1

Laurent NottaleCNRS

LUTH, Observatoire de Paris-Meudon

Références et pdf’s : http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale

2

RELATIVITÉ

COVARIANCE EQUIVALENCE

faible / forte

Action Géodésique

CONSERVATIONNoether

PRINCIPES PREMIERS

3

Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de

l’espace-temps

Dépendance explicite descoordonnées en fonction des variables d’échelle

+ divergence

Généraliser la relativité du mouvement ?

Transformations de coordonnées non-différentiables ?

Théorème

ESPACE-TEMPS FRACTAL

Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle

Continuité +RELATIVITÉ D’ÉCHELLE

4

Origine

Orientation

Mouvement

VitesseAccélération

Echelle

Résolution

Etat d’un système decoordonnées:

x

t

δ x

δ t

Angles

Position

5

Surface fractale: dépendance d’échelle

k=0

k=2

k=1

k=3

6

Métrique et courbure d’une surface fractale

Surface (espacefractal de dimension

topologique 2 )

Métrique (divergente)

7

Lois de transformationd’échelle

De l’invariance à la covariance d’échelle

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8

Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy:

Equation diffEquation difféérentielle du premier ordre :rentielle du premier ordre :

Développement limité:

Solution: loi fractale de dimension constante + transition:

9

Une transition fractal/non-fractalUne transition fractal/non-fractal

Solution de l’équation différentielle d’échelle:

dL/d ln r = a +b L

10

Deux transitionsDeux transitions

Solution de l’équation différentielle d’échelle:

dL/d ln r = a +b L +c L2

11

Nouvelle transformation entre échelles de longueuret échelles de masse en relativité d’échelle restreinte

Leng

th S

cale

(in

Z sc

ale

unit)

91 10 10 10 10107 10 10 10

10

10

10

10

11 15 19 23 27 31 35

4

8

12

16

1λ

λ

Λ

Z

Zm m P

P

Mass Scale (GeV)

stand

ard re

lation new relation

12

ln L

ln ε

trans

itionfractal

ln ε

trans

itionfractal

delta

special scale-relativity

Plan

ck s

cale scale

independentscaleindependent

Plan

ck s

cale

variation of the scale dimensionvariation of the length

(Cas simplifié : )

DDéépendance dpendance d’é’échelle de la longueur et de lachelle de la longueur et de ladimension ddimension d’é’échelle effective en relativitchelle effective en relativitéé d d’é’échellechelle

restreinterestreinte ( (lois de dilatation loglois de dilatation log--lorentziennes)lorentziennes)

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Dynamique d’échelle: équationsLois d’échelle solutions d’équations aux dérivées partielles du

deuxième ordre dans l’espace des échelles

Principe de moindre action dans l’espace des échelles ––>équations d’échelle d’Euler Lagrange en fonction du « djinn »:

Resolution identifiée comme une « vitesse d’échelle »:

« djinn » (dimension d’échelle variable) identifié comme un « temps  d’échelle»

14

ln L

ln ε

trans

itionfractal

ln ε

trans

ition

fractal

delta

constant "scale-force"

variation of the scale dimension

scaleindependent

scaleindependent

variation of the length

(asymptotique)

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’ constante:

Dynamique dDynamique d’é’échelle: force dchelle: force d’é’échelle constantechelle constante

15

ln L

ln ε

trans

itionfractal

ln ε

fractal

delta

harmonic oscillator scale-force

trans

ition

variation of the scale dimension

scaleindependent

scaleindependent

variation of the length

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur

harmonique (dans l’espace des échelles)

Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique

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ln L

ln ε

trans

ition

fractal

scaleindependent

ln ε

trans

ition

fractal

delta

variation of the scale dimension

"log-periodic"

scaleindependent

variation of the length

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimensiond’échelle effective dans le cas d’un comportement log-

périodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe)avec transition fractal / nonfractal.

Loi log-périodique(Petitesfluctuations)

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Equations du mouvement Géodésiques / Mécanique

Quantique

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Fractalité Irréversibilité

Infinité degéodésiques

Fluctuationsfractales

Dédoublement (+,-)

Descriptionfluide

Termes de 2è ordredans eqs. différentielles

Nombres complexes

Dérivée covariante complexe

NON-DIFFERENTIABILITE

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Voie vers Schrödinger : ‘partie classique’(différentiable) et ‘partie fractale’

Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale):

Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle):

Cas de la dimension fractale critique DF = 2:

20

Voie vers Schrödinger :non-différentiabilité ––> complexes

Définition ordinaire de la dérivée:

N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition:

Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autrepar la réflexion dt <––> -dt

f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution »)

21

Opérateur de dérivation covariantePartie Classique(différentiable)

22

Amélioration de la covariance « quantique »

On introduit l’opérateur de vitesse complexe:

En terme de cet opérateur, la dérivée covariante-quantique s’écrit:

Elle satisfait alors à la règle de Leibniz du premier ordre pour lesdérivées partielles et la composition de fonction.

Hamiltonien:

23

Opérateur de dérivation covariante

Equation fondamentale de la dynamique

Changement de variables (S = action complexe) et intégration

Equation de Schrödinger généralisée

RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE

24

Newton

Schrödinger

25

Trois représentationsGéodésique (U,V) Schrödinger généralisé (P,θ)

Euler + continuité ( P, V)

Nouvelle énergie “potentielle”:

Born:P = |ψ|2

26

Simulation de gSimulation de gééododéésiquessiquesfractalefractale

27

Expérience de fentes d’Young

28

Expérience de fentes d’Young: 2 fentes

Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à laprédiction quantique

Nom

bre

29

Exemples d’applications

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30

Astrophysique :Astrophysique :planplanéétologietologie

31

SystSystèème solaire :me solaire :systsystèèmes interne etmes interne et

externeexterne

SI

J

S

U

N

P

m V T M Hun C H Hil

1

4

9

16

25

36

rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9

√a (obs.) a (AU

)7 49

1

2

3

4

5

6

SE

N

Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)

Predictions(1992)

55 UA

0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol

70 UA

--> Exoplanètes

-->Kuiper belt

32

Outer Solar System:Kuiper belt (SKBOs)

2003 UB 313 (« Eris »)

Validation of predicted probability peaks (55, 70, 90, 110 AU, …)

Pluton + KBOs 2009 data

Probabilité: 2 x 10-4

Repliement sur période attendue

33

Sedna + distant SKBOs

2001

FP

185

Sedn

a 20

03 V

B 12

ndss=( a / 57 UA )1/2

SKBO

s

nex=7

915 509 227 57Observé

20521425 912 513 228 (57)Prédit,UA

Nom

bre Confirmation:

2 nouveauxobjets en n=2,1 nouvel objeten n=3

2002 GB 32: a=2192000 CR 105: a=2222001 FP 185: a=2282003 VB 12: a=4952000 OO 67: a=5172006 SQ372: a=915

2006

SQ

372

34

Exoplanets (data 2005)

(P / M*)1/3

Proba: 10-4

35

Exoplanètes (données 2008, N=301)

Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol

Mer

cure

Ven

us

Terre

Mar

s

Cere

s

Hyg

eia

1 3 5 7 9

Nom

bre

(P/M*)1/3

Proba = 10-7

Spectre de puissance

36

Exoplanètes: données 2010Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10.

Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s

Proba 2 x 10-6

(tenant compte de l’ajustement)

Repliage:

Spectre de puissance:331 exoplanètesentre 0.6 et 8.6 ->pic prévu en k=8.Observé avecpuissance p=12Proba: e-p = 6 x 10-6

- 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4Deviation from expected peak

20

40

60

80

100

120

rebmuN

37

Planètes autour du pulsar PSR1257+12A B C

Base: planète C : aC= 68, nC=8

Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002

(nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020

Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C:

(aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001

(nB)pred =7 <--> (nB)obs =6.9985 ± 0.00001

δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996)

δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2

1 2 3 4 5 6 7 8

38

CosmologieCosmologie

39

Comparaison prédiction (1993) / observations (2009,WMAP 5 ans) Λ = 1.36284(27) 10-56 cm-2

ΩΛ h2 = 0.38874(12)

LN93:Constante cosmologique

40

Particle PhysicsParticle Physicsandand

High Energy PhysicsHigh Energy Physics

41

Comparison to experimental data + extrapolation byrenormalization group

Inve

rse

Cou

plin

gs

10 1 10-3 3 106 109 1012 1018 1027

Energy (GeV)

10

20

30

40

50

4π 2

eWZt GUT

e

0 10 20 30 40 50

l

α1

α0

α2

α3

αg

∞-1

-1

-1

-1

-1

λln ( / r )

C ( )λ

QCDp

r0

« Bare » (infinite energy) effective electromagnetic inverse coupling

Grand unification chromodynamics and gravitational inverse couplings

Mass-coupling relations(from scale-relativisticgauge theory)

New:E = 3.2 1020 eV

Electroweakunificationscale

Predicted strongcoupling at Z scale0.1173(4)

42

Constante de couplage forte αs(mZ)

Prediction date

prediction

Data: PDG 1992-2010

0.1177± 0.0004(from expected

critical value 4 π2 ofinverse coupling atPlanck energy scaleand running fromPlanck to Z scales

using renormalizationgroup equations with

special scale-relativisticcorrection)

43

Constante de couplage électromagnétique« nue » (à énergie infinie)

4 π2

Prédictionthéorique:

44

GGééosciencesosciences

45

Banquise Arctique 1953-2009Banquise Arctique 1953-2009*Loi exponentielle : tStudent= 14.6, var= 0.198; t0 = 2018, S = 7.92 - 0.34 exp(0.075 t)*Loi critique : tStudent= 14.7, var= 0.195 ; t0 = 2014, S = 8.61 - 59.8 (2020.5 - t)-1.03

46

SéismesSichuan 2008: distribution du taux de répliques.

ln (t - tc)

Nbr

tc = 12.265 (12 mai 2008)Proba d’accord pic / creux : 0.0001

Analyse par spectre de puissance:power = 15.01 (proba 6 x 10-6)

47

ExpExpéérimentationrimentationAstrophysique de laboratoire

FLEX : Fluides Expérimentaux

REFLEX : Fluides Expérimentaux en Relativité d’Echelle

48

Simulation d’un potentiel quantique macroscopique

Transition1->2 vertex

49

BiologieBiologie

50

MODELE de DUPLICATION (saut d’énergie)Solution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger macroscopique

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

51

MODELE de DUPLICATIONSolution dépendant du temps de l’équation de Schrödinger généralisée

Potentiel: oscillateur harmonique 3D isotropePassage de n = 0 (E = 3mDω) à n =1 (E = 5mDω)

Représentation : 2D, niveaux de densité

52

Croissance, arborescence, bifurcationSolutions de Schrödinger (oscillateur 2D) avec sauts d’énergie

n=0 à n=1

53

Morphogénèse. Formes florales. Solution de l’équation de Schrödinger généralisée pour un processus

de croissance à partir d’un centre (diffusion, onde sphérique sortante)

Croissance le long des angles de probabilité maximale (force constante)

54Formes florales solutions de l’équation de Schrödinger

55

FLEURS de Schrödinger … Platycodon (campanulacée)!

56

57

58

Solutions fractales (nondifférentiables) del’équation de Schrödinger dans une boite