INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOISparYvesLaszloEvariste Galois2 YVESLASZLODans la nuit du 29 Mai 1832 ,Evariste Galois(1)sait sa mort proche. Il ecrit une lettre-testament(2)adressee` asonamiAugusteChevalierdontvoiciunfac-simile.1. 1811-18322. VoirEcrits et memoires mathematiques dEvariste Galois, Gauthiers-Villars (1962).INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 3Voici latranscriptiondelan. [...]Jemesuissouvent hasardedansmavie`aavancerdespro-positionsdontjenetaispass ur.Maistoutcequejaiecritl`aestdepuisbientotunandansmatete,etilesttropdemoninteretdenepasmetromperpourquonmesoupconnedavoirenoncedestheor`emesdontjenauraispaslademonstrationcompl`ete.TuprieraspubliquementJacobietGaussdedonnerleuravis,nonsurlaverite,maissurlimportancedestheor`emes.JetembrasseaveceusionPour aller dans le sens de la mode des indicateurs bibliometriques,on constatera avec interet queparmi les prepublications disponibles depuis le 1er janvier 2008, pr`es dun millier mentionnent dansleresumelemot

Galois

. Ceci donneuneideedelimportancedelatheoriedeGalois, maisaussi desamoderniteetdelaquantiteconsiderabledepointsrestant`adecouvrir. Lepremierfeuilletdelalettrepreciteecommencecommesuit. Memesi lestyleparatunpeuabscons, lelecteurreconnatradabordladenitiondunsous-groupedistingue(cf. chapitre0dupolycopiedetronccommunou(6.6.1))puisletheor`emederesolubilite9.4.1des equationsalgebriques.4 YVESLASZLOINTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 56 YVESLASZLO1. IntroductionLobjet de ce cours est de montrer ` a quel point des domaines qui a priori sont sans grand rapport,latheoriedesgroupesetcelledesextensionsdecorps,sontintimementlies.Celienprofondmisenlumi`ereauXIX`emeparGaloispermetdedonnerdesresultatsprofondsenarithmetique, la

reine des sciences comme disait Gauss. Meme si, faute de temps, on na gu`ere pu presenter deresultats modernes, la theorie de Galois et ses extensions tient actuellement une place centrale enMathematiques. La comprehension des groupes de Galois des corps de nombres est tr`es lacunaire,memesi desprogr`esspectaculairesonteterealisescescinquantederni`eresannees. Onapreferedans cette exposition sacrier ` a la tradition en ne donnant que les grandes lignes des solutions deprobl`emes classiques et seculaires quapportent la theorie de Galois (constructibilite ` a la r`egle et aucompasparexemple),pourallerplusavantdanslexpositiondemethodesalgebriquespuissantes(introduction` alareductionmodpdesgroupesdeGalois(10))ouderesultatsrecents(quelquesresultats de theorie de Galois inverse (12)). On na pas non plus cherche ` a developper des methodessophistiqueesdecalcul algorithmiquesdegroupesdeGalois, qui existent, maisqui sont`amonsensplut otdesprobl`emes

dexperts

. Onnapasabordenonpluslatheoriedesresolvantes.Onadisseminedesexercicestoutaulongdutexte, qui, laplupartdutempssonttr`essimplesmaispermettrontde

sefairelamain

ainsi quedeveriersi lesnotionssontassimilees. Oninvitelelecteur` aneconsulterlesindicationsdepreuveenndepolyquenderni`ereextremite.Lesextensionsdelatheoriesonttr`esnombreuses. Parexemple, onnesauraittropconseilleraulecteur detudier la theorie des revetements ramies nis des surfaces de Riemann S. Il verra alorsquecette etudeest equivalente` aletudedesgroupesdeGaloisdesextensionsniesducorpsdesfonctionsmeromorphesdeS !Dunpointdevuebibliographique,onpourrasereporterauxjolislivres dAntoine Chambert-Loir (Alg`ebre corporelle, publication Polytechnique, 2004) ou de ReneeElkik(CoursdAlg`ebre, EllipsesMarketingCollection: MathematiquesUniversite, 2002). Pouraller plus loin, en particulier dans letude de la separabilite, le chapitre V de lAlg`ebrede Bourbakiestunclassique.Maintenant, cette exposition elementaire soure de labsence du produit tensoriel qui ` a lui seul au-rait rendu bien des preuves nettement plus naturelles. Helas, le temps manque. Plus generalement,latheoriedeGaloisaetelargementgeneraliseeetnestenfaitquuncasparticulierdunevastetheorie, enunsens plus simpleet plus geometrique, latheoriedeladescented`element platede Grothendieckexposee dans SGA1(Revetements etales et groupe fondamental, DocumentsMathematiques3,2003).Si cet ouvrage nest gu`ere accessible `a ce stade, ce point de vue tr`es geometrique a ete expose pourlatheoriedeGaloisdansletr`esjoli livredeDouadyA. etR. (Alg`ebreet theoriesgaloisiennes,Cassini,2005),ouvragedontlalecturenesauraittrop etreconseillee.IlexpliquelanalogieentrecorpsdenombresetsurfacesdeRiemannetledictionnairegaloisienentreextensionsdecorpsetINTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 7Alexandre Grothendieckrevetementsetales. Il abordelatr`esricheetlargementouvertetheoriedesdessinsdenfants deGrothendieck(3), qui faitlepontentrelatheoriedessurfacesdeRiemannetlarithmetiquevialetudedugroupedeGaloisdeQsurQ.Cecoursseveutdoncuneinvitationauvoyageplusquunexposeexhaustifqui auraitnecessiteplusdeplace.Dunpointdevuetechnique,nousnoussommesenparticulierlimitesauxcorpsparfaitscequiapermis deviter les discussions sur les extensions separables. Il nous a paru que cela ne nuisait pas` a la comprehensiondes methodes,ce dautant que ce cadre recouvre de tr`es nombreux probl`emesactuels. On ne sest pas restreint aux corps de caracteristique nulle pour avoir une theorie englobantlecasdescorpsnisqui, commeonleverra(10)estdetoutesmani`eresutilespourcalculerlesgroupesdeGaloisintervenantencaracteristiquezero.Lespassagesenpetitcaract`erepeuventetrepassesenpremi`erelecture. Leuretudeapprofondieneserapasnecessairepourlexamen(onrappeleraitsi besoindesresultatsyetantutilises). Latypographiesignaleengeneral desapprofondissementsougeneralisationinteressantes, voiredespreuves peu eclairantes pour la comprehension de lensemble, plus quune diculte plus importanteparrapportaucurdutexte.On a volontairement cherche ` a

aller au plus court dans les preuves tant que celles-ci restaient

naturelles ,sanschercher` alesgeneraliserinutilement(cf.parexemplelesdiscussionssurlesentiers algebriques). Lelecteur interessepar latheoriedeGalois generalepourrapar exempleconsulterlancienpolycopie(http://www.math.polytechnique.fr/laszlo/galois0.pdf).Puissentlabeauteetlapuissancedecettemerveilleusetheorieavoirtouchelelecteur.3. 1928-8 YVESLASZLO2. InvitationNousallonsesquisserdeuxsucc`eshistoriquementimportantsdelatheoriedeGalois.Danscetteinvitation, onnutiliseraquelefaitbienconnuqueladonneedunsous-corpskdeKmunitKdune structure de k-espace vectoriel. La dimension, nie ou non, se note [K : k] et sappelle aussiledegredelextensionK/k.2.1. Construction`alar`egleetaucompas. Onidentieleplaneuclidien(oriente)` aCmunidelanormeusuelle [[z[[=[z[.Denition2.1.1. OndiraqueP Cest constructiblesil existeunesuiteniedepointsdistinctsP0, , PN= PdepointstelqueP0 0, 1etpourtoutn < NlepointPn+1estundespointsduneintersectionniededeux

droiteoucercle

detype('P, P`, 0 ||||||||A/Itelquef(I) = 0,ilexisteununiquemorphismeffaisantcommuterlediagrammeBA//f>>||||||||A/IfOO,cest`adiretelquef=f .Onditaussiquefsefactorise` atravers.Entermesensemblistes, ceciequivautautheor`emesuivant, ditdeproprieteuniverselleduquo-tient:Theor`eme3.3.2(Proprieteuniverselleduquotient). Soit Bunanneau. LapplicationdecompositionparlasurjectioncanoniqueA A/IdenitunisomorphismeHom(A/I, B) f Hom(A, B)telsquef(I) = 0.Onidentierasansplusdeprecautioncesdeuxespaces.Demonstration. Observons que est additive. Soit alors dans le noyau ie= 0. Commeestsurjective,estnullesur(A) = A/Idoncestnulle,do` ulinjectivite.Passons ` a la surjectivite. Soit donc f Hom(A, M) annulant I et cherchons un antecedent . Soitt A/I:cestlaclassedun elementa,biendetermine`aadditiondun elementi Iquelconquepr`es. Comme f(I) = 0, les images par fde tous les elements a representant t sont un seul et memeelementquonbaptise(t).Parconstruction, = fetest evidemmentunmorphisme(parexemple,sit = (a), t

= (a

)aveca, a

A,ona(tt

) = ((a)(a

)) = ((aa

)) = f(aa

) = f(a)f(a

) = ((a))((a

)) = (t)(t

)cequiprouvelamultiplicativitepuisqueestsurjectiveetdememepourladdition).Remarque3.3.3. Si f: A Best unmorphismedanneaux, onadoncunefactorisationcanoniquef: A/Ker(f) Bdef`atraversA A/Ker(f)puisquef(Ker(f)) = 0.Commeonaprecisementtuelenoyaudef,celuidefestnuldesortequefest injective.Sifestsupposeesurjectivesurjective,onadoncunisomorphismecanoniquef: A/Ker(f)B.Montronsunlemme,facile,maistr`esutile.Lemme3.3.4. Lapplicationqui `aunidealJdeA/IassociesonimageinverseJ=1(J)identielesideauxdeA/IauxideauxdeAcontenant I. Deplus, lemorphismeA A A/JpasseauquotientetinduitunisomorphismeA/JA/J.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 17Demonstration. CommeIcontient0, lideal 1(I)contientI=1(0). Inversement, si Jestunideal deAcontenantI, onverieque(J)estunideal deA/I. Lesdeuxconstructionssontclairement inverses lune de lautre. Par ailleurs, le noyau de la surjection A A/J est lensembledes a Atels que (a) J, cest-`a-dire J. Par propriete universelle duquotient, onaunefactorisationA/J A/Jqui resteevidemmentsurjective, maisqui enplusestinjectivedapr`eslaremarqueprecedente.18 YVESLASZLO3.4. Caracteristiqueduncorps. Rappelonsleresultatsuivant:Exercice3.4.1. SoitAunanneau.Il existeununiquemorphismedanneaux: Z A.SiAestuncorps,montrerqueker() = nZavecn = 0ounpremier.OnposealorsDenition3.4.2. Soit kun corps. La caracteristique de kest lunique entier 0 engendrantker().La caracteristique dun corps est donc (3.4.1) nulle ou un nombre premier. Par exemple, Q est decaracteristiquenulletandisqueZ/pZestdecaracteristiquep(ppremier).Remarque3.4.3. Lunique morphisme danneau morphisme : Z A (3.4.1) se factorise `atravers son noyau nZ pour denir une injection canonique Z/nZ A. En particulier, un corps decaracteristiquenulleestinnipuisquilcontientZ,etmemeQenfaitcommeleprouvelexercicesuivant.Exercice3.4.4. Montrerquuncorpscontientununiquesous-corpsisomorphe`aQouZ/pZsuivantquelacaracteristiquedekestnulleoup.3.5. Proprietes des ideaux. On notera (as, s S) lideal engendre par la famille (as), s S.SiI, Jsontdesideaux,onnoteIJlidealengendreparlesproduitsij, i I, j J.Onparlealors,abusivement,dideal produit deIetJ.Denition3.5.1. SoitIunideal dunanneauA.OnditqueAestint`egresi Aestnonnul etsi leproduitdedeuxelementsnonnulsdeAestnonnul.OnditqueIestpremiersiA/Iestint`egre.OnditqueIestmaximal siA/Iestuncorps.Enparticulier,uncorpsetantint`egre,unidealmaximalestnecessairementpremier.NotonsquelidealAnestnipremiernimaximal(lanneaunulnestpasint`egre),Exercice3.5.2. Montrer que limage inverse dun ideal premier par un morphisme danneauxestunideal premier.Endeduirequelacaracteristiqueduncorpsestunnombrepremieroubienest nulle. Montrer quen general limage inverse dun ideal maximal nest pas maximal (considererparexemplelinclusiondeZdansQ).LensembledesideauxpremiersdeAsenoteSpec(A):lespectredeA(rien` avoiravecHamlet,ouJamesBond ! ! !).Rappelons quun element a dun anneau int`egre est dit irreductiblesil nest ni nul ni inversible etsi ses diviseurs sont ou bien inversibles ou bien multiples de a. Par exemple, les irreductibles de Zsont,ausignepr`es,lesnombrespremiers.Laterminologieestalorsjustieeparlexercicesuivant(cf.PC):INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 19Exercice3.5.3. MontrerquunidealpropredeAestmaximalsietseulementsileseulidealquilecontientstrictementestA.SupposonsdeplusAprincipal, ieint`egretel quetoutideal estengendreparunelement, et soit aunelement nonnul. Montrerqueles3proprietessuivantessontequivalentes:1)aestirreductible ;2)(a) = aAestpremier ;3)(a) = aAestmaximal.Exercice3.5.4. SoitIunideal deAtel quepourtouti I,il existeunentiern 1tel quein=0.MontrerquelasurjectioncanoniqueA A/Iinduitunesurjectionauniveaudugroupedesinversibles.MontrerquecestfauxsansconditionsurI.3.6. Lemme de Zorn et application. Soit E un ensemble (partiellement) ordonne. On pense par exemple ` a lensembledespartiesdunensembledonneordonneparlinclusion.Maisilyabiendautresexemples.Denition3.6.1. OnditqueEestinductifsitoutepartienonvidetotalementordonneeadmetunmajorantdansE.Exemple3.6.2. R muni de la relation dordre usuelle nest pas inductif. De meme lensembles des intervalles [0, x[, x Rordonnepar linclusionnest pas inductif. Enrevanche, lensembledes parties dunensembleordonnepar linclusionestinductif.Lemme3.6.3(lemmedeZorn(17)). Toutensemblenonvideinductifadmetunelementmaximal.Max ZornCelemmepeut-etrevucommeunaxiomedelatheoriedesensembles, enfaitequivalent` alaxiomeduchoix: si (Ei)estunefamilledensemblesnonvide,alors

Eiestnonvide.Onleconsidereracommetel.Corollaire3.6.4. Toutanneaunonnul admetunideal maximal.Demonstration. Soit Elafamilledes ideauxpropres deA. CommeAest nonnul, {0}est dans Equi est nonvide.Visiblement,Eestinductif:lareuniondunefamilletotalementordonneedideauxpropresestencoreunidealpropre,quiestunmajorant.LelemmedeZorntermineletravail.EnconsiderantA/I,onobtientquetoutidealpropreIestcontenudansunidealmaximal(observerquelesideauxdeA/IsidentientauxideauxdeAcontenantI).17. 1906-199320 YVESLASZLO3.7. Uneapplication:Rangdunmodulelibredetypeni. Un A-module libre est, rappelons le, un module (cf.chapitre0dupolycopiedetronccommun)isomorphe` aAn.SupposonsiciqueAestnonnul.Laquestionestdesavoirsilenenquestionestunique.Autrementdit,lexistencedunisomorphismeAnAmentrane-t-iln = m?Lelecteurfamilieraveclalg`ebreexterieuretrouveralenonceevident.Voyonsunepreuve elementaire .UntelisomorphismeestdeniparunematriceM Mm,n(A).LinverseaunematriceN Mn,m(A).CesdeuxmatricesverientMN = Idm,AetNM = Idn,A.Soit alors m un ideal maximal de A (qui est non nul !) et notons k= A/m le corps residuel. Reduisant ces identites matriciellesmodm,ondeduitlexistencedematricesdanskveriantMN = Idm,ketNM = Idn,k.La matriceM denit donc un isomorphisme de k-espaces vectoriels knkm. La theorie de la dimension assure alors n = m.CetentiernsappellelerangdumodulelibreAn.Remarque3.7.1. Dememe, si A(I)A(J), alorsIetJsontenbijection: onseram`enecommeplushaut` alenonceanaloguesurlesespacesvectoriels,quil reste` aprouver !Cetteproprieteestcompl`etementfaussesionnesupposepluslanneaucommutatif.3.8. Le lemme Chinois. On sait que les anneaux Z/nmZ et Z/nZZ/mZ sont isomorphessi n et m sont premiers entre eux. Cette derni`ere condition peut secrire aussi (n)+(m) = Z dapr`eslidentitedeBezout.Remarque3.8.1. Le lemme chinois (pour les entiers) est attribue au mathematicien et astro-nomechinoisSunzi(ecriturepinyin)(ouSunTzu(18)).Ilsemblequesontraitedemathematiquesait eteecrit autour delan400(cest dumoins cequecrivait en1963lhistoriendes sciencesreconnuQianBaocong), memesi certainspensent quil vivait autourde300. Cequi est certainestquelapremi`ereversion ecritesetrouvedanslelivredeQinJiushao(19),Traite mathematiqueen9sections,datede1247.Plusgeneralement,supposonsquonaitdesideauxI1, , In, n 2dunanneauA,deux` adeuxetrangers, ietelsqueIi + Ij= Apouri = j.Lemme3.8.2(LemmeChinois). Sous ces conditions, lapplication canonique A A/Ijsefactorise`atravers IjpourdonnerunisomorphismeA/I1 InA/Ij.Deplus,onaI1 In= I1. .In.18. Contrairement `a ce quon peut parfois lire sur la toile, il na rien `a voir avec lauteur de Lart de la guerre.19. 12021261INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 21Demonstration. lelecteurestinvite` apassercettepreuve,quiladej`avudanslecaso` uAestZoubienk[X],ou,mieux,` alafairelui-meme.Bienentendu,lenoyaudeA A/I1 A/InestlintersectionI1 In.Parproprieteuniverselleduquotient,onadoncuneapplicationA/I1 In A/Ijqui est injective (on a tue le noyau de la `eche initiale !). Verions la surjectivite. Si on note I(j)lidealI(j) = I1

Ij InproduitdesideauxIidistinctsdeIj(ieengendreparlesproduitsdelementsdesIidistinctsdeIj),observonsquonajI(j) = A.Eneet, onpeutfaireunerecurrencesurn. Si n=2, cestlhypoth`eseI2 + I1=A. Sinon, onapplique lhypoth`ese de recurrence `a I1, , In1. On obtient alors que la somme des n1 ideauxI1

Ij In1estA,desorteque,multipliantparIn,onaj 0. Montrer que le morphisme danneaux canoniqueZ/nZ Z/dZinduitunesurjectionauniveaudesinversibles(utiliserlelemmechinoiset3.5.4).22 YVESLASZLO3.9. Alg`ebres. OnaremarqueenclassespreparatoiresqueC etait`alafoisuncorpsetunR-espace vectoriel. De plus, la structure de multiplication externe par les reels est compatible aveclastructuredeproduitdeCausenso` ux.z(multiplicationexterneducomplexezparlereelx)est aussi le produit des complexes x.1 et zet de facon analogue pour la somme). On dit que C estuneR-alg`ebre. Plusgeneralement, si kestunsous-corpsducorpsK, alorsKestnaturellementun k-espace vectoriel et la structure de k-espaces vectoriels sur K est compatible avec la structuredecorpssurK.Plusgeneralement, donnonsnousuncorpsketunanneauB. OnditqueBestunek-alg`ebre(unitaire) si B est de plus muni dune multiplication externe k B B faisant de lui un k-espacevectorieltelquea.(bb

) = (a.b)b

pourtouta k, b, b

B.Il revient aumemedesedonner unmorphismedanneauxf : k Bcar ondenit alorslastructuredespacevectorielpara.b = f(a)bpoura k, b B.Danslecaso` uBestuncorps,onditaussiqueB(ouB/k)estuneextensiondek.Denition3.9.1. Un morphisme f Hom(B, B

) de k-alg`ebres B, B

est un morphisme dan-neaux qui est de plus k-lineaire. On note Homk(A, A

) lensemble des morphismes dalg`ebres. DeuxextensionsK, Ldeksontisomorphessiil existeunisomorphismedalg`ebresKL.Exemple3.9.2. Parexemple, si Bestunek-alg`ebre, sedonnerunmorphismedalg`ebresfdek[X]dansBrevient`asedonnerlimageb BdeXcaronauraalorsf(aiXi) =aibio` uai ketquinversementunetelleformuledenitbienunmorphismedalg`ebre.Ainsi,Homk(k[X], B)sidentiecanoniquement`aB. Plusgeneralement, si b1, , bnsontdeselementsdeB, il existeununiquemorphismedalg`ebrek[X1, , Xn] Benvoyant chaqueXisurB. Sil est surjectif,onditqueBest engendreparlesbietonecritB = k[x1, , xn].NotonsquesiAestunek-alg`ebreetIunidealdeA,lanneauquotientA/Iestaussiunk-espacevectoriel(carAetIsontdesk-espacesvectoriels)etdoncA/Iestunek-alg`ebrecanoniquement).Onlaisseaulecteurlesoindeverierquelesconstructionsdanneauxquotientspassentmutatismutandisau cas des alg`ebres. De meme, il enoncera une version alg`ebre

du lemme chinois 3.8.2(etverieraquelapreuvesadapte egalementmutatismutandis).Exercice3.9.3. DecrireunisomorphismedeR-alg`ebresentreR[X]/(X2+X+1)etCdunepartetentreR[X]/(X(X + 1))etR2dautrepart(utiliserlelemmechinois3.8.2).INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 233.10. Corpsderupture. SoitPunpolynomedek[X],quonsupposeirreductible.Commek[X]estprincipal,(P)estmaximal(3.5.3)etlak-alg`ebrequotientK = k[X]/(P)estuncorps.Lepolyn omePpeutetreconsiderecomme` acoecientsdansK. Parconstruction, P(X)estlaclassedePdansK[X]/(P),etdoncestnul.OnditqueK=k[X]/(P)estlecorpsderupturedeP.SixdesignelimagedeXdansk,ona evidemmentK = k[x].OnadoncconstruituneextensiondecorpsK/kengendreeparuneracinex KdeP.Dunecertainemani`ere,cestlapluspetite:Exercice3.10.1. SoitLuneextensiondekdanslaquellePauneracine.MontrerqueKseplongedansL(commek-alg`ebre).MontrerdeplusquesiLestengendrepar,lesextensionsK/ketL/ksontisomorphes.Lelemmesuivantestfacilemaisfondamental.Lemme3.10.2. Soit Kuneextensiondek. Alors, Homk(k[x], K)sidentieauxracinesdePdansK.Demonstration. Se donner Homk(k[x], K) =Homk(k[X]/(P), K) cest se donner Homk(k[X], K) qui annulePpar proprieteuniverselleduquotient (3.3.3). Autrement dit cestsedonnery= (X)telque(P(X)) = P(y)estnul(3.9.2).3.11.Elementsalgebriques, transcendants. Soitkunsous-corpsduncorpsK(onditquonauneextensionK/k).Onnotera[K:k]ladimensionduk-espacevectorielK,quellesoitnieounon.Denition3.11.1. Un elementx KestditalgebriquesurksiilexisteP k[X]nonnulannulant x. Sinon, il est dit transcendant (sur k). Une extension K/kest dite algebrique si tousleselementsdeKsontalgebriques(surk).Exercice3.11.2. Montrer que lensemble des complexes qui sont algebriques sur Q est denombrable.Parexemple, onmontreraenPC(etcestfacile)quelereeln010n!esttranscendantsurQ:cestlepremierexempleexplicitedenombretranscendant(d u`aLiouvilleen1844). Il estbienconnuquee(Hermite(20),1872)et(Lindemann(21),1882)sonttranscendantssurQ,maiscestbeaucoupplusdicile.Rappelonsquelatranscendancedeassurequunprobl`emevieuxdeplus3millenairesestin-soluble,laquadratureducercle,carsinon donc egalementseraientalgebriquessurQ.Unepreuvedelatranscendancedeeet , simplicationdes preuves originales due` aHilbert, seradonnee plus bas (11). Le lecteur est invite ` a passer ce paragraphe 11 en premi`ere lecture, non pascarlespreuvessontdiciles`alire,maiscarellessontunpeu

magiques ,pastr`esintuitives.20. 1822-1901, ancien el`eve de lX21. 1852-193524 YVESLASZLOCharles Hermite Ferdinand Lindemann3.12. Crit`eredalgebricite. Lacaracterisationsuivanteestaussi elementairequefonda-mentale.Proposition3.12.1. Lespropositionssuivantessontequivalentes.i)xestalgebriquesurk ;ii)lalg`ebrek[x]estdedimensionniesurk ;iii)lalg`ebrek[x]engendreeparxestuncorps.Demonstration. Si xestalgebriquesurk, il estannuleparunpolynomededegred>0et1, , xd1engendrek[x],prouvanti) ii).Unealg`ebreint`egrededimensionniesuruncorpsestuncorps(exerciceclassiquedetaupe)cequiprouveii) iii).Sik[x]estuncorps,soitxestnul,etx = 0estcertainementalgebrique,soitx1= P(x) k[x]etlequationxP(x) 1 = 0est une relation de liaison entre les xi, i deg(P) +1 prouvant que k[x] est de dimension nie surk,desortequeiii) i).Denition3.12.2. On appelle polynome minimal de x algebrique sur k le generateur unitairedelideal despolynomesdek[X]annulantx.Ledegredegk(x)estladimensiondimk k[x].Proposition3.12.3. SoitPlepolynomeminimal dex Kestalgebriquesurk.Alors,Pestirreductible ;lecorpsk[x]estcanoniquementk-isomorphe`ak[X]/(P)etdegk(x) = deg(P).Demonstration. Pardenition,lemorphismedalg`ebrek[X] KquienvoieXsurx(3.9.2)apourimagek[x] etpournoyaulideal (P). Onadonc(3.3.3)unisomorphismek[X]/(P)k[x]do` ulaformuledegk(x) = deg(P)puisquelesmon omesXn, 0 n < deg(P)formentunebasedek[X]/(P). Si maintenantP=QRavecdisonsQ, Runitaires, onaQ(x)R(x)=0. CommeKestint`egre,onaQ(x) = 0etdoncP[Q.Commedeg(Q) deg(P),onaP = QetPirreductible(onpeutaussiinvoquer(3.5.3)sionveut).Denition3.12.4. Soient xalgebriquesur kdeminimal Pet Luneextensiondek. LesracinesdePdansLsappellentlesk-conjuguesdexdansL(ouconjuguesdansLlorsquelecorpsdebasekestclairdanslecontexte).INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 25Tenantcomptede3.12.3et3.10.2,onobtientleresultatsuivant.Proposition3.12.5. SoitLuneextensiondeketxalgebriquesurk. Alors, Homk(k[x], L)sidentieauxconjuguesdexdansL:precisement,lapplicationqui`a Homk(k[x], L)associe(x)est unebijectionentrelensembledesk-plongementsdek[x] dansLet lesconjuguesdexdansL.Proposition3.12.6. Lesous-ensembleAdeKdesalgebriquessurkestunsous-corpsdeK.Demonstration. AetA 0sontnonvides. Verionsqueladierenceetleproduitdedeuxalgebriques x, y est algebrique. Par hypoth`ese, xi, i degk(x), yj degk(y) engendrent k[x] et k[y]respectivement. Onendeduitquelesmon omesxiyj, i degk(x), j degk(y)engendrentk[x, y]quiestdoncdedimensionniesurk.Maisk[x y]etk[xy]sontcontenusdansk[x, y] = k[x][y],doncsonteux-memesdedimensionnie.SixnonnulestalgebriqueestannuleparP,alors1/xestannuleparlepolyn omeauxinversesXdeg(P)P(1/X).Denition3.12.7. SoitAunek-alg`ebre.Sadimensionsenote[A : k]etsappelleaussisondegre.Uneextensiondekestditeniesielleestdedimensionniesurk.Bienentendu,ledegreduneextensiondecorpsestplusgrandqueledegredetousses elements.Precisionslesestimations.Theor`eme3.12.8(Basetelescopique). Soit L une K-alg`ebre o` u K est un corps contenantkdesortequonadesinclusionsk K L.Soiti, i Ietj, j JdesbasesdeL/KetK/krespectivement.Alors,ij, (i, j) I JestunebasedeL/k.Enparticulier,ona[L : k] = [L : K][K : k],(encoreunerelationdeChasles !).Demonstration. Sionai,jai,jij=i(jai,jj)i= 0avecai,j konaj ai,jj=0pourtouti(libertedesisurK)etdoncai,j=0(libertedejsurk).Parailleurs,toutl Lsecritibiiavecbi K(igenerateursurK)etchaquebisecritjai,jjavecai,j k(jgenerateursurk)desortequel =ai,jij.26 YVESLASZLOCorollaire3.12.9. Si x1, , xnsont algebriques, alors lalg`ebre k[x1, , xn] des polynomesenlesxiestenfaituncorpsetestdedimension degk(xi).OndeduitimmediatementenutilisantlecorollaireUne extension de k est nie si et seulement si elle est algebrique et engendree(commealg`ebreoucommeespacevectoriel sur k commeonveut) par unnombrenidelements.Exercice3.12.10. Soit Punpolynomeirreductibledek[X] et soit Lunsur-corpsdekquicontient une racine de P. Montrer quonpeut trouver unk-morphisme (injectif ) ducorps derupturedePdansL.SiPestquelconque,nonconstant,montrerparrecurrencesurdeg(P)quilexiste une extension L/ktel que P soit scinde dans L. Generaliser au cas dune famille P1, , Pndepolynomesnonconstants.Remarque3.12.11. Reciproquement, onpeut prouver (cf. examen2006), mais cest plusdicileetsurtoutbeaucoupplusprofond,quek[x1, , xn] estuncorpssietseulementil estdedimensionniesurk.Cestletheor`emedeszerosdeHilbert(22).David Hilbert3.13. Notiondecl oturealgebrique. Denition3.13.1. On dit quun corps Kest algebriquement clos si tout polynome nonconstantdeK[X]estscindesurK.Exercice3.13.2. Soit P C[X] nonconstant. Supposons P(z) nonnul pourtout z C.Montrer que 1/Pest borne sur C. Enutilisant le theor`eme de Liouville(23)sur les fonctionsholomorphes,conclurequeCestalgebriquementclos.Denition3.13.3. OnditquuncorpsKestunecloturealgebriquedusous-corpsksiKestalgebriquesurketsitoutpolynomedek[X]estscindedansK.Avec cette denition, si est algebriquement clos et contient k, lensemble des elements de quisontalgebriquessurkestdunepartuncorps(3.12.6)etdautrepartestunecloturealgebriquedek.Avant de montrer quune cloture algebrique existe toujours, montrons le lemme rassurant suivant.22. 1862-194323. 1809-1882, ancien el`eve de lXINTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 27Joseph LiouvilleLemme3.13.4. Unecloturealgebriquekdekestalgebriquementclose.Demonstration. SoitP k[X]nonconstant.Ilsutdemontrerquilauneracinedansk.LecorpsLengendreparlescoecientsdePestdedimensionniesurk,puisquilsontalgebriquessur k. Ainsi, la k-alg`ebre A = L[X]/(P) est de dimension nie sur k, `a savoir deg(P) dimk(L) (basetelescopique). Lemorphismek[T] AdevaluationenlaclassexdeXdansAnestdoncpasinjectif puisquedimk(k[T])= . SoitdoncQ k[T] 0annulantx, autrementditP[Qetenparticulier Q non constant (car deg(P) > 0). Mais Q, etant ` a coecients dans k, est scinde surk,etilenestdememedePquiledivise.Exemple3.13.5. Le sous-corpsQ de C des elements algebriques sur Q est donc algebriquementclos.MaisQnestpasegal `aC(exercice) !Theor`eme3.13.6(Steinitz(24)). Tout corps kadmet unecloturealgebrique, unique`ak-isomorphismepr`es.Ernst SteinitzNotonsquelisomorphismedontletheor`emearmelexistenceestloindetreuniquecommeonleverra:onpeutmemeprouverquuncorpsalgebriquementclosadmetuneinnitedautomor-phismes. Onvaprouverdabordlexistence, puislunicitequi decouledufondamental theor`eme24. 1871-192828 YVESLASZLOdeprolongementdesmorphismes.Oninvitedailleurslelecteur` apassercettepreuvedexistencenonpascarelleestdicilemaiscarellenapportepasgrand-chose.3.14. Preuvedelexistencedelacl oturealgebrique. Unefoisencore, onvaquotienter ! Construisonsdej` aunegigantesque alg`ebre A dans laquelle tout polyn ome a une racine. On note c(P) le coecient dominant de tout polyn ome nonnul.Leplussimpleestdeconsidererlalg`ebredepolyn omes`abeaucoupdindetermineesA = k[XP,i], P k[X] 0, i = 1, , deg(P).Onnotealors(i, P), i = 0, , deg(P)lescoecientsdupolyn omeenXP(X) c(P)deg(P)

i=1(XXP,i), P k[X] ketIlidealengendreparles(i, P), i = 0, , deg(P)o` uPdecritk[X] k.NotonsquesiPestconstant(nonnul),ona(0, P) = 0.JedisquonaI = A.Sinon,onauraituneecriture

j,PQP,ij(ij, P) = 1avecQP,ij A.Les coecients (0, P) des polyn omes constants etant nuls, seuls contribuent dans cette somme des polyn omes de degre > 0.ChoisissonsuneextensiondecorpsK/ktelsquelenombrenidecespolynomesPnonconstantssoientscindesderacinesxP,i, i=1, , deg(P)(3.12.10). Soit:A Klemorphismedek-alg`ebresenvoyantlesXP,icorrespondantssurxP,ietlesautresindetermineessur0parexemple. BienentenduinduitunmorphismeA[X] K[X] qui envoielespolyn omescorrespondantsP(X) c(P)deg(P)

i=1(XXP,i)surP(X) c(P)deg(P)

i=1(XxP,i) = 0parconstructiondesorteque((i, P)) = 0pourtouti.Onendeduitque0 = 1dansK,cequinestpas.SoitalorsJunideal maximal deAcontenantI etLlecorpsA/J. Parconstruction, toutpolynomePnonconstantestscindedansL, sesracinesetantlesimagesdeXP,i. Enparticulier, toutessesracinessontalgebriquessurk. CommeellesengendrentLcommek-alg`ebre,onabienLalgebriquesurk.3.15. Preuvedelunicitedelacl oturealgebrique. Pourlunicite, montronslenoncesuivant.Theor`eme3.15.1(Prolongementdesmorphismes). Soient K, deuxextensions deketsupposonsKalgebriqueetalgebriquementclos.Alors,ilexisteunplongement(dek-alg`ebres)K .Demonstration. SoitElensemble(nonvide)descouples(L, )o` uLestunsous-corpsdeKcontenantketunk-plongement: L faisant de une L-alg`ebre. Le prolongement des plongements denit une relation dordre sur E quienfaitvisiblementunensembleinductif.Soitalors(L, )un elementmaximal.MontronsL = K.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 29Soit x K. Comme x algebrique sur kil lest sur L. Soit P(X) =aiXile minimal de x sur L desorte que levaluation en x identie L[X]/(P) et L[x]. Soit y une racine de P(X) =(ai)Xidans.IlexisteununiqueL-morphismeL[X]/P quienvoieXsurycarlimagedePdansestpardenitionP(y) = 0(3.12.5),do` uunk-morphismeL[x] prolongeant.ParmaximalitedeL,ondeduitx L.Remarque3.15.2. permetdidentierL`a(L).Dorenavant,onleferadirectement,sansdistinguerentreLet(L)(cf. 3.2). Notonsegalementquesi Kestuneextensionnie, alorslanotiondedimensionpermetdemontrerlexistencedeLsansrecoursaulemmedeZorn.Corollaire3.15.3. DeuxcloturesalgebriquesK1, K2deksontk-isomorphes.Demonstration. Considerant K1 comme algebrique et K2 comme algebriquement clos, le theor`emede prolongement 3.15.1assure quil existe unplongement de K1dans K2. Avec les notationsprecedentes, le choix dun tel plongement de K1dans K2permet de voir K1comme un sous-corpsdeK2. Faisantalorsjouerlesrolesde(k, K, )` a(K1, K2, K1)(cequi estpossible !), ondeduitlexistencede HomK1(K2, K1),autrementditdundiagrammecommutatifK2//K1||||||||||||||||K1OOComme estunmorphismedecorps, estinjectif.Legalite = Idassuresasurjectivite:etsontinverseslundelautre.Corollaire3.15.4. Soit K/k, /k deux extensions de k avec K/k algebrique et algebriquementclos.Alors,lesconjuguesdansdex Ksontles(x), Homk(K, ).Demonstration. Si y estunconjuguedex, il existe Homk(k[x], )tel que(x)=y(3.12.5). Reste `aprolonger ` aKtout entier, ce qui est possible (3.15.1). Inversement, Homk(K, ) laisse invariant le minimal de xsur k. Il permute donc ses racines, qui sont lesconjuguesdexpardenition(3.12.5).3.16. Corps des racines (ou de decomposition). Soit k un sous-corps de algebriquementclos.SoitPunpolyn omedek[X],nonnecessairementirreductible.LecorpsdesracinesdePestlesous-corpsdeengendreparlesracinesdePdans.Cestlepluspetitsous-corpsdedanslequel P est scinde. Bien s ur, il est contenu dans la cloture algebrique de kdans , sous-ensembledesalgebriquessurk. Onendeduitquil nedependpasde, ` aisomorphismenonuniquepr`es(3.15.3). Onlappellelecorps des racines oudedecompositiondeP. Laphilosophieestquonxeunecl oturealgebriquedanslaquelleontravaille. Ceci permetdeparlerducorpsdesracines.Parexemple,onsinteresseraauxsous-corpsdeCalgebriquessurQ.30 YVESLASZLO3.17. LemorphismedeFrobenius. Soit p un nombre premier et A un anneau annule parp,`asavoirpa = 0pourtouta A.MontronsqueAadmettoujoursunendomorphismenontrivial.Ceciestnonbanal:Exercice3.17.1. SoitfunendomorphismedanneaudeR.Montrerquelarestrictiondef`aQestlidentite.MontrerquefpreserveR+(etudierlimageduncarre).Endeduirequefestcroissantepuisquefestlidentite.Precisement,montronsletheor`eme`alafoisfacileetimportantsuivant.Theor`eme3.17.2(MorphismedeFrobenius(25)). LapplicationF: a apdenit unendomorphismedelanneauA.Demonstration. Visiblement, FrespecteleproduitetF(1)=1. MontronsqueFrespectelasomme.Dapr`eslaformuledubin omedeNewton,onaF(a + b) =pn=0

pn

anbpn= F(a) +p1n=1

pn

anbpn+ F(b).CommeAestdecaracteristiquep, si m Zestmultipledep, onamA=0. Il sutdoncdeprouverlelemmebienconnusuivant.Lemme3.17.3. Soitntel que0 0carsinonilcontiendraitQquiestinni.IlcontientdoncFp= Z/pZ(3.4.4).4.1. Existenceetunicitedescorpsnis. .Etudionslecardinaldek.Lemme4.1.1. Lecardinal duncorpsni estdelaformeq=pno` upestlacaracteristiquedek.Demonstration. Comme kest ni, il certainement de dimension nie n comme espace vectorielsurFp.LechoixdunebasedenitunFp-isomorphismedespacesvectorielsFnp k.CommeFnpestdecardinalpn,lelemmeestprouve.Soit un corps algebriquement clos contenant Fp(3.13.6). Comme kest ni, il est algebrique surFp.Dapr`es 3.15.1,kseplongedans.Onsupposedoncdesormaisquekestcontenudans.Commekestdordreq 1, onaxq1=1pourtoutx =0dapr`esletheor`emedeLagrange(AnnexeDducoursdetronccommun)etdoncxq=xpourtoutx k. Commelepolyn omeXqX admet au plus card k = q racines, on deduit que k est necessairement lensemble des racinesdeXqX.Cecimotivelaconstructionsuivante.Lemme4.1.2. OnnoteFql ensembledesracinesdansdeXq X. AlorsFqestluniquesous-corpsde`aqelements.Demonstration. Notons Fle Frobenius xxpde . Rappelons que cest unmorphismedanneaux, et donc litere Fnegalement. On a donc (x+y)q= Fn(x+y) = Fn(x)+Fn(y) = xq+yqqui prouve la stabilite par somme de Fq. La stabilite par produits, inverse et oppose est evidente.Ainsi, Fqestunsous-corps. Restelecardinal. Il fautvoirquelesracinessontsimples. Si lunedellesetaitdoubleaumoins, elleannulerait(Xq X)

= 1, cequi nestpas. Luniciteaetevueaudebutdeladiscussionaudebutde4: untel corpsestlensembledesracinesdeXq Xnecessairement.Exercice4.1.3. Montrer que Fpnest contenu dans Fpmsi et seulement si n[m. Montrer danscecasqueladimensiondugrossurlepetitestm/n. EndeduirequelacloturealgebriqueFpdeFpdansestlareunioncroissantedesFpn! .Notons qua fortiori, Fqest le corps de decomposition de XqX sur Fp(dans ). On parlera doncducorpsniFq(onsous-entendengeneralquuncorpsalgebriquementclosdecaracteristiquepa etechoisi).Exercice4.1.4. Montrer que deux corps nis sont isomorphes si et seulement si ils ont memecardinal.32 YVESLASZLO4.2. Automorphismes des corps nis. Onutiliserasansplusdeprecautionleresultatclassiquesuivant(cf.PC)Proposition4.2.1. Soitkuncorps.Toutsous-groupenidekestcyclique.Remarque4.2.2. Si on connat la structure des groupes abeliens nis, ce resultat est evident.Eneet,onsaitalorsquekestisomorphe`aunproduit =di=1Z/niZavec1 < n1[[nd(attention,laloisurkestmultiplicative,alorsqu`adroitelaloiestadditive,neutre0). Or, dansuncorps, lenombredesolutionsdeXn1=1est auplusn1. Dans, ellescorrespondentauxsolutionsdelequationn1= 0.Sid > 1,il yenaaumoins2n1,`asavoirleselementsdeZ/n1Zetceuxden2/n1Z/n2Z Z/n1Z.Evidemment,onecraseainsiunemoucheavecunmarteau-pilon.Soit q= pnla puissance dun nombre premier et m un entier > 0. On note Fq: Fqm FqmlitereFnduFrobenius:Fq(x) = xqpourx Fqn.Cestunmorphismedecorps,quivautlidentitesurFq(ensembledesracinesdeXqX).Theor`eme4.2.3. LegroupeAutFq(Fqm)estcycliquedordremengendreparFq.Demonstration. SoitxungenerateurdugroupecycliqueFqm. Comme[Fqm: Fq] =[Fq[x] :Fq] =m, leminimal Pdexsur Fqest degrem. Unmorphisme G=AutFq(Fqm) laisseinvariant P de sorte que (x) est une racine de P,qui ena au plus m dans k.Comme x engendreFqm, le morphisme est determine par (x) de sorte que card(G) m. Par ailleurs, Fqestdordrem. Sinon, il existerait0 0, le degre du PGCD(P, P

) estaumoinsdeg(Q)etdonceststrictementpositif.Sicestdeg(P),cestqueP

estnul,autrementditPsecrit

apipXip= Ravec R = (

aipXi)p Fp[X], (cf. la preuve de 5.1.5 infra). On applique `a nouveau lalgorithme ` a R. Sinon, S = PGCD(P, P

)estundiviseurnontrivialdePetonappliquelalgorithme` aSetP/Squisontdedegrepluspetits.Onpeutsupposer, cequonfaitdesormais, quePestsansfacteurcarre.b)PointsxesduFrobenius.EcrivonsP =m

i=1Piavec ni> 0 et Piunitaires irreductibles deux `a deux distincts. Comme Piet Pjsont premiers entre eux pour i = j, la sommedesideauxquilsengendrentesttoutFp[X]. LelemmeChinoisassurequelemorphismedalg`ebres(decaracteristiquep)canonique: A = Fp[X]/(P) Fp[X]/(Pi)estunisomorphismedalg`ebres.SoitFlemorphismedeFrobeniusdeA(onnotedememecelui deAi=Fp[X]/(Pi)). CommeFp[X] estprincipal etPiirreductible,chaqueAiestuncorpsni(3.5.3)desortequonaAFi= Fp(4.1.2).Laformule(ap) = (a)p= (apimodPi)assurequelimagedeAF= Ker(F Id)parestegale` aFmp= Fp.Enparticulier,onadimFp AF= m.26.27. 1601 ( ?)-165534 YVESLASZLOAinsi, P est irreductible si et seulement si AF= Fp. Notons que le calcul de cette dimension est parfaitement algorithmique :oncalculelamatricedeFdanslabasedesclassesdesXi, i=0, , d 1(cequi sefaitendivisantXipparP)puisoncalculelerangdeF IdparpivotdeGauss).Onadoncuncrit`erealgorithmiquepourdeterminersiPestirreductible,quonpeutresumerdelafa consuivante:Psansfacteurcarreestirreductiblesi etseulementsi lamatricedeF Idestderangdeg(P) 1,rangquoncalculeaveclepivotdeGaussparexemple.c) FactorisationdeP. Allons plus loin, dans delecas dimAF>1. Dans cecas, il existea Aqui nest pas dansnotredroiteFpdespolyn omesconstants. Autrementdit, il existeQdedegre0 0. Soit F le FrobeniusdeK,quiestbijectifsurkparhypoth`ese(kestparfait)etdoncyadmetuninverseF1.Alors,F(K)estvisiblementunF(k)-sous-espacevectorieldeK,doncunk-sous-espacevectorielpuisqueF(k) =k. Dememe, si lesxi Ksont libressur k, lesF(xi) sont libressur kdansF(K) (siaiF(xi)=0avecai kalorsF(F1(ai)xi)=0etdoncF1(ai)xi=0cequi entraneF1(ai)=0pourtouti(lafamillexiestlibre)etdoncai=0). Ondeduitenprenantunebaselinegalite[K : k] [F(K) : k]puislinegaliteinversecarF(K) Kdo` uK = F(K).Linteret des corps parfaits vient du resultat fondamental suivant. Soit k un corps et algebriquementcloslecontenant.Denition5.1.3. Unpolynomeunitaireestditseparablesisesracinesdanssontsimples.Rappelonslelemmebienconnu.Lemme5.1.4. Unpolynomeestseparablesietseulementsiil estpremieravecsaderivee.Demonstration. SupposonsPseparable.EcrivonsP = aiI(X zi), a k, zi o` uleszisontdistinctsdeux` adeux.OndeduitdoncPGCD(P, P

) =iI

(X zi)o` uI

I.28. La reciproque est vraie, meme si moins utile : voir la section suivante.36 YVESLASZLOSupposonsI

= etchoisissonsi

I

.OnadoncP(zi ) = 0.Or,P

= aiIj=i(X zj)desortequej=i

(zi zj) = 0cequiestabsurdecarleszisontdistinctsdeux` adeux.Inversement, si P, P

sontpremiersentreeux, lidentitedeBezoutassurequeP, P

nontpasderacinescommunesdansetdoncquelesracinesdeP,danssontsimples.Theor`eme5.1.5. Uncorpskestparfaitsi etseulementtoutpolynomeirreductibledek[X]estseparable.Demonstration. Supposons kparfait et soit P un polyn ome irreductible de k[X] (en particuliernonconstant).MontronsquePestpremieravecP

.CommePestirreductible,lePGCDdePetP

est1ouP.Montronsparlabsurdequecest1.SicestP,pourdesraisonsdedegre,cestqueP

estlepolyn omenul.Ceciimposedej` aquelacaracteristiquedekestp > 0.En ecrivantP =anXnetP

=nanXn1onendeduitquenan= 0pourtoutnetdoncan= 0sipnedivisepasn.Ainsi,onaP =nanpXnp.Commekestparfait,leFrobeniusFestbijectifetonadoncP =nF1(apnp)Xnp= (nF1(anp)Xn)ppuisquek[X]esttueparp,cequiestabsurdecarPestirreductible.Inversement, supposons que tout polynome irreductible de k[X] est separable. On peut supposer kdecaracteristiquep > 0etmontronsquetout elementtauneracinep-i`eme.Eneet,danslecascontraire, le polynome minimal P sur k dune racine p-i`eme t1/pde t dans est irreductible (3.12.3)de degre > 1 (t1/p kpar hypoth`ese) et divise Xpt. Dans [X], ce polynome secrit (Xt1/p)petdoncnaquuneracine(demultiplicitep)desortequeP=(X t1/p)iavec2 i p.OnendeduitquePnestpasseparable,unecontradiction(voirlasectionsuivantepourlirreductibilitedeXpt).5.2. Racinesp-i`emes. Soitkunsouscorpsde,algebriquementclosdecaracteristiquep > 0.CommeleFrobeniusdeestbijectif puisqueestparfait, laracinep-i`emex1/p=F1(x)detoutelementdeestbiendenieetdememepourlesracinespn-i`emes.Lemme5.2.1. Soit t kqui nest pas uneracinep-i`emedans k. alors, pour tout n 1, lepolynomeXpn t estirreductibledansk[X].Autrementdit,onadegk(x1/pn) = pn.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 37Demonstration. Soit laracinepn-i`emedet. Onsaitque kpuisqqueparhypoth`eset1/p=pn1k. SoitPleminimaldesurk:cestunpolyn omeirreductible(3.12.3)dek[X]quidiviseQ = XpntpuisqueQ() = 0.UtilisantunedecompositiondeQenfacteursirreductiblesdansk[X],onpeut-ecrire:Q = PmRavecR k[X]et PGCD(P, R) = 1.Dapr`eslidentitedeBezout,PetRnontpasderacinecommunedans.Or,dans[X],onaQ(X) = (X )pndesortequeRnapasderacinedutoutetdoncQ=Pm.Comparantlesdegres,onobtientm=p, 0 n.Enevaluanten0,onaalorsQ(0) = t = (P(0))p.Commetnestpasunepuissancep-i`emedansk,onadonc= 0etdoncQ = Pestirreductible.Onobtientalorslareciproquede5.1.2.Corollaire5.2.2. SoitK/kuneextensionnie.SiKestparfait,alorskestparfait.Demonstration. Eneet, si t knestpasunepuissancep-i`eme, tpnKestdedegrepnsurkqui tendverslinniavecn.38 YVESLASZLO6. LacorrespondancedeGalois(pourlescorpsparfaits)Onxedanscettepartieuncorpsparfait ketuncorpsalgebriquementcloslecontenant.OnaentetelexempleQ C,maisaussiFq Fp.Onserappelleraquetoutpolyn omeirreductiblePdek[X]estseparable(etdoncadeg(P)racinesdistinctesdans)etquetouteextensionniedekestparfaite(5.1.2).Si x estalgebriquesurk, ondirasimplementconjuguesdexpourconjuguesdexdans,cest-` a-direquelesconjuguesdexsontpardenitionlesracinesdansduminimal Pdexsurk. CommePestirreductible, sesracinessontsimples. Maisonsaitegalementquelapplication (x)identieHomk(k[x], )etlensembledesconjuguesdex.Onadonclaformuleclef(6.a) P =Homk(k[x],)(X (x)).On sinteresse aux extensions algebriques K/k, et en fait aux extensions nies. Dapr`es le theor`emedeprolongementsdesmorphismes(3.15.1),onsaitqueKseplonge(audessusdek)dans,desortequil sutdeconsidererlesextensionsalgebriquesdekcontenuesdanscequonpourratoujourssupposersansdommage.6.1. Letheor`emedelelementprimitif. Ondit quuneextensiondecorpsestmonog`enesiellepeut-etreengendreeparunseul element.Theor`eme6.1.1(Elementprimitif ). TouteextensionnieK/kestmonog`ene.Ungenerateurdelextensionsappelleun elementprimitif.Demonstration. Si kest ni, K lest aussi et Kest cyclique (4.2.1), engendre par x disons. OnaalorsK = k[x](onpeutaussicompterleselementspoureviterdemployer4.2.1...).Supposonsdonc kinni. Par recurrence, on se ram`ene immediatement `a prouver que si x, ysont des elementsdek,ilexisteztelquek[z] = k[x, y].On cherche zsous la forme z= x+ty, t k. Posons L = k[z]. Il sut de prouver x L, car alorsy= (z x)/t L.SoientPx, Py k[X]lesminimauxdex, ysurk.Lepolyn omeQ(X) = Py((z X)/t)est`acoecientsdansLetannulexparconstruction.SoitR = PGCD(Q, Px) L[X].INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 39LalgorithmedEuclideprouvequelecalculdePGCDestinvariantparchangementdecorps.Onpeutfaireparexemplececalculdans.CommePxest`aracinessimples,onaR(X) =x

tels queQ(x

)=Px(x

)=0(X x

).Sion ecritPy=(X y

),lesracinesdeQsecriventz ty

= x + t(y y

).Lensemblex

[Q(x

) = Px(x

) = 0estdoncreduit` axd`esquonachoisit = 0endehorsdunombrenidettelsquilexistey

= yetx

veriantx

= x + t(y y

)iet =x

xy y

.Onendeduitquuntelt etantchoisionaR = X x.CommeR L[X],onax L.Exercice6.1.2. Si k netait pas suppose parfait, le resultat peut tomber en defaut. Par exemple,soitL = Fp(X, Y)lecorpsdesfractionsdelanneaudepolynomesFp[X, Y].Montrerquelexten-sionL(X1/p, Y1/p)estnie,maisnestpasmonog`ene.Parexemple,onseconvaincfacilementque2 +3estun elementprimitifdeQ(2,3)alorsque2nelestpas.Engeneral,unelement

prisauhasard duneextensionnieestprimitif(lelecteurpourraessayerdedonnerunsensprecis` acetteassertionnonmathematique).Exercice6.1.3. Onnoten= exp(2in).MontrerquonaQ(n, m) = Q(PPCM(n,m)).Voirlasection7pourdesresultatsplusprecis.Onobtientlageneralisationfondamentalesuivantede3.12.5.Corollaire6.1.4. SoitKuneextensionniedek.Alors,onacardk Hom(K, ) = [K, k].Demonstration. On ecritK = k[x]pourxconvenableetoninvoque3.12.5.Remarque6.1.5. Si knest pasparfait, legaliteest fausseengeneral : ellenest vraiequepourlesextensionsditesseparablesdelatheoriedeGaloisgenerale. Lorsquequekest parfait,touteslesextensionssontseparablesdesortequenousneseronspasennuyesparcettecomplica-tion.40 YVESLASZLO6.2. Extensionsgaloisiennes. SoitK/kuneextensionalgebriquecontenuedans. Rap-pelons(3.12.5)quelesconjugues dex Ksontlesracines(dans)dupolyn omeminimaldexsurk.Denition6.2.1. Lextension K/k est dite galoisienne si elle est algebrique et si les conjuguesdunelementarbitrairedeKsontencoredansK.Onalapropositionfacilemaisimportantesuivante.Proposition6.2.2. Soit E/k une sous-extensionde K/k galoisienne et supposons Epar-fait(29).Alors,K/Eestgaloisienne.Demonstration. Eneet,leminimaldex Ksurkestafortiori` acoecientsdansEdoncxest aussi algebrique sur E et son minimal sur kdivisible par le minimal de x sur E. Donc, tous lesE-conjuguesdexsontaussidesk-conjugues,doncsontdansKparhypoth`ese.Exercice6.2.3. Aveclesnotationsprecedentes, montrerquengeneral K/knest pasgaloi-sienne[RegarderattentivementlexempleQ Q[21/3] Q[21/3, j](cf.PC)].Onverraplusbas(6.7.1)uneconditionnecessaireetsusanteassurantqueE/kestgaloisienne.Rappelons (3.15.4) que les conjugues de x Ksont aussi les (x), Homk(K, ). Notonsj: K linclusiondeKdans.Onauneapplicationinjectivecanoniquej: Autk(K) Homk(K, )qui`aunautomorphisme Autk(K, )associe= j : KKjquipermetdidentieret (etdoncAutk(K)`aunsous-ensembledeHomk(K, )).Lemme6.2.4. SoitK/kuneextensionalgebriqueet Homk(K, ). Alors, Autk(K),ie(K) = K,sietseulementsilaisseKglobalementinvariant, ie(K) K.Demonstration. Eneet, supposons (K) K. Soient x1, , xnles nconjugues de x1K, qui sontdansKparhypoth`ese. Alors, laisseX= x1, , xnglobalementinvariantparhypoth`ese (puisque (xi) est un conjugue de xi (3.15.4), donc de x1 car xi et x1 ont meme polynomeminimal).Etant injective comme restriction dun morphisme de corps toujours injectif, elle induitunebijectiondeX(puisqueXestni)desortequil existexi Xtel quex1=(xi). Commexi Kparhypoth`ese,estsurjective.Onobtientalorsleresultatimportantsuivant.Corollaire6.2.5. LinclusionAutk(K)Homk(K, )est bijectivesi et seulement si K/kgaloisienne.29. Cette condition est automatique d`es lors que E est nie surk (5.1.2). Elle nest ici que parce quon a denila notion dextension galoisienne que dans le cas o` u le corps est parfait. Elle disparat dans le cadre general de latheorie de Galois.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 41Demonstration. SupposonsAutk(K)=Homk(K, ). Dapr`es3.15.4, toutconjuguedex Ksecrit(x)pour Homk(K, ). Mais Autk(K)donc(x) KprouvantK/kgaloisienne.Inversement, supposons K/kgaloisienne. Soit Homk(K, ) et x K. Alors, (x) est unconjuguedex(3.15.4),doncestdans K.Commexestarbitraire,ona(x) K.Ainsi(K) Ketdonc Autk(K)(6.2.4).Remarque6.2.6. Cettedenitionnedependenfait quedeK/ket pasde: eneet, lesconjuguesdunelementalgebriqueviventdanslacloturealgebriquedekdans,quiestunique`aisomorphismepr`es.Denition6.2.7. OnappellegroupedeGalois duneextensiongaloisienneK/klegroupeGal(K/k) = Autk(K)6.2.5=Homk(K, ).Remarque6.2.8. Commelesconjuguesdex Ksontles(x), Homk(K, )(3.15.4),siK/kestgaloisiennedegroupeG,lesconjuguesdexsontlesg(x), g G.Lepointsuivantestaise,maisimportant.Proposition6.2.9. SoitE/kunesous-extensiondelextensiongaloisienneK/kavecEpar-fait.Alors,i)Gal(K/E)estunsous-groupedeGal(K/k) ;ii)SiE/kest galoisienne,larestrictiondesmorphismesdeK`aEinduit(6.2.5)unmorphismeGal(K/k) Gal(E/k)quiestsurjectif.SonnoyauestGal(K/E).Demonstration. Onsait(6.2.2)queK/Eestgaloisienne. LeselementsdeGal(K/E)sontlesautomorphismesdeKquisontE-lineairestandisqueceuxdeGal(K/k)sontlesautomorphismesdeKqui sontk-lineaires. CommeEcontientk, ondeduituneinclusionevidenteGal(K/E) Gal(K/k)respectantlacomposition(etlidentite),do` ulepremierpoint.Dapr`es6.2.5,lapplicationderestrictionHomk(K, ) Homk(E, )sidentie` auneapplicationGal(K/k) Gal(E/k)dontonveriequecestunmorphisme. Lasurjectivitedecouleimmediatementdutheor`emedeprolongementdeshomomorphismes(3.15.1).Leselementsdunoyausontpardenitionlesauto-morphismesdeKxantE,doncles elementsdeGal(E/k).On precisera cecidans la correspondance de Galois (6.7.1) pour le cas des extensions galoisiennesnies.42 YVESLASZLO6.3. Caracterisationsdesextensionsgaloisiennes. Theor`eme6.3.1. SoitK/kuneextensionnie.AlorsK/kestgaloisiennesietseulementsilactiondeAutk(K)surlesconjuguesdetoutelementdeKesttransitive.Demonstration. SupposonsK/kgaloisienneetsoitx K.Dapr`es3.15.4,unconjugueydexsecrit (x) pour Homk(K, ) ; comme Autk(K) = Homk(K, ) (6.2.5), laction de Autk(K)surlesconjuguesdexestbientransitive.Inversement,soitxprimitifdeK/k,doncdedegre[K : k].Iladoncdegk(x)=[K:k]conjuguesetdonc(transitivite),card Autk(K) [K:k].Oninvoquealors`anouveau6.2.5.Theor`eme6.3.2. Lesextensionsgaloisiennesniesdeksont exactement lescorpsdesra-cines(3.16)depolynomes.Demonstration. Supposons K/k galoisienne. Dapr`es le theor`eme de lelement primitif, il existex engendrant K. Soient xises conjugues, `a savoir les racines de son polyn ome minimal P, qui, parhypoth`esesontdansK.OnadoncK = k[x] k[xi] Ketdonc,K = k[xi]estlecorpsdesracinesdeP,cequonvoulait.Inversement, si K=k[xi] o` ulesxisontlesracinesdunpolyn omeP. Unhomomorphisme Homk(K, )permutelesxipuisqueP = P.OnendeduitquilenvoieK = k[xi]surluimemedesorteque Autk(K).Oninvoquealors6.2.4.Exercice6.3.3. MontrerquonGal(C/R) = Z/2Zengendreparlaconjugaison.6.4. GroupedeGaloisdescorpsnis. Soitqla puissancedunnombre premier.Rappe-lonslesresultatsde4.2,traduitsdanscenouveauvocabulaire:Proposition6.4.1. LextensionFqn/Fqestgaloisienne,degroupedeGaloiscycliquedordrenengendreparFq: x xq.Lessous-corpsdeFqn contenantFqsontlesFqmavecm[n.Enparticulier,onconstatequelessous-extensionsFqm/Fq, m[ndeFqn/Fqsontenbijectionaveclessous-groupesH= Z/mZdeGal(Fqn/Fq)Z/nZetque,plusprecisement,Fqmest le corps des elements xes par H. Ce phenom`ene est general : cest ce que nous allons expliquermaintenant.6.5. Points xes. Jusqu` a la n de la section 6, K/k designe une extension nie (avec commetoujoursK etalgebriquementclos).Proposition6.5.1. Soit K/kgaloisienne de groupe Galois G. Alors, G est de cardinal [K : k]etlespacedespointsxesKGdeKsousGestreduit`ak.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 43Demonstration. lepremierpointestprouvedans6.2.5.Pourlesecond,soitxxesousG.Sesconjuguessontdelaforme(x)avec Gdapr`es6.3.1, etdoncsontegaux` ax. Commeleminimal P k[X] de x est separable car irreductible, il est donc egal ` a Xx et donc x = P(0) k.Inversement,prouvonslenoncefondamentalsuivant.Theor`eme6.5.2(LemmedArtin(30)). Soit Kuncorpsparfait et Gunsous-groupenidautomorphismesdecorpsdeK.Alors,KGestparfaitetlextensionK/KGestniedegroupedeGaloisG.Demonstration. Verions queKGest parfait. Leprobl`emeneseposequencaracteristiquep>0. Soitx KG. CommeKestparfait, il auneracinep-i`eme K. Commex=pestinvariantparG, onap=g(p)=g()ppourtoutg G. CommeFrobeniusestinjectif, onendeduitqueestxeparGetdonc KGdesortequek = KGestparfait.OnabienentenduG Autk(K). ObservonsquetoutelementxdeKestalgebriquededegre card Gxetdoncdedegre card G.Eneet,lepolyn omePx=Gx(X )estinvariantsousGdoncestdansk[X] pardenitiondek=KG. Soitalorsx Kunelementde degre sur k maximal. Je dis quon a K = k[x]. Sinon, soit y Kk[x]. Lextension k[x, y] estmonog`ene(elementprimitif)engendreeparun elementzdedegre> degk(x),unecontradiction.On deduit que le degre [K : k] = degk(x) de K est de degre card G sur k. Soit algebriquementcloscontenantK.Onaalors(6.2.5)card G card Autk(K) card Homk(K, ) = [K : k] card G.Onconclutgr ace`a6.2.5.6.6. Parenth`ese sur les groupes quotients. Onpourrase reporter auchapitre 0dupolycopie ducours de tronc commun. Soit Hunsous-groupe de G. Onvoudrait mettre unestructuredegroupesurlensembleG/H = gH, g Gdes translates ` a droites(31)de H de sorte que la surjection canonique : G G/H qui envoie gsurgHsoitunmorphismedegroupes,exactementcommedanslecasdunidealdansunanneau(32).30. 1898-196231. Lensemble des translates `a gauche Hg, g G se note H` G.32. Le cardinal de G/H, ni ou non, sappelle lindice de H dans G.44 YVESLASZLOEmil ArtinOndoitdoncavoirg1g2H = g1Hg2Hpourtoutg1, g2.Enparticulier,pourg1g2= 1,onobtientquenecessairementH = g1Hg11.Denition6.6.1. Unsous-groupeHdeGestditdistinguesi gHg1=Hpourtoutg G.OnnoteHG.Par exemple, si Gest abelien, tout sous-groupeest distingue, lenoyaudetout morphismedegroupesestdistingue. Mais, parexemple, lesous-groupeS3deS4nestpasdistingue(exercice)pasplusqueGLn(R)dansGLn(C).Uneautremani`eredexprimerlaproprieteHGestdediregH=Hgpourtoutg(etdoncenparticulierG/H = H ` G(31)).Onaalorsg1g2H = g1Hg2Hpourtoutg1, g2.Ceci permetdedenir, demani`ereunique, unestructuredegroupesurG/Hfaisantdeunmorphisme. On laisse au lecteur le soin denoncer et de prouver la propriete universelleduquotientanalogue` a3.3.2..Denition6.6.2. Soientfi: Gi Gi+1, i = 1, 2deuxmorphismesdegroupes.OnditquelasuiteG1f1G2f2G3estexactesietseulementsiIm(f1) = Ker(f2).Lelecteurverieraquedirequelexactitudesignief2 f1=1etKer(f2) Im(f1). Deplus,lorsqueG1, (resp. G3)estreduitaugroupetrivial 1), lexactitudesigniequef1estinjective(resp.f2surjective).INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 45Lorsquon a une suite plus longue, lexactitude de la suite signie que les sous-suites ` a trois termesconsecutifssontexactes.Exercice6.6.3. Montrerquelasuite1 G1f1G2f2G3 1sietseulementsif3identieG3auquotientdeG2parG1f1(G1).Exercice6.6.4. MontrerquelenoyaudeestH.MontrerparexemplequelegroupeGLn(C)/SLn(C)estisomorphe`aC.6.7.EnonceetpreuvedelacorrespondancedeGalois. Onestenmesuredeprouverletheor`emeprincipaldelatheoriedeGalois.SoitK/kune extensionnieet galoisienne(contenuedans)degroupedeGaloisG. Onrappelle(6.2.5)quonaalorsG = Homk(K, ).Soit Tla famille des sous-corps L de K contenant k, ordonnee par linclusion. Soit (la famille desous-groupes de G, ordonnee par linclusion. Bien entendu (6.2.2), lextension K/L est galoisienne.Onpeut enoncerletheor`emeprincipal.46 YVESLASZLOTheor`eme6.7.1(CorrespondancedeGalois)i) Lapplicationf:

T (L Gal(K/L)estbijective,strictementdecroissante,dinverseg:

(THKHii) LextensionK/KHest toujoursgaloisiennedegroupedeGaloisH.iii) LapplicationderestrictionrH : G = Homk(K, ) Homk(KH, )identielensemblequotientG/H`aHomk(KH, ).iv) LextensionKH/k est galoisienne si et seulement si Hest unsous-groupe distingue de K. Dans ce cas, lidentication precedenteinduitlisomorphismeG/HGal(KH/k)de6.2.9.v) Enparticulier, si L/kestgaloisienne, onaunesuiteexacte(cf.6.6.2)canonique(6.7.a) 1 Gal(K/L) Gal(K/k) Gal(L/k) 1.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 47Demonstration. Ondoitdabordverierquonabieng(f(L)) = g(Gal(K/L)) = KGal(K/L)= L.Mais commeKest galoisiennesur LdegroupedeGalois H=Gal(L/K), onabienKH=Ldapr`es6.5.1.Ensuite,onafg(H) = Gal(K/KH)6.5.2=H.Lesdeuxapplicationsfetgsontbieninverseslunedelautre,etenparticuliersontbijectives.Ladecroissanceestclaire,soncaract`erestrictdecoulantdelabijectivite:onaprouvei).Lepointii)estlelemmedArtin(6.5.2).Prouvonslepoint iii). Soit Hunsous-groupedeGet prouvons lasurjectivitederH. Tout k-morphismeH Homk(KH, )seprolongeen Homk(K, )dapr`esletheor`emedeprolonge-ment des homomorphismes (3.15.1). Comme K/kest galoisienne, on a (K) = K (6.2.4) ie GdesortequerH() = H:lapplicationderestrictionrHestsurjective.Bienentendu,getghontmemeimagesih HdesortequonaunesurjectionH: G/H Homk(KH, ).Onaalorscard Homk(KH, )6.1.4=[KH: k] = [K : k]/[K : KH] = card G/ card H = card G/HdesortequeHestbijective.Prouvonslepointiv). SoitHunsous-groupedeG. Bienentendug GenvoieKHdansKgHg1etdoncg1envoieKgHg1dansKHprouvantg(KH) = KgHg1.SupposonsKH/kgaloisienne.OnaalorsKH= g(KH) = KgHg1etdoncH = gHg1parinjectivitedelacorrespondancedeGaloisetdoncHG.Inversement,siHG,onag(KH) = KgHg1= KHetKH/Kgaloisienne.48 YVESLASZLOExercice6.7.2. Soit K/kgaloisiennedegroupes Get Ki/k, i =1, 2deuxsous extensionsdenies par des sous-groupes G1, G2de sous-groupes de G. Montrer que K1K2correspond `a G1G2tandis queK1 K2correspondausous-groupedeGengendrepar G1et G2[Ecrireces exten-sions commedes min, maxet utiliser quelacorrespondancedeGalois est bijectivestrictementdecroissante]. Montrer que le stabilisateur Gxde x K dans G correspond au corps k[x] engendreparx.6.8. GroupedeGaloisdunpolyn ome. Soit P un polyn ome (non constant) `a coecientsdekderacinesx1, , xn(dans,quelonpeutsupposerunitaire).Denition6.8.1. Onappelle groupe de Galois de Ple groupe de Galois de soncorps deracinesK = k[x1, , xn](6.3.2).Onalelemmesuivant,fauxsiknestpasparfait.Lemme6.8.2. LepolynomeQ =(X xi)estencore`acoecientsdansk.Demonstration. Ecrivons P=Pnjjo` ules Pisont irreductibles unitaires distincts deux` adeux.CommechaquePiest`aracinessimples(5.1.5),onaQ =Pj.Remarque6.8.3. Enconsiderant PGCD(P, P

), le lecteur trouveraunalgorithme ecacepourcalculerQsansledecomposerenfacteursirreductibles.Quitte `aremplacer Ppar Q, onpeut donc supposer Pseparable. Ce groupe Gne dependessentiellementquedePetpasde(cf.3.15.1parexemple).Rappelonsque,Glaissantkinvariant,onalaformule(6.8.a) 0 = g(P(xi)) = P(g(xi)).CommePest` aracinesimple,ilexisteununiqueindiceg(i)telquexg(i)= g(xi).Commegestinjective,glestaussietdoncg Sn.Trivialement,lapplicationg gdenitunmorphismedegroupesinjectifG Sn,o` un=deg(P) (injectif simplement car les racines engendrent lecorps dedecomposition). Entermes dactions de groupes (Annexe D du polycopie de tronc commun), G agit d`element sur lesracinesdeP.CestlepointdevuefondateurdeGaloisetdAbel(33)quivoyaientlesgroupesdeGaloiscommedessous-groupesdeSn.Remarque6.8.4. Lelecteurseconvaincraaisement quesi onchangedenumerotation, onconjuguesimplementlactionparlelementdeSndecrivantlechangementdenumerotation.Proposition6.8.5. LepolynomePest irreductiblesietseulementsilactionest transitive.33. 1802-1829INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 49Niels AbelDemonstration. Supposons P irreductible. Les xi sidentient aux k-homomorphismes de k[x1] =k[X]/(P) dans (3.15.4), qui sidentient comme onlavuauxelements de G. Lactionestdonc transitivedans ce cas (6.3.1). Inversement, supposons lactiontransitive et supposonsP = QR, Q, R k[X]avecdeg(Q) > 0.Laformule(6.8.a)appliquee`aQ, RassurequeGlaissentglobalementinvariantlensemblenonvidedesracinesdeQ.CommelactiondeGsurlesracinesdePesttransitive,touteslesracinesdePsontracinesdeQetQ = P(onauraitaussipuutiliserlaformuledelexercice6.a).Cette discussion explique limportance du groupe symetrique et de ses classes de conjugaison danslatheorie.Rappelonssansdemonstrationquelquespointsconnus.6.9. Parenth`esesurlegroupesymetrique. Soitnunentier 2(lecasn=1napasdinteret).LegroupesymetriqueSn= Bijections(X)agit` agauchesurX = 1, , n.Si Sn,ondenitunerelationdequivalenceendisantquedeuxelementsx, y Xsontequivalentssi ilexiste j Z tel que y= j(x). Une classe dequivalence sappelle aussi une -orbite. Comme pourtouterelationdequivalence,XestreuniondisjointesdorbitesOi().Soitn1 n2 ndlasuite(eventuellementvide)ordonneedescardinauxdesorbitesnonreduites` aun element.Onadoncd = 0sietseulementsi= Id.Denition6.9.1. Letypedeestled-uple n = (n1, , nd).Onditqueestuncycle(delongueurn1)sid = 1:onparlealorsded-cycle.Lesupportduncycleestsonuniqueorbitenonreduite`aunelementdontlecardinal estappelelongueurducycle.Onnote,nonuniquement,uncycledelongueurd > 1souslaforme= (x, (x), , d1(x))50 YVESLASZLOo` uxestunelementarbitrairedanslorbitenontrivialedex. Parexemple, lecycledelongueur3note(3, 7, 5)xetoutelementdistinctde3, 7, 5etpermutecirculairementlesautreselementscommesurledessin3 7 5 3.Deuxcyclescommutentsietseulementsileurssupportssontdisjoints.Leproduitdetelscyclesestdoncbiendeni,lordrenintervenantpas.Onaalorslaproprietesuivante.Proposition6.9.2. Toute permutation secrit de facon unique comme produit(eventuellementvide)decycles`asupportsdisjoints.Lescyclesdelongueur2sappellentlestranspositions.EllesengendrentSn.Ondenitlasignature : Sn 1parlaformule() = (1)

di=1(ni1)o` uestdetype(n1, , nd).Onaleresultatfondamentalsuivant.Proposition6.9.3. La signatureest lunique morphisme surjectif de groupes de Sn 1.LenoyauAndelasignatureest doncunsous-groupedistingue, decardinal n!/2: il sappellele groupe alterne. Les transpositions sont donc de signature 1. Ondeduit que lasignaturedunepermutationestaussi(1)No` uNestlenombredetranspositionsintervenantdansunedecompositiondeenproduitdetranspositions.Dautrepart,onveriequelasignatureestaussi(1)io` ui = card(x, y) X2telsquex > yet(x) < (y)estlenombredinversionsde.Onalaformule(verier !)(6.9.a) (a1, , am) 1= ((a1), , (am)).Elle assure que le conjugue dun cycle est un cycle de meme longueur et que de plus deux cycles sontconjuguessietseulementsiilsontlamemelongueur.Plusgeneralement,onalacaracterisationsuivante,corollaireimmediatdecetteremarqueetdelapropositionprecedente.Proposition6.9.4. Deuxpermutations sont conjuguees si et seulement si elles ont memetype.Onnesauraittropconseilleraulecteurdefairelexercicesuivant.Exercice6.9.5. Montrerquelestranspositions(i, i + 1), 1 i n 1engendrent Sn. Endeduireque(1, , n), et (1, 2)engendrent Sn. MontrerqueSnest engendreparnimportequeltriple (a, b, c) avec a, b, c cycles de longueur n, n 1et 2respectivement. Montrer que Anestengendreparles3-cyclesd`esquen 3.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 516.10. Discriminant. Voyonsuneconditionsimplepermettantdedecidersi onaG An.Cestuncasparticulierdelanotionderesolvante.Proposition6.10.1. Lelementdisc(P) = (1)n(n1)2x=yP(x)=P(y)=0(x y)est un element de k. Si kest de caracteristique dierente de 2, cest un carre de ksi et seulementsiG An.Onditquedisc(P)estlediscriminantdeP.Demonstration. Visiblement disc(P) est non nul et invariant par G, donc est dans k. Choisis-sonsunordresurlesracinesdePquon ecritx1, , xn.Onaalorsdisc(P) = (1)n(n1)2i=j(xixj).Posonsd =i 0separables`acoecientsdansFpetpremiersentreeuxdeux`adeux.MontrerqueleFrobeniusducorpsdedecompositiondesPiestunproduitdecyclesdisjointsdelongueurdi.EndeduirequesongroupedeGaloissurFpestdordrelePPCMdesdi.Exercice6.10.3. SoitHunsous-groupedindiceG.MontrerquelesensemblesG/HetHGont memecardinal. Montrerquesi lindicedeHdansGest 2, alorsHest distinguedansGet lequotient G/Hest canoniquement isomorphe`a 1. Soit nunentier 2. MontrerquelegroupealterneAnestluniquesous-groupedeSndindice2.Exercice6.10.4. MontrerquelegroupedeGaloisdunpolynomededegre2est trivial ouZ/2Z. Montrerquendegre3, caracteristiquedierentede2, cest Z/3ZoubienS3, cederniercasneseproduisantquesidisc(P)nestpasuncarre`amoinsquePnaituneracinedansk.EndeduirequelegroupedeGaloisdeX32surQestS3D6.Exercice6.10.5. Soit kuncorpsparfait decaracteristiquep 0. CalculerlediscriminantdeP=Xn 1. MontrerquePestseparablesi etseulementpnedivisepasn, cequonsupposedesormais. Soit KlecorpsdesracinesdeP(dansunecloturealgebriquekdek). DonneruneconditionnecessaireetsusantesurnpourquelactiondeGal(K/k)surn(k)soitdansAn,aumoinssip = 2.Exercice6.10.6. Soit P un polynome separable `a coecients dans kde caracteristique 2. OnnotexisesracinesdansketGlegroupedeGaloisdek(xi)/k,quiagitdoncsurlesxi,etainsiseplongedansSn.Montrerquexi+xjetx2i +x2jsontnonnulssii < j.Montrerquea =i 0 tels quePi= niPi Z[X], i = 1, 2. Si n1, n2= 1,cest termine. Sinon, soit ppremier divisant n1n2. Comme pour le point i), pdivise tous lescoecients dundes deuxpolynomesPi, disonsP1, et donc aussi soncoecient dominant, `asavoirn1.Ondeduitquonan1pP1 Z[X],contredisantlaminimaliteden1.Denition7.2.5. Uncomplexeestditentieralgebrique(ouentier(35)lorsquelecontexteestclair)sil estracinedunpolynomeunitaire`acoecientsentiers.Par exemple, nest entier, mais 1/2 ne lest pas (cf. exercice 7.2.6). On reviendra sur cette notionimportante(10.2).Exercice7.2.6. Montrerquex Qest entiersurZsi et seulement si il cest un... entierrelatif.LelemmedeGauss7.2.4donneimmediatementleresultatsuivant.Corollaire7.2.7. Lepolynomeminimal dunelemententierest`acoecientsentiers.Theor`eme7.2.8. LepolynomecyclotomiquesurQestirreductiblesurQ.Demonstration. Lapreuve,due` aGauss,esttr`esastucieuse.SoitPleminimalden.Ilsutdeprouvern[P,ouencorequetouteslesracinesprimitivesannulentP.SoitppremiernedivisantpasnetuneracinedeP(leminimalden),certainementprimitivecarP[n.Laclefestlelemmesuivant.35. Pour eviter les confusions, on dira que les elements de Z sont les entiers relatifs.56 YVESLASZLOLemme7.2.9. pestuneracinedeP.Demonstration. supposonslecontraire.EcrivonsXn1 = P(X)S(X).Comme n est entier, on a P(X) Z[X] dapr`es 7.2.7, et, P(X) etant de plus unitaire, S(X) Z[X].CommeP(p)estsupposenonnul,onaS(p)=0.Ainsi,P(X)etQ(X)=S(Xp)ontuneracinecomplexecommune. LeurPGCD(calculesurQ)estdoncnonconstant, desortequeP[QdansQ[X] (irreductibilitedeP)doncdansZ[X] puisquePestdeplusunitaire. Reduisonsmodulop.OnaQ = Sp(encoreleFrobenius !). Commen =0dansFpparhypoth`ese, Xn 1etsaderiveenXn1nontpas de racine commune dansFpde sorte que ni Xn1 niP nont de facteur multiple dans Fp[X].SoitunfacteurirreductibledeP. DivisantSp, il diviseSdesorteque2[Xn 1dansFp[X],unecontradictionpuisquePestseparable.Soit alors une racine de P et

une racine quelconque de n. On ecrit

= mavec PGCD(m, n) =1(car

primitive). Endecomposantmenfacteurspremiers, uneapplicationrepeteedulemmedonne

racinedePetdoncn[P.Ainsi,card Gn= [Q[n] : Q] = (n)desortequeestunmorphismeinjectif(7.1.2)entregroupesdememecardinal:Theor`eme7.2.10. Lemorphisme : Gal(Q[n]/Q) (Z/nZ)estunisomorphisme.Exercice7.2.11. Soit n 1 et p premier ne divisant pas n. Montrer que si nmod(p) a une racine dans x Fp, alorsxestdordreexactementndansFp. Endeduirequonap 1 mod(n)puisquil existeuneinnitedenombrespremierscongrus` a1modulon(formefaibledutheor`emedelaprogressionaritmetiquedeDirichlet).7.3. Intersectionsdecorpscyclotomiques. Soit d divisant n de sorte que Q[n] contientQ[d]. La correspondance de Galois predit que Q[d] correspond ` a un sous-groupe de Gal(Q[n]/Q)decardinal(n)/(d),quidoit etrelenoyaudelasurjectionGal(Q[n]/Q) Gal(Q[d]/Q).Entenantcomptede7.2.10,cettesurjectionnestautrequelemorphismecanonique(Z/nZ) (Z/dZ).Onretrouveaupassage3.8.3.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 57Proposition7.3.1. OnaQ[n, m] = Q[PPCM(n,m)]etQ[n] Q[m] = Q[PGCD(n,m)].Demonstration. onposePPCM(n, m) = , PGCD(n, m) = , K = Q[]etd= Ker((Z/Z) (Z/dZ)pour tout d divisant . On a deux sous-corps Ki= Q[n], i = n, m de K, denis (correspondance deGalois) dapr`es ce qui prec`ede par les sous-groupes i, i = n, m. Dapr`es 6.7.2, on doit simplementmontrern m= 1(quiprouveKnKm=Q[])etquelegroupeengendreparnetmest(prouvantKn Km= Q[]).Lepremierpointestclair:direqueg mod (Z/Z)estdanslintersectionden m,cestdirequenetmdivisentg 1autrementdit[(g 1).Pour lesecondenonce, gr aceaulemmechinois, onpeut supposer n, mpuissances dep, delaformep, pavecparexemple0 desorteque= p.Lecaso` uouestnulesttrivial.Supposonsdonc, >0.Onaalorsi=1 + piZ/pZ, i=, etdonclegroupeengendreest= .Remarque7.3.2. Donnonsuneautrepreuve, moinsgaloisienne. OnposePPCM(n, m)=et PGCD(n, m)=. Lepremierpointestelementaire.Posons= n, = mo` uetsontpremiersentreeux.Onaalors,n=

etm=

prouvantQ[n, m] Q[

].Inversement,choisissonsa, bentierstelsquea + b= 1.Onaalors

= ambnprouvantlinclusionreciproque.La deuxi`eme egalite est plus subtile. Posons maintenant n = , m = o` u et sont premiers entre eux. On a = n= mprouvantlinclusionQ[] Q[n] Q[m]58 YVESLASZLOInversement, lesextensionscyclotomiquesQ[n]/Qetant galoisiennes, onconnat lesdegresdesdiversesextensionsgr ace` a8.1.2,quisontresumescommesuit.Q[m, n](m)/dvvvvvvvvvv(n)/dqqqqqqqqqqQ[m](m)/dwwwwwwwwww(m)YYYYYYYYYYYYYYYYYYQ[n](n)/drrrrrrrrrr(n)Q[m] Q[n]dQ.Sesouvenantdelaformuleelementaire= nm, legalite() = [Q[n, m] : Q] devientalors(n)(m) = d(nm/).Comme()(nm/) = (n)(m),ona(exercicedePC-decomposern, menfacteurspremiersparexemple-)d = ()etlapropositionendecoule.Exercice7.3.3. Soit z Cet Klecorpsdesracinesduminimal dez. Montrerquezestconstructible(2.1.1) `alar`egleet aucompas si et seulement si tous ses conjugues lesont. Endeduirequezestconstructiblesietseulementsi[K : Q]estunepuissancede2.Donneralorsunepreuvede(2.1.5)enutilisantleresultat(9.3.8)infra.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 598. Appendice: groupedeGaloisdesextensionscomposeesDans letude des extensions cyclotomiques, on a rencontre le probl`eme de letude dune extension composee KL/k en fonctionde K/ket L/k(lorsque ces deux derni`eres sont des extensions cyclotomiques sur Q). On peut le faire en general (on pourraitdailleursendeduiredecettemani`erelecalculdeQ[n] Q[m]eectueen(7.3.1).Cetappendicenestpasessentielpourlasuiteetpeutetreignoreenpremi`erelecture.Onsupposequetouteslesextensionsconsidereessontcontenuesdansuneextensionalgebriquementcloseduncorpsk.8.1. Extensionscomposees,cloturegaloisienne. Si xiest une famille delements de , lintersection des sous-corpsde contenant les xiest le plus petit sous-corps de contenant les xi. Si K, L sont deux extensions de k, le plus petit corpscontenantK, LsenoteKLetsappellelextensioncomposeedeKetL.Lemme8.1.1. SoitKunextensionniedek.Ilexisteununiquesous-corpsdecontenantKquiestgaloisiensurk:onlappellelacl oturegaloisiennedeK/k.Demonstration. lintersection de deux extensions galoisiennes de k est visiblement encore galoisienne. Lunicite en decoule.Pour lexistence, choisissons un element primitif x de K/k (rappelons que k est parfait). On laisse au lecteur le soin de verierquelecorpsdesracinesduminimaldexsurkestlextensioncherchee.Theor`eme8.1.2. SoientK, LdeuxextensionsniesdeketsupposonsK/kgaloisienne.i) Alors,KL/Lestgaloisienneetlemorphismederestrictionr: Gal(KL/L) Gal(K/K L)estunisomorphisme.ii) SideplusL/kestgaloisienne,KL/ketK L/klesontegalement.Demonstration. Prouvons i). Soit xunelement primitif deK/kdeminimal P k[X]. Visiblement, KL=L[x] et leminimal QdexsurLdivisePdesortequesesracinessontdansKcommecellesdePetafortiori dansKL. CommePest` aracinessimples,ceciprouvequeKL/Lestgaloisienne.Plusprecisement,onaQ =

(Xxi)o` uxi Ksontcertainsconjuguesdex,etdoncestaussidansK[X]cequiprouvequonaQ (K L)[X].Prouvonslasurjectiviteder. Soitalorsg Gal(K/K L). Onag(Q(x))=Q(g(x))carQest` acoecientsdansK L.Parproprieteuniverselleduquotient, il existeununiqueL-endomorphismedeKL=L[X]/Qqui envoiex=(X modQ)surg(x):cestlantecedentcherche.Prouvonslinjectiviteder.Soitalorsg Gal(KL/L)danslenoyau,cest-` a-diretrivialsurK.CommegesttrivialsurLetqueK, LengendrentKL,ilesttrivialsurKL,cequonvoulait.Prouvonsii). SupposonsdeplusLgaloisienne. Alors, LestlecorpsdesracinesdunpolynomeseparableP1 k[X] etKLest le corps des racines du polyn ome separable PPCM(P, P1), prouvant que KL/kest galoisienne. Pour le dernier point, soit Homk(K L, )quonprolonge` aKLtoutentier.CommeK, Lsontgaloisiennessurk,ona(K) Ket(L) Letdonc(K L) K Ldo` ulegalite(carK Lestdedimensionniesurketonconclutcommedhabitude).Lepointi)dutheor`emeseretientbiengraphiquement.KLGal(K/KL)eeeeeeee||||||||KGal(K/k) ffffffffL}}}}}}}}k.Corollaire8.1.3. Sousleshypoth`esesdutheor`eme,ona[KL : L] = [K : K L] et[KL : k] = [K : k][L : k]/[K L : k].Parsuite,[KL : k] = [K : k][L : k] sietseulementsik= K L.60 YVESLASZLODemonstration. lepremierpointdecouledupointii)precedent.Pourlesecond,onecritalors[KL : k] = [KL : L][L : k] = [K : K L][L : k] = ([K : k]/[K L : k])[L : k].Letroisi`emeendecoule.Notons i : Gal(KL/k) Gal(K/k) Gal(L/k) le morphisme de restriction, qui est visiblement injectif (exercice). LesmorphismesderestrictionsGal(K/k) Gal(K L/k)etGal(L/k) Gal(K L/k)denissentunmorphisme(j1, j2) : Gal(K/k) Gal(L/k) Gal(L K/k) Gal(L K/k).Bienentendu,onaj1 ietj2 iconcidentaveclemorphismederestrictionnaturelGal(KL/k) Gal(K L/k).Proposition8.1.4. Supposons K/k et L/k galoisiennes. Le morphisme (injectif ) i induit un isomorphisme de Gal(KL/k)surlesous-groupedeGal(K/k) Gal(L/k),appeleproduitamalgame,Gal(K/k) Gal(KL/k) Gal(L/k),constituedescouples(u, v)telsquej1(u) = j2(v).Demonstration. Ilsutdemontrerquelescardinauxdesdeuxgroupesenquestionsontegaux.OnnoteGL, GK lesgroupesdeGaloissurk.Onaunesuiteexacte1 N GKGL(j1,j2) GKLGKL 1(noter que j1, et, afortiori (j1, j2) est surjectif). Par construction, notre produit amalgame G est limage inverse par (j1, j2)dusousgroupediagonalGKL= {(g, g), g GKL} GKLGKL.Onadoncunesuiteexacte1 N G GKL 1.Comparantlescardinaux,ondeduitcard G = [K : k][L : k]/[K L : k]etonconclutgr ace` a8.1.3.Cetenonceesttr`esagreablelorsquedeplusK L = k,desortequeleproduitamalgamenestautrequeleproduitusuel.Letheor`emeseretientgraphiquementcommesuit.KLGKGKLGL

eeeeeeee||||||||KGK ffffffffLGL}}}}}}}}kquonpeutcompleterdapr`escequiprec`edeenINTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 61KLGKGKLGL

Gal(K/KL)eeeeeeeeGal(L/KL)||||||||KGK ffffffffLGL}}}}}}}}k62 YVESLASZLO9. Resolubiliteparradicaux9.1. Extensionscycliques. Dansceparagraphe, ndesigneunentier 2etkuncorps(parfait)tel quen(k)estdecardinal n(onditalorsabusivementquekcontientlesracinesn-i`emesdelunite). Enparticulier, lacaracteristiquedeknedivisepasn, maiscenestevidemmentpassusantengeneral.Onsait alors (tout sous groupeni dekest cyclique) quen(k) est, noncanoniquement engeneral,isomorphe` aZ/nZdesortequexistentdansklesracinesprimitives(dordren)de1(aunombrede(n)).Soitaunelementdek 0etK = k[], = a1/nlecorpsderupturedeP(X) = Xna.CommelesracinesdeXn asontlesmultiplesdeaparlesracinesn-i`emesdelunite, qui sontdanskpar hypoth`ese, K est aussi le corps des racines de Xna et donc est galoisienne sur k. Soit G songroupedeGalois.Onauneapplication : G n(k)denie comme suit. Si gG, lelement g() est une racine de Pdonc de laforme pour n(k).Onposealors(g) = g()/.Cestunmorphismedegroupes.Lemme9.1.1. est injective et G est cyclique de cardinal d divisant n. De plus, P irreductiblesietseulementsianestpasunepuissanced-i`emedanskpourtoutdiviseurddendistinctde1,ou,defaconequivalente,siG = n(k).Demonstration. Linjectivitedeestclaire. Commen(k)estcycliquedecardinal n, lordrede G est un diviseur de n. Dire que P est irreductible cest dire [K : k] = n et donc surjective.SupposonsPirreductible, etdoncG=n(k). Soit=(g)primitivedansn(k)etd[ntel qued k.Onag(d) = ddmaisaussig(d) = dcard k.Onadoncd= 1etdoncn[dpuisd=n. Inversement, si Pnonirreductible, onaGdecardinal [nstrictement. Pourtoutg G,onag()/ (k)etdoncg() = .Donc k.Lareciproqueest,enunsens,assezsurprenante.Theor`eme9.1.2(Kummer(36)). Soit K/kuneextensiongaloisienne(kcontenant lesra-cinesdelunite).OnsupposequelegroupedeGaloisG = Gal(K/k)estcycliquedordren.Alors,il existea Ktel queKsoitlecorpsdesracinesdeXna.Demonstration. Cest de lalg`ebre lineaire. Soit gun generateur de Galois : il verie gn= Id vudansEndk(K).Parhypoth`ese,Xn1estscindesurk` aracinessimples,doncestdiagonalisable.Laformuleg(xy1) = g(x)g(y)1assurequelensembledesvaleurspropresdeGestsous-groupeden(k)etdoncestcycliquedordred.Sionavaitd < n,onauraitgd= Id,cequinestpascargestungenerateuretdoncil existeunevaleurpropredegqui estuneracineprimitiven-i`eme de1. Soitxunvecteurproprenonnul. Parconstruction, xaaumoinsnconjugues, lesix,INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 63distincts, qui sontnecessairementdansKqui estgaloisiendesortequeK=k[x]. Ainsi, cesonttouslesconjuguesdex,etdoncleminimaldexest1in(X ix) = Xnaaveca K.Ernst KummerSionlitlapreuveprecedenteattentivement,lephenom`enequisepasseestlesuivant.NotonsKalespacepropreKer(g aId).Onaalors(9.1.a) K = anKaavecKi = kxio` uxestnonnuldansK.Exercice9.1.3. Supposons npremier `alacaracteristique de k. Soit a k. Montrer queP=Xn aestseparableetquesongroupedeGaloisGestextensiondedeuxgroupesabeliens,autrement dit quonaunesuiteexacte1 G1 G G2 1avecG1, G2abeliens, et memeG2cyclique.Donnerunexempleo` uGnestpascommutatif.9.2. Commentaire. Bien entendu, toute sous-extension dune extension cyclotomique Q[n]aungroupedeGaloisabelien. Untheor`emedicile, ditdeKronecker(37)-Weber(38), assurequelareciproqueestvraie ! Cestuneconsequencedelatheorieducorpsdeclasses, vastesujetquidebouchenaturellementsurlavisionnairetheoriedeLanglands(39)sujettr`esdicileetactif ` alheurequilest.9.3. Interm`edesurlesgroupesresolubles. Laclassedesgroupescommutatifsnestpasstableparsuiteexactecourte.Ilfautuneclasseplusvaste:celledesgroupesresolubles.36. 1810-189337. 1823-189138. 1842-191339. 1936-64 YVESLASZLOLeopold Kronecker Heinrich Martin WeberRobert LanglandsDenition9.3.1. Un groupe G est dit resoluble sil poss`ede ltration croissante par des sous-groupes1 = Gn G0= GavecGi+1distinguedansGietGi/Gi+1commutatif.Ondirasimplementquelesquotientssuccessifssontcommutatifs.Exercice9.3.2. VerierqueS3, S4sontresolubles.Montrerquelegroupedesmatricescom-plexesdetaillen 2dedeterminant1nelestpas.Exercice9.3.3. OnseproposedemontrequelegroupeBdesmatricesdeGLn(k)quisonttriangulairessuperieuresestresoluble(kestuncorps). SoitUlesous-groupedeBdesmatricesdonttouteslesvaleurspropressontegales`a1(matricesunipotentes).1)Montrerquonaunesuiteexactedegroupes1 U B (k)n1.EndeduirequeBestresolublesietseulementsiUestresoluble.Soit (ei) labasecanoniquedekn. Pouri n, soit Filesous-espacevectoriel deknengendrepar e1, , ei. OnadoncFi=(0) si i 0et Fn=kn. Pour tout fU, onnoteln(f) lamatricef Id. Pourtoutj=0, , n, soitUjlesousensembledeUdesmatricesf tellesqueln(f)(Fi) Fijpouri n.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 652)Verierquona(1) = Un Un1 U1= U.MontrerqueUiestunsous-groupedistinguedeUpourtouti netdoncegalementdeUi1.3)Soitf Uj.Montrerquepourtouti n,larestrictionln(f)i,jdeln(f)`aFideln(f)induituneapplicationlineairedeFi/Fij1quiestnullesietseulementsiln(f)(Fi) Fij1.4)Montrerquelapplicationlnj:

Ui i End(Fi/Fij)f (ln(f)i,j)estunmorphismedegroupesetcalculersonnoyau.5)EndeduirequeUestresoluble.Conclure.On rappelle que le groupe derive DG de G est le groupe engendre par les commutateurs aba1b1.Cestunsous-groupedistinguedeG, etG/DGestcommutatif: onatoutfaitpour. OndenitalorsparrecurrenceD0G = GetDn+1G = DDnGsi n 0.Lemme9.3.4. GestresolublesietseulementsiDnGesttrivial pournassezgrand.Demonstration. Si G est resoluble et Gi est comme dans la denition, limage dun commutateurdanslegroupeabelienG0/G1esttrivialedesortequeD1GestcontenudansG1.Parrecurrence,onmontreDiGcontenudansGietdoncDnGesttrivial.Inversement,siDnGesttrivial,onposeGi= DiGquiconvient.Proposition9.3.5. Si1 G1 G2 G3 1estexacte,alorsG2resolublesietseulementsiG1etG3resolubles.Demonstration. OnadunepartDnG2 DnG3surjectif etDnG1 DnG2injectif desortequeG2resolubleentraneG1etG3resoluble. Inversement, si DnG3esttrivial, limagedeDnG2dansG3estnuletdoncDnG2estcontenudansG1.SimaintenantonadeplusDmG1= 1,onendeduitDm+nG2 DmG1= 1,do` ulareciproque.Enfait,onamieux:laclassedesgroupesresolubleseststableparextension,cequicomptetenudecequiprec`ede,secritCorollaire9.3.6. SiGposs`edeunesuitecroissantedesous-groupes1 = G0 Gn= GavecGidistinguedansGi+1etGi+1/Giresoluble,alorsGresoluble.66 YVESLASZLOExercice9.3.7. SoitX = (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)lensembledespermutationsdeS4detype(2, 2).MontrerqueS4op`eresurXparconjugaison.Endeduirequil existeunmorphisme: S4 S3etcalculersonnoyau.MontrerqueestsurjectifetendeduirequeS4estresoluble.Onretrouveainsiunresultatde9.3.2.Exercice9.3.8(Dicile). SoitGungroupedecardinal pnavecppremier.Onseproposedemontrerparrecurrencesurnlexistencedunesuitecroissantedesous-groupesGi, i = 1 ndeGdecardinal pavecGidistinguedansGi+1.CecimontreenparticulierqueGestresoluble.a)SoitHunsous-groupedistinguedeG.MontrerquesilenonceestvraipourHetG/Hil estvraipourG.b)Traiterlecascommutatif.c)EnfaisantopererGsurluimemeparconjugaison,montrerquelecentredeGestnonreduit` a1.Conclure.Linteret de ces groupes, resulte en partie du fait que si pnest la puissance maximal de p divisantle cardinal de Gni, alors Gadmet unsous-groupe dordre pn(unp-Sylow) et que tous cessous-groupessontconjugues(voirparexempleBourbaki,Alg`ebreI-III).9.4. Applications aux equations. On suppose k de caracteristique nulle. On dira quuneextensiondecorpsK/kestradicalesiilexisteunesuitedecorpsKi, i = 0 , ntellequek = K0 Kn= Ket Ki+1= Ki[xi] et une puissance convenable de xi est dans Ki. Elle est dite resoluble (par radicaux)siilexisteuneextensionnieL/KcontenantKtelqueL/kradicale.Ainsi,siK/kestresoluble,toutelement x Ksexprime` alaidedefractions rationnelles et dextractions successives deradicaux`apartirdelementsdek.Donc, dire que le corps des racines de P k[X] est resoluble (sur k), cest dire que ses racines sex-primentrationnellement` apartirdextractionssuccessivesdelementsdek, ielanotionintuitivederesolubiliteparradicaux !Theor`eme9.4.1(Galois). SoitK/kgaloisienne.SiK/kestresoluble,alorsG = Gal(K/k)estresoluble.En fait, la reciproque du theor`eme est vraie (ce nest pas dicile, connaissant la theorie de Kum-mer) ;elleseradetailleeenPC.Passons` alapreuvedutheor`eme.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 67Demonstration. Parhypoth`ese, KestcontenudansLavecL/kradical. Onadoncunesuitedecorpsembotesk =L0 L1 Ln= LtelsqueLi+1=Li[xi]etxniiLi.Le probl`eme est que lesLinont aucune raison detre galoisiens sur k. Remedions `a cela. On veututiliser la theorie de Kummer. Soit donc n un multiple de tous les ni et Xi lensemble des conjugues(surk)desxj, 0 j i.OnposealorsLi+1= k[n, Xi], i = 0, , n 1,qui par constructionest galoisiennesur k(commedhabitude, ndesigneuneracineprimitiveni`emedelunitedans).OnposeL1= k, X1= ndesortequonaLi+1= Li[Xi]pouri 1avecLigaloisiennesurL1= kpourtoutidoncafortiori surLj, 1 j i.CommeGal(K/k)estunquotient(6.7.1)deGal(Ln/L1),ilsutdemontrerquecedernierestresoluble(9.3.5).MontronsparrecurrencesuriqueGal(Li/L1)estresoluble.Lemme9.4.2. ChaquegroupeGal(Li+1/Li), i 1estresoluble.Demonstration. CommeGal(L0/L1)estcommutatif(7.1.2),onpeutsupposeri 0.Si i 0, Li+1est obtenu en adjoignant `a Liles conjugues yj, j= 1, , degLi(xi) de xisur Li. OnadoncunetourdextensionM0= Li M1= Li[y1] Md= Li[y1, , yd] = Li+1.Comme ynj Li et n Li, tous les Li-conjugues de yj, j sont dans Mqui est donc galoisiennesur M0, donc aussi sur les M ,

. Comme de plus, M+1=M[y+1], chaque extensionelementaireintermediaireM+1/MestdeKummer,doncgaloisiennedegroupecyclique(cestlapartiefaciledelatheoriedeKummer).Or,onauneltration1 = G0= Gal(Md/Md) G2= Gal(Md/Md1) Gd= Gal(Md/M0).Or,onaG+1/GGal(M+1/M)(gr ace`alasuiteexactefondamentale(6.7.a))etdoncestabelien.Laproposition9.3.5assurequeGdestresoluble.68 YVESLASZLOLatheoriedeGalois(6.7.a)nousdonnedessuitesexactes1 Gal(Li+1/Li) Gal(Li+1/L1) Gal(Li/L1) 1.Onconclutgr aceaulemmeetgrace` alaproposition9.3.5.Soit Lle corps des fractions de C[X1, , Xn] o` ules Xisont des indeterminees. Le groupesymetriqueSnagitsurLparpermutationdesindices. SoitK=LSn: lextensionL/Kestga-loisiennedegroupedeGaloisSndapr`eslelemmedArtin. Onsaitdautrepart(theor`emedesfonctionssymetriques)quonaK = Frac(C[1, , n])o` ulesisontlesfonctionssymetriques elementairesdesXideniesparlidentite(9.4.a)(X Xi) = Xn+n1i=1(1)iiXni.Remarque9.4.3. Onpeut aussi invoquer le lemme dArtinet lamajorationtriviale [L:Frac(C[1, , n])] n!pourprouverK = Frac(C[1, , n]).Laformule9.4.aprouveaupassagequeLestlecorpsdedecompositionsurKdeP(X)=Xn+n1i=1 (1)iiXni.Jedisquelequationgenerale` acoecientsdansKXn+n1i=1(1)iiXni= 0nest pas resoluble par radicaux pour n 5, ce qui se traduit dapr`es la discussion precedente parleresultatsuivant.Theor`eme9.4.4(Abel,Galois). L/Knestpasresolubled`esquen 5.Demonstration. Comme D(Sn)An(la signature duncommutateur vaut 1), il sut deprouverlelemmesuivant.Lemme9.4.5. Sin 5,onaD(An) = An.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 69Demonstration. n 3,doncAnengendreparles3-cycles(6.9.5).Soit= (a, b, c)un3-cycle.Ona2= (a, c, b).Soit Snenvoyantletriplet(a, b, c)sur(a, c, b).Soitd, edistinctsdea, b, c(possible,carn 5.Ona egalement (d, e)(a, b, c) = (a, c, b)etdonconpeutsupposer,quitte` achangeren (d, e),queestdansAn.Or, 1= 2etdonc D(An).70 YVESLASZLO10. ReductionmodulopDanscettepartie, nousallonsdonnerdesmethodespermettantdetudierdesgroupesdeGaloisdepolynomesunitaires`acoecientsentiersparreductionmodulop. Bienentendu, lasituationsurFpest, aumoinstheoriquement, tr`essimple: onsaitparexemplefactoriserlespolynomes(Berlekamp(40)), lesextensionssonttoujoursgaloisiennesetdegroupesGaloiscyclique, avecenprimeungenerateurcanonique,leFrobenius.Elwyn BerlekampOnsedonneunnombrepremierp.OnvacomparerlesgroupesdeGaloisdeP, ieceluidesoncorpsdesracines(6.8)etducorpsdesracineslorsquedeplusPestseparable. LinteretestquelesgroupesdeGaloisdesextensionsdecorpsnissonttr`essimples, cycliques, engendresparleFrobenius.Leresultatprincipalpournousestque,souscesconditions,ilexisteunelementdeGal(P/Q),biendeni`aconjugaisonpr`es,dontlaclassedeconjugaisondansSnestlamemequecelleduFrobenius(pourlesplongementscanoniquesdesgroupesdeGalois).Le lecteur peut se contenter dans unpremier temps de ce resultat (cf. lenonce dutheor`emefondamental 10.4.4)etlaisserlespreuvespourunesecondelecture(bienquellesnesoientpasdiciles).10.1. SpecialisationdugroupedeGalois. SoitPunpolyn omeunitaireseparable` acoecientsentiers(41).NotonsA = Z[z1, , zn]lesous-anneaudeCengendreparlesracinescomplexesz1, , zndeP.Parconstruction,tousleszisontentiers(7.2.5).Lemme10.1.1. LecorpsdesfractionsKdeAestlecorpsdedecompositiondePdansC.Demonstration. Eneet, AestcontenudanslecorpsdedecompositionLdePcarzi Lpourtouti, etdoncKestcontenudansL.Parailleurs,PetantscindesurK,onabienK = LparminimalitedeL.Lobservation fondamentale est que tous les elements de A sont entiers. Pour cela, on va donner un caracterisation des entiersentoutpointanaloguecelledesalgebriques(3.12.1).40. 1940-41. le lecteur savant adaptera la preuve au cas o` u lanneau de coecients Z est remplace par un anneau factoriel,voire integralement closINTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 7110.2. Somme, produitsdentiers. Denition10.2.1. SoitB-uneC-alg`ebre.Onditqueb BestentiersurCsibannuleunpolynomeunitaire` acoe-cientsdansC.Lorsque B est un sous-anneau de Cvu comme Z-alg`ebre, on retrouve la notion dentier algebrique(7.2.5). On generalise (3.12.1)ainsi:Proposition10.2.2. SoitB-uneC-alg`ebreetb B. Alors, bestentiersurCsi etseulementsi bestcontenudansunsous-anneauB

deBquiestunC-moduledetypeni(42).Demonstration. Lapartie directe est claire : si b aunannulateur unitaire de degre d, alors C=C[b] est engendrepar 1, , bd1.Inversement, supposons b B

de type ni sur C, engendre par b1, , bn. Il existe ci,jCtels quebbj=

i ci,jbi(=(ci,j)estunematricedelhomotethiehb EndC(B

)derapportbdansC). SoitP=det(XId )lepolyn omecaracteristiquede:cestunpolyn omeunitairedeC[X]quiannule(Cayley-Hamilton)etdoncafortiori hb.Mais,ona0 = P(hb).1 = P(b),cequonvoulait.Commeen(3.12.6),ondeduitCorollaire10.2.3. LensembledeselementsdeBquisontentierssurCestunsous-anneaudeB.Demonstration. En eet, si x, y B sont entiers sur C, disons annules par des polynomes unitaires ` a coecients dans C dedegre n, m, tant xyque xysont contenus dans C = C[x, y] qui est engendre par les mon omes xiyj, 0 i n, 0 j m1etdoncestdetypenisurC.Corollaire10.2.4. Lensembledesentiersalgebriquesestunsous-anneaudeC.Enparticulier,tousleselementsdeAsontdesentiers.Exercice10.2.5(LemmedeKronecker). SoitzunnombrecomplexequiestentiersurQetzisesconjugues.Mon-trerqueleszisontentiers.Montrerquetouslespolyn omes

(Xzni)o` un Nsont`acoecientsentiers.Endeduirequesi |zi| 1pourtouti,alorso` ubienz= 0oubienleszisontdesracinesdelunite.10.3. Normedes elementsdeA. Pour tout complexe algebrique zsur Q, on denit sa norme N(z) comme le produitdessesconjuguescomplexes.SiPestlepolyn omeminimaldez,onaevidemmentlaformuleN(z) = (1)deg(P)P(0)desortequeN(z) Q.Parexemple,N(z) = zsiz QalorsqueN(2) = 2.Sizestentier,onadoncN(z) ZpuisqueP Z[X](7.2.7).Lemme10.3.1. LanneauA = A/pAestnonnul.Demonstration. supposonslecontraire. Onaurait alorsuneecriture1=pa, a A. Or, lesd=card HomQ(Q[a], C)conjuguesdistinctsdeasontlescomplexes(a), HomQ(Q[a], C).CommeQ[a] = Q[pa],lecomplexepaadconjuguesdistinctsquisontp(a), HomQ(Q[a], C).OndeduitlaformuleN(pa) = pdegQ(a)N(a)dunepart,et,dautrepart,N(pa) = N(1) = 1cequiestabsurdecarN(z) Zcaraestunentieralgebriquedapr`es10.2.4.42. Autrement dit, tel quil existe une famille nie bi delements de B

telle que tout element de B

est combinaisonlineaire desbi`a coecients dans C.72 YVESLASZLO10.4. Groupededecomposition. Soitalorspunideal maximal delanneau(nonnul !)A. Onpourraremarquerquesonexistenceesttout`afaitindependantedelaxiomeduchoix(utiliserparexemplequeAestunespacevectoriel dedimensionniesurk, puisqueAestdetypeni surZ). Soit psonimageinversedansA, autrementditlenoyaudelasurjectioncanoniqueA A A/p = k.CommepestnuldansA = A/pA,lecorpskestdecaracteristiquep.Remarque10.4.1. Il est utiledobserverquonap Z=pZ, simplement carp Z/pZest lenoyaudumorphismeFp= Z/pZ A/pquiestinjectif,commetoutmorphismedecorps.CommeAestdedimensionniesurFp, lextensionk/Fpestnie, etgaloisiennecommetouteextensiondecorpsnis.DememequeAestengendreparlesmon omesenleszi` acoecientsdesZ, dememekestengendreparlesmon omesenlesxi=zimodp` acoecientsdansFp. Autrementdit, kestlecorpsdedecompositiondePsurFp,cequi, aupassage,prouve`anouveauquilestdedimensionniesurFp.LegroupedeGaloisG = Gal(K/Q)permuteleszietdonclaissestableA.Denition10.4.2. Onappellegroupededecompositiondeplesous-groupeD = DpdeGxantp.Theor`eme10.4.3. Laction de G sur A induit une action de D sur k. Le morphisme induit D Gal(k/Fp) est surjectif.Demonstration. Comme laction de D sur A laisse p globalement invariant, elle denit une action sur le quotient k= A/p.Unelement0 Gal(k/Fp)estdetermineparlimagey= 0(x)dungenerateurx = 0delextensionk/Fp.Lesideauxg1(p)sontegaux` apsietseulementsig D.Parailleurs,laprojectionAgA A/pestsurjectivecargestbijectifetadmetg1(p)commenoyau.Ainsi,onaunisomorphismeA/g1(p)A/passurantqueg1(p)estmaximalpuisquelequotientcorrespondantestlecorpsA/p.Enfait,ilnestpasdiciledeprouverquelesideauxpremiersnonnulsdeAsontmaximaux,maisonnenaurapasbesoin.Notonsq1, , qrlesideaux(distincts)delaformeg1(p), g D. Commeq0=p, q1, , qrsontdistinctdeux`adeuxetmaximaux,onaqi + qj= Asii = j.Dapr`eslelemmechinois,onpeutdonctrouverz Atelquez x modq0etz 0 modqisi i > 0.etdoncz x modpetz 0 modg1(p)sig D.Onaalorsg(z) psig/ D.Lepolyn ome

gG(Xg(z))est` acoecientsentiers, sescoecientsetantinvariantssousGetentierssurZ. Parconstruction, sonimagedansk[X]=A/p[X]secrit

gD(Xg(z))

gDXetannule z= x.Commexestnonnul,ondeduitquelepolyn omedeFp[X]

gD(Xg(z))estdivisibleparlepolyn omeminimal

Gal(k/Fp)(X(x))dexsurk,etquedoncilexisteg Dtelque0(x) = g(z),cequonvoulait.Notonsx1, , xnlesreductionsmodulopdesracinesz1, , zndeP.INTRODUCTION`ALATHEORIEDEGALOIS 73Theor`eme10.4.4. SupposonsquePsoit`aracinessimples(dansFp).Alors,la`echeD Gal(k/Fp)est unisomorphismedusous-groupeDdeGal(P/Q)surlegroupeGal(P/Fp)et estcompatibleauxplongementsdanslegroupesymetrique(cf. 10.4.a)desgroupesdeGaloisdenisparlesracineszidePetzimodpdeP.Demonstration. par hypoth`ese, les xisont distincts. Autrement dit, lapplicationzi xiest bijectiveet induit uneidenticationdesgroupesdepermutations(zi) = (xi).Onaundiagrammevisiblement(10.4.a) D

_

//Gal(k/Fp)

//(xi)G

//(zi)ttttttttttttttttttquiprouvelinjectivi