Labouidya Com-num_master 2012 (Chapitre III)

Pr. Ouidad LABOUIDYA COMMUNICATIONS NUMÉRIQUES

Pr. Ouidad LABOUIDYA [email protected]

Master Réseaux et Télécommunications

2011 - 2012

mailto:[email protected]


PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Codages et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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PLAN DU COURS

Chapitre I : Introduction aux communications numériques.

Chapitre II : Modulations et transmission en bande transposée.

Chapitre III : Codages et transmission en bande de base.

ENSEIGNEMENT DES COMMUNICATIONS NUMERIQUES

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CHAPITRE III : CODAGES ET TRANSMISSION EN BANDE DE BASE

1. Introduction

2. Mise en équation

3. Classification

4. Codes bande de Base (BB) usuels

5. Transmission en Bande de Base

6. Conclusion

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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III Codages et transmission en bande de base

Signal en Bande de Base (BB) Signal n’ayant pas subit de

transposition en fréquence

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1. INTRODUCTION


En général, les lignes de transmission ne laissent pas passer la composante

continue d'un signal, ce qui les rend mal adaptées à la transmission

d'information binaire en bande de base.

Les récepteurs répartis le long de la ligne et les transformateurs placés à ses

extrémités éliminent cette composante continue, ce qui rend impossible de

transmettre et de recevoir une longue suite de 1 ou de 0.

Il est donc important de modifier les suites binaires afin de mieux les adapter

aux caractéristiques des différents liens de communication.

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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

En effet, le signal binaire est une suite de 0 et de 1. Si on observe ce signal, la

composante continue est forte et implique beaucoup de puissance électrique à

dépenser.

Une étude spectrale du signal binaire de base montre que la majorité du

spectre se trouve en basse fréquence, or les basses fréquences sont difficiles

à transmettre.

En bande de base, il n'y a pas de modulation par définition, il est donc nécessaire

de travailler le signal de base binaire par un codage pour améliorer les

performances de transmissions et diminuer la consommation électrique.

En plus, le codage pourra faciliter les mécanismes de synchronisations des

horloges entre l'émetteur et le récepteur.

Codages et transmission en bande de base

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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

Un codage en bande de base ≠ codage de source ou canal

Consiste à :

o Choisir une forme d’impulsion de tension

o des niveaux de tension

Ceci afin de transmettre un débit D dans un canal de bande passante B.

Le codage en BB assure :

o une DSP compatible avec la fonction de transfert du canal,

+ o transmission de la fréquence horloge.


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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

Source

Destination

Codage de la source

Codage du canal

Codage BB

Décodage BB Décodage

du canal

Décodage de

la source

CANAL

Chaine de transmission en bande de base :


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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

Codage NRZ

Codage bipolaire

Codage Manchester

Codage de Miller

Exemples de codage en BB :


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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

De

nsité

Sp

ectr

ale

de p

uis

sa

nce

De

nsité

Sp

ectr

ale

de p

uis

sa

nce

De

nsité

Sp

ectr

ale

de p

uis

sa

nce

De

nsité

Sp

ectr

ale

de p

uis

sa

nce

Codage NRZ

Codage bipolaire

Codage Manchester

Codage de Miller

DSP correspondantes :


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1. INTRODUCTION

CHAPITRE III

Principales qualités d’un codes :

La largeur de la plage de fréquence du spectre doit être la plus étroite

possible.

La répartition fréquentielle de la puissance peu de puissance sur les

fréquences faibles, mais aucune puissance à la fréquence nulle.

Le codage de l’horloge Synchronisation de l’horloge du récepteur sur

le signal reçu.


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2. MISE EN EQUATION

CHAPITRE III

Le but du codage est d’adapter la suite de bits à transmettre aux

caractéristiques de la transmission.

Le codeur transforme une suite 𝑑𝑘 𝑘≥0 initiale généralement binaire (de

bits) en une suite codée 𝑎𝑘 𝑘≥0 (de symboles) généralement binaire ou

ternaire.

Puisqu’il n’y a pas de modulation par transposition en fréquence, le codage

est dit en bande de base :

la plage de fréquences utilisée par le signal issu de la suite codée est la

même que celle de la suite initiale s(t).

dans ce cas, le codeur génère à partir d’une fonction g(t) le signal a(t).

𝒔 𝒕 = 𝒅𝒌 𝜹 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

𝒂 𝒕 = 𝒂𝒌 𝒈 𝒕 − 𝒌𝑻𝒃𝒌

Filtre de

mise en

forme g(t)

Source binaire Signal émis en BB


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2. MISE EN EQUATION

CHAPITRE III

𝑎𝑘 pris dans un alphabet de tension {A0, A1, · · · , AM−1} à M niveaux de

tension possibles (cas d'un codage de tension M-aire),

g(t) une forme d'impulsion (ex : rectangulaire de durée T, triangulaire de durée

T, impulsion de Nyquist de durée T).

T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb, (transmission d'un n-uplet

d'éléments binaires choisi parmi M = 2n éléments possibles).

On a donc en sortie du codeur ligne :

Le débit binaire D = 1/Tb (en bits/s),

la rapidité de modulation R = D/log2(M) (en Bauds).


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CHAPITRE III

Exemple 1 : cas binaire avec une fonction rectangulaire g (t)

• M = 21 ,

• 1 seul élément binaire transmis pendant T = 1.Tb ,

• 𝑎𝑘 peut prendre les amplitudes A0 = 0 et A1 = +a.

2. MISE EN EQUATION


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CHAPITRE III

Exemple 2 : cas quaternaire avec une fonction rectangulaire g (t)

• M = 22 = 4, n = 2 ,

• 2 éléments binaires transmis simultanément, T = 2.Tb

• 𝑎𝑘 peut prendre par exemple les amplitudes A0 = -1, A1 = +1, A2 = -3 et A1 = +3.

(Cas d’un format ou code bipolaire)

2. MISE EN EQUATION

Période significative


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CHAPITRE III

Densité Spectrale de Puissance (DSP) d'un signal codé :

Le signal émis a(t) est sous forme d’un produit de convolution :

On remarquera que la fonction g(t) est déterministe, nous pouvons donc

calculer sa transformée de Fourier G(f) (Voir cours traitement du signal).

Par contre a(t) est aléatoire car issue d'un signal binaire lui-même aléatoire, on

ne peut donc calculer sa transformée de Fourier A(f). Par contre, on peut

calculer sa densité spectrale de puissance (DSP) 𝛾𝑎𝑎 𝑓 à partir de

l'autocorrélation 𝑅𝑎𝑎 𝜏 :

où 𝑅𝑎𝑎 𝜏 est donnée par :

𝑅𝑎𝑎 𝜏 = 𝐸 𝑎(𝑡)𝑎∗(𝑡 − 𝜏) = lim

𝑇→∞

1

𝑇 𝑎(𝑡)𝑎∗(𝑡 − 𝜏)𝑇

2−𝑇

2

𝑑𝑡

2. MISE EN EQUATION

𝑎 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗ 𝑠 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗ 𝑑𝑘 𝛿 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘

= 𝑎𝑘 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘


𝐷𝑆𝑃(𝑎) = 𝑇. 𝐹. (𝑅𝑎𝑎)

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CHAPITRE III


On aboutit à la Formule de Bennet :

En général, la source est sans "mémoire", i.e. :

𝑅𝑎𝑎 𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 ∙ 𝑎𝑘+𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 𝐸 𝑎𝑘+𝑛

= 𝐸 𝑎𝑘2

= 𝑎 2 C’est-à-dire Γ𝑎 𝑛 = 0.

2. MISE EN EQUATION

𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝐺(𝑓)2 𝜎𝑎2

𝑇+ 𝑎 2

𝑇2 𝛿(𝑓 −

𝑘

𝑇)

𝑘

+ 2

𝑇 Γ𝑎 𝑛 cos (2𝜋𝑛𝑓𝑇)

𝑛

𝐷𝑆𝑃 𝑎 𝑓 = 𝐷𝑆𝑃 𝑔 𝑓𝜎𝑎2

𝑇+ 𝑎 2

𝑇2 𝛿(𝑓 −

𝑘

𝑇)

𝑘

+ 2

𝑇 Γ𝑎 𝑛 cos (2𝜋𝑛𝑓𝑇)

𝑛


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CHAPITRE III


La suite {𝑎𝑘} est aléatoire, de caractéristiques :

Moyenne : 𝑎 = 𝐸 𝑎𝑘

Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑘 = 𝐸 𝑎𝑘

2 − 𝑎 2 = 𝑎2 − 𝑎 2

Autocorrélation : 𝑅𝑎𝑎 𝑛 = 𝐸 𝑎𝑘 ∙ 𝑎𝑘+𝑛 = Γ𝑎 𝑛 + 𝑎 2

où Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 est la fonction d’autocorrélation des {𝑎𝑘} centrés.

Rappels mathématiques :

Si X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble dénombrable

fini, en notant ses valeurs 𝑥1, … , 𝑥𝑛 et 𝑝1, … , 𝑝𝑛 les probabilités correspondantes,

alors son espérance mathématique est définie par :

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑝𝑖

𝑛

𝑖=1

2. MISE EN EQUATION


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CHAPITRE III


On obtient alors dans le cas d'un code BB à symboles indépendants et

identiquement distribués (même probabilité d'apparition pour chaque symbole) :

Et donc :

2. MISE EN EQUATION


𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝐺(𝑓)2 𝜎𝑎2

𝑇+ 𝑎 2

𝑇2 𝛿(𝑓 −

𝑘

𝑇)

𝑘

𝛾𝑎𝑎 𝑓 =𝜎𝑎2

𝑇𝐺(𝑓) 2 +

𝑎 2

𝑇2 𝐺(

𝑘

𝑇 )

2

𝛿(𝑓 −𝑘

𝑇)

𝑘

Spectre continu Spectre de raies

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CHAPITRE III


La densité spectrale de puissance 𝛾𝑎𝑎 𝑓 d'un signal numérique a(t) est

constituée d'éventuelles raies et du module au carré de la transformée de

Fourier G(f ) de l'impulsion g(t).

Parmi les propriétés recherchées dans certains codes en bande de base, celle

de la présence de raies à la fréquence d'horloge du code (fhorl−code = 1/T) est très

importante.

Cette propriété permet la synchronisation du récepteur à l'aide par exemple

d'une PLL, ....

2. MISE EN EQUATION


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CHAPITRE III

3. CLASSIFICATION

Terminologie des codes en lignes :

Valence : Nombre d‘états significatifs du signal numérique.

Etat :

• une amplitude

• une fréquence

• une phase

• Valeur constante

Significatif : représentatif d'un symbole

Polarité : Signe possible du signal

signal unipolaire : valeurs ≥ 0 ( 0, +1, +2, . . .) ou ≤ 0 ( 0, -1, -2, . . .)

signal antipolaire : valeurs symétriques par rapport à 0, sans 0 (±1, ±2, . . .)

signal bipolaire : signal antipolaire, plus la valeur 0


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CHAPITRE III

3. CLASSIFICATION


Exemples :


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CHAPITRE III

3. CLASSIFICATION


Exemples :

Bivalent

Unipolaire

Bivalent

Antipolaire Tétravalent

Antipolaire

Bivalent

Bipolaire

Un signal antipolaire permet ainsi de distinguer entre une absence de transmission et

la transmission d'un message constant qui correspondrait à la séquence 0000000… .


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CHAPITRE III

3. CLASSIFICATION

Les codes en BB peuvent être classés suivant les arguments ci-après :

Codes (ou formats) NRZ et RZ,

RZ = Return to Zero : l'impulsion utilisée repasse par zéro pendant T

NRZ = Non Return to Zero : l'impulsion utilisée ne repasse pas par zéro pendant T

Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires,

M-Aires : information codée sur plusieurs niveaux de tension

Les codes unipolaires , un seul signe, càd toutes les différentes amplitudes

possibles de ak pour un codes M-aire sont toutes positives (ou toutes négatives)

leurs moyennes ne sont pas nulles.

Les codes antipolaires sont symétriques par rapport à 0, ils peuvent être à

moyenne statistique nulle.

Codes avec ou sans mémoires

Codes BB sans mémoire : transcodage systématique.

Codes avec mémoire utilisent les valeurs des bits précédemment transmis


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4. CODES BANDE DE BASE (BB) USUELS

CHAPITRE III

Code NRZ (Non Return to Zero)

Il s’agit de coder les éléments binaires un par un (code binaire) par un certain niveau

de tension, sans retour de la tension au niveau 0 pendant la durée d’un symbole

(Non Retour à Zéro, NRZ). On distingue les codes NRZ unipolaires et les codes

NRZ antipolaires.

Code NRZ unipolaire

Exemple :


unipolaire

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CHAPITRE III

Code NRZ unipolaire

La DSP du signal binaire NRZ unipolaire :

g(t) = a RectT (t) G(f) = a T sinc(𝜋𝑓𝑇)

• 𝑎𝑘 ∈ 0 ; 1 𝑒𝑡 :

• Moyenne : 𝑎 = 1 2

• Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑎2

− 𝑎 2 = 1 2 − 1 4 = 1 4

• Autocorrélation : Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 = 0 (source sans mémoire)

On obtient alors, en appliquant la formule de Bennet :

(voir chapitre II partie I)


𝛾𝑎𝑎 𝑓 =𝑎2 𝑇

4

sin𝜋𝑓𝑇

𝜋𝑓𝑇

2

+ 𝑎2

4 𝛿(𝑓)

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CHAPITRE III

Code NRZ antipolaire

Le signal binaire NRZ antipolaire est obtenu à partir d’une impulsion rectangulaire

g(t) de durée T et d’amplitude a et de l’alphabet {−1,+1}.

Exemple :

1

0


0

1

Horloge antipolaire

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CHAPITRE III


Code simple, utilisé couramment entre l'ordinateur et ses périphériques.

codage antipolaire dans lequel le signal n'est jamais nul.

Par conséquent, le récepteur peut déterminer la présence ou non d'un signal.


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CHAPITRE III


La DSP du signal binaire NRZ antipolaire :

g(t) = a RectT (t) G(f) = a T sinc(𝜋𝑓𝑇)

• 𝑎𝑘 ∈ −1; 1 𝑒𝑡 :

• Moyenne : 𝑎 = 0

• Variance : 𝜎𝑎2 = 𝑎2 − 𝑎 2 = 1

• Autocorrélation : Γ𝑎 𝑛 = 𝑅𝑎𝑎 𝑛 − 𝑎 2 = 0 (source sans mémoire)

On obtient alors, en appliquant la formule de Bennet :

𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇sin 𝜋𝑓𝑇

𝜋𝑓𝑇

2


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CHAPITRE III


La DSP du signal binaire NRZ antipolaire donne :

Le lobe principal est de largeur 1/T et contient 91% de la puissance du signal.

𝑎2 𝑇

𝐷𝑆𝑃

𝑓 1/ 𝑇 2/ 𝑇 3/ 𝑇


𝜋𝑓𝑇

2


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CHAPITRE III

Code RZ (Return to Zero)

Les éléments binaires sont codes un par un (code binaire) et la tension passe à zéro

avant la fin d’un symbole.

Code RZ unipolaire

Dans le cas du code binaire RZ unipolaire, le 0 est codé par 0 et le 1 par une

tension passant de « a » à 0 au cours de la durée d’un symbole.

Exemple :

La DSP est très semblable à celle du RZ bipolaire (voir ci-dessous) + Raie de

synchronisation à la fréquence d’horloge 1/T.



unipolaire

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CHAPITRE III

Code RZ bipolaire

Le signal binaire RZ bipolaire est obtenu à partir d’une impulsion rectangulaire de

durée θ < T (typiquement θ = T/2) et d’amplitude a et de l’alphabet {−1,+1}.

Exemple :

Code ternaire (3 niveaux) simple, limite les interférences entre symboles, permet

le codage de l'horloge.



Horloge bipolaire

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Code RZ bipolaire

La DSP du signal binaire RZ bipolaire a pour expression :

La DSP est très semblable à celle du signal NRZ antipolaire, si ce n’est que les

lobes sont deux fois plus larges.


CHAPITRE III


𝜋𝑓𝑇

2

𝑎2 𝑇

𝐷𝑆𝑃

𝑓 2/ 𝑇 4/ 𝑇 6/ 𝑇


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CHAPITRE III

Code NRZI (Non Return to Zero Invert)

Le code NRZI est une variante du NRZ. Mais attention son nom est trompeur, il ne

s'agit pas du code NRZ inversé. Pour un 1 le signal reste constant, et pour un 0 le

signal est inversé en milieu de période d'horloge.

Exemple :


Horloge


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CHAPITRE III

Code NRZI (Non Return to Zero Invert)

Code binaire, indépendant de la polarité, adapté à la transmission photonique.

Le codage NRZI est utilisé pour le FDDI, fast ethernet ...

Le codage NRZI possède de nombreux avantages, dont :

• La détection de la présence ou non du signal

• La nécessité d'un faible courant de transmission du signal

Par contre, il possède un défaut : la présence d'un courant continu lors d'une

suite de 1, gênant la synchronisation entre émetteur et récepteur.



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CHAPITRE III

Code biphase appelé aussi Manchester

Exemple :


+ a

- a

Le signal biphase est obtenu à partir de l’impulsion représentée figure ci-dessous

et de l’alphabet {−1,+1}. Le bit transmis est caractérisé par la présences d’un front

montant ou descendant en T/2.

Horloge


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La DSP du signal biphase a pour expression :

la densité spectrale du codage Manchester est nulle pour f=0 et "proche de zéro" à

son voisinage. De ce fait, ce signal logique codé peut être transmis facilement par

couplage inductif (transformateur) à l'inverse des signaux TTL, NRZ, RZ polaire, RZ

binaire qui possèdent une densité spectrale maximale au voisinage de f=0


CHAPITRE III

𝑓 4/ 𝑇

𝐷𝑆𝑃

2/ 𝑇 6/ 𝑇

𝛾𝑎𝑎 𝑓 = 𝑎2 𝑇4 sin4 𝜋𝑓𝑇/2

𝜋𝑓𝑇 2


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CHAPITRE III


Code binaire, équilibré, conservation de l'horloge, spectre très large (le double).

Codage utilisé par Ethernet.

Caractéristiques du codage Manchester :

• Bonne résistance au bruit (2 niveaux)

• Bonne adaptation aux supports à bande passante large

• Beaucoup de transitions, donc facilité de synchronisation d'horloge

Le principal inconvénient de ce code réside dans la grande largeur de son

spectre, ce qui le confine aux supports à large bande comme les câbles coaxiaux



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CHAPITRE III

Code de Miller appelé aussi "Delay mode"

Reprend les principes du codage Manchester. Un 1 est représenté par un front,

descendant ou montant au milieu de la période d'horloge. Pour un 0, il n'y a pas de

front. Et à partir de deux 0, le signal permute au début de à chaque période, ceci

afin de ne pas avoir de signal continu.

Exemple :


Horloge


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CHAPITRE III

Code de Miller appelé aussi "Delay mode"

Code binaire dense, conservation de l'horloge et indépendance de la polarité.

Les caractéristiques du codage de Miller sont les suivantes :

• permet des débits élevés sur support à bande passante limitée

• une puissance non nulle est transmise pour la fréquence nulle, ce qui peut

introduire des distorsions

Le principal inconvénient de ce code tient en une moins grande immunité vis-à-

vis du bruit que les codes précédents.



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CHAPITRE III

Code bipolaire simple appelé aussi AMI "Alternate Mark Inversion"

Exemple :

Code ternaire, équilibré, indépendant de la polarité, dérive de l'horloge (suite de 0).


dm1 le m ème bit de la sous-suite des bits à 1

Exemple fondamental où l’on peut agir sur les corrélations entre symboles Pour

modifier le spectre. Il s’agit d’une transmission avec un alphabet ternaire ak ∈ {−1,

0,+1} où l’on code les bits 0 par le symbole 0 et les bits 1 alternativement par +1 et −1.

Horloge


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CHAPITRE III

Exercices d’application :

EXERCICE 1 :

On envoie la suite de bits : 01001110.

Quels sont les signaux correspondants en NRZ, RZ, NRZI, Manchester, Miller et AMI?

EXERCICE 2 :

Dans les trames normalisées E1, on utilise le code Bipolaire AMI qui consiste à coder

un 0 par une absence de tension électrique et un 1 par une tension alternativement

positive et négative.

1) Quelle est la suite binaire codée de la figure ci-dessous ?

2) Sachant qu'une trame E1 correspond à un débit de 2 Mbits/s, quelle est la durée

d'un moment élémentaire (durée d'un signal numérique) ?



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CHAPITRE III

Code bipolaire entrelacé d'ordre 2

Construction de 2 sous-suites à partir de la sous-suite des bits à 1 :

la sous-suite des 1 pairs et celle des 1 impairs.

Chaque sous-suite est indépendamment codée en alternance.

Exemple :

Spectre très étroit, code complexe qui ne résout pas le problème lié aux longues

suites de 0. Les longues suites de 1 présentent un battement dont la fréquence

est réduite (de moitié) par rapport au codage bipolaire simple.


Horloge


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CHAPITRE III

Code Bipolaire Haute Densité d'ordre n HDBn (High Density Bipolar) :

Même codage que le code AMI + une transformation des suites de plus de n

zéros basée sur la violation de l'alternance :

le (n+1)ième zéro éventuel est alors substitué, en le représentant comme un 1

(bit de viol noté V), mais en violant la règle d'alternance des signes.

Afin de conserver une valeur moyenne nulle au signal, on est amené à alterner la

polarité des "viols" entre eux. Mais il se peut que le récepteur ne sache plus

distinguer un symbole d’un bit de viol :

ce qui entraîne l'emploi d'une autre substitution notée B (bit de bourrage), de

même polarité (signe) que le bit de viol V qui le succède et placée en tête de

groupe des (n+1).



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CHAPITRE III


Une suite consécutive de (n+1) bits à 0 est codée soit par :

(a) : suite de n zéros suivis d'un bit de viol : [000...00] → [000...0V]

ou

(b) : suite formée d'un bit de bourrage (noté B), n-1 zéros, suivis d'un bit de viol;

les bits B et V ayant même polarité : [000...00] → [B00...0V]

Pour assurer l'équilibrage :

On choisit la forme (a) si le nombre de bits à 1 suivant le dernier bit de viol est

impair, la forme (b) sinon.



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CHAPITRE III


Remarques :

• le premier bit à 1 (suivant un bit de viol) est codé avec la valeur inverse du bit

de viol qui le précède.

• On considère que la suite est conventionnellement précédée d'un bit de viol.

• Dans une très longue suite de zéros tous les blocs successifs (sauf parfois le

premier) sont codés dans la forme (b).

A la réception un bit x est détecté comme bit de bourrage s’il s’agit d’un niveau ±a

suivi de deux 0 et d’un bit de même polarité que x.



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CHAPITRE III


Exemple :

Exercice d’application :


Horloge


Horloge

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CHAPITRE III

Codes par blocs nBmL ou à multi niveaux ou à transformation de valence

Il code (pas nécessairement de façon unique) chaque bloc de n bits binaires (B)

par un bloc de m symboles pris dans un alphabet de taille L.

L'alphabet L étant généralement binaire, ternaire, ou plus rarement quaternaire

(noté resp. B, T, Q).

La condition de faisabilité s'écrit : 2n ≤ Lm

Notation : nBmL, par exemple 4B5B

Certains codes précédents peuvent être perçus comme des codes par blocs

(surtout si le bloc à coder est réduit à un seul bit n=1) :

Exemple :

• RZ bipolaire ∈ 1B/2T (2T : 2 symboles dans un alphabet de 3 éléments {-a ,0 ,+a}),

• Manchester ∈ 1B/2B ( 2B : 2 symboles dans un alphabet de 2 éléments {-a ,+a})



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CHAPITRE III


De par leur nature, ces codages supposent une meilleure qualité de transmission,

notamment obtenue par fibre optique, car ils sont sensibles aux parasites.

Les codages par blocs entraînent une implémentation plus complexe que les

codages en ligne vus précédemment car ils sont plus sensibles à la diaphonie et

offrent un rapport signal à bruit moins élevé. Par contre, ils permettent de

diminuer la fréquence du signal de transmission grâce à une plus grande

redondance d'information.

Les codages par blocs sont généralement associés à des codages en ligne,

notamment sur des supports en cuivre qui sont sujets aux perturbations

électromagnétiques. Par exemple, les réseaux ATM utilisent une association

4B5T+NRZI.



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CHAPITRE III


Exemple : code 2B1Q, codage à quatre niveaux

La condition de faisabilité s'écrit : 2n ≤ Lm soit : 22 = 4 ≤ 41 = 4

Remarque : Transmission simultanée de deux bits .



a

a

a

a

a

T

2B : 2 bits binaires

1Q : 1 symbole dans

un alphabet de taille 4

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CHAPITRE III



Densité spectrale de puissance d’une suite binaire aléatoire

– de 0 à 1/T → 90% de la puissance totale

– Maximum de la puissance à f = 0



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CHAPITRE III



• Avantages : Débit doublé

• Inconvénients :

– Rapport S/N détérioré

– Perte de la synchronisation sur les séquences de bits identiques

– Le canal doit passer le continu

– Nécessité de maintenir la polarité (repérer les fils)

• Applications : RNIS, HDSL

Remarques :

La plupart de ces codes acceptent plusieurs variantes. Par exemple en inversant la

convention de codage de la parité (0/1) ou en modifiant les conditions initiales.



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CHAPITRE III


EXERCICE 1 : Code CMI (Coded Mark Impulsion)

En se basant sur la définition de ce code, compléter le chronogramme suivant.

Conclure.



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CHAPITRE III


EXERCICE 1 : Code CMI (Coded Mark Impulsion)

En se basant sur la définition de ce code, compléter le chronogramme suivant.

Conclure.

Interprétations : Code CMI (Coded Mark Impulsion), ce code est une synthèse du

code AMI pour le 1 et le code Manchester pour le 0. Son spectre a la même forme

que celui du Manchester + une raie pour 𝑓 = 1 𝑇 que l’on peut isoler par filtrage

pour restituer l’horloge.



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CHAPITRE III

EXERCICE 2 : même question pour le codage MLT3

• Transmission d’un 0 : signal reste constant

• Transmission d’un 1 : signal change selon la séquence +a 0 –a 0 +a 0 –a …

• Intérêt : réduit le spectre du signal

• Inconvénient : désynchronisation après une longue suite de 0

• Exemples d’utilisation : Fast Ethernet, ATM



MLT3

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5. TRANSMISSION EN BANDE DE BASE

Réception et régénération du signal numérique

Principe de la régénération

La régénération du signal numérique à partir du signal électrique reçu nécessite

quatre opérations :


1. Reconstituer l’horloge

2. Définir des instants

d’échantillonnage

3. Filtrer le bruit

4. Retrouver les différents niveaux de codage

dans le signal atténué et bruité à l’aide de

seuils de tensions

y(ti)

régénéré

y(t)

x(t)

𝜆

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Principe de la régénération

• Exemple de signal reçu avec une erreur de décision sur un bit :


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Récupération de l’horloge :

• Le dispositif de récupération du rythme permet de fixer les instants de

décision de l'échantillonneur.

• La récupération de rythme sera d'autant plus facile que le signal possède

beaucoup de transition. Par exemple en codage NRZ unipolaire, une longue

suite de « 0 » ( ou de « 1 ») peut interrompre la récupération. Sur un code

Manchester ou RZ bipolaire le risque est moins grand.

• Le comparateur à seuil 𝜆 est tel que :

o si y(ti) > 𝜆, la sortie correspondra à un « 1 »

o si y(ti) < 𝜆, la sortie correspondra à un « 0 »


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Récupération de l’horloge

• Récupération de la raie spectrale de l’horloge par filtrage :

Si le format du signal numérique en bande de base est sans raie spectrale à la

fréquence horloge, il est nécessaire de régénérer la porteuse.

Une possibilité est d’utiliser une opération non-linéaire (telle qu’une mise au

carré du signal) suivi d’un filtre passe-bande pour faire apparaitre la fréquence

porteuse.


Signal

numérique

reçu

Horloge

récupérée

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Récupération de l’horloge

• Reconstitution de l’horloge à l’aide d’une PLL :

Si le format du signal numérique en bande de base contient une raie spectrale

à la fréquence horloge, une PLL permet de générer le signal d’horloge.

La sortie de l'oscillateur commandé par une tension VCO va se verrouiller sur la

fréquence du signal se trouvant à son entrée c.à.d. la fréquence de la porteuse.


Comparateur

de phase Filtre de boucle

VCO

Signal

reçu (RZ)

Horloge récupérée

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Seuils de tension et instants d’échantillonnage

Il s’agit de retrouver les différents niveaux de codage dans le signal atténué et bruité

à l’aide de seuils de tensions

Interférence entre symboles (IES) (en anglais ISI «Inter Symbols Interference») :

La principale influence du canal de transmission sur le signal numérique va être

l'étalement des impulsions . Cet étalement est lié à T (durée d'un symbole) et à la

bande passante B du canal.

La figure ci-dessous montre le phénomène d'interférence entre symboles :


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Interférence entre symboles : exemple


Seuil de

décision

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Le diagramme de l’œil est un outil graphique permettant de visualiser la présence

d’IES affectant une communication et de qualifier la qualité du signal numérique reçu.

Diagramme de l’œil

• Le principe consiste à envoyer à travers un canal de transmission une série de

symbole (binaire) connu, de mesurer la réponse à la sortie de canal et de

superposer les tracés du signal reçu sur un multiple de la durée T du symbole.

• On réalise donc la superposition des intervalles [i×T; (i+1)×T].

• Ce type de diagramme peut être généré à l’aide d’un oscilloscope synchronisé

sur le débit du signal.

• La ressemblance du résultat graphique avec un œil a donné le nom à ce

diagramme.


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Diagramme de l’œil

Si l'on superpose les symboles successifs par paires sur un oscilloscope, on obtient le

diagramme de l’œil :


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Diagramme de l’œil : exemple


Données

Horloge

Acquisition de la séquence de données

101 sur front montant de l’horloge

Acquisition de 2 séquence s

superposées 101 et 011

Acquisition en répétitif de séquences

superposées donne naissance au

diagramme de l’œil

"1"

"0"

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Interprétation du diagramme de l’œil


Ouverture

verticale

Temps d’échantillonnage

optimal

Niveau de

décision

optimal

Amplitude crête

Marge

de bruit

Ouverture

horizontale

Incertitude de

synchronisation

Le diagramme de l’œil met en évidence :

• une ouverture verticale (immunité au

bruit),

• une ouverture horizontale (immunité

au déphasage de l’horloge : intervalle

de temps permettant un

échantillonnage correct),

• une incertitude de synchronisation

(amplitude de la gigue d’horloge du

point de passage par zéro),

(effet produit lorsque les différents cycles

de l’horloge passent par 0 à des instants

différents).

67/140





Interprétation du diagramme de l’œil


Le principe général est que plus l'aire

centrale (fenêtre d’observation) est

grande, plus la qualité du signal reçu est

bonne :

• La largeur est liée à la facilité à

synchroniser et différencier les

échantillons successifs

• La hauteur du lobe central traduit le

rapport d'énergie entre le signal

original et le bruit de canal.

• La largeur de la fenêtre d’observation

est la durée d’un symbole (T)

Ouverture

verticale

Temps d’échantillonnage optimal

Niveau de

décision

optimal

Amplitude crête

Marge

de bruit

Ouverture

horizontale

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Interprétation du diagramme de l’œil : risque d'erreur

Influence du canal (Modèle du canal ≡ filtre passe bas de fréquence de coupure 𝑓𝑐)


Niveau de décision

𝒇𝒄 ∼ 𝟏 𝑻

Fenêtre d’observation (œil)

Reconstitution possible

𝒇𝒄 < 𝟏 𝑻

Pas de fenêtre d’observation

Reconstitution impossible

69/140






Influence du bruit sur le canal : en présence de bruit, les contours sont moins nets et

l'ouverture se réduit


Niveau de décision

SNR 20 dB

Fenêtre d’observation (œil)

Reconstitution possible

SNR 10 dB

Pas de fenêtre d’observation

Reconstitution impossible

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Influence du type de codage (multi-niveaux)


Niveaux de décision

Pour un canal de bande passante donnée, plus le débit

augmente, plus l‘œil a tendance à se fermer

Transmission binaire Transmission M-aire

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Influence de l’interférence entre symboles IES :


Les courbes ne se croisent

pas en un même point

avec IES

Les courbes se croisent en un

même point à l’ouverture

maximale de l’œil

sans IES

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Filtre de réception

La conception d’un système de transmission numérique en bande de base a pour

objectif de minimiser l’effet du bruit et de l’interférence entre symboles (ISI) de

manière à maintenir le taux d’erreur à un taux très faible.

Solution pour le bruit de canal : filtre adapté.

Solution pour l’interférence entre symboles : critère de Nyquist.


73/140




Soit le système de transmission binaire en bande de base suivant :

• Amplitudes ak des impulsions : +1 pour un symbole binaire dk = 1, −1 pour un

symbole binaire dk = 0 , T = Tb (transmission binaire)

• En pratique on peut également envisager des transmissions M-aires, impliquant

plus de 2 niveaux d’amplitude possibles, le choix d’une amplitude particulière ak

dépend alors d’une séquence de plusieurs bits


Pulse

generation

𝑑𝑘

𝑎𝑘 𝑎(𝑡) 𝑠(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑤(𝑡)

𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡𝑖)

𝑑′𝑘

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• La séquence ak passe ensuite dans un filtre de mise en forme g(t), produisant le

signal :

𝑎 𝑡 = 𝑎𝑘 𝑔 𝑡 − 𝑘𝑇𝑏𝑘

• Le signal passe à travers un canal de réponse h(t) : devient s(t), puis est

corrompu par le bruit 𝑤(t) (AWGN : bruit blanc additif gaussien de PSD N0/2),

• Le signal reçu 𝑥(t) passe à travers un filtre de réception c(t),

• La sortie du filtre de réception 𝑦 (t) est échantillonnée à cadence symbole, de

manière synchrone avec l’émetteur,

Les échantillons reçus 𝑦𝑖 = 𝑦(𝑡𝑖) sont soumis à un organe de décision qui les

compare à un seuil 𝜆.


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Exemple simulé d’une transmission en BB

L’objectif est de faire apparaitre de manière simple le phénomène d’émission,

réception et régénération d’un signal NRZ antipolaire, illustré à travers un

exemple de simulation.

Transmission idéale, dans un canal de transmission non bruité

On s'intéresse tout d'abord dans notre étude au cas "idéal" : le canal de

transmission transporte le signal émis jusqu'au récepteur sans le perturber des

quelconques signaux parasites. On parle dans ce cas de canal de

transmission idéal.

On transmet dans la simulation numérique suivante le message de 20 bits :

0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0


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Transmission idéale, dans un canal de transmission non bruité

La réception du signal émis se fait à distance de la source d'émission. L’antenne de

réception est figuré par une marque rouge.

Le signal qui se propage s'atténue avec la distance parcourue. C'est une propriété

physique et mathématique de la propagation d'ondes : les fronts d'onde sont

circulaires, centrés sur la source, et contiennent la même énergie ; comme le rayon

de ces cercles augmente lorsque l'onde s'éloigne de la source ...

CHAPITRE III



77/140



Emission et transmission d'un signal

Le message de 20 bits suivant : 01101010101110010100 a été émis et réceptionné.

on observe une distorsion fréquentielle du signal transmis. Ce canal a une bande

passante finie : les composantes hautes fréquences des signaux sont atténuées

voire coupées.

Le signal reçu est nettement déformé, même en absence de bruits parasites.

L'objectif est donc maintenant de reformer ce message original, avec le moins

d'erreur possible.

CHAPITRE III



78/140



Réception et détection d'un message

Le signal reçu est ensuite échantillonné, c'est-à-dire qu'on le convertit en un signal

numérique. On applique alors une règle de décision sur chacun des échantillons : si

celui-ci est positif, on considère qu'il correspond à un "1" envoyé, s'il est négatif on

considère au contraire qu'un "0" a été envoyé.

On reconstruit ainsi le message original (cas idéal : absence de bruit environnant).

Le message reconstitué (en rouge) est conforme au message envoyé (en bleu).

CHAPITRE III



79/140



Transmission dans un canal réel bruité

Dans le cas précédent de la communication numérique dans un canal de

transmission idéal, le message reçu est bien conforme au message émis, et ce sans

traitement particulier.

Malheureusement, une transmission réelle est toujours perturbée.

Par exemple, lors d'une transmission en espace libre (GSM, WIFI, ondes

hertziennes, ...) de nombreuses autres sources parasites, telles que d'autres sources

de message distinctes peuvent venir interférer avec le signal transmis.

Ces perturbations dégradent alors la qualité du signal reçu, la phase finale de

détection risque d'être entachée d'erreurs.

CHAPITRE III



80/140

http://xymaths.free.fr/index.php?dir=MathAppli&subdir=Transmission&fich=Transmission_Onde_Signal_Bruit.html



Emission, transmission sur un canal bruité

La simulation suivante présente des sources aléatoires de bruit, dont l'amplitude

maximum ne dépasse pas 20 % de l'amplitude du signal à transmettre.

Ces sources parasites de bruit viennent se superposer à la propagation du signal

utile, et dégrade donc inévitablement le signal reçu.

CHAPITRE III



81/140



Emission, transmission sur un canal bruité

On peut remarquer par exemple, que même en absence d'émission de la source, le

récepteur capte toujours un signal non négligeable.

Le problème est alors de pouvoir détecter parmi ce signal de fond, le signal

contenant le message de l‘émetteur.

CHAPITRE III



82/140



Réception d'un signal transmis sur un canal bruité

Le bruit a nettement perturbé le signal reçu. On arrive encore néanmoins, sans post-

traitement particulier, à récupérer un message binaire "proche" de l'original.

Toutefois ce résultat n'est en fait guère satisfaisant : sur les 20 bits émis, 5 reçus sont

erronées.

CHAPITRE III



83/140



Réception d'un signal transmis sur un canal bruité

Le taux d'erreur est de 25 %, ce qui est amplement suffisant pour rendre inutilisable

n'importe quel programme, inaudible n'importe quel fichier sonore numérique ...

On peut préciser néanmoins que pour certaines applications, comme la téléphonie

mobile un tel taux d'erreur (quoique encore un peu trop élevé) dégrade certes la

qualité de la communication mais ne la rend pas inutilisable.

Le bruit qui entache cette communication est aléatoire, au contraire du signal émis et

que l'on souhaite récupérer.

On peut, en utilisant cette hypothèse, mettre en œuvre un post-traitement, c'est-à-

dire un traitement après réception, visant à atténuer ce bruit parasite : c'est une

opération de filtrage.

CHAPITRE III



84/140



Filtrage et détection d'un message

On filtre le signal reçu, avec un filtre adapté au signal envoyé.

On observe, après filtrage, non seulement une atténuation du bruit parasite, mais

aussi, une mise en valeur du signal utile.

L'amplitude du signal utile, celui que l'on cherche à détecter, est amplifiée, ce qui

facilite d'autant plus la détection et la reconstruction du message émis.

CHAPITRE III



85/140



Filtrage et détection d'un message

Une seule erreur persiste au final, après filtrage, soit un taux d'erreur de 5 % qu'il est

possible d'améliorer en utilisant un codage de canal.

Le filtre adapté a permis de diviser par 5 le nombre d'erreurs lors de la détection du

message dans le signal bruité reçu.

CHAPITRE III



86/140



Filtre adapté

Problème : détecter le signal s(t) à partir du signal bruité 𝒙(t)

Le signal à la sortie du canal (entrée du filtre de réception) s’écrit :

𝑥(t) = s(t) + 𝑤(t) 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

• T : période d'observation,

• s(t) : signal utilisé pour transmettre le 0 ou le 1,

• 𝑤(t) : bruit additif blanc gaussien de densité spectrale de puissance N0/2.


87/140



Filtre adapté

Objectif : choisir c(t) de manière à maximiser le rapport signal à bruit

𝑺 𝑵 à la sortie du filtre au moment de l'échantillonnage T

• Le signal à la sortie du filtre est donné par :

𝑦(t) = 𝑥 𝑡 ⨂𝑐(𝑡) = s0(t) + 𝑛(t)

avec s0 (t) et 𝑛(t) les composantes filtrées liées à s(t) et 𝑤(t).

• Au moment de l'échantillonnage T, le rapport signal à bruit est :

𝑆 𝑁 = 𝑠0(𝑇)

2

𝐸 𝑛2(𝑡)


88/140



Filtre adapté

• Effet d’un filtre sur le signal reçu s (t) :

𝑠0 𝑡 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓

+∞

−∞

→ Au moment de l’échantillonnage :

𝑠0 𝑇2 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓

+∞

−∞

2

• Effet du filtre sur le bruit 𝑤(t) :

La densité spectrale de puissance du bruit à la sortie du filtre est 𝑆𝑁 𝑓 = 𝑁0

2 𝐶(𝑓) 2,

→ La puissance moyenne du bruit est alors :

𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑆𝑁 𝑓 𝑑𝑓 = 𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

+∞

−∞


89/140



Filtre adapté

• Le rapport signal à bruit est alors :

𝑆 𝑁 = 𝑠0(𝑇)

2

𝐸 𝑛2(𝑡)= 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓+∞

−∞

2

𝑁02

𝐶(𝑓) 2+∞

−∞ 𝑑𝑓

• Pour chercher la borne supérieure de S/N c -à -d maximiser le rapport S/N, on

utilise l’inégalité de Schwarz :

→ Si deux fonctions complexes Ψ1(𝑥) et Ψ2(𝑥) vérifiant :

Ψ1(𝑥)2+∞

−∞ 𝑑𝑥 < ∞ et Ψ2(𝑥)

2+∞

−∞ 𝑑𝑥 < ∞

Alors :

Ψ1 𝑥 Ψ2 𝑥 𝑑𝑥

+∞

−∞

2

≤ Ψ1 𝑥2

+∞

−∞

𝑑𝑥 Ψ2(𝑥)2

+∞

−∞

𝑑𝑥

L’égalité est obtenue uniquement lorsque : Ψ1 𝑥 = 𝑘 Ψ2∗(𝑥) , 𝑘 constante

arbitraire.


90/140



Filtre adapté

• Appliquons l’inégalité de Schwarz à notre rapport S/N :

𝑆 𝑁 = 𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓+∞

−∞

2

𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞

−∞ 𝑑𝑓

en substituant : Ψ1(𝑥) → 𝐶 𝑓 et Ψ2(𝑥) → 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇

→ On obtient alors :

𝐶 𝑓 𝑆 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓

+∞

−∞

2

≤ 𝐶 𝑓 2+∞

−∞

𝑑𝑓 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

Par conséquent :

𝑆 𝑁 ≤ 2

𝑁0 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓


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Filtre adapté

• Le maximum qu’on peut avoir comme rapport signal à bruit est :

(𝑆 𝑁) 𝑚𝑎𝑥 = 2

𝑁0 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

et il est indépendant de 𝐶 𝑓

• L’égalité Ψ1 𝑥 = 𝑘 Ψ2∗(𝑥) se traduit dans notre cas pour le filtre de réception

optimal :

𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 exp (−2𝜋𝑗𝑓𝑇)

• La réponse impulsionnelle du filtre optimal est alors :

𝑐𝑜𝑝𝑡 𝑡 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝑗𝑓(𝑇 − 𝑡) 𝑑𝑓+∞

−∞

= 𝑘 𝑆 −𝑓 𝑒𝑥𝑝 −2𝜋𝑗𝑓(𝑇 − 𝑡) 𝑑𝑓+∞

−∞


= 𝑘 𝑠(𝑇 − 𝑡)

92/140



Filtre adapté

• La réponse impulsionnelle du filtre optimal est alors :

𝑐𝑜𝑝𝑡 = 𝑘 𝑠(𝑇 − 𝑡)

Le filtre optimal a une réponse impulsionnelle qui est, à un facteur k près, la

version retournée et décalée de la forme d’onde s(t) utilisée en émission.

Le filtre c(t) est dit adapté au signal s(t). Un tel filtre est donc appelé filtre adapté

(matched filter)


93/140



Propriété du filtre adapté

La transformée de Fourrier du signal à la sortie du filtre adapté :

𝑆0 𝑓 = 𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 𝑆 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 𝑆 𝑓 exp −𝑗2𝜋𝑓𝑇 = 𝑘 𝑆(𝑓) 2 exp (−𝑗2𝜋𝑓𝑇)

La valeur du signal échantillonné à la sortie du filtre est :

𝑠0 𝑇 = 𝑆0 𝑓 exp 𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑑𝑓 = +∞

−∞

𝑘 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

Par l’identité de Parseval, l’énergie du signal (impulsion de base) reçue à l'entrée

du filtre de réception vaut en effet :

𝐸 = 𝑠2+∞

−∞

𝑡 𝑑𝑡 = 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

Donc :

𝑠0 𝑇 = 𝑘 𝐸


94/140



Propriété du filtre adapté

Puissance moyenne du bruit en sortie du filtre :

𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑁02 𝐶(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓

Or : 𝐶𝑜𝑝𝑡 𝑓 = 𝑘 𝑆∗ 𝑓 exp (−2𝜋𝑗𝑓𝑇), par suite :

𝐸 𝑛2(𝑡) = 𝑘2𝑁02 𝑆(𝑓) 2+∞

−∞

𝑑𝑓 =𝑘2𝑁0𝐸

2

Enfin le rapport S/N :

(𝑆 𝑁) 𝑚𝑎𝑥 = 𝑘𝐸 2

𝑘2𝑁0 𝐸 2 = 2𝐸

𝑁0

Propriété fondamentale du filtre adapté : le rapport signal à bruit en sortie du filtre

adapté ne dépend que du rapport entre l’énergie E du signal d’entrée et la densité

spectrale de puissance N0 du bruit blanc à l’entrée et non de la forme de

l’impulsion utilisée en émission.


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Critère de Nyquist

• Si la largeur de bande du canal de transmission est infinie ou très grande, alors le

signal est transmis sans grande déformation : on parle de canal idéal

→ En pratique : c’est l’approximation d’un canal à bande passante large par

rapport au spectre du signal émis (canal à large bande)

• Dans le cas échéant, on dit que le canal est à bande étroite ou limitée.


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Critère de Nyquist

Problème : Influence du canal de transmission sur le signal

numérique (l'étalement des impulsions).

• Le filtre d'émission g(t) est utilisé pour limiter la largeur de bande du signal.

→ Considérons le cas le plus simple de transmission : le canal est parfait, donc le

bruit est absent. Il s'avère que même dans telles conditions favorables la

transmission correcte peut être impossible (IES) si le filtre de mise en forme g(t)

est mal choisi.


97/140



Critère de Nyquist

Objectif : Améliorer les performances du système de transmission

(Annuler ou réduire les interférences)

• Critère de Nyquist : interférences nulles aux moments de l’échantillonnage

On montre que pour obtenir en réception un signal sans IES, il faut que la

condition suivante soit respectée :

𝐵 ≥ 1

2𝑇= 𝑅

2

T : la durée d’un symbole

R=1/T : la rapidité de la modulation


IES

98/140



Critère de Nyquist

Filtre de Nyquist idéal :

• Spectre G(f ) rectangulaire, de bande passante 𝐵 = 𝐵𝑚𝑖𝑛 = 1

2𝑇 (bande de

fréquence minimale nécessaire à la transmission en bande base sans IES dite :

bande de Nyquist)

• L'impulsion de base g(t) correspondante dans le domaine temporel :


𝑔 𝑡 = sin (2𝜋𝐵𝑡)

2𝜋𝐵𝑡= 𝑠𝑖𝑛𝑐 2𝜋𝐵𝑡

= 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝜋𝑓𝑡 , 𝑓 = 1 𝑇

2𝐵𝐺(𝑓)

𝑓 𝐵

𝑔(𝑡)

𝑡 𝑇

99/140



Critère de Nyquist

Filtre de Nyquist idéal :

Les impulsions successives, échantillonnées aux instants t = 0, ±T, ±2T, · · ·

n’interfèrent pas les unes sur les autres

• Avantage : Filtre le plus économique en bande passante

• Inconvénient : Les lobes secondaires du sinc sont importants et présentent une

forte pente aux moments d’échantillonnage.

→ De petites variations de la période d’échantillonnage dues aux imperfections

du système de synchronisation, conduisent à l’apparition de contribution

importantes de l’impulsion précédente au moments d’échantillonnage, donc à

IES.

→ Filtre irréalisable en pratique.

Solution: extension de la bande passante depuis la valeur minimale B = 1/2T vers

une valeur ajustable entre B et 2B.


100/140



Critère de Nyquist

Filtre en cosinus surélevé :

Solution : extension de la bande passante depuis la valeur minimale B = 1/2T vers

une valeur ajustable entre B et 2B.

Une solution généralement retenue dans les équipements de transmission est le

filtre en cosinus surélevé (raised cosine spectrum), qui a cependant l’inconvénient

d’augmenter la bande passante du canal :


𝑔(𝑡)

, Ω = 𝜋𝑓

101/140



Critère de Nyquist


Illustration de l’annulation de l’IES, pour l’émission du message 110 :


102/140



Critère de Nyquist


Sa fonction de transfert est :

𝐺 𝑓 =

𝑇 𝑓 ≤1 − 𝛼

2𝑇

𝑇

2 1 + cos

𝜋𝑇

𝛼 𝑓 −

1 − 𝛼

2𝑇 1 − 𝛼

2𝑇≤ 𝑓 ≤

1 + 𝛼

2𝑇

0 𝑓 ≥1 + 𝛼

2𝑇

(1 + cos ) : Filtre en cosinus surélevé.

• 𝑓N = 1/2T est la fréquence de Nyquist,

• R =1/T est la rapidité de modulation du signal numérique

• 𝛼 est le coefficient de “roll-off” ou “facteur de débordement” tel que : 0 ≤ 𝛼 ≤ 1.


103/140



Critère de Nyquist



• Réponse impulsionnelle du filtre en cosinus

surélevé, pour différents facteurs de débordement :

assurant le passage par 0 aux instants adéquats

𝑔 𝑡 = 𝑇𝐹−1 𝐺(𝑓) = 𝑠𝑖𝑛𝜋𝑡𝑇𝜋𝑡𝑇

∙ 𝑐𝑜𝑠𝜋𝛼𝑡𝑇

1 −2𝛼𝑡𝑇

2

• Réponse en fréquence du filtre en cosinus surélevé,

pour différents facteurs de débordement :

La largeur de bande est :

𝐵 = 1 + 𝛼 𝐵𝑚𝑖𝑛 =(1 + 𝛼)

2𝑇=𝑅(1 + 𝛼)

2

104/140



Critère de Nyquist



• Influence du facteur de débordement α sur le diagramme de l’œil :

• L’ouverture horizontale indique une résistance à un décalage des instants

d’ échantillonnage. Ainsi plus l’œil est ouvert en largeur, plus l’accumulation des

interférences dues au décalage des instants d’échantillonnage auront une

influence moindre en terme de probabilité d’erreur. C’est le cas pour les fonctions

en cosinus surélevé lorsque α augmente.

Diagramme de l’œil pour α=0,5 Diagramme de l’œil pour α=1

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Egalisation

• La présence inévitable de bruit (dégradation du rapport signal à bruit) et

d’interférences inter symboles (déformation due aux limitations de la bande

passante du canal et à sa dispersion) introduit des erreurs dans le dispositif de

décision.

• La conception des filtres d’émission et de réception vise à réduire le bruit et l’IES :

→ Solution pour le bruit de canal : filtre adapté

→ Solution pour l’interférence entre symboles : critère de Nyquist

• En principe, si le canal est parfaitement connu, il est possible en théorie de

minimiser voire d’annuler l’IES à l’aide de filtre d’émission et de réception, de telle

sorte que la chaîne complète de transmission forme un canal de Nyquist.

• En pratique, on ne connaît que très rarement les caractéristiques du canal. En

outre, il peut exister des imperfections dans l’implantation des filtres.


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Egalisation

Problème : En pratique, bruit et IES se produisent simultanément, ce qui

conduit à maintenir une IES résiduelle et variable dans le temps.

• Si la réponse impulsionnelle ou la réponse fréquentielle d’un filtre ou d’un canal

respecte les critères de Nyquist, l’IES peut être annulé afin que l’ensemble la

cascade ’ filtre d’émission + canal + filtre de réception ’ forme un filtre de Nyquist

[𝑮(𝒇)𝑯(𝒇)𝑪 𝒇 ].


Pulse

generation

𝑑𝑘

𝑎𝑘 𝑎(𝑡) 𝑠(𝑡) 𝑥(𝑡)

𝑤(𝑡)

𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡𝑖)

𝑑′𝑘 𝑮(𝒇) 𝑯(𝒇) 𝑪(𝒇)

107/140



Egalisation

Objectif : Compenser les effets parasites du canal et annuler l’IES.

L’égaliseur va se charger de cette opération.

• Un égaliseur est un filtre de réception particulier qui vise à compenser les effets

parasites du canal et annuler l’IES.

• En bande de base, si les filtres d’émission et de réception forment un filtre de

Nyquist, le rôle de l’égaliseur sera de compenser l’effet du canal :

𝐸 𝑓 = 1

𝐻(𝑓) 𝑠𝑢𝑟 [−𝐵, 𝐵]

où 𝐸 𝑓 représente la fonction de transfert de l’égaliseur et B la bande passante du

canal.

• Comme la paire des filtres d’émission et de réception forment un filtre de Nyquist,

on peut parfaitement reconstituer la séquence d’entrée {ak}. Du point de vue

spectral, on a « égalisé » la réponse du canal.


108/140



Egalisation

Quelques structures classiques d’égaliseurs :

a. Egaliseur transverse ou linéaire :

• Les égaliseurs transverses sont les plus simples à mettre en œuvre. Il s’agit de

simples filtres numériques linéaires à réponse impulsionnelle finie pour lesquels

les méthodes de calcul et d’implantation sont bien connues :

Les coefficients 𝑏𝑖 constituent la réponse impulsionnelle de l’égaliseur, de longueur

M, 𝑥[𝑛] est la séquence d’observations et 𝑦 𝑛 la sortie de l’égaliseur.


𝑦 𝑛 = 𝑏𝑖 𝑥[𝑛 − 𝑖]

𝑀−1

𝑖=0

109/140



Egalisation



• Calcul des coefficients d’un égaliseur transverse


110/140



Egalisation



• Malgré leur simplicité, les égaliseurs transverses sont peu efficaces puisque la

fonction de transfert du canal doit être parfaitement connue, stationnaire et causal

(échantillons nuls pour n<0), ce qui est rarement le cas en pratique.


111/140



Egalisation


b. Egaliseur « zero forcing » :

• Un égaliseur à zero forcing cherche à compenser exactement la fonction de

transfert du canal, afin d’annuler complètement l’IES et l’on dit que interférence

entre symboles est forcée à zéro. On a ainsi la fonction de transfert du filtre

égaliseur l’inverse de celle du canal :

• A partir de la transformée en Z, on peut en déduire la réponse impulsionnelle du

filtre, connaissant celle du canal. M représente l’ordre du filtre et R un retard afin

de prendre en compte une partie non causale de la réponse du canal :


𝐸 𝑓 = 1

𝐻(𝑓)

𝐸 𝑧 = 1

𝐻(𝑧) ⟺ 𝑒 𝑖 ℎ 𝑛 − 𝑖 = 𝛿(𝑛 − 𝑅)

𝑀−1

𝑖=0

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Egalisation


b. Egaliseur « zero forcing » :

• Ce filtre présente néanmoins plusieurs défauts. Le premier concerne le risque

d’instabilité. En effet, si H(z) présente des zéros de module supérieur à 1, alors

E(z) possède des pôles instables.

• En outre, comme les canaux ont généralement des comportements de type passe

bas, ce type d’égaliseur est généralement un filtre de type passe haut. Si le bruit

est large bande, alors il s’ensuit une nette dégradation du rapport signal à bruit en

sortie du filtre.

• Enfin, ce type d’égaliseur est statique et n’est pas utilisable pour un canal non

stationnaire. Il nécessite une estimation préalable de la réponse impulsionnelle du

canal.


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Egalisation


c. Egaliseur à maximum de vraisemblance :

• La présence d’IES est caractéristique d’une mémoire dans le signal lié à un canal

imparfait.

• Comme il existe une interdépendance entre les symboles reçus, il est possible de

reconstituer la séquence de symboles transmis en maximisant la vraisemblance

d’apparition du symbole.

• Cela se fait en général en utilisant un algorithme de Viterbi. Celui-ci permet de

sélectionner dans un treillis le chemin de métrique le plus faible.


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Egalisation


c. Egaliseur à maximum de vraisemblance :

• L’algorithme de Viterbi ne peut s’appliquer que sur un signal avec un bruit blanc

superposé.

• L’égaliseur à maximum de vraisemblance est sans doute celui qui affiche les

meilleures performances, mais c’est aussi le plus complexe. Il ne s’applique qu’à

des séquences binaires courtes.

• Comme les autres égaliseurs, il nécessite aussi une estimation préalable de la

réponse impulsionnelle du canal.


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Egalisation


d. Egaliseur adaptatif

• Tous les égaliseurs précédents souffrent du défaut de considérer le canal

stationnaire.

• En pratique, les paramètres de l’égaliseur peuvent être remis à jour régulièrement,

grâce à l’utilisation de séquence d’apprentissage.

• Mais la période de remise à jour doit être suffisamment faible et rien n’empêche le

canal de se modifier entre deux remises à jour.

• Les égaliseurs adaptatifs résolvent le double problème de méconnaissance du

canal et d’évolution dans le temps du canal.


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Egalisation


d. Egaliseur adaptatif

• Les égaliseurs adaptatifs basés sur l’algorithme de gradient stochastique sont

parmi les plus simples au niveau implémentation, stable et peu couteux.

• Cette approche vise à minimiser l’erreur quadratique entre les séquences d’entrée

et de sortie de l’égaliseur, les coefficients du filtre étant modifiés au cours du

temps.

• Néanmoins, les performances de ce type d’égaliseur peuvent être limitées dans le

cas de variations brutales du canal.

• Il existe beaucoup d’autres techniques d’égalisation beaucoup plus avancées

parmi lesquelles les égaliseurs récursifs à retour de décision et les égaliseurs

autodidactes.


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Détection en présence du bruit

Problème : A cause du bruit ajouté par le canal, la probabilité d’une

erreur d’interprétation des symboles reçus n’est pas nulle. Le problème

du récepteur ici est de décider de l’affectation des symboles reçus à l’un

des symboles composant l’alphabet de départ.

• Etape appelée décision : elle doit être effectuée de manière à minimiser le risque

de mauvaise détection du signal en élaborant une règle de décision

• Des performances en termes de taux d’erreur binaire seront associées à cette

règle dans le cadre d’un canal et d’un bruit donné.


𝑦(𝑡𝑘)

𝑡𝑘 = 𝑘𝑇𝑏

𝑦(𝑡𝑘)

𝑦(𝑡𝑘)

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Objectif : Déterminer la règle de décision optimale dans le cas d’un

signal binaire traversant un canal AWGN, puis les performances en

terme de taux d’erreur binaire.

• Un signal émis en bande de base s(t) traverse un canal AWGN caractérisé par un

bruit blanc gaussien d’écart type σ et arrive en entrée du récepteur.

• Après avoir été filtré et échantillonné, le signal 𝑦(𝑡𝑖) arrive en entrée d’un

comparateur à seuil qui va déterminer quel est l’état binaire pris par le symbole

reçu.

• Le récepteur est supposé parfaitement synchronisé (connaissance parfaite de la

position des intervalles de durée Tb) et la forme des impulsions est connue.

• Le but du problème est de déterminer le seuil λ du comparateur à seuil qui va

minimiser l’erreur d’interprétation du message binaire.


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Probabilité d'erreur :

Rappels : Fonction d’erreur de Gauss complémentaire ERFC

• Le calcul de la probabilité d’erreur implique la connaissance de la distribution

statistique de la perturbation. Un modèle couramment utilisé car suffisamment

réaliste est la distribution de Gauss, dont la densité de probabilité est :

où σ est l’écart type et μ est la valeur moyenne.

• La probabilité d’erreur, c'est-à-dire que la variable aléatoire x dépasse un seuil a,

peut se calculer comme :


𝑓 𝑥 = 1

2𝜋 𝜎 𝑒𝑥𝑝 −

𝑥 − 𝜇 2

2𝜎2

𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑥 ≥ 𝑎 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

−∞

+∞

𝑎

(1)

(2)

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Probabilité d'erreur :

• Une loi de probabilité est dite normale et centrée si μ=0 et si l’écart type σ=1, son

intégrale entre -∞ et +∞ est égale à 1. Celle-ci s’écrit :

• La fonction d’erreur de Gauss notée erf(z) est une fonction commune en analyse

et correspond à la probabilité qu’une variable normale centrée réduite prenne une

valeur dans l’intervalle [-z ;+z]. Elle s’écrit donc :

• Cette fonction n’est pas calculable par simple intégration, mais est fourni dans des

tables et logiciels de calculs numériques. La fonction d’erreur de Gauss

complémentaire erfc(z) se calcule à l’aide de l’équation suivante :


𝑓 𝑥 = 1

2𝜋 𝑒𝑥𝑝 −

𝑥2

2

erf 𝑧 = 2

𝜋 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥2 𝑑𝑥𝑧

0

erfc 𝑧 = 1 − erf 𝑧 = 2

𝜋 exp − 𝑥2 𝑑𝑥+∞

𝑧

(3)

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Seuil de décision pour un signal binaire traversant un canal AWGN :

• Les symboles 0 et 1 sont représentés par des impulsions rectangulaires positives

ou négatives, d’amplitudes 𝑎0 et 𝑎1 et de durée T=Tb

• Le signal en entrée du comparateur peut s’écrire :


𝑦(t) = 𝑠 𝑡 ⨂𝑐(𝑡) + 𝑛(t), 𝑛(t) composante filtrée liée à 𝑤(t).

𝑦𝑘 = 𝑦 𝑡𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑛𝑘 𝑜ù 𝑎𝑘 = 𝑎0 𝑠𝑖 𝑠𝑘 = 0𝑎𝑘 = 𝑎1 𝑠𝑖 𝑠𝑘 = 1

𝑦(𝑡𝑘)

𝑡𝑘 = 𝑘𝑇𝑏

𝑦(𝑡𝑘)

𝑦(𝑡𝑘)

Comparateur

à seuil λ

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• Comme le bruit est de type gaussien, la densité de probabilité du bruit peut

s’écrire à l’aide de la fonction suivante [voir (1)] :

• On peut en déduire la densité de probabilité de l’amplitude prise par le signal 𝑦𝑘 en entrée de l’étage de décision :


𝑓 𝑥 = 1


𝑥 − 𝜇 2

2𝜎2

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• Une erreur se déclare dans les 2 cas suivants :

→𝑎𝑘 = 𝑎0 et 𝑑𝑘 = 1, en terme de probabilité cela s’écrit :

→𝑎𝑘 = 𝑎1 et 𝑑𝑘 = 0, en terme de probabilité cela s’écrit :


𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 = 𝑓 𝑥 𝑎0

+∞

𝜆

𝑑𝑥 , 𝑜ù 𝑓 𝑥 𝑎0 =1


𝑥 − 𝑎02

2𝜎2

𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1 = 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥 , 𝑜ù 𝑓 𝑥 𝑎1 =1


𝑥 − 𝑎12

2𝜎2

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• La probabilité d’apparition d’une erreur peut donc s’écrire sous la forme suivante :


𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1

𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0

+∞

𝜆

𝑑𝑥 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥

𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 1 − 𝑓 𝑥 𝑎0 𝑑𝑥𝜆

−∞

+ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥 [voir (2)]

𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1 − 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0 𝑑𝑥𝜆

−∞

(4)

[voir (2)]

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• Nous cherchons à déterminer λ pour minimiser l’erreur, c'est-à-dire :

• Cela est possible si le contenu de l’intégrale de (4) est annulé :


𝑑𝑃(𝑒)

𝑑𝜆 𝜆 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1 − 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 1= 𝑓 𝑥 = 𝜆 𝑎0𝑓 𝑥 = 𝜆 𝑎1

= 𝑒𝑥𝑝 −

𝜆 − 𝑎02

2𝜎2

𝑒𝑥𝑝 − 𝜆 − 𝑎1

2

2𝜎2

ln𝑃 𝑑𝑘 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 1= 1

2𝜎2 𝜆 − 𝑎1

2 − 𝜆 − 𝑎02

ln𝑃 𝑑𝑘 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 1= 𝜆 𝑎0 − 𝑎1𝜎2

+ 𝑎12 − 𝑎0

2

2𝜎2

[voir (1)]

(5)

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• De l’équation (5), on déduit :

• Si les 2 états binaires sont équiprobables ( 𝑃 𝑑𝑘 = 0 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 = 1

2 ), on

détermine le seuil de décision suivant :

• Ce résultat assez intuitif montre que le récepteur optimal possède le seuil de

décision à mi-distance entre les amplitudes liées aux 2 états binaires.

• Si le train d’impulsions est binaire de type ’ NRZ antipolaire ’ : les symboles 1 et 0

sont représentés par des impulsions rectangulaires d’amplitude ±A et de durée

T=Tb , alors le seuil optimal :


𝜆 = 𝑎0 + 𝑎12+ 𝜎2

𝑎0 − 𝑎1ln𝑃 𝑑𝑘 = 0

𝑃 𝑑𝑘 = 1

𝜆 = 𝑎0 + 𝑎12

𝜆 = 0

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Taux d’erreur binaire théorique d’un signal binaire sur un canal AWGN :

• Avec le seuil de décision calculé dans les conditions précédentes, il est possible

de déterminer les performances en terme de probabilité d’erreur. On reprend

l’équation :

• Symboles équiprobables : 𝑃 𝑑𝑘 = 0 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 = 1

2


𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 1 𝑎 = 𝑎0 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑃 𝑑𝑘 = 0 𝑎 = 𝑎1

𝑃 𝑒 = 𝑃 𝑑𝑘 = 1 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎0

+∞

𝜆

𝑑𝑥 + 𝑃 𝑑𝑘 = 0 ∙ 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥

𝑃 𝑒 =1

2∙ 𝑓 𝑥 𝑎0

+∞

𝜆

𝑑𝑥 +1

2∙ 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥 (6)

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• Comme le seuil est placé de manière symétrique par rapport à a0 et a1, on peut

faire intervenir A, qui correspond à l’amplitude du signal :


𝑃 𝑒 𝐴 = 𝑎1 − 𝑎02

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• En analysant l’équation (6) à l’aide de la figure précédente et en exploitant les

propriétés de symétrie d’une fonction gaussienne, on peut écrire :


𝑃 𝑒 =1

2∙ 𝑓 𝑥 𝑎0

+∞

𝜆

𝑑𝑥 +1

2∙ 𝑓 𝑥 𝑎1

𝜆

−∞

𝑑𝑥

𝑃 𝑒 =1

2∙ 𝑓(𝑥)−𝐴

−∞

𝑑𝑥 +1

2∙ 𝑓(𝑥)+∞

𝐴

𝑑𝑥

𝑃 𝑒 =1

2∙ 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

+𝐴

−𝐴

𝑃 𝑒 =1

2∙ 1 − 2 ∙

1


𝑥2

2𝜎2𝑑𝑥

+𝐴

0

(7)

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• En effectuant le changement de variable suivant : 𝑢 = 𝑥

2 𝜎 , l’équation (7) devient :

• En se reportant à l’équation (3), on remarque que la fonction erfc apparaît dans

l’équation précédente, qui peut s’écrire sous la forme ci-dessous :


𝑃 𝑒 = 1

2 1 −

2

𝜋 𝑒𝑥𝑝+𝐴

2 𝜎

0

−𝑢2 𝑑𝑢

𝑃 𝑒 = 1

2 erfc

𝐴

2 𝜎 (8)

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• Si on note A l'amplitude du signal utile correspondant à un '1' émis et si on

considère que pour un '0' émis l'amplitude vaut -A, l'énergie utile moyenne par bit

transmis est :

𝐸𝑏 = 𝑃 𝑎𝑘 = 0 ∙ −𝐴2 + 𝑃 𝑎𝑘 = 1 ∙ 𝐴

2 = 𝐴2

• On considère qu’un bruit blanc gaussien (AWGN : Additif White Gaussian Noise)

possède une énergie 𝑁0, une moyenne nulle et une variance 𝜎2 = 𝑁0 2

L’équation de la probabilité d’erreur (8) peut donc s’écrire sous la forme suivante :


𝑃 𝑒 = 1

2 erfc

𝐸𝑏

2 𝑁0 2

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• La probabilité d’erreur dans un canal binaire symétrique dépend uniquement du

rapport Eb/N0 entre l’énergie du signal transmis par bit Eb et celle du bruit N0 :

Le seuil de décision d’un récepteur est choisi afin de minimiser le taux d’erreur

binaire. Dans le cas d’un canal AWGN, il est possible de déterminer les

performances en terme de taux d’erreur binaire connaissant le rapport signal à

bruit.


𝑃 𝑒 = 1

2 erfc

𝐸𝑏𝑁0

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Conception d’un système de transmission numérique en bande de base :

Divers types de codes en BB :

• Les codes sur fronts facilitent la reconstitution de l’horloge et autorisent les

changement de polarité mais présentent un doublement de la bande

passante

• Les codes multi niveaux augmentent le débit au détriment du rapport S/N

Il n’y a pas de code BB optimal, il faut choisir le code en fonction de l’application

visée (caractéristiques du support, débit de transmission voulu …)

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


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Conception d’un système de transmission numérique en bande de base :

Canal à bande limitée : Interférences entre symboles

Critère de Nyquist : annuler les interférences aux instants d'échantillonnage

• Filtre idéal de Nyquist

• Filtre en cosinus surélevé

Diagramme de l’œil : pour analyser le niveau des interférences

Filtre adaptatif : maximiser le rapport signal à bruit 𝑺∕𝑵 à la sortie du filtre au

moment de l'échantillonnage

Egalisation : compenser les effets parasites du canal et annuler l’IES

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


135/140


Planification d’une transmission numérique :

Vue générale d’un canal de transmission bruité et des contraintes associées à

respecter pour limiter l’apparition d’erreur de transmission :

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


Cod BB/ Mod BT

Déco / Démo

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Pour réaliser une liaison numérique sans erreurs, les données suivantes sont

nécessaires pour planifier la transmission :

• Le taux d’erreur binaire maximal, qui permet de déterminer le rapport signal à

bruit minimal et donc le seuil de sensibilité du récepteur

• Le débit binaire de la source

• La fonction de transfert du canal. Dans le cas d’une transmission numérique, est-

ce que des interférences inter-symboles sont à craindre ?

• La bande passante du canal et la bande de fréquence allouée pour la

transmission (ainsi que les tolérances d’émission sur les canaux adjacents)

• La densité spectrale de bruit N0, le rapport signal sur bruit minimal au niveau du

récepteur S/N ou le rapport signal à bruit par bit Eb/N0. Celui-ci dépend de la

spécification en terme de taux d’erreur binaire, de la modulation employée et des

techniques de codage de source et de canal.

• La puissance d’émission disponible et tolérable (réglementation des émissions)

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


137/140



Une fois ces données connues, il est nécessaire de :

• Déterminer le débit binaire et le nombre de bits utilisés pour coder les différents

symboles. Ils dépendent de la largeur de bande et de la probabilité d’erreur

• Déterminer la forme des signaux élémentaires, les modulations et le filtrage

associé, afin de fixer l’encombrement spectral (efficacité spectrale)

• Concevoir les différents étages du récepteur pour minimiser l’effet du bruit et des

interférences inter symboles (filtrage, égalisation, synchronisation, décision)

• Dans le cas d’une transmission numérique, vérifier si le taux d’erreurs binaires est

acceptable, ajouter du codage canal et une marge de bruit si nécessaire

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


138/140



Le respect des conditions de Nyquist et de la capacité maximale d’un canal

permet en théorie d’annuler l’interférence inter symboles. Mais dans un canal

réel, différentes techniques doivent être mises en jeu afin de minimiser le taux

d’erreur. Au niveau de l’émetteur, on peut :

• Ajouter des codes détecteur/correcteur d’erreur, entrelacer les données

• Réaliser un codage en ligne (modulations, mise en forme électrique) adapté au

canal

• Filtrer le signal

• Pratiquer des accès multiples (son intérêt reste l’optimisation de l’utilisation du

canal)

• Ajouter de la diversité

Au niveau du récepteur, la réduction des erreurs d’interprétations des données

est principalement assurée par l’égaliseur qui compense les effets parasites du

canal. Il est nécessaire de soigner la conception du régénérateur

(synchronisation, amplification, filtrage, décision).

CHAPITRE III

6. CONCLUSION


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Pour les trois chapitres :

Fondements de la théorie de la transmission de l'information, Auteur : Alexandru

Spătaru, Éditeur : PPUR presses polytechniques, 1987.

Systèmes de communications numériques, Auteur : Gaël Mahé, 2010 – polycopié

de cours - UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes.

Introduction aux communications numériques, auteurs : Michel Joindot, Alain

Glavieux. Collection: Sciences Sup, Dunod – 2007.

Extrait de Radiocommunications numériques, Tome 1 (sous la direction de G.

Baudoin), Dunod, Paris 2002. Chapitre rédigé par J.-F. Bercher (ESIEE-Paris).

www.esiee.fr/~bercherj/New/polys/PolyEgal.pdf.

CHAPITRE III

BIBLIOGRAPHIE


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Documents

Labouidya Com-num_master 2012 (Chapitre III)