Équations différentielles linéairesMP

10 mars 2017

Table des matières

1 Équations scalaires d’ordre 1 ou 2 : ce que l’on sait déjà 21.1 Equations linéaires d’ordre 1 : x′(t) + a(t)x(t) = b(t) . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Équations linéaires d’ordre 2, à coefficients constants : . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Analogie : suites telles que aun+2 + bun+1 + cun = 0 . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Notion de système différentiel d’ordre 1. 82.1 Systèmes différentiels et équations s’y ramenant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Forme intégrale d’un problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Equations différentielles linéaires 93.1 Équations/Systèmes linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Systèmes fondamentaux de solutions, variation des constantes . . . . . . . . . . 123.3 Equations/Systèmes linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Réduction du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3.2 Exponentielle de matrice et systèmes à coefficients constants : . . . . . . 15

4 Équations scalaires linéaires d’ordre 2, généralités 194.1 Equations linéaires d’ordre 2, variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Equations linéaires d’ordre 2 sous forme d’exercices . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Annexe : exponentielle de matrice 285.1 Quelques rappels sur les evn de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 L’exponentielle de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1

Le but de ce chapitre est de fournir une introduction à la notion de système différentiel linéaire. 1

Après de brefs rappels du cours de première année sur les équations scalaires, nous étudierons lessystèmes linéaires et montrerons comment s’y ramènent les équations scalaires linéaires d’ordre2 ou plus.

1 Équations scalaires d’ordre 1 ou 2 : ce que l’on sait déjà

1.1 Equations linéaires d’ordre 1 : x′(t) + a(t)x(t) = b(t)

Théorème 1 équation linéaire d’ordre 1Soient I un intervalle de R, a : I → K et b : I → K deux fonctions continues sur I (K = R ouC).

• Si t0 est un point quelconque de I, les solutions de l’équation homogène z′(t) = a(t)z(t)forment une droite vectorielle formée des fonctions de la forme

z(t) = Ae∫ tt0a(s) ds (1.1)

• Pour tout couple (t0, y0) ∈ I × K, le problème de Cauchy

{y′(t) = a(t)y(t) + b(t)

y(t0) = y0admet une solution et une seule définie sur I tout entier.

Démonstration• On vérifie facilement que les fonctions données par la formule (1.1) sont des solutions. La

question est : « Y en a-t-il d’autres ? ».Pour cela observons que si zo(t) est une solution qui ne s’annule pas sur I comme par

exemple e∫ tt0a(s) ds

, alors, toute fonction de classe C1 peut s’écrire

y(t) = A(t) z0(t)

avec A elle-même de classe C1 sur I. On ne restreint donc pas la recherche en cherchantles solution sous la forme y(t) = A(t) z0(t). Cela donne en remplaçant

y′ = A′z0 +Az′0 = aAz0

soit A′ = 0 et A = cste. C’est là le premier avatar de la méthode de variation de laconstante.

1. Il s’agit d’un cas particulier très restrictif. Le cours d’informatique de première année, avec la mise en œuvre dela méthode d’Euler vous permet d’aborder expérimentalement des équations non linéaires. Vous trouverez des complé-ments utiles sur le site www.univenligne.fr, si vos TIPE vous amènent à aborder des problèmes non linéaires (commepar exemple l’équation du pendule !).

2

• Pour prouver la deuxième assertion du théorème, nous allons reprendre la méthode de va-riation de la constante.On cherche donc une solution sous la forme y(t) = A(t) z0(t) où z0 est encore une solutionqui ne s’annule pas sur I. On remplace donc y(t) dans l’équation y′(t) = a(t)y(t) + b(t)ce qui donne :

En intégrant, il vient

A(t) = A(t0) +

∫t

t0

b(s)

z0(s)ds (1.2)

On remplace alors A(t) dans l’expression de y(t) = A(t)z0(t) en faisant le choix z0(t) =

e

∫t

t0a(s) ds

,

y(t) = A(t)z0(t) =

(A(t0) +

∫t

t0

b(s)

z0(s)ds

)e

∫t

t0a(s) ds (1.3)

• Pour achever la démonstration on remarquera que le problème de Cauchy admet une seulesolution. Que vaut la constante A(t0) pour cette solution ?

�

Forme normale de l’équation La forme normale d’une équation différentielle (linéaire ou pas)est la forme sous laquelle nous l’avons présentée dans l’énoncé du théorème 1, à savoir

y′t) = F (t, y(t))

ce qui n’est PAS le cas de l’équation différentielle (E)ty′ + y = (t + t2) de l’exercice 1 dont laforme normale serait

3

imposant ainsi de travailler sur les intervalles I = ou I = .

En pratique pour résoudre l’équation scalaire

(E)y′(t) = a(t)y(t) + b(t). (1.4)

où a et b sont continues sur un intervalle I à valeurs dans K,

• on commence par résoudre l’équation homogène associée : (H)z′(t) = a(t)z(t), dont les solu-tions sont les fonctions

z(t) = A× e∫ tt0a(s) ds

. (1.5)

• si on détermine une solution particulière y0 de (E), on obtient l’ensemble des solutions (quiest une droite affine) sous la forme y0(t) + z(t), z décrivant l’ensemble des solutions de (H).• si on ne voit pas de solution remarquable, il reste toujours la méthode de variation de laconstante, qui consiste à choisir une solution z0 de (H) ne s’annulant pas sur l’intervalle d’étude,et à poser y(t) = A(t)× z0(t) comme on l’a fait dans la démonstration du théorème. On remplace(sans expliciter z0!) dans (1.4) pour déterminer K(t) (à une constante près) ce qui donne y(t).On retiendra la méthode, la formule ne sert que dans des questions particulières, comme parexemple l’exercice 3.

Exercice 1 forme normale et prolongements (à maitriser)Soit (E) l’équation différentielle ty′ + y = (t+ t2);

1. Résoudre (E) sur I, intervalle ne contenant pas 0.

2. Rechercher les éventuelles solutions définies sur R.

Exercice 2On considère sur R l’équation

(E)

(d

dty(t)

)(1 + t2

)= 1 + 3 ty(t).

1. Résoudre (E). Vérifier qu’il existe une unique solution g, qui admet une limite finie en +∞.2. Signe de g′?

3. Etudier la limite éventuelle deg(t)

t3en−∞. Rechercher une courbe polynomiale asymptote.

4. Représentation graphique de g avec ses asymptotes.

Exercice 3On supposera les fonctions qui interviennent dans l’énoncé continues. On se propose d’étudier

certaines perturbations d’une équation différentielle linéaire : y′(t) = a(t) y(t) + g(t).

1. Donner l’expression générale de la solution vérifiant y(t0) = y0.

4

2. On considère ici une suite (hN )N de fonctions de la variable réelle, positives et continuessur R, telles que– pour tout α > 0, il existe un rang n0 à partir duquel hn(x) = 0 en dehors du segment

[−α, α];– pour tout entier n,

∫R hn(s) ds = 1;

(a) Soit τ > 0, et zn la solution de l’équation différentielle

y′(t) = a(t)y(t) + hn(t− τ),

nulle en 0.Exprimer zn(t) à l’aide de

φ(s) = e−∫ s0 a(u) du.

On suppose que t < τ. Justifier que zn(t) = 0, à partir d’un certain rang.

(b) Etudier la convergence simple de la suite (zn)n sur R.

1.2 Équations linéaires d’ordre 2, à coefficients constants :

Théorème 2 On considère trois scalaires (nombres réel ou complexes) a 6= 0, b, c et f unefonction continue sur l’intervalle I ⊂ R à valeurs dans K.

• Les solutions de l’équation différentielle homogène

(H) ay”(t) + by′(t) + cy(t) = 0

forment un espace vectoriel de dimension 2.

• Si y0 est une solution particulière de l’équation ay”t) + by′(t) + cy(t) = f(t), les autressolutions sont de la forme y0 + z où z est une solution quelconque de l’équation homogène(H).

• Pour tout triplet (t0, y0, y1) ∈ I ×K×K, le problème de Cauchyay”t) + by′(t) + cy(t) = f(t)

y(t0) = y0

y′(t0) = y1

admet une solution et une seule définie sur I.

Démonstration (et forme des solutions)• Il est clair que, comme pour toute équation linéaire, les solutions forment un espace vectoriel

(ici sev de l’ensemble des fonction de R dans K.)• On observe qu’une fonction t → ert est solution ssi r est solution de l’équation caractéris-

tiqueC : ar2 + br + c = 0.

Comme une telle équation admet au moins une solution r ∈ C, nous avons une solutionz0(t) = er t qui ne s’annule pas sur R. Toute fonction deux fois dérivable y est de la formey(t) = A(t)z0(t) (à justifier).

5

On peut donc chercher une solution quelconque sous cette forme. On remplace y(t) dansl’équation (H) ce qui donne après simplification une équation dans laquelle restent destermes en A”, A′.

En posant B = A′(t), nous obtenons une équation différentielle linéaire d’ordre 1 en B que

nous savons résoudre : B′(t) +

(2 r +

b

a

)B(t) = 0. Ce qui donne, selon que

(2 r +

b

a

)est nul ou pas :

1. si r est une racine double, B′(t) = A”(t) = 0 et A(t) = αt+ β. On a donc

y(t) =

2. si r est une racine simple, en notant l’autre racine r2on a r + r2 = − b

2aet comme

A(t) = A(0)−B(0)e−(2 r+

b

a

)t(

2 r +b

a

) ,

y(t) =

Dans les deux cas l’ensemble des solutions est un ev de dimension 2 sur K.• Le problème de Cauchy pour l’équation avec second membre : on procède comme précé-

demment en recherchant la solution sous la forme y(t) = A(t = er t.

On remplace y(t) dans l’équation ce qui donne après simplification une équation dans la-quelle restent des termes en A”, A′.

Mais nous allons voir que l’on peut traiter ce problème beaucoup plus simplement aprèsavoir introduit un système d’ordre 1 équivalent.

�

6

Résumons

Résolution pratique de l’équation homogène : ay′′ + by′ + cy = 0, a 6= 0.On introduit l’équation caractéristique (motivée par la recherche de solutions eλt)

C : ax2 + bx+ c = 0.

– si C admet des racines simples r1 6= r2, les solutions sont les CL de er1t, er2t;– si C admet une racine double, r, les solutions sont les fonctions t→ (At+B)ert;Dans les deux cas l’ensemble des solutions est un ev de dimension 2 sur K.

Équation avec second membre : ay′′ + by′ + cy = f(t), a 6= 0.• si on connaît une solution particulière, c’est réglé ; le cours de MPSI donnait quelques recettes :

forme du second membre que faire? forme d′une solution

f(t) = eωt ω n′est pas solution de C y = Aeωt

f(t) = eωt ω est racine simple de C y = (At+B)eωt

f(t) = eωt ω est racine double de C y = (At2 +Bt+ C)eωt

f(t) = cos(ωt) se ramener aux cas precedents

f(t) DSE ou polynomiale rechercher y DSE

• sinon, la méthode de variation des constantes comme expliquée en 4.1 et dans le théorème 12.

1.3 Analogie : suites telles que aun+2 + bun+1 + cun = 0

On introduit l’équation caractéristique (motivée par la recherche de solutions géométriques qn

C : ax2 + bx+ c = 0.

– si C admet des racines simples r1 6= r2, les solutions sont les CL de rn1 , rn2 ; un = Arn1 +Brn2 ;

– si C admet une racine double, r, les solutions sont les fonctions un = (An+B)rn;Dans les deux cas l’ensemble des solutions est un ev de dimension 2 sur K. On détermine lescoefficients A et B lorsqu’on connaît deux termes particuliers (équations).

7

2 Notion de système différentiel d’ordre 1.

2.1 Systèmes différentiels et équations s’y ramenant

Définition 1Un système différentiel d’ordre 1 est un système de la forme

Y ′(t) = F (t, Y (t)) (2.1)

où l’inconnue Y : I → Kn est une courbe paramétrée (ou fonction vectorielle) dérivable, définiesur un intervalle I de R, à valeurs dans Kn et F est définie sur I × U ⊂ I ×Kn.Dans ce chapitre, nous considérerons exclusivement des systèmes différentiels linéaires, de laforme

X ′(t) = A(t)X(t) +B(t) (2.2)

dans lequel t ∈ I → A(t) ∈ Mn(K) est une application continue à valeurs matricielles ett ∈ I → B(t) ∈ Kn est également continue.

Exemples

1. Un système différentiel linéaire d’ordre 1,{x′(t) = a(t)x(t) + b(t)y(t) + f(t))

y′(t) = c(t)x(t) + d(t)y(t) + g(t)

qui est un système linéaire que l’on peut encore noter

X ′(t) = A(t)Y (t) +B(t) = F (t,X(t))

où la fonction F : I × R2 → R2 est définie par F (t,X) = A(t)X +B(t).

2. L’étude d’une équation différentielle d’ordre deux,

(E) y”(t) + b(t)y′(t) + c(t)y(t) = f(t),

en posant X(t) =

[y(t)y′(t)

], se ramène au système

(S) X ′(t) =

[0 1−c(t) −b(t)

]×X(t) +

[0f(t)

](2.3)

Ce qui signifie que y est solution de (E) ssi Y est solution de (S).

8

2.2 Forme intégrale d’un problème de Cauchy

Définition 2 On appelle problème de Cauchy la donnée d’un système{Y ′(t) = F (t, Y (t))

Y (t0) = Y0(2.4)

où Y : I → E est une courbe paramétrée différentiable, définie sur l’intervalle I de R, à valeursdans E ev normé de dimension finie, et F est définie sur I × U, U étant un ouvert de E.

On remarquera que Y est solution du problème de Cauchy (2.6) sur un intervalle I contenantt0, ssi pour tout t ∈ I,

Y (t) = Y (t0) +

∫t

t0F (u, Y (u)) du. (2.5)

On dit que (2.5) est la forme intégrale du problème de Cauchy (2.6).

Dans le cadre des systèmes linéaires, Y est solution du problème de Cauchy{Y ′(t) = A(t)Y (t) +B(t)

Y (t0) = Y0(2.6)

ssi elle vérifie l’équation intégrale

Y (t) = Y (t0) +

∫t

t0(A(u)Y (u) +B(u)) du. (2.7)

3 Equations différentielles linéaires

3.1 Équations/Systèmes linéaires d’ordre 1

Un exemple.

Nous mettons en évidence avec les deux exercices qui suivent l’ensemble de ce qu’il faudra rete-nir de ce paragraphe : structure et dimension de l’espace des solutions, systèmes fondamentaux desolutions, méthode de variation des constantes.

9

Exercice 4 premier exemple, résolution explicite et variation des constantes...

1. Résoudre le système homogène à coefficients constants : X ′(t) = A × X(t) où A =[1 1

0 2

];

2. Vérifier que l’ensemble des solutions est un sev de dimension 2 de l’ensemble des fonctionsde R dans R2. En donner une base (X1, X2).

3. Montrer que toute fonction de R dans R2, de classe C1 est de la forme

φ(t) = u(t)X1(t) + v(t)X2(t)

avec u et v elle-mêmes de classe C1 .

4. En déduire les solutions du système

X ′(t) = A×X(t) +B(t).

A propos des bases de solutions dans l’exercice qui précède :

1. Montrer que les fonctions définies par X1(t) =

[t2t

], X2(t) =

[cos t

2 cos t

], forment une

partie libre.

2. Préciser leurs trajectoires. Montrer que pour tout t ∈ R, la famille (X1(t), X2(t)) est liée.Est-ce contradictoire ?

3. Quelle différence avec les couples de fonctions (X1, X2) rencontrés dans l’exercice quiprécède ?

Continuons avec deux théorèmes.

Théorème 3 (Cauchy-Lipschitz) existence et unicité pour les systèmes linéairesSoit E un ev de dimension finie et X ′(t) = A(t)X(t) +B(t) un système linéaire où A : t ∈ I →A(t) ∈ L(E), est une fonction continue sur I, de même que B : t ∈ I → B(t) ∈ E. Alors, pourtout couple (t0, X0) ∈ I × E, le problème de Cauchy{

X ′(t) = A(t)X(t) +B(t)

X(t0) = X0

admet une solution et une seule définie sur I.

Démonstration : résultat admis sans autre forme de procès...

Exercice 5 réflexion et calcul mental

10

1. Quelle est la solution du problème

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = 0

2. Quelle est la solution du problème

y”t) + a(t)y′(t) + c(t)y(t) = 0

y(0) = 0

y′(0) = 0

3. Quelle est la solution du problème

X ′(t) =

[2 0

0 2

]X(t) +

[−2

−2

]

X(0) =

[1

1

]Théorème 4 espace des solutionsOn suppose que E est de dimension n et que A et B sont comme dans le théorème (3).– L’ensemble S des solutions du système homogène X ′(t) = A(t)X(t) forme un sous-espace

vectoriel de dimension n de C1(I, E).– Les solutions du système avec second membre X ′(t) = A(t)X(t) + B(t), forment un espace

affine dont les éléments peuvent être décrits comme somme d’une solution particulière etd’une solution quelconque du système homogène associé.

Démonstration :• on commence par démontrer que S est un espace vectoriel : c’est le principe de superposition ;• Soient θt0 ∈ I et l’application θt0 : E → S qui à un vecteur X0 associe la solution du problèmede Cauchy homogène

(E)

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = X0,

– θt0 est bien définie. En effet pour (t0, X0) ∈ I × Rn, le problème de Cauchy (E) admet unesolution et une seule ; à toutX0 est bien associée une unique image ce qui est la définition d’uneapplication...

– θt0 est linéaire, à savoir : θt0(U + V ) = θt0(U) + θt0(V ) et θt0(λU) = λθt0(U).Prouvons par exemple la première assertion :

θt0(U) est la solution du problème

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = Uet θt0(V ) est celle de

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = V.

Leur somme θt0(U) + θt0(V ) est la solution du problème

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = U + V,

qui, par définition, est θt0(U + V )...On prouve de la même façon l’autre assertion.

– θt0 est injective et surjective :- injectivité : supposons que X = θt0(U) = 0. On a donc X(0) = U = 0.

- surjectivité : soit Y ∈ S.NotonsU = Y (t0). Y est la seule solution du problème

{X ′(t) = A(t)X(t)

X(t0) = U,

on a donc Y = θt0(U) = θt0(Y (0)).

11

Il existe donc un isomorphisme d’espaces vectoriels entre Rn et S qui sont ainsi de même dimen-sion.• Le système avec second membre X ′(t) = A(t)X(t) + B(t), admet au moins une solution parle théorème de Cauchy-Lipschitz. L’ensemble des antécédents de X → X ′−A×X est donc nonvide. Comme cette application est linéaire, les éléments sont de la forme ’solution particulière’ +’élément quelconque du noyau’.

�

Exercice 6 réflexion et calcul mental

Quelles sont les solutions du système X ′(t) =

[2 00 2

]X(t) +

[−2−2

]

3.2 Systèmes fondamentaux de solutions, variation des constantes

Définition 3On appelle système fondamental de solutions du systèmeX ′(t) = A(t), une famille de fonctionsqui forme une base du sev S des solutions.

Exercice 7Donner des systèmes fondamentaux pour les équations des exercices (4) et (??).

Définition 4On appelle wronskien (ou déterminant wronskien) d’une famille de solutions d’un système X ′ =A(t)X(t), le déterminant

w(t) = DetB(φ1(t), φ2(t), ..., φn(t)).

La matrice W (t) dont les colonnes sont les coordonnées de φ1(t), φ2(t), ..., φn(t) dans la base Best appelée wronskienne de (φ1, φ2, ..., φn) dans B.

Exercice 8 Propriétés du Wronskien

1. Dimension 2

(a) Dériver det([a(t) b(t)c(t) d(t)

])lorsque les fonctions a, b, c, d sont de classe C1 .

(b) Écrire une équation différentielle satisfaite par le wronskien lorsque (Φ1 et Φ2 sontdes solutions du système linéaire

X ′(t) =

[a(t) b(t)c(t) d(t)

]X(t).

En déduire une expression de w(t).

Réponse w(t) = w(t0)e∫ tt0Tr(A(s))ds

2. Dimension n

12

(a) A titre d’échauffement, calculer le déterminant det(In +B tA).

(b) Dériver à nouveau det([a(t) b(t)c(t) d(t)

])mais cette fois en écrivant judicieusement le

taux de variations. Le but est de généraliser aux dimensions supérieures.(c) Dériver det (C1(t), ..., Cn(t)) , lorsque les fonctions vectorielles Ci sont de classe C1

.(d) Exprimer le wronskien d’un système fondamental de solutions en dimension n.

Réponse w(t) = w(t0)e∫ tt0Tr(A(s))ds

corrigé en ??

Théorème 5Soit (φi)1≤i≤n, une famille de solutions du système différentiel X ′(t) = A(t)X(t), défini sur I.On considère la matrice wronskienne de φ1(t), φ2(t), ..., φn(t), dans une base B = (bi)1≤i≤n deE. Alors :– L’application W : I →Mn(R) est de classe C1 .– Deux cas se présentent ;• soit pour chaque t ∈ I, la matrice W (t) est inversible et

w(t) = Det(W (t)) 6= 0.

Dans ce cas (φ1, φ2, ..., φn) est un système fondamental de solutions du système.• soit pour chaque t ∈ I, w(t) = Det(W (t)) = 0 et dans ce cas (φ1, φ2, ..., φn) est n’est pasun système fondamental de solutions du système ;

DémonstrationLe calcul du Wronskien (formule encadrée dans l’exercice qui précède) montre que, soit il estidentiquement nul, soit il ne s’annule en aucun point.Dans ce dernier cas (φ1(t), φ2(t), ..., φn(t)) est une famille libre (ce dont on déduit, puisquedimS = n, que c’est une base de S).En effet, si pour un n−uplet (αi)i,

∑i αiφi = 0, alors, en un point t quelconque,

∑i αiφi(t) = 0,

ce qui s’exprime matriciellement W (t)

α1...αn

= 0. Les αi sont donc tous nuls.

�

Exercice 9 mise en œuvre de la méthode de variation des constantes1. Montrer que les fonctions définies par

X1(t) =

[1t

], X2(t) =

[t−1

],

forment un système fondamental de solutions du système homogène

X ′(t) =1

1 + t2

[t −11 t

]×X(t).

13

2. Justifier que toute fonction Y : R→ R de classe C1 est de la forme

Y (t) = u(t)X1(t) + v(t)X2(t)

avec u et v fonctions scalaires de classe C1 .

3. En déduire les solutions du système

X ′(t) =1

1 + t2

[t −11 t

]×X(t) +

[tt2

]Théorème 6 Soit (φi)1≤i≤n, un système fondamental de solutions de l’équation différentielleX ′(t) = A(t)X(t), définie sur I.– si ψ est une solution du système, il existe une famille de constantes (λi)i et une seule telle que

ψ(t) =n∑i=1

λiφi(t).

– si ψ est une fonction de classe Ck (k = 0 ou 1), il existe une famille de fonctions (λi)i et uneseule, telle que

ψ(t) =

n∑i=1

λi(t)φi(t).

Ces fonctions sont de classe Ck.

Théorème 7 méthode de variation des constantesSoit (φi)1≤i≤n, un système fondamental de solutions de l’équation différentielle

X ′(t) = A(t)X(t),

définie sur I.– soit f telle que f(t) =

∑ui(t)φi(t) une fonction de classe C1 . f est solution du système

X ′(t) = A(t)X(t) +B(t) ssin∑i=1

u′i(t)φi(t) = B(t).

– les fonctions ui sont donc des primitives des fonctions λi telles que

B(t) =

n∑i=1

λi(t)φi(t).

Exercice 10 mise en œuvre de la méthode de variation des constantesRésoudre le système qui suit en posant u = e−t

2x(t), v = e−t

2y(t) :{

x′(t) = 2tx(t)− y(t) + t cos t

y′(t) = x(t) + 2ty(t) + t sin t

14

3.3 Equations/Systèmes linéaires à coefficients constants

3.3.1 Réduction du système

Soit à résoudre le système différentiel à coefficients constants

X ′(t) = A×X(t) +B(t).

1. S’il existe P telle que T = P−1AP soit triangulaire, ce qui est le cas dès que le polynômecaractéristique de A est scindé, on pose Y (t) = P−1X(t). Alors

Y ′(t) = T × Y (t)⇔ X ′(t) = A×X(t) (3.1)

Y ′(t) = T × Y (t) + P−1B(t)⇔ X ′(t) = A×X(t) +B(t) (3.2)

2. On résout le système Y ′(t) = T × Y (t) ou Y ′(t) = T × Y (t) + P−1B(t) en commençantpar la dernière ligne. On en déduit, la solution correspondante de X ′(t) = A×X(t) ou deX ′(t) = A×X(t) +B(t).

Exercice 11 au kilomètre

1. Réduire et résoudre : {x′(t) = 3x(t)− y(t) + cos t

y′(t) = x(t) + y(t) + 2 sin t

2. Même question avec X ′(t) = A×X(t) où

A =

1 1 0−1 2 11 0 1

.3. Même question avec X ′(t) = A×X(t) où

A =

0 2 2−1 2 2−1 1 3

.4. Ramener à un système d’ordre 1 et résoudre :{

x”(t) = x′(t) + y′(t)− y(t)

y”(t) = x′(t) + y′(t)− x(t)

3.3.2 Exponentielle de matrice et systèmes à coefficients constants :

Les détails sur l’exponentielle de matrice sont dans l’annexe de la page 28, présentés de manièreindépendante.

15

Théorème 8Soit A une matrice constante élément deMd(K).

• La solution du problème de Cauchy pour le système homogène{X ′(t) = A.X(t)X(t0) = X0

(3.3)

est la courbe X : t ∈ R→ e(t−t0)AX0.

• Lorsque b est continue, la solution du problème de Cauchy{X ′(t) = A.X(t) + b(t)X(t0) = X0

est la fonction vectorielle

X(t) =

∫ t

t0

e(t−s)A b(s) ds+ e(t−t0)AX0.

Démonstration• Nous savons que si A est une matrice de Mn(K), la fonction t ∈ R → et A ∈ Mn(K) estdérivable et de dérivée

d

dtet A = Aet A.

Ainsi la courbe paramétrée γ : t→ e(t−t0)AX0 est de classe C∞ et de dérivée :

γ′(t) = Ae(t−t0)AX0 = Aγ(t).

Comme elle vérifie de plus γ(t0) = e0X0 = X0, c’est la solution du problème homogène.• Venons en au problème avec second membre. Nous sommes tentés d’écrire∫ t

t0

e(t−s)A b(s) ds =

∫ t

t0

et Ae−sA b(s) ds = et A∫ t

t0

e−sA b(s) ds (3.4)

puis de dériver cela comme un produit de la forme M(t)N(t). C’est effectivement ce que nousallons faire. Mais je conseille au lecteur, mathématicien en devenir, de s’assurer au concret quecela a un sens, par exemple en faisant joujou avec l’exercice (12).Dérivons donc (3.4) :

d

dt

(et A

∫ t

t0

e−sA b(s) ds

)= Aet A

∫ t

t0

e−sA b(s) ds+ et Ae−tA b(t) (3.5)

Cela se condense en X ′1(t) = AX1(t) + b(t) nous avons donc une solution de l’équation avecsecond membre. La fonction vectorielle suggérée par l’énoncé

X(t) =

∫ t

t0

e(t−s)A b(s) ds+ e(t−t0)AX0

est de la forme X1(t)+ solution de l’équation homogène, c’est encore une solution. Comme ellevérifie X(t0) = X0, le tour est joué.

16

�

Tout est dit ! Reste à savoir calculer etA lorsqueA est une matrice. Cela commence avec l’exercice(13) (voir aussi l’annexe).

Exercice 12 calcul différentiel et fonctions matriciellesOn définit des fonctions vectorielles supposées de classe C1

Y : t ∈ R→[x(t)y(t)

](3.6)

M : t ∈ R→[a(t) b(t)c(t) d(t)

](3.7)

N : t ∈ R→[p(t) q(t)r(t) s(t)

](3.8)

Exécutez à la main les calculs qui sont ci-dessous suggérés et vérifiez ceux qui sont ci-dessusallègrement et formellement mis en œuvre.

1. (M(t)N(t))′ = M ′(t)N(t) +M(t)N ′(t)

2.

∫t

t0M(t)Y (u) du = M(t)

(∫t

t0Y (u) du

)=

[a(t) b(t)c(t) d(t)

]

∫t

t0x(u) du∫t

t0x(u) du

Une remarque d’ordre pédagogique : lorsque vous sentez que les raisons et le sens du calculs’obscurcissent, ne vous lancez pas à corps perdu dans de grandes formules synthétiques, allezvérifier au concret, au plus près de cambouis.

Exercice 13

1. Soit A la matrice de M3(R) A =

2 a 00 2 00 0 −3

. Calculer eA.

2. Résoudre X ′(t) = A.X(t).

Exercice 141. On suppose que A est de rang 2 ; montrer que les trajectoires des solutions d’un système{

X ′(t) = A.X(t)X(t0) = X0

sont contenues dans un plan affine.

2. Soient A =

1 1 −3

1 1 −1

2 2 −6

et X0 =t [1, 1, 1]. Résoudre X ′(t) = A.X(t). Vérifier que les

solutions ont des trajectoires planes et représentez les.

17

Exercice 15Résoudre le système différentiel

Y ′(t) =

3 1 −11 2 0−1 0 4

Y (t) +

cos(t)sin(t)

0

.en détaillant la méthode de résolution choisie.On précisera un système fondamental de solutions du système homogène et on explicitera unematrice Q(t) telle que les solutions soient de la forme

X(t) = X(t0) +

∫ t

t0

Q(t)Q−1(s)B(s) ds.

Exercice 16Soient A ∈ Mn(C), une matrice dont les valeurs propres ont des parties réelles strictement

négatives et PT l’espace vectoriel des fonctions F : R→ Rn, continues et T−périodiques.

1. On suppose que F ∈ PT , n’est pas constante. Montrer que le système différentiel X ′(t) =AX(t) + F (t) admet une solution T−périodique et une seule. On notera Φ(F ) cette solu-tion.

2. Existe-t-il d’autres solutions périodiques ?

3. On munit PT d’une norme définie par

||F || = supt∈R||F (t)||,

où la norme sur Rn est laissée au choix de lecteur. Etudier la continuité de Φ.

18

4 Équations scalaires linéaires d’ordre 2, généralités

On se propose d’étudier les équations linéaires scalaires d’ordre 2 :

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t), (4.1)

où les coefficients sont continus sur I et la fonction inconnue est à valeurs dans K.Nous allons tout d’abord traduire les résultats généraux obtenus sur les systèmes linéaires enobservant que l’équation (4.1), est équivalente au système d’ordre 1 :

X ′ = A(t)X(t) +B(t) =

[0 1−b(t) −a(t)

]X(t) +

[0c(t)

](4.2)

avec X(t) =

[x(t)x′(t)

], en ce sens que x en est solution ssi X est solution du système.

• Les résultats et définitions qui suivent sont une traduction des résultats généraux sur lessystèmes linéaires d’ordre 1, de dimension 2.

Théorème 9 Cauchy - LipschitzPour tous t0 ∈ I, (x0, x1) ∈ K2, il existe une solution du problème de Cauchy

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)

x(t0 = x0

x′(t0) = x1

définie sur I et une seule.

Théorème 10 structure– L’ensemble des solutions d’une équation homogène

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0. (4.3)

forme un espace vectoriel SH (sev de C2(I,K)) de dimension 2.– Un couple de fonctions numériques (y1, y2) est une base de SH (on dit encore que c’est un

système fondamental des solutions de (H)) ssi([y1y′1

],

[y1y′1

]), est un système fondamental de

solutions de (4.6).– L’ensemble des solutions d’une équation du type (4.1) forme un plan affine de direction SH .

Définition 5On appelle wronskien d’un couple (x1, x2) de solutions de (4.3) le déterminant

w(t) =

∣∣∣∣x1(t) x2(t)x′1(t) x′2(t)

∣∣∣∣ .

19

4.1 Equations linéaires d’ordre 2, variation des constantes

Il y a deux façons de traiter une équation linéaire d’ordre deux par la méthodes de variation desconstantes. L’exercice qui suit les présente. Vous pourrez les comparer et il sera suffisant pour vousmettre sur les rails et vous dispenser de connaître par cœur les formules générales comme cellesdu théorème 12 , et vous permette de les retrouver au besoin. Si vous le faites scrupuleusement !

Exercice 17 introduction à la méthode de variation des constantes pour une équation scalaireSoit f continue sur R. On considère les équations différentielles

(H) y”(t) + 2y′(t) + y(t) = 0 (4.4)

(E) y”(t) + 2y′(t) + y(t) = f(t) (4.5)

1. Écrire ces équations sous forme matricielle et déterminer des systèmes fondamentaux desolutions pour (H) et pour le système d’ordre 1 qui lui est équivalent.

2. Mettre en œuvre la méthode de variation des constantes pour résoudre le système

X ′ = A(t)X(t) +B(t) =

[0 1−1 −2

]X(t) +

[0f(t)

](4.6)

En déduire les solutions de (E).

3. On considère maintenant une solution z0 de (H) qui ne s’annule pas sur R. Rechercheralors les solution de (E) sous la forme y(t) = K(t)z0(t). Comparer les deux méthodes.

• Cas où l’on connaît une solution qui ne s’annule pas : c’est un cas simple dans lequel lescalculs ressemblent à ceux que l’on mène pour résoudre une équation du premier ordre.Supposons connue une solution z0 de l’équation homogène

H, x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0,

ne s’annulant en aucun point de l’intervalle I.

1. Montrer, en posant x(t) = K(t)z0(t), que l’on peut en déduire toutes les solutions deH2. Montrer que l’on peut de la même façon en déduire toutes les solutions d’une équation

y”(t) + a(t)y′(t) + b(t)y(t) = c(t).

Exercice 18 exemples simples au km

1. Soit l’équation y” + 2y′ + y = e−t.

(a) Résoudre cette équation avec les moyens du cours de première année.

(b) Puis avec la méthode de variation des constantes à l’aide d’une solution qui ne s’annulepas.

2. Résoudre l’équation y” + 2y′ + y =e−t

t.

20

3. Soit l’équationy” + 2ty′ − 4y = 2.

(a) Rechercher des solutions DSE du système homogène. Montrer qu’il en existe uneparticulièrement simple.

(b) En déduire toutes les solutions du système avec second membre.

Réponses pour l’exo 18(merci MAPLE) :

1. y (t) = e−t_C2 + e−tt_C1 + 1/4 et

2. y (t) = e−t_C2 + e−tt_C1 − 1/2(e2 t + 2Ei (1,−2 t) t

)e−t

où Ei (a, z) =∫∞1 e−s zs−ads

3. y (t) =(

2 e−t2t+ 2 erf (t)

√π(1/2 + t2

))_C2+

(1 + 2 t2

)_C1+t2 où erf (x) =

2√π

∫ x0 e−t2 dt.

Exercice 19 un exemple de mise en œuvreSoit l’équation : tx”(t) + 2x′(t)− tx(t) = 0.

1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz nous annonce-t-il l’existence d’une solution définie auvoisinage de 0 ?

2. Montrer que cette équation admet une solution DSE0 définie sur R.3. Résoudre l’équation.

4. A quelle conditions les solutions du problème aux conditions initiales x(1) = x0, x′(1) =

x1, sont elles définies sur R?

• Traduction de la méthode matricielle : on se propose de rechercher des solutions de laforme

y(t)α(t)x1(t) + β(t)x2(t)

Avertissement : ne pas croire que si l’on écrit α(t)x1(t) + β(t)x2(t) et que l’on remplace, « çale fera ». Les calculs deviennent complexes et la stratégie pour retrouver une solution particulièreassez opaque. L’idée, la bonne, est dans l’assertion encadrée du théorème (12).

Théorème 11Soit (x1, x2) un couple de solutions d’une équation x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = 0.Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :– (x1, x2), est un système fondamental de solutions (à savoir une base de l’ev des solutions) ;– il existe un point de I en lequel le wronskien de (x1, x2) ne s’annule pas ;– le wronskien de (x1, x2) ne s’annule en aucun point de I.

Démonstration conséquence immédiate des résultats généraux sur le wronskien d’un systèmed’ordre 1.

21

Théorème 12 variation des constantesSoit (E) l’équation

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)

définie sur I. Notons (H) l’équation homogène associé.– Si (x1, x2) est un système fondamental de solutions de (H), pour toute fonction f de classe C2

de I dans K, il existe un couple de fonctions de classe C1 , (α, β), et un seul, tel que

∀t ∈ I,

{f(t) = α(t)x1(t) + β(t)x2(t),

f ′(t) = α(t)x′1(t) + β(t)x′2(t).(4.7)

– on obtient une fonction f solution de l’équation "avec second membre" (E), lorsque les fonc-tions α, β, vérifient :

∀t ∈ I,

{α′(t)x1(t) + β′(t)x2(t) = 0,

α′(t)x′1(t) + β′(t)x′2(t) = c(t).(4.8)

– la solution générale de (E) s’écrit :

x(t) = ax1(t) + bx2(t) +

∫ t

t0

c(s)

w(s)(x1(s)x2(t)− x1(t)x2(s)) ds. (4.9)

Démonstration : trois étapes ;– Le wronskien est le déterminant du système, les formules de Cramer donnent les expressions

des solutions α(t), β(t) en fonction de f et f’, d’où on déduit leur régularité :

α(t) =

∣∣∣∣f(t) x2(t)f ′(t) x′2(t)

∣∣∣∣w(t)

, β(t) =

∣∣∣∣x1(t) f(t)x′1(t) f ′(t)

∣∣∣∣w(t)

– l’astuce à retenir pour retrouver ces formules :On ne se contente pas d’écrire y(t) = f(t) = α(t)x1(t) + β(t)x2(t), mais on suppose que lafonction f satisfait les deux conditions de (4.7). On dérive alors la seconde ligne pour obtenirune expression de f”. La fonction f apparaît comme solution de l’équation différentielle ssiles conditions (4.8) sont satisfaites. Comme le système (4.8) est un système de Cramer, on endéduit α′ et β′ :

α′(t) =

∣∣∣∣ 0 x2(t)c(t) x′2(t)

∣∣∣∣w(t)

, β′(t) =

∣∣∣∣x1(t) 0x′1(t) c(t)

∣∣∣∣w(t)

– On intègre pour retrouver α et β. On a ainsi obtenu une solution particulière qui est l’intégralede (4.9).

• Que faut il retenir ?

22

1. Dans le cas où l’on connaît une solution z de l’équation homogène qui ne s’annule pas, onpose y(t) = α(t)z(t)...

2. Dans le cas où on dispose d’un système fondamental pour lequel on ne connaît pas leszéros des solutions, on pose comme ci-dessus y(t) = α(t)z1(t) + β(t)z2(t) et, même sansse souvenir des formules, en calculant y′ on pense à ajouter la condition α′(t)z1(t) +β′(t)z2(t) = 0 qui visiblement simplifiera les calculs...(sinon 8 termes pour la dérivéeseconde !)

Exercice 20 à quoi sert l’expression intégrale des solutions ?On considère l’équation différentielle (E) :

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)

où les fonctions a, b, c sont continues sur I. On suppose connu un système fondamental, (φ1, φ2),de solutions de l’équation homogène associée.

1. Vérifier que

x(t) =

∫ t

t0

c(s)

w(s)(φ1(s)φ2(t)− φ1(t)φ2(s)) ds

est une solution de E – avec t0 ∈ I, w(s) =

∣∣∣∣ φ1(s) φ2(s)φ′1(s) φ′2(s)

∣∣∣∣ .2. Soit E l’espace des fonctions continues sur I muni de la norme de la convergence uniforme

et F l’espace des fonctions de classe C2 sur I.Soit t0 ∈ I, on considère l’opérateur T : E → F, qui à une fonction c ∈ E associe lasolution du problème de Cauchy

x”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)x(t0) = 0x′(t0) = 0

Continuité de T pour la norme ||u||∞ sur F.

3. On suppose que [t0, t1] ⊂ I. Discuter le problèmex”(t) + a(t)x′(t) + b(t)x(t) = c(t)x(t0) = 0x(t1) = 0

Exercice 21 méthode de Fuchs et variations des constantesSoit l’équation : t2x”(t)− 2tx′(t) + 2x(t) = 0.

1. Rechercher les solutions de la forme t → |t|α sur I =]0,+∞[, puis sur J =] − ∞, 0[.Peut-on obtenir des systèmes fondamentaux de solutions sur ces intervalles ?

2. Résolution de t2x”(t)− 2tx′(t) + 2x(t) = t4 cos t− 1.

3. Y a-t-il des solutions définies sur R?

23

Exercice 22 équations et fonctions de BesselOn considère les équations différentielles de la forme

Bν : x2y” + xy′ + (x2 − ν2)y = 0. (4.10)

1. On suppose que ν /∈ 12Z.

(a) Rechercher les solutions de la forme

Jν(x) = xν∑n≥0

aν,nxn,

et préciser le rayon de convergence de la SE.

(b) Résoudre l’équation de Bessel

2. On suppose maintenant, que ν = 0.

(a) Rechercher les solutions DSE(0).

(b) Soit y0 la solution DSE(0) telle que y(0) = 1. Montrer qu’il existe T DSE(0) telle que

y0(x) ln(x) + T (x)

soit solution de l’équation de Bessel B0.

24

4.2 Equations linéaires d’ordre 2 sous forme d’exercices

Exercice 23 Soit l’équation z′′(x) + xz(x) = 0.

1. En donner un système fondamental de solutions sur R.2. La figure ci-dessous représente trois graphes de solutions qui prennent la même valeur en 1.

Pourquoi n’y a-t-il pas d’intersection de deux seulement des trois courbes ?.

tracés de solutions

deux portraits de phase de cette même équation

25

Exercice 24 un problème aux limites n’est pas un problème de Cauchy (problème de Sturm-Liouville)Soit (Eλ) l’équation différentielle y” + λy = 0. On recherche les solutions définies sur [0, 1] et

qui vérifient les conditions aux limites (L) : f(0) = f(1) = 0. Montrer que le système (Eλ), (L)admet des solutions non nulles sur [0, 1] pour certaines valeurs de λ seulement, que l’on précisera.

Exercice 25 origine du problème aux limites précédentPour étudier l’équation de la chaleur dans laquelle u(x, t) est définie sur [0, L] × [0,∞[ et de

classe C2 , ∂2

∂x2u(x, t) = C

∂

∂tu(x, t) ,

(1) u(0, t) = u(L, t) = 0 (conditions aux limites)(2) u(x, 0) = h(x) (conditions initiales)

nous avons été amenés à rechercher les solutions sous la forme

u(x, t) = F (x)G(t).

1. Écrire les équations E1 et E2 vérifiées par F et G lorsque u est solution ;

2. Quelles sont les solutions F (x) de E1 vérifiant les conditions aux limites F (0) = F (x) = 0?

3. Montrer que ces solutions sont les vecteurs propres d’un opérateur linéaire que l’on préci-sera.

Exercice 26 zéros des solutions1. Soit

(E)y′′ + a(t)y′ + b(t)y = 0.

Montrer qu’un changement de fonction inconnue, z(x) = y(x)exp(P (x)), avec P bienchoisie, transforme (E) en une équation

z′′ +Qz = 0,

dont les solutions ont les mêmes zéros que les solutions correspondantes de (E).

2. Soit q une fonction continue sur un intervalle et z une solution de l’équation z′′ + qz = 0définie sur I. Montrer que si (tn)n est une suite de zéros de z, distincts, ayant pour limite unpoint de I, alors z est la solution identiquement nulle.

3. En déduire que si z est une solution non nulle de (E), elle a un nombre fini de zéros dansun intervalle [a, b] ⊂ I.

Exercice 27 préparation au théorème de SturmSoient (E1) et (E2) les équations

y” + ω2y = 0, z” + µ2z = 0.

1. Expliciter leurs solutions ainsi que les zéros de leurs solutions.

26

2. Montrer que, si 0 < ω < µ, entre deux zéros de y il existe un zéro de z.

Exercice 28 le théorème de SturmSoient q et r deux fonctions continues sur I = [a, b] telles que r(x) ≥ q(x) pour x ∈ [a, b]. On

note (E1) l’équation : y′′ + qy + 0 et (E2) l’équation z′′ + rz = 0.

1. Montrer que pour toute solution non nulle de y′′ + qy + 0, y(x0) = 0⇒ y′(x0) 6= 0.

2. Soient x0 et x1 deux zéros consécutifs de y, solution non nulle de (E1). Que dire des signesdes dérivées y′(x0) et y′(x1).

3. Soit z une solution de (E2). On pose

W (x) =

∣∣∣∣y(x) z(x)y′(x) z′(x)

∣∣∣∣ .Cela ressemble à un wronskien mais cela n’est pas un wronskien. Calculer W ′(x). Montrerque

W (x1)−W (x0) =

∫ x1

x0

(q(t)− r(t))y(t)z(t) dt.

4. En comparant les signes de deux expressions de W (x1) −W (x0), montrer que pour toutesolution z de (E2), z a un zéro dans ]x0, x1[ ou z(x0) = z(x1) = 0.

5. Montrer qu’une solution de (E1) est soit proportionnelle à y, soit s’annule une seule foisdans ]x0, x1[.

27

5 Annexe : exponentielle de matrice

5.1 Quelques rappels sur les evn de dimension finie

Nous commençons par de bref rappels concernant les espaces normés de dimension finie et lesespaces de matrices.

1. Séries absolument convergentesDans un evn (E, || ||E), de dimension finie, les séries absolument convergentes, sont conver-gentes. Cela signifie,∑

||un||E converge dans R⇒∑

un converge dans (E, || ||E).

2. Équivalence des normes en dimension finieDans un evn de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et les propriétéssuivantes sont équivalentes (|| ||E et NE désignant des normes sur E, d la dimension deE) :

(a) (un)n converge vers ` dans (E, || ||E)

(b) (un)n converge vers ` dans (E,NE)

(c) Il existe une base de E, (ai)1≤i≤d telles que les d suites de coordonnées des vecteursun dans la base (ai)1≤i≤d, (u

(1)n )n, (u

(2)n )n, ..., (u

(d)n )n, convergent vers les coordon-

nées correspondantes de ` : `1, `2, ..., `d dans (ai)1≤i≤d.

(d) Pour toute base deE, les d suites de coordonnées des vecteurs un dans la base convergentvers les coordonnées correspondantes de ` : `1, `2, ..., `d dans cette même base.

3. Normes matriciellesUne norme matricielle surE est une norme telle que, pour tout couple de matrices (A,B) ∈Md(K),

N (AB) ≤ N (A)×N (B) (5.1)

On obtient une telle norme à partir d’une norme || || sur Kn en posant

N(A) = supX 6=0,X∈Kn

||AX||||X||

(5.2)

On note aussi |||A||| une telle norme que l’on dit subordonnée à la norme || || de Kn (cevocabulaire est hors programme, mais la notion est indispensable ici).

4. Dérivabilité de la somme d’une série de fonctionsOn considère une evn (E, || ||E de dimension finie et des fonctions fn : t ∈ I ⊂ R →fn(t) ∈ E. On souhaite disposer de la formule de dérivation terme à terme (qui suppose aumoins que les séries convergent !)( ∞∑

k=0

fk(t)

)′=∞∑k=0

f ′k(t)

Le cours sur les séries de fonctions nous apprend qu’il suffit pour cela des hypothèses :

28

(a) Chaque fonction fn est de classe C1 sur l’intervalle I.

(b) Il existe un point a ∈ I,∑fn(a) converge dans (E, || ||E).

(c) Sur tout segment de I, la série de fonctions∑f ′n converge uniformément.

Remarque : on observera que– si f est à valeurs dans R ou C,

||f ||∞,K = supx∈K|f(x)|

– si f est à valeurs dans (E, || ||E),

||f ||∞,K = supx∈K||f(x)||E

5.2 L’exponentielle de matrice

On a vu que pour x ∈ R, la série∑

n

xn

n!est absolument convergente et de somme ex (la fonction

définie en terminale). Cela se prouve avec...

On a vu que pour z ∈ C, la série∑

n

xn

n!est absolument convergente. Comment le prouve-t-on au

plus simple ?On a démontré que dans C, ez+w = ez ew Comment l’avons nous prouvé ?

On prolonge la notion d’exponentielle de la façon suivante :

Pour toute matrice A ∈ Md(K), la série de matrices∑

n

An

n!converge. Sa somme est l’exponen-

tielle de A :

eA =∞∑n=0

1

n!An (5.3)

Exercice 29 Construire une preuve de la convergence de cette série de matrices.

Théorème 13 tout ou presque sur l’exponentielle de matrice

1. Pour toute matrice A, eA et A commutent ;

2. Si deux matrices A et B commutent, eA+B = eAeB;

3. e0 = In et pour toute matrice A, eA est inversible, d’inverse e−A;

4. l’application t→ etA est un homomorphisme de groupes ;

5. t→ etA est de classe C∞ etd

dtetA = AetA;

6. un système différentiel X ′(t) = AX(t) a pour solutions les fonctions t→ etAX0;

7. Pour toute matrice inversible P, P−1eAP = eP−1AP .

29

Démonstration

Exercice 30 calculs pratiques

1. Exponentielle d’une matrice diagonale ?

2. Exponentielle de αI +N avec Np = 0?

3. Exponentielle de t(αI +N) avec Np = 0?

4. Exponentielle de[2 10 2

]?

5. Exponentielle de

1 0 00 0 −θ0 θ 0

?

Exercice 31

1. On se propose de calculer exp(tA) lorsque A =

−3 4 2

−2 1 2

−4 4 3

.– Montrer que A = D +N où D est diagonalisable, N nilpotente avec DN = ND.– En déduire une expression simple de exp(tA),– puis une solution explicite du système différentiel :

x′(t)y′(t)z′(t)

=

−3 4 2

−2 1 2

−4 4 3

x(t)y(t)z(t)

2. Exprimer les solutions du système différentiel

X ′(t) = A.X(t)

30

Indexéquation différentielle linéaire

scalaire d’ordre deuxcoefficients constants, 5

scalaire d’ordre un, 2

, 10

équation différentielled’ordre supérieur, 8de Bessel, 24

exponentiellede matrice antisymétrique, 30système avec second membre, 16

fonctionde Green (retard), 4

force de Coriolis, 31

Greenfonction retard, 4

méthodede variation des constantes, 9, 14

périodiquessolutions... d’un système, 18

perturbationd’une équation différentielle, 4

problèmeaux limites, 26de Cauchy, 9

ordre 2, 19de Sturm-Liouville, 26

rotationexponentielle, 30

solutionsd’un système linéaire, 11système fondamental, 12

systèmedifférentiel linéaire, 18fondamental de solutions, 12

système différentieldéfinition, 8linéaire

coefficients constants (exemple), 9

théorèmede Cauchy-Lipschitz linéaire, 10de Sturm, 27

variationdes constantes, 9

wronskien, 12

31