglisseselonlesinformationsdonnéesparlevecteurci-dessous?
Aquoidoit-onêtreattentif?
Chapitre8–Transformationsduplan18
d) Synthèse
Translation
Notation: 𝑇!" 𝐻 = 𝐻!quiselit«Hprimeestl’imagedeHparlatranslationdevecteur𝐴𝐵».
Verbed’action:Glisser
Élémentcaractéristique:unvecteur(flèche).
Définition:C’estuneisométrieoùchaquepointdelafigureglissedanslamêmedirection,dansle
mêmesensetaveclamêmelongueurquelevecteur.
Filmdeconstruction:
Constructiondel’imagedupointApartranslationdevecteur𝑣.
1. OntraceuneparallèleauvecteurpassantparlepointA
2. Ontraceunarcdecercledanslemêmesens,mêmedirectionetdemêmerayonquelalongueurduvecteur.
3. L’intersectionentrelaparallèleetl’arcdecercleestl’imagedupointApartranslationdevecteur𝑣.OnappellecepointA’
Remarque:Ladistancepeutégalementêtrereportéeàl’équerreouàlalatte.
Chapitre8–Transformationsduplan19
Exercice3
Tracel’imagedesfiguresci-dessousparlatranslationdevecteurdemandée.
a) 𝑻𝒖 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′
b) 𝑻! 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′
Chapitre8–Transformationsduplan20
c) 𝑻𝑨𝑩 𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝑨!𝑩′𝑪′𝑫′
d) 𝑻𝒖 𝑨𝑩𝑪 = 𝑨!𝑩′𝑪′
Chapitre8–Transformationsduplan21
Exercice4
Tracel’imagedechaquefigureparlatransformationduplandemandée:
a) SC
b) 𝑇!"
c) Sa
Exercice5
Tracel’imagedechaquefigureparlasymétrieorthogonaled’axeddonné.
Chapitre8–Transformationsduplan22
Exercice6
Enrespectantlesconsignessuivantes,tuparviendrasàreconstituerunobjetvolantbienidentifié:
Tracel’imagedelafiguren°1parlasymétriecentraledecentreA.
Tracel’imagedelafiguren°2parlasymétrieorthogonaled’axeb.
Tracel’imagedelafiguren°3parlasymétrieorthogonaled’axea.
Tracel’imagedelafiguren°4parlatranslationdevecteurBC.
Chapitre8–Transformationsduplan23
4. Retrouverl’élémentcaractéristique
a) DécouverteExercice7
Voicilaconstructiondel’imageduquadrilatèreABCDpartranslationdevecteur𝑣.Déterminel’objetd’origineàpartirdupointBquel’onconnaitdéjà.
Exercice8
VoicilelosangeA’B’C’D’imagedulosangeABCDparsymétrieorthogonaled’axed.Tracel’axedàl’aidedesinformationsmiseàtadispositionsurleschémaetterminelelosangeABCD
Chapitre8–Transformationsduplan24
Exercice9
Voicilecerf-volantA’B’C’D’imageducerf-volantABCDparsymétriecentrale.Ápartirdesinformationsmiseàtadispositionsurleschéma,déterminelecentredesymétrieettracel’objetd’origine.
b) SynthèsePourretrouverl’élémentcaractéristique:
a) D’unetranslation:
Levecteurestuneflèchequirelieunpointetsonimage.
b) D’unesymétriecentrale:
Lecentreestlemilieudechaquetrace(rappel:unetraceestunsegmentquirelieunpointà
sonimage).
Lecentreestaussilepointd’intersectiondetouteslestraces.
c) D’unesymétrieorthogonale:
L’axeestladroitequipasseparperpendiculairementparlemilieud’unetrace(rappel:cette
droites’appellelamédiatricedusegment).
L’axeestégalementladroitequipasseparlesmilieuxdetouteslestraces.
Chapitre8–Transformationsduplan25
Exercice10 (Extraitdel’examendejuinde2017)
Observelaplanched'isométriesci-dessousetrépondsauxquestionssuivantes:
a) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure2?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.
b) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure3?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.
c) Quelestlenomdelatransformationduplanquipermetdepasserdelafigure1àlafigure4?Retrouvesonélémentcaractéristiqueettrace-lesurledessin.
Chapitre8–Transformationsduplan26
5. Frisesetpavages
a) FriseUnefriseestunmotifquiserépète(généralementhorizontalement)partranslation.L’imagedebasequisertàcréertoutelafrise(partranslation)estappelélemotifminimaldecettefrise.
Quelquesexemplesenarchitecture:
Source:https://fr.wikipedia.org/wiki/Goutte_(architecture)
RoyalAlcazardeSéville(Espagne):
Source:inconnue(retrouvédansunepréparationd’unstagiaire)
Exercice11
Danschaquefriseci-dessus,encadrelemotifminimaletrepère,outrelatranslation,lesautrestransformationsduplanillustrées.
Chapitre8–Transformationsduplan27
b) PavageUnpavageestunereproductiond’unefigurequipermetderecouvrirl’ensembleduplan(unefeuilledepapierparexemple)sanstrouetsanssuperposition.
Voiciunexempledepavagehexagonal:
LemathématicienSuisseEscherestconnupoursespavages:
Chapitre8–Transformationsduplan28
Exercice12
Pourchacundesdeuxpavagesci-dessous:
a) Tracel’élémentcaractéristiquedelatransformationduplanquienvoielafigurenoiresurlafiguregrise.
b) Colorieentroisautrecouleurstroisfiguresdecepavageetleurimageparlatransformationduplandonttuastrouvél’élémentcaractéristiqueena).
Chapitre8–Transformationsduplan29
Modèlep.15
Chapitre8–Transformationsduplan30