EPFL - GM 1

Cours de physique généralePhysique II pour étudiants de première année

en section de mathématiques

Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique

21 avril 2009cours de la semaine # 09a

Bienvenue au

Site web du laboratoire et du cours :

http://lastro.epfl.ch

EPFL - GM 2

Course d’étude

MARDI 28 AVRIL 2009Pas de cours

EPFL - GM 3

Transformation de Lorentztable résumé de Gruber & Benoit (p. 611)

La transformation de Lorentz peut être décrite comme la rotation d’un quadrivecteur

G&B Fig. 21.10 p. 608

EPFL - GM 4

• Invariant :– Deux événements séparés par (cΔt, Δx, Δy, Δz) = (cΔt, Δx)– Intervalle d’espace-temps :

Invariant relativiste• « Quadrivecteur » : (ct, x, y, z)• Transformation de Lorentz (notation avec quadrivecteurs) :

!

ct'x'y'

z'

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

( )*( 0 0

)*( ( 0 00 0 1 00 0 0 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

ctxy

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' ' +

ctxy

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

( +*( 0 0

+*( ( 0 0

0 0 1 00 0 0 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

ct'x'y'

z'

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!

" =uc

, " #1

$ =1

1%"2 , $ &1

avec :

!

("s')2

= (#c"t $%#"x)2 $ (#"x$%#c"t)

2 $ ("y)2 $ ("z)

2

= (#2 $%2#2) (c"t)

2 $ ("x)2[ ] $ ("y)

2 $ ("z)2

= ("s)2

!

("s)2

= (c"t)2# ("x)

2

!

("s')2

= ("s)2

(>0, <0, ou =0)

!

ct'

x'

" # $ %

& ' =

cosh( )sinh()sinh( cosh("

# $

%

& ' ct

x

" # $ % & ' avec tanh( =*

– « rotation hyperbolique » dans l’espace-temps

relativité de Galilée ⇔ Δt et |Δx| invariants ⇔ temps et espace absolusrelativité d’Einstein ⇔ (Δs)2 =c2(Δt)2–|Δx|2 invariant ⇔ c=constante

EPFL - GM 5

!

c"t'

"x '

"y '

"z'

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

=

) *+) 0 0

*+) ) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

c"t

"x

"y

"z

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

!

c"t'

"x '

"y '

"z'

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

=

!

("s')2

= (#c"t $%#"x)2 $ (#"x$%#c"t)

2 $ ("y)2 $ ("z)

2

= (#2 $%2#2) (c"t)

2 $ ("x)2[ ] $ ("y)

2 $ ("z)2

= ("s)2

EPFL - GM 6

Distance ente deux pointsidentique quel que soit l’observateur

• Distance entre deux points dans un espace plat à deux dimensions :(Δd)2 = (Δx)2 + (Δy)2 intervalle spatial 2-D

• Distance entre deux points dans un espace plat à trois dimensions :(Δd)2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 intervalle spatial 3-D

• Distance enter deux points dans un espace spatial et temporel àquatre dimensions, dont trois spatiales et une temporelle :

(Δs)2 = (cΔt)2 + (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 intervalle spatial et temporel 4-D

• Distance enter deux points dans un espace-temps à quatre dimensions,dont trois spatiales et une temporelle :

(Δs)2 = (cΔt)2 - [ (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ] intervalle espace-temps 4-D

ds2 = intervalle d’espace-temps qui est le même pour tous les observateurs, quelles que soient leurs vitesses

Intervalle d’espace-temps entre votre œil et une étoile située à 1000 al = ?

{ }

EPFL - GM 7

Contraction des longueurs et dilatation du temps

• Règle de longueur Len mouvement longitudinalde vitesse u

y

Oxz

O’

uR R’

L

!

x'

!

x'1

!

x'2

!

z'!

y'

!

x'1 = " x1 #$ct( )x'2 = " x2 #$ct( )

% & '

où les positions x1 et x2 sont définies au même temps t dans R

!

" L = x'2#x'

1= $ x

2# x

1( ) " %x =L

$< L

La dimension d’un corps dans ladirection de sa vitesse est contractée

• Horloge de période Δτen mouvementde vitesse u

!

ct1

= " ct'1+#x'( )

ct2

= " ct'2+#x'( )

$ % &

' t2( t

1= " t'

2(t

1'( ) = ")* ' )t = ")*

Une horloge en mouvement retarde

y

Oxz

O’

uR R’

!

x'

!

z'!

y'

!

x'

!

t'1, t'

2, t'

3, ...

Δτ

EPFL - GM 8

Transformation des vitesses• Particule de vitesse v dans R ;

quelle est sa vitesse dans R’ ?

– Si u < c :

!

x'= " x #$ct( ) dx'= " dx #$cdt( )ct'= " ct #$x( ) dt'= " dt # ($ /c)dx( )

y

Oxz

y’

O’x’z’

u

t t’

vR R’

!

v'x =dx'dt'=

" dx #$cdt( )" dt # ($ /c)dx( )

=

dxdt#$c

1#$

cdxdt

!

v'y =dy'

dt'=

dy

" dt # ($ /c)dx( )=

dy

dt

" 1#$cdxdt

% & '

( ) *

!

v'x =vx " u

1"uvx

c2

v'y =vy

# 1"uvx

c2

$

% &

'

( )

v'z =vz

# 1"uvx

c2

$

% &

'

( )

!

r v < c "

r v ' < c

r v = c "

r v ' = c

!

" =uc

, " #1

$ =1

1%"2 , $ &1

EPFL - GM 9

Composition des vitesses• Deux sauts de vitesse standards consécutifs, de vitesses u1 et u2,

sont équivalent à un saut de vitesse standard u3 :– les sauts de vitesse standards forment un groupe

!

v'x

=v

x" u

1"uv

x

c2

# u2

=u

3" u

1

1"u

1u

3

c2

# u2"

u1u

2u

3

c2

= u3" u

1 # u

3=

u1

+u2

1 +u

1u

2

c2

t’

O’x’

R’t’’

O’’x’’

R’’t

Ox

R particuleau reposdans R’’

saut de vitesse u1 saut de vitesse u2

saut de vitesse u3

!

u = u1,

r v =

u3

00

"

#

$ $

%

&

' ' ,

r v '=

u2

00

"

#

$ $

%

&

' '

On applique la transformation des vitesses avec

!

"3

="

1+"

2

1+"1"

2

!

ou bien "3

= "1

+"2 avec "

i= arctanh#

i= ln

1+#i

1$#i

Transformations de Lorentz

*

EPFL - GM 10

• Réponse d’Einstein (en 1905):– L’addition des vitesses est une loi « fausse »,

la loi « correcte » est plus compliquée :160 km/h «plus» 3 km/h = 162.999999999999933 km/h

• Réponse de Galilée (en 1638):– Application de la loi d’addition des vitesses :

160 km/h + 3 km/h = 163 km/h

Exemple 1 : composition des vitesses• Problème simple de cinématique: Dans un train roulant à 160 km/h, un contrôleur marche à 3km/h en

direction de la locomotive.Quelle est la vitesse du contrôleur par rapport aux rails ?

La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !

Exemple numérique présenté durant la leçon du 28 septembre 2007

EPFL - GM 11

Exemple 1 : composition des vitesses• Problème simple de cinématique: Dans un train roulant à 160 km/h, un contrôleur marche à 3km/h en

direction de la locomotive.Quelle est la vitesse du contrôleur par rapport aux rails ?

800’000’000 km/h

court

200’000’000 km/h

1’000’000’000 km/h

879’225’842 km/h

• Réponse de Galilée (en 1638):– Application de la loi d’addition des vitesses :

160 km/h + 3 km/h = 163 km/h

• Réponse d’Einstein (en 1905):– L’addition des vitesses est une loi « fausse »,

la loi « correcte » est plus compliquée :160 km/h «plus» 3 km/h = 162.999999999999933 km/h

La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !

Exemple numérique présenté durant la leçon du 28 septembre 2007

EPFL - GM 12

Problème simple de cinématique :

Réponse de Galilée

Réponse d’Einstein

Exemple 1 : composition des vitesses

La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !

!

vcontrôleur / rails

=v

train / rails+ v

contrôleur / train

1+v

train / railsv

contrôleur / train

c2

!

vcontrôleur / rails

= vtrain / rails

+ vcontrôleur / train

!

vtrain / rails = vitesse du train par rapport aux rails

vcontrôleur / train = vitesse du contrôleur par rapport au train

vcontrôleur / rails = vitesse du contrôleur par rapport aux rails = ?

⇔

⇔ Eq. 21.17 (G&B)

EPFL - GM 13

21.8 Illustrations21.8.2 Vitesse d’émission d’une particule

• Un méson K + au repos se désintègre ( K + → µ+ ν) en émettant unmuon de vitesse 0,72 c. Calculons la vitesse du muon émis par un K +de vitesse 0,998 c dans la cas où le muon est émis dans la directiondu mvt du méson.

• Dans le cadre de la mécanique newtonienne, on aurait :

• Dans le cadre de la mécanique relativiste, l’Eq. (21.17) montre quel’on obtient au contraire :

résultat en accord avec les observations expérimentales.

EPFL - GM 14

Dynamique relativiste du point matériel• Mouvement d’un

point matériel demasse m décritdans référentiel R

• A chaque instant t :– repère Oxyz de R, avec O sur le point matériel et Ox selon la vitesse v du point– référentiel R’ en saut de vitesse standard par rapport à R avec u = v– à t’ = 0 on a v’ = 0, et on suppose que v’ << c pendant un temps dt’→ on peut appliquer les lois de la dynamique non-relativiste dans R’ :

y

Oxz

y’

O’x’z’

tt’

R(t) R’(t)

v(t)

v(t+dt)

r(t+dt)=drtrajectoire dans R u = v(t)

!

r F ' = m

d2r r '

dt'2

!

Avec Fx=F’x et Fy,z=(F’y,z)/γ:

!

r F =

d

dtm"

r v ( )

!

F'x = md2x'

dt'2= m"d2x

dt'2= m d

dt"dxdt( ) = ddt m"vx( )

F'y = md2y'

dt'2= m

d2y

dt'2= m" d

dt"dy

dt

# $ %

& ' ( = " d

dtm"vy( )

)

* +

, +

!

ct = " ct'+#x'( )x = " x'+#ct'( )y = y' , z = z'

$

% &

' & (

cdt = " c +#dx'dt'( )dt' ( dt ) "dt' car dx'

dt'<< c

dx = " dx'dt'

+#c( )dt' ( d2x

dt'2

= "d2x'

dt'2

$

% &

' &

EPFL - GM 15

• On trouve la même forme pour p sur la basede la conservation de la quantité de mouvement :

Quantité de mouvement relativiste• Nouvelle définition de la

quantité de mouvement … et la loi fondamentale de la dynamique reste valable en relativité restreinte :

!

r p = m

"r v = m

"r # c

!

" =1

1#r v

2/c

2=

1

1#r $

2 ,

r $ =

r v

c

avec:

!

Attention ! r F "m

r a

!

r F =

dr p

dt

!

r p = m"

r v = m

r v 1#

r $ 2( )

#1/ 2

= mr v 1+O

r $ 2( )[ ] %m

r v

• Limite non-relativiste (β = v/c << 1) :

!

1. r p collinéaire à

r v "

r p = #($)

r $

2. r p = m

r v si v << c " #(0) = mc

3. La quantité de mouvement totale d'un système isolé est constante dans tous les référentiels d'inertie

!

r p = m"

r v # $(%) =

$(0)

1&%2⇒

EPFL - GM 16

Quantité de mouvement relativiste (2)• Collision élastique de deux particules identiques: 1 + 2 → 3 + 4 dans le référentiel R du centre de masse toutes les vitesses sont égales

x

y

!

r " 1

!

r " 2

!

r " 3

!

r " 4

–a a

b

–b

R

x’’

y’’

!

r " ' '

1

!

r " ' '

2

!

r " ' '

3

!

r " ' '

4–d d

g

–e

R’’ saut de vitesse –a

e

–g

x’

y’

!

r " '1

!

r " '2

!

r " '3

!

r " '4

–d d

R’saut de vitesse +a

saut de vitesse +d

!

Saut de vitesse de R'' à R' avec " = 1

1# d2: e =$'4y =

$' '4y

"(1#$' '4x

0

{d)

=g

"= g 1# d

2

Dans R’, conservation de la quantité de mouvement selon y’:

!

" #(g)g $ # d2

+e2( )e = $#(g)g +# d

2+e

2( )e " #(g)g = # d2

+e2( )e

!

p'1y + p'2y = p'3y + p'4y

!

" # d2

+e2( ) = #(g)

g

e=

#(g)

1$ d2 Si b→0, alorse→0 et g→0, et:

!

"(d)="(0)

1# d2 CQFD

*

EPFL - GM 17

Force et accélération en relativité restreinte

!

d"dt

=d

dt

1

1#r v

2/c

2

$

% &

'

( ) =

# d

dt1#

r v

2/c

2( )

2 1#r v

2/c

2( )3 / 2

="3

2c2

dr v

2

dt="3

c2

r v *

r a +

r v *

r a =

c2

"3

d"dt

!

r F "

r v = m#

r a "

r v +m

r v "

r v

d#dt

= m#c2

#3

d#dt

+mr v

2 d#dt

= mc2 1

#2+

r v

2

c2

$

% &

'

( )

d#dt

= mc2 d#

dt

⇒ la force est parallèle à l’accélérationsi et seulement si elle est parallèleou perpendiculaire à la vitesse

!

r F = m"

r a +m

r v

d"dt

= m"r a +

r v

r F #

r v

c2

$ % &

' ( )

!

r F =

dr p

dt=

d(m"r v )

dt= m"

r a +m

r v

d"

dt⇒ F ≠ ma et la force n’est en

général pas parallèle àl’accélération

!

r F "

r v = 0 #

d$dt

= 0 #

r F = m

$r a

$ = constante # v = constante

% & '

• Si F est perpendiculaire à v :

!

r F = m"

r a +

r F

r v

2

c2

# r F 1$

r v

2

c2

% & '

( ) * = m"

r a #

r F = m"3r

a

• Si F est parallèle à v :

EPFL - GM 18

Energie cinétique relativiste

y

Oxz t

RvA=0γA=1, TA=0

F

A BvB=v

γB= γ, TB=T

trajectoire

!

T = mc2

1"r # 2( )

"1/ 2

"1[ ] = mc2

1+1

2

r # 2 +O

r # 4( ) "1[ ] =

1

2mc

2r # 2

1

2m

r v 2

1 2 3 +O

r # 4( )

• Limite non-relativiste (β = v/c << 1) :

• Une particule au repos dans R au point A se déplace aupoint B sous l’effet d’une force, en acquérant uneénergie cinétique T :

!

T = TB" T

A=

r F # d

r r

A

B

$ =r F #

r v dt

A

B

$= mc

2 d%dt

& ' (

) * + dt

A

B

$ = mc2%

A

B

= mc2 %

B" %

A( ) ,

!

T = mc2(" #1)

• Théorème de l’énergie cinétique entre A et B :

EPFL - GM 19

Quantité de mouvement et énergie cinétiqueen fonction de la vitesse

0

1

2

3

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

β=v/c

p/mcQuantité de mouvement relativiste :p = mγβc= mγv

Quantité de mouvement newtonienne :p = mβc = mv

0

1

2

3

4

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

β=v/c

T/mc2Energie cinétique relativiste :T = mc2(γ–1)

Energie cinétique newtonienne :T = mv2/2

Remarques :– on retrouve la

mécaniquenewtonienne siv << c (β << 1)

– en relativité,v est bornée(par c)mais ni p ni Tne sont bornées

EPFL - GM 20

Energie potentielle de masse• On observe une particule au repos

qui se désintègre. Exemples :

• Lois de conservation :– Quantité de mouvement totale conservée– Energie cinétique pas conservée !

⇒ de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie cinétique

!

Z0" quark +antiquark +gluon" hadrons

!

Z0" q q g" hadrons

temps de vie moyen du neutron = 15 min

!

neutron" proton +électron +antineutrino

Attention :« taux de change » très élevé:

!

1g de matière correspond à

10"3# (3#10

8)

2$10

14J

ou ~ 3MW pendant 1 an

énergiepotentiellede masse

!

Emasse

pot= mc

2

Einstein, 1905

!

masse"énergie équivalencemasse-énergie

– On introduit une énergie interne associée à la masse, de sorte quel’énergie totale (énergie cinétique + énergie de masse) soit conservée :

EPFL - GM 21

Energie potentielle de masse (2)• Soit α la constante de proportionnalité

entre masse et énergie interne de masse.• Désintégration d’une particule de masse M en

deux particules identiques de masses m :

!

Conservation de E dans R': T(M,v) +Emasse

pot (M) = T(m,u) +2Emasse

pot (m)

Mc2 "(v) #1( ) +$M = mc

2 "(u) #1( ) +2$m (1)

Conservation de r p dans R': M"(v)v = m"(u)u (2)

!

(1)

(2) "

c2 #(v) $1( ) +%

#(v)v=

c2 #(u) $1( ) +2%

#(u)u où u = 2v

1+ v2

/c2

à résoudre pour avoir α en fonction de v

Solution: α = c2 indépendamment de v !

!

Emasse

pot(m) ="m

après

avant

Référentiel R du centre de masse

reposv–v m m

M

après

avantsaut de vitesse –v

Référentiel R’ où une masse m est au reposrepos

v

m m

M

uu = 2v/(1+v2/c2)

EPFL - GM 22

Relation énergie – quantité de mouvement• Energie totale d’une particule de masse m et de vitesse v :

• Vitesse :

• Relation entre énergie et quantité de mouvement :

• Particule de masse nulle :

– Exemple : le photon (particule de lumière)

!

E = T +Emasse

pot= mc

2(" #1) +mc

2 $

!

E = m"c2

!

r p = m"

r # c $

r # =

r p

m"c=

r p c

m"c2 $

!

r " =

r p c

E

!

E2"

r p

2c

2= m

2c

4

!

1"r # 2 = 1

$2 % E

2 " Er # ( )

2

= E$

& ' ( ) * +

2

% E2 "

r p c( )

2= mc

2( )2

%

!

m = 0 " E = pc " # =1 Remarque:

les quantités E, pc et mc2

ont toutes la dimensiond’une énergie

Unités courantes: eV, MeV, …

EPFL - GM 23

Scalaires et quadrivecteurs• Scalaire (ou invariant) :

– grandeur que ne change pas par changement de référentiel :• Exemples : c, (Δs)2, m, mc2

• Quadrivecteur :– ensemble de 4 composantes (A0, A1, A2, A3) = ( A0, A ) qui se

transforme comme (ct, x, y, z) = ( ct , x ) par changement deréférentiel (transformation de Lorentz)

• Exemple :– produit scalaire de deux quadrivecteurs :– carré de la norme d’un quadrivecteur

= produit scalaire d’un quadrivecteur par lui-même :

• Le carré de la norme d’un quadrivecteur est un scalaire :– par exemple

!

(A0,

r A )

2= A

0

2"

r A

2= A

0

2"A

1

2"A

2

2"A

3

2

!

c"t, "x( )2

= (c"t)2# "x( )

2

= ("s)2 est un scalaire

!

(A0,r A ) " (B

0,r B ) = A

0B

0#

r A "

r B

!

c"t,"x( ) = (ct2,r x

2) # (ct

1,r x

1)

EPFL - GM 24

Quadrivecteur énergie–quantité de mouvement

!

" = 1#t

Temps propre τ d’une particule de vitesse v(= temps dans le référentiel où la particule est au repos) :

!

ct,r x ( )Quadrivecteur position :

Quadrivecteur vitesse :

!

dd"

ct,r x ( ) = # d

dtct,

r x ( ) = #c,#

r v ( )

Quadrivecteur vitesse/c :

!

","r # ( ) de norme

2= ","

r # ( )

2

= "2 $ "r # ( )

2

= "21$

r # 2( ) =1

En multipliant ce dernier quadrivecteur par le scalaire mc2,on obtient un quadrivecteur de norme2 = m2c4 :

!

m"c2, m"

r # c2( ) = E,

r p c( ) est un quadrivecteur

!

E2"

r p

2c

2= m

2c

4

Conséquence :

l’énergie et la quantité de mouvementse transforment de la façon suivantelors d’un saut de vitesse standard :

transformation de Lorentz

!

E'

p'x c

p'y c

p'z c

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

=

( )*( 0 0

)*( ( 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

E

pxc

pyc

pzc

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

EPFL - GM 25

Résumé de relativité restreinte

!

Relativité restreintev/c <<1

" # " " " Mécanique newtonienne

c = constante temps et espace absolus

(c$t)2 % $x( )2

invariant $t et $x invariants

r & =

r v /c, ' = 1%

r & 2( )

%1/ 2

r p = m'

r & c #

r p = m

r v

T = mc2(' %1) # T = 12mv2

E = m'c2 # E = Einterne + 12mv2

r & =

r p c/E # v = 2T/p

E2 %r p 2c2 = m2c4 # T =

r p 2 /(2m)

r F =

dr p

dt

r F =

dr p

dt

conservation duquadrivecteur (E,

r p c)

conservation de r p

conservation de l'énergie

Postulats

Grandeursphysiques

Loi de ladynamique

Lois deconservation

!

" =uc

, " #1

$ =1

1%"2 , $ &1